Gabarito das Atividades do AVA Controle de Vibrações

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Do estudo da Mecânica sabemos que o físico Robert Hooke estudou o comportamento dos sistemas 
elásticos, e concluiu que a intensidade da força elástica é proporcional à deformação da mola. 
Considerando que a constante elástica de uma mola seja de 60 N/cm e nessas circunstâncias, a deformação 
sofrida pela mola ao ser solicitada por uma força de intensidade 240 N é de cerca de: 
Escolha uma: 4x10-2 m 
 
Se usar duas molas em paralelo e aplicar uma carga sobre elas, as duas se deformarão igualmente e, com 
isto, o deslocamento do sistema será exatamente igual a deflexão das molas. Nesta realidade, pode-se dizer 
que a rigidez resultante do sistema em paralelo é dada pela somatória direta da rigidez de cada uma das 
molas. Já quando se usa duas molas em série e aplica-se uma carga sobre elas, vê-se que a deformação das 
molas será diferente do deslocamento total do sistema. Por conta desta realidade, a rigidez equivalente (eq k) 
do sistema não mais é dada por uma soma simples, mas sim por uma equivalência de relações entre os 
elementos de deformação da mola, resultado da intensidade da carga aplicada sobre o sistema. 
. 
 
Deseja-se reduzir um sistema mecânico constituído por uma massa e três molas (k1,k2 e k3) um sistema 
massa- mola básico de um grau de liberdade. Considerando o sistema linear e a disposição dos elementos, 
mostrada na figura, a rigidez equivalente desse sistema é obtida pela combinação das molas 
Escolha uma: 
k1, k2 e k3 em paralelo 
 
As molas podem ser definidas de uma forma geral como estruturas ou dispositivos que exibem deformação 
elástica quando carregados, e que recuperam a sua configuração inicial quando a carga é removida. 
Normalmente o termo mola denota um dispositivo elástico especialmente configurado para exercer forças ou 
torques desejados, para fornecer flexibilidade, ou para armazenar energia potencial de deformação e ser 
liberada mais tarde. 
 
As orientações para a seleção de materiais ideais para determinados serviços, seguem orientação e normais 
pré-estabelecidas segundo padrões de serviço e aplicação, já previamente testados em ensaios de laboratório 
e segundo as características mecânicas dos próprios materiais. Sugere-se que os materiais candidatos para 
molas tenham: 
I- Alta resistência. 
II- Alta resiliência. 
III- Boa resistência a fluência. 
IV- Boa resistência a corrosão. 
V- Resistência ao impacto. 
A respeito das asserções referente as propriedades das molas, assinale qual das alternativas está correta. 
Escolha uma: 
I, II, III, IV, apenas. 
 
Considere que a análise da vibração de um veículo é realizada pelo modelo simplificado de um sistema com 
um único grau de liberdade. Essa simplificação impõe a determinação da rigidez elástica equivalente às 
quatro molas da suspensão. 
Considerando as informações a rigidez equivalente a essas quatro molas deve considerar as 
Resposta: 
Quatro molas combinadas em série 
Explicação: 
Não podemos balancear as rodas do carro separadamente, o alinhamento correto é com as quatro rodas 
balanceadas por igual, para assim, uma estabilidade correta do veículo. 
Escolha uma: quatro molas combinadas em série. 
 
Nos mecanismos mecânicos é muito comum se deparar com sistema de molas associadas, contudo, com o 
objetivo de obter o sistema mecânico padrão, no qual existe apenas uma mola, há necessidade de encontrar 
uma mola fictícia cuja rigidez seja equivalente à da associação dada. As associações mais comuns são: 
molas em série, molas em paralelo, molas associadas com alavancas, molas inclinadas e molas associadas 
com polias. 
Um bloco com 35 kg está apoiado pelo conjunto de molas mostrado na figura. O bloco é deslocado 
verticalmente para baixo e em seguida libertado. Sabendo que a amplitude do movimento resultante é de 45 
mm, determine a constante de rigidez equivalente. Considere k1 = 16 kN/m, k2 = k3 = 8 kN/m. 
Escolha uma: 
32 kN/m. 
 
Vibração mecânica surgem geralmente quando um sistema é deslocado da sua posição de equilíbrio estável. 
Em geral, quando o sistema é deformado, tende a voltar a sua forma primitiva, quando da ação de forças 
restauradoras. A repetição deste processo é chamado movimento oscilatório. 
Uma mola helicoidal de compressão deverá operar em um mecanismo com uma deflexão inicial de 50 mm e 
uma variação de força correspondente a 160 N, ao longo do seu curso. Dada a constante de rigidez da mola, 
igual a 1.600 N/m, a deflexão final dessa mola, em mm, é: 
 
150 mm 
Sabemos que a força elástica representa a força capaz de provocar uma determinada variação no 
comprimento de uma mola. Essa força é diretamente proporcional à deformidade que provoca na mola e 
pode ser calculada pela seguinte expressão - 
Fe = K·Δx 
Onde, 
F ⇒ intensidade da força aplicada (N); 
k ⇒ constante elástica da mola (N/m); 
x ⇒ deformação da mola (m). 
Assim, teremos - 
160N = 1.600 N/m · Δx 
Δx = 160/1600 
Δx = 0,1 metros 
Para transformar em mm devemos multiplicar o valor em metros por 1000- 
Δx = 0,1 × 1000 
Δx = 100 mm 
Como a deflexão inicial era de 50 mm, 
a deflexão final será de- 
100 + 50 = 
150 mm 
 
Escolha uma: 
150. 
 
A maioria dos componentes mecânicos está sujeita a cargas que variam com o tempo e, portanto, têm 
características dinâmicas. Assim as análises dos problemas de vibração torna-se importante em qualquer 
projeto mecânico, tonando-se vital o seu entendimento físico e consequentemente, o seu equacionamento. 
Podemos citar como exemplos de características dinâmicas de vibração: 
 
I- O balanceamento de máquinas. 
II- Vibrações torcionais de eixos. 
III- Vibrações em pás de turbinas. 
IV- Vibrações em componentes de motores. 
V- Vibração em componentes mecânicos estruturais. 
Dentre as características citadas, quais são as que caracterizam os modelos dinâmicos de vibração. 
Escolha uma: 
As características I, II, III, IV e V são verdadeiras. 
 
Os movimentos vibratórios ou oscilatórios presentes nas máquinas, ou são movimentos essenciais dos quais 
dependem o próprio funcionamento da máquina, ou são movimentos perturbadores, isto é, trepidações 
prejudiciais, que necessitam ser eliminadas ou pelo menos reduzidas a níveis aceitáveis. 
Esses níveis aceitáveis normalmente estão associados a questão de segurança, como por exemplo: 
Escolha uma: 
a garantia de que não ocorrerá falha em um componente estrutural, ocasionada em alguns casos pelo 
fenômeno da fadiga, que se manifesta sob ação de cargas repetitivas na estrutura. 
 
