fa-201820-funcoes-trigonometricas-987

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FICHA DE APOIO – 20 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – PARTE 2 
 
01. A atração gravitacional que existe entre a Terra e 
a Lua provoca, entre outros fenômenos, o da 
chamada maré astronômica, que se caracteriza pelo 
periódico aumento e diminuição do nível do mar. 
Medindo e tabulando essas variações, os estudiosos 
do assunto podem descrever matematicamente o 
comportamento do nível do mar em determinado 
local por meio de uma função. A fórmula a seguir 
corresponde a medições feitas na cidade de Boston, 
no dia 10 de fevereiro de 1990. 
 
 
 
Nessa função, (em metros) corresponde à altura 
do nível do mar, e ao tempo transcorrido desde a 
meia-noite (em horas). Com base nessas informações, 
quantas horas se passaram desde o início da medição 
até que o nível do mar tenha atingido metros 
pela primeira vez? 
 
a) 2 horas 
b) 3 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas 
 
02. Seja a função definida por Se 
M e m são respectivamente os valores máximo e 
mínimo que a função f assume, o valor do produto 
M.n é 
 
a) 2 
b) 3,5 
c) 3,0 
d) 1,5 
e) 4 
 
03. Se a função trigonométrica 
tem imagem I = [1, 5] e período 3/p qual é o valor da 
soma a + b + p? Adote p = 3 
 
a) 5 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 11 
 
04. O número de quartos ocupados em um hotel varia 
de acordo com a época do ano. Estima-se que o 
número de quartos ocupados em cada mês de 
determinado ano seja dado por 
 em que x é estabelecido 
da seguinte forma: x = 1 representa o mês de janeiro, 
x = 2 representa o mês de fevereiro, x = 3 representa 
o mês de março, e assim por diante. Em junho, em 
relação a março, há uma variação porcentual dos 
quartos ocupados em 
 
a) - 20% 
b) - 15% 
c) – 30% 
d) – 30% 
e) – 50% 
 
 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
 
Leia o texto abaixo para responder à(s) questão(ões) 
a seguir. 
 
Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda 
X em relação a uma moeda Y foi dada pela seguinte 
função: 
 
 
 
sendo t o tempo, dado em meses desde o início do 
ano. Assim, t = 9 indica a taxa no início de outubro, 
que era de 1,625 unidades da moeda X para uma 
unidade da moeda Y (note que esse valor da taxa 
indica que no instante considerado a moeda X era 
“menos valiosa” que a moeda Y). 
 
05. Houve um intervalo de tempo ao longo do ano 
considerado em que a moeda X deixou de ser “menos 
valiosa” que a moeda Y Esse intervalo teve duração 
de 
 
a) 5 meses. 
b) 4 meses. 
c) 3 meses. 
d) 2 meses. 
e) 1 mês. 
 
06. Ao longo do ano analisado, a maior taxa de 
câmbio da moeda X em relação à moeda Y atingida e 
o instante em que isso ocorreu foram, 
respectivamente, 
 
a) 2,625 e início de janeiro. 
b) 2,625 e início de março. 
c) 2,875 e início de janeiro. 
d) 2,875 e início de abril. 
e) 2,875 e início de junho. 
 
h(t) 1,5 1,4 cos t
6
πæ ö= + × ×ç ÷
è ø
h(t)
t,
2,2
3f(x) .
2 sen x
=
+
y a bsen(px)= +
Q(x) 150 30cos x
6
πæ ö= + ç ÷
è ø
(t 3)f(t) 1,625 1,25 cos
12
π -æ ö= + × ×ç ÷
è ø
 
 
2 
07. Cerca de 24,3% da população brasileira é 
hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo 
consumo excessivo de sal. A variação da pressão 
sanguínea (em mmHg) de um certo indivíduo é 
expressa em função do tempo por 
 
 
 
onde é dado em segundos. Cada período dessa 
função representa um batimento cardíaco. 
 
