Espaços vetoriais - Algebra Linear

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Sumário
1 Espaços Vetoriais 7
1.1 Introduç̃ao e Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Subespaços Vetoriais 15
2.1 Introduç̃ao e Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Interseç̃ao e Soma de Subespaços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Combinaç̃oes Lineares 23
3.1 Introduç̃ao e Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Geradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Depend̂encia Linear 31
4.1 Introduç̃ao e Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Base, Dimens̃ao e Coordenadas 37
5.1 Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Dimens̃ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Dimens̃ao de Soma de Subespaços Vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
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4 SUMÁRIO
6 Mudança de Base 51
6.1 Introduç̃ao, Exemplos e Propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Exerćıcios Resolvidos – Uma Revis̃ao 59
8 Transformações Lineares 71
8.1 Introduç̃ao e Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 O Espaço VetorialL (U, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 Imagem e Ńucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4 Isomorfismo e Automorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.1 Definiç̃ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.2 Propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6 Exerćıcios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Autovalores e Autovetores 105
9.1 Definiç̃ao, Exemplos e Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Polin̂omio Caracteŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10 Diagonalizaç̃ao 115
10.1 Definiç̃ao e Caracterização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Forma Can̂onica de Jordan 125
11.1 Exerćıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12 Espaços Euclidianos 133
12.1 Produto Interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.3 Dist̂ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.4 Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.5 Ortogonalidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.6 Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . 145
12.7 Complemento Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
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SUMÁRIO 5
12.8 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.9 Operador Auto-adjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.10Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
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6 SUMÁRIO
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Caṕıtulo 1
Espaços Vetoriais
1.1 Introdução e Exemplos
Neste caṕıtulo introduziremos o conceito de espaço vetorial que será usado em todo o
decorrer do curso.
Poŕem, antes de apresentarmos a definição de espaço vetorial, passemos a analisar
em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funçõesf : R → R, denotado
por F (R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordemm com coeficientes reais que
denotaremos porMm(R), ou simplesmente, porMm.
A soma de duas funçõesf e g deF (R) é definida como sendo a funçãof + g ∈
F (R) dada por(f + g)(x) = f(x) + g(x).
Note tamb́em que seλ ∈ R podemos multiplicar a função f pelo escalarλ, da
seguinte forma(λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento deF (R).
Com relaç̃ao aMn podemos somar duas matrizes quadradas de ordemn, A =
(aij)n×n e B = (bij)n×n, colocandoA + B = (aij + bij)n×n, que é um elemento
deMn.
Com a relaç̃ao à multiplicaç̃ao deA = (aij)n×n por um escalarλ ∈ R, é natural
definirmosλA = (λaij)n×n, o qual tamb́em pertence aMn.
O que estes dois conjuntos acima, com estasestruturasde adiç̃ao de seus elementos
e multiplicaç̃ao de seus elementos por escalares, têm comum? Vejamos:
Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos números reais que, com relação
a quaisquer funç̃oesf, g e h emF (R) e para todoλ, µ ∈ R, são v́alidos os seguintes
resultados:
1. f + g = g + f ;
7
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8 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
2. f + (g + h) = (f + g) + h;
3. seO representa o função nula, istóe,O(x) = 0 para todox ∈ R ent̃aoO+f = f ;
4. a funç̃ao−f definida por(−f)(x) = −[f(x)] para todox ∈ R é tal quef +
(−f) = O;
5. λ(µf) = (λµ)f ;
6. (λ + µ)f = λf + µf ;
7. λ(f + g) = λf + λg;
8. 1f = f.
Agora, com relaç̃ao a quaisquer matrizesA, B e C emMm e para todoλ, µ ∈ R,
tamb́em s̃ao v́alidos os seguintes resultados:
1. A + B = B + A;
2. A + (B + C) = (A + B) + C;
3. seO representa o função nula, istóe,O = (0)n×n ent̃aoO + A = A;
4. seA = (ai,j)n×n ent̃ao a matriz−A definida por−A = (−ai,j)n×n é tal que
A + (−A) = O;
5. λ(µA) = (λµ)A;
6. (λ + µ)A = λA + µA;
7. λ(A + B) = λA + λB;
8. 1A = A.
Podemos ver que tanto o conjuntos das funções definidas na reta a valores reais
como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicação por escala-
res adequadas apresentampropriedades alǵebricascomuns. Na verdade muitos outros
conjuntos munidos de operações apropriadas apresentam propriedades semelhantesàs
acima.É por isso que ao inv́es de estudarmos cada um separadamente estudaremos um
conjunto arbitŕario e ñao vazio,V, sobre o qual supomos estar definidas uma operação
de adiç̃ao, istoé, para cadau, v ∈ V existe umúnico elemento deV associado, chamado
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1.1. INTRODUÇÃO E EXEMPLOS 9
a soma entreu e v e denotado poru + v, e uma multiplicaç̃ao por escalar, istóe, para
cadau ∈ V e λ ∈ R existe umúnico elemento deV associado, chamado de o produto
deu pelo escalarλ e denotado porλu.
Definição 1.1 Diremos que um conjuntoV como acima munido de uma adição e de
uma multiplicaç̃ao por escalaŕe umespaço vetorialse para quaisqueru, v e w emV e
para todoλ,µ ∈ R são v́alidas as seguintes propriedades:
EV1 u + v = v + u para quaisqueru, v ∈ V ;
EV2 u + (v + w) = (u + v) + w para quaisqueru, v, w ∈ V ;
EV3 existe um elemento0 ∈ V tal que0 + u = u para todou ∈ V ;
EV4 para cadau ∈ V existev ∈ V tal queu + v = 0;
EV5 λ(µu) = (λµ)u para quaisqueru ∈ V eλ, µ ∈ R;
EV6 (λ + µ)u = λu + µu para quaisqueru ∈ V
EV7 λ(u + v) = λu + λv para quaisqueru, v ∈ V eλ ∈ R;
EV8 1u = u para qualqueru ∈ V.
Observaç̃ao 1.2 O elemento0 na propriedadeEV3 é único, pois qualquer outro0′ ∈ V
satisfazendo a mesma propriedadeEV3 ent̃ao, pelas propriedadesEV3 e EV1 teŕıamos
0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0, isto é,0 = 0′.
Observaç̃ao 1.3 Em um espaço vetorial, pela propriedadeEV4, para cadau ∈ V existe
v ∈ V tal queu + v = 0. Na verdade, para cadau ∈ V existe somente um elemento
v ∈ V com esta propriedade. De fato, dadou ∈ V sev ev′ emV são tais queu+v = 0
e u + v′ = 0 ent̃ao, combinando estas equações com as propriedadesEV1,EV2 e EV3,
obtemosv = v + 0 = v + (u + v′) = (v + u) + v′ = (u + v) + v′ = 0 + v′ = v′, isto é
v = v′. Denotaremosv por−u eu − v por u + (−v).
Observaç̃ao 1.4 As quatro primeiras propriedades referem-se apenasà operaç̃ao de
adição e s̃ao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade
associatividade, existência do elemento neutro e existência do elemento inverso.
A quinta e a oitava propriedades são exclusivas da multiplicação por escalar e
tamb́em podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicação,
respectivamente.
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10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
A sexta e a śetima propriedades relacionam as duas operações e s̃ao ambas conhe-
cidas por distributividade.
Um outro exemplo de espaço vetorial, além dos dois apresentados no inı́cio do texto,
é o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analı́tica munido da adiç̃ao
e da multiplicaç̃ao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definição
acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referência aos elementos
deV independentemente de serem ou não vetores.
Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjunto dos números reais
com a adiç̃ao e multiplicaç̃ao usuais. Mais geralmente, para cadan ∈ N, podemos trans-
formar o conjunto dasn-uplas ordenadas de números reais,Rn, em um espaço vetorial
definindo a adiç̃ao de duasn-uplas ordenadas,x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn),
adicionando-se coordenada a coordenada, istoé,
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
e o produto de uman-uplax = (x1, . . . , xn) por um escalarλ ∈ R por
λx = (λx1, · · · , λxn).
É uma rotina bem simples verificar que desse modoRn é um espaço vetorial. Deixamos
como exerćıcio esta tarefa.
Verifique tamb́em que os seguintes exemplos são espaços vetoriais.
1. Sejamn ∈ N eV = Pn(R) o conjunto formado pelo polin̂omio nulo e por todos
os polin̂omios de grau menor ou igual an com coeficientes reais. Definimos a
adiç̃ao e a multiplicaç̃ao por escalar da seguinte maneira:
• Sep(x) = a0 + a1x · · ·+ anxn eq(x) = b0 + b1x · · ·+ bnxn são elementos
dePn(R) ent̃ao
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x · · · + (an + bn)xn.
• Sep(x) = a0 + a1x · · · + anxn é um elemento dePn(R) eλ ∈ R ent̃ao
λp(x) = (λa0) + (λa1)x + · · · + (λan)xn.
2. SejamA ⊂ R e F (A; R) o conjunto de todas as funçõesf : A → R. Sef, g ∈
F (A; R) e λ ∈ R definaf + g : A → R por (f + g)(x) = f(x) + g(x) e
(λf)(x) = λf(x), x ∈ A. Ent̃ao,F (A; R) com esta adiç̃ao e produto por escalar
é um espaço vetorial.
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1.1. INTRODUÇÃO E EXEMPLOS 11
3. O conjunto das funç̃oes cont́ınuas definidas num intervaloI ⊂ R munido das
operaç̃oes de adiç̃ao e multiplicaç̃ao usuais (como aquelas definidas emF (I; R)).
Notaç̃ao:C(I; R).
4. O conjunto das funç̃oes com derivadas contı́nuas at́e ordemk ∈ N, (k é fixo) defi-
nidas num intervalo abertoI ⊂ R munido das operações de adiç̃ao e multiplicaç̃ao
usuais (como aquelas definidas emF (I; R)). Notaç̃ao:Cn(I; R).
5. O conjunto das matrizesm por n com coeficientes reais:Mm×n(R) munido de
operaç̃oes ańalogas̀aquelas definidas emMn(R).
Os espaços vetoriais acima envolvem operações com as quais você já deve estar
familiarizado. O pŕoximo exemplóe um pouco mais sofisticado do que os anteriores e
por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremosV = (0,∞), o
semi-eixo positivo da reta real. Este conjunto quando agregadoàs operaç̃oes usuais de
