Computação Gráfica aplicada a produção

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Computação Gráfica 
Aplicada à Produção
Computação Gráfica 
Aplicada à Produção
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Ivan Battastini
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Ângela da Rocha Rolla
Astomiro Romais
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Gedrat
Honor de Almeida Neto
Maria Cleidia Klein Oliveira
Maria Lizete Schneider
Luiz Carlos Specht Filho
Vinicius Martins Flores
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
ISBN: 978-85-5639-029-5
Dados técnicos do livro
Diagramação: Jonatan Souza
Revisão: Igor Campos Dutra
 
 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação – CIP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Setor de Processamento Técnico da Biblioteca Martinho Lutero – ULBRA/Canoas 
 
 
B335c Battastini, Ivan 
 Computação gráfica aplicada à produção / Ivan Battastini ; 
organizado por Universidade Luterana do Brasil. – Canoas: Ed. 
ULBRA, 2015. 
 227 p. : il. 
 
 
 1. Computação gráfica. 2. Produção. II. Universidade Luterana 
 do Brasil. II. Título. 
 
 
 CDU 681.3.92 
O homem utiliza o desenho para representar e transmitir o conheci-mento desde a pré-história, sendo essa uma das primeiras formas 
de expressar suas ideias. Dessa forma, através de gravuras traçadas nas 
paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados 
ao seu cotidiano.
A linguagem gráfica se tornou uma poderosa ferramenta gradativa-
mente aprimorada, sendo fundamental para a capacidade do raciocínio 
humano e para o desenvolvimento das civilizações antigas.
Os gregos herdaram dos Egípcios e babilônios seus conhecimentos 
de geometria, sobre os quais, na metade do século IV a.C., construíram 
um sistema científico no qual o desenho era elemento fundamental para a 
demonstração de teoremas.
No século XVII, surge na França, através de Gaspar Monge, a Geome-
tria Descritiva, que tem como objetivo ensinar a representar (projetar) sobre 
um plano os elementos do espaço (tridimensional) de modo a poder resol-
ver graficamente os problemas relativos a sua forma, grandeza e posição 
por meio de traçados. Mais tarde, com a revolução industrial, esse método 
foi fundamental para documentação de projetos, por meio da elaboração 
das vistas orográficas mediante o desenho técnico. Com isso, os projetos 
passaram a ser executados mais rapidamente nas pranchetas.
Com o advento da informática, surgem, na década de 80, os progra-
mas CAD – Computer Aided Design (Projeto Assistido por Computador), 
que nada mais são que pranchetas eletrônicas, que agilizam ainda mais 
a elaboração de projetos. Atualmente, os projetos para a área industrial, 
bem como para a construção civil, são concebidos utilizando computação 
gráfica.
Apresentação
Apresentação v
Este livro visa fazer com que o aluno exercite a linguagem gráfica e 
universal do desenho técnico através de convenções e normas técnicas 
necessárias à comunicação e interpretação de projetos de engenharia.
Nos primeiros capítulos, o aluno irá trabalhar com desenho à mão 
livre e com o instrumental de desenho, sendo dadas algumas abordagens 
em CAD. Isso porque muitas reuniões entre profissionais são realizadas em 
canteiros de obras ou em chãos de fábricas, com as informações sendo 
anotadas nas pranchetas e, posteriormente, passadas ao computador. Em 
seguida, o aluno será instrumentalizado a trabalhar com o AutoCAD V12, 
que é o CAD desenvolvido pela empresa Autodesk e do qual os alunos da 
Ulbra conseguem baixar uma licença educacional gratuitamente.
???????????Sumário
 1 Introdução/Desenho Geométrico ..........................................1
 2 Padronização de Folhas e Escalas........................................23
 3 Sistema Mongeano de Projeções .........................................41
 4 Desenho Técnico ................................................................63
 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas ........86
 6 Desenho Técnico – Cotagem .............................................102
 7 Desenho Técnico – Vistas Seccionadas ..............................124
 8 Desenho a CAD – Plataforma Gráfica ...............................143
 9 Desenho a CAD – Trabalhando com Coordenadas ............165
 10 Desenho a CAD – Esboço de uma Planta Baixa .................193
Introdução/Desenho 
Geométrico1
Introdução
Neste capítulo, aprenderemos noções de desenho geométrico 
por ele ser a base do desenho técnico. Dessa maneira, apren-
deremos conceitos fundamentais de desenho.
Abordaremos, também, o instrumental de desenho que ire-
mos utilizar em nosso aprendizado.
1 Graduado em Engenharia Civil. Mestre em Geotecnia. Professor do Curso de 
Engenharia Civil da Ulbra.
Ivan Battastini1
Capítulo 1
2 Computação Gráfica Aplicada à Produção
1. Breve histórico
Medir as terras e fixar os limites das propriedades era uma 
tarefa muito importante no Antigo Egito. Isso era feito toda vez 
que as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados an-
teriormente. Daí a origem da palavra geometria, criada pelos 
gregos: geo = terra, lugar ; metria = medição.
A partir do florescimento da Academia de Platão, na me-
tade do século IV a.C., surge “Os Elementos”, de Euclides, a 
mais antiga obra matemática grega a chegar até nós. Pouco 
se sabe de sobre Euclides, mas é bem provável que ele tenha 
recebido seus ensinamentos em Atenas com os discípulos de 
Platão.
"Os Elementos" abrangia toda a aritmética, álgebra e geo-
metria conhecidas até então no mundo grego, sistematizando 
todo o conhecimento geométrico dos antigos com admirável 
coerência e encadeamento lógico, através dos postulados de 
Euclides. Surgia ali a geometria Euclidiana, que ainda hoje 
tem influência sobre livros modernos de geometria. Essa obra, 
junto com a Bíblia, são considerados os livros mais reproduzi-
dos e estudados na história do mundo ocidental.
Na idade média moderna, século XV, pintores, arquitetos e 
artesãos se utilizavam dos estudos geométricos. Do século XVII 
em diante ocorreu a sistematização do desenho geométrico.
Nos dias de hoje, o desenho geométrico é considerado a 
base indispensável para o estudo de qualquer ramo do dese-
nho.
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 3
2. Conceitos fundamentais de desenho
Estes conceitos são oriundos dos Postulados de Euclides:
Ponto: é algo que não tem dimensão, sendo identificado 
por uma letra maiúscula latina. 
Figura 1 Modos de representações de pontos.
Linha: tem apenas uma dimensão, o comprimento, e é 
identificado por uma letra latina minúscula. A linha é gerada 
pelo deslocamento de um ponto sobre um plano, portanto, 
são necessários no mínimo dois pontos para traçar uma linha. 
Quando esse ponto não varia a sua direção, gera uma linha 
denominada Reta. A reta, assim como a linha, tem infinitos 
pontos. 
Figura 2 Modos de representações de linhas e retas.
Semirreta: é uma parte de uma reta que apresenta uma 
extremidade como limite e a outra é ilimitada.
Segmento de Reta: é uma porção da Reta.
4 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Plano: o plano é um objeto geométrico infinito de duas di-
mensões, identificado por uma letra grega minúscula. Modos 
de representação e determinação de planos (Figura 3):
 1. Ao possuir três pontos não colineares, determinamos um 
plano único que os contém.
 2. Uma reta e um ponto não pertencem a ele, determinam um 
único plano que os contém.
Figura 3 Modos de representações de planos.
 3. Determinamos um único plano por duas retas concorrentes 
(Figura 4).
 4. Determinamos um único plano atravésde duas retas para-
lelas distintas (Figura 4).
Figura 4 Modos de representações de planos.
Lugar Geométrico: é a linha cujos pontos têm todos uma 
mesma propriedade e são os únicos a terem tal propriedade.
Poligonal: é um conjunto de segmentos de retas consecu-
tivos e não pertencentes à mesma reta (Figura 5).
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 5
Polígono: é uma poligonal fechada. Se os lados tiverem 
o mesmo tamanho e os ângulos (internos ou externos) forem 
iguais, é denominado polígono regular. Todo polígono regular 
está inscrito em uma circunferência (Figura 5).
Figura 5 1 - Poligonal; 2 - Polígono.
Ângulos: um ângulo é definido pelo encontro de duas se-
mirretas denominadas lados e unidas por um vértice. A super-
fície limitada por esses lados recebe o nome de abertura. Um 
ângulo é identificado por uma letra grega minúscula ou por 
meio de 3 pontos (Figura 6).
Figura 6 Representação de ângulos.
Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos de um 
plano equidistantes de um ponto fixo. O ponto fixo é o centro 
6 Computação Gráfica Aplicada à Produção
da circunferência(O) e a equidistância equivale ao raio ( R ). 
Já o diâmetro( Ø ) equivale ao dobro do raio, Ø = 2R (Figuras 
7 e 8).
Figura 7 Figura 8
Elementos geométricos relacionados a uma circunferência 
(Figura 8):
t = reta tangente – intercepta a circunferência somente em 
um ponto, sempre perpendicular ao raio.
T = ponto de tangência.
s = reta secante – intercepta a circunferência em dois pon-
tos, suporte da corda.
 = Corda – parte da secante que une dois pontos 
quaisquer da circunferência.
 = Flecha – porção do raio perpendicular a corda.
 = Arco – é uma parte qualquer da circunferência.
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 7
3. Construções de desenhos geométricos
Para podermos desenhar e projetar, utilizando ou não os recur-
sos da computação gráfica, não basta somente conhecermos 
as figuras geométricas: devemos, também, saber interagir com 
elas. Por isso, a construção de desenhos geométricos é algo de 
suma importância ao aprendizado da linguagem gráfica.
3.1 Construções fundamentais
Mediatriz (mtz): É a reta que passa perpendicularmente pelo 
ponto médio (meio, metade) de um segmento, dividindo este 
em duas partes iguais (Figura 9).
Figura 9 Representação de uma mediatriz (mtz).
A reta r é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 
A e B, logo, é a mediatriz de A e B e, portanto, perpendicular 
ao segmento .
M é denominado ponto médio de .
8 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Construção de uma mediatriz (mtz): 
Figura 10 Construção de uma mediatriz (mtz)
Convenções a serem utilizadas:
PS = Ponta seca do Compasso.
R = Abertura do Compasso = Raio.
 1. PS em A, R maior ou igual a metade de , traça-se um 
arco.
 2. PS em B, mesmo R, traça-se outro arco.
 3. Na interseção dos arcos, marcam-se os pontos C e D , 
traça-se a mtz e marca-se o ponto M.
