ELAM, Kimberly Geometria-do-design

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KIMBERLY ELAM
GEOMETRIA
DO DESIGN
53,
Geometria do design
Estudos sobre proporção e composição
%
Kimberly Elam
tradução Claudio Marcondes
*
COSACNAIFY
Sumário
43 Análises visuais do design
44 Cartaz “Folies-Bergère"
46 Cartaz "Job”
48 Cartaz "Bauhaus Ausstellung"
50 Cartaz para o jornal L’/ntransigeant
54 Cartaz "East Coast by L.N.E.R.”
56 Cadeira Barcelona
58 Chaise Longue
60 Cadeira Brno
62 Cartaz "Negerkunst”
64 Cartaz “Wagon-Bar"
66 Cartaz “Konstruktivisten"
68 Cartaz “Der Berufsphotograph”
70 Cadeira Plywood
72 Cartaz "Konkrete Kunst”
76 Capela do Instituto de Tecnologia de Illinois
78 Cartaz "Beethoven"
81 Cartaz "Musica Viva" (1957)
82 Cartaz "Musica Viva" (1958)
84 Cadeira Tulipa
86 Cartaz "Vormgevers”
88 Cartaz "Furstenberg Porzellan”
90 Cartaz "Majakovskij”
92 Processador de alimentos Braun
94 Cafeteira Aromaster Braun
96 Chaleira II Conico
98 Novo Fusca
5 Introdução
Proporção no homem e na natureza
6 Proporções e preferências cognitivas
8 Proporção e natureza
12 Proporções do corpo humano na escultura clássica
14 Proporções do corpo humano no desenho clássico
18 Proporções faciais
Proporções na arquitetura
20 Proporções arquitetónicas
22 Traçados reguladores de Le Corbusier
Seção áurea
24 Construção do retângulo áureo
27 Proporções áureas
29 Seção áurea e sequência de Fibonacci
30 Triângulo e elipse áureos
32 Retângulos áureos dinâmicos
Retângulos de raiz
34 Construção do retângulo de raiz 2
36 Norma DIN de formatos proporcionais de papel
37 Retângulos dinâmicos de raiz 2
38 Retângulo de raiz 3
40 Retângulo de raiz 4
41 Retângulo de raiz 5
42 Comparação dos retângulos de raiz
101 Epílogo
102 Agradecimentos
103 Créditos de ilustrações
104 Bibliografia selecionada
105 índice remissivo
106 Sobre a autora
Introdução
nada aborrece tanto o juízo sadio quanto uma pin-
tura realizada sem conhecimento técnico, ainda que
Mta com cuidado e diligência. Ora, o único motivo
i elo qual os pintores desse tipo não se dão conta de
Seus próprios erros é o fato de não terem aprendido
a geometria, sem a qual ninguém pode ser, ou se tor-
nar , um verdadeiro artista; mas a responsabilidade por
Kto deve ser atribuída aos seus mestres, eles próprios
ignorantes dessa arte.”
Albrecht Durer, Unterweisung der Messing [Instrução
para medição]. 1525
“A geometria é a linguagem do homem. Mas ao deter-
minar as distâncias respectivas dos objetos, ele inven-
tou ritmos, ritmos sensíveis ao olho. nítidos nas suas
relações. E esses ritmos estão no nascimento de com-
portamentos humanos. Ressoam no homem por uma
fatalidade orgânica, a mesma fatalidade que faz com
que as crianças, os velhos, os selvagens, os letrados
tracem a seção áurea.”
Le Corbusier. Por uma arquitetura, 1923 [ed. bras.1998]
"Creio que é possível aperfeiçoar uma arte sobretu-
do a partir de uma base matemática de pensamento."
Max Bill, extraído de um texto de 1949. republicado
« •m Typographic Communications Today, 1989
"... as proporções dos elementos formais e de seus
espaços intermediários quase sempre estão relacio-
nadas a determinadas progressões numéricas logica-
mente dedutíveis.”
Josef Múller-Brockmann, The Graphic Artist and His De-
sign Problems [O artista gráfico e seus problemas de
design], 1968
I Untas vezes, como profissional do design e como edu-
( adora, vi excelentes ideias conceituais acabarem pre-
Ndicadas durante o processo de realização, em grande
i ' irtu devido a uma falta de entendimento,por parte do
11« .igner, dos princípios visuais da composição geomé-
trica Tais princípios incluem uma compreensão dos sis-
lamas clássicos de proporções, como a seção áurea
t os retângulos de raiz, assim como dos conceitos de
fa/ flo e proporção e das relações entre as formas e os
If.n, ados reguladores. Este livro se propõe a explicar,
pin termos visuais, os princípios da composição geo-
métrica e também a analisar, em conformidade com. princípios, um conjunto abrangente de cartazes,
Oh|etos e edifícios.
A seleção dessas obras teve como critério o fato de
tarem passado pela prova do tempo e de serem con-
H< 1« n .idas, em muitos aspectos, exemplos clássicos de
design. Elas são apresentadas em ordem cronológica
e guardam vínculos com o estilo e a tecnologia das
épocas em que foram produzidas, mas também com
a intemporalidade do design clássico. Apesar das dife-
renças que marcam tais épocas e da diversidade formal
das obras, de pequenas obras gráficas bidimensionais
a estruturas arquitetónicas, nota-se uma extraordinária
similaridade em sua concepção e ordenamento, a qual
se deve ao uso deliberado da geometria.
Este Geometria do design não pretende usar a
geometria como critério de avaliação estética, mas an-
tes pôr em evidência aquelas relações visuais que se
baseiam em atributos essenciais tanto da vida. como
a proporção e os padrões de crescimento, quanto da
matemática. Seu propósito é esclarecer o processo
projetual e oferecer coerência ao desenho por meio
de estruturas visuais. Com tal entendimento, o artis-
ta ou o designer poderá encontrar, por conta própria,
mérito e valor para si mesmo e suas obras.
5
Kimberly Elam
Ringling School of Art and Design
Primavera de 2001
Proporções e preferências cognitivas
Ao longo de toda a história, no contexto tanto do am-
biente humano como do mundo natural, jã se com-
provou uma evidente preferência cognitiva dos seres
humanos pelas proporções baseadas na seção áurea.
Alguns dos mais antigos indícios do emprego de um
retângulo áureo — ou seja, aquele no qual há uma pro-
porção de 1:1,618 entre os lados — estão na estrutura de
Stonehenge, erguida entre 2450 e1600 aC. Outros indí-
cios documentados encontram-se em textos e na arte
e arquitetura dos antigos gregos, no século V aC. Mais
tarde, artistas e arquitetos renascentistas também es-
tudaram, documentaram e empregaram as proporções
derivadas da seção áurea em extraordinárias obras de
escultura, pintura e arquitetura.E, além das obras feitas
pelo homem, as proporções da seção áurea podem ser
observadas no mundo natural, tanto nas proporções do
corpo humano como nos padrões de crescimento de
muitas plantas, animais e insetos.
Intrigado pela seção áurea, o psicólogo alemão
Gustav Fechner estudou, no final do século XIX, o modo
Tabela da preferência por retângulos conforme a proporção
razão:
largura/comp retângulo mais selecionado
% Lalo
retângulo menos selecionado
% Fechner% Fechner % Lalo
1:1 3.0 11 7 278 22,5 quadrado
5:6 0 2 1,0 197 16 6
4:5 2,0 1 3 94 91
3:4 9,125 95 25
7:10 77 5,6 1 2 25
2:3 11 0 0,6206 0,4
0,0 proporção áurea5:8 35,0 30,3 0,0
13:23 20 0 6.3 0,8 0,6
1:2 12.5 quadrado duplo7.5 80 2,5
2:5 1.5 26 615,3 35,7
6
Totais: 100.0 100.0 100,0 100,1
®8®i®81111!
1:1 5:6 7:104:5
quadrado
conhecida como seção áurea, ou seja, 1:1,618, e que
a maioria das pessoas preferia os retângulos que
exibiam proporções semelhantes a essa. Os experi-
mentos exaustivos mas informais de Fechner acaba-
ram sendo repetidos, com maior rigor cientifico, pelo
francês Charles Lalo em 1908, e mais tarde por ou-
tros pesquisadores, que obtiveram resultados nota-
velmente similares.
como as pessoas reagiam ãs qualidades estéticas espe-
cíficas do retângulo áureo. A curiosidade de Fechner foi
despertada pelos indícios existentes de uma predileção
estética arquetípica e transcultural pelas proporções da
seção áurea.
Fechner restringiu seu experimento ao mundo hu-
mano e começou tomando as medidas de milhares de
objetos retangulares, tais como livros, caixas, edifí-
cios, caixas de fósforo, jornais etc. E descobriu que a
razão média dos retângulos estava próxima daquela
Gráfico comparativo das preferências por retângulos
Gráfico do Fechner, 1876 •
Gráfico de Lalo,1908
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
razao
seção
áurea
quadrado
duplo
quadrado
7
1:25:8
quadrado duploseção áurea
Proporção e natureza
"O poder do segmento áureo de criar harmonia advém das notáveis relações entre as proporções nos padrões
de sua capacidade singular de unir as diferentes par- de crescimento de seres vivos como plantase animais,
tes de um todo, de tal forma que cada uma continua
mantendo sua identidade, ao mesmo tempo que se
integra ao padrão maior de um todo único."
As formas com perfil em espiral das conchas re-
velam um padrão cumulativo de crescimento, o qual
foi objeto de vários estudos científicos e artísticos.
Gyòrgy Doczi, O poder dos limites: harmonias e propor- Os padrões de crescimento das conchas são espirais
ções na natureza, arte e arquitetura,1986 [ed. bras.1990] logarítmicas de proporções áureas, refletindo o que
ficou conhecido como a teoria de um padrão de cres-
A predileção pela seção áurea não se restringe ao sen- cimento perfeito. No livro The Curves of Life [As cur-
so estético dos seres humanos; ela também faz parte vas da vida], Theodore Andrea Cook descreve esses
Espiral áurea
Diagrama de construção
de um retângulo áureo e
da espiral resultante.
Náutilo
Corte transversal do Nautilus
pompilius mostrando o padrão
de crescimento em espiral.
8
Architectonica nobilis
Padrão de crescimento em espiral.
Polinices duplicatus
Padrão de crescimento em espiral.
O pentágono e o pentagrama (um pentágono re-padrões de crescimento como "os processos essen-
ciais da vida”. Em cada etapa de crescimento, assi- guiar estrelado) também exibem proporções áureas
nalada por uma espiral, a nova espiral é muito próxi- e podem ser encontrados em muitas criaturas vivas,
ma da proporção de um quadrado áureo maior que o como a bolacha-da-praia. As divisões internas de um
anterior. Os padrões de crescimento das conchas do pentágono criam um pentagrama, no qual a razão en-
náutilo e de outros moluscos nunca exibem propor- tre duas linhas quaisquer tem a proporção de 1:1,618.