Os carregamentos considerados admitem que as cargas atuantes na estrutura agem estaticamente. A estrutura 
é carregada lentamente até atingir a sua carga máxima e para esta determina-se a configuração deformada e 
as forças internas nos elementos. Assim, as cargas são aplicadas tão lentamente na estrutura, e geram 
movimentos tão lentos nela, que em qualquer instante a resposta pode ser calculada por uma análise estática. 
As deformações resultantes na estrutura, associadas às forças aplicadas se desenvolvem também lentamente 
e atingem seus valores máximos quando o carregamento externo também for máximo. É importante notar 
que embora o carregamento varie com o tempo, em cada instante a resposta pode ser calculada por 
intermédio de uma análise estática. 
 
Em estruturas metálicas, como em vigas, as vibrações ocorrem de forma regular ou irregularmente em um 
período de tempo. Quanto à classificação das vibrações, é mais correto afirmar que: 
 
I. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, quanto ao conhecimento da 
força e quanto aos diversos elementos. 
II. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, quanto ao conhecimento da 
força e quanto a ressonância. 
III. As vibrações podem ser classificadas quanto ao modo de vibração, à ressonância, quanto à vibrações 
diversas e quanto aos diversos elementos. 
IV. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação,
e ao amortecimento. 
V. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, força vibratória e quanto aos 
diversos elementos. 
É correto o que se afirma em: 
I, apenas. 
 
O número de grau de liberdade de um sistema mecânico é o número de componentes de deslocamento que 
são requeridos para localizar completamente todas as massas constituintes do sistema. Em particular, nas 
aplicações da mecânica estrutural, os diversos componentes de deslocamentos presentes e que definiam a 
condição deformada, são tratados a partir desse conceito. Nas aplicações da análise dinâmica, os 
deslocamentos variam com o tempo e ocorre a presença de forças de inércia. 
ALVES FILHO, A. Elementos Finitos. São Paulo: Erica, 2005. 
A análise das vibrações que ocorrem em um motor instalado sobre uma superfície de base elástica, é 
modelada pela análise matemática de três graus de liberdade, sendo dois de rotação e uma de translação 
vertical. A análise desses modelos nos permite determinar suas frequências naturais, pela qual cada uma esta 
associada: 
a possível frequência de ressonância do motor. 
As vibrações estão presentes em todos os dispositivos mecânicos e são características naturais da 
ressonância destes dispositivos e embora sejam comuns, as vibrações mecânicas são em geral indesejáveis, 
pois podem causar danos a máquinas e equipamentos, bem como aos operadores quando expostos por um 
período consideravelmente longo. Entretanto, é possível usar a vibração também de forma positiva, para 
detectar com antecipação a presença de falhas que podem comprometer a continuidade do serviço, ou 
mesmo colocar em risco a integridade da máquina. 
 
Analise as afirmativas a seguir, no sentido dos problemas que podem ser detectados por meio da análise de 
vibrações. 
( F ) Insuficiência da viscosidade do lubrificante. 
( V ) Rolamentos deteriorados. 
( V ) Engrenagens defeituosas. 
( V ) Acoplamentos desalinhados. 
( V ) Elementos de fixação. 
As vibrações podem parecer algo inofensivo, porém, os males causados por exposições constantes, assim 
como a ruídos, pode ocasionar diversos danos físicos aos trabalhadores, como perda do equilíbrio, alteração 
no sistema cardíaco, falta de concentração para o trabalho, dentre outros. 
A respeito das características das vibrações e de seus efeitos, analise as afirmativas, julgue Verdadeiro (V) 
ou Falso (F). 
( V ) As vibrações podem ser classificadas de acordo com o modo que são transmitidas ao corpo em: 
vibração de corpo inteiro e vibração transmitida por meio das mãos. 
( F) A vibração transmitida por meio das mãos pode ser produzida por diversos processos em que são 
utilizadas ferramentas manuais, como motosserras, furadeiras e britadeiras, sendo que, a ação repetitiva 
desses estressores sobre o corpo humano prejudica somente o sistema nervoso periférico, diferentemente da 
vibração de corpo inteiro. 
( V ) A exposição à vibração de corpo inteiro pode ocasionar sensação de desconforto, mau humor, 
influenciar o desempenho e oferecer risco à saúde e à segurança do trabalhador. 
( V ) Indivíduos expostos à vibração por meio das mãos podem apresentar insônia, esquecimento e 
depressão à medida que os sinais e os sintomas progridem. Podem ainda apresentar alterações na circulação 
periférica, nervosa e muscular, na articulação e no sistema nervoso central e autônomo, associadas a perda 
auditiva, nistagmo (oscilações rítmicas, repetidas e involuntárias de um ou ambos os olhos) e vertigem. 
Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências de ressonância. Não devemos submeter 
estas estruturas a uma força externa elevada que apresente uma destas frequências. Os projetistas de 
aeronaves asseguram-se de que nenhuma das frequências naturais, nas quais uma asa pode vibrar, coincide 
com a frequência de rotação dos motores em velocidade de cruzeiro. Não se pode deixar para descobrir 
durante o voo que a asa oscila violentamente em certas velocidades. 
A análise das vibrações ocorrentes em um motor instalado sobre uma base elástica é realizada por meio de 
um modelo físico com três graus de liberdade, sendo um de traslação vertical e dois de rotação. A análise 
dos resultados do modelo matemático representativo das vibrações desse motor permite determinar suas três 
frequências naturais, cada uma das quais está relacionada a um(a) 
possível frequência de ressonância do motor. 
A relação entre a frequência angular da força externa, ω, e a frequência natural das oscilações, ω0, determina 
o valor da amplitude das oscilações, xm. A amplitude das oscilações será máxima quando: ω = ω0, condição 
que é denominada ressonância. Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências naturais de 
ressonância, portanto, não devemos submeter estas estruturas a uma força externa elevada que possa 
apresentar uma destas frequências pois a estrutura poderá chegar a uma condição crítica de operação seja um 
dispositivo mecânico ou estabilidade caso represente uma estrutura. 
Com base nas informações, tomemos como base a analise da vibração de um motor instalado sobre uma 
base elástica. Verificou-se que, quando sujeito a uma rotação de 3.600 rpm, o motor entra em ressonância. 
Desconsiderando-se qualquer efeito dissipativo do sistema, uma das frequências naturais do sistema, em Hz, 
é de: 
Desconsiderando-se qualquer efeito dissipativo do sistema, uma das frequências naturais do sistema, é de: 
60 Hz. 
Temos a analise da vibração de um motor instalado sobre uma base elástica que, quando sujeito a uma 
rotação de 3.600 rpm, o motor entra em ressonância. 
Então, sabemos que o Hertz corresponde a 1 ciclo por segundo. Se algo oscila a uma freqüência de 1 ciclo 
por segundo, em 1 minuto ele dará 60 oscilações, ou o que é o mesmo, 60 revoluções por minuto; assim: 
1 Hz = 60 RPM 
Por tanto, a frequências naturais do sistema em Hz é de: 
 
Uma função harmônica pode ser representada como linhas verticais em um diagrama de amplitude em 
relação à frequência, denominado espectro de frequência ou diagrama espectral. Uma função harmônica 
pode também ser representada através de séries de Fourier no domínio do tempo, o qual no domínio da 
frequência, quando se monta um gráfico em que apresenta a amplitude em relação a frequência em que esta 
ocorre. Isto é muito útil quando está trabalhando com sistemas reais, pois estes apresentam infinitas 
frequências naturais, sendo que quando se faz uma representação no domínio da frequência pode ver 
perfeitamente quais são as frequências que devem ser evitadas. 
No acompanhamento e monitoração de uma máquina, foram registradas vibrações, com grande número de 
picos harmônicos e elevado ruído de fundo. 
 