Triângulo Equilátero: O triângulo equilátero é um polígo-
no de três lados com as seguintes características: lados iguais 
e ângulos internos iguais a 60° (Figura 11).
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 9
Figura 11 Triângulo equilátero
 Construção de um triângulo equilátero, dado um de 
seus lados( ):
Figura 12 Construção de um triângulo equilátero, dado um de 
seus lados( )
 1. PS em A, R = , traça-se um arco.
 2. PS em B, mesmo R, traça-se outro arco, e marca-se o ponto C.
 3. Desenha-se o triângulo equilátero de vértices A, B e C.
A mesma construção pode ser feita mediante o uso dos 
esquadros a 60°, conforme mostra a Figura 13.
10 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 13
Quadrado: O quadrado é um polígono de quatro lados 
com as seguintes características: lados iguais, diagonais iguais 
e perpendiculares entre si e ângulos internos iguais a 90° (Fi-
gura 14).
Figura 14
Construção de um quadrado, conhecendo-se uma de 
suas diagonais:
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 11
Figura 15
 1. Traça-se a mtz da diagonal .
 2. PS em M, R = , traça-se uma circunferência e 
marcam-se os pontos C e D.
 3. Desenha-se o quadrado de vértices A, B, C e D.
Bissetriz (btz): É a semirreta que, passando pelo vértice, 
divide o ângulo em dois outros iguais (Figuras 16 e 17).
Figura 16 Bissetriz Figura 17 Bissetrizes consecutivas
Construção de uma bissetriz (btz): (Figura 18).
12 Computação Gráfica Aplicada à Produção
 1. PS em V , R qualquer, traça-se um arco e marca-se os pon-
tos A e B.
 2. PS em A, R qualquer, traça-se um arco.
 3. PS em B, R = mesma abertura, traça-se outro arco, marca-se 
o ponto C no encontro dos arcos e traça-se a semirreta btz.
Figura 18
O Brasil adotou o sistema sexagesimal de divisão de arcos. 
Esse sistema divide a circunferência em 360 partes iguais e 
cada parte é chamada de GRAU ( ° ). O grau é dividido em 60 
minutos( ’ ) e o minuto é dividido em 60 segundos( ” ).
Assim: 1° = 60’ ; 1’ = 60” ; Ex: 55°18’14” (Figura 19).
Figura 19
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 13
3.2 Concordâncias
Chama-se concordância de duas linhas curvas ou de uma reta 
com uma curva a ligação entre elas executadas de tal forma 
que se possa passar de uma para outra de uma forma harmo-
niosa e gradativa.
Princípios fundamentais:
3.2.1 Para concordar um arco com uma reta, é necessário 
que o ponto de concordância P e o centro do arco 0 
estejam ambos sobre uma mesma perpendicular à reta. 
Exemplo: arco de raio dado com reta dada (Figura 20).
Figura 20
 1. Define-se o ponto de concordância P.
 2. Traça-se uma perpendicular pelo ponto de concordância, e 
marca-se o ponto 0, centro do arco.
 3. PS em 0, R = , traça-se o arco executando-se a con-
cordância.
14 Computação Gráfica Aplicada à Produção
3.2.2 Para concordar dois arcos, o ponto de concordância P, 
assim como o centro dos arcos, 0 e 0’, deve estar sobre 
uma mesma reta, que é normal aos arcos no ponto de 
concordância. Exemplo: Arco concordante anti-horário 
(Figura 21).
Figura 21
 1. Definem-se os centros dos arcos, 0 e 0’, e o ponto de con-
cordância P.
 2. PS em 0, R = traça-se um arco.
 3. PS em 0’, R = , traça-se outro executando-se a con-
cordância.
4. Instrumental de desenho
O desenho geométrico exige rigor e precisão nos seus traça-
dos; para isso, foram criados instrumentos de desenho espe-
cíficos.
Lápis ou lapiseira: Esses instrumentos são classificados de 
acordo com o grau de dureza do grafite (Figura 22).
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 15
Figura 22
Lápis H: Indica os grafites mais duros. Quanto maior o nú-
mero, maior esforço será necessário para fazer o traço.
Lápis B: Indica os grafites mais macios. Por ser mais macio, 
espalha mais o grafite e deixa o traço mais escuro.
Lápis F: Permite manter a ponta do lápis fina por mais tem-
po.
Lápis HB: Indica dureza média, sendo o mais usado para 
a escrita.
Existe outra escala que classifica os lápis por números de 1 
a 3, sendo o n° 1 o lápis mais Macio, equivalente ao B; o n° 2 
equivalente ao HB - Médio; e o n°3 equivalente ao H – Duro. 
Assim, ao comprarmos um lápis para a escrita ele normalmen-
te vem com o número 2.
As lapiseiras apresentam graduações quanto à espessura 
do grafite, sendo as minas a seguir as mais utilizadas.
0,5mm – indicado para traços finos e para a escrita leve.
16 Computação Gráfica Aplicada à Produção
0,7mm– indicado para escrita um pouco mais forte.
0,9mm – indicado para traços grossos.
Borracha: As mais recomendadas são as brancas e ma-
cias.
Papel: Deve ser de cor branca e sem pautas de tamanhos 
A4 ou A3, com gramatura igual ou superior a 90g/cm². Quan-
to maior a gramatura, mais grosso, mais resistente e mais pe-
sado será o papel.
Jogo de esquadros: Os esquadros são destinados ao tra-
çado (Figura 23) e não para medir, pois para isso existe a 
régua. Por isso, recomendam-se esquadros transparentes de 
acrílico ou plástico e sem graduação (Figura 24).
Figura 23
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 17
Figura 24
Régua:Deve ser de plástico transparente ou acrílico, gra-
duada em centímetros e milímetros.
Compasso: O compasso é destinado a transportar medi-
das e a traçar arcos, sendo os compassos metálicos os mais 
adequados (Figura 25).
Figura 25
Transferidor: O transferidor é destinado a medir ângulos, 
e sua precisão permite somente a leitura de graus (Figura 26).
18 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 26
Recapitulando
Nos dias de hoje, o desenho geométrico é considerado a base 
indispensável para o estudo de qualquer ramo do desenho.
Os gregos herdaram dos Egípcios e babilônios os seus 
conhecimentos de geometria sobre os quais, na metade do 
século IV a.C., construíram um sistema científico, no qual o 
desenho era elemento fundamental para a demonstração de 
teoremas, sendo “Os Elementos”, de Euclides, a mais antiga 
obra matemática grega a chegar até nós.
A geometria Euclidiana define o ponto como algo que não 
tem dimensão, sendo necessário no mínimo dois pontos para 
se definir uma reta que, por sua vez, tem uma dimensão, o 
comprimento. Já três pontos não colineares definem um plano 
que possui duas dimensões: comprimento e largura.
Lugar Geométrico é a linha cujos pontos têm todos uma 
mesma propriedade e são os únicos a terem tal propriedade, 
sendo a mediatriz um dos lugares geométrico mais utilizados 
na construção de desenhos.
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 19
Poligonal é um conjunto de segmentos de retas consecuti-
vos e não pertencentes à mesma reta, sendo o Polígono uma 
Poligonal fechada.
O desenho geométrico exige rigor e precisão nos seus tra-
çados e, para isso, foram criados instrumentos de desenho 
específicos. Um dos principais instrumentos de desenho é o 
compasso e suas principais funções são a de transportar me-
didas e traçar arcos.
Para podermos desenhar e projetar, não basta somente co-
nhecer as figuras geométricas; devemos, também, saber inte-
ragir com elas. Por isso, a construção de desenhos geométri-
cos é algo de suma importância ao aprendizado da linguagem 
gráfica.
Referências
BICUDO, Irineu. Os Elementos/Euclides. 1. ed. São Paulo, 
UNESP, 2009.593 p. ISBN 978-85-7139-935-8.
ROCHA, Ana Júlia Ferreira. GONÇALVES, Ricardo Simões. 
Desenho Técnico. vol.1. 6. ed. São Paulo, Plêiade, 2012.
LOPES, Elizabeth Teixeira; Kanegae, Cecilia Fujiko. Desenho 
Geométrico. vol.4. 1. ed. São Paulo, Scipione, 2002.
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de geometria e desenho 
geométrico . 5. ed. São Paulo, Scipione, 1995.
GIESECKE, E. Frederick; MITCHELL, Alva; LOCKHART, Shaw-
na. Comunicação Gráfica Moderna. Porto Alegre, Book-
man, 2002. 534 p. ISBN 0-13-863838-1.
20 Computação Gráfica Aplicada à Produção
ABNT - NBR 10647. Desenho técnico – Norma Geral. Rio de 
Janeiro: ABNT, 1989.
Atividades
 1) Sobre o livro OS ELEMENTOS, de Euclides, é correto afir-
mar:
a) É a mais antiga obra matemática grega a chegar até 
nós.
b) Abrangia toda a aritmética, álgebra e geometria co-
nhecidas até então no mundo grego, sistematizando 
todo o conhecimento geométrico dos antigos.
c) Contém admirável coerência e encadeamento lógico.
d) É lido no mundo inteiro até hoje.
e) Todas as alternativas estão corretas.
 2) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - O ponto não possui dimensão.
II - São necessários no mínimo três pontos para definir uma 
reta.
III - O plano possui três dimensões e pode ser definido por 
duas retas concorrentes.
A resposta correta é:
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) As afirmativas I e III estão corretas.
Capítulo 1 Introdução/Desenho Geométrico 21
c) Somente a afirmativa II está errada.
d) Somente a afirmativa III está errada.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
 3) Sobre construção de desenho geométrico é correto afirmar 
que:
a) Mediatriz é o arco que passa perpendicularmente pelo 
ponto médio (meio, metade) de um segmento, dividindo 
este em duas partes iguais.
b) Bissetriz é a semirreta que, passando pelo vértice, divide 
o ângulo em outros dois iguais.
c) Mediatriz é a reta que passa perpendicularmente pelo 
ponto médio (meio, metade) de um segmento, dividindo 
este em duas partes iguais.
d) Para concordar uma reta com um arco, basta conhecer 
o centro do arco.
e) Para concordar um arco com outro arco, basta conhecer 
o ponto de concordância e o centro de um dos arcos.
 4) Quanto à tabela de graduação de grafites, é correto afir-
mar que:
a) O lápis B indica os grafites mais duros. Quanto maior 
o número, maior esforço será necessário para fazer o 
traço.
