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CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
Campus Buritis 
ATIVIDADE: Estudo Dirigido 
PROFESSOR: LUIZ BRANT PERÍODO: 9o TURNO: NOITE 
DISCIPLINA: TEORIA DE VIBRAÇÕES DATA: 30/06/2020 VALOR: 10 Pts 
NOME: Devanir da Silva Pereira RA:11612945 
NOME: Eduardo Lopes dos Santos RA:11613024 
EXCITAÇÃO PELA BASE 
Frequentemente, máquinas ou partes de máquinas são harmonicamente excitadas através de sua base elástica, que 
pode ser representada por molas e amortecedores. Por exemplo, um automóvel é excitado harmonicamente pela 
superfície de uma estrada através de seu sistema de suspensão, o qual pode ser modelado por uma mola linear em 
paralelo com um amortecedor viscoso conforme figura 1. 
 
Figura 1: Representação de um veículo sendo excitado pela base devido às ondulações da estrada. 
Outros exemplos como o coxim que suporta e separa o motor da carroceria de um automóvel, ou o motor posicionado 
na asa ou na cauda de uma aeronave. Cada sistema pode ser modelado considerando-o ser excitado por meio da 
movimentação de seu suporte. Estas formas de excitação são denominadas Excitação pela Base ou Movimento do 
Suporte, e podem ser modelados conforme figura 2. 
 
Figura 2: Modelo de problema de excitação pela base de um objeto de massa m sendo excitado por um deslocamento harmônico y(t), atuando através de um 
sistema mola e amortecedor. 
Somando as forças relevantes sobre a massa m, figura 2 resulta: (isto é, a força inercial m�̈� é igual à soma das duas 
forças atuando sobre a massa m): 
0)()(  yxkyxcxm.  
Para o problema de excitação pela base, assume-se que a base se move harmonicamente, de forma que: 
 
 
Onde Y representa a amplitude do movimento da base e b a frequência de oscilação da base. A substituição de y(t) 
da equação (2) na equação de movimento (1) fornece, após aplicação de algumas relações trigonométricas e alguns 
reagrupamentos: 
y(t) = Y.sen(
b
.t) 
(1) 
(2) 
   











b
bb
c
k
tckYkxxcxm.



1
22
tan
cos
 
A equação 3 se assemelha à equação diferencial obtida quando do somatório de forças envolvidas na Vibração Forçada 
Amortecida, dada abaixo em (4): 
tFkxxcxm. o cos  
O que faz concluir que fornecer excitação à base equivale a aplicar uma força harmônica Fo de magnitude igual a 
 22 bckY  , porém com fase: 








 
bc
k

 1tan
 e frequência b. 
Portanto, a resposta permanente da equação (3) de Excitação pela Base é a mesma daquela obtida na Vibração 
Forçada Amortecida: 
 
   
























b
bn
bn
bnbn
o
b
c
k
f
X
tXx(t)x(t)







1
22
1
2222
permanenteparticular
tan
2
tan
2
cos
 
onde fo pode ser obtido de: 
 22 bo
oo
ckYF
mFf


 
Portanto, substituindo (6) em (5), tem-se a amplitude X da resposta permanente de uma massa apoiada sobre mola e 
amortecimento equivalente, submetida a um deslocamento da base Y(t): 
 
 
 
   

























b
n
bn
bn
bnbn
bn
n
b
YX
tXx(t)x(t)










2
tan
2
tan
2
2
cos
1
22
1
2222
22
permanenteparticular
 
Onde: n é a frequência natural do sistema e b é a frequência de entrada da base. 
 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
Transmissibilidade de Deslocamento 
 
Expressa a razão da magnitude máxima da resposta e a magnitude do deslocamento de uma entrada. É usada para 
descrever como o movimento é transmitido desde a base até a massa m. Saída X em função da entrada Y. 
 