 
O espectro de frequência apresentado, indica a existência de: 
folgas mecânicas. 
O movimento oscilatório conhecido como periódico é caracterizado por movimentos repetidos a intervalos 
de tempo iguais, sendo denominado movimento harmônico o tipo mais simples de movimento periódico. 
(RAO, 2008 p. 21) 
Um móvel executa um movimento harmônico simples de equação onde t é dado em 
segundos e x em metros. Após 2,0 s, a elongação do movimento é: 
5,7 m. 
A maioria dos componentes mecânicos estão sujeitos a esforços de cargas que variam com o tempo. Este 
mecanismo sofre com desgastes e perturbações naturais e portanto precisam ser analisados a fim de se 
prever danos e realizar manutenções periódicas para garantir a vida útil de sua operação. Embora diversos 
problemas podem ser evitados e corrigidos com certa precisão e cautela, estes componentes estão sujeitos a 
outro tipo de intercorrência que não se trata de um problema, mais sim, de uma característica natural de 
operação, trata-se da vibração. Os movimentos vibratórios ou oscilatórios estão presentes nas máquinas ou 
são naturais de seu funcionamento, porém, podem ser movimentos perturbadores que devem ser eliminados 
ou atenuados com algum tipo de estudo
de amortecimento, para garantir níveis aceitáveis de operação, que 
também se adequam as questões de segurança. 
Considerando os efeitos previstos pela vibração excessiva de um dispositivo, num projeto de elemento de 
máquinas, alguns engenheiros sugeriram balancear o eixo de rotação de um motor, de diâmetro 30 mm, para 
reduzir trepidações no dispositivo mecânico. Sabe-se que a velocidade angular de rotação do eixo é de cerca 
de 20π rad/s e que a força tangencial de transmissão é de aproximadamente 18kN. 
 
Fonte: MELCOMIAN, Sarkis. Mecânica técnica e Resistência dos Materiais. 18ª ed. São Paulo: Érica, 2007. 
Para tal, qual seria a frequência de operação deste motor? 
10 Hz 
Todos sistemas mecânicos tendem a vibrar quando do início de sua operação e as vibrações. Porém, as 
vibrações podem oferecer riscos quanto a exposição constante ou por longo período, a transmissão de 
vibrações mecânicas. Nosso corpo, como qualquer outro dispositivo, é considerado um sistema massa mola 
e por esta razão, sofre efeitos vibratórios. 
Dentre algumas das maneira de atenuar os efeitos vibratórios, pode-se destacar: 
I - Substituir o equipamento ou selecionar aquele que produza o mínimo de possível vibração. 
II - Instalação de amortecedores de vibração em assentos ou com sustentação a ar equipamentos móveis 
(trator, caminhão, entre outros). 
III - A calibração de pneus dos veículos contribuem para diminuição das vibrações transmitidas em veículos 
móveis. 
IV - Uso de ferramentas com características antivibratórias. 
V - Elaborar programas de manutenção dos equipamentos e das instalações. 
 
A maioria dos componentes mecânicos está sujeita a cargas que variam com o tempo e, portanto, têm 
características dinâmicas. Assim, a análise de problemas de vibração torna-se importante em qualquer 
projeto mecânico, tornando-se vital o seu entendimento físico e, consequentemente, o seu equacionamento. 
Estão inseridos nesta classe de problemas: o balanceamento de máquinas, vibrações torcionais de eixos, 
vibrações em pás de turbinas, vibrações em componentes motores, vibrações em automóveis, navios, aviões 
e, em geral, em componentes mecânicos e estruturas. 
Quando ocorre vibrações no veículo e oscilações no volante deve-se realizar: 
Balanceamento 
Em estruturas metálicas, como em vigas, as vibrações ocorrem de forma regular ou irregularmente em um 
período de tempo. Quanto à classificação das vibrações, é mais correto afirmar que: 
 
I. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, quanto ao conhecimento da 
força e quanto aos diversos elementos. 
Molas helicoidais são provavelmente as mais utilizadas do que qualquer outro tipo. As molas helicoidais 
podem ser usadas para suportar cargas compressivas (empurrando), cargas trativas (puxando) ou momentos 
torcionais (torcendo). 
Uma mola helicoidal de compressão deverá operar em um mecanismo com deflexões que variam entre 50 
mm e 150 mm, com uma variação de força correspondente a 160 N. A constante de rigidez dessa mola, em 
unidades SI, é: 
numa forma simples de pensar, F=k.x. 
se x é o deslocamento e a mola varia de 50mm a 150mm, podemos assumir um x de 100mm, ou 0,1m. sendo 
a variação de força 160N, podemos entender que para uma força de 160N a mola varia 0,1m. 
F=k.x 
k=F/x 
k=160N/0.1m 
k=1600 N/m 
Defini-se vibração como um movimento periódico, uma oscilação de uma partícula, um sistema de 
partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio que passa a oscilar quando sujeito a 
interferência de forças de inércias que se manifestam nas massas distribuídas na estrutura, aplicadas em 
várias direções, agindo de maneira a promover o deslocamento do corpo "graus de liberdade". Este 
movimento pode ser entendido como uma oscilação natural ou forçada que todo e qualquer sistema está 
sujeito a estas oscilações já que todo corpo é entendido como um sistema massa-mola e tende a excitar 
quando da aplicação destas forças. Contudo, para evitar que um sistema oscila de maneira a gerar 
perturbações excessivas e indesejáveis, busca-se atenuar estes deslocamentos com sistema amortecimento, 
reduzindo as oscilações e evitando sua propagação a índices indesejados. 
Para minimizar as vibrações de um motor, em decorrência do desbalanceamento de seus componentes, um 
engenheiro projetou uma base elástica de rigidez K constante e amortecimento desprezível. Se a massa do 
motor é M, e a força desbalanceadora periódica tem amplitude F0 ,considerando o sistema como sendo de 
um grau de liberdade, a amplitude dos deslocamentos vibratórios do motor é 
máxima quando o valor da rotação do motor coincidir com a frequência natural do sistema. 
Um sistema corpo-mola que apresenta um grau de liberdade, possui apenas uma frequência natural. Já em 
estruturas reais com vários graus de liberdade, existem diversos modos possíveis de vibrar com suas 
respectivas frequências naturais. Essa frequências naturais além de dependerem da massa e rigidez da 
estrutura, dependem também das condições de fixação da estrutura e seus apoios. Alguns casos, não 
apresentam apoio para a estrutura como é o caso do avião. 
Um motor, cuja massa vale 20 kg, ao operar a 1.200 rpm entra em ressonância. Sendo esse sistema 
representado por um modelo de um grau de liberdade, e desprezando-se os efeitos dissipativos, o valor da 
rigidez da base elástica sobre a qual o motor está montado, em kN/m, encontra-se entre: 
 