22 Computação Gráfica Aplicada à Produção
b) O lápis H indica os grafites mais macios. Por ser mais 
macio, espalha mais o grafite e deixa o traço mais es-
curo.
c) O lápis H permite manter a ponta do lápis fina por mais 
tempo.
d) O lápis HB indica grande dureza, não sendo recomen-
dado para a escrita.
e) O lápis 8H é extremamente macio.
 5) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - A principal função do compasso é medir ângulos.
II - Os esquadros são destinados aos traçados e não para 
medir; para isso, existem as réguas.
III - Existem construções geométricas que podem ser feitas 
tanto com o auxílio do compasso quando dos esqua-
dros.
A resposta correta é:
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente a afirmativa I está correta.
d) Somente a afirmativa III está correta.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
Gabarito: 1) e 2) a 3) c 4) c 5) b
????????
Capítulo ?
Padronização de Folhas 
e Escalas1
Introdução
Neste capítulo, aprenderemos como é a padronização das 
folhas empregadas na realização de desenhos técnicos, seus 
layouts, margens e suas legendas.
1 Graduado em Engenharia Civil. Mestre em Geotecnia. Professor do Curso de 
Engenharia Civil da Ulbra.
Ivan Battastini1
Capítulo 2
24 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Abordaremos, também, o que são escalas de desenho e 
como trabalhar com elas, de maneira que a forma e a dimen-
são dos objetos sejam representadas da forma mais adequa-
da, visando facilitar a leitura e interpretação dos projetos.
1. Formato de papel
A NBR 10068 padroniza as dimensões das folhas emprega-
das na realização de desenhos técnicos ,bem como define seu 
layout, com suas respectivas margens e legendas.
Segundo prescrevem as normas alemãs DIN (Deutsche In-
ternational Normen), as folhas de papel empregadas para os 
desenhos mecânicos devem obedecer a determinados forma-
tos, cujas dimensões variam segundo uma progressão geomé-
trica. Cada formato corresponde, em tamanho, à metade do 
imediatamente superior, estabelecendo, por conseguinte, uma 
relação entre áreas de cada um, de 1 para 2.
Os formatos DIN adotados e recomendados pela A.B.N.T 
(Associação Brasileira de Normas Técnicas) são baseados no 
sistema métrico decimal e a área do formato original (AO) é 
praticamente igual a um metro quadrado (841mm x1189mm), 
de acordo com a Tabela 1.
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 25
Tabela 1 FORMATOS DA SÉRIE A – Unid.: mm
FORMATO DIMENSÕES MARGEM COMPRIMENTO
DA LEGENDA
ESPESSURA LINHAS 
DAS MARGENSESQ. DEMAIS
AO 841 x 1.189 25 10 175 1,4
A1 594 x 841 25 10 175 1,0
A2 420 x 594 25 7 178 0,7
A3 297 x 420 25 7 178 0,5
A4 210 x 297 25 7 178 0,5
Dimensões relativas dos formatos da série A (Figura 1).
Figura 1
As folhas indicadas na Tabela 1 podem ser utilizadas nas 
posições horizontal ou vertical, de acordo com a Figura 2.
Figura 2
26 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Os projetista e desenhistas são responsáveis pela escolha 
do formato da folha de papel, bem como pela definição da es-
cala a ser utilizada no desenho. Uma folha maior fará com que 
o seu manuseio seja mais difícil, mas facilita a representação 
em uma escala mais adequada, o que facilita a interpretação 
do desenho devido a sua maior clareza. Uma folha menor 
apresenta as vantagens de fácil manuseio e baixos custos com 
a impressão, tendo como desvantagem a utilização de escalas 
de reduçãoque muitas vezes podem não dar a clareza neces-
sária ao desenho.
Atualmente, os sistemas computacionais CAD (projeto as-
sistido por computador) estão sendo utilizados em grande es-
cala na realização, alteração e reprodução de projetos, o que 
acarreta uma utilização cada vez menor de desenhos em papel, 
já que esses programas, integrados com o sistema CAM (fabri-
cação assistida por computador), constituem-se em um sistema 
de fabricação informatizado. No entanto, a impressão do dese-
nho no papel ainda se faz necessária devido à documentação 
técnica do projeto. Na construção civil, os projetos das várias 
etapas do processo construtivo se encontram impressos em pa-
pel, sendo muito manuseados nos canteiros de obras.
1.1 Legenda
A legenda é constituída por um quadro retangular posicionado 
no canto inferior direito da folha. As legendas utilizadas nas 
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 27
indústrias variam de acordo com o padrão adotado por cada 
uma delas, contendo todos os dados para a identificação do 
desenho, tais como:
Número de registro ou de identificação do desenho:
a. Título do desenho;
b. Nome da empresa proprietária do desenho;
c. O símbolo correspondente ao método de projeção 
usado (primeiro ou terceiro diedro);
d. Escala do desenho;
e. Unidade de medida linear – UM;
f. Data da realização do desenho;
g. Data da revisão do desenho;
h. Assinatura dos responsáveis pelo desenho e pelo pro-
jeto;
i. Número sequencial da folha de desenho, para proje-
tos que envolvam várias folhas;
j. Outras informações técnicas e administrativas.
A área de desenho é delimitada pela moldura, que com-
preende um retângulo a traço contínuo com espessura mínima 
de 0,5mm.
A figura 3 está representando uma folha de formato A1.
28 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 3
1.2 Padrão para dobramento de folhas
A NBR 13142 – Dobramento de cópia prescreve os procedi-
mentos necessário ao dobramento de cópias, onde recomenda 
que as folhas formatos A0, A1, A2, e A3 devem ter o formato 
final A4 após seu dobramento. Essa padronização possibilita 
que a legenda fique visível e que as cópias possam ser guar-
dadas em arquivos padrões.
O dobramento deve ser feito a partir do lado direito, em 
dobras verticais, de acordo com as indicações (em mm) das 
Figuras 4, 5, 6 e 7.
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 29
Figura 4 Dobramento de folha para formato A0.
Figura 5 Dobramento de folha para formato A1.
30 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 6 Dobramento de folha para formato A2.
Figura 7 Dobramento de folha para formato A3.
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 31
2. Escalas
Na documentação técnica de projetos, seja na área da cons-
trução civil ou da mecânica de precisão, nem sempre con-
seguimos representar os objetos em seu tamanho real, dita 
verdadeira grandeza (VG). Na maioria dos casos, os objetos 
devem ser ampliados ou reduzidos para se adequarem aos 
formatos das folhas de desenho. Denominamos essa adequa-
ção de ESCALA do desenho, que compreende a relação entre 
as dimensões reais do objeto e as dimensões do desenho pro-
jetivo, isto é, o desenho resultante da projeção de um objeto, 
tais como vistas ortográficas e perspectivas.
Esta relação é assim denominada pela NBR 8196:
a. ESCALA 1:1, para escala natural: é aquela em que o 
tamanho do desenho é igual ao tamanho real do ob-
jeto;
b. ESCALA X:1, para escala de ampliação (X > 1): é 
aquela em que o tamanho do desenho é maior que o 
tamanho real do objeto;
c. ESCALA 1:X, para escala de redução (X > 1): é aquela 
em que o tamanho do desenho é menor que o tama-
nho real do objeto.
Exemplos:
ESCALA 1:1 indica que o desenho projetivo não sofreu au-
mento, nem redução em relação ao tamanho real do objeto.
32 Computação Gráfica Aplicada à Produção
ESCALA 5:1, indica que o desenho projetivo é 5 vezes maior 
que o tamanho real do objeto que está sendo representado.
ESCALA 1:5, indica que o desenho projetivo é 5 vezes me-
nor que o tamanho real do objeto que está sendo representado.
Para que possamos desenhar em uma folha de papel, pri-
meiramente devemos definir o formato da folha e a escala do 
desenho. No entanto, ao executarmos esse mesmo desenho 
com os recursos gráficos de um computador, essa definição 
será feita no preparo para a impressão, geralmente através um 
software CAD.
A Tabela 2 contribui para evitar possíveis distorções e res-
peitar a proporcionalidade entre o desenho projetivo e o tama-
nho natural do objeto.
Tabela 2 Escalas recomendas pela norma - NBR 8196
CATEGORIAS ESCALAS RECOMENDADAS
Escalas de redução
1 : 2
1 : 20
1 : 200
1 : 2000
1: 5
1 : 50
1: 500
1 : 5000
1 : 10
1: 100
1: 1000
1 : 0000
Escala natural 1 : 1
Escalas de ampliação
2 : 1
20 : 1
5 : 1
50 : 1
10 : 1
A escala selecionada deve ser suficiente para permitir uma 
interpretação fácil e clara da informação representada.
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 33
A designação de uma escala é representada através da 
palavra ESCALA, podendo ser abreviada na forma ESC.
A indicação da escala usada deve ser inscrita na legenda 
do desenho. Onde for necessário o uso de mais de uma escala 
no desenho, somente a escala principal deve ser inscrita na 
legenda. As demais escalas devem ser inscritas junto da iden-
tificação das respectivas vistas ou detalhes.
Como vimos, escala é uma relação entre o tamanho real 
de um objeto e sua representação(projeção) em um plano (pa-
pel ou tela gráfica).
Assim, se quisermos representar em uma folha de papel A4 
(210mm x 297mm) a projeção em planta baixa (vista supe-
rior) de uma janela que tenha 2,0m de comprimento, devemos 
pensar da seguinte maneira:
 Â 2,0 m = 200cm – passamos de m para cm porque a 
nossa régua é escalada em cm, mas 200cm não cabe 
em uma folha de papel. Então vamos reduzir 100 vezes 
essa medida.
 Â 200cm / 100 = 2cm ; logo 2m = 2cm ,( 1m = 1cm) ou 
seja, cada metro do tamanho real do objeto será repre-
sentado por 1cm no papel.
Dessa forma, trabalhamos na escala de redução 1:100.
Caso tenhamos necessidade de que a janela saia maior no 
papel, podemos trabalhar com outras escalas usuais para a 
construção civil, tais como: 1:50, 1:20, 1:25.
34 Computação Gráfica Aplicada à Produção
 Â 200cm / 50 = 4cm ESC. 1:50; logo 1m (medida natu-
ral ) = 2cm (medida no desenho);
 Â 200cm / 25 = 8cm ESC. 1:25; logo 1m (medida natu-
ral) = 4cm (medida do desenho).
Lembramos que plantas arquitetônicas costumam ser re-
presentadas em m ou cm , plantas topográficas em m ou km, 
e desenhos de mecânica de precisão em mm (nesse caso, ge-
ralmente utilizam-se escalas de ampliação, 2:1 ; 5;1 ; 10:1..), 
conforme a tabela da NBR 8196.