ções áureas exatas. Em vez disso, o que se constata
nas proporções dos padrões de crescimento biológico
é a tentativa, nunca alcançada, de chegar a propor-
ções áureas exatas nas espirais.
Comparação do
crescimento em espiral
de uma concha e a
proporção áurea
Padrão pentagonal
O pentágono e o
pentagrama têm
proporções áureas,
pois a razao dos lados
dos triângulos em um
pentagrama é 1:1,618.
As mesmas relações
presentes no pentágono/
pentagrama sao
encontradas nas
bolachas-da-praia e nos
flocos de neve.
A pinha e o girassol apresentam padrões de cresci-
mento em espiral muito semelhantes. As sementes
dos dois crescem ao longo de duas espirais que se
intersectam e irradiam em direções opostas, e cada
semente pertence a ambos os conjuntos de espirais.
O exame das espirais da pinha revela que 8 delas se
movem em sentido horário e outras 13 em sentido
anti-horário, aproximando-se bastante das propor-
ções da seção áurea. A mesma proximidade com a
seção áurea ocorre no caso das espirais do girassol:
há 21 espirais em sentido horário e 34 em sentido
anti-horário.
Os números 8 e 13, constatados nas espirais da-,
pinhas, e 21 e 34, nas dos girassóis, são bem conhe -
cidos dos matemáticos. Eles são pares adjacentes n.i
série matemática conhecida como sequência de Fi-
bonacci. Nesta, cada número é obtido pela soma dos
dois anteriores:0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... A razão
entre dois termos sucessivos na série tende no limito
a 1:1,618, ou seja, à proporção áurea.
Padrões de crescimento
em espiral das pinhas
Cada semente na pinha
pertence a ambos os
conjuntos de espirais: 8 delas
irradiam em sentido horário
e 13, em sentido anti-horário.
A proporção de 8:13 é 1:1,625
— também muito próxima de
1:1.618, a proporção áurea.
10
Padrões de crescimento
em espiral dos girassóis
Tal como ocorre nas pinhas,
cada semente
no girassol pertence a
ambos os conjuntos de
espirais: 21 espirais
irradiam em sentido
horário, e 34 em sentido
anti-horário. A proporção
de 21:34 é 1:1,619 — muito
próxima de 1:1,618, a
proporção áurea.
\
Talvez parte do nosso fascínio pelo ambiente natu-
ral e por seres vivos como conchas, flores e peixes seja
devido à nossa predileção subconsciente pelas pro-
porções, formas e padrões associados à seção áurea.
Muitos peixes também exibem medidas relaciona-
das com a seção áurea. A superposição de três dia-
gramas de construção com a proporção áurea ao cor-
po de uma truta arco-íris mostra as relações entre o
olho e a nadadeira caudal nos retângulos e quadrados
dourados recíprocos. Além disso, as nadadeiras indi-
viduais exibem proporções áureas. O peí xe-anjo-azul
enquadra-se exatamente em um retângulo áureo, e
sua boca e guelras estão no ponto áureo recíproco
da altura do corpo.
*
retângulo áureo reciproco
s
s•s. / \
N /
N
\
\/
\quadrado
\
\/
\
retângulo áureo retângulo áureoretângulo áureo *•
Análise da seção áurea
em uma truta
O corpo de uma truta
enquadra-se em três
retângulos áureos. O olho
é bissectado pelo lado de
um retângulo áureo
recíproco, e outro
retângulo deste tipo define
a nadadeira caudal.
11
Análise da seção áurea em
um peixe-anjo-azul
Todo o corpo do peixe se
enquadra em um retângulo
áureo. A boca e a guelra
estão no retângulo áureo
recíproco.
Proporções do corpo humano
na escultura clássica
Assim como muitas plantas e animais compartilham nos tratados de um arquiteto o estudioso latino do
as proporções áureas, o mesmo se dá com os seres primeiro século dC, Marcus Vitruvius Pollio. Vitrúvio,
humanos. Talvez outro motivo para a predileção cog- como é mais conhecido, recomendava que a arquite-
nitiva pelas proporções áureas seja o fato de que o tura dos templos fosse baseada nas proporções ideais
rosto e o corpo humanos exibem as mesmas relações de um corpo humano em que todas as partes estão
proporcionais matemáticas constatadas em todos os em perfeita harmonia. Ao descrever tal ideal, ele expli-
cava que a altura de um homem bem-proporcionado
Algumas das mais antigas investigações sobre pro- é equivalente ao comprimento de seus braços aber-
porções anatómicas e arquitetónicas são encontradas tos. A altura do corpo e o comprimento dos braços
seres vivos.
12
Proporções áureas na escultura grega
O Doríforo (o portador de lança) à esquerda. O Zeus
do Cabo Artemísion à direita. Cada retângulo áureo é
representado por um retângulo com uma linha diagonal
tracejada. Múltiplos retângulos áureos partilham a mesma
diagonal tracejada. As proporções das duas figuras são
quase idênticas.
\
\
estendidos criam um quadrado, enquanto as mâos e
os pés tocam um círculo cujo centro é o umbigo. Nes-
se esquema, a forma humana é dividida ao meio na
virilhae pela seçào áurea no umbigo. As estátuas do
DX>riforo e de Zeus são ambas dos anos 1400 aC. Em-
bora realizadas por escultores diferentes muito tem-
po antes dos estudos de Vitrúvio. ambas coincidem
)
)
)
claramente com as proporções por ele recomendadas.
analisado segundo o cânone de Vitrúvio
mdrado encerra o corpo, ao passo que as mãos
§m um circulo cujo centro coincide com o umbigo.
Ura è dividida ao meio na virilha e (à direita) pela
§o Áurea no umbigo.
\
estendidos criam um quadrado, enquanto as mâos e
os pés tocam um círculo cujo centro é o umbigo. Nes-
se esquema, a forma humana é dividida ao meio na
virilha e pela seção áurea no umbigo. As estátuas do
Doríforo e de Zeus sâo ambas dos anos 1400 aC. Em-
bora realizadas por escultores diferentes muito tem-
po antes dos estudos de Vitrúvio, ambas coincidem
claramente com as proporções por ele recomendadas.A
\
13
/»*i/s analisado segundo o cânone de Vitrúvio
Um quadrado encerra o corpo, ao passo que as mãos
tocam um círculo cujo centro coincide com o umbigo.
A figura é dividida ao meio na virilha e (ã direita) pela
áurea no umbigo.
Proporções do corpo humano
no desenho clássico
O cânone vitruviano foi adotado por artistas renas-
centistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Durer,
no final do século XV e início do XVI. Tanto Da Vinci
como Durer se dedicaram ao estudo dos sistemas de
proporções da anatomia humana. Os experimentos de
Durer com vários desses sistemas podem ser vistos
em sua obra Vier Bucher von menschlicher Proportion
[Quatro livros sobre a proporção humana], de 1528.
Já Leonardo da Vinci fez as ilustrações para o livro
De divina proportione [Sobre a divina proporção]Homem vitruviano, Leonardo da Vinci,1485-90Homem inscrito num circulo, Albrecht Durer, após 1521
v
r vistol
'PortioÂ
io 152É
o liviu
>orçaol
M) do matemático Luca Pacioli. Individualmente,
ptpu'hhos de Da Vinci e de Durer se conformam
Hpmentn ao sistema de Vitrúvio. Além disso, quan-
tMnparamos esses desenhos com a ajuda de so-
^^Mlções transparentes, constatamos que ambosos proporções vitruvianas e são, na verdade,
idênticos. A única diferença significativa está
Ife liionnn.oes faciais.
t AMMIIU vltruviano
A *lo 4»o Homem
num circulo
M" «liado encerra
plpn O' » passo que as
I» « •(,pés tocam um
yiH|U|( > < entro
1» M|H corn o umbigo.
wti i rntA dividida ao
Miu virilha e pela
éutprt no umbigo.
16
O cânone vitruviano aplicado ao Homem vitruviano,
de Leonardo da Vinci
Um quadrado encerra o corpo, ao passo que as mãos e
os pés tocam um círculo cujo centro coincide com o
umbigo. A figura está dividida ao meio na virilha e pela
seção áurea no umbigo.
/
Comparação das
proporções de Díirer
(em vermelho) e
Da Vlnci (em preto)
As proporções de
i
iambos os artistas sao
quase idênticas.
Proporções faciais
|IWt'Hl -»M*M » M
It»** **'
de construção suaves podem ser vistas em seu de- I
senho original.
Durer, no entanto, recorre a proporções faciais cia- I
ramente diferentes. No Homem inscrito num círculo, I
as proporções são caracterizadas pelos traços con-
centrados na parte inferior do rosto e pela testa mais j
ampla, o que possivelmente revela uma predileção es-
tética comum à época. O rosto é dividido ao meio por
uma linha no topo das sobrancelhas, com os olhos,
O cânone de Vitrúvio abrange as proporções do ros-
to e do corpo humano. O posicionamento dos traços
faciais revela as proporções clássicas usadas na es-
cultura greco-romana.
Embora tanto Leonardo da Vinci como Albrecht
Durer tenham empregado o cânone vitruviano de
proporções anatômicas, notam-se diferenças sig-
nificativas nas proporções faciais. O sistema de Da
Vinci para o rosto reproduz o de Vitrúvio e linhas
N
/N. N.
/
V /N
/x.
/-s
V / N V
/
/
/
/
/
^x
/
/
/
lf|
<4
Comparação de proporções faciais e seção áurea
Detalhe da cabeça do Doríforo (esquerda). Detalhe da
cabeça do Zeus do Cabo Artemision (direita). Quando
aplicamos às cabeças das estátuas o cânone vitruviano,
notamos que as proporções são quase idênticas.
O diagrama mostra que um único retângulo áureo rege o
comprimento e a largura da cabeça. Esse retângulo
subdivide-se a seguir em retângulos áureos menores que
definem a posição dos outros elementos faciais.
18
Estudos das proporções
faciais por Durer,
C.1526-27
Quatro cabeças
construídas, desenho
publicado em Das
Skizzenbuch von Albrecht
Durer LO caderno de
rascunhos de Albrecht
Durer],1905 r
l
de- li n.iriz e a boca debaixo dela; além disso, o pesco-
ço « encurtado. Essas mesmas proporções reapare-
cem com frequência nos desenhos de Vier Bucher von
trwnschlicher Proportion, de 1528. Durer também ex-
plora outros tipos de proporções faciais no desenho
( Ju.itro cabeças construídas, no qual introduz linhas
oblíquas no grid de base a fim de obter variações.
Os seres humanos, tal como as outras criaturas, ra-
i.imente exibem proporções faciais ou corporais que
refletem perfeitamente a seção áurea, exceto nas con-
cepções artísticas manifestadas em desenhos, pintu-
ras e esculturas. O emprego da proporção áurea pe-
los artistas, sobretudo pelos gregos antigos, era uma
tentativa de idealizar e sistematizar a representação
da figura humana.
cla-
j /o,
an-
Comparação de proporções faciais em desenhos de
19
Da Vinci e Durer
l «Malhes das cabeças de Homem vitruviano, de Da Vinci
(tsquerda). e Homem inscrito num círculo, de Durer
(direita). No desenho de Da Vinci, as proporções faciais
*.» • adequam ao cânone vitruviano. ao contrário do que
ocorre na cabeça desenhada por Durer.