Figura 3: Transmissibilidade de deslocamento X / Y 
 
A partir da equação (7), tem-se: 
 
   2222
22
2
2
bnbn
bn
n
Y
X






 
 
Adotando o conceito de razão de frequência r = b / n, e substituindo em (8), tem-se: 
 
 
   222
2
21
21
rr
r
Y
X





 
 
Com base na equação 9, o gráfico da Transmissibilidade de Deslocamento (X/Y) em função da razão de frequência r 
pode ser plotado para diferentes valores de : 
 
Figura 4: Gráfico da Transmissibilidade de deslocamento (X / Y) em função da razão de frequências (r) para diferentes valores de . 
 
A análise do gráfico permite concluir alguns pontos: 
1) Próximo a r = 1 (ressonância), a máxima quantidade de movimentação da base é transferida para a massa m. 
2) Para r < 2 a razão de transmissibilidade é maior que 1, indicando que para estes casos, o movimento da 
massa é amplificado em relação ao movimento da base. A razão de amortecimento , determina o nível desta 
amplificação. Quanto maior, menor a amplificação. 
3) Para r > 2 a razão de transmissibilidade é menor que 1, indicando que para estes casos, o movimento da 
massa é menor em relação ao movimento da base (redução). A razão de amortecimento , determina o nível 
desta redução, porém, nestes casos, quanto menor , maior a redução. 
(8) 
(9) 
Transmissibilidade de Força 
 
Expressa uma medida adimensional de quanto o deslocamento da base de amplitude Y resulta em uma força aplicada 
sobre a massa FT. 
 
 
 
 
Ao contrário da transmissibilidade de deslocamento, a força transmitida não necessariamente diminui para r > 2. De 
fato, a medida que o fator de amortecimento aumenta, a força transmitida também aumenta para r > 2, conforme 
gráfico da figura 5. 
 
Figura 5: Gráfico da Transmissibilidade de força (FT / kY) em função da razão de frequências (r) para diferentes valores de . 
 
A fim de comparação, os gráficos de Transmissibilidade de Deslocamento e Transmissibilidade de Força podem ser 
sobrepostos, resultando no gráfico da figura 6: 
 
 
 
   222
2
2
21
21
rr
r
r
kY
FT




 (10) 
Transmissibilidade de Deslocamento 
Transmissibilidade de Força 
EXEMPLO: 
Um exemplo muito comum de excitação pela base é o modelo com um grau de liberdade de um automóvel sendo 
guiado sobre uma pista acidentada, conforme figura abaixo. A pista é aproximadamente uma senoidal, promovendo 
sobre a base um deslocamento dado por: 
tsenmty b)01,0()(  
Determine o efeito do valor da velocidade sobre a amplitude de deslocamento do automóvel. Assuma que o sistema 
de suspensão forneça uma rigidez equivalente de 4x105 N/m e amortecimento de 20x103 N.s/m sobre um automóvel 
de massa 1.007 kg à 20 km/h. Posteriormente, analise o efeito da variação da massa do carro. 
 
 
A frequência de deslocamento da base b pode ser encontrado em função da velocidade v do veículo: 
 
𝜔𝑏 = 𝑣 (
𝑘𝑚
ℎ
) (
1
0,006𝑘𝑚
) (
ℎ𝑜𝑟𝑎
3600𝑠
) (2𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
) = 0,2909. 𝑣 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
A 20 km/h, b = 5,818 rad/s 
 
A frequência natural do sistema pode ser calculada por: 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
4 𝑥 105
1.007
= 19,93 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Por sua vez, a razão de frequências r = 5,818 / 19.93 = 0,292 e a razão de amortecimento é igual: 
 
𝑐
2√𝑘. 𝑚
=
20.000
2√4𝑥105. 1007
= 0,498 
 
Por fim, a amplitude da deflexão experimentada pelo veículo pode ser calculada pela equação (9): 
 
𝑋 = 0,01√
1 + [2(0,498)(0,292)]2
[1 − (0,292)2]2 + [2(0,498)(0,292)]2
= 0,0108 𝑚 
Isto significa que 1 cm de irregularidade da estrada é transformado em 1,1 cm de “solavanco” experimentado pelo 
chassis e consequentemente transmitido para os ocupantes. Consequentemente, a suspensão amplifica as 
irregularidades da estrada nestas circunstâncias. A tabela 1 lista diferentes valores de deslocamento para dois 
diferentes veículos viajando a 4 diferentes velocidades, submetidos a irregularidade de 1 cm. 
 