Assim, se quisermos que uma medida de tamanho natural 
igual a 5mm pertencente a um objeto seja ampliada, devemos 
proceder da seguinte maneira:
 Â 5mm x 5 = 25mm ESC. 5:1 ; logo 1mm (medida natu-
ral) = 5mm (medida do desenho).
 Â 5mm x 10 = 50mm ESC. 10:1; logo 1mm (medida na-
tural) = 10mm (medida do desenho).
É muito importante salientar que a medida representada no 
dimensionamento (cotagem) do desenho é sempre a medida 
natural. A medida reduzida ou ampliada é somente aplicada 
ao desenho, conforme mostra a figura 8.
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 35
Figura 8
Exemplos sobre escalas:
EXEMPLO 1: Uma medida real de 386 mm de um objeto 
corresponde a 193 mm em uma vista ortográfica representada 
no papel. Então, qual é a escala da vista ortográfica?
Solução: Em primeiro lugar, constatamos que o objeto 
sofreu uma diminuição no valor de sua medida real para se 
adequar ao papel; logo, trata-se de uma escala de redução. 
Agora vamos calcular qual foi o fator de redução (X) aplicado 
à medida de 386 mm para ela passar a equivaler a 193mm.
386 mm = 193 mm
 X
36 Computação Gráfica Aplicada à Produção
X = 386 mm = 2 , portanto ESCALA 1:2.
 193 mm
EXEMPLO 2: Uma medida real de 200 mm de um objeto 
está sendo representada através de uma vistaortográfica no 
papel em uma escala de 1:5. Então, qual é o valor da medida 
que está sendo representada no papel?
Solução: Em primeiro lugar, constatamos que trata-se de 
uma escala de redução com fator equivalente a 5. Agora va-
mos calcular qual o valor X da medida representada no papel. 
200 mm = X ; X = 40mm
 5
Portanto, a medida representada no papel equivale a 40 mm.
EXEMPLO 3: Uma vista ortográfica, apresenta uma de 
suas aresta medindo 10mm no papel, em um desenho cujo a 
escala equivalente a 1:100. Então, qual é o valor real dessa 
medida?
Solução: Em primeiro lugar, constatamos que se trata de 
uma escala de redução com fator equivalente a 100. Agora, 
vamos calcular qual o valor X da medida real da aresta.
 X = 10 mm
100
X = 10 mm x 100 ; X = 1000 mm
Portanto, a medida real da aresta equivale a 100 mm.
EXEMPLO 4: Uma medida real de 20 mm de um objeto 
está sendo representada através de uma vista ortográfica no 
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 37
papel em uma escala de 2:1. Então, qual é o valor da medida 
que está sendo representada no papel?
Solução: Em primeiro lugar, constatamos que se trata de 
uma escala de ampliação com fator equivalente a 2. Agora, va-
mos calcular qual o valor X da medida representada no papel.
20 mm x 2 = X ; X = 40 mm.
Portanto, a medida representada no papel equivale a 40 mm.
Recapitulando
Neste capítulo, abordamos como é a padronização das folhas 
empregadas na realização de desenhos técnicos, seus layouts, 
margens e legendas.
Abordamos, também, o que são escalas de desenho e 
como trabalhar com elas, de maneira que a forma e a dimen-
são dos objetos sejam representadas da forma mais adequa-
da, visando facilitar a leitura e interpretação dos projetos.
Vimos que, para a documentação técnica de projetos, seja 
na área da construção civil ou da mecânica de precisão, nem 
sempre conseguimos representar os objetos em seu tamanho 
real, dita verdadeira grandeza (VG). Assim, na maioria dos ca-
sos, os objetos devem ser ampliados ou reduzidos para se ade-
quarem aos formatos das folhas de desenho. Denominamos 
essa adequação de ESCALA do desenho, que compreende a 
relação entre as dimensões reais do objeto e as dimensões do 
desenho projetivo, isto é, o desenho resultante da projeção de 
um objeto, tais como vistas ortográficas e perspectivas.
38 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Referências
ABNT - NBR 10068. Folha de Desenho – Leiaute e dimensões. 
Rio de Janeiro: ABNT, 1987.
ABNT - NBR 8196. Desenho Técnico – Emprego de Escalas. 
Rio de Janeiro: ABNT, 1999.
GIESECKE, E. Frederick; MITCHELL, Alva; LOCKHART, Shaw-
na. Comunicação Gráfica Moderna. Porto Alegre, Book-
man, 2002. 534 p. ISBN 0-13-863838-1.
RIBEIRO, Antônio Clécio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Na-
cir. Desenho Técnico e AutoCAD. São Paulo, Pearson, 
2013. 362 p. ISBN 978-85-8143-084-3.
SILVA, Arlindo; RIBEIRO, Carlos Tavares; DIAS, João; SOUZA, 
Luís. Desenho Técnico Moderno. 4. ed. São Paulo, LTC, 
2013. . 475 p. ISBN 978-85-216-1522-4.
BALDAM, Roquemar; COSTA, Lourenço. AutoCAD 2012 Uti-
lizando Totalmente. São Paulo, Érica, 2011.558 p. ISBN 
978-85-365-0365-3.
Atividades
Assinale a alternativa correta em relação às questões formu-
ladas:
 1) Uma medida de 30 cm de uma peça corresponde a 60 
mm em um desenho projetivo. Portanto, esse desenho está 
representado em uma escala de:
a) 1:2
b) 2:1
Capítulo 2 Padronização de Folhas e Escalas 39
c) 1:5
d) 5:1
e) 1:10
 2) Medindo-se uma aresta de um desenho no papel, obte-
mos 40mm. Sabendo-se que o desenho está sendo repre-
sentado em uma escala de 1 :2, conclui-se que a medida 
real da aresta corresponde a:
a) 8 mm
b) 80 mm
c) 4 mm
d) 2 mm
e) 20 mm
 3) Uma medida real de 5 mm de um objeto corresponde a 
25 mm em uma vista ortográfica representada no papel. 
Então, qual é a escala da vista ortográfica?
a) 5:1
b) 1:2
c) 1:5
d) 2:1
e) 10:1
 4) Uma vista ortográfica apresenta uma de suas arestas me-
dindo 30mm no papel em um desenho cuja escala equi-
valente a 2:1. Então, qual é o valor real dessa medida?
40 Computação Gráfica Aplicada à Produção
a) 20 mm
b) 10 mm
c) 60 mm
d) 5 mm
e) 15 mm
 5) Julgue as afirmativas e marque a opção correta em rela-
ção às recomendações da NBR10068 - Folha de Desenho 
– Leiaute e dimensões.
I - As dimensões recomendadas para uma folha formato A1 
correspondem a 297mm x 420mm.
II - Todas as margens com formato série A têm suas mar-
gens correspondente a 10 mm.
III- As legendas utilizadas nas indústrias variam de acordo 
com o padrão adotado por cada uma delas, contendo 
todos os dados para a identificação do desenho.
A resposta correta é:
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) As afirmativas I e III estão corretas.
c) Somente a afirmativa II está errada.
d) Somente a afirmativa III está correta.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
Gabarito: 1) c 2) b 3) a 4) e 5)d 
Sistema Mongeano de 
Projeções1
Introdução
Neste capítulo, aprenderemos o que é um sistema de projeção 
e como ele dá origem ao desenho projetivo.
1 Graduado em Engenharia Civil. Mestre em Geotecnia. Professor do Curso de 
Engenharia Civil da Ulbra.
Ivan Battastini1
Capítulo 3
42 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Verificaremos como um sistema espacial tridimensional é 
planificado , ou seja, representado em duas dimensões.
Abordaremos, também, como representar uma projeção 
através de suas coordenadas descritivas.
1. Sistemas de projeção
Entende-se por projeção a imagem de um objeto refletida em 
um plano. Para isso, devem ser considerados cinco elementos: 
centro de projeção, projetantes, objeto, plano de projeção e 
projeção ou imagem.
Pode-se classificar os sistemas de projeções em dois tipos 
básicos: Sistema de Projeção Central ou Cônico e Sistema de 
Projeção Cilíndrico, de acordo com a Tabela 1.
Tabela 1 Sistemas de projeção
PROJEÇÕES
CILINDRICAS
ORTOGONAIS Vistas ortográficas
Perspectivas Axonométricas
OBLIQUAS Perspectiva Cavaleira
PROJEÇÕES
CÔNICAS
Perspectiva Cônica
As Figuras1 e 2 representam as projeções cônicas e as pro-
jeções cilíndricas ortogonais.
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 43
Figura 1 Projeção Cônica. Figura 2 Projeção Cilíndrica Ortogonal.
1.1 Sistema Mongeano de Projeção – 
projeção cilíndrica ortogonal
Gaspar Monge, matemático e professor da Escola Politécnica 
da França que também exerceu o cargo de ministro da marinha 
de Napoleão Bonaparte (1746-18188), imaginou dois planos 
se cortando perpendicularmente no espaço e os chamou de 
Plano Vertical e Plano Horizontal de projeção. Esses planos di-
vidiram o espaço geométrico em quatro diedros, que ele nu-
merou na ordem anti-horário. O rebatimento do plano vertical 
de projeção sobre o plano horizontal de projeção no sentido 
anti-horário gerou a ÉPURA, planificando o sistema. Com isso, 
Monge criou uma linguagem de desenho que permitia a comu-
nicação entre as vistas dos planos horizontal e vertical em único 
desenho projetivo, através das linhas de construções ou linhas 
44 Computação Gráfica Aplicada à Produção
de chamada que estabeleciam fatores de comunicação entre a 
FORMA e a DIMENSÃO do objeto.
Anteriormente a essa sistematização, os desenhos eram re-
presentados de formas isoladas; com isso, não havia comuni-
cação entre as plantas de desenhos, tornando muito lenta a 
realização das construções, que eram efetuadas pelos mestres 
construtores. Assim, havia sempre a necessidade ter um mestre 
em cada obra a ser construída, pois só ele entendia os seus 
apontamentos e desenhos. Existiam poucos mestres construto-
res na época, tornando-se quase que impraticável um mestre 
tocar duas ou mais obras.
Surgem na França os primeiros engenheiros militares, nas-
cendo ali a engenharia. O método criado por Monge permitia 
que as obras civis, e não somente as militares, fossem executa-
das de formas rápidas e precisas, obedecendo a uma linguagem 
de desenho, representada de acordo com a Figura 3:
Figura 3 SistemaMongeano de projeções.