Quando se aplica uma força externa a um sistema Mecânico perturba o seu equilíbrio estático estável e, em 
seguida remove esta força, o sistema vibra em torno da sua posição original de equilíbrio. As vibrações que 
o sistema experimenta após a remoção da força externa perturbadora são chamadas de vibrações livres, pois 
não são mantidas por nenhuma fonte excitadora externa ao sistema. 
ALVES FILHO, A. Elementos Finitos. São Paulo: Erica, 2005. 
Um corpo de massa m preso à extremidade de uma viga em balanço descreve um MHS em torno do ponto, 
como mostra a figura. A massa m é muito maior que a massa da viga. A função horária da elongação é dada 
por x(t) = 0,02.sen(50π.t+π), no SI. Esta equação descreve aproximadamente as vibrações livres em torno de 
O, em que é desprezado o amortecimento. 
 
 
Avaliando a equação de deslocamento do MHS, determinar qual a amplitude, a fase final, a pulsação e a 
frequência são, respectivamente. 
 
0,02 m; π rad; 50π rad/s; 0,04 s; 25 Hz. 
Quando um corpo de massa "m", preso a extremidade de uma mola helicoidal ideal e sem a presença de 
atrito, é retirado de sua posição de repouso, e em seguida, posto a oscilar, ele realiza um movimento 
oscilatório em torno de um ponto de equilíbrio. Este movimento é chamado de Movimento Harmônico 
Simples (MHS). 
Um sistema mecânico (exemplo: molas em paralelo) com dois graus de liberdade, sujeito a vibrações, possui 
duas frequências naturais e dois modos de vibração. Cada modo de vibrar representa a forma do movimento 
do sistema em vibração, que são 
livre, com as condições iniciais definidas pelas componentes do modo. 
Um corpo de massa m preso à extremidade de uma viga descreve movimento MHS em torno do ponto O, 
como mostra a figura. 
 
 A massa m é muito maior que a massa da viga. A função horária da elongação é dada por 
x(t)=0,02.sen(50π.t + π), no SI. Esta equação descreve aproximadamente as vibrações livres em torno de O, 
em que o amortecimento é desprezível. 
Com base nas informações referente ao sistema de vibração livre, qual das alternativas a seguir, representa a 
função horária da velocidade do MHS representado. 
v = π.cos(50π.t+π) 
Uma pessoa executa um movimento harmônico simples vertical com os seus dedos e registra esse 
movimento em uma folha de papel com uma caneta, como mostra a figura. 
 
 O período desse MHS é igual a 2 s. Em seguida, ela mantém o movimento vertical da caneta e se desloca 
simultaneamente para a direita, com velocidade constante
de 1,5 m/s, registrando no papel uma "senoide" 
como mostra a figura. 
Com base nas informações, determine a função horária da elongação desse MHS. 
u=0,2.sen (Pii.t+pii/2) 
O ponto P da extremidade da viga representada na figura, descreve um MHS de amplitude igual a 0,02 m e 
período T=0,06 s. 
 
Figura: condições iniciais para o equacionamento do movimento do ponto P. 
Fonte: ALVES FILHO, A. Elementos Finitos. São Paulo: Erica, 2005, p. 71. 
Determine a função horária da alongação u=f(t) desse ponto, supondo que, no instante inicial (t=0), a partir 
do qual se observa o movimento, o ponto P se encontre no ponto C, movimentando-se em sentido contrário 
ao eixo do movimento. 
u=0,02.sen(100π/3.t+5π/6). 
 
Vibração torcional é entendida como a oscilação de um corpo em relação a um eixo de referência. O 
movimento é descrito por uma coordenada angular e os esforços atuantes se apresentam na forma de 
momentos. Desta forma o elemento elástico apresenta um momento de restauração, resultante da torção 
deste mesmo elemento. Podemos constatar a presença da vibração torcional em eixos de transmissão de 
motores e máquinas, acoplamentos de sistemas de engrenagens e correias. 
O sistema de transmissão ilustrado na figura é constituído de um motor elétrico, dois eixos flexíveis e três 
engrenagens rígidas. O sistema é utilizado para acionar uma carga, representada pelo torque T(t), atuante na 
engrenagem (3). 
 
 AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
As equações diferenciais que permitem o estudo das vibrações torcionais desse sistema devem ser escritas 
segundo o(s) grau(s) de liberdade 
θ2 e θ3, apenas 
A figura mostra um corpo rígido, como um disco suspenso por um arame preso ao topo de um suporte físico. 
Quando o corpo é torcido por um ângulo θ, o arame torcido exerce sobre ele um torque restaurador quee é 
proporcional à posição angular, onde k representa o módulo de rigidez. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
 
Considerando que o período de duração da torção seja 1,2 s e que o momento de inércia seja 0,15 kg.m², 
determine a rigidez torcional da barra em questão. 
4,11 Nm/rad 
O pêndulo de torção é um outro sistema físico que realiza oscilações harmônicas se deslocado ligeiramente 
de sua posição de equilíbrio. Ele é construído com elementos similares aos usados no pêndulo simples: um 
fio (ou haste) preso (a) a uma plataforma por sua extremidade superior, e um corpo preso em sua 
extremidade inferior. Algumas diferenças, no entanto existem: o fio pode ter uma maior densidade linear 
que no caso do pêndulo simples enquanto que o corpo pode ter uma distribuição de massa arbitrária que não 
precisa ser puntiforme. 
No que diz respeito às oscilações, em vez do corpo ser deslocado da sua posição de equilíbrio, ele é girado 
em torno de seu eixo vertical. Isto causa uma deformação do fio que o sustenta, que tende a retornar ao seu 
estado original sob a influência do torque restaurador exercido pelo fio. Dentro deste ponto de vista, o 
sistema é mais parecido com a situação massa-mola, onde a força restauradora não é devido à gravidade, 
mas à eliminação de deformações em um sistema material. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
 
 
Dentro das condições apontadas no texto e das propriedades mecânicas dos materiais, o que se pode dizer 
quanto ao ângulo θ de torção? 
Depende do limite elástica da barra. 
Se o corpo rígido oscilar em relação ao eixo de referência específico, o movimento resultante será 
denominado, vibração por torção. Neste caso o deslocamento do corpo é medido em termos de uma 
coordenada angular. Em um problema de vibração por torção, o momento restaurador pode ser resultante da 
torção de um membro elástico ou de um momento desbalanceado de uma força ou conjugado. A figura 
mostra um disco com momento de inércia de massa polar J0 montado na extremidade de um eixo circular 
sólido cuja a outra extremidade é fixa. Seja θ a rotação angular do disco em relação ao eixo; θ também 
representa o ângulo de torção do eixo. 
 