soma e multiplicaç̃ao não é um espaço vetorial, visto que não possuielemento neutro
para a adiç̃ao. No entanto, se parax, y ∈ V e λ ∈ R, definirmos a soma entrex e y
por x ⊞ y = xy, (o produto usual entrex e y) e o produto dex pelo escalarλ como
λ ⊡ x = xλ, ent̃aoV se torna um espaço vetorial. De fato, verifiquemos uma a uma as
oito propriedades:
1. x, y ∈ V temosx ⊞ y = xy = yx = y ⊞ x para quaisquerx, y ∈ V ;
2. x ⊞ (y ⊞ z) = x ⊞ (yz) = x(yz) = (xy)z = (x ⊞ y)z = (x ⊞ y) ⊞ z para
quaisquerx, y, z ∈ V
3. sex ∈ V ent̃ao, como1 ∈ V, temos1 ⊞ x = 1x = x; observe que neste caso, 1é
o elemento neutro daadição, o qual denotaremos poro;
4. sex ∈ V, isto é,x > 0, ent̃aox−1 ∈ V ex ⊞ x−1 = xx−1 = 1 = o;
5. λ ⊡ (µ ⊡ x) = λ ⊡ xµ = (xµ)λ = xµλ = xλµ = (λµ) ⊡ x para quaisquerx ∈ V
eλ, µ ∈ R;
6. (λ + µ) ⊡ x = xλ+µ = xλxµ = xλ ⊞ xµ = (λ ⊡ x) ⊞ (µ ⊡ x) para quaisquer
x ∈ V eλ, µ ∈ R;
7. λ ⊡ (x ⊞ y) = λ ⊡ (xy) = (xy)λ = xλyλ = (λ ⊡ x) ⊞ (λ ⊡ y) para quaisquer
x, y ∈ V eλ ∈ R;
8. 1 ⊡ x = x1 = x para qualquerx ∈ V.
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12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
1.2 Propriedades
Das oito propriedades que definem um espaço vetorial podemos concluir várias outras.
Listaremos algumas destas propriedades na seguinte
Proposiç̃ao 1.5 SejaV um espaço vetorial. Temos
1. Para qualquerλ ∈ R, λ0 = 0.
2. Para qualqueru ∈ V, 0u = 0.
3. Seλu = 0 ent̃aoλ = 0 ouu = 0.
4. Para quaisquerλ ∈ R eu ∈ V, (−λ)u = λ(−u) = −(λu).
5. Para qualqueru ∈ V, −(−u) = u.
6. Seu + w = v + w ent̃aou = v.
7. Seu, v ∈ V ent̃ao existe uḿunicow ∈ V tal queu + w = v.
Prova:
1. Temosλ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 pelas propriedadesEV3 e EV7. Utilizando
as propriedadesEV1 a EV4 e a notaç̃ao da observação 1.3, obtemos0 = λ0 +
(−(λ0)) = (λ0 + λ0) + (−(λ0)) = λ0 + (λ0 + (−(λ0))) = λ0 + 0 = λ0, isto é
λ0 = 0.
2. Temos0u = (0 + 0)u = 0u + 0u, pela propriedadeEV6. Utilizando as proprie-
dadesEV1 a EV4 e a notaç̃ao da observação1.3, obtemos0 = 0u + (−(0u)) =
(0u + 0u) + (−(0u)) = 0u + (0u + (−(0u)) = 0u + 0 = 0u, isto é,0u = 0.
3. Seλ 6= 0 ent̃ao pelas propriedadesEV8 e EV5 e pelo item 1 desta proposição,
u = 1u = (λ−1λ)u = λ−1(λu) = λ−10 = 0.
4. Utilizando a propriedadeEV6 e o item 2 desta proposição, obtemosλu+(−λ)u =
(λ + (−λ))u = 0u = 0. Pela observaç̃ao1.3, −(λu) = (−λ)u. Analogamente,
utilizando-se a propriedadeEV7, mostra-se que−(λu) = λ(−u).
A prova dos outros resultadosé deixada como exercı́cio.
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1.3. EXERĆICIOS 13
1.3 Exerćıcios
Ex. 1.6 Verifique se em cada um dos itens o conjuntoV com as operaç̃oes indicadaśe
um espaço vetorial sobreR.
1. V = R3, (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);α(x, y, z) =
(αx, αy, αz).
2. V =
{(
a −b
b a
)
; a, b ∈ R
}
, operaç̃oes usuais deM2(R).
3. V =
{
(x, y) ∈ R2; 3x − 2y = 0
}
, operaç̃oes usuais deR2.
4. V = {f : R → R; f(−x) = f(x), ∀x ∈ R}, operaç̃oes usuais de funções.
5. V = P(R) = { polinômios com coeficientes reais} , operaç̃oes usuais de fun-
ções.
6. V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1, y1 −x1, α(x, y) = (3αx,−αx.)
7. V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α(x, y) = (αx, 0).
8. V =
{
(x, y, z, w) ∈ R4; y = x, z = w2
}
, operaç̃oes usuais deR4.
9. V = R × R∗, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1y2), α(x, y) = (αx, yα).
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14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS
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Caṕıtulo 2
Subespaços Vetoriais
2.1 Introdução e Exemplos
Definição 2.1 SejaV um espaço vetorial. Dizemos queW ⊂ V é um subespaço veto-
rial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:
SV1 0 ∈ W ;
SV2 Seu, v ∈ W ent̃aou + v ∈ W ;
SV3 Seu ∈ W ent̃aoλu ∈ W para todoλ ∈ R.
Observaç̃ao 2.2 Note que todo subespaço vetorialW de um espaço vetorialV é ele
próprio um espaço vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e
EV8 são herdadas do pŕoprio espaço vetorialV. O elemento neutro da adição é um
elemento deW por SV1. Finalmente, seu ∈ W ent̃ao−u = (−1)u ∈ W pelo item4
da proposiç̃ao1.5e porSV3.
Observaç̃ao 2.3 Obviamente{0} e V são subespaços vetoriais do espaço vetorialV.
São chamados de subespaços vetoriais triviais.
Observaç̃ao 2.4 Note queW é subespaço vetorial deV se e somente se são v́alidas as
seguintes condiç̃oes:
SV1’ 0 ∈ W ;
SV2’ Seu, v ∈ W eλ ∈ R ent̃aou + λv ∈ W.
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16 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
Vejamos alguns outros exemplos:
Exemplo 2.5 SejaP∗n ⊂ Pn, dado porP∗n = {p(x) ∈ Pn; p(0) = 0}.
Verifiquemos queP∗n é, de fato, um subespaço vetorial dePn.
1. O polin̂omio nulo se anula emx = 0, logo, pertence aP∗n.
2. Sep(x), q(x) ∈ P∗n ent̃aop(0) + q(0) = 0 e, portanto,p(x) + q(x) ∈ P∗n.
3. sep(x) ∈ P∗n ent̃aoλp(0) = 0 para qualquerλ ∈ R. Assim,λp(x) ∈ P∗n.
Exemplo 2.6 Verifiquemos queS = {(x, y, z) ∈ R3;x + y + z = 0} é um subespaço
vetorial deR3.
1. É claro que(0, 0, 0) satisfaz0 + 0 + 0 = 0.
2. Se(x, y, z), (u, v, w) ∈ S ent̃ao(x + u) + (y + v) + (z + w) = (x + y + z) +
(u + v + w) = 0 e, portanto,(x, y, z) + (u, v, w) ∈ S.
3. se(x, y, z) ∈ S ent̃aoλx + λy + λz = λ(x + y + z) = 0 para qualquerλ ∈ R.
Assim,λ(x, y, z) ∈ S.
Exemplo 2.7 Considere o seguinte conjuntoS = {y ∈ C2(R; R); y′′ − y = 0} onde
y′′ representa a derivada de segunda ordem dey. Verifiquemos queS é um subespaço
vetorial deC2(R; R).
1. Claramente a função nula satisfaz0′′ − 0 = 0;
2. Sey1, y2 ∈ S ent̃ao(y1 + y2)′′ − (y1 − y2) = (y′′1 − y1) − (y′′2 − y2) = 0. Logo,
y1 + y2 ∈ S.
3. Sey ∈ S eλ ∈ R ent̃ao(λy)′′ − λy = λ(y′′ − y) = 0. Portanto,λy ∈ S.
Deixamos como exercı́cio a verificaç̃ao de que os seguintes exemplos são subespaços
vetoriais dos respectivos espaços vetoriais.
Exemplo 2.8 Sejama1, . . . , an ∈ R eS = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn; a1x1 + · · · + anxn =
0}. Mostre queS é um subespaço vetorial deRn.
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2.2. INTERSEÇ̃AO E SOMA DE SUBESPAÇOS 17
Exemplo 2.9 O conjunto das funç̃oes cont́ınuas da reta na reta,C(R; R), é um subespa-
ço vetorial deF (R).
Exemplo 2.10 O conjunto das funç̃oesf ∈ C([a, b]; R) tais que
∫ b
a
f(x)dx = 0 é um
subespaço vetorial deC([a, b]; R).
Exemplo 2.11 O conjunto dasmatrizes siḿetricasquadradas de ordemm com coefici-
entes reaiśe um subespaço vetorial deMm(R).
Exemplo 2.12 Sejamm, n ∈ N comm ≤ n. EntãoPm é um subespaço dePn.
2.2 Interseç̃ao e Soma de Subespaços
Proposiç̃ao 2.13 (Interseç̃ao de subespaços)SejamU eW subespaços vetoriais deV.
EntãoU ∩ W é subespaço vetorial deV.
Prova:
1. Como0 ∈ U e0 ∈ W ent̃ao0 ∈ U ∩ W ;
2. Sex, y ∈ U ∩ W eλ ∈ R ent̃aox + λy ∈ U ex + λy ∈ W. Portanto,x + λy ∈
U ∩ W.
Observaç̃ao 2.14 Note que o subespaçoV ∩ W est́a, obviamente, contido em ambos
subespaços:U eV.
Quest̃ao: Com a notaç̃ao da proposiç̃ao acima, podemos afirmar queU∪W é subespaço
vetorial deV ?
Resposta :Não. Basta considerarV = R2, U = {(x, y) ∈ R2;x + y = 0} e W =
{(x, y) ∈ R2;x − y = 0}. Note que(1,−1) ∈ U ⊂ U ∪ W e (1, 1) ∈ W ⊂ U ∪ W
mas(1,−1) + (1, 1) = (2, 0) 6∈ U ∪ W.
SeU eW são subespaços vetoriais de um espaço vetorialV eV ′ é um subespaço de
V que contenhaU e W, isto é,U ∪ W ⊂ V ′ ent̃aoV ′ teŕa que conter todos os vetores
da formau + w, u ∈ U ew ∈ W. Isto motiva a seguinte
Definição 2.15 SejamU eW subespaços vetoriais de um espaço vetorialV. Definimos
a soma deU eW comoU + W = {u + w;u ∈ U, w ∈ W}.
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18 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
Proposiç̃ao 2.16 (Soma de subespaços)SejamU, W e V como na definiç̃ao acima.
EntãoU + W é um subespaço vetorial deV. Além do mais,U ∪ W ⊂ U + W.
Prova: Verifiquemos queU + W é subespaço vetorial deV.
1. Como0 ∈ U e0 ∈ W ent̃ao0 = 0 + 0 ∈ U + W ;
2. Sejamx1, x2 ∈ U +W ent̃aoxj = uj +wj , uj ∈ U, wj ∈ W, j = 1, 2. Agora, se
λ ∈ R ent̃aox1+λx2 = u1+w1+λ(u2+w2) = (u1+λu2)+(w1+λw2) ∈ U+W,
poisU eW são subespaços vetoriais.
Mostremos queU ∪ W ⊂ U + W. Sejav ∈ U ∪ W. Sev ∈ U ent̃aov = v + 0 ∈
U + W. Sev ∈ W ent̃aov = 0 + v ∈ U + W. Ou seja,U ∪ W ⊂ U + W.
Definição 2.17 SejamU e W subespaços vetoriais de um espaço vetorialV. Dizemos
queU +W é a soma direta deU eW seU ∩W = {0}. Neste caso usaremos a notação
U ⊕ W para representarU + W.
Observaç̃ao 2.18 Note que trivialmente{0} ⊂ U ∩ W seU eW são subespaços veto-
riais.
Proposiç̃ao 2.19 (Soma de subespaços)SejamU e W subespaços vetoriais de um es-
paço vetorialV. TemosV = U ⊕ W se e somente se para cadav ∈ V existirem um
únicou ∈ U e umúnicow ∈ W satisfazendov = u + w.
Prova: Suponha queV = U ⊕ W, isto é, V = U + W e U ∩ W = {0}. Ent̃ao, dado
v ∈ V existemu ∈ U e w ∈ W satisfazendov = u + w. Queremos mostrar que tal
decomposiç̃ao é única. Suponha que existamu′ ∈ U e w′ ∈ W tais quev = u′ + w′.
Ent̃ao, u + w = u′ + w′, o que implica emu − u′ = w′ − w. Mas u − u′ ∈ U e
w′ − w ∈ W e, portanto,u − u′ = w′ − w ∈ U ∩ W = {0}, ou sejau = u′ ew = w′.
Suponha agora que para cadav ∈ V existam umúnicou ∈ U e umúnicow ∈ W
satisfazendov = u + w. É claro queV = U + W. Resta mostrar queU ∩ W = {0}.
Obviamente,0 ∈ U ∩ W. Sejav ∈ U ∩ W, isto é,v ∈ U e v ∈ W. Ent̃ao, existem um
únicou ∈ U e umúnicow ∈ W satisfazendov = u + w. Observe quev = u + w =
(u + v) + (w − v) comu + v ∈ U e w − v ∈ W e, pela unicidade da decomposição,
devemos teru = u + v ew = w − v, isto é,v = 0. Logo,U ∩ W = {0}.
Alternativamente, poderı́amos supor a existência dev 6= 0 em U ∩ W e dáı ob-
teŕıamosv = 2v− v = 4v− 3v, duas decomposições distintas parav já que2v, 4v ∈ U,
2v 6= 4v e−v,−3v ∈ W.
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2.2. INTERSEÇ̃AO E SOMA DE SUBESPAÇOS 19
Exemplo 2.20 Verifique queR3 é a soma direta deU = {(x, y, z) ∈ R3;x+y+z = 0}
eW = {(x, y, z) ∈ R3;x = y = 0}.
Note queW é de fato um subespaço vetorial deR3 poisW = {(x, y, z) ∈ R3;x = 0}∩
{(x, y, z) ∈ R3; y = 0} ou, alternativamente, seu1 = (x1, y1, z1), u2 = (x2, y2, z2) ∈
W ent̃aox1 = y1 = x2 = y2 = 0 eu1 + u2 = (0, 0, z1 + z2) é claramente um elemento
deW.
Seλ ∈ R ent̃ao
λu1 = λ(0, 0, z1) = (λ0, λ0, λz1) = (0, 0, λz1) ∈ W.
Finalmente,(0, 0, 0) ∈ W, o que conclui a prova de queW é um subespaço vetorial.
Prosseguindo, dado(x, y, z) ∈ R3 podemos escrever
(x, y, z) = (x, y,−x − y) + (0, 0, z + x + y)
e como(x, y,−x − y) ∈ U e (0, 0, z + x + y) ∈ W obtemosR3 = U + W.
Resta agora mostrar queU ∩ W = {0}. Seja(x, y, z) ∈ U ∩ W. Temos