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 45
Sendo:
LT = Linha de Terra : encontro dos planos horizontal e ver-
tical de projeção.
PHA = Plano Horizontal de projeção Anterior.
PHP = Plano Horizontal de projeção Posterior.
PVS = Plano Vertical de projeção Superior.
PVI = Plano Vertical de projeção Inferior.
Adotaram-se as seguintes convenções para nomear os pla-
nos de projeções:
π1= Plano Horizontal de Projeção.
π2= Plano Vertical de Projeção.
π1π2= LT- Linha de Terra (interseção dos planos horizontal 
e vertical).
π0= Plano auxiliar de Projeção (Plano de Perfil). Esse plano 
foi criado mais tarde, sendo de grande auxílio na representa-
ção das vistas ortográficas.
Outros planos de projeção foram criados posteriormente, 
e convencionou-se números ímpares para representar proje-
ções horizontais (π3, π5) e números pares para projeções ver-
ticais( π4, π6).
Demais convenções utilizadas:
Representação de pontos: letras latinas maiúsculas (A, B, C ...).
Representação de retas: letras latinas minúsculas ( a, b, c ...).
46 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Representação de planos: letras gregas minúsculas (α , β, γ...).
Para melhor leitura dos desenhos, as projetantes serão re-
presentadas por linhas vermelhas e as linhas de chamada por 
linhas azuis.
1.1.1 Representação de um ponto (P), no 
Sistema Mongeano (Figura 4)
Figura 4 Representação de um ponto.
 Â PROJEÇÃO ORTOGONAL de um ponto sobre um pla-
no é o pé da perpendicular baixada desse ponto até 
esse plano (P1, P2).
 Â PROJETANTE é a perpendicular traçada do ponto do 
espaço até sua projeção no plano.
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 47
 Â LINHA DE CHAMADA é a linha que liga as projeções 
de um ponto na épura, é a projeção da projetante.
Coordenadas Descritivas:
A representação de um ponto ocorre relacionando o Sistema 
Mongenano com o Sistema Cartesiano através da inserção 
de coordenadas descritivas, sendo que essas coordenadas são 
as mesmas adotadas pelos programas de computação gráfica. 
Em geral, adota-se como UM - Unidade de Medida - o mm – 
milímetro, cm – centímetro ou m –metros.
As coordenadas descritivas servem para determinar, com 
precisão, as distâncias de um ponto aos seus planos de proje-
ções. Assim, costuma-se representar um ponto P da seguinte 
forma: P (X, Y, Z), sendo:
X = abscissa: distância do ponto a outro tomado como 
referência (em geral a origem dos eixos) sobre o eixo X;
Y = afastamento: distância do ponto ao plano de proje-
ção vertical;
Z = cota: distância do ponto ao plano de projeção hori-
zontal.
Dessa forma, um ponto que está localizado no espaço (tri-
dimensional) é representado em um plano de projeção (bidi-
mensional).
Exemplo: determinar as projeções do ponto P (30,20,40) ; 
UM: mm.
48 Computação Gráfica Aplicada à Produção
A exemplo do PH - Plano Horizontal, o PP - Plano de Perfil 
é rebatido sobre o PV - Plano Vertical. Assim, os três planos de 
projeção estão representados em um único plano, originando 
a ÉPURA.
Figura 5 Representação espacial de um ponto através de suas 
coordenadas descritivas.
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 49
Figura 6 Representação em épura de um ponto através de suas 
coordenadas descritivas.
De acordo com a geometria, um plano é considerado in-
finito, por isso o sistema é representado somente pela interse-
ção dos planos (Figura 7).
50 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 7
Para marcar as projeções do ponto P na épura, procede-se da 
seguinte maneira, de acordo com a Figura 8.
 1) Com o auxílio dos esquadros, marca-se a abscissa sobre o 
eixo X, traçando-se uma perpendicular.
 2) Sobre essa perpendicular, marcam-se o afastamento no 
eixo Y e a cota no eixo Z, definindo-se P1 e P2.
 3) Traçam-se as linhas de chamada para comunicar P1 com 
P0, e P2 com P0. Para isso, utiliza-se o esquadro a 45° 
ou o compasso com ponta seca no encontro dos eixos e 
abertura igual ao afastamento.
 4) No encontro das linhas de chamada, marca-se P0.
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 51
Figura 8
1.1.2 Representação de uma reta (r) no Sistema 
Mongeano.
Segundo a geometria Euclidiana, uma das maneiras de se de-
terminar uma reta é através de dois pontos distintos.
Posições assumidas pela reta em relação ao seu plano de 
projeção (Figura 9):
VG = Verdadeira Grandeza (tamanho real), ocorre 
quando a reta está paralela ao plano de projeção;
PR = Projeção Reduzida, ocorre quando a reta está oblí-
qua ao plano de projeção;
PA = Projeção acumulada, ocorre quando a reta está 
perpendicular ao plano de projeção. Nesse caso, a reta acu-
mula em um ponto.
52 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 9
Representação de uma reta através de suas coordenadas 
descritivas. Seja uma reta r definida pelos pontos C (30, 20,25) 
e D (10, 40, 25) (Figura 10):
Figura 10
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 53
1.1.3 Representação de um plano (β) no Sistema 
Mongeano.
Segundo a geometria Euclidiana, uma das maneiras de se de-
terminar um plano é através de três ou mais pontos não coline-
ares.
Posições assumidas pelo plano em relação ao seu plano de 
projeção (Figura 11):
VG = Verdadeira Grandeza (tamanho real), ocorre 
quando o plano está paralelo ao plano de projeção;
PR = Projeção Reduzida, ocorre quando o plano está 
obliquo ao plano de projeção;
PA = Projeção acumulada, ocorre quando o plano está 
perpendicular ao plano de projeção. Nesse caso, o plano acu-
mula em uma reta.
Figura 11
54 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Representação de um plano através de suas coordena-
das descritivas. Seja um plano ω definido pelos pontos A 
(30,35,25); B (60,35,15); C (60,10,15) e D (30, 10, 35) (Fi-
guras 12 e 13).
Figura 12
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 55
Figura 13
Diagnóstico geométrico das projeções da quadrícula – por-
ção do plano ω:
 Â As retas A2B2 e D2C2 estão em Verdadeira Grandeza, 
porque as retas AB e DC encontra-se paralelas ao π2 - 
Plano Vertical de Projeção.
 Â O plano ω encontra-se acumulado no π2, porque está 
perpendicular a este Plano.
 Â O plano ω encontra-se em Projeção Reduzida (ω1) no 
π1, porque está oblíquo a esse Plano.
56 Computação Gráfica Aplicada à Produção
 Â O plano ω encontra-se em Projeção Reduzida (ω0) no 
π0, porque está oblíquo a esse Plano.
Seja um plano µ definido pelos pontos A (20,45,15); B 
(50,45,15) e C (35,10,15) (Figuras 14 e 15):
Figura 14
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 57
Figura 15
Diagnóstico geométrico das projeções do triângulo – 
porção do plano µ:
 Â O plano µ encontra-se em VG na sua projeção no π1, 
porque está paralelo a esse plano.
 Â O plano µ encontra-se acumulado(µ2) no π2, porque 
está perpendicular a esse plano.
 Â O plano µ encontra-se acumulado(µ0) no π0, porque 
está perpendicular a esse plano.
 Â A reta A0B0 encontra-se acumulada no π0, porque a 
reta AB encontra-se perpendicular a esse plano.
58 Computação Gráfica Aplicada à Produção
A representação de sólidos, objetos tridimensionais, é feita 
através de pontos, retas e planos, e será estudada no capítulo 
de vistas ortográficas.
Recapitulando
Neste capítulo, estudamos o que são sistemas de projeções 
e que são classificados em Projeções Cilíndrica e Projeções 
Cônicas.
Aprendemos como Monge criou uma linguagem gráfica 
baseada em um sistema projetivo, estabelecendo fatores de 
comunicação entre a FORMA e a DIMENSÃO do objeto.
Nesse sistema, retas e planos podem assumir três posições 
em relação aos seus planos de projeções: VG – Verdadeira 
Grandeza, PR – Projeção Reduzida ou PA – Projeção Acumu-
lada, sendo que o ponto, por não ter dimensão, não pode 
assumir tais posições.
Abordamos, também, que as coordenadas descritivas 
(X,Y,Z) estão relacionadas com o eixo cartesiano, e como re-
presentar com precisão um ponto pertencente a um sistema 
espacial em um plano de projeção, e assim, representar retas 
e planos que são a base das construções de objetos.
ReferênciasRICCA, Guilherme. Geometria descritiva: método de mon-
ge. 5. ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2011. 
358 p. ISBN 978-972-31-0547-6
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 59
GAMA, Carlos Costa da. Geometria descritiva: problemas e 
exercícios. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 1997. 28 p.
BORGES, Gladys Cabral de Mello.; BARRETO, Deli Garcia 
Ollé.; MARTINS, Enio Zago. Noções de geometria des-
critiva: teoria e exercícios. 7. ed. Porto Alegre: Sagra Lu-
zzatto, 1998. 173 p. ISBN 85-7237-007-2
RIBEIRO, Antônio Clécio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Na-
cir. Desenho Técnico e AutoCAD. São Paulo, Pearson, 
2013. 622 p. ISBN 978-85-8143-084-3.
SILVA, Arlindo; RIBEIRO, Carlos Tavares; DIAS, João; SOUZA, 
Luís. Desenho Técnico Moderno. 4. ed. São Paulo, LTC, 
2013. 475 p. ISBN 978-85-216-1522-4.
Atividades
 1) Marque a alternativa que representa os cinco elementos 
que devem ser considerados em uma projeção:
a) Centro de projeção, projetante, objeto, plano de pro-
jeção e imagem.
b) Centro de projeção, projetante, linhas de chamada, 
plano de projeção e imagem.
c) Centro de projeção, linhas de chamada, objeto, plano 
de projeção e imagem.
d) Centro de projeção, projetante, objeto, plano de pro-
jeção e linhas de chamada.
60 Computação Gráfica Aplicada à Produção
e) Linhas de chamada, projetante, objeto, plano de pro-
jeção e imagem.
2) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - O ponto projeta-se em VG – verdadeira grandeza, quan-
do está paralelo a um plano de projeção.
II - Uma reta se projeta em PR – projeção reduzida, quando 
está oblíqua a um plano de projeção.
III - Uma reta projeta-se em PA – projeção acumulada, 
quando está perpendicular a um plano de projeção.
