Solucionário de Eletromagnetismo 1

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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 1 
 
 
 Potencial Elétrico 
 • O Potencial Elétrico: 
 
 Energia Potencial 
Suponha que desejamos deslocar uma carga elétrica Q 
de uma distância dL em um campo elétrico E. A força em Q 
devido a este campo elétrico é: 
EQFE = 
onde o índice nos lembra que a força é devida ao 
campo. A componente desta força na direção dL que 
desejamos vencer é: 
LLEL aEQaFF ˆˆ ⋅=⋅= 
Aqui, o vetor é um vetor unitário na direção de dL. 
A força que deve ser aplicada é igual e contrária à força 
originada pelo campo: 
Lâ
 
Lapl aEQF ˆ⋅−= 
O gasto de energia é o produto da força pela distância. 
Assim, o trabalho realizado por um agente externo 
deslocando a carga Q na região de um campo elétrico E será 
dado por: 
 
LdEQdLaEQdW L ⋅−=⋅−= ˆ 
∫ ⋅−=
final
inicial
LdEQW 
Observe os exemplos ilustrativos (Sears&Zemansky). 
 Figura 1 – Uma carga de teste q0 que se move do ponto a até o 
ponto b sofre ação de uma força de módulo q0E. O trabalho realizado pela 
força é dado por Wab e não depende da trajetória da partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 –(a) Quando uma carga positiva se move na mesma 
direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza 
trabalho positivo e a energia potencial diminui. 
(b) Quando uma carga positiva se move no sentido contrário ao 
de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho negativo e a energia 
potencial aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 –(a) Quando uma carga negativa se move na 
mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo 
realiza trabalho negativo e a energia potencial aumenta. 
(b) Quando uma carga negativa se move no sentido 
contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho 
positivo e a energia potencial diminui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - A carga q0 se move radialmente. A medida que 
se desloca de a até b sua distância varia de ra até rb. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5 – O trabalho realizado pelo campo 
elétrico sobre a carga q0 depende somente das distâncias ra e rb. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos o potencial elétrico V como sendo a 
energia potencial U por unidade de carga elétrica q : 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 2 
 
 
 Potencial Elétrico 
V Uq= 0
 A 
 
diferença de potencial entre dois pontos em um 
campo elétrico (ddp) é igual a diferença de energia 
potencial entre esses pontos por unidade de carga: Ou seja, 
o trabalho por unidade de carga realizado por um agente 
externo para deslocar uma carga de um ponto a outro em 
um campo elétrico. 
Q
W
Q
W
Q
W
if
ifVVV ∆=−=−=∆ 
∫ ⋅−=∆
final
inicial
LdEV 
 
Coordenadas 
dL dr= 
(Elemento diferencial de 
deslocamento) 
Cartesianas ˆ ˆx ydr dxa dya dza= + + ˆz 
Cilíndricas ˆ ˆ zdr d a d a dzaρ φ ˆρ ρ φ= + + 
Esféricas ˆ ˆrdr dra rd a rsen d âθ φθ θ φ= + + 
 