Proporções arquitetônicas
Além de registrar as proporções da anatomia huma-
na, Vitrúvio também era arquiteto e catalogou as
proporções arquitetônicas mais harmoniosas. Se-
gundo ele, a arquitetura dos templos deveria se ba-
sear no corpo humano bem-proporcionado, aquele
no qual há perfeita harmonia entre todas as par-
tes. Atribui-se a ele a introdução do conceito de
módulo, do mesmo modo que as proporções hu-
manas se expressavam de acordo com um módu-
lo definido pela medida da cabeça ou do pé. Esse
conceito viria a adquirir muita importância na his-
tória da arquitetura.
O templo do Partenon, em Atenas, é um exemplo
do sistema de proporções usado pelos gregos an-
tigos. Um exame sumário revela que a fachada do
edifício é contida em um retângulo áureo subdivi-
dido. O quadrado do retângulo recíproco principal
fornece a altura do frontão, e o retângulo menor do
diagrama determina o posicionamento do friso e da
arquitrave.
Desenho do Partenon, Atenas,
c. 447-432 aC, e relação arquitetônica
com a seção áurea
Análise das proporções áureas
segundo o diagrama de construção
da seção áurea.
s
\
**
\frontão \
(riso
.irj
arquitrave
4U-U-UU A
y
S3-
\
\
\y
y
\
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\\ yy* \y\y
y
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*«A \
Análise da harmonia áurea
20
Z M3 È \ 4
\7 \ V
HmliM
:jiliIII1X
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/
*
Séculos depois, a "proporção divina”, ou seção acima do óculo, a janela circular central, que intercep-
éuma, foi propositalmente empregada na arquitetura tam as principais linhas de força verticais da catedral.
igrejas góticas. Em Por uma arquitetura, Le Cor- A porta central também tem uma proporção áurea,
IMI-.MT cita o papel do quadrado e do círculo nas pro- como se pode ver no diagrama de construção. A pro-
!•"! :ões da fachada da catedral de Notre-Dame, em porção do óculo é 1/4 do diâmetro do círculo inscrito
Mrtfls O retângulo em torno da fachada da catedral no quadrado maior.
U»n ,i proporção áurea. O quadrado desse retângulo
éiiMio encerra a parte principal da fachada, e o retân-
gulo áureo recíproco inclui as duas torres. Os traçados
uladores são as diagonais que se encontram logo
>-
i -
>
I
i
fu
retângulo áureo recíproco• utodral de Notre-Dame,
f.irll.1163-1235
âtuMise das proporções e
içmlosreguladores
undo o retângulo áureo.
rege todas as proporções
fachada. A porção inferior.Ir -it «i está encerrada no
Kimlrado do retângulo áureo.
H torres, no retângulo
Aut 'IO recíproco. Além disso, aprçâo inferior da fachada
ser dividida em seisII H
Untd.ides, cada qual formando
IMT) retângulo áureo.
»mi>nraçao das proporçoes
hi iilo está na proporção de
4 um relação ao grande
lr < ulo da fachada.
Traçados reguladores de Le Corbusier
“Do nascimento fatal da arquitetura. A obrigação da
ordem. O traçado regulador é uma garantia contra
o arbitrário. Proporciona a satisfação do espírito. O
traçado regulador é um meio; não é uma receita. Sua
escolha e suas modalidades de expressão fazem parte
integrante da criação arquitetural.”
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923
O interesse de Le Corbusier pela aplicação da geo-
metria e da matemática está registrado em Por uma
arquitetura. Nesse livro, ele discute a necessidade dos
traçados reguladores como um meio de criar ordem
e beleza na arquitetura, e também responde à crítica
de que "com seus traçados reguladores, vocês ma-
tarão a imaginação e entronizarão a receita". Ao que
ele retruca: “Mas o passado nos legou provas, docu-
mentos iconográficos, esteias, lajes, pedras gravadas,
pergaminhos, manuscritos, impressos... [...]
Redesenhada a partir de uma lápide de mármore
descoberta em 1882, a Fachada do Arsenal do Pireu.
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923
Le Corbusier cita os traços reguladores das divisões
simples, que determinam a proporção entre a altura e a
largura e orientam o posicionamento e a medida das
portas. A fachada enquadra-se em um retângulo áureo,
com a posição e a altura da porta principal
correspondendo a essa proporção.
22
I ’
geo-
tma
dos
! >ara construir bem e para repetir seus esforços,
jimn a solidez e a utilidade da obra, ele [o homem
Md passado] tomou medidas, admitiu um módu-
l|p regulou seu trabalho, introduziu a ordem. [...]
hma medir, tomouseu passo, seu pé, seu cotove-
lo ou seu dedo. Impondo a ordem com seu pé ou
|mn seu braço, criou um módulo que regula toda a
IIIMn . e esta obra está em sua escala, em sua con-
VHuéncia, em seu bem-estar, em sua medida. Está
ha < scala humana.”
Le Corbusier considera o traçado regulador “um dos
momentos da inspiração, é uma das operações capitais
da arquitetura". Mais tarde, em 1950 publicou Le Modu-
lor: essai sur une mesure harmonique à 1’échelle humaine
applicable univcrse/lement à I 'architecture et à la méca-
nique [O Modulor: ensaio sobre uma medida harmónica
em escala humana de aplicação universal na arquitetura
e na mecânica]. O Modulor apresenta o seu sistema de
proporções baseado na matemática da seção áurea e
nas proporções do corpo humano.
lem
:ica
ma-
iue
cu-
ias,
/
/ 1
/
*•f
l ** Corbusier,1916.Uma Villa, em
uma arquitetura,1923
kfim i) O desenho de Le Corbusier
Htniia a série de traçados reguladores
|M» foram usados no projeto do edifício.
A * linhas vermelhas sobrepostas aoMn^ 'nho mostram o retângulo áureo e as
Íl|IU"iiais de construção.
23
N./
/ V
s./ V
0t*utnK .*o da seção áurea (direita)Hi|çAn dos traçados reguladores de
it i ' " i i 'iier com os dois diagramas
• on-.truçáo do retângulo áureo.
/
/
/ •s.
/
N./
Construção do retângulo áureo
A proporção divina:O retângulo áureo é uma razão da "proporção divi-
na”. Esta é derivada da divisão de uma linho em dois
segmentos, tais que a razão entre o segmento todo
AB e sua parte mais longa AC é igual à razão entre
AC e a parte menor CB. E tal razão é de aproximada-
mente 1,61803 para 1, também expressa como
A c B
h +
AB = AC
AC CB
2
Seção áurea, método de construção
com quadrado
1. Comece com um quadrado.
B
rr
J»2. Trace uma diagonal desde o ponto
mediano A em um dos lados até o
vértice oposto B. Essa diagonal torna-se
o raio de um arco de circunferência que
intercepta o ponto C no prolongamento
da linha inferior do quadrado.
O retângulo menor e o quadrado se
tornam um retângulo áureo.
V
s/ V
/ \
\/
\/* retângulo \áureo
\t
\/
\/
\/
*//
/
A C
24
3. Ao dividir-se o retângulo áureo,
obtém-se um retângulo áureo menor,
denominado recíproco. Resta uma área
quadrada depois da subdivisão,
também chamada de gnómon.
\
\
x\
retângulo
áureo
recíprocognõmon(quadrado) ^
X
\X*
X \
N
x1
\
x \
\x
4. O processo de subdivisão pode
continuar indefinidamente, gerando
retângulos e quadrados proporcionais
cada vez menores.
x
x
x
\
x
\
\
\
\
\
X
\
X \X
\
/
7
D retângulo áureo é único porque, ao ser dividido, o
ipu retângulo recíproco é um retângulo proporcional
rnenor, e a área remanescente após a divisão é um
quadrado. Os quadrados proporcionais decrescentes
iodem gerar uma espiral quando se usa um raio com
mesmo comprimento dos lados do quadrado.
< niistrução da espiral áurea
( MIO um diagrama de subdivisões da
Itç Ao áurea é possível construir uma
r.plral áurea. Basta usar o comprimento
» ' lados dos quadrados das subdivisões
* omo raio de um segmento de círculo,•tntâo traçar e conectar os arcos em
|< ti los os quadrados do diagrama.
4\
\ l
N /IS
I
N I
1
*•
25
• jiMdrados proporcionais
(luadrados do diagrama da subdivisão
i.i -K íO áurea mantêm entre eles a
pn «porção áurea.
K
MM»|»
t l i i
*Mtl * I
AlHtt
Ml«f ( l l
A
Retângulo áureo, método de construção
com triângulo
1. Comece com um triângulo reto cujos
lados estejam na proporção 1:2. Trace um
arco a partir de D. usando DA como raio.
e intersecte a hipotenusa.
D
A
2. Trace outro arco ao longo da
hipotenusa a partir de C, usando CE
como raio para intersectar a linha de base.
D
E
A
3. Do ponto B. onde o arco intersecta a
linha de base, trace uma linha vertical que
toca a hipotenusa.
D
A
B
26 4. Esse método resulta em proporções
áureas ao definir o comprimento de AB
e BC, que são os lados do retângulo.
A divisão do triângulo proporciona a
criação dos lados de um retângulo com
proporção áurea, pois a razão entre
ABe BC é de 1:1,618.
E
A
B
* I* \
\
\
\
\
S
\
•v
X.
•x
1
Proporções áureas
A \ divisões e proporção do método de construção
Icom triângulo geram os lados de um retângulo áureo.
Al« m disso, o método pode resultar em uma série de
< Irculos ou quadrados que mantêm entre si a propor-
I çAo áurea, como se vê nos exemplos abaixo.
AB = BC CD
BC = CD + DE
CD = DE + EF
F GH
retângulo
áureo
retângulo
áureo quadrado - D
E
A B = AB
ABCC =AB +
ABC
ABCD
ABCDE
ABCDEF
D = ABCD
ABCDE
ABCDEF
ABCDEFG
E =+
F =«f G
G =
F
Proporções áureas em
círculos e quadrados
O método de construção
de seções áureas por meio
do triângulo também
produz uma série de
círculos ou quadrados
áureos.
28
7
Seção áurea e sequência de Fibonacci
As propriedades específicas da seção áurea têm es-
treita relação com a série de números denominada se-
quência de Fibonacci, assim chamada em homenagem.10 seu descobridor, o matemático Leonardo de Pisa
(1170-1250),conhecido como Fibonacci, e que também
foi o introdutor dos algarismos arábicos na Europa cer-
ca de oitocentos anos atrás. Essa sequência de núme-
ros — 1,1, 2, 3, 5, 8.13, 21, 34 — é calculada somando-se
os dois números antecessores para se obter o seguinte.