x + y + z = 0
x = 0
y = 0
⇐⇒ (x, y, z) = (0,0, 0).
Definição 2.21 SejamU1, . . . , Un subespaços vetoriais de um espaço vetorialV. A so-
ma deU1 a Un é definida por
U1 + · · · + Un = {u1 + · · · + un;uj ∈ Uj , j = 1, . . . , n}.
Definição 2.22 SejamU1, . . . , Un subespaços vetoriais de um espaço vetorialV. Dize-
mos que a soma deU1 a Un é uma soma direta se
Uj ∩ (U1 + · · · + Uj−1 + Uj+1 + · · · + Un) = {0}, j = 1, . . . n.
Neste caso usaremos a notaçãoU1 ⊕ · · · ⊕ Un para denotar a soma deU1 a Un.
Observaç̃ao 2.23 É óbvio que
0 ∈ Uj ∩ (U1 + · · · + Uj−1 + Uj+1 + · · · + Un)
seU1, . . . , Un são subespaços vetoriais.
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20 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
Proposiç̃ao 2.24 SejamU1, . . . , Un subespaços vetoriais de um espaço vetorialV. En-
tãoV = U1⊕· · ·⊕Un se e somente se para cadav ∈ V existe, para cadaj = 1, . . . , n,
umúnicouj ∈ Uj tal quev = u1 + · · · + un.
Prova: A provaé ańalogaà da proposiç̃ao2.19.
Exemplo 2.25 Mostre queP2 é soma direta dos seguintes subespaços vetoriaisU1 =
{a0; a0 ∈ R}, U2 = {a1x; a1 ∈ R} eU3 = {a2x2; a2 ∈ R}.
Dadop(x) ∈ P2, temosp(x) = a0+a1x+a2x2, para certos coeficientesa0, a1, a2 ∈ R.
Assim,P2 = U1 + U2 + U3.
Verifiquemos que a somáe direta.
1. Mostremos queU1 ∩ (U2 + U3) = {0}. Sejap(x) ∈ U1 ∩ (U2 + U3). Ent̃ao
existema0, a1, a2 ∈ R tais quep(x) = a0 = a1x + a2x2. Sep(x) não fosse
o polinômio nulo teŕıamos um polin̂omio de grau 0,a0, coincidindo com um de
grau no ḿınimo 1,a1x + a2x2, o queé um absurdo. Logo,p(x) = 0.
2. Mostremos queU2∩(U1+U3) = {0}. Sejap(x) ∈ U2∩(U1+U3). Ent̃ao existem
a0, a1, a2 ∈ R tais quep(x) = a1x = a0 + a2x2. Sep(x) não fosse o polin̂omio
nulo teŕıamos um polin̂omio de grau 1,a1x, coincidindo com um de grau 0 (caso
a2 = 0) ou 2,a0 + a2x2, (casoa2 6= 0), o queé um absurdo. Logo,p(x) = 0.
3. Mostremos queU3∩(U1+U2) = {0}. Sejap(x) ∈ U3∩(U1+U2). Ent̃ao existem
a0, a1, a2 ∈ R tais quep(x) = a2x2 = a0 + a1x. Sep(x) não fosse o polin̂omio
nulo teŕıamos um polin̂omio de grau 2,a2x2, coincidindo com um de grau 0 (caso
a1 = 0) ou 1,a0 + a1x, (casoa1 6= 0), o queé um absurdo. Logo,p(x) = 0.
2.3 Exerćıcios
Ex. 2.26 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjuntoW é um subespaço
vetorial do espaço vetorialV. Caso ñao sejam especificadas, as operações s̃ao as usuais.
1. V = M2(R), W =
{(
a b
−a c
)
; a, b, c,∈ R
}
.
2. V = R4, W = {(x, x, y, y);x, y ∈ R} .
3. V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p(0) = p(1)} .
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2.3. EXERĆICIOS 21
4. V = Mn(R), dadaB ∈ Mn(R), definaW = {A ∈ Mn(R);BA = 0} .
5. V = Rn, W = {(x1, x2, · · · , xn); a1x1 + · · · + anxn = 0} , onde a1, . . . , an ∈
R são dados.
6. V = Mn×1(R), W = {X ∈ Mn×1(R);AX = 0} , ondeA ∈ Mm×n é dada.
7. V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p′(t) = 0,∀t ∈ R} .
8. V = Mn(R), W =
{
A ∈ Mn(R);At = A
}
.
9. V = Mn(R), W =
{
A ∈ Mn(R);At = −A
}
.
Ex. 2.27 Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, jus-
tificando sua resposta. istóe, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo
se for falsa.
1. SeW1 eW2 são susbespaços de um espaço vetorialV ent̃aoW1∪W2 é subespaço
deV.
2. SejamW1 eW2 subespaços de um espaço vetorialV. Ent̃aoW1∪W2 é subespaço
deV se, e somente se,W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1. (Sugest̃ao: mostre que seW é
subespaço deV ex0, y0 ∈ V são tais quex0 ∈ W ey0 6∈ W ent̃aox0 + y0 /∈ W
e use-o.)
Ex. 2.28 Em cada item abaixo encontrar os subespaçosU + W e U ∩ W , ondeU, W
são subespaços do espaço vetorialV indicado.
1. U =
{
x, y) ∈ R2; y = 0
}
, W =
{
(x, y) ∈ R2;x = 2y
}
, V = R2.
2. U =
{(
a 0
0 b
)
; a, b ∈ R
}
, W =
{(
0 c
0 d
)
; c, d ∈ R
}
, V = M2(R).
3. V = P3(R), U = {p(t) ∈ V ; p′′(t) = 0} , W = {q(t) ∈ V ; q′(t) = 0} .
Ex. 2.29 Verifique em cada um dos itens abaixo seV = U ⊕ W.
1. V = R2, U =
{
(x, y) ∈ R2; 2x + 3y = 0
}
, W =
{
(x, y) ∈ R2;x − y = 0
}
.
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22 CAPÍTULO 2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
2. V = M3(R), U =





a b 0
0 0 c
0 0 d

 ; a, b, c, d ∈ R



,
W =





0 0 e
f g 0
h i 0

 ; e, f, g, h, i ∈ R



.
3. V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p(1) = p(0) = 0} ,
W = {q(t) ∈ P3(R); q′(t) = 0,∀t ∈ R} .
Ex. 2.30 Em cada um dos itens abaixo, dadoU subespaço deV , encontrar o subespaço
suplementar deU , isto é, o subespaçoW deV tal queV = U ⊕ W.
1. V = R3, U = {(x, y, 0);x, y ∈ R} .
2. V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p′′(t) = 0,∀t ∈ R} .
3. V = M3(R), U =
{
A ∈ M3(R);At = A
}
.
4. V = M2×1(R), U = {X ∈ M2×1(R);AX = 0} , ondeA =
(
1 1
0 1
)
.
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Caṕıtulo 3
Combinações Lineares
3.1 Introdução e Exemplos
Definição 3.1 Sejamu1, . . . , un elementos de um espaço vetorialV. Dizemos queu é
combinaç̃ao linearde u1, . . . , un se existirem ńumeros reaisα1, . . . , αn tais queu =
α1u1 + · · · + αnun
Exemplo 3.2 EmP2, o polinômiop(x) = 2 + x2 é uma combinaç̃ao dos polin̂omios
p1(x) = 1, p2(x) = x ep3(x) = x2.
Basta ver quep(x) = 2p1(x) + 0p2(x) + p3(x).
Exemplo 3.3 Verifique que emP2, o polinômiop(x) = 1 + x2 é uma combinaç̃ao dos
polinômiosq1(x) = 1, q2(x) = 1 + x e q3(x) = 1 + x + x2.
Precisamos encontrar números reaisα, β eγ tais quep(x) = αq1(x)+βq2(x)+γq3(x).
Ou seja, precisamos encontrarα, β eγ satisfazendo
1 + x2 = α + β(1 + x) + γ(1 + x + x2) = α + β + γ + (β + γ)x + γx2,
queé equivalente ao sistema





α + β + γ = 1
β + γ = 0
γ = 1
⇐⇒ α = 1, β = −1 eγ = 1.
23
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24 CAPÍTULO 3. COMBINAÇÕES LINEARES
3.2 Geradores
Definição 3.4 SejamV um espaço vetorial eS um subconjunto ñao vazio deV. Usare-
mos o śımbolo[S] para denotar o conjunto de todas as combinações lineares dos ele-
mentos deS. Em outras palavras,u ∈ [S] se existiremα1, . . . , αn ∈ R eu1, . . . , un ∈ S
tais queu = α1u1 + · · · + αnun.
Proposiç̃ao 3.5 SejamV um espaço vetorial eS um subconjunto ñao vazio deV. Então
[S] é um subespaço vetorial deV.
Prova:
1. ComoS 6= ∅ existeu ∈ S. Logo,0 = 0u ∈ [S].
2. Seu, v ∈ [S] ent̃ao existemα1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ R e u1, . . . , un, v1, . . . ,
vm ∈ S tais queu = α1u1 + · · · + αnun ev = β1v1 + · · ·+ βmvm. Assim, para
todoλ ∈ R, temos
u + λv = α1u1 + · · · + αnun + λ(β1v1 + · · · + βmvm)
= α1u1 + · · · + αnun + λβ1v1 + · · · + λβmvm ∈ [S].
Definição 3.6 SejamS eV como acima. Diremos que[S] é o subespaço vetorial gerado
por S. Os elementos deS são chamados degeradoresde [S]. SeS = {u1, . . . , un}
tamb́em usaremos a notação [S] = [u1, . . . , un].
Proposiç̃ao 3.7 SejamS eT subconjuntos ñao-vazios de um espaço vetorialV. Temos
1. S ⊂ [S];
2. SeS ⊂ T ent̃ao [S] ⊂ [T ];
3. [[S]] = [S];
4. SeS é um subespaço vetorial entãoS = [S];
5. [S ∪ T ] = [S] + [T ].
Prova:
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3.2. GERADORES 25
1. Seu ∈ S ent̃aou = 1u ∈ [S];
2. Seu ∈ [S] ent̃ao existemα1, . . . , αn ∈ R eu1, . . . , un ∈ S tais queu = α1u1 +
· · · + αnun. ComoS ⊂ T temosu1, . . . , un ∈ T e, portanto,u ∈ [T ];
3. Pelo item 1 desta proposição,[S] ⊂ [[S]]. Sejau ∈ [[S]]. Segue da definiç̃ao que
u é uma combinaç̃ao linear de elementos de[S], mas como cada elemento de[S] é
uma combinaç̃ao linear de elementos deS resulta queu é uma combinaç̃ao linear
de elementos deS, ou seja,u ∈ [S];
4. Pelo item 1,S ⊂ [S]. Sejau ∈ [S]. Ent̃aou é uma combinaç̃ao linearde elementos
deS. ComoS é um subespaço vetorial, esta combinação linearé um elemento de
S;
5. Sejau ∈ [S ∪ T ]. Por definiç̃ao, existemα1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ R e u1, . . . ,
un ∈ S ev1, . . . , vm ∈ T tais que
u = α1u1 + · · · + αnun + β1v1 + · · · + βmvm
= (α1u1 + · · · + αnun) + (β1v1 + · · · + βmvm) ∈ [S] + [T ].
Reciprocamente, seu ∈ [S] + [T ] ent̃aou = v +w comv ∈ [S] ew ∈ [T ]. Dessa
forma, existemα1, . . . , αp, β1, . . . , βq ∈ R e v1, . . . , vp ∈ S e w1, . . . , wq ∈ T
tais que
u = v + w = α1v1 + · · · + αpvp + β1w1 + · · · + βqwq ∈ [S ∪ T ].
Definição 3.8 Dizemos que um espaço vetorialV é finitamente geradose existir um
subconjunto finitoS ⊂ V tal queV = [S].
São exemplos de espaços vetoriais finitamente gerados:
1. Pn(R) = [1, x, . . . , xn];
2. Rn é gerado pore1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).
3. Mm×n(R) é gerado pelas matrizesEkl = (δ
(k,l)
i,j ), k = 1, . . . , m, l = 1, . . . n,
onde
δ
(k,l)
i,j =
{
1 se(i, j) = (k, l)
0 caso contŕario .
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26 CAPÍTULO 3. COMBINAÇÕES LINEARES
Exemplo 3.9 SejaP(R) o espaço vetorial formado por todos os polinômios. Afirma-
mos queP(R) não é finitamente gerado.
Note quePn(R) ⊂ P(R) para todon ∈ N. SeP(R) fosse finitamente gerado existi-
riam polin̂omiosp1(x), . . . , pn(x) tais queP(R) = [p1(x), . . . , pn(x)]. SejaN o grau
mais alto dentre os polinômiosp1(x), . . . , pn(x). É evidente quexN+1 não pode ser es-
crito como combinaç̃ao linear dep1(x), . . . , pn(x) e, assim,xN+1 6∈ [p1(x), . . . , pn(x)]
= P(R). Uma contradiç̃ao.
Note que[1, x, x2, . . . ] = Pn(R).
Exemplo 3.10 SejaV um espaço vetorial gerado poru1, . . . , un. Mostre que se, por
exemplo,u1 é uma combinaç̃ao linear deu2, . . . , un ent̃aoV é gerado poru2, . . . , un.
Devemos mostrar que qualqueru ∈ V se escreve como uma combinação linear de
u2, . . . , un. Sabemos que existemα1, . . . , αn ∈ R tais queu = α1u1 + · · · + αnun
e existem tamb́emβ1, . . . , βn−1 satisfazendou1 = β1u2 + · · · + βn−1un. Combinando
estas informaç̃oes, obtemos
u = α1(β1u2 + · · · + βn−1un) + α2u2 + · · · + αnun
= (α1β1 + α2)u2 + · · · + (α1βn−1 + αn)un ∈ [u2, . . . , un].
Exemplo 3.11 SejamU = {(x, y, z, t) ∈ R4;x − y + t + z = 0} eV = {(x, y, z, t) ∈
R
4;x+y−t+z = 0}. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços
vetoriais:U, V, U ∩ V eU + V.
1. Se(x, y, z, t) ∈ U ent̃aoy = x + z + t e, portanto,
(x, y, z, t) = (x, x + z + t, z, t) = x(1, 1, 0, 0) + z(0, 1, 1, 0) + t(0, 1, 0, 1),
isto é,
U = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)].
2. Se(x, y, z, t) ∈ V ent̃aot = x + y + z e, portanto,
(x, y, z, t) = (x, y, z, x + y + z) = x(1, 0, 0, 1) + y(0, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1),
isto é,
V = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)].
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3.3. EXERĆICIOS 27
3. Se(x, y, z, t) ∈ U ∩ V ent̃ao
{
x − y + t + z = 0
x + y − t + z = 0,
que implica emx = −z e y = t. Desse modo,(x, y, z, t) = (x, y,−x, y) =
x(1, 0,−1, 0) + y(0, 1, 0, 1) e, portanto,
U ∩ V = [(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 1)].
4. ComoU + V = [U ] + [V ] = [U ∪ V ], temos que
U + V = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1),
(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]
= [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)].
Observe que
(1, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 1) + (0, 1, 1, 0) − (0, 0, 1, 1)
e, portanto,
U + V = [(0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)].
Veremos mais adiante que esteé o ńumero ḿınimo de geradores para o subespaço
U + V.
3.3 Exerćıcios
Ex. 3.12 Para cada um dos subconjuntosS ⊆ V , ondeV é o espaço vetorial indicado,
encontrar o subespaço gerado porS, isto é, [S].
1. S = {(1, 0), (2,−1)} , V = R2.
2. {(1, 1, 1), (2, 2, 0)} , V = R3.
3. S =
{
1, t, t2, 1 + t3
}
, V = P3(R).
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28 CAPÍTULO 3. COMBINAÇÕES LINEARES
4. S =
{(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
−1 0
)}
, V = M2(R).
Ex. 3.13 Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjuntoS, finito, que gera o
subespaço vetorialW do espaço vetorialV.
1. W =
{
(x, y, z) ∈ V .= R3;x − 2y = 0
}
.
2. W = {p ∈ V .= P3(R); p′(t) = 0,∀t ∈ R} .
3. W =
{
A ∈ V .= M2(R);At = A
}
.
4. W = {X ∈ V .= M3×1(R);AX = 0} , onde
A =


0 1 0
2 1 0
1 1 4

 .
Ex. 3.14 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntosS do espaço vetorial
V que geramU , W , U ∩ W eU + W.
1. U = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)], W = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)], V = R3.
2. U =
{
(x, y, z) ∈ R3;x + y = 0
}
, W = [(1, 3, 0), (0, 4, 6)], V = R3.
3. U =
{
A ∈ M2(R);At = A
}
, W = [
(
1 1
0 1
)
], V = M2(R).
4. U = [t3 + 4t2 − t + 3, t3 + 5t2 + 5, 3t3], W = [t3 + 4t,t − 1, 1], V = P3(R).
Ex. 3.15 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntosS do espaço vetorial
V que geramU , W , U ∩ W eU + W.
1. U = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)], W = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)], V = R3.
2. U =
{
(x, y, z) ∈ R3;x + y = 0
}
, W = [(1, 3, 0), (0, 4, 6)], V = R3.
3. U =
{
A ∈ M2(R);At = A
}
, W = [
(
1 1
0 1
)
], V = M2(R).
4. U = [t3 + 4t2 − t + 3, t3 + 5t2 + 5, 3t3], W = [t3 + 4t,t − 1, 1], V = P3(R).
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3.3. EXERĆICIOS 29
Ex. 3.16 Obtenha o subconjunto formado por vetores do espaço vetorialP3(R) que
geram os seguintes subespaços;
1. U = {p ∈ P3(R); p(1) = p(0) = 0} ,
2. W = {p ∈ P3(R); p′′(t) = 0,∀t ∈ R} ,
3. U ∩ W.
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30 CAPÍTULO 3. COMBINAÇÕES LINEARES
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Caṕıtulo 4
Depend̂encia Linear
4.1 Introdução e Exemplos
Definição 4.1 Dizemos que uma seqüência de vetoresu1, . . . , un de um espaço vetorial
V é linearmente independente (l.i., abreviadamente) se a combinação linear α1u1 +
· · · + αnun = 0 só for satisfeita quandoα1 = · · · = αn = 0.
Observaç̃ao 4.2 Note que seα1 = · · · = αn = 0 ent̃ao α1u1 + · · · + αnun = 0,
porém, a rećıproca nem semprée v́alida. Basta ver que, por exemplo, emR2 temos
(0, 0) = 1(1, 1) + 1(−1,−1).
Observaç̃ao 4.3 A noç̃ao de independ̂encia linear para a seq̈uênciau1, . . . , un equivale
a dizer que seβi 6= 0 para algumi ∈ {1, . . . , n} ent̃aoβ1u1 + · · · + βnun 6= 0.
Definição 4.4 Dizemos que uma seqüênciau1, . . . , un de um espaço vetorialV é line-
armente dependente (l.d., abreviadamente) se não for linearmente independente.
Observaç̃ao 4.5 A definiç̃ao de depend̂encia linear para a seq̈uênciau1, . . . , un é equi-
valente a dizer quée posśıvel encontrar ńumeros reaisα1, . . . , αn não todos nulos tais
queα1u1 + · · · + αnun = 0.
Exemplo 4.6 O, u1, . . . , un ⊂ V é uma seq̈uência l.d., ondeO é o elemento neutro do
espaço vetorialV.
Basta verificar que1O + 0u1 + · · · + 0un = O.
31
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32 CAPÍTULO 4. DEPENDÊNCIA LINEAR
Exemplo 4.7 Verifique se a seq̈uência (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) é linearmente inde-
pendente emR3.
É preciso verificar quais são as posśıveis soluç̃oes de
α(1, 1, 1) + β(1, 1, 0) + γ(1, 0, 0) = (0, 0, 0).
Isto equivale a resolver o sistema





α + β + γ = 0
α + β = 0
γ = 0,
que possui comóunica soluç̃ao,α = β = γ = 0. Logo, a seq̈uência acimáe l.i..
Exemplo 4.8 Considere os vetores emR3 dados por
u1 = (x1, y1, z1), u2 = (x2, y2, z2) e u3 =(x3, y3, z3).
Encontre uma condiç̃ao necesśaria e suficiente para que os vetoresu1, u2, u3 sejam
linearmente independentes.
Vejamos, os vetores acima serão l.i. se e somente seα1u1+α2u2+α3u3 = 0 apresentar
comoúnica soluç̃aoα1 = α2 = α3 = 0. Isto é equivalente a que o sistema