 Se imaginarmos que trazemos uma carga que do 
infinito até um ponto P (O ponto f é o infinito e o ponto i 
corresponde a P) e definindo como zero o potencial no 
infinito, teremos: 
V Wq
P= − ∞ 
 Aqui, W P∞ é o trabalho feito pelo campo elétrico 
sobre a carga teste, quando a carga teste se movimenta do 
infinito até o ponto P. Vemos que o potencial V em um 
ponto numa região onde há campo elétrico de uma carga 
positiva é positivo. Para ver isso, imagine que uma carga 
teste positiva vem do infinito até um ponto próximo de uma 
carga positiva isolada. A força eletrostática atuando na 
carga elétrica possui sentido contrário em relação ao 
deslocamento da carga positiva. Então, o trabalho que 
devemos fazer sobre a carga teste é positivo, e o trabalho 
feito pelo campo elétrico na carga é negativo. Com o sinal 
menos na equação, teremos um resultado positivo. 
Similarmente o potencial em um ponto próximo de uma 
carga elétrica negativa é negativo. 
 A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V), 
em homenagem a Alessandro Volta, cientista italiano que 
inventou a primeira pilha elétrica. 
1 11V
J
C= (Joule / Coulomb) 
 Observamos que: 
1 1
1
111
N
C
N
C
J
N m
V
m
V C
J
= =( )( . )( ). 
 Uma energia muito utilizada nas escalas atômicas é 
o elétron-volt (eV), que definimos como o trabalho 
requerido para movimentar uma carga elétrica elementar e, 
podendo ser um próton ou elétron, através de uma diferença 
de potencial de 1 volt. 
1 1 1 6 10 1 1 6 1019 19eV e V C J C J= = =− −.( ) ( , . )( / ) , . 
 Potencial elétrico para distribuições de carga: 
Sendo: 
r : vetor que localiza o ponto P que desejamos calcular 
o potencial. 
r ′ : vetor que localiza um ponto da região 
correspondente à distribuição de carga. 
 
 Densidade linear de carga rL: 
∫
′ ′−
′′
=
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
 
 Densidade superficial de carga rs: 
∫∫ ′−
′′
=
S
S
rr
SdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
 
 Densidade volumétrica de carga rv: 
∫∫∫ ′−
′′
=
V
v
rr
VdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
 
 Superfícies Equipotenciais 
 
 Um conjunto de pontos no espaço todos a um 
mesmo potencial é chamado de superfície 
equipotencial. Uma família de superfícies 
equipotenciais, cada superfície correspondendo a um 
valor de potencial diferente, pode ser usada para 
representar o campo elétrico de uma determinada 
região. As superfícies equipotenciais para uma carga 
elétrica puntiforme são famílias de esferas 
concêntricas. 
 
Figura 6 – Superfícies equipotenciais planas (a), esféricas 
(b) e superfícies num dipolo elétrico (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos calcular o potencial elétrico a partir 
do campo elétrico da seguinte maneira: 
∫−=−
f
i
if LdEV .V 
 O potencial de uma carga puntiforme pode ser 
calculado mediante a equação dada: 
 V dr V
kQ
r
kQ
r= − ⇒ =∫ 2 
 Para um sistema de cargas puntiformes 
q1,q2,...,qn, o potencial elétrico em um ponto P será a 
soma do potencial elétrico devido às diversas cargas em 
P; se r1, r2, ... , rn, for a distância da carga qi ao ponto 
P, então o potencial em P será dado por: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 3 
 
 
 Potencial Elétrico 
V V V V Vn
kQ
r
kQ
r
kQ
rP P
n
nP
= + + + ⇒ = + + +1 2
1
1 2
 O potencial de uma distribuição contínua de carga 
é dado por: 
2... ... 
V dV dqr= =∫ ∫14 0πε 
 A integral nessa expressão é tomada sobre toda a 
distribuição de carga. 
 
 Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de r 
estão fixas em suas posições. Encontre a energia potencial 
elétrica da configuração. 
 
 U q V q kq
r
kq q
r= = =1 2 1
2 1 2 
 
 Figura 7 – A energia potencial associada à carga de teste q0 no 
ponto a depende das cargas q1, q2 e q3 bem como suas distâncias r1, r2 e r3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pode-se mostrar que para um sistema de cargas 
puntiformes q1, q2, ...qN a energia potencial será dada por: 
( )[ ]++++= 15141312121 VVVVQWE 
( )[ ]+++++ 25242321221 VVVVQ 
( )[ ]+++++ 35343231321 VVVVQ 
( )[ ]+++++ 45434241421 VVVVQ 
( )[ ]++++++ 54535251521 VVVVQ 
 
 A energia armazenada no campo eletrostático é 
calculada por: 
dVEW
V
E ∫∫∫= 202
ε
 
 
 • Condutor Isolado: 
 Uma vez o equilíbrio de cargas é estabelecido, e 
um excesso de cargas é colocado em um condutor isolado, 
esta se distribuirá ao longo de sua superfície. Isto sempre 
ocorrerá quando o condutor tiver uma cavidade interna 
vazia. 
 