Por exemplo, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 etc. A pro-
porção entre qualquer par de números na sequência
é muito próxima da proporção áurea. Os primeiros
pares da série vão progressivamente se aproximando
da seção áurea, e, depois do 152 número, a divisão de
qualquer número pelo subsequente tende a 0,618, e
a divisão por qualquer número anterior tende a 1.618.
Sequência numérica de Fibonacci
1. 1. 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34, 55, 89, etc.
I1+1=2,
1+2=3,
2+3 = 5,
3 + 5 =8
5+ 8=13,
8+13 =21,
13 +21=34,
21+34= 55
34+ 55=89
2/l 2,0000
3/2 1,5000
5/3 1,66666
8/5 1,60000
29
13/8 1,62500
21/13 1,61538
34/21 = 1,61904
55/34 1,61764
88/55 1,61818
l44/89 1,61797
233/144 1,61805
377/233 1,61802
510/377 1,61803 seção áurea
Triângulo e elipse áureos
O triângulo áureo é um triângulo isosceles, ou seja.
com dois lados iguais, também conhecido como triân-
gulo “sublime”, pois tem propriedades estéticas simi-
lares às do retângulo áureo — e é o triângulo preferi-
do pela maioria das pessoas. Facilmente construído a
partir de um pentágono, tem ângulos de 36° no vér-
tice e de 72° na base. Essa construção pode ainda dar
origem a outro triângulo áureo, conectando-se o ân-
gulo da base do triângulo maior ao vértice do pentá-
gono no lado oposto. A interligação dos vértices com
as diagonais resulta em um pentagrama. O decágono,
um polígono com dez lados, também resulta numa
série de triângulos áureos quando o seu ponto cen-
tral é conectado a quaisquer dois vértices adjacentes.
Também se comprovou que a elipse áurea tem qua-
lidades estéticas similares às do retângulo e do triân-
gulo áureos. Tal como no retângulo, nela se constata
a mesma proporção de1:1,618 entre os seus dois eixos,
o principal e o secundário.
Construção do triângulo
áureo a partir do
pentágono
Comece com um
pentágono. Conecte os
ângulos na base ao vértice
do pentágono, o que
resulta em um triângulo
áureo com ângulos de 72°
na base e de 36° no vértice.
Elipse aurea inscrita em retângulo aureo
Construção de triângulo
áureo secundário a partir
do pentágono
A construção do pentágono
também resulta em
triângulos áureos secundá-
rios. Basta conectar um
ângulo da base a um dos
vértices do lado oposto.
30
Triângulo aureo inscrito em elipse aurea,
inscrita em retângulo áureo
Construção de triângulo
áureo a partir do decágono
Comece com um decágono,
ou seja, um polígono com
dez lados. Conecte
quaisquer dois vértices
adjacentes ao centro para
obter um triângulo áureo.
/
/
Proporções áureas do pentagrama
A estrela de cinco pontas criada a partir
das diagonais de um pentágono regular
i* um pentagrama, cuja parte central é
outro pentágono etc. A progressão de
( onhecída como lira de Pitágoras, devido
ntágonos cada vez menores é
i
it sua relação com a seção áurea.» i
Criação de espiral áurea a partir do
triângulo áureo
Um triângulo áureo pode ser divididoem
uma série de triângulos áureos menores
<|uando se traça um novo ângulo de 36°
n partir de um ângulo da base. Para se
( rlar a espiral, usa-se o comprimento dos
lados dos triângulos das subdivisões
como raio de um círculo.
Retângulos áureos dinâmicos
Todos os retângulos se dividem em duas categorias:
os retângulos estáticos, com razões de frações de nú-
meros racionais (como 1/2, 2/3, 3/3, 3/4 etc.), e os
retângulos dinâmicos, com razões de frações de nú-
meros irracionais (como [2, /3, /5, 4> da seção áurea
etc.). Quando divididos, os retângulos estáticos não
resultam numa série de superfícies proporcionais vi-
sualmente atraentes. As subdivisões são previsíveis e
não apresentam muitas variações. Por outro lado, os
retângulos dinâmicos produzem, ao se dividirem, uma
interminável quantidade de subdivisões e razões de
superfície harmoniosas em termos visuais, pois suas
razões derivam de números irracionais.
O processo de divisão de um retângulo dinâmico
em uma série de subdivisões harmónicas é muito sim-
ples. Diagonais sâo traçadas entre vértices opostos e
então uma rede de linhas paralelas e perpendiculares
é construída a partir dos lados e das diagonais.
Retângulos áureos
dinâmicos
Esses diagramas, extraídos
de The Geometry of Art
and Life [A geometria da
arte e da vida], de Matila
Ghyka, ilustram vários
exemplos de subdivisões
harmónicas de retângulos
áureos dinâmicos. Os
pequenos retângulos em
vermelho (esquerda)
mostram a construção dos
retângulos áureos. Os
retângulos nas cores cinza
e vermelho (coluna
intermediária) mostram a
construção dos retângulos
áureos em vermelho, com
as subdivisões harmónicas
em linhas cinzentas. Já os
retângulos com linhas
pretas (direita) indicam
apenas as subdivisões.
32
O, Ui
3es th
s sun
âmicd
:o sun
stos n
jlarvf
- *
7
/
71
Construção do retângulo de raiz 2
dividido em quatro, resultam quatro retângulos meno-
res de raiz 2 etc. Cabe notar ainda que as proporções
do retângulo de raiz 2 são bem próximas da seção
áurea: as dos retângulos de raiz 2 são 1:1,41, contra
1:1,618 da seção áurea.
Os retângulos de raiz 2 exibem a propriedade espe-
cial de serem infinitamente divisíveis em retângulos
proporcionais menores. Isso significa que, quando se
divide ao meio um retângulo de raiz 2, resultam dois
retângulos menores também de raiz 2; e, quando é
Construção do retângulo de raiz 2,
método do quadrado
1. Comece com um quadrado.
t
\2. Trace uma diagonal no interior
do quadrado. Use a diagonal
como raio de um arco que
intersecta a linha da base do
quadrado. Complete o retângulo
em torno da nova figura. Este é
um retângulo de raiz 2.
/ s
\
\
/ \
\
/
\s
\/
/
* / \/
/
/
/
/
/
34
Subdivisão de raiz 2
1. O retângulo de raiz 2 pode ser
dividido em retângulos similares
menores. Dividindo-se o retângulo
com a ajuda de uma diagonal,
obtêm-se dois retângulos menores.
Subdividindo cada um destes,
obtèm-se sucessivamente
retângulos menores de raiz 2.
2. Esse processo pode ser repetido
sem cessar, gerando uma série
infinita de retângulos de raiz 2.
V2
retângulo 'íl \ retângulo -Í2
I
/
Construção do retângulo de raiz 2,
método do circulo
1. Outra maneira de se construir um
retângulo de raiz 2 começa com o traçado
de um círculo. Em seguida, inscreve-se um
quadrado no círculo.
2. Prolongue os dois lados opostos do
quadrado de modo que tangenciem o
círculo. O retângulo obtido é de raiz 2.
Espiral decrescente
de raiz 2
Pode-se construir uma
espiral decrescente de
raiz 2 traçando-se e
conectando-se as
diagonais nos retângulos
recíprocos de raiz 2.
Relações proporcionais
de raiz 2
A subdivisão contínua
de um retângulo de raiz 2
resulta em retângulos
similares proporcionalmen-
te menores.
Norma DIN de formatos proporcionais de papel
vezes a folha original, obtêm-se quatro folhas meno-
res ou oito páginas impressas etc. Esse sistema não
só é eficiente, como também otimiza o uso do papel.
As cidades europeias nas quais é tradicional o uso
de cartazes dispõem de áreas públicas próprias para
eles com essa proporção. Além da vantagem prática
de evitar o desperdício no uso das folhas de papel, o
retângulo de raiz 2 se aproxima das propriedades es-
Os retângulos de raiz 2, como se viu, têm a proprie-
dade de se subdividirem sem cessar em retângulos
proporcionalmente menores. Por esse motivo,servem
de base para a norma DIN — Deutsche Industrie Nor-
men (normas industriais alemãs), um critério para a
definição de formatos de papel. E também regem as
proporções de muitos dos cartazes examinados nes-
te livro. Uma dobra inicial no meio da folha resulta
em duas meias-folhas, ou fólios. Dobrando-se quatro téticas da seção áurea.
I
Retângulos dinâmicos de raiz 2
O processo de divisão harmónica requer o traçado
de diagonais e, depois, o traçado de uma rede de li-
nhas paralelas e perpendiculares aos lados e às diago-
nais. Os retângulos de raiz 2 sempre vão se subdividir
em um número equivalente de retângulos recíprocos.
l )o mesmo modo que os retângulos áureos, os re-
t ângulos de raiz 2 são conhecidos como retângulos
dinâmicos, pois, como aqueles, produzem uma varie-
• l.ide de subdivisões e combinações harmónicas que
Mimpre guardam as proporções do retângulo original.
Divisões harmónicas dos
retângulos de raiz 2
( esquerda) Divisão de
um retângulo de raiz 2
•m 16 retângulos menores
do raiz 2.
(direita) Divisão de um
retângulo de raiz 2 em
4 colunas e ângulos
adjacentes.
(esquerda) Divisão de
um retângulo de raiz 2
um 9 retângulos
menores de raiz 2.
( direita) Divisão de um
lotângulo de raiz 2 em
< retângulos menores
' ie raiz 2 e 3 quadrados.
(esquerda) Divisão de um
retângulo de raiz 2 em 5
retângulos menores de raiz
;c 2 quadrados.
(direita) Divisão de 2
retângulos de raiz 2.
Retângulo de raiz 3
O retângulo de raiz 3 tem a propriedade de per-
mitir a construção de um prisma hexagonal regular
Esse hexágono é encontrado também na forma dos
cristais de neve, dos favos de mel e em muitas outras
estruturas do mundo natural.
Assim como o retângulo de raiz 2 pode ser dividido
em outros retângulos similares, o mesmo se dá com os
retângulos de raiz 3, raiz 4 e raiz 5. Esses retângulos
podem ser divididos tanto na vertical como na horizon-
tal. O de raiz 3 pode ser subdividido em 3 retângulos
verticais de raiz 3; e estes, por sua vez, em 3 retângulos
horizontais de raiz 3 etc.
Construção de raiz 3
1. Comece com um retângulo de raiz 2. *! v \/ \
\
/ \
\s
/ \
/ \
\/
/
/
/
t
2. Trace uma diagonal no interior do
retângulo de raiz 2. Use a diagonal como
raio de um arco de circunferência que
intersecta o prolongamento da linha na
base do retângulo de raiz 2. Complete o
retângulo em torno da figura. Este é um
retângulo de raiz 3.
\
\
\
\
\
s \
s
\s
s
l
1
s
*
38
Subdivisão de raiz 3
O retângulo de raiz 3 pode ser dividido
em retângulos similares menores. Divida o
retângulo em três retângulos menores.
Divida de novo cada um destes em
retângulos de raiz 3 ainda menores. Esse
processo pode ser repetido sem cessar,
criando-se assim uma série infinita de
retângulos de raiz 3.
*4
1
i
>
>
Construção de hexágono
É possível construir um
hexágono a partir de um
retângulo de raiz 3. Para
tanto, gira-se o retângulo
em torno de seu eixo
central de modo que os
vértices se encontrem.
*
*
39
Retângulo de raiz 4
Construção de raiz 4
1. Comece com um retângulo de raiz 3.
».• \
\
\y
\
\
*y *y
y
\y
y
>/
y
y
y
y
y
«
yV2. Trace uma diagonal no interior do
retângulo de raiz 3. Use a diagonal como
raio de um arco de circunferência que
intersecta o prolongamento da linha da
base do ratângulo. Complete o retângulo
em torno da figura. Este é um retângulo
de raiz 4.
\
\
\
\*s
\
\** \
l* X*X*.X,X
X»
*«X
»x
40
Divisão de raiz 4
O retângulo de raiz 4 pode ser dividido
em retângulos similares menores. Divida o
retângulo em 4 retângulos menores. Em
seguida, subdivida cada um destes em
retângulos de raiz 4 ainda menores. Esse
processo pode ser repetido sem cessar,
criando-se assim uma série infinita de
retângulos de raiz 4.
y
y
y
\y\
\
•>< \
\
-*
\
t
Retângulo de raiz 5
Construção de raiz 5
I Comece com um retângulo de raiz 4.
,T
2 , Trace uma diagonal no interior do
retângulo de raiz 4. Use a diagonal como
raio de um arco de circunferência que
Intersecta o prolongamento da linha na
base do retângulo de raiz 4. Complete o
retângulo em torno da figura. Este é um
retângulo de raiz 5.
Divisão de raiz 5
O retângulo de raiz 5 pode ser dividido
em retângulos similares menores. Divida o
retângulo em 5 retângulos menores. Em
seguida, subdivida cada um destes em
retângulos de raiz 5 ainda menores. Esse
processo pode ser repetido sem cessar,
criando-se assim uma série infinita de
retângulos de raiz 5.
41Raiz 5, método de construção
com quadrado
Outra maneira de construir um retângulo
de raiz 5 parte de um quadrado. Um
semicírculo é traçado a partir do ponto
central da linha de base do quadrado. Em
seguida, prolonga-se o quadrado de modo.» Incluir os arcos em ambos os lados.
Os pequenos retângulos em ambos os
lados do quadrado são retângulos áureos.
cada um deles, juntamente com o
quadrado original, forma outro retângulo
éureo. Os dois retângulos áureos e o
quadrado formam um retângulo de raiz 5.
k *
r
Comparação dos retângulos de raiz
42
1
Analises visuais do design
— Não há melhor maneira de iniciar esta análise de exemplos clássicos do design
gráfico, ilustração, arquitetura e design industrial do que recorrendo a uma intro-
dução escrita por Le Corbusier.
Em seu livro Le Modulor , ele fala de uma revelação que teve durante sua juven-
tude em Paris.
“Um dia, sob a lamparina a óleo em seu quartinho parisiense, alguns cartões-pos-
tais com obras de arte estavam espalhados sobre a mesa. Seu olho deteve-se em
uma imagem do Capitólio de Michelangelo, em Roma. Ele virou outro cartão, dei-
xando-o com o verso para cima. e intuitivamente um de seus ângulos (um ângulo
reto) cobriu a fachada do Capitólio. De repente, ele ficou impressionado de novo
com uma verdade corriqueira: o ângulo reto rege a composição; os tieux Cfieux de
t’angle droit , “localizações do ângulo reto") ordenam toda a composição. Para ele
isso foi uma revelação, uma certeza. O mesmo teste funcionou com uma pintura
de Cézanne. Mas ele desconfiou de seu próprio veredicto, dizendo a si mesmo que
a composição de uma obra de arte é ordenada por regras; tais regras podem ser
métodos conscientes, apropriados e sutis, ou podem ser regras corriqueiras, apli-
cadas desatentamente. Elas também podem estar implícitas no instinto criativo
do artista, como manifestação de uma harmonia intuitiva, o que sem dúvida era o
caso de Cézanne. Já Michelangelo era de outra natureza, mais propenso a seguir
planos conscientes, preconcebidos e deliberados.
Foi um livro que lhe trouxe a certeza: algumas páginas da Historie de /'Architecture
[História da arquitetura], de Auguste Choisy, que falavam do tracé regulateur (tra-
çado regulador). Então havia coisas como traçados reguladores que determinavam
a composição?
Em 1918 decidiu dedicar-se seriamente à pintura. Os dois quadros iniciais foram
compostos a esmo. Já no terceiro, em 1919, tentou preencher a tela de maneira
ordenada. O resultado mostrou-se quase satisfatório. Então veio a quarta pintura,
uma réplica melhorada da terceira, devido ao plano categórico que a unificava,
continha e lhe dava uma estrutura. Depois houve a série de pinturas feitas em 1920
(expostas na Galerie Druet, em 1921), todas rigorosamente baseadas na geometria.
Dois recursos matemáticos foram usados nesses quadros: a posição do ângulo
reto e a razão áurea."
43
Essa percepção de Le Corbusier é valiosa para todos os artistas, designers e arqui-
tetos. A compreensão dos princípios organizativos geométricos permite atribuir a
uma obra criativa um sentido de coesão compositiva, o qual por sua vez confere
a todos os elementos um senso de adequação visual. Por meio do exame de ca-
racterísticas geométricas, esquemas e proporções, pode-se entender melhor as
intenções e o raciocínio dos designers e arquitetos. Essa análise esclarece o pro-
cesso de criação c proporciona uma explicação racional para muitas das decisões
tomadas em tais obras, seja o ordenamento geométrico intuitivo ou proposital,
aplicado com rigidez ou adotado de maneira casual.
Cartaz “ Folies-Bergère” , Jules Chéret, 1877
O cartaz "Folies-Bergère", de Jules Chéret (1836-1932), menor e proporcional. A razão dos lados dos triãngu-
é uma obra fascinante e repleta de dinamismo que cap- los no interior de um pentagrama é 1:1,618, a razão áu-
tura o movimento de um grupo de dançarinos. À pri- rea. O centro exato do cartaz é um ponto pivotante no
meira vista, parece ser uma composição espontânea e quadril da dançarina, e as pernas estendidas dos seus
desprovida de ordenamento geométrico, mas um exa- companheiros criam um triângulo invertido, a ponta su-
me mais detido revela uma estrutura visual cuidadosa, perior do pentagrama que a enquadra. Os membros e
As posições dos membros dos dançarinos correspon- os ombros de todas as figuras são dispostos com exa-
dem a um pentágono inscrito em um círculo.
As divisões internas do pentágono criam um penta-
grama que, por sua vez, delimita um outro pentágono
tidão em conformidade com a geometria da estrutura.
<*
44
1
O pentagrama
As subdivisões do pentágono criam uma
estrela interna de cinco pontas cujo
centro é outro pentágono. A seção áurea
está presente ali: nos triângulos, a razão
entre os dois lados iguais, B e C, e a base
A é 1:1,618, ou seja, a razão áurea.
t
i-
i-
Análise
Na ordenação das três
figuras estão implícitos
primeiro um círculo, depois
um pentágono, em
seguida um pentagrama e,
por fim, outro pentágono,
com o centro no ponto
pivotante localizado no
quadril da dançarina.
Até mesmo a figura menor
na parte inferior participa
dessa estrutura, na medida
em que sua cabeça toca o
círculo e o pentágono,
(embaixo) O triângulo
formado pelas pernas dos
dançarinos é um triângulo
áureo.
45
Cartaz “ Job” , Jules Chéret, 1889
Um mestre da impressão, o parisiense Chéret é consi- ele foi assíduo frequentador dos principais museus
derado um dos responsáveis por elevar ao patamar de de arte da Europa, onde estudava atentamente as
forma artística a técnica conhecida como cromolito- obras dos grandes pintores,
grafia. Seu domínio dessa técnica foi a consequência
de uma aprendizagem iniciada aos 13 anos de idade, imediato, devido ao belo jogo de cores e às mara-
Em termos de educação formal no campo da arte e vilhosas figuras que os ilustravam. Ele aproveita-
do desenho, Chéret fez apenas um curso na École va ao máximo os recursos da cromolitografia, as-
Nationale de Dessin, onde provavelmente tomou con- sim como os princípios da composição, usando-os
tato com a geometria e os princípios da composição, para conferir unidade a esta e muitas outras de
Apesar das limitações de sua formação acadêmica, suas obras.
Muitos dos cartazes de Chéret alcançaram êxito
PAPIER A CIGARETTES
46
X
O pentagrama e a proporção
do cartaz
Nota-se que as proporções do
formato do cartaz se baseiam no
esquema conhecido como “página
pentagonal”. A base do cartaz
coincide com o lado inferior do
pentágono e sua altura estende-se
até tocar o círculo.
Análise
Um círculo cujo centro
coincide com o ponto
contrai do cartaz determina
0 posicionamento da figura
feminina e do título "Job”.
A diagonal entre o canto
superior direito e o inferior
esquerdo organiza o
posicionamento da cabeça,
do olho e da mão. Já a
outra diagonal passa pelo
ombro e define o limite
do quadril.
:
Cartaz “ Bauhaus Ausstellung” , Fritz Schleifer, 1922
cinco formas retangulares e depuradas graças à
eliminação das finas linhas horizontais e verticais.
A largura do menor retângulo, que representa a
boca. é o módulo de medida para a largura dos
outros retângulos.
A tipografia, concebida para ser compatível com
os elementos retangulares do rosto, ecoa as rígidas
formas angulares. Em seu desenho, os tipos são si-
milares àqueles originalmente concebidos por Theo
van Doesburg em 1920.Fritz Schleifer (1903-77) celebra os princípios do
construtivismo em seu cartaz de 1922 para a Bauhaus
Ausstellung (Exposição Bauhaus). Seguindo os ideais
construtivistas da época, o rosto humano e a tipo-
grafia são apresentados de maneira abstrata, com as
formas geométricas simplificadas que caracterizam
a era das máquinas.
O rosto geométrico, concebido por Oskar Schlem-
mer como parte de um selo da Bauhaus, é submeti-
do a uma simplificação ainda maior e abreviado em
Mn»
•th
MM,
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Selo da Bauhaus,
Oskar Schlemmer, 1922
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I5.HUDEEPT 1353
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I
Design dos tipos
Baseada em um quadrado de 5 por 5 unidades, a
estrutura dos tipos permite que os caracteres mais
largos, M e W, ocupem o quadrado todo, com cada traço
e contraforma ocupando uma unidade. Os caracteres
mais estreitos ocupam uma porção do quadrado com
5 por A unidades, com cada traço ocupando uma
unidade, e as contraformas ampliadas até duas unidades.
O B e o R são exceções, na medida em que mais meia
unidade é reservada para as formas originalmente
arredondadas, assim como para marcar as diferenças
entre o R e o A e entre o B e o numeral 8.