α1x1 + α2x2 + α3x3 = 0
α1y1 + α2y2 + α3y3 = 0
α1z1 + α2z2 + α3z3 = 0
possua soluç̃aoúnica e, como se sabe, istoé equivalente que a matriz


x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3


possua determinante diferente de zero. Note que as colunas desta matriz são formadas
pelos coeficientes deu1, u2 eu3. O mesmo resultado vale se colocarmos os coeficientes
dos vetoresu1, u2 eu3 como linhas. Por qûe?
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4.1. INTRODUÇÃO E EXEMPLOS 33
Exerćıcio 4.9 Enuncie e demonstre um resultado análogo ao exemplo anterior para
uma seq̈uência comn vetores doRn.
Exemplo 4.10 Verifique se as matrizes
(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 1
)
,
(
0 1
0 0
)
são linearmente independentes emM2(R).
Procuremos as soluções de
α
(
1 0
0 1
)
+ β
(
1 1
0 1
)
+ γ
(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
,
que equivale a
(
α + β β + γ
0 α + β
)
=
(
0 0
0 0
)
,
que possui como solução (α, β, γ) = (α,−α, α) para qualquerα ∈ R. Dessa forma,
a seq̈uência de matrizes dadaé linearmente dependente, bastando tomar, por exemplo,
α = 1, β = −1 eγ = 1.
Exemplo 4.11 Verifique se as funçõescos e sen são l.d. emC1(R; R).
Comocos e sen são funç̃oes definidas emR, a combinaç̃ao nula
α cos+β sen = 0
significa queα cos x + β sen x = 0 para todox ∈ R. Em particular, parax = 0 vemos
queα = 0 e parax = π/2, vemβ = 0. Portanto,cos e sen são l.i..
Exemplo 4.12 Verifique se as funçõescos2, sen 2, 1 são l.d. emC1(R; R).
Como
1 − cos2 x − sen 2x = 0, para todox ∈ R,
resulta que as funções acima s̃ao l.d..
Exerćıcio 4.13 Sejamf(x) = cos 2x, g(x) = cos2 x e h(x) = sen 2x, x ∈ R. Mostre
quef, g, h são linearmente dependentes emC1(R; R).
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34 CAPÍTULO 4. DEPENDÊNCIA LINEAR
4.2 Propriedades
Proposiç̃ao 4.14 Seu1, . . . , un são l.d. em um espaço vetorialV ent̃ao pelo menos um
destes vetores se escreve como combinação linear dos outros.
Prova: Precisamos mostrar que eu1, . . . , un são l.d. ent̃ao existemj ∈ {1, . . . , n} e
números reaisα1, . . . , αn−1 tais que
uj = α1u1 + · · · + αj−1uj−1 + αjuj+1 + · · · + αn−1un.
Comou1, . . . , un são l.d. existem ńumeros reaisβ1, . . . , βn não todos nulos tais que
β1u1 + · · · + βnun = 0. Desse modo, existej ∈ {1, . . . , n} tal queβj 6= 0 e, assim,
uj = −
β1
βj
u1 − · · · −
βj−1
βj
uj−1 −
βj+1
βj
uj+1 − · · · −
βn
βj
un.
Proposiç̃ao 4.15 Seu1, . . . , un emV são l.d. ent̃ao qualquer seq̈uência finita de vetores
deV que os contenha, também seŕa l.d..
Prova: Vamos mostrar que seu1, . . . , un, un+1, . . . , um ∈V são tais queu1, . . . , un são
l.d. ent̃aou1, . . . , un, un+1, . . . , um tamb́em s̃ao linearmente dependentes.
Como existem ńumeros reaisβ1, . . . , βn não todos nulos tais queβ1u1 + · · · +
βnun = 0, podemos escrever
β1u1 + · · · + βnun + 0un+1 + · · · + 0um = 0
sendo que nestáultima express̃ao nem todos os coeficientes são nulos.
Proposiç̃ao 4.16 Seu1, . . . , un, un+1, . . . , um são l.i. em um espaço vetorialV ent̃ao
qualquer subseq̈uência destes vetores tambémé l.i..
Prova: Basta mostrar que seu1, . . . , un, un+1, . . . , um são l.i. ent̃aou1, . . . , un tamb́em
são.
Suponha queβ1u1 + · · · + βnun = 0. Mas como
β1u1 + · · · + βnun = β1u1 + · · · + βnun + 0un+1 + · · · + 0um = 0
e estes vetores são l.i., segue queβ1 = · · · = βn = 0.
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4.3. EXERĆICIOS 35
Proposiç̃ao 4.17 Seu1, . . . , un são l.i. em um espaço vetorialV e u1, . . . , un, un+1
são l.d. ent̃aoun+1 é combinaç̃ao linear deu1, . . . , un.
Prova: Existemβ1, . . . , βn+1 não todos nulos tais que
β1u1 · · · + βnun + βn+1un+1 = 0.
Agora, seβn+1 = 0 ent̃ao a express̃ao acima ficaria
β1u1 · · · + βnun = 0.
Ora, os vetoresu1, . . . , un são l.i. e, assim, deverı́amos ter tamb́emβ1 = · · · = βn = 0.
Uma contradiç̃ao.
Proposiç̃ao 4.18 Sejamu1, . . . , un vetores l.i. em um espaço vetorialV. Então cada
vetorv ∈ [u1, . . . , un] se escreve de maneiraúnica comov = α1u1 + · · · + αnun.
Prova:
Basta mostrar que seα1u1 + · · · + αnun = β1u1 + · · · + βnun ent̃ao αj = βj ,
j = 1, . . . , n.
Temos
(α1 − β1)u1 + · · · + (αn − βn)un = 0
e comou1, . . . , un são l.i. ent̃aoαj − βj = 0, isto éαj = βj , para todoj = 1, . . . , n.
4.3 Exerćıcios
Ex. 4.19 Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o subconjuntoS do espaço vetorial
V é l.i. ou l.d.
1. S = {(1, 2), (−3, 1)} , V = R2.
2. S =
{
1 + t − t2, 2 + 5t − 9t2
}
, V = P2(R).
3. S =
{(
−1 1
0 0
)
,
(
2 0
−1 0
)}
, V = M2(R).
4. S = {(1, 2, 2,−3), (−1, 4,−2, 0)} , V = R4.
5. S =





1 2 0
3 0 1
0 0 2

 ,


−1 −1 −1
0 0 0
1 1 1

 ,


0 0 0
10 5 7
−1 0 1





, V = M3(R).
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36 CAPÍTULO 4. DEPENDÊNCIA LINEAR
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Caṕıtulo 5
Base, Dimens̃ao e Coordenadas
5.1 Base
Definição 5.1 SejaV 6= {0} um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base deV é
uma seq̈uência de vetores linearmente independentesB deV que tamb́em geraV.
Exemplo 5.2 Os vetores deB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} formam uma base deR3.
Vê-se facilmente que os vetores deB são l.i. e que todo(x, y, z) ∈ R3 se escreve como
(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).
Exemplo 5.3 Os vetorese1, · · · , en ∈ Rn ondee1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0,
. . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) formam uma base deRn.
Ex. Resolvido 5.4Mostre que(1, 1) e (1,−1) formam uma base deR2.
Resoluç̃ao: É preciso mostrar que estes vetores são l.i. e que todo ponto deR2 se
escreve como combinação linear de(1, 1) e(1,−1). No entanto, se mostrarmos que todo
ponto deR2 se escrevede maneiráunicacomo combinaç̃ao linear de(1, 1) e (1,−1) já
estaremos mostrando as duas propriedades ao mesmo tempo. (Por quê?)
Seja(x, y) ∈ R2. O nosso problema se resume em mostrar que existe umúnico
α ∈ R e umúnicoβ ∈ R satisfazendo(x, y) = α(1, 1) + β(1,−1) = (α + β, α − β).
Estaúltima express̃aoé equivalente ao seguinte sistema linear
{
α + β = x
α − β = y.
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38 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
Resolvendo o sistema obtemos umaúnica soluç̃ao dada porα = (x + y)/2 e β =
(x − y)/2. ¤
Exemplo 5.5 As matrizes emB =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
formam
uma base paraM2(R).
Exerćıcio 5.6 Verifique se os elementos deB = {1 + x, 1 − x, 1 − x2} formam uma
base deP2(R).
Teorema 5.7 Todo espaço vetorialV 6= {0} finitamente gerado admite uma base. Em
outras palavras, h́a uma seq̈uência de vetores l.i. deV formada por geradores.
Prova: ComoV 6= {0} é finitamente gerado existemu1, . . . , un ∈ V tais queV =
[u1, . . . , un]. Seu1, . . . , un forem l.i., ent̃ao esta seq̈uênciaé uma base deV e ñao h́a
nada mais a ser provado.
Suponhamos queu1, . . . , un sejam l.d.. Podemos supor queuj 6= 0, j = 1, . . . , m.
Como u1 6= 0, u1 é l.i. Agora, se todouj , j = 2, . . . , n puder se escrever como
combinaç̃ao linear deu1 ent̃aoV = [u1] e u1 é uma base deV. Caso isto ñao ocorra,
é porque existe algumuj , com2 ≤ j ≤ n tal queu1, uj são l.i.. Por simplicidade,
suponhamos que seja ou2, isto é, u1, u2 são l.i.. Bem, se todos os vetoresu3, . . . , un
forem combinaç̃oes lineares deu1 eu2 ent̃aoV = [u1, u2] eu1, u2 formam uma base de
V. Podemos repetir este processo e como o número de elementos deL = {u1, . . . , un}
é finito, ele finda. Desse modo, existe uma seqüência de vetores l.i. dentre os vetoresL
que geraV. Esta seq̈uência forma uma base deV.
5.2 Dimens̃ao
Teorema 5.8 Em um espaço vetorialV 6= {0} finitamente gerado toda base possui o
mesmo ńumero de elementos.
Prova: Sejamu1, . . . , un e v1, . . . , vm bases de um espaço vetorial finitamente gerado
V. Suponhamos quen > m e mostremos que isto implicará queu1, . . . , un são l.d., o
que contraria o fato de formarem uma base.
Como os vetoresv1, . . . , vm geramV podemos escrever para cada1 ≤ j ≤ n,
uj = α1jv1 + · · · + αmjvm.
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5.2. DIMENSÃO 39
Assim, a combinaç̃ao linear nulax1u1 + · · · + xnun = 0 é equivalente a
x1
(
m
∑
i=1
αi1vi
)
+ · · · + xn
(
m
∑
i=1
αinvi
)
= 0,
ou ainda,


n
∑
j=1
xjα1j

 v1 + · · · +


n
∑
j=1
xjαmj

 vm = 0.
Comov1, . . . , vm são l.i. ent̃ao
∑n
j=1 xjαij = 0 para todo1 ≤ i ≤ n. Estasm equaç̃oes
representam um sistema linear homogêneo comn incógnitas. Comon > m, existe uma
soluç̃ao ñao trivial, istoé, uma soluç̃aox1, . . . , xn onde pelo menos umxj é diferente
de zero. Assim,u1, . . . , un são l.d., uma contradição.
Definição 5.9 SejaV um espaço vetorial finitamente gerado. SeV = {0} definimos
a dimens̃ao deV como sendo0. SeV 6= {0} definimos a dimensão deV como sendo
o número de elementos de uma base qualquer deV. Usaremos o śımbolodimV para
designar a dimens̃ao deV.
Definição 5.10 Se um espaço vetorial não é finitamente gerado dizemos queV possui
dimens̃ao infinita.
Proposiç̃ao 5.11 Todo espaço vetorial de dimensão infinita possui uma infinidade de
vetores linearmente independentes.
Prova: SejaV um espaço vetorial de dimensão infinita. ClaramenteV 6= {0}. Selecione
u1 ∈ V, u1 6= 0. ComoV nãoé finitamente gerado,V 6= [u1]. Assim, podemos tomar
u2 ∈ V tal queu2 6∈ [u1]. Desta forma, os vetoresu1 eu2 são linearmente independen-
tes.
Suponha que tenhamos encontrado vetoresu1, . . . , un ∈ V linearmente independen-
tes. ComoV não é finitamente gerado,V 6= [u1, . . . , un] e, assim,́e posśıvel escolher
un+1 ∈ V tal queun+1 6∈ [u1, . . . , un], isto é, os vetoresu1, . . . , un, un+1 ∈ V são
linearmente independentes.
Em resumo, existe emV uma seq̈uência infinita de vetores linearmente independen-
tes.
A seguinte proposiç̃aoé um resultado da prova do teorema5.8.
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40 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
Proposiç̃ao 5.12 Em um espaço vetorial de dimensãom qualquer seq̈uência de vetores
com mais dem elementośe linearmente dependente.
Corolário 5.13 Todo subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita tam-
bém tem dimens̃ao finita.
Prova: SejaV um espaço vetorial de dimensão finita eW um subespaço vetorial de
V. SeW tivesse dimens̃ao infinita, pela proposição 5.11, existiria uma infinidade de
vetores linearmente independentes emW. Como estes vetores também s̃ao linearmente
independentes emV, o número deles deveria ser menor do que a dimensão deV (pela
proposiç̃ao5.12). Uma contradiç̃ao.
Exemplo 5.14 dim Rn = n.
Exemplo 5.15 A dimens̃ao deP(R) é infinita. Veja o exemplo3.9.
Exemplo 5.16 dimPn(R) = n + 1.
Basta notar que os polinômios1, x, . . . , xn formam uma base dePn(R).
Exemplo 5.17 dimMm×n(R) = mn.
Note que o as matrizes
Ak,l = (δ
k,l
i,j )1≤i≤m
1≤j≤n
,
k = 1, . . . , m, l = 1, . . . , n onde
δk,li,j =
{
1 se(i, j) = (k, l)
0 se(i, j) 6= (k, l)
formam uma base deMm×n(R).
Exerćıcio 5.18 A dimens̃ao do espaço das matrizes quadradas e simétricas de ordemn
én(n + 1)/2.
Teorema 5.19 (Completamento)SejaV um espaço vetorial de dimensãon. Se os veto-
resu1, . . . , ur são l.i. emV comr < n ent̃ao existemur+1, . . . , un tais queu1, . . . , ur,
ur+1, . . . , un formam uma base deV.
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5.3. DIMENSÃO DE SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 41
Prova: Como r < n existeur+1 ∈ V tal queu1, . . . , ur, ur+1 são l.i., pois caso
contŕario os vetoresu1, . . . , ur formariam uma base deV, o que é imposśıvel pois
dimV = n > r.
Ser + 1 = n ent̃aou1, . . . , ur, ur+1 formam uma base deV que cont́emL.
Ser + 1 < n ent̃ao é posśıvel encontrarur+2 ∈ V tal queu1, . . . , ur, ur+1, ur+2
são l.i., pois caso contrário a seq̈uênciau1, . . . , ur, ur+1 seria uma base deV, o queé
imposśıvel pois dimV = n > r + 1.
Repetindo os argumentos acima, encontramos vetoresur+1, ur+2, . . . , ur+k, onde
r + k = n, de forma que
u1, . . . , ur, ur+1, . . . , ur+k
são l.i. e, comodimV = n = r + k, segue que esta seqüência de vetoreśe uma base de
V que cont́em os vetoresu1, . . . , ur.
Exemplo 5.20 Encontre uma base doR3 que contenha o vetor(1, 1,−1).
Como a dimens̃ao deR3 é tr̂es, precisamos encontrar dois vetores,(a, b, c), (x, y, z),
que juntamente com(1, 1,−1) sejam l.i.. Poŕem, pelo exemplo4.8, sabemos que istóe
equivalente ao determinante de


1 a x
1 b y
−1 c z


queé dado porx(b + c)− y(a + c) + z(b− a) seja diferente de zero. Há uma infinidade
de possibilidades para que isto aconteça. Por exemplo, tomando(a, b, c) = (0, 1, 1) e
(x, y, z) = (0, 0, 1).
5.3 Dimens̃ao de Soma de Subespaços Vetoriais
Proposiç̃ao 5.21 SejaV um espaço vetorial de dimensão finita. SeU eW são subespa-
ços vetoriais deV ent̃ao
dim (U ∩ W ) + dim (U + W ) = dimU + dimW (5.22)
Prova: Lembre que todo subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem tam-
bém dimens̃ao finita.
Sejamv1, . . . , vm elementos de uma base deU∩W. Como estes vetores são l.i. e per-
tencem aU, pelo teorema5.19, existemu1, . . . , up ∈ U tais queu1, . . . , up, v1, . . . , vm
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42 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
formam uma base deU. Por outro lado,v1, . . . , vm tamb́em pertencem aW e pelo
mesmo teoremáe posśıvel encontrarw1, . . . , wq ∈ W de modo quew1, . . . , wq, v1,
. . . , vm formem uma base deW.
Com a notaç̃ao usada, temosdim (U ∩ W ) = m, dimU = m + p e dimW =
m + q. Sendo assim, a fim de mostrarmos que5.22é válida,é necesśario e, na verdade,
suficiente mostrar quedim (U + W ) = m + p + q. Para tanto, basta mostrarmos que os
vetores
u1, . . . , up, w1, . . . , wq, v1, . . . , vm (5.23)
formam uma base deU + W.
Mostremos primeiramente que eles geramU+W : dadov ∈ U+W existemu ∈ U e
w ∈ W tais quev = u + w. Comou é uma cominaç̃ao linear deu1, . . . , up, v1, . . . , vm
e w é uma cominaç̃ao linear dew1, . . . , wq, v1, . . . , vm segue quev = u + w é uma
cominaç̃ao linear deu1, . . . , up, v1, . . . , vm,1 , . . . , wq. Portanto,
U + W = [u1, . . . , up, v1, . . . , vm,1 , . . . , wq].
Verifiquemos que os vetores em5.23são l.i.. Suponha que
α1u1 + · · · + αpup + β1w1 + · · · + βqwq + δ1v1 + · · · + δmvm = 0, (5.24)
ou seja
U ∋ α1u1 + · · · + αpup + δ1v1 + · · · + δmvm = −β1w1 + · · · − βqwq ∈ W.
Logo,
−β1w1 − · · · − βqwq ∈ U ∩ W = [v1, . . . , vm].
Conseq̈uentemente, existemγ1, . . . , γm tais que
−β1w1 − · · · − βqwq = γ1v1 + · · · + γmvm,
ou seja,
β1w1 + · · · + βqwq + γ1v1 + · · · + γmvm = 0.
Comow1, . . . , wq, v1, . . . , vm são l.i., pois formam uma base deW, segue-se queγ1 =
· · · = γm = β1 = · · · = βq = 0. Assim, a equaç̃ao5.24se reduz a
α1u1 + · · · + αpup + δ1v1 + · · · + δmvm = 0
e comou1,. . . , up, v1, . . . , vm são l.i., pois formam uma base deU, segue-se que
α1 = · · · = αp = δ1 = · · · = δm = 0,
donde se conclui que os vetores de5.23são linearmente independentes.
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5.3. DIMENSÃO DE SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS 43
Corolário 5.25 SejaU um subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita
V. SedimU = dimV ent̃aoU = V.
Prova: Suponha que existau1 ∈ V comu1 6∈ U. ColoqueW = [u1]. ComoU ∩ W =
{0} e dimW = 1, segue da proposição5.21que
dim (U + W ) = dimU + 1 = dimV + 1 > dimV.
Um absurdo poisdim (U + W ) ≤ dimV.
Observaç̃ao 5.26 Note que seV, U e W são como na proposiç̃ao 5.21 e se aĺem do
mais tivermosV = U + W e dimU + dimW > dimV ent̃ao U ∩ W 6= {0}, isto é,
a somaU + W não é direta.
Bem, se fosseU ∩ W = {0} ent̃ao pela proposiç̃ao5.21teŕıamos
0 = dim (U ∩ W ) = dimU + dimW − dim (U + W )
= dimU + dimW − dimV > 0,
um absurdo.
Exemplo 5.27 SejamU = {p(x) ∈ P3(R); p(0) = p(1) = 0} e V = {p(x) ∈
P3(R); p(−1) = 0}. Encontre uma base paraU, V, U ∩ V eU + V.
U : Temos
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 ∈ U ⇐⇒ p(0) = p(1) = 0
⇐⇒
{
a0 = 0
a0 + a1 + a2 + a3 = 0
⇐⇒ p(x) = −(a2 + a3)x + a2x2 + a3x3 = a2(x2 − x) + a3(x3 − x).
Desse modo,U = [x2 − x, x3 − x] e estes polin̂omios s̃ao l.i. pois como cada um
tem um grau distinto do outro, nenhum pode ser múltiplo do outro. Assim,x2 −x
ex3 − x formam uma base deU.
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44 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
V :
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 ∈ V
⇐⇒ p(−1) = 0 ⇐⇒ a0 − a1 + a2 − a3 = 0
⇐⇒ p(x) = a0 + (a0 + a2 − a3)x + a2x2 + a3x3
= a0(1 + x) + a2(x
2 + x) + a3(x
3 − x).
Desse modo,V = [1 + x, x2 + x, x3 − x] e estes polin̂omios s̃ao l.i. pois como
cada um tem um grau distinto do outro, nenhum pode ser uma combinação linear
dos outros dois. Portanto,1 + x, x2 + x ex3 − x formam uma base deV.
U ∩ V :
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 ∈ U ∩ V ⇐⇒





a0 = 0
a0 + a1 + a2 + a3 = 0
a0 − a1 + a2 − a3 = 0
⇐⇒
{
a0 = a2 = 0
a1 = −a3
⇐⇒ p(x) = −a1(x3 − x).
Logo,x3 − x é uma base deU ∩ V.
U + V : Temosdim (U +V ) = 2+3−1 = 4 = dimP3(R). Pela proposiç̃ao5.25temos
queU + V = P3(R) e podemos tomar como base os polinômios1, x, x2 ex3.
Exemplo 5.28 Voltemos ao exemplo3.11. Sabemos que
U = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)]
V = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]
U ∩ V = [(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 1)]
U + V = [(0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]
Verifiquemos que os geradores acima são na verdade bases para os respectivos subespa-
ços vetoriais. Para tanto basta verificar que cada seqüência de vetores acimaé l.i..
Analisemos primeiramente paraU : se
α(1, 1, 0, 0) + β(0, 1, 1, 0) + γ(0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)
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5.4. COORDENADAS 45
ent̃ao
(α, α + β + γ, β, γ) = (0, 0, 0, 0)
que implica emα = β = γ = 0.
Vejamos agora o caso do subespaçoV : se
α(1, 0, 0, 1) + β(0, 1, 0, 1) + γ(0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)
ent̃ao
(α, β, γ, α + β + γ) = (0, 0, 0, 0)
que implica emα = β = γ = 0.
Passemos agora aU ∩ V : se
α(1, 0,−1, 0) + β(0, 1, 0, 1) = (α, β,−α, β) = (0, 0, 0, 0)
que implica emα = β = 0.
Pela proposiç̃ao 5.21 temos dim (U + V ) = 3 + 3 − 2 = 4. Como (0, 1, 1, 0),
(0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1) geramU + V segue-se do fato da dimensão deste
subespaço ser quatro que formam uma base paraU+V. Como a dimens̃ao deR4 tamb́em
eU + V ⊂ R4, temos pela proposição5.25queU + V = R4. Note que esta soma não
é direta.
5.4 Coordenadas
SejamV um espaço vetorial finitamente gerado eB uma base deV formada pelos ve-
toresu1, . . . , un. ComoB é uma base deV, todo elemento deu ∈ V se escreve como
α1u1 + · · · + αnun, com os coeficientesα1, . . . , αn ∈ R. Pela proposiç̃ao4.18, os co-
eficientesα1, . . . , αn são unicamente determinados pelo vetoru. Estes coeficientes são
denominados coordenas deu com relaç̃ao à baseB. Representaremos as coordenadas
deu com relaç̃aoà base como
uB =