 
 
 
 
 
 Superfícies eqüipotenciais e Campo 
elétrico: 
 
 Figura 8 – Superfícies equipotenciais. O campo elétrico é 
normal às superfícies. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor campo elétrico sempre é perpendicular 
às superfícies eqüipotenciais e apontam da maior para 
os menores valores de potencial elétrico. 
 Figura 9 – Caminho descrito por uma carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura anterior ilustra a trajetória descrita 
por uma carga elétrica positiva deslocando-se entre 
a. Observe que ela caminha da região de 
ial para a de menor potencial elétrico. 
linhas de forç
maior potenc
 
 Fi
e em (b) u
movendo-semovendo-se n
 
 
gura 10 – Em (a) temos uma carga puntiforme positiva 
ma carga puntiforme negativa. Em ambos os casos, 
no sentido de E, o potencial elétrico V diminui e 
o sentido oposto de E o potencial elétrico V aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 4 
 
 
 Potencial Elétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Linhas elétricas de força: 
As linhas elétricas de força indicam a direção na 
qual uma carga positive de teste se moveria na presença 
de um campo elétrico. O diagrama acima mostra as 
linhas de força para duas cargas positivas que se repelem. 
Uma carga teste positiva seria repelida de ambas as 
cargas O diagrama a direita mostra a linha de força de 
duas cargas que se atraem. Uma carga teste positiva seria 
atraída para a carga negativa. 
 
 Potencial Elétrico de um Dipolo Elétrico: 
Quando temos duas cargas de mesma magnitude porém 
sinais opostos, há um dipolo elétrico, com as cargas +Q e –
Q localizadas em (0,0,+d/2) e (0,0,-d/2), respectivamente. 
 
 Figura 7 – Representação de dipolo elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gradiente do potencial 
 
Podemos obter o potencial de duas maneiras: uma 
diretamente a partir da intensidade do campo elétrico, 
fazendo a integral de linha, e outra através da distribuição 
de cargas em si, fazendo a integral apropriada, conforme a 
distribuição de cargas. Porém, nem sempre é conhecida a 
intensidade do campo elétrico ou a distribuição de carga. 
Informações sobre as superfícies equipotenciais são muito 
úteis. 
Da relação conhecida: ∫ ⋅−= LdEV
 Podemos imaginar um elemento pequeno ∆L ao 
longo do qual E é essencialmente constante, dando a uma 
diferença de potencial: 
LdEV ⋅−=∆ 
θcosLdEV ⋅−=∆ 
 Considerando a situação limite, teremos: 
θcosE
dL
dV
−= 
 O valor máximo dessa expressão pode ser 
dada por: 
E
dL
dV
=
max
 
 Obtemos as características de E e V em 
qualquer ponto: 
 
• A magnitude da intensidade do campo elétrico 
é dada pelo máximo valor da taxa de variação do 
potencial com a distância. 
• O máximo valor é obtido quando a direção 
do comprimento incremental é oposta a E ou, em 
outras palavras, a direção de E é oposta à direção à 
qual o potencial está aumentando mais rapidamente. 
Assim: 
 NadL
dVE ˆ
max
−= 
Onde é um vetor unitário normal à 
superfície equipotencial e apontando na direção 
dos maiores potenciais. 
Nâ
Como 
maxdL
dV
ocorre quando ∆L na direção 
de , Nâ dN
dV
dL
dV
=
max
 e: 
NadN
dVE ˆ−= 
 Mas, podemos encontrar a derivada direcional 
de V: 
Nzyx aaz
Va
y
Va
x
V
dN
dV ˆˆˆˆ ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
NaVdN
dV ˆ⋅∇= 
 Comparando, chega-se a: VE ∇−= 
 Ou seja, podemos obter o campo elétrico 
fazendo menos o gradiente do potencial V. 
 O gradiente é obtido: 
 Em coordenadas cartesianas: 
 zyx az
Va
y
Va
x
VV ˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
• Em coordenadas cilíndricas: 
zaz
VaVaVV ˆˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ φρ φρρ
 