Análise
O olho está alinhado com
o eixo vertical central.
Os outros elementos
faciais são dispostos em
relações assimétricas com
esse eixo. A tipologia fica
alinhada, no alto e
embaixo, ao retângulo
que representa
o pescoço.
CN
N
<11~o
<0s
c
3
V*
<£
TJn
5c
Proporções entre as
larguras dos retângulos
(considerando-se a
largura a menor dimensão
dos retângulos)
3
fO
49
boca
4—
cabeça, nariz
queixo
pescoço
<N
olho
I
Cartaz para o jornal L'lntransigeant, A. M. Cassandre, 1925
Concebido em 1925 por Adolphe Mouron (1901-68) -
que se tornaria mais conhecido sob o pseudónimo de A.
M. Cassandre - para o jornal parisiense L’lntransigeant ,
o cartaz é ao mesmo tempo um triunfo conceituai e
um exemplo de construção geométrica. Um triunfo por
traduzir a figura de uma cabeça feminina no símbolo
visual de Marianne, a personificação da França.
Cassandre teve formação artística académica e es-
tudou pintura em diversos ateliès de Paris. Na verdade,
"O módulo expresso matematicamente serve apenas
para confirmar uma percepção espontânea. A razão
áurea só define a proporção ideal previamente intuída
pelo artista; trata-se antes de um meio de verificação
do que um sistema (ela estaria condenada [se fosse]
mais um sistema).”
Diário, Adolphe Mouron (A. M. Cassandre), 1960
IMCAMAVORI
profundamente influenciado pelo cubismo. Em uma
entrevista de 1926, ele assim descreveu esse movi-
mento: "... sua lógica implacável e o esforço do artis-
ta para construir geometricamente a obra trazem à
luz o aspecto eterno, o aspecto impessoal, para além
dé toda contingência e complexidade individuais \ Ele
reconhecia que sua própria obra era "essencialmente
geométrica e monumental” e que os elementos de
construção geométrica eram perceptíveis em quase
adotou o pseudónimo de Cassandre com a intenção
de usar o nome verdadeiro em seus quadros. Con-
tudo. logo ficou fascinado pelas artes gráficas, nelas
vislumbrando mais possibilidades de uma vigorosa ex-
perimentação do que na pintura. Outros aspectos que
o atraíam eram a ideia de comunicação de massa e
uma prática artística desvinculada das tradicionais e
ferrenhas distinções de classe.Devido a seus interes-
ses e estudos no campo da pintura, Cassandre acabou
Análise
O formato do cartaz está ordenado segundo um
jtonjunto de módulos de 6 por 8 unidades, proporcionan-
do 48 campos visuais quadrados. Todos os elementos
rt loquam-se a esse grid em termos de posição e
roporção. O orifício do ouvido fica na intersecção
P»sses campos visuais, assim como o centro da boca.
canto do L está no centro exato do cartaz. O queixo
da figura encaixa-se num desses campos, assim como
o poste de telégrafo. O ângulo de 45° do pescoço
estende-se de um vértice a outro de um quadrado que
abrange quatro campos visuais. Os fios do telégrafo
saem do centro do ouvido em ângulos sucessivos de 15c
formando dois ângulos de 45° acima e embaixo da linha
horizontal central.
r
profundamente influenciado pelo cubismo. Em uma
entrevista de 1926, ele assim descreveu esse movi-
mento: sua lógica implacável e o esforço do artis-
ta para construir geometricamente a obra trazem à
luz o aspecto eterno, o aspecto impessoal, para além
de toda contingência e complexidade individuais”. Ele
reconhecia que sua própria obra era "essencialmente
geométrica e monumental” e que os elementos de
construção geométrica eram perceptíveis em quase
adotou o pseudónimo de Cassandre com a intenção
de usar o nome verdadeiro em seus quadros. Con-
tudo. logo ficou fascinado pelas artes gráficas, nelas
vislumbrando mais possibilidades de uma vigorosa ex-
perimentação do que na pintura. Outros aspectos que
o atraíam eram a ideia de comunicação de massa e
uma prática artística desvinculada das tradicionais e
ferrenhas distinções de classe.Devido a seus interes-
ses e estudos no campo da pintura, Cassandre acabou
A
e
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o
s-
le,
Análise
O formato do cartaz está ordenado segundo um
conjunto de módulos de 6 por 8 unidades, proporcionan-
do 48 campos visuais quadrados. Todos os elementos
adequam-se a esse grid em termos de posição e
proporção. O orifício do ouvido fica na intersecção
desses campos visuais, assim como o centro da boca.
O canto do L está no centro exato do cartaz. O queixo
da figura encaixa-se num desses campos, assim como
o poste de telégrafo. O ângulo de 45° do pescoço
estende-se de um vértice a outro de um quadrado que
abrange quatro campos visuais. Os fios do telégrafo
saem do centro do ouvido em ângulos sucessivos de 15°,
formando dois ângulos de 45c acima e emhaixo da linha
horizontal central.
ressaltando sobretudo a objetividade e a função. Tal
filosofia refletiu-se na Bauhaus da década de 1920 e
deixou repetidas marcas nos cartazes que Cassandre
desenhou ao longo de sua carreira. Neste cartaz, o tí-
tulo do jornal é abreviado para L'intrans no cabeçalho
que se sobrepõe a um símbolo mais poderoso,a figura
de Marianne, a voz da França.
todos os seus cartazes. Cassandre tinha plena cons-
ciência da força visual do círculo e o empregou deli-
beradamente neste cartaz e em vários outros com o
objetivo de dirigir e concentrar o olhar do observador.
Além da pintura cubista, a obra de Cassandre foi
influenciada pelo Sach Plakat (cartaz-objeto), um
movimento de artes gráficas que procurou se afas-
tar da tendência expressiva e ornamental do passado
Ângulos e raiz de 2
O formato do cartaz é um retângulo de raiz 2. O olho
da figura é bissectado pela diagonal do retângulo de raiz
2, indicada por uma linha tracejada. Essa diagonal
também bissecta o centro do cartaz no canto inferior
esquerdo do L. A linha de base do título L'intrans
coincide com uma diagonal de 45° originada no centro
do cartaz. Os fios telegráficos estão dispostos em
ângulos sucessivos de 15°, gerando o módulo de 45°
que se repete nos ângulos do nariz e do pescoço.
Razões dos diâmetros dos círculos
= 4 círculos da bocacírculo da cabeça
= circulo externo da orelhacírculo da boca
= 21/2 círculos pequenos da orelhacírculo da boca
círculo Interno da orelha = círculo do olho
círculo interno da orelha = círculos dos isoladores no postei
circulo interno da orelha = círculo do lóbulo da orelha
ÛASSWJIU ir
1‘roporções do círculo
( )•! círculos da boca e da parte mais externa da orelha
|èm o diâmetro de um módulo. Os círculos menores do
ho. da parte interna e do lóbulo da orelha e dos
lioladores no poste têm o diâmetro equivalente a 2/5 de
Um campo visual. O círculo maior, da cabeça, tem o
i i nf - tro de 4 campos visuais.
Os círculos da cabeça estão dispostos de tal modo
que os pontos centrais estão alinhados segundo
diagonais de 45°. Os círculos dos isoladores estão todos
alinhados em diagonais com ângulos sucessivos de
aproximadamente 15°. Três desses incrementos resultam
no módulo de 45°.
z
MCartaz “ East Coast by L.N.E.R” , Tom Purvis, 1925
Criado em 1925 pelo artista inglês Tom Purvis (1888- técnica similar de simplificação e jogo de espaço
1959), o cartaz "East Coast by L.N.E.R." é um convi- cor e padronagem.
te para que o espectador viaje, nas férias de verão,
pela ferrovia London Northeast. Mais de 25 anos
antes, dois ilustradores que assinavam suas obras
como “Beggarstaffs" introduziram a abordagem
então radical de simplificar suas composições mar-
cantes com áreas de cores chapadas delimitando mar. A elipse tem um formato que se aproxima daquele
silhuetas gráficas. Os cartazes de Purvis usam uma do círculo,e este atrai mais a atenção do que qualquer
O guarda-sol em forma de elipse é o elemento visual
mais incisivo e atraente do cartaz, não só em função de
sua cor vibrante, mas também devido ao formato e ao
posicionamento na diagonal. O laranja vivo estabelece
um contraste complementar com o azul do céu e do
54
utra forma geométrica. Já a diagonal é a direção mais
itrigante em termos visuais devido à sua instabilida-
e e movimento implícitos. A dramática forma elípti-
a repete-se por duas vezes: na estrutura interna do
uarda-sol e na terminação preta do suporte.
Todas as formas são meras silhuetas desenhadas
om extrema concisão. As listras e o arranjo irregular
la toalha introduzem variedade em meio às formas
itnplificadas.
*
1
Análise
fctstrutura do cartaz torna-se evidente por meio de
Ln grid de 6 por 6 unidades. A linha entre a praia e o
u e o mar divide o cartaz e a parte azul ocupa os 2/3
tiporiores da imagem. O eixo menor da elipse no
guarda-sol alaranjado passa pelo ponto central do cartaz
e dã equilíbrio à composição. As figuras foram dispostas
á direita e à esquerda desse eixo, de novo reforçando o
equilíbrio de cores e formas.
outra forma geométrica. Já a diagonal é a direção mais
intrigante em termos visuais devido à sua instabilida-
de e movimento implícitos. A dramática forma elípti-
ca repete-se por duas vezes: na estrutura interna do
guarda-sol e na terminação preta do suporte.
Todas as formas são meras silhuetas desenhadas
com extrema concisão. As listras e o arranjo irregular
da toalha introduzem variedade em meio às formas
simplificadas.
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entro do cartaz
-
/
Análise
A estrutura do cartaz torna-se evidente por meio de
um grid de 6 por 6 unidades. A linha entre a praia e o
céu e o mar divide o cartaz e a parte azul ocupa os 2/3
superiores da imagem. O eixo menor da elipse no
guarda-sol alaranjado passa pelo ponto central do cartaz
e dá equilíbrio à composição. As figuras foram dispostas
à direita e à esquerda desse eixo, de novo reforçando o
equilíbrio dc cores c formas.
Cadeira Barcelona, Mies van der Rohe, 1929
como as mesas exibiam a mesma estrutura em "x” da
cadeira. Mies van der Rohe (1886-1969) projetou o
edifício e a mobília , e ambos são considerados mar-
A cadeira Barcelona foi projetada para o Pavilhão da
Alemanha na Exposição Universal de 1929, realizada na
cidade de Barcelona. O pavilhão destacava-se de
todos os outros pelo fato de não abrigar nenhuma cos do design e a maior realização do período euro-
exposição; o que se queria mostrar era o próprio edi- peu do arquiteto,
f ício. Elegante, austero e combinando painéis de tra-
vertino e mármore, lâminas de vidro fumè e colunas
cromadas, o pavilhão estava mobiliado apenas com
mesas, cadeiras e banquetas Barcelona, estas últi-
mas forradas de couro branco. Tanto as banquetas pies quadrado. A altura, a largura e a profundidade da
É difícil crer que uma peça tão contemporânea
e clássica tenha sido projetada e produzida há mais
de setenta anos. A cadeira Barcelona é uma sinfo-
nia de proporções meticulosas baseadas em um sim-
'i
56
Proporções da cadeira (direita)
A vista lateral (acima, ã direita) e a frontal
(ao lado) revelam que a cadeira se
encaixa perfeitamente em um quadrado.
As divisões do encosto são muito
similares a retângulos de raiz 2.
seja, ela se encaixa perfeita-
retângulos de couro do assen-
cadeira são idênticas.
mente num cubo.
to e do encoste/fixados na armação de aço exibem
o de retângulo de raiz 2. Os mesmosuma propori
retângulos/foram concebidos de modo que, quando
é necessário refazer a tapeçaria, mantenham a forma
original/a despeito dos esforços e tensões dos proce-
dimentos de reforma. A construção em “x" das pernas
formar uma estrutura elegante que se tornou a marca
regisirada da cadeira.
57
Proporções das curvas
A curva principal,
ibrangendo o encosto e
s pernas dianteiras da
:adeira, é formada por
jm círculo com o mesmo
/raio do quadrado, tendo
como centro o ponto A.
A curvatura do círculo
original repete-se na parte
dianteira do suporte do
assento, com um circulo
idêntico cujo centro é o
ponto B. Outro círculo,
com metade do raio dos
maiores, define as pernas
traseiras e tem o centro
no ponto C.
B -I-
cadeira são idênticas, ou seja, ela se encaixa perfeita-
mente num cubo. Os retângulos de couro do assen-
to e do encosto fixados na armação de aço exibem
uma proporção de retângulo de raiz 2. Os mesmos
retângulos foram concebidos de modo que, quando
é necessário refazer a tapeçaria, mantenham a forma
original a despeito dos esforços e tensões dos proce-
dimentos de reforma. A construção em "x" das pernas
forma uma estrutura elegante que se tornou a marca
registrada da cadeira.
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i
5
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1
A
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57
Proporções das curvas
A curva principal,
abrangendo o encosto e
as pernas dianteiras da
cadeira, é formada por
um círculo com o mesmo
raio do quadrado, tendo
como centro o ponto A.
A curvatura do círculo
original repete-se na parte
dianteira do suporte do
assento, com um circulo
idêntico cujo centro é o
ponto B. Outro círculo,
com metade do raio dos
maiores, define as pernas
traseiras e tem o centro
no ponto C.
B
Chaise Longue, Le Corbusier, 1929
edif ícios. Por sua vez. tanto Le Corbusier como Mies
se inspiraram nas formas geométricas das cadeiras de
madeira vergada do austríaco Michael Thonet, adotan-
do em suas criações formas igualmente despojadas.
Em 1927, Le Corbusier começou a trabalhar com a ar-
quiteta e designer Charlotte Perriand e com seu primo
Pierre Jeanneret. Essa bem-sucedida colaboração resul-
tou em vários projetos clássicos de móveis que levam o
nome de Le Corbusier, entre os quais a Chaise Longue.
A estrutura tubular cromada da cadeira é uma peça
Os arquitetos formados na tradição acadêmica quase
sempre levam em conta os princípios da proporção
clássica e os aplicam tanto na arquitetura como na mo-
bília que projetam. Charles Édouard Jeanneret (1887-
1965), mais conhecido como Le Corbusier, é um caso
exemplar disso, c a sua atenção meticulosa aos de-
talhes e proporções também está presente na Chaise
Longue. Na década de1920, Le Corbusier foi influencia-
do por outros arquitetos, como Mies van der Rohe. que
vinham desenhando móveis de aço tubular para seus
I
l
V
<
I.
A
58
Predecessora da
Chaise Longue
Cadeira de balanço
reclinável Thonet, c. 1870m
am
arqueada que se apoia num simplesusaporte preto. Análise
Esse arco é um sistema elegante que desliza em am- As proporções da cadeira refletem as divisões harmónicas
bas as direções, permite infinita variedade de posições de um retângulo áureo>$eu comprimento é o diâmetro
do
e mantém-se no lugar graças ao atrito e à força da gra- círculo que define o arco desua estrutura. O suporte da
vidade,seja com a cabeça ou os pés erguidos. Tal como
a estrutura geométrica do arco. o encosto para a cabe- harmónica. A análise da Chaise Longue se faz pela
ça tem a forma de um cilindro que pode ser facilmente decomposição harmónica de um f^tângulo áureo,
reposicionado. A estrutura em arco foi concebida de tal
modo que pode ser retirada do suporte e usada como
uma cadeira de balanço.
cadeira tem relação direta cohq o quadrado na subdivisão
k
\
L
a
59
Cadeira Brno, Mies van der Rohe, 1929
balanço com estrutura de ferro tubular projetadas ain-
da no século XIX e na celebre cadeira de balanço de
madeira vergada de MichaelThonet. No caso da MR.
a resistência dos tubos de aço permitiu a adoção de
uma estrutura em cantiléver e a simplificação radical
de suas linhas.
O projeto da casa Tugendhat previa uma imensa
sala de jantar, com uma mesa com capacidade para
24 pessoas. A cadeira MR foi destinada originalmen-
te para essa mesa, mas se revelou inadequada pois
Após o sucesso do Pavilhão alemão de Barcelona em
1929, Mies van der Rohe foi contratado para projetar
a residência da família Tugendhat, que também lhe
encomendou o design da mobília mais adequada ao
estilo decidídamente modernista do edifício.
Já em 1926 Mies havia desenvolvido com êxito uma
cadeira com braços em cantiléver, batizada de MR. Na
época, a tecnologia para vergar tubos de aço era re-
cente e abriu um novo horizonte para desenhos ino-
vadores. O da cadeira MR baseou-se em cadeiras de
os
Rc
da
co
pe
m<
ro
co
va
Ar
Vi;
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ur
di
vi;
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Cc
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dí
d<
(e
si
a
Pi
60
Predecessoras da cadeira Brno
(esquerda) Cadeira de balanço Thonet.
c. 1860, e (direita) vista lateral da
cadeira MR, projetada por Mies van der
Rohe em 1926.
os braços nâo se encaixavam sob o tampo. Van der
Rohe desenhou então as cadeiras Brno, assim chama-
da por causa da cidade em que viviam os Tugendhat,
com braços mais baixos e um formato compacto que
permitia sua perfeita acomodação sob o tampo da
mesa. As cadeiras originais tinham forração de cou-
ro e foram produzidas versões tanto em aço tubular
como em perfis chatos de aço. o que daria origem a
variações estruturais.
Análise
Vista de cima, a cadeira
encaixa-se exatamente em
um quadrado (acima, á
direita). Como se nota nas
vistas frontal (direita) e
lateral (extrema direita), a
cadeira coincide com um
retângulo áureo. O ângulo
das pernas dianteiras e o
do encosto da cadeira
(embaixo, à direita) são
simétricos, e os raios das
curvas estão numa
proporção de 1:3.
o
Cartaz “ Negerkunst” , Max Bill, 1931
A chave de toda a figura é a medida do diâmetro
do círculo central. Este é idêntico à altura das partes
superior e inferior; e a metade do diâmetro é a me-
dida das áreas laterais da figura. A linha vertical que
passa pelo centro do círculo torna-se o eixo para o
alinhamento esquerdo da caixa de texto.
Divulgando uma exposição de pintura rupestre pré-
histórica da África do Sul, a geometria e o despoja-
mento veementes do cartaz "Negerkunst”, desenhado
pelo suíço Max Bill (1908-94) em 1931, remontam ao
desenvolvimento dos conceitos da arte concreta na
década de 1930. Esse movimento propunha a cons-
trução aritmética de elementos visuais depurados, e
Bill adotou esse ideal de uma linguagem visual de ab-
soluta clareza e apelo universal.
62
&
Proporções dos círculos maiores (direita)
Os círculos externos sâo duas vezes maiores
do que o interno.
Proporções de raiz 2 (extrema direita)
O formato do cartaz baseia-se num retângulo de raiz 2,
cuja decomposição harmónica se pode ver no diagrama.
A linha vertical serve de eixo para o alinhamento do texto
e o centro do círculo interno.
Análise
As proporções do grande
O baseiam-se no círculo
interno. Os lados esquerdo
e direito medem metade
do diâmetro do círculo
interno, ao passo que os
lados superior e inferior
equivalem ao seu diâmetro.
A diagonal de um canto a
outro passa pelo centro do
círculo, assim como a linha
vertical que determina a
margem esquerda da caixa
de texto. o5
d
o
T3
O
a>
E
<ITJ 63õ
diâmetro do círculo
Cartaz “ Wagon-Bar” , A. M. Cassandre, 1932
O cartaz “Wagon-Bar” é um prodígio de inter -rela-
ções geométricas c tão impecável quanto o anterior
'Mjitos acham que os meus cartazes são cubistas. Eles
têm razão no sentido de que o meu método é essen-
cialmcnte geométrico e monumental. A arquitetura, "L'intransigeant" . Mais uma vez, Cassandre elege de-
que prefiro acima de tudo. me fez abominar as idios- mentos representativos e os simplifica e estiliza em
sincrasias deformantes... Sempre fui mais sensível às formas geométricas depuradas. A garrafa de soda, a
taça e o copo, o pão. a garrafa de vinho e os canudos
são colocados sobre a imagem de uma roda de trem.
O diâmetro da roda é usado como medida do seg-
formas do que às cores,ao modo como se organizam
as coisas do que aos seus detalhes, ao espírito de
geometria do que ao espírito de requinte...”
Adolphe Mouron (A. M. Cassandre), La Revue de 1'Union
de / Affiche Française, 1926
mento de trilho que enfatiza as frases “Restaurez-vous"
e "A Peu de frais”. O centro do cartaz é visualmente
64
R E S T A U R E Z - V O U S
WA60N-BARojMorru7iaux>n/> ~ HJOUIA ’tesuiô j j>zoA P E U D E P R A I S /
VW*i
Esse é um cartaz relativamente complexo em função
da quantidade de elementos que demandam simplifi-
cação geométrica, das inter-relações estruturais e do
domínio organizativo. Todavia,a análise deixa cloro que
cada uma das decisões tomadas tem sua justificativa.
realçado pelas pontas dos dois canudos dentro do
copo. No sentido vertical, o cartaz é facilmente divisí-
vel em três retângulos.
A geometria das figuras desenhadas é aparente
na curvatura das garrafas e da taça de vinho. Há um
belo jogo de espaços, com o fundo branco do cartaz
invadindo o sifão da garrafa de soda. Uma mudança
similar do espaço ocorre entre o pão e o rótulo da
garrafa de vinho, e também entre a parte superior do
copo e o contorno do envoltório da roda.