α1
...
αn



B
ou, simplesmente, por



α1
...
αn



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46 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
quandoB estiver subentendida.
Exemplo 5.29 Mostre que os vetores(1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de
R
3. Encontre as coordenadas de(1, 2, 0) ∈ R3 com relaç̃ao à baseB formada pelos
vetores acima.
Já sabemos quedim R3 = 3. Para verificar se os vetores acima formam uma base deV,
basta verificar se eles são l.i.. Utilizando o exemplo4.8vemos que estes vetores são de
fato l.i. pois a matriz


1 0 0
1 1 0
1 1 1


possui determinante igual a1 6= 0.
Agora,
(1, 2, 0) = α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(0, 0, 1) = (α, α + β, α + β + γ)
queé equivalente ao sistema





α = 1
α + β = 2
α + β + γ = 0
cuja (́unica) soluç̃aoéα = 1, β = 1 eγ = −2. Desse modo, as coordenadas de(1, 2, 0)
com relaç̃aoà baseB são dadas por


1
1
−2


B
.
Exemplo 5.30 Mostre que os polin̂omios1, x, x2 − x formam uma base,B, deP2(R).
Encontre as coordenadas de1 + x + x2 com relaç̃ao à baseB. Encontre tamb́em as
coordenadas deste mesmo polinômio com relaç̃ao à baseC formada pelos polin̂omios
1, x ex2.
Pa verificar que1, x, x2 −x formam uma base deP2(R) basta mostrar cadap(x) =
a0 + a1x+ a2x
2 ∈ P2(R) se escreve de maneiraúnica como combinação linear de1, x
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5.5. EXERĆICIOS 47
ex2−x. Isto é equivalente a mostrar que a equaçãop(x) = α1+βx+γ(x2−x) possui
umaúnica soluç̃ao(α, β, γ) ∈ R3. A equaç̃ao acima se escreve como
a0 + a1x + a2x
2 = α + (β − γ)x + γx2,
queé equivalente ao sistema





α = a0
β − γ = a1
γ = a2,
que possui umáunica soluç̃ao dada porα = a0, β = a1 + a2, eγ = a2.
Com isso em m̃aos, vemos que as coordenadas de1 + x + x2 com relaç̃aoà baseB
são dadas por


1
2
1


B
.
Note que com relaç̃aoà baseC formada por1, x ex2 as coordenadas de1 + x + x2 são
dadas por


1
1
1


C
.
5.5 Exerćıcios
Ex. 5.31 Verificar em cada um dos casos se o subconjuntoB do espaço vetorialV é
uma base paraV.
1. B =
{
1, 1 + t, 1 − t2, 1 − t − t2 − t3
}
, V = P3(R).
2. B =
{(
1 1
0 0
)
,
(
2 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
0 2
)}
, V = M2(R).
3. B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)} , V = R4.
Ex. 5.32 Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço
W do espaço vetorialV.
1. W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4;x − y = 0 ex + 2y + t = 0
}
, V = R4.
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48 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
2. W = {X ∈ M2(R);AX = X} , ondeA =
(
1 2
0 1
)
, V = M2(R).
3. W = {p ∈ P2(R); p′′(t) = 0,∀t ∈ R} , V = P2(R).
Ex. 5.33 DadosU, W subespaços do espaço vetorialV determinar;
i) uma base e a dimensão deU.
ii) uma base e a dimensão deW.
iii) uma base e a dimensão deU + W.
iv) uma base e a dimensão deU ∩ W. nos seguintes casos;
1. U =
{
(x, y, z) ∈ R3;x + y + z = 0
}
, W = {(x, y, 0);x, y ∈ R} , V = R3.
2. U = {A ∈ M2(R); tr(A) = 0} , W =
{
A ∈ M2(R);At = −A
}
, V = M2(R).
tr(A) é a soma dos elementos da diagonal principal deA, chamado de traço de
A
3. U = {p(x) ∈ P2(R); p′(t) = 0} , W = {p(x) ∈ P2(R); p(0) = p(1) = 0} ,
V = P2(R).
Ex. 5.34 Determinar as coordenadas do vetoru = (−1, 8, 5) ∈ R3 em relaç̃ao a cada
uma das bases deR3 abaixo;
1. basecan̂onica
2. {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}
3. {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}
Ex. 5.35 Determinar as coordenadas dep(t) ∈ P3(R), dado porp(t) = 10 + t2 +
2t3, t ∈ R em relaç̃ao as seguintes bases deP3(R);
1. base can̂onica
2.
{
1, 1 + t, 1 + t + t2, 1 + t + t2 + t3
}
3.
{
4 + t, 2, 2 − t2, t + t3
}
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5.5. EXERĆICIOS 49
Ex. 5.36 Determinar as coordenadas do vetor
(
2 5
−8 7
)
∈ M2(R) em relaç̃ao as
seguintes bases deM2(R);
1. base can̂onica
2.
{(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
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50 CAPÍTULO 5. BASE, DIMENSÃO E COORDENADAS
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Caṕıtulo 6
Mudança de Base
6.1 Introdução, Exemplos e Propriedades
Como vimos no exemplo5.30as coordenadas de um elemento de um espaço vetorial
podem variar quando se consideram bases distintas. O que passaremos a estudar agora
é como esta mudança ocorre, ou seja, comoé posśıvel encontrar as coordenadas de um
vetor com relaç̃ao a uma base sabendo-se suas coordenadas com relação a uma outra.
SejaV um espaço vetorial finitamente gerado. SejamB e C bases deV formadas
pelos vetoresb1, . . . , bn e c1, . . . , cn, respectivamente. ComoB é uma base, existem
αij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n tais que
c1 = α11b1 + · · · + αn1bn
...
cn = α1nb1 + · · · + αnnbn.
Desta forma, as coordenadas dec1, . . . , cn, com relaç̃aoà baseB são, respectivamente,
c1B =



α11
...
αn1



B
, · · · , cnB =



α1n
...
αnn



B
.
Reunimos estas informações sobre as coordenadas dos vetores da baseC com relaç̃aoà
51
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52 CAPÍTULO 6. MUDANÇA DE BASE
baseB na seguinte matriz
MCB =



α11 · · · α1n
...
...
...
αn1 · · · αnn



,
cujas colunas s̃ao formadas pelas coordenas dec1, . . . , cn com relaç̃ao à baseB. A
matrizMCB é chamada de matriz mudança de base da baseB para a baseC.
Antes de mostrarmos a relação que existe entreMCB e as coordenadas de um dado ve-
tor com relaç̃aoàs basesB eC, vejamos como podemos encontrar a matriz de mudança
de base em um exemplo noR3.
Exemplo 6.1 Considere a baseB em R3 formada pelos vetores(1, 0, 1), (1, 1, 1) e
(1, 1, 2). Considere tamb́em a baseC formada pelos vetores(1, 0, 0), (0, 1, 0) e(0, 0, 1).
EncontreMCB .
Precisamos resolver
(1, 0, 0) = α11(1, 0, 1) + α21(1, 1, 1) + α31(1, 1, 2)
(0, 1, 0) = α12(1, 0, 1) + α22(1, 1, 1) + α32(1, 1, 2)
(0, 0, 1) = α13(1, 0, 1) + α23(1, 1, 1) + α33(1, 1, 2)
⇐⇒
(α11 + α21 + α31, α21 + α31, α11 + α21 + 2α31) = (1, 0, 0)
(α12 + α22 + α32, α22 + α32, α12 + α22 + 2α32) = (0, 1, 0)
(α13 + α23 + α33, α23 + α33, α13 + α23 + 2α33) = (0, 0, 1).
Um momento de reflex̃ao nos poupará um pouco de trabalho neste ponto. Note que cada
linha acima representa um sistema de três equaç̃oes com tr̂es inćognitas e que a matriz
associada a cada um destes sistemasé a mesma. O que muda são os nomes das variáveis
e o segundo membro. Utilizando como variáveisx, y e z, basta resolvermos o seguinte
sistema


1 1 1
0 1 1
1 1 2




x
y
z

 =


a
b
c


ondea, b, c ∈ R. O sistema acimáe equivalente a


1 1 1
0 1 1
0 0 1




x
y
z

 =


a
b
c − a


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6.1. INTRODUÇÃO, EXEMPLOS E PROPRIEDADES 53
cujaúnica soluç̃aoé dada porx = a − b, y = a + b − c ez = c − a.
Tomando(a, b, c) = (1, 0, 0) obtemos(α11, α21, α31) = (1, 1,−1).
Tomando(a, b, c) = (0, 1, 0) obtemos(α12, α22, α32) = (−1, 1, 0).
Tomando(a, b, c) = (0, 0, 1) obtemos(α13, α23, α33) = (0,−1, 1). Desta forma,
obtemos
MCB =


1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1

 .
Exerćıcio 6.2 Com as notaç̃oes do exemplo acima, encontreMBC .
Vejamos agora como as coordenadas de um vetor se relacionam com respeito a duas
bases de um espaço vetorial de dimensão finita.
SejamB e C bases de um espaço vetorial de dimensão finitaV formadas, respecti-
vamente, pelos vetoresb1, . . . , bn e c1, . . . , cn. Dado um vetorv emV sejam
vB =



x1
...
xn



B
e vC =



y1
...
yn



C
as suas coordenadas com relação às basesB e C, respectivamente. SeMCB = (αij)
representa a matriz de mudança da baseB para baseC, ent̃ao comocj =
∑n
i=1 αijbi,
j = 1, . . . , n, obtemos
v =
n
∑
i=1
xibi =
n
∑
j=1
yjcj =
n
∑
j=1
yj
(
n
∑
i=1
αijbi
)
=
n
∑
i=1


n
∑
j=1
αijyj

 bi
onde náultima igualdade invertemos a ordem da soma. Como os vetoresb1, . . . , bn são
l.i., segue-se quexi =
∑n
j=1 αijyj , i = 1, . . . , n. Poŕem, estaśultimasn equaç̃oes
podem ser escritas na seguinte fórmula matricial