Fonte: RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Para uma situação onde o momento de inércia da barra seja de 0,12 kg.m² e rigidez torcional igual a 1,5 
Nm/rad, determine o período e a frequência de vibração de 1 ciclo. 
1,78s e 0,563Hz. 
O ciclo vibratório de uma chapa retangular de metal, presa a uma barra, com dimensões 20 cm x 50 cm e 
massa 10 kg, ocorre em num período de 1,55 s, após a barra sofrer um leve deslocamento θ. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Com base nestas informações, determine a rigidez torcional da barra que sustenta a chapa. 
m= 10 
T=1,55s 
20cm, 0,2m 
50cm, 0,5 
jo= 1/2x10x(0,2^ 2+0,5 ^2 ) = 0,2416 
1,55= 2 pi raiz0,2416/k= 3,96 Nm / Rad 
Uma placa quadrada de madeira, de área 400 mm² e massa 10 kg, encontra-se suspensa por uma barra que 
apresenta rigidez torcional de 2,5 Nm/rad. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Para um deslocamento θ, determinar o período natural da placa. 
1,028 s. 
As estruturas após sofrerem um impacto repentino são tiradas do repouso e tendem a vibrar livremente com 
a presença de amortecimento até as oscilações se extinguirem. Considere um corpo de massa 18 kg preso 
que encontra-se preso a uma mola de rigidez k = 8758 N/m, inicialmente em repouso e que repentinamente é 
posto em movimento por um a força externa num intervalo muito pequeno de tempo. 
 
ALVES FILHO, A. Elementos Finitos. Editora Érica, 1ª edição, 2005. 
Considerando um amortecimento de constante c = 130 N.s.m
-1
, determine a frequência natural amortecida 
do sistema. 
21,7 rad/seg 
Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de 
rigidez da mola igual a k = 0,5 kN/m. 
A frequência natural amortecida é de 
19,8 rad/s 
Na figura é representado um sistema mecânico que está inicialmente em repouso. Repentinamente, a massa 
sofre um impulso de um agente externo, que constitui basicamente da aplicação de uma força em um 
intervalo de tempo muito pequeno, a chamada força impulsiva. Imediatamente após a aplicação desse 
impulso, a massa começa a se movimentar a se movimentar livremente a partir de sua posição inicial de 0,10 
m/s. 
 
ALVES FILHO, A. Elementos Finitos. Editora Érica, 1ª Edição, 2015, p. 97. 
Determine para este caso a frequência natural e o fator de amortecimento do sistema, sabendo que o peso da 
massa colocada na extremidade da viga é 18 kgf e a rigidez da viga na direção vertical é dada por k = 8758 
N/m e a constante de amortecimento "c" igual a 130 N.s.m
-1
. 
22 rad/s e 0,164. 
O entendimento do comportamento do sistema massa-mola sem a presença de amortecimento desempenha 
um papel importantíssimo no equacionamento do sistema de vários graus de liberdade. A frequência natural 
do sistema de um grau de liberdade depende da sua rigidez, no caso a rigidez axial, representada pela 
constante elástica da mola k, e da sua inércia, representada pela massa m. Dessa forma, vimos que um 
sistema com apenas um grau de liberdade só apresenta uma frequência natural dada por 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
Um sistema mecânico modelado com um único grau de liberdade entrará em ressonância quando a 
frequência de excitação do sistema for igual à frequência natural, e o(a): 
amortecimento do sistema for desprezado. 
Um sistema massa-mola-amortecedor é submetido à vibração livre, amortecida com um grau de liberdade. O 
sistema possui massa igual a 20 kg e rigidez igual a 500 N/m. 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
Se o fator de amortecimento é igual a 0,6, qual é o valor, em rad/s, da frequência de vibração amortecida?
4 
Além do amortecimento do tipo viscoso existem vários outros modelos para simular o efeito de dissipação 
de energia em sistemas vibratórios. Os mais comuns são amortecimento de Coulomb, amortecimento 
histerético e amortecimento estrutural. 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
Calcule a razão entre as frequências em regime permanente de um sistema massa-mola com 
amortecimento de Coulomb, sabendo que é a massa é 100 kg, a rigidez é 10
5
 N/m e µ = 0.08 e a força de 
excitação é F = 300 sen (40t). 
1,27 
O período e a frequência de oscilação do sistema corpo-mola não dependem da amplitude de oscilação, só 
dependem das características próprias (ou naturais) do sistema, isto é, da inércia, representada pela massa 
"m" e da elasticidade representada pela rigidez "k". 
 
Considere o movimento oscilatório amortecido, mostrado na figura e os seguintes dados: ζ = 0,1 ωn = 5 
rad/s. 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
Determine as frequência natural e amortecida em Hz. 
wn= 0,7958 Hz ; wd=0,7918 Hz 
O amortecimento presente em um sistema é o fator que determina se ocorrerão ou não vibrações livres, após 
o sistema ser afastado da sua posição de equilíbrio. 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
Quando um sistema linear de um grau de liberdade apresenta uma resposta em vibração livre, cujo sinal é 
oscilatório e decrescente, o sistema é caracterizado como 
subamortecido. 
A figura representa um sistema mecânico que é posto em movimento por meio de uma força perturbadora 
que age repentinamente sobre ele, sob a ação de um impulso interno, que imediatamente coloca a massa de 
10 kg, presa ao sistema, a se movimentar com velocidade inicial de 0,10 m/s. 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da 
tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 2008. 
Determine para este, a função horária da posição para o movimento em questão, considerando k = 
6250 N/m como sendo a rigidez da viga, c = 130 N.s.m
-1
 a constante de amortecimento e g = 9,8 m/s² a 
aceleração local da gravidade. 
u(t)=0,0041.e^-6,5t.sen24,14t(SI) 
Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 
18 mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. 
584 Nm/rad. 
Um motor de turbina de alta velocidade, possui massa de 60 kg e momento de inércia polar 7 kg.m² e está 
conectado ao rotor do gerador, girando com uma velocidade angular constante, através de um eixo de duas 
seções com diâmetros de 30 e 50 mm e comprimento 500 e 400 mm respectivamente. 
 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Considerando que o módulo de elasticidade rotacional é G=1,1x10
11
 N/m², determinar a sua frequência 
natural. 
47,6 rad/s. 
Fim do 1º Bimenstre 
 
Um motor em funcionamento gera uma força harmônica devido ao desbalanceamento de F(t) = 350 sen 25 t 
(N) . Tem-se que o motor tem uma massa de 425kg e está montado sobre uma superfície suportada por 4 
molas de constante elástica k = 2000 N/m cada. 
Determine a frequência natural do sistema. 
4,34 rad/s 
 
Uma turbina cuja massa do rotor é cerca de 150 kg opera em plena operação com velocidade de 
3600 rpm com desbalanceamento de 3,5 kg.mm. 
Considerando desprezível o amortecimento para uma folga de 4,5 mm entre o eixo e o estator, 
determine a constante k. 
93,143π² N/m 
 
O rotor de uma turbina opera a cerca de 20 π rad/s com desbalanceamento de cerca de 4x10-3 kg.m. 
Considerando que a massa do rotor seja de 150 kg e a folga entre o estator e o eixo seja de 5x10-
3 m. 
Admitindo desprezível o amortecimento, determine o valor aproximado da constante k. 
60.345 N/m 
 
Um motor em funcionamento gera uma força harmônica devido ao desbalanceamento de 
F(t)=350sen(45t + ∅ )N. Tem-se que o motor tem uma massa de 480kg e está montado sobre uma 
superfície suportada por 4 molas de 2300N/m cada. Determine a razão de frequências ao qual o 
sistema está operando. 
Assinale a alternativa que representa a razão de frequência do sistema. 
10,274 
 
Uma máquina industrial de serrar com 65 kg tem um desbalanceamento m0e de 0.15 kg.m. A 
máquina opera em uma velocidade de 125 Hz e é montada sob uma fundação com rigidez 
equivalente de k = 2 x 106 N/m e fator de amortecimento ξ = 0,12. 
Qual a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina? 
 
2,43 mm 
 
Uma máquinas com 50 kg de massa encontra-se sobre um sistema não amortecido com rigidez 
8.104 N/m. Quando a máquina entra em opera sua velocidade é de cerca de 1800 rpm e sua 
amplitude é de 1,5 mm. 
Com base nessas informações determine a intensidade da força que excita esta máquina nesta 
velocidade. 
8475 N 
Um sistema mecânico em vibração é modelado como sistema linear de dois graus de liberdade, um 
de translação e outro de rotação. 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 
2008. 
Sendo desprezíveis os eventuais efeitos dissipativos ocorrentes no sistema, suas duas frequências 
naturais 
dependem das massas e das rigidez envolvidas no sistema. 
 
Uma empresa realiza testes vibracionais em estruturas onde serão instalados bombas hidráulicas 
para recalque de água de um reservatório. As estruturas possuem massa de 20 kg e rigidez de 3500 
N/m. Os testes de vibracionais são realizados com martelos que aplicam impactos de cerca de 25 
N.s. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Considerando que o sistema esteja amortecido, determine a frequência de excitação do sistema para 
que o mesmos esteja amortecido com c = 10 N.s/m. 
13,23 rad 
 
Já se sabe que cada grau de liberdade de uma estrutura pode ser representado por intermédio de um 
sistema massa-mola-amortecedor. Quando a estrutura está vibrando sob a ação de um carregamento 
dinâmico, essas massas estão sujeitas a vibrações forçadas. 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 
2008. 
Um sistema vibratório que se utiliza da equação para o estudo de seu 
movimento tem 
a força externa nula. 
 
As características vibratórias de um sistema, sujeito a vibrações forçadas, são determinadas 
completamente por seus parâmetros construtivos do sistema. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Das alternativas a seguir, qual delas apresenta os parâmetros que são considerados na análise de um 
sistema de vibração forçada. 
Massa, constante de mola, coeficiente de amortecimento e fator de amortecimento. 
Uma empresa realiza testes vibracionais em estruturas onde serão instalados bombas hidráulicas 
para recalque de água de um reservatório. As estruturas possuem massa de 20 kg e rigidez de 3500 
N/m. Os testes de vibracionais são realizados com martelos que aplicam impactos de cerca de 25 
N.s. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Considerando que o sistema esteja amortecido, determine a resposta do sistema para que o mesmos 
esteja amortecido com c = 10 N.s/m. 
 
Dentre os sistemas vibratórios conhecidos, aqueles que possuem uma certa quantidade de graus de 
liberdade são conhecidos como sistemas discretos, enquanto aqueles que possuem infinitos graus de 
liberdade são chamado de sistema contínuo, sendo que este último é muito complexo de ser 
resolvido. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Em relação aos sistemas apresentados no texto, assinale a alternativa correta. 
Os sistemas contínuos podem ser satisfatoriamente simplificados em sistemas discretos, a fim de 
facilitar sua resolução. 
 
Em engenharia tende-se
sempre a simplificar ao máximo os sistemas a fim de facilitar a sua análise. 
Porém, na realidade, as máquinas e estruturas são sistemas com infinitos graus de liberdade, ou seja, 
são sistemas contínuos. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Os sistemas mecânicos vibrantes com três graus de liberdade possuem 
três modos naturais de vibração. 
 
Um sistema mecânico linear de dois graus de liberdade, sujeito a vibrações, é representado por suas 
matrizes características de massa (M), amortecimento (B) e rigidez (K). 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Os elementos dessas matrizes, que caracterizam o acoplamento existente entre os dois graus de 
liberdade, são os elementos da 
diagonal secundária. 
 
Uma máquina de uma indústria de construção civil está apresentando picos de vibração, modeladas 
segundo a seguinte equação de movimento: 
 
Considerando que são conhecidas as informações 
de m1=30kg, m2=3kg, k1=50N m, k2=15N m e k3=0, além das condições iniciais do sistema 
como: 
Encontre as frequências naturais de vibração. 
 
Um veículo pode ser modelado como um corpo rígido de massa m e centro de gravidade em C, 
acoplado a duas molas lineares de constantes conforme 
mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
A matriz de massa e a matriz de rigidez associadas à dinâmica do veículo, são, respectivamente: 
 
 
 
 
 
O modelo matemático desenvolvido para o estudo das vibrações de um motor (corpo rígido) possui 
6 graus de liberdade (3 de translação e 3 de rotação), acoplados entre si. 
A quantidade de frequências naturais desse sistema é igual 
seis, cada uma associada a um modo de vibração do sistema. 
 
 
Avaliando algumas das condições estudadas até o momento em relação aos conceitos de vibração, 
uma das frequências presentes no sinal de vibração de um motor corresponde à própria rotação do 
motor. 
Assim, para um motor cuja rotação é de 1.200 RPM, a frequência expressa em Hz, presente no sinal 
de sua vibração, vale 
20 
 
O sistema massa-mola amortecido esquematizado na figura, possui as seguintes características: 
massa M= 3 kg, rigidez k = 675 N/m e coeficiente de amortecimento igual a 20 
N.s/m. 
 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
O sistema é subcrítico. 
 
Uma máquina de uma indústria de construção civil está apresentando picos de vibração, modeladas 
segundo a seguinte equação de movimento: 
 
 
 
Considerando que são conhecidas as informações de m1=25kg, m2=5kg, k1=60N m, k2=20N m e 
k3=10, além das condições iniciais do sistema como: 
Encontre as frequências naturais de vibração. 
 
 
O sistema da figura representa uma máquina de massa total M, com uma parte girante, de massa m 
e excentricidade e, conforme figura. A coordenada x varia com o tempo e localiza a parte não 
girante da máquina. A máquina é suportada por uma suspensão de constante elástica k e constante 
de amortecimento c. A equação diferencial do movimento é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 
2008. 
 
O bloco não girante terá um movimento harmônico persistente expresso por x(t) = Xcos(pt − Ψ) , 
onde X é a amplitude da vibração e Ψ é a diferença de fase. Sobre tal sistema considere: 
I. A amplitude da vibração, X, aumenta proporcionalmente ao valor da velocidade angular p. 
II. A amplitude da vibração, X, depende do fator de ampliação que por sua vez depende da razão 
entre a velocidade angular, p, e a frequência natural do sistema, ω. 
III. O fator de ampliação não depende do índice de amortecimento. 
IV. Haverá ressonância quando não houver amortecimento e a velocidade angular for igual à 
frequência natural. 
É correto o que se afirma em: 
II e IV, apenas. 
 
O sinal de vibração de uma máquina apresenta como resultado uma curva com um dos harmônicos 
sendo correspondente à rotação do motor de acionamento da máquina. 
Se a rotação desse motor é de 1.500 RPM, o período presente no sinal de resposta correspondente a 
essa rotação, expresso em segundos, é de 0,04 
 
Os movimentos vibratórios ou oscilatórios presentes nas máquinas, ou são movimentos essenciais 
dos quais dependem o próprio funcionamento da máquina, ou são movimentos perturbadores, isto é, 
trepidações prejudiciais, que necessitamos eliminá-las ou pelo menos reduzi-las a níveis aceitáveis. 
Esses níveis aceitáveis normalmente estão associados a questões de segurança, como por exemplo, 
à garantia de que não ocorrerá falha em um componente estrutural, ocasionada em alguns casos pelo 
fenômeno de fadiga, que se manifesta sob ação de cargas repetitivas na estrutura. As vibrações estão 
também associadas a questões de conforto. 
 
ALVES FILHO, Avelino. Elementos Finitos–A base da tecnologia CAE. Editora Saraiva, 2018. 
Considerando um sistema mecânico no qual ω é a frequência de excitação e ωn a sua frequência 
natural, o isolamento desse sistema da estrutura sobre a qual está montado, de modo que vibrações 
indesejáveis não sejam transmitidas à estrutura, somente é possível de ser feito se a razão de 
frequência r = ω/ωn for: 
 
maior que √2 . 
 
A norma ISO 2361 recomenda os limites de vibração para a sensibilidade humana para os níveis de 
vibração conforme a figura a seguir. Esse gráfico é conhecido como monograma de vibração, nele 
os limites dos níveis aceitáveis de vibração são especificados em termos da resposta de um sistema 
livre sem amortecimento com um grau de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
De acordo com o monograma de vibrações, que apresenta as variações das amplitudes de 
deslocamento, velocidade e aceleração em relação à frequência de vibração podemos afirmar que os 
níveis de vibrações aceitáveis para laboratórios que mantem padrões de referência estão na faixa de, 
10 a 200 Hz. 
As estruturas ou os componentes mecânicos podem estar sujeitos a toda sorte de carregamento 
durante sua utilização. O projeto dos componentes deve considerar os carregamentos - medidos 
experimentalmente ou baseados em alguma relação empírica. Muitas vezes, na impossibilidade de 
prever todos os possíveis carregamentos, surgem os carregamentos de projeto. O objetivo deles é 
tentar agrupar as situações mais severas de utilização da estrutura. estes carregamentos, baseados 
em análises estáticas muitas vezes são conservadores, isto é, resultam em estruturas 
superdimensionadas. Além disso, são incapazes de prever adequadamente o comportamento 
dinâmico da estrutura, que pode falhar, o que justifica a necessidade do desenvolvimento de 
projetos considerando uma abordagem verdadeiramente dinâmica, considerando que existam 
elementos de inércia no sistema, antecipando assim, o controle de possíveis efeitos vibratórios 
indesejáveis. 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 
2008. 
 
Em estruturas metálicas, como em vigas, as vibrações ocorrem de forma regular ou irregularmente 
em um período de tempo. Quanto à classificação das vibrações, é mais correto afirmar que: 
 
I. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, quanto ao 
conhecimento da força e quanto aos diversos elementos. 
II. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, quanto ao 
conhecimento da força e quanto a ressonância. 
III. As vibrações podem ser classificadas quanto ao modo de vibração, à ressonância, quanto à 
vibrações diversas e quanto aos diversos elementos. 
IV. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, e ao amortecimento. 
V. As vibrações podem ser classificadas quanto à excitação, ao amortecimento, força vibratória e 
quanto aos diversos elementos. 
É correto o que se afirma em 
I, apenas.
Como engenheiro responsável por uma fabricante de componentes aviônicos, sua equipe é 
responsável pelo desenvolvimento de um novo modelo de turbina de teste para túnel de vento. Os 
dados técnicos da turbina e suas características de funcionamento irão permitir dimensionar a 
velocidade crítica do sistema, que deve ser evitada durante o funcionamento do equipamento. 
Os dados apresentados descrevem um rotor com 25 kg de massa concentrada, montado no ponto 
central de um eixo de aço de 1 metro de comprimento com rigidez de 20.104 N/m. Sabe-se ainda 
que a turbina deve funcionar a 7500 rpm e o sistema apresenta coeficiente de amortecimento 
estimado em 0,015. 
Para tal, dimensionar a velocidade crítica de um rotor da turbina. 
105,22 rad/s 
XWZ, o proprietário de uma tradicional e lucrativa estamparia, tem um contrato exclusivo de 
fornecimento com estatais do ramo de petróleo e gás que impede a transferência de serviços para 
terceiros. Na ausência de fornecimento dentro do prazo estipulado para entrega, sua empresa arcará 
com pesadas multas contratuais que inviabilizará a continuidade da empresa. A empresa acaba de 
receber a visita de um agente da CETESB para avaliar o nível de ruído que as prensas provocam na 
vizinhança. A avaliação do agente constatou que, além do ruído excessivo, existe outro problema 
mais grave que é o da propagação da vibração das batidas das prensas, que se propagam pelo solo. 
Esta propagação tem provocado trincas e fissuras nas moradias adjacentes à empresa. O agente da 
CETESB concedeu-lhe, por meio de um laudo, o período de 30 dias para apresentar uma proposta, 
pois verificou que as prensas estão simplesmente fixadas, por meio de prisioneiros, ao solo contínuo 
de concreto. 
Nesta situação, XWZ deve decidir 
criar uma base de concreto para sustentação de cada uma das prensas isoladas do piso da fábrica e 
enclausurar cada um dos equipamentos. 
 