Análise
O posicionamento
meticuloso e o controle
de cada elemento são
evidentes nos pontos
centrais dos círculos que
definem o bojo da taça de
vinho e as curvas da
garrafa de soda, pois
ambos estão situados na
diagonal traçada entre o
canto superior esquerdo
e o inferior direito. Do
mesmo modo. o centro do
círculo da garrafa de vinho
e o centro da roda estão
alinhados na mesma
vertical.
X) \
1/
i
65rn
Z
O
-V
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Cartaz “ Konstruktivisten” , Jan Tschichold, 1937
ser interpretados como indicação desse ocaso. Os
construtivistas defendiam a mecanização da arte e
do design por meio do posicionamento matemático
de elementos geométricos abstratos como a forma
mais adequada de exprimir a cultura industrial.Neste
cartaz, Tschichold orienta-se pelos ideais constru-
tivistas de abstração geométrica, organização visual
matemática e tipografia assimétrica - tal como pre-
gava em seu livro Die Neue Typographic [A nova ti-
pografia], publicado em 1928.
i"Não sabemos por què, mas podemos demonstrar que
um ser humano acha os planos de proporções defini-
das e intencionais mais agradáveis ou mais belos do
que os de proporções acidentais.”
Jan Tschichold, A forma do livro: ensaios sobre tipo-
grafia e estética do livro, 1975 led. bras. 2007]
(
i
Este cartaz foi desenhado por Jan Tschichold (1902-
74) em 1929 para anunciar uma exposição de arte.
Como ele foi criado numa época em que já declinava
o movimento construtivista, o círculo e a linha podem
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Triângulo composltivoAnálise
A tipografia forma umO diâmetro do círculo é usado como
triângulo que serve paraunidade de medida tanto para o formato
ancorá-la no formatodo cartaz como para a distribuição de
do cartaz e acentua oseus elementos. O próprio círculo é um
interesse visual.ponto focal, atraindo inexoravelmente o
olhar. Ele também destaca o título da
exposição, assim como a relação dos
artistas participantes. O pequeno círculo
junto à linha de texto com as datas de
abertura e encerramento da mostra é um
fator de pontuação visual na medida em
que ecoa e contrasta em escala com o
circulo principal. A lista dos participantes
da exposição começa no ponto de
intersecção da diagonal do próprio cartaz
com a diagonal da seção retangular
inferior. As distâncias entre os textos e os
elementos principais são módulos da
distância entre a linha horizontal e a linha
de base do termo konstruktivisten, que
está centralizado no círculo.
Proporçoes do cartaz
O formato retangular estreito é uma
página pentagonal e deriva de um
pentágono inscrito num círculo. O ladosuperior do pentágono invertido coincide
com a largura do retângulo e seu vértice
inferior tangencia o lado inferior do
retângulo. A linha horizontal no cartaz
está situada de modo a conectar dois
vértices do pentágono.
Cartaz “ Der Berufsphotograph” , Jan Tschichold, 1938
"der berufsphotograph”, é impresso em íris, técnica em
que as cores se mesclam quando tintas distintas (ama-
relo. vermelho e azul) são adicionadas ao cilindro de
impressão. Esse arco-íris tipográfico é um raro desvio
expressionista em relação ao formalismo que marca o
resto da obra de Tschichold. Todavia, sua predileção
pela tipografia assimétrica e funcional é evidente na
disposição das texturas e elementos tipográficos me-
ticulosamente alinhados e mterconectados.
Projetado em 1938 por Jan Tschichold, este cartaz
dcstinava-se a uma exposição da obra de fotógrafos
profissionais e desde então tornou-se um clássico por
sua concepção e composição. Devido ao conteúdo da
mostra, a imagem é figurativa, mas também abstra-
ta pois a mulher é retratada em negativo fotográfico.
Essa técnica dirige a atenção do espectador para os
procedimentos fotográficos em vez de ressaltar as ca-
racterísticas dessa mulher específica. O título principal,
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linha central
Análise
A foto em negativo está exatamente à direita do centro
do cartaz em formato retangular de raiz 2. O olho
esquerdo da figura está cuidadosamente posicionado e a
imagem foi recortada de modo a se tornar o nexo das
diagonais que regem o posicionamento dos elementos.
As medidas de largura e altura da imagem repetem-se
nos elementos tipográficos à esquerda.
Cadeira Plywood, Charles Eames, 1946
Sua cadeira Plywood, de madeira compensada mol-
dada, foi projetada para a Organic Furniture Competi-
tion (Concurso de Mobília Orgânica), patrocinada pelo
Museu de Arte Moderna de Nova York em 1940. Eames
e seu colaborador, o arquiteto Eero Saarinen, preten-
diam fazer uma junção de formas orgânicas em um
todo unificado. A peça resultante, com belas formas
curvilíneas, cativou os jurados, assim como as inovado-
ras técnicas de moldagem tridimensional da madeira
e de fixação de compensado e metal com borracha.
A cadeira ganhou o primeiro lugar na competição.
Embora contasse com bolsa integral para estudar ar -
quitetura. Charles Eames (1907-78) abandonou a fa-
culdade após dois anos na Universidade Washington,
em St. Louis, cujo currículo se baseava no ensino tra-
dicional das academias de belas-artes. Certamente
algo nada animador para quem já demonstrava um
ardoroso interesse pelo modernismo e pela obra de
Frank Lloyd Wright. Porém, no decorrer de sua car-
reira, Eames veio a apreciar os fundamentos de sua
formação acadêmica, sobretudo os princípios clássi-
cos de proporção.
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Cadeira Plywood
Há um modelo todo em madeira
compensada (acima) e outro com
compensado e estrutura metálica
(direita). A cadeira também foi concebida
em duas versões: uma mais baixa, para
uso na sala de estar, e outra um pouco
mais alta, para a sala de jantar.
Até hoje em produção, o modelo atual foi desen-
volvido a partir da cadeira original. É impossível afir-
mar inequivocamente que a relação das proporções
da cadeira com o retângulo áureo tenha sido deci-
dida de propósito, mas a formação acadêmica clás-
sica de Eames, assim como sua colaboração com
Saarinen, faz com que isto seja bastante provável.
Encosto (acima)
O encosto enquadra-se
perfeitamente em um
retângulo áureo.
Proporções (à direita)
Na cadeira para a sala
de jantar, as proporções
são bem próximas da
seção áurea.
Proporções dos detalhes
Os raios dos cantos do
encosto e as pernas
tubulares são
proporcionais entre si,
nas razões 1: 4 :6 : 8.
A= 1
B= 4
C= 6
D= 8
Cartaz “ Konkrete Kunst” , Max Bill, 1944
Entre as caracteristicas do De Stijl na década de 1920
estava a rigorosa divisão do espaço com linhas verti-
cais e horizontais. Tal tendência, porém, já se atenuara
quando Bill desenhou este cartaz em 1944. Aqui tam-
bém o espaço está dividido,mas com círculos e arcos, e
as rígidas linhas horizontais de alguns dos tipos De Stijl
são modificadas a fim de incluírem círculos e diagonais.
O uso da abstração geométrica por Bill passou
com o tempo a incluir elementos tipográficos. Os ca-
racteres são desenhados à mão com base no mesmo
"Estou convencido de que é possível desenvolver uma
arte recorrendo sobretudo ao pensamento matemático."
Max Bill, entrevista de 1949, republicada em Typogra-
phic Communications Today, 1989
Max Bill distinguiu-se como artista plástico, arquiteto
e tipógrafo. Na Bauhaus, estudou com Walter Gropius,
László Moholy-Nagy e Josef Albers, entre outros. Ali foi
influenciado pelos ideais do funcionalismo, pelo estilo
De Stijl e pelas técnicas de ordenamento matemático.
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72
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16 - April
1944
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ITASí I
\ konkr«4f>0 Construção de raiz 2 (direita)
ti- A construção de raiz 2 está diretamente
ra associada à posição dos círculos. A
n- diagonal passa pelos pontos centrais dos
círculos maior e menor, e este último see
ijl apoia na linha do quadrado usado na
is. construção de raiz 2.
u
a- Proporções do círculo (extrema direita)
o A proporção dos círculos é 1:3 : 6.
Análise
O diâmetro do círculo
menor corresponde a
1/3 da largura do cartaz.
1/3 do diâmetro do círculo
intermediário e 1/6 do
diâmetro do círculo maior.
Os tipos menores estão
alinhados com o circulo
pequeno; este também é
referência, nos pontos de
tangência com os círculos *
maiores e no limite direito,
para o alinhamento dos
tipos maiores.
princípio de raiz 2 do formato do cartaz. Cada carac-
tere mantém uma relação geométrica direta com a
estrutura do retângulo de raiz 2 e foi criado de forma
modular. A mesma fonte foi usada em outros carta-
zes e também em uma exposição projetada por Bill
em 1949.
Construção da tipografia
O quadrado de construção do retângulo é
a linha de base e a linha mediana, ou
altura-x, dos caracteres em caixa-baixa. Os
segmentos ascendentes e descendentes
são definidos pelo comprimento do
retângulo de raiz 2. Os traços baseiam-se
na construção geométrica com ângulos
restritos a 45°. As exceções ocorrem no s,
com ângulos de 30° e 60°. e nos traços
Proporções no corpo
das letras
As letras têm peso único
e a mesma proporção dos
círculos, ou seja, 1:3 : 6.
Cartaz “ Pevsner
Vantongerloo Bill” ,
Max Bill, 1949
Criado quatro anos depois
do "Konkrete Kunst”, este
cartaz usa o mesmo
método de construção da
tipografia. Mais tarde, Bill
aperfeiçoou ligeiramente a
construção das letras para
uso em uma exposição:
essa fonte atualmente é
distribuída pela The
Foundry, de Londres.
75
Capela do Instituto de Tecnologia de Illinois, Mies van der Rohey 1949-52
A capela do Instituto de Tecnologia é um bom
exemplo da maneira como ele usa as proporções em
um edifício de menor escala. Toda a fachada do pré-
dio está na proporção áurea. 1:1,618, ou aproximada-
mente 3:5. O edifício pode ser dividido exatamente
em 5 retângulos áureos: quando estes são repetidos,
vê-se que o prédio é um módulo constituído por 5 x 5
retângulos horizontais.
Mais conhecido por seus monumentais arranha-céus
de aço e vidro, Mies van der Rohe dominava com per-
feição os sistemas de proporções. Muitos desses edi-
fícios são tão similares, em termos de forma e pro-
porção. que podem ser considerados versões de um
arquétipo único. Durante vinte anos, Mies foi diretor
da Faculdade de Arquitetura do Instituto de Tecnolo-
gia de Illinois e. nesse período, projetou todo o cam-
pus e vários dos seus edifícios.
76
Capela do Instituto
de Tecnologia de Illinois
(acima) Vista externa da
fachada frontal.
(direita) Vista do interior.
Proporções áureas
As proporções áureas são facilmente notadas nestes
desenhos, (no alto, à esquerda) A fachada frontal da
capela pode ser dividida em uma série de retângulos
áureos que circundam