Tabela 1 – Comparação de velocidade, frequência e deslocamento para dois diferentes veículos 
 
O veículo 1, com razão de frequências r1 é um carro popular com 1.007 kg de massa, enquanto o veículo 2 é um sedã 
de 1.585 kg com razão de frequência r2. A mesma suspensão foi usada em ambos os veículos para ilustrar a 
necessidade de projetar sistemas de suspensão baseados nas especificações dos veículos. Note que, para altas 
velocidades, menores vibrações são experimentadaspelos ocupantes do sedã. Note também que os parâmetros da 
suspensão escolhidos (k e c) trabalham melhor para o sedã, exceto para velocidades muito baixas. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Uma retífica está apoiada sobre um isolador que tem uma rigidez de 1x106 N/m e uma constante de amortecimento viscoso 
de 1x103 Ns/m. O piso sobre a qual a máquina está montada está sujeito à uma perturbação harmônica devido ao 
funcionamento de um motor desbalanceado próximo à retífica. Determine a máxima amplitude de deslocamento aceitável 
do piso se a amplitude de vibração resultante da roda de esmeril deve ficar restrita a 10-6m. Suponha que a retífica e o esmeril 
são um corpo rígido com massa equivalente a RA3 kg. (RA3 corresponde aos 3 últimos algarismos do RA de um dos membros 
da dupla). 
 
 
 
2) Um compressor de ar de 100 Kg de massa está montado sobre uma fundação elástica. Observou-se que, quando uma força 
harmônica de 100 N é aplicada ao compressor, o deslocamento máximo em regime permanente de RA1 mm ocorreu à 
frequência de 300 rpm. Determine a constante de rigidez e de amortecimento equivalente da fundação. (RA1 corresponde ao 
último algarismo não nulo do RA de um dos membros da dupla). 
 
 
 
3) O sistema modelado conforme figura ao lado possui massa de 225Kg com uma rigidez da mola de 
3,5x104N/m. Calcule o coeficiente de amortecimento dado que o sistema possui deflexão (X) de 0,7 
cm quando excitado em sua frequência natural enquanto a amplitude da base (Y) é medida, sendo 
0,3 cm. 
 
 
 
4) Considere um problema de excitação pela base. (a) Calcule a razão de amortecimento necessário para manter a magnitude 
da transmissibilidade de deslocamento menor que 0,55 para uma razão de frequências de r = 1,8. (b) Qual o valor da 
transmissibilidade da força para o sistema cujo  foi calculado em (a)? 
 
ORIENTAÇÕES 
1) Preencha Nome e RA da dupla na primeira página deste documento; 
2) Faça o estudo dirigido do conteúdo exposto sobre “Excitação pela Base”; 
3) Resolva os exercícios propostos em uma folha à parte, mantendo toda a memória de cálculo, e digitalize este 
material no formato PDF; 
4) Transcreva as respostas encontradas dos exercícios para o gabarito abaixo e salve este documento no formato 
PDF. 
5) Unifique os dois arquivos, memória de cálculo digitalizada e estudo dirigido com gabarito, em um único 
arquivo compactado (ZIP, RAR, etc.) e poste nas tarefas do canvas até a data definida. Apenas um aluno da 
dupla precisa postar o trabalho. 
 
GABARITO 
RA utilizado: 11612945 
 
1. Y = 3,15x10 -4 m 3. c = 1329,93 Kg/s 
2. k = 98696,52 N/m 4.a)  = 0,237 
 c = 2221,1 Kg/s 4.b) FT / k.Y = 1,7819 
 
Questão 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 e 4