• Em coordenadas esféricas: 
∇ φθ φθθ
aV
rsen
aV
r
a
r
VV r ˆ
1ˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 5 
 
 
 Potencial Elétrico 
 Considere agora o dipolo elétrico: 
 
 
 
 
 
 
 Er
 
 dr ˆra dl E 
 P 
 
 rdθ Eθ 
 θ 
 
 1R
 
 r 
 2R
 
 
 
 
 O Potencial em P devido às cargas +Q e –Q é dado 
por: 
0 1 0 2
1 1
4 4
Q QV
R Rπε πε
= −
2 1
0 2 14
R RQV
R Rπε
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 Observe da figura que podemos aproximar: 
2 1 cosR R d θ− ≅ 
2
2 1R R r≅ 
2
0
cos
4
QdV
r
θ
πε
≅ 
2
0
cos
4
pV
r
θ
πε
≅ 
2
0
ˆ
4
rp aV
rπε
⋅
≅ 
 Como: ˆr
r ra
r r
′−
=
′−
 
Sendo os vetores: 
r : localiza o ponto P. 
r ′ : localiza o centro do dipolo. 
dQp = : momento de dipolo. 
O potencial elétrico num ponto P localizado pelo vetor r 
é dado por (Observe da figura): 
rr
rrp
rr
V
′−
′−
⋅
′−
= 2
04
1
πε
 
 
 Campo elétrico de um dipolo elétrico: 
1 1ˆ ˆr
V V VE V a a a
r r rsen
ˆθ φθ θ φ
∂ ∂ ∂
= −∇ = − − −
∂ ∂ ∂
 
2
0
cos
4
Qd
r
V θ
πε
≅ 
2 2
0 0
cos 1 cos 1 cosˆ ˆ
4 4 4r
Qd Qd Qd
2
0
ˆE a a
r r r r rsen r
aθ φ
θ θ
πε θ πε θ φ πε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
=− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ
( )2 2
0 0
cos 1 1ˆ ˆ ˆcos 0
4 4r
Qd QdE a a
r r r r
aθ φ
θ θ
πε πε θ
∂ ∂⎛ ⎞=− − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
 
( )2 2
0 0
cos 1 1ˆ ˆcos
4 4r
Qd QdE a a
r r r r θ
θ θ
πε πε θ
∂ ∂⎛ ⎞=− −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
 
( )3 3
0 0
cos 2 ˆ ˆ
4 4r
Qd QdE a sen
r r
aθ
θ θ
πε πε
⎛ ⎞=− − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
[ ]3
0
ˆ ˆ2cos
4 r
QdE a se
r
n aθθ θπε
= + 
 Para visualizar as superfícies equipotenciais 
do dipolo, podemos fazer: 
 
 
r
E rd
E dr
θ θ= 
 Por outro lado, como: 
 3 3
0 0
2 cos ;
4 4r
Qd QdsenE E
r rθ
θ θ
πε πε
= = 
3
0
3
0
4
2 cos
4
r
Qdsen
E r drQdE d
r
θ
r
θ
πε θ
θ
πε
= = 
2cos
sen dr
dr
θ θ
θ
= 
cos2dr d
r sen
θ θ
θ
= 
2dr cotg d
r
θ θ= 
2dr cotg d
r
θ θ=∫ ∫ 
ln 2lnr sen Cθ= + 
2ln lnr sen Cθ= + 
2r Asen θ= 
 Esta equação determina a família de linhas de 
força para um dipolo elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 6 
 
 
 Potencial Elétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação da superfície 2r sen θ= e campo vetorial 
representando o campo elétrico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicação: trajetória do elétron em um tubo de 
raios catódicos. 
Exemplo 1 – (a) Um elétