Lista de exercícios Cálculo 2

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5a. Lista Cálculo 2 Turma B
1. Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em P = (2, 8) na direção de Q =
(5, 4).
2. Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 em P = (2, 1, 3) na direção
à origem.
3. (a) Mostre que uma função diferenciável f decresce mais depressa em ~x na direção e
sentido oposto à do vetor gradiente, ou seja, na direção −~∇f(~x).
(b) Utilize a parte (a) para determinar a direção e sentido onde f(x, y) = x4y − x2y3
decresce mais rápido no ponto (2,−3).
4. Determine todos os pontos nos quais a direção e sentido de maior variação da função
f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y é ~i +~j.
5. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do
centro da bola, que tomamos como sendo a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de
120o.
(i) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) em direção ao ponto (2, 1, 3).
(ii) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura
é dada pelo vetor que aponta para a origem.
6. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T (x, y, z) = 200e−x
2−3y2−9z2 , onde T é
medido em graus Celsius e x, y e z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P = (2,−1, 2) em direção ao
ponto (3,−3, 3).
(b) Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em P?
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .
7. Seja f(x, y) = x2 + 4y2, determine o vetor gradiente ~∇f(2, 1) e use-o para determinar a
reta tangente à curva de ńıvel da função f(x, y) = 8 no ponto (2, 1). Esboce as curvas de
ńıvel, reta tangente e vetor gradiente.
8. Mostre que a equação do plano tangente ao elipsóide x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 = 1 no ponto
(x0, y0, z0) pode ser escrita como
xx0
a2
+ yy0
b2
+ zz0
c2
= 1.
9. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao hiperbolóide
1
de equação x2 − 2y2 − 4z2 = 10 no ponto (4,−1, 1).
10. Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superf́ıcie de equação x2 + 3y2 +
3z2
2
= 18 no qual a reta normal é perpendicular ao plano x + y + z = 10.
11. Mostre que em todos os pontos da intersec cão da semiesfera de equação x2 +y2 +z2 =
16, z ≥ 0, com o cone de equação z =
√
x2 + y2, os vetores normais a essas superf́ıcies são
ortogonais.
12. Considere o elipsóide de equação x2 +2y2 +3z2 = 21. Encontre as equações dos planos
tangentes a esta superf́ıcie que são paralelos ao plano x + 4y + 6z = 30.
13. Considere a curva C de interseção das superf́ıcies de equações x2 − 2xz + y2z = 3 e
3xy − 2yz = −2. Determine:
(a) Um vetor tangente a C em (1,−2, 1).
(b) Os pontos do hiperbolóide x2 +y2−z2 +12 = 0, onde o plano tangente é perpendicular
ao vetor encontrado no item (a).
14. Sejam S1 e S2 as superf́ıcies definidas por x
2−y2+z2 = 1 e xy+xz = 2, respectivamente.
(a) Determine a equação do plano tangente a S1 em (1, 1, 1).
(b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S1 e S2 em (1, 1, 1).
(c) Mostre que a reta tangente encontrada no item (b) é tangente à superf́ıcie de equação
xyz − x2 − 6y + 6 = 0 no ponto (1, 1, 1).
15. Considere a função Seja
f(x, y) =
{
xy2
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
Mostre que:
(a) ∂f
∂x
(0, 0) = 0 e ∂f
∂y
(0, 0) = 0.
(b) Se g(t) = (at, bt), onde a, b 6= 0 então f ◦ g é diferenciável em t = 0, (f ◦ g)′(0) =
ab2
a2+b2
6= 0 mas ~∇f(0, 0) · g′(0) = 0.
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