Um sistema massa-mola-amortecedor é submetido à vibração livre, amortecida com um grau de 
liberdade. O sistema possui massa igual a 20 kg e rigidez igual a 500 N/m. Se o fator de 
amortecimento é igual a 0,6. 
Qual é o valor, em rad/s, da frequência de vibração amortecida? 
4 
 
Em uma empresa de calçados, um motor elétrico aciona um equipamento mecânico de corte, a uma 
velocidade de 1750 rpm. O sistema está montado sobre calços de borracha para atenuar os impactos 
vibratórios, os quais apresentaram uma deflexão estática de 5 mm quando da montagem. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Para o situação descrita, determinar o percentual de força transmitida à fundação se o fator de 
amortecimento do sistema for 0,25. 
Adote: g = 9,81 
14,14% 
 
O controle ativo de vibrações é definido por um sistema que gera esforços contrários e iguais ao de 
uma vibração, para que a mesma seja anulada. Dependendo dos tipos de elementos aplicados a um 
sistema de controle ativo, o mesmo pode ser denominado eletromecânico, eletrofluídico, 
eletromagnético, piezelétrico ou fluídico. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Assinale a alternativa que traz os elementos básicos de um sistema de controle ativo de vibrações. 
Sensor, processador de sinal e acionador. 
Em uma fábrica, uma máquina estampadora de placas de aço deve ser isolada da fundação, pois 
gera forças de vibração muito grandes para as outras máquinas, causando o desbalanceamento e 
manutenção frequente das mesmas. Se a força harmônica causada pela máquina for F(t)=400 sen 
30t e a eficiência do isolador for de 60%. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Qual seria a força transmitida para uma máquina localizada nas proximidades da estampadora? 
 
 
O cálculo da transmissibilidade vibratória é utilizado para se projetar isoladores de vibração, 
quando se deseja reduzir a energia vibratória transmitida para a fundação ou da fundação para a 
máquina. Neste sentido, utiliza-se a equação 
 
ܶ em que Tr é a 
transmissibilidade relativa, ζ é o fator de amortecimento do sistema 7% = 0,07 e r a razão de 
frequências dada por em que ω é a frequência de operação e ωn a frequência 
natural. 
 
AVELINO FILHO, Alves. Elementos finitos: A base da tecnologia cae: Análise dinâmica. Érica, 
2008. 
Determinar a deflexão estática que deve ter um isolador com amortecimento desprezível de modo a 
isolar 80% da vibração proveniente de um motor de indução elétrico que gira a 900 rpm. 
 
Adotar (π = 3) e (g = 9,81 m/s²). 
7,618 mm. 
 
Em uma fábrica, uma máquina estampadora de placas de aço deve ser isolada da fundação, pois 
gera forças de vibração muito grandes para as outras máquinas, causando o desbalanceamento e 
manutenção frequente das mesmas. Se a força harmônica causada pela máquina for F(t)=300 sen 
27t e a eficiência do isolador for de 70%. 
Qual seria a força transmitida para uma máquina localizada nas proximidades da estampadora? 
 
FT = 37,5N 
 
Uma máquina rotativa tem massa de 500 kg e um desbalanceamento m0e = 5,8 kg.m. Quando são 
usados amortecedores com fator de amortecimento ζ = 0,2; somente 10% da força de 
desbalanceamento será transmitida ao chão. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Determine a intensidade da força transmitida. Considere que o ventilador gira a uma velocidade de 1000 
rpm. 
6360,4 N 
 
Na prática, a medição de vibrações é importante devido a vários fatores como níveis de produção 
excessivos, na qual as máquinas tendem a funcionar em condições forçantes que geram grandes vibrações. O 
monitoramento das frequências naturais ajuda na configuração das condições de operação das máquinas; 
além disso, é de grande importância o monitoramento das vibrações causadas por terremotos, ventos e ondas 
do mar em estruturas. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Com base no texto, quais são os três elementos que podem ser destacados para medição de vibração? 
Transdutor ou sensor, conversor de sinal e processador. 
 
Os grandes geradores de vibração são partes rotativas desbalanceadas, motores desbalanceados, defeitos de 
fabricação, mudança de características devido a temperatura, mudança de pressão, entre outras. Sendo o 
balanceamento, uma das formas mais simples de se controlar vibrações, mas infelizmente balancear algo de 
forma perfeita é muito caro e por isso não é viável, sempre sobrando um pouco de vibração. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Dentre diversas formas de se controlar as vibrações, qual das afirmativas seguintes representa a maneira 
mais simples de atenuar o movimento vibratório? 
Modificar a massa e a rigidez de um sistema. 
 
Se um sistema vibratório com amplitude de 4 mm, for analisado usando-se um sensor de vibração com 
massa de 0,6 kg e rigidez de 10000 N/m, sem amortecimento, que ao ser montado sobre o sistema vibratório 
apresentou amplitude de 10 mm. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Determine qual a frequência do sistema? 
316,23 rad/s. 
 
Se um sistema vibratório com amplitude de 5 mm, for analisado usando-se um sensor de vibração com 
massa de 0,75 kg e rigidez de 12000 N/m, sem amortecimento, que ao ser montado sobre o sistema 
vibratório apresentou amplitude de 10 mm. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Qual seria a frequência do sistema? 
89,44 rad/s. 
 
Um analisador de vibração — acelerômetro com espectro de frequências — é usado para monitorar 
regularmente um sistema grupo-gerador, informando os períodos de funcionamento e os intervalos de tempo 
de manutenção, de modo a melhor programar a correção de eventual problema. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Nessa situação hipotética, está caracterizada a configuração da manutenção preditiva. 
 
Os transdutores, são dispositivos que transformam variáveis
físicas em sinais elétricos equivalentes, sendo 
que alguns transdutores são menos utilizados devido a sua lentidão de resposta e não linearidade. (Rao, 2008 
p. 345) 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Um transdutor com ωn = 1 Hz é usado para medir uma vibração de ω = 4 Hz. A amplitude indicada pelo 
transdutor é de 1,3 mm. Qual a amplitude correta? (ζ = 0). 
1,22 mm 
 
O motor diesel de um navio vai ser montado sobre uma base que vai ser isolada da carcaça por um conjunto 
de 8 molas iguais instaladas em paralelo. A massa total do motor e sua base é de 16,6 ton. 
A constante de cada mola, de maneira a garantir um isolamento de 80% para uma velocidade de operação do 
diesel igual a 100 rpm é de 
 
 
Escolha uma: 
44670 N/m 
 
Um rádio de aeronave pesando cerca de 110 N deve ser isolado através de molas das vibrações do motor 
cuja frequência é de 1600 Hz. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Qual deve ser a frequência natural de oscilação do sistema, considerando cerca de 85% de isolamento. 
Escolha uma: 
 
61 RAD/s 
 
Um sistema vibratório, com razão entre as frequências de operação igual a 0,75, é montado sobre uma 
superfície, sem amortecimento, rigidez 8000 N/m e amplitude em operação de y = 2 mm. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Sendo a massa do sensor de vibração, montado na superfície igual a 1,5 kg, determine para estas condições o 
deslocamento do sistema. 
Escolha uma: 
4,57 mm 
 
O eixo de uma máquina, com massa de 0,5 kg, opera com frequência de rotação igual a 2000 rpm e o 
sistema apresenta um fator de amortecimento igual a 0,15. 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Considerando a rigidez do sistema igual a 100000 N/m, qual a taxa de transmissibilidade deste sistema? 
130% 
 
 
Uma máquina rotativa a 1000 rpm, tem massa de 500 kg e um desbalanceamento de m0e=5,8 kg.m. Para o 
sistema são usados amortecedores com fatores de amortecimento ζ = 0,2. 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações mecânicas . Pearson Educación, 2009. 
Considerando a rigidez do sistema de 250.000 N/m, determine a transmissibilidade deste sistema. 
10,11%