α11 α12 · · · α1n
...
...
.. .
...
αn1 αn2 · · · αnn






y1
...
yn



=



x1
...
xn



,
ou mais simplesmente,
uB = M
C
B uC .
Resumiremos este resultado na seguinte
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54 CAPÍTULO 6. MUDANÇA DE BASE
Proposiç̃ao 6.3 SejamB eC bases de um espaço vetorial de dimensão finitaV. SeuB
e uC representam as coordenadas de um dado vetorv ∈ V com relaç̃ao às basesB e
C, respectivamente e seMCB é a matriz de mudança de base da baseB para a baseC
ent̃ao
vB = M
C
B vC .
Exemplo 6.4 Fixadoθ ∈ R, considere os vetores
u1 = (cos θ, sen θ) e u2 = (− sen θ, cos θ)
emR2. Mostre que estes vetores formam uma base,B, de R2 e encontre a matriz de
mudança desta base para a baseC formada pelos vetorese1 = (1, 0) e e2 = (0, 1).
Encontre as coordenadas do vetoru = ae1 + be2 com relaç̃ao à baseB.
Como a dimens̃ao deR2 é dois basta mostrar queu1 e u2 são l.i.. Seα(cos θ, sen θ)
+β(− sen θ, cos θ) = (0, 0) ent̃ao
{
α cos θ − β sen θ = 0
α sen θ + β cos θ = 0
⇐⇒ α = β = 0,
pois
det
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
= 1 6= 0.
A matrizMCB seŕa dada por(αij), onde
(1, 0) = α11(cos θ, sen θ) + α21(− sen θ, cos θ)
(0, 1) = α12(cos θ, sen θ) + α22(− sen θ, cos θ),
queé equivalente a
(1, 0) = (α11 cos θ − α21 sen θ, α11 sen θ + α21 cos θ)
(0, 1) = (α12 cos θ − α22 sen θ, α12 sen θ + α22 cos θ),
e como j́a visto antes, basta resolver o sistema
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)(
x
y
)
=
(
α
β
)
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6.1. INTRODUÇÃO, EXEMPLOS E PROPRIEDADES 55
cuja soluç̃aoé dada por
(
x
y
)
=
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)(
α
β
)
=
(
α cos θ + β sen θ
β cos θ − α sen θ
)
.
Fazendo(α, β) = (1, 0) obtemos(α11, α21) = (cos θ,− sen θ). Colocando(α, β) =
(0, 1), temos(α12, α22) = ( sen θ, cos θ). Assim,
MCB =
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)
.
Agora, seuB representa as coordenadas deu = ae1 + be2 com relaç̃ao à baseB e uC
as coordenadas do mesmo vetor com relaçãoà baseC, pela proposiç̃ao6.3temos
uB = M
C
B uC =
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
) (
a
b
)
=
(
a cos θ + b sen θ
b cos θ − a sen θ
)
.
Proposiç̃ao 6.5 SejamB, C eD bases de um espaço vetorialn dimensional. Temos
MDB = M
C
B M
D
C .
Prova: Sejamb1, . . . , bn os vetores deB, c1, . . . , cn os vetores deC e d1, . . . , dn os
vetores deD. Usando a notaç̃aoMCB = (αij), M
D
C = (βij) eM
D
B = (γij) vemos que
cj =
n
∑
i=1
αijbi, dk =
n
∑
j=1
βjkcj , dk =
n
∑
i=1
γikbi. (6.6)
Assim,
dk =
n
∑
j=1
βjkcj =
n
∑
j=1
βjk
(
n
∑
i=1
αijbi
)
=
n
∑
i=1


n
∑
j=1
αijβjk

 bi,comob1, . . . , bn são l.i., comparando com áultima express̃ao de6.6, obtemos
γik =
n
∑
j=1
αijβjk, 1 ≤ i, k ≤ n.
Resta apenas lembrar que o lado direito da expressão acima representa o elemento da
i-ésima linha e dak-ésima coluna da matrizMCB M
D
C . Portanto,M
D
B = M
C
B M
D
C .
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56 CAPÍTULO 6. MUDANÇA DE BASE
Proposiç̃ao 6.7 SejamB eC bases em um espaço vetorial den dimensionalV. Então a
matrizMCB possui inversa e esta inversaé dada porM
B
C , a matriz de mudança da base
C para a baseB.
Prova: Pela proposiç̃ao anterior temosMCB M
B
C = M
B
B eM
B
C M
C
B = M
C
C . resta mostrar
queMBB = M
C
C = I = (δij), onde
δij =
{
1 sei = j
0 caso contŕario,
é a matriz identidade de ordemn. É claro que basta mostrar queMBB = I e isto é
bem simples, pois seu1, . . . , un são os vetores da baseB ent̃aoMBB = (αij) satisfaz
uj =
∑n
i=1 αijui, j = 1, . . . , n. Ora, comou1, . . . , un são l.i., para cadaj = 1, . . . , n,
a única soluç̃ao de cada uma destas equaçõesé dada por
αij =
{
1 sei = j
0 caso contŕario,
ou seja,αij = δij .
Exerćıcio 6.8 Utilize a proposiç̃ao acima para refazer o exercı́cio 6.2.
6.2 Exerćıcios
Ex. 6.9 Considere as basesB = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de um espaço vetorial
V relacionadas da seguinte forma



g1 = e1 + e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
1. Determine as matrizes mudança da baseB para a baseC, isto é,MCB , e da base
C para a baseB, isto é,MBC .
2. Se a matriz das coordenadas do vetorv em relaç̃ao a baseB, istoé,(v)B, é dada
por


1
3
2

 encontre a matriz das coordenadas dev em relaç̃ao a baseC, isto é,
(v)C .
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6.2. EXERĆICIOS 57
3. Se a matriz das coordenadas do vetorv em relaç̃ao a baseC, istoé,(v)C , é dada
por


2
3
−1

 encontre a matriz das coordenadas dev em relaç̃ao a baseB, isto
é,(v)B.
Ex. 6.10 Considere as bases ordenadasB =
{
1, 1 + t, 1 + t2
}
e C =
{
1, t, t2
}
de
P2(R).
1. Encontre as matrizes de mudança da baseB para a baseC, istoéMCB , e da base
C para a baseB, isto éMBC .
2. Se(v)B =


1
−4
6

 encontre(v)C .
3. Se(v)C =


8
−1
3

 encontre(v)B.
4. SeD =
{
1, t, t2
}
é a base can̂onica deP2(R), encontre as matrizes de mudança
da baseB para a baseD e da baseD para a baseC, isto é, MBD e MDC ,
respectivamente.
Ex. 6.11 Considere o seguinte subespaço deM2(R);
W =
{(
x y
z t
)
∈ M2(R);x − y − z = 0
}
.
1. Mostre que
B =
{(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
e
C =
{(
1 0
1 0
)
,
(
0 −1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
são bases deW.
2. Encontre as matrizes de mudança da baseB para a baseC e da baseC para a
baseB, isto é,MCB eM
B
C , respectivamente.
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58 CAPÍTULO 6. MUDANÇA DE BASE
3. Encontre uma baseD deW , tal que a matriz
P =


1 1 0
0 0 2
0 3 1


seja a matriz de mudança da baseD para a baseB, isto é,P = MBD .
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Caṕıtulo 7
Exerćıcios Resolvidos – Uma
Revis̃ao
Ex. Resolvido 7.1Verifique seV = {(x, y, z, w) ∈ R4; y = x, z = w2} com as
operaç̃oes usuais deR4 é um espaço vetorial.
Resoluç̃ao: Note que(0, 0, 1, 1) ∈ V mas−1(0, 0, 1, 1) = (0, 0,−1,−1) 6∈ V. Assim,
V nãoé um espaço vetorial. ¤
Ex. Resolvido 7.2SejaA ∈ Mn(R) uma matriz quadrada de ordemn. Verifique se
W = {X ∈ Mn×1(R);AX = 0} é um subespaço vetorial deMn×1(R), com as
operaç̃oes usuais.
Resoluç̃ao:
1. SejaO = (0) a matrizn × 1 nula. ComoAO = O, temos queO ∈ W.
2. SeX, Y ∈ W eλ ∈ R, ent̃ao, pelas propriedades da soma e da multiplicação por
escalar usuais entre as matrizes e, também, pelas propriedades do produto entre
matrizes, temos
A(X + λY ) = AX + A(λY ) = AX + λAY = O + λO = O.
PortantoX + λY ∈ W.
Conclúımos queW é um subespaço vetorial deMn×1(R). ¤
59
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60 CAPÍTULO 7. EXERĆICIOS RESOLVIDOS – UMA REVIS̃AO
Ex. Resolvido 7.3Encontre o subespaço vetorial deP3(R) gerado porS = {1, t,
t2, 1 + t3}.
Resoluç̃ao: Note quet3 = (t3 + 1) − 1. Assim, dadop(t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ∈
P3(R) podemos escreverp(t) = (a0 − a3) + a1t + a2t2 + a3(t3 + 1) ∈ [S]. Logo,
P3(R) = [S]. ¤
Ex. Resolvido 7.4Encontre o subespaço vetorial deM2(R) gerado por
S =
{(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
−1 0
)}
Resoluç̃ao: Temos queA ∈ [S] se e somente se existemα, β ∈ R tais que
A = α
(
0 1
0 0
)
+ β
(
0 0
−1 0
)
=
(
0 α
−β 0
)
,
ou seja,A ∈ [S] se e somente se os elementos da diagonal principal deA são nulos. ¤
Ex. Resolvido 7.5Encontre um conjunto finito de geradores para
W = {X ∈ M3×1(R) : AX = 0},
onde
A =


0 1 0
2 1 0
1 1 4

 .
Resoluç̃ao:
X =


α
β
γ

 ∈ W ⇐⇒


0 1 0
2 1 0
1 1 4




α
β
γ

 =


0
0
0


⇐⇒


1 1 4
2 1 0
0 1 0




α
β
γ

 =


0
0
0

 ⇐⇒


1 1 4
0 −1 −4
0 1 0




α
β
γ

 =


0
0
0


⇐⇒


1 1 4
0 1 4
0 1 0




α
β
γ

 =


0
0
0

 ⇐⇒


1 1 4
0 1 4
0 0 −4




α
β
γ

 =


0
0
0


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61
⇐⇒


1 1 4
0 1 4
0 0 1




α
β
γ

 =


0
0
0

 ⇐⇒ α = β = γ = 0,
portanto,
W =





0
0
0





.
¤
Ex. Resolvido 7.6Encontre um conjunto finito de geradores para
W = {X ∈ M4×1(R) : AX = 0},
onde
A =




1 1 −1 0
2 0 1 1
3 1 0 1
0 −2 3 1




.
Resoluç̃ao:
X =




α
β
γ
δ




∈ W ⇐⇒




1 1 −1 0
2 0 1 1
3 1 0 1
0 −2 3 1








α
β
γ
δ




=




0
0
0
0




⇐⇒




1 1 −1 0
0 −2 3 1
0 −2 3 1
0 −2 3 1








α
β
γ
δ




=




0
0
0
0




⇐⇒




1 1 −1 0
0 −2 3 1
0 0 0 0
0 0 0 0








α
β
γ
δ




=




0
0
0
0




⇐⇒




1 1 −1 0
0 1 −3/2 −1/2
0 0 0 0
0 0 0 0








α
β
γ
δ




=




0
0
0
0




⇐⇒




1 0 1/2 1/2
0 1 −3/2 −1/2
0 0 0 0
0 0 0 0








α
β
γ
δ




=




0
0
0
0




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62 CAPÍTULO 7. EXERĆICIOS RESOLVIDOS – UMA REVIS̃AO
⇐⇒
{
α = −γ/2 − δ/2
β = 3γ/2 + δ/2
,
isto é,
X =




−γ/2 − δ/2
3γ/2 + δ/2
γ
δ




= γ




−1/2
3/2
1
0




+ δ




−1/2
1/2
0
1




,
portanto,
W =








−1/2
3/2
1
0




,




−1/2
1/2
0
1








.
¤
Ex. Resolvido 7.7Encontre uma base para o subespaço vetorial deR3 dado porU =
[(1, 0, 1), (1, 2, 0), (0, 2,−1)].
Resoluç̃ao: Primeiro Modo:(x, y, z) ∈ U se e somente se existemα, β, γ ∈ R tais que
α(1, 0, 1) + β(1, 2, 0) + γ(0, 2,−1) = (x, y, z),
ou seja,(x, y, z) ∈ U se e somente se o sistema abaixo admite solução


1 1 0
0 2 2
1 0 −1




α
β
γ

 =


x
y
z

 ⇐⇒


1 1 0
0 2 2
0 −1 −1




α
β
γ

 =


x
y
z − x




1 1 0
0 1 1
0 −1 −1




α
β
γ

 =


x
y/2
z − x

 ⇐⇒


1 1 0
0 1 1
0 0 0




α
β
γ

 =


x
y/2
z − x + y/2


⇐⇒


1 0 −1
0 1 1
0 0