A resposta correta é:
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente a afirmativa II está correta.
d) Somente a afirmativa III está errada.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
 3) Com relação às posições assumidas pelo plano em relação 
ao seu plano de projeção, marque V (verdadeiro) e F (fal-
so) para as afirmações a seguir:
( ) Ocorre VG quando o plano está paralelo ao plano de 
projeção.
( ) Ocorre PR quando o plano está oblíquo ao plano de 
projeção.
Capítulo 3 Sistema Mongeano de Projeções 61
( ) Ocorre PA quando o plano está perpendicular ao pla-
no de projeção.
( ) Ocorre VG quando o plano está perpendicular ao 
plano de projeção.
( ) Ocorre PR quando o plano está paralelo ao plano de 
projeção.
4) Sobre as coordenadas descritivas, está correto afirmar:
a) As coordenadas descritivas não podem ser representa-
das nos programas de computação gráfica.
b) As coordenadas descritivas dos pontos são representa-
das através de suas abscissas e ordenadas.
c) As coordenadas descritivas estão relacionadas com as 
coordenadas cartesianas.
d) Se um ponto tem afastamento igual a zero, então ele 
obrigatoriamente pertence ao plano horizontal de pro-
jeção.
e) Todas as alternativas estão corretas.
5) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - A LT – Linha de Terra corresponde ao encontro dos pla-
nos horizontal e vertical de projeção.
II - Os pontos são representados por letras minúsculas la-
tinas e as retas são representadas por letras maiúsculas 
latinas.
62 Computação Gráfica Aplicada à Produção
III - A épura corresponde à representação espacial do sis-
tema.
A resposta correta é:
a) Somente a afirmativa III está correta.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente a afirmativa II está correta.
d) Somente a afirmativa I está correta.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
Gabarito: 1) a 2)b 3) V, V, V, F, F 4) c 5)d
Ivan Battastini1
Capítulo 4
Desenho Técnico1
Introdução
Todo o processo de desenvolvimento e criação dentro da en-
genharia está intimamente ligado à expressão gráfica.
O desenho técnico representa o que deve ser executado, 
fabricado ou construído, apresentando soluções gráficas que 
podem substituir cálculos complexos.
1 Graduado em Engenharia Civil. Mestre em Geotecnia. Professor do Curso de 
Engenharia Civil da Ulbra.
64 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Neste capítulo, iniciaremos o aprendizado do método de 
representação de vistas ortográficas, que é base de todo o 
desenho técnico.
1. Representação de vistas ortográficas
O método de representação de vistas ortográficas está fun-
damentado no método Mongeano de projeções, sendo uma 
forma de representar graficamente objetos tridimensionais em 
superfícies planas, de modo a transmitir suas características 
com clareza e precisão.
A operação básica desse método é a projeção CILÍNDRICA 
ORTOGONAL, que tem a propriedade fundamental de repre-
sentar em verdadeira grandeza as figuras do espaço que forem 
paralelas ao respectivo plano de projeção.
Para que os objetivos dos projetistas sejam alcançados, a 
representação de um objeto deve sempre se preocupar com 
sua forma, suas dimensões e sua utilização.
Para se obter isso, projeta-se ortogonalmente o objeto so-
bre vários planos, perpendiculares entre si. Cada uma dessas 
projeções nos mostra uma face do objeto que denominamos 
vista e permite determinar duas das três dimensões do objeto, 
sendo necessário, para a completa representação, a combina-
ção de três ou mais projeções.
As normas internacionais de desenho técnico consideram 
dois métodos de representação, de acordo com a Figura 1.
Capítulo 4 Desenho Técnico 65
Figura 1 Métodos de representações ortográficas
As setas indicam o posicionamento (olhos) do observador 
em relação ao objeto.
Método 1: Conhecido como Método Alemão ou Europeu 
(1º diedro), é o mais utilizado no Brasil, sendo considerado 
como adotado, no qual os planos de projeção são considera-
dos opacos e o objeto está localizado entre o observador e o 
plano de projeção. É representado na legenda pelo símbolo 
da Figura 2.
Figura 2 Símbolo do método.
66 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Método 2: Conhecido como Método Americano de repre-
sentação (3º diedro). É o processo mais comumente emprega-
do nos Estados Unidos, Canadá e Japão. Nesse método, os 
planos de projeção são considerados transparentes e o plano 
está situado entre o observador e o objeto. As normas brasilei-
ras permitem também a utilização desse método. Ele é repre-
sentado na legenda pelo símbolo da Figura 3.
Figura 3 Símbolo do método.
Obs.: Ficam impossibilitados os métodos de representa-
ções para o 2º e 4º diedros pois, nesses casos, há o inconve-
niente da superposição das projeções, no momento de realizar 
o rebatimento dos planos.
Denominação das vistas ortográficas:
VS: Vista Superior ou Planta. Mostra o objeto sendo visto 
por cima.
VF ou VA: Vista Frontal ou Vista Anterior, também co-
nhecida como Elevação. Mostra o objeto sendo visto pela 
frente.
VLE: Vista Lateral Esquerda ou Vista de Perfil. Mostra o 
objeto sendo visto pelo lado esquerdo.
VLD: Vista Lateral Direita. Mostra o objeto sendo visto 
pelo lado direito.
Capítulo 4 Desenho Técnico 67
VP: Vista Posterior. Mostra o objeto sendo visto por trás.
VI : Vista Inferior. Mostra o objeto sendo visto por baixo.
1.1 Representação no 1° diedro (Figura 4)
Figura 4 Representação no 1° diedro.
Através do rebatimento dos planos de projeções, ocorre a 
planificação do sistema. Com isso, um objeto espacial tridi-
68 Computação Gráfica Aplicada à Produção
mensional (chamado 3D), passa a ser representado em duas 
dimensões (chamado 2D), como estão mostrando as Figuras 
5 e 6 a seguir.
Figura 5 Planificação do sistema.
Figura 6 Planificação do sistema.
Capítulo 4 Desenho Técnico 69
Tecnicamente, as vistas ortográficas são representadas sem 
os seus respectivos planos de projeções e nomes, de acordo 
com a figura 7.
Figura 7 Representação técnica do sistema planificado.
1.2 Representação no 3° diedro (Figura 8)
Figura 8 Representação no 3° diedro.
70 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Através do rebatimento dos planos de projeções, ocorrea 
planificação do sistema. Com isso, um objeto espacial tridi-
mensional (chamado 3D), passa a ser representado em duas 
dimensões (chamado 2D), como mostram as Figuras 9 e 10 a 
seguir.
Figura 9 Planificação do sistema.
Capítulo 4 Desenho Técnico 71
Figura 10 Planificação do sistema.
Tecnicamente, as vistas ortográficas são representadas sem 
os seus respectivos planos de projeções e nomes, de acordo 
com a figura 11.
Figura 11 Representação técnica do sistema planificado.
72 Computação Gráfica Aplicada à Produção
A denominação das vistas é a mesma para ambos os mé-
todos. Entretanto, suas disposições são diferentes, como mos-
tramos nas figuras arroladas anteriormente.
Para ler e interpretar desenho técnico, adotaremos a represen-
tação no 1º Diedro, por este ser o de maior representatividade no 
Brasil.
Com o intuito de o aluno desenvolver habilidades para a 
elaboração de esboços que tenham o sentido de proporcio-
nalidade associando forma e dimensão do objeto, solicitamos 
que os desenhos sejam executados à mão livre.
Em desenho técnico, o instrumental de desenho será utili-
zado quando formos trabalhar com desenhos cotados e vistas 
em cortes, já que necessitaremos de precisão.
A composição das vistas tem como referência a vista fron-
tal, sendo esta representação obrigatória. Sua escolha é de-
finida pelo lado que melhor define a forma da peça na sua 
posição de utilização, geralmente o de maior comprimento e 
que apresenta o maior número de detalhes.
Além da vista frontal, as vistas mais utilizadas no 1º Diedro 
são VS e VLE.
Quem determina o número de vistas necessárias à repre-
sentação do objeto é o projetista, que deve comunicar de for-
ma precisa e clara a forma e as dimensões do objeto, nunca 
deixando dupla interpretação para o desenho.
Os objetos (peças) apresentados para que se faça a leitu-
ra das vistas ortográficas serão representados através de uma 
Capítulo 4 Desenho Técnico 73
perspectiva Axonométrica ISOMÉTRICA, por ser o tipo mais 
adequado para visualização das vistas.
Perspectiva Isométrica: utiliza apenas um plano de pro-
jeção e posiciona o objeto no espaço de modo que o obser-
vador possa visualizar três de suas faces, que correspondem à 
vista frontal, lateral esquerda e superior.
As três faces são interligadas, servindo de suporte às três 
dimensões: comprimento, altura e largura, e as arestas se pro-
jetam de forma a ficar 120º entre elas.
Os eixos isométricos do comprimento e da largura formam 
30º em relação a uma horizontal (Figura 12).
Figura 12
A angulação de 30° faz com que suas dimensões sofram 
uma redução na ordem de 20% em relação às medidas re-
ais do objeto, que estão representadas nas vistas ortográficas. 
No entanto, iremos desconsiderar essa redução, aplicando-
-se as medidas em verdadeira grandeza tanto para a isomé-
74 Computação Gráfica Aplicada à Produção
trica como para as vistas ortográficas, a fim de facilitar nosso 
aprendizado.
Utilização de linhas no desenho técnico (Tabela 1).
1
O desenho técnico é representado na cor preta. Caso ou-
tras cores se façam necessárias, seus significados devem ser 
mencionados na legenda.
Capítulo 4 Desenho Técnico 75
No processo de aprendizagem, pede-se para o aluno dei-
xar as linhas de chamada para verificar a construção do dese-
nho, lembrando que, na prática, essas linhas não são repre-
sentadas.
Linhas de Chamada: São linhas paralelas que ligam as 
projeções de um mesmo ponto em vistas adjacentes. Corres-
pondem às projeções das projetantes desse ponto sobre os 
planos.
Emprego do método no 1° Diedro (Figura 13).
Figura 13
76 Computação Gráfica Aplicada à Produção
1º Passo: Faz-se a escolha da Vista Frontal e definem-se 
as dimensões da peça, deixando um espaçamento mínimo de 
20mm entre as vistas (Figura 14).
Figura 14
Emprego do método no 1° Diedro (Figura 15).
Relações entre as vistas:
 Â Vistas Adjacentes: São as vistas colocadas com suas 
dimensões comuns paralelas. Ex: VA e VLE ; VA e VS.