Analise as afirmativas: 
 
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 
batimentos por minuto. 
II. A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg. 
III. A amplitude da função é de 30 mmHg. 
 
Está(ão) correta(s) 
 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
08. O esboço do gráfico da função 
 é mostrado na figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa situação, o valor de a.b é 
 
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 
 
09. A conta de luz de certa residência, ao longo do ano 
de 2014, variou segundo a função 
 em que V(t) é o valor 
pago na fatura e t é o mês do ano, com t = 1 
correspondendo a janeiro, e assim sucessivamente. 
Com base nos dados, analise as seguintes 
proposições: 
 
I. O valor mínimo registrado na fatura foi de R$ 65,00 
II. O valor máximo registrado na fatura foi de R$ 
245,00 
III. No sétimo mês o valor pago foi de R$ 115,00 
 
Estão corretas as afirmativas 
 
a) I e III apenas. 
b) I e II apenas. 
c) II e III apenas. 
d) I, II e III. 
 
10. Assinale a alternativa correta: 
 
a) cos(2000o) < 0. 
b) sen(2000o) > 0 
c) sen(2000o) = cos(2000o) 
d) sen(2000o) = - sen(2000o) 
e) sen(2000o) = - cos(2000o) 
 
GABARITO 
 
01 
 
02 
 
03 
 
04 
 
05 
 
06 
 
07 
 
08 
 
09 
 
10 
A C E A E D B D C A 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA! 
 
01. 
Calculando: 
02. 
Calculando: 
 
 
03. 
Considerando e números positivos, podemos 
escrever que: 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
Lembrando que o período da função será 
dado por: 
 
 
Logo, 
P
8P(t) 100 20cos t
3
πæ ö= - ç ÷
è ø
t
P(t)
f(x) a bcos(x)= +
V(t) 180 65 sen t ,
2
πæ ö= + × ×ç ÷
è ø
0,7 1h(t) 2,2 1,5 1,4 cos t 1,4 cos t 2,2 1,5 cos t cos t
6 6 6 1,4 6 2
1º Quadrante t t 2 horas
6 3
π π π π
π π
æ ö æ ö æ ö æ ö= = + × × Þ × × = - Þ × = Þ × =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Þ × = Þ =
máx
mín
3f(x)
2 sen x
3M f (x) sen x 1 f(x) 31 M m 3 1 3
3m f (x) sen x 1 f(x) 13
=
+
= Þ = - Þ = =
Þ × = × =
= Þ = Þ = =
a, b p
senx 1 a b 1 5 a b 5
senx 1 a b ( 1) 1 a b 1
= Þ + × = Þ + =
= - Þ + × - = Þ - =
a b 5
a 3 e b = 2
a b 1
+ =ì
Þ =í - =î
p 0,>
2 3 (considerando 3)
p
3p 18
p 6
π π
π
= =
=
=
a b p 3 2 6 11.+ + = + + =
 
 
3 
 
04. 
O número de quartos ocupados em junho é dado 
por: 
 
 
O número de quartos ocupados em março é dado 
por: 
 
 
A variação porcentual pedida é dada por: 
 
 
05. 
A moeda deixa de ser “menos valiosa” que a 
moeda quando ou seja, 
 
 
Logo, 
 
 
Para 
 
 
Mas, 
 
 
Então, 
 
06. Para que assuma seu valor máximo, basta 
que 
Com isso, 
 
 
De 
 
 
 
Como e 
 
 
De e 
 (início de abril) 
 
Assim, a maior taxa de câmbio da moeda em 
relação à moeda atingida foi e ocorreu no 
início de abril. 
 
07. 
[I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos: 
 em minutos basta 
 multiplicar por 
60, o que resulta em 80 batimentos por minuto. 
 