 Â Vistas Correlatas: Não têm dimensões comuns parale-
las. Ex: VS e VLE ; VS e VLD.
Capítulo 4 Desenho Técnico 77
 Â Linhas de arcos concêntricos ou linhas à 45º: São 
linhas que unem as vistas correlatas.
 Â Regra do alinhamento: As projeções de um mesmo 
elemento do objeto acham-se sobre o mesmo alinha-
mento, isto é, sobre a mesma linha de chamada.
2º Passo: Desenha-se a vista frontal (VF) e traçam-se as 
linhas de chamada (Figura 15).
Figura 15
3º Passo: Desenha-se a vista superior (VS), e traçam-se 
novas linhas de chamada (Figura 16).
78 Computação Gráfica Aplicada à Produção
ê
Figura 16
4º Passo: Desenha-se a vista de perfil (VLE) (Figura 17).
Figura 17
Capítulo 4 Desenho Técnico 79
		Observamos que o método em estudo consiste em visu-
alizar o objeto em 3D (três dimensões) e representá-lo 
em 2D (duas dimensões), isto é, planificá-lo.
Emprego do método no 1° Diedro (Figura 18).
Figura 18
Emprego do método no 1° Diedro (Figura 19).
80 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 19
Recapitulando
Neste capítulo, estudamos que o processo de desenvolvimen-
to e criação dentro da engenharia está intimamente ligado 
à expressão gráfica. Cabe ao desenho técnico representar o 
que deve ser executado, fabricado ou construído, apresentan-
do soluções gráficas que podem substituir cálculos complexos.
Vimos que o método de representação de vistas ortográfi-
cas está fundamentado no método Mongeano de projeções, 
constituindo-se em uma forma de representar graficamente 
objetos do espaço em superfícies planas.
Dissemos que, para que os objetivos dos projetistas sejam 
alcançados, a representação de um objeto deve sempre se 
preocupar com sua forma, suas dimensões e sua utilização.
Capítulo 4 Desenho Técnico 81
Vimos, também, que as normas internacionais de desenho 
técnico consideram dois métodos de representação de vistas 
ortográficas. O primeiro método é o mais utilizado no Brasil e 
trabalha no 1°diedro, e o segundo método é mais comumente 
empregado nos Estados Unidos e trabalha no 3° diedro.
Aprendemos, também, que a composição das vistas orto-
gráficas tem como referência a vista frontal, sendo esta repre-
sentação obrigatória. Sua escolha é definida pelo lado que 
melhor define a forma da peça na sua posição de utilização, 
geralmente o de maior comprimento e que apresenta o maior 
número de detalhes.
Referências
GIESECKE, E. Frederick; MITCHELL, Alva; LOCKHART, Shaw-
na. Comunicação Gráfica Moderna. Porto Alegre, Book-
man, 2002. 534 p. ISBN 0-13-863838-1.
RIBEIRO, Antônio Clécio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Na-
cir. Desenho Técnico e AutoCAD. São Paulo, Pearson, 
2013. 622 p. ISBN 978-85-8143-084-3.
SILVA, Arlindo; RIBEIRO, Carlos Tavares; DIAS, João; SOUZA, 
Luís. Desenho Técnico Moderno. 4. ed. São Paulo, LTC, 
2013. 475 p. ISBN 978-85-216-1522-4.
ROCHA, Ana Júlia Ferreira; GONÇALVES, Ricardo Simões. 
Desenho técnico. 6. ed. São Paulo: Plêiade, 2008-2011. 
107 p. ISBN 978-85-7651-069-7.
82 Computação Gráfica Aplicada à Produção
SPECK, Henderson José; PEIXOTO, Virgílio Vieira. Manual 
básico de desenho técnico. 3. ed. Florianópolis: Ed. da 
UFSC, 2004. 179 p. (Série didática) ISBN 85-328-0097-1.
ABNT - NBR 10647. Desenho técnico – Norma Geral. Rio de 
Janeiro: ABNT, 1989.
ABNT - NBR 10067. Princípios gerais de representação em 
desenho técnico. Rio de Janeiro: ABNT, 1995.
ABNT - NBR 8403. Aplicação de linhas em desenhos – Tipos 
de linhas – Largura das linhas. Rio de Janeiro: ABNT, 1984.
Atividades
 1) Marque a alternativa que representa as vistas ortográficas 
mais comumente representadas no primeiro diedro:
a) VF, VS e VLD.
b) VF, VS e VLE.
c) VF, VLE e VLD.
d) VI e VF.
e) VLE, VLD e VI.
 2) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - A denominação das vistas ortográficas não é a mesma 
para os dois métodos de representação.
II - A disposição das vistas ortográficas é diferente em rela-
ção aos dois métodos de projeção.
Capítulo 4 Desenho Técnico83
III - As normas brasileiras permitem a representação das 
vistas ortográficas somente no primeiro diedro.
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente a afirmativa II está correta.
d) Somente a afirmativa III está errada.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
3) Com relação às vistas ortográficas, marque a alternativa 
correta:
a) A composição das vistas tem como referência a VS, sen-
do esta representação não obrigatória.
b) Sua escolha é definida pelo lado que melhor define a 
forma da peça na sua posição de utilização, geralmente 
o de menor comprimento e que apresenta o menor nú-
mero de detalhes.
c) A composição das vistas tem como referência a VS, sen-
do esta representação obrigatória.
d) A composição das vistas tem como referência a VF, sen-
do esta representação não obrigatória.
e) Sua escolha é definida pelo lado que melhor define a 
forma da peça na sua posição de utilização, geralmente 
o de maior comprimento e que apresenta o maior nú-
mero de detalhes.
84 Computação Gráfica Aplicada à Produção
4) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - Linhas de Chamada são linhas paralelas que ligam as 
projeções de um mesmo ponto em vistas adjacentes.
II - De acordo com a regra do alinhamento, as projeções 
de um mesmo elemento do objeto acham-se sobre a 
mesma linha de chamada.
III - O desenho técnico é representado na cor preta. Caso 
outras cores se façam necessárias, seus significados 
devem ser mencionados na legenda.
a) Somente a afirmativa III está correta.
b) Somente a afirmativa I está correta.
c) Somente a afirmativa II está correta.
d) Todas as afirmativas estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão incorretas.
 5) Marque a alternativa correspondente à perspectiva isomé-
trica que está representando a vista ortográfica a seguir 
(Figura 20):
Capítulo 4 Desenho Técnico 85
20
Gabarito: 1) b 2) c 3) e 4) d 5) c
??????????
Capítulo ?
Desenho Técnico 
– Arestas Ocultas/
Superfícies Curvas1
Introdução
Neste capítulo, daremos continuidade ao aprendizado do mé-
todo de representação de vistas ortográficas, abordando como 
1 Graduado em Engenharia Civil. Mestre em Geotecnia. Professor do Curso de 
Engenharia Civil da Ulbra.
Ivan Battastini1
Capítulo 5
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 87
representar arestas ocultas, bem como as superfícies curvas e 
cilíndricas.
1. Representação de arestas ocultas
Como vimos no capítulo anterior, a representação de vistas 
ortográficas de objetos tridimensionais é obtida através de um 
observador em relação a planos de projeções. Com isso, algu-
mas arestas poderão estar ocultas em relação ao observador 
e, nesses casos, deverão ser representadas por linhas traceja-
das, como mostram as Figuras 1 e 2.
Figura 1 Representação de arestas ocultas.
88 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 2 Representação de arestas ocultas.
O acúmulo de linhas tracejadas tende a dificultar a leitura 
e interpretação dos objetos, fazendo com que os projetistas 
optem por representá-los através de vistas seccionadas, as 
quais estudaremos no próximo capítulo.
A Figura 3 mostra um objeto com textura modelado em 
CAD, no qual a vista lateral esquerda apresenta um acúmulo 
de arestas ocultas, embora a peça seja de fácil compreensão.
Figura 3
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 89
2. Representação de superfícies curvas
As superfícies curvas mais comumente encontradas na enge-
nharia são o cilindro, a esfera e o cone.
Regras a serem seguidas:
 Â Quando uma superfície curva encontra-se paralela a 
um plano de projeção, sua imagem estará representada 
em Projeção Reduzida, através de linhas retas.
 Â Quando uma superfície curva encontra-se perpendicular 
a um plano de projeção, sua imagem estará representa-
da em Projeção Acumulada através de uma linha curva.
As Figuras 4 e 5 mostram representações de superfícies 
curvas nas quais podemos verificar que:
 Â Nas vistas superior e lateral esquerda, a superfície curva 
está representada através de linhas retas.
 Â Na vista frontal, a superfície acumula em uma linha que 
está representada em VG – verdadeira grandeza.
90 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Figura 4 Representação de superfícies curvas.
Figura 5 Representação de superfícies curvas.
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 91
3. Representação de superfícies cilíndricas
Um cilindro reto está sendo mostrado na Figura 6. Em sua vista 
superior,está representado por sua aresta circular, a qual deli-
mita uma superfície plana. Nas vistas frontal e lateral esquer-
da, está representado por suas geratrizes e por suas arestas 
circulares.
As arestas circulares, assim como as geratrizes, apresen-
tam-se projetadas através de linhas retas, nas VLE e VF. A ge-
ratriz representada é denominada geratriz limite. Um cilindro 
tem várias geratrizes, mas só é representada a última geratriz 
observada pelo raio visual.
Figura 6 Representação de um cilindro.
92 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Linhas de Centro:
As linhas de centro (Figuras 7, 8, 9) são usadas para identificar 
eixos de simetria que posicionam o centro de furos ou detalhes 
com simetria radial. Essas linhas são muito úteis na cotagem 
de desenhos e devem se estender ligeiramente para além dos 
limites do desenho. Uma linha de centro é denominada pela 
NBR8403/1984 como traço e ponto estreita (Tabela 1, capítu-
lo 4), sendo que para pequenos furos pode ser feita uma linha 
contínua estreita.
Figura 7 Representação de linhas de centro.
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 93
Figura 8 Representação de linhas de centro.
Figura 9 Representação de linhas de centro.
Regras para a representação de arestas entre superfície:
 Â Quando uma face curva é concordante com uma face 
plana, não se desenham retas.
 Â Quando uma face curva intercepta uma face plana, de-
fine-se, então, uma reta.
94 Computação Gráfica Aplicada à Produção
 Â Quando duas faces curvas se juntam através de uma 
concordância, não se desenham, então, retas.
 Â Quando duas faces curvas se juntam de maneira não 
concordante, define-se, então, uma reta.