[II] Verdadeira. Pois 
[III] Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg. 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Q 6 150 30cos 6
6
Q 6 150 30cos
Q 6 150 30 1
Q 6 120
π
π
æ ö= + ×ç ÷
è ø
= +
= + × -
=
( )
( )
( )
( )
Q 3 150 30cos 3
6
Q 3 150 30cos
2
Q 3 150 30 0
Q 3 150
π
π
æ ö= + ×ç ÷
è ø
æ ö= + ç ÷
è ø
= + ×
=
( ) ( )
( )
Q 6 Q 3
100%
Q 3
120 150 100%
150
30 100%
150
20%
-
×
-
×
- ×
-
X
Y ( )f t 1,£
( )
( )
( )
t 3
1,625 1,25cos 1
12
t 3
1,25cos 0,625
12
t 3
cos 0,5
12
π
π
π
æ ö-
+ £ç ÷ç ÷
è ø
æ ö-
£ -ç ÷ç ÷
è ø
æ ö-
£ -ç ÷ç ÷
è ø
( )
( )
t 32 42 n 2 n, n
3 12 3
8 24n t 3 16 24n
8 24n t 3 16 24n
11 24n t 19 24n
ππ ππ π
π π π π π
-
+ × £ £ + × Î
+ £ - £ +
+ £ - £ +
+ £ £ +
!
n 0,=
11 t 19£ £
0 t 11£ £
t 11=
( )f t
( )t 3cos 1.
12
πæ ö-
=ç ÷ç ÷
è ø
máximo
máximo
f 1,625 1,25
f 2,875
= +
=
( )t 3cos 1,
12
πæ ö-
=ç ÷ç ÷
è ø
( )t 3 0 k 2 , k
12
t 24k 3
π
π
-
= + × Î
= +
!
( )t 3 0 k 2 , k
12
t 24k 3
0 t 11
0 24k 3 11
3 24k 8
1 1k
8 3
π
π
-
= + × Î
= +
£ £
£ + £
- £ £
- £ £
!
kÎ! 1 1k ,
8 3
- £ £
k 0=
t 24k 3= + k 0,=
t 3=
X
Y 2,875
1 1 4 ,3 3
2 4
8
3
π
π
= =
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷ç ÷
è ø
÷
ø
ö
ç
è
æ ××-= ππ 2
3
8cos20100)2(P
 
 
4 
 
 
08. 
 
 
 
Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2. 
 
Portanto, 
 
09. 
[I] INCORRETA. O valor mínimo da função seno é 
zero, portanto o valor máximo que o termo 
 pode assumir é zero. Assim, 
 Portanto, o valor 
mínimo possível registrado na fatura seria de 
 
 
[II] CORRETA. O valor máximo da função senoé 1, 
portanto o valor máximo que o termo 
 pode assumir é 1. Assim 
 Portanto, o valor 
máximo possível registrado na fatura seria de 
 
 
[III] CORRETA. No sétimo mês logo: 
 
10. 
Note que Por conseguinte, 
sendo um arco do terceiro quadrante, vem 
que 
 
 
8P(2) 100 20 cos 2
3
16100 20 cos
3
4100 20 cos 2 2
3
1100 20
2
110mmHg.
π
π
ππ
æ ö= - × × =ç ÷
è ø
æ ö= - × =ç ÷
è ø
æ öæ ö= - × × + =ç ÷ç ÷
è øè ø
æ ö= - × - =ç ÷
è ø
=
f(0) 5 a b cos0 5 a b 5= Þ + × = Þ + =
f( ) 1 a b cos 1 a b 1π π= Þ + × = Þ - =
a b 6.× =
sen t
2
πæ ö×ç ÷
è ø
V(t) 180 65 0 180.= + × =
R$ 180,00.
sen t
2
πæ ö×ç ÷
è ø
V(t) 180 65 1 245.= + × =
R$ 245,00.
t 7,=
3V(t) 180 65 sen 7 180 65 sen 180 65 ( 1) V(t) 115 reais
2 2
π πæ ö æ ö= + × × = + × = + × - ® =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2000 5 360 200 .° = × ° + °
200°
cos(2000 ) cos(200 ) 0.° = ° <