As Figuras 10, 11 e 12 demonstram a aplicação das re-
gras.
Figura 10
Figura 11
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 95
Figura 12
A Figura 13 mostra um objeto com textura modelado em CAD.
Figura 13
96 Computação Gráfica Aplicada à Produção
Recapitulando
Neste capítulo, aprendemos que as linhas tracejadas nas vistas 
ortográficas servem para representar as arestas ocultas.
Abordamos, também, como representar as superfícies cur-
vas e as superfícies cilíndricas.
Verificamos que, quando uma superfície curva se encon-
tra paralela a um plano de projeção, sua imagem estará re-
presentada em Projeção Reduzida, através de linhas retas. E 
quando uma superfície curva se encontra perpendicular a um 
plano de projeção, sua imagem estará representada em Proje-
ção Acumulada, através de uma linha curva.
Aprendemos, também, que as linhas de centro são usadas 
para identificar eixos de simetria que posicionam o centro de 
furos ou detalhes com simetria radial, e que essas linhas são 
muito empregadas na cotagem de desenhos técnicos.
Referências
GIESECKE, E. Frederick; MITCHELL, Alva; LOCKHART, Shaw-
na. Comunicação Gráfica Moderna. Porto Alegre, Book-
man, 2002. 534 p. ISBN 0-13-863838-1.
RIBEIRO, Antônio Clécio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Na-
cir. Desenho Técnico e AutoCAD. São Paulo, Pearson, 
2013. 622 p. ISBN 978-85-8143-084-3.
SILVA, Arlindo; RIBEIRO, Carlos Tavares; DIAS, João; SOUZA, 
Luís. Desenho Técnico Moderno. 4. ed. São Paulo, LTC, 
2013. 475 p. ISBN 978-85-216-1522-4.
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 97
ROCHA, Ana Júlia Ferreira; GONÇALVES, Ricardo Simões. 
Desenho técnico. 6. ed. São Paulo: Plêiade, 2008-2011. 
107p. ISBN 978-85-7651-069-7.
SPECK, Henderson José; PEIXOTO, Virgílio Vieira. Manual 
básico de desenho técnico. 3. ed. Florianópolis: Ed. da 
UFSC, 2004. 179 p. (Série didática) ISBN 85-328-0097-1.
ABNT - NBR 10647. Desenho técnico – Norma Geral. Rio de 
Janeiro: ABNT, 1989.
ABNT - NBR 10067. Princípios gerais de representação em 
desenho técnico. Rio de Janeiro: ABNT, 1995.
ABNT - NBR 8403. Aplicação de linhas em desenhos – Tipos 
de linhas – Largura das linhas. Rio de Janeiro: ABNT, 1984.
Atividades
 1) Marque a alternativa que representa as vistas ortográficas 
mais comumente representadas no primeiro diedro:
a) O acúmulo de linhas tracejadas dificulta a leitura e in-
terpretação dos objetos, fazendo com que os projetistas 
optem por representá-los através de vistas seccionadas.
b) Uma linha de centro é denominada pela NBR8403/1984 
como traço e ponto larga, sendo que para pequenos fu-
ros é possível fazer uma linha contínua estreita.
c) As linhas de centro são muito úteis na cotagem de dese-
nhos e não devem se estender para além dos limites do 
desenho.
98 Computação Gráfica Aplicada à Produção
d) As geratrizes de um objeto cilíndrico estarão sempre sen-
do representadas através de linhas curvas, independente 
do plano de projeção.
e) A representação das arestas ocultas é optativa pelo fato 
de as normas da ABNT não fazerem referência a esses 
tipos de linhas.
2) Julgue as afirmativas e marque a opção correta:
I - Quando uma superfície curva encontra-se paralela a um 
plano de projeção, sua imagem estará representada em 
Projeção Reduzida, através de linhas retas.
II - Durante a leitura das vistas ortográficas, algumas ares-
tas poderão estar ocultas em relação ao observador e, 
nesses casos, deverão ser representadas por linhas pon-
tilhadas.
III - Quando uma superfície curva encontra-se perpendicu-
lar a um plano de projeção, sua imagem estará repre-
sentada em Projeção Acumulada através de uma linha 
curva.
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
c) As alternativas I e III estão corretas.
d) Somente a afirmativa III está correta.
e) Todas as afirmativas estão corretas.
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 99
 3) Dadas as vistas frontal e superior do objeto a seguir (Figura 
14), marque a alternativa correspondente a sua vista late-
ral esquerda.
14
 4) Dadas as vistas frontal e lateral esquerda do objeto a se-
guir (Figura 15), marque a alternativa correspondente a 
sua vista superior.
100 Computação Gráfica Aplicada à Produção
15
 5) Dadas as vistas frontal e superior do objeto a seguir (Figura 
16), marque a alternativa correspondente a sua vista late-
ral esquerda.
Capítulo 5 Desenho Técnico – Arestas Ocultas/Superfícies Curvas 101
16
Gabarito: 1) a 2) c 3)b 4) d 5) e
??????????
Capítulo ?
Desenho 
Técnico – Cotagem1
Introdução
Vimos, nos capítulos anteriores, que o desenho técnico repre-
senta o que deve ser executado ou fabricado. E, para que os 
objetivos dos projetistas sejam alcançados, a representação de 
um objeto deve sempre se preocupar com a sua forma, as suas 
dimensões e a sua utilização.
1 Graduado em Engenharia Civil. Mestre em Geotecnia. Professor do Curso de 
Engenharia Civil da Ulbra.
Ivan Battastini1
Capítulo 6
Capítulo 6 DesenhoTécnico – Cotagem 103
Estivemos até agora preocupados com a correta represen-
tação da forma dos objetos, através do desenho projetivo. No 
entanto, para a execução de uma peça, além da representa-
ção de suas projeções, torna-se imprescindível informar suas 
dimensões, ou seja, suas medidas, bem como a precisa locali-
zação de seus detalhes (furos, etc.) e informações complemen-
tares. Esse processo de quantificação da forma é denominado 
cotagem do objeto e está regido pela NBR 10126.
Qualquer objeto pode ser decomposto em um conjunto de 
formas geométricas básicas se for indicada:
 Â a grandeza de cada uma dessas formas elementares;
 Â sua posição relativa, a partir das linhas de base ou su-
perfície.
Com isso, pode-se realizar a cotagem de forma completa 
de qualquer peça.
1. Regras básicas para aplicação de cotas
a. As cotas devem ser representadas em caracteres que 
possibilitem completa legibilidade.
b. Representa-se diretamente no desenho, de maneira cla-
ra, toda a cotagem necessária para descrever a peça ou 
componente.
c. Deve-se evitar de cotar linhas representativas de arestas 
não visíveis, se necessário, aplicando um corte.
104 Computação Gráfica Aplicada à Produção
d. Deve-se indicar sempre as medidas totais de uma peça 
(altura, comprimento, largura).
e. Cada elemento deve ser cotado apenas uma vez, inde-
pendente do número de projeções que tiver, evitando-se 
cotas duplicadas.
f. A cotagem deve ser iniciada pela vista ou corte que re-
presente mais claramente o desenho (vista mais caracte-
rística) e deve ser distribuída em todas as vistas, pois deve 
indicar todas as dimensões da peça.
g. As cotas indicadas nos desenhos são sempre as cotas 
reais do objeto, independente da escala que estiver sen-
do aplicada para a representação do desenho projetivo.
h. Deve-se cotar entre vistas e o mais próximo possível ao 
detalhe a cotar.
i. Não pode ser omitida nenhuma cota necessária para a 
definição da peça.
j. Não cotar o desnecessário, observar sempre a que se 
destina a planta.
k. Evitar usar linhas do desenho como linhas de cota.
l. As cotas devem ser localizadas preferencialmente fora do 
contorno das peças, embora, por questão de clareza, po-
dem estar localizadas no interior das peças, por exemplo, 
na cotagem de furos.
Capítulo 6 DesenhoTécnico – Cotagem 105
2. Elementos de cotagem
Os elementos de cotagem correspondem às anotações gráfi-
cas necessárias ao processo de dimensionamento, de acordo 
com a Figura 1.
Figura 1
As linhas de cota são do tipo estreitas e traço contínuo, limita-
das por setas ou traços oblíquos nas suas extremidades. As linhas 
de cotas não devem ser interrompidas, mesmo nos casos em que 
o objeto esteja interrompido (vista interrompida – Figura 2).
Figura 2
106 Computação Gráfica Aplicada à Produção
As linhas auxiliares são do tipo estreitas e traço contínuo, 
devendo ser prolongadas ligeiramente além da linha de cota, 
e não devendo tocar o contorno do desenho (costuma-se dei-
xar um espaço de 1mm).
As linhas auxiliares devem ser perpendiculares ao elemento 
cotado, de acordo com a Figura 2; mas, caso haja necessi-
dade, podem ser desenhadas obliquamente a este e paralelas 
entre si, conforme a Figura 3.
Figura 3
Para facilitar a leitura do desenho, deve-se evitar que as li-
nhas auxiliares e de cota cruzem com outras linhas, bem como 
a representação de cotas em linhas tracejadas (Figuras 4 e 5).
Figura 4
Capítulo 6 DesenhoTécnico – Cotagem 107
Figura 5
Os algarismos das cotas não devem ficar separados ou 
sobrepostos por arestas, linhas de eixo etc. (Figura 6).
Figura 6
108 Computação Gráfica Aplicada à Produção
A indicação do limite da linha de cota é representada atra-
vés de setas ou traços oblíquos (Figura 7). As setas fechadas 
são as usualmente utilizadas para essa indicação quando se 
trata de máquinas e equipamentos, sendo os traços oblíquos 
empregados em desenhos arquitetônicos.
Figura 7
Em um mesmo desenho, somente uma dessas indicações 
deve ser usada e deve ser de um único tamanho, cabendo ex-
ceções para cotar espaços muito pequenos (Figura 8).
Figura 8
Capítulo 6 DesenhoTécnico – Cotagem 109
3. Métodos de cotagem
Estão disponíveis dois métodos de cotagem, sendo que no 
mesmo desenho devemos empregar apenas um desses méto-
dos.
Método 1: As cotas devem estar localizadas acima e para-
lelamente às suas linhas de cota e, preferencialmente, no meio 
(Figura 9).
Figura 9
Método 2: As cotas devem ser lidas da base da folha de 
papel. Nesse caso, as linhas de cota devem ser interrompidas 
preferencialmente no meio para a inscrição da cota (Figura 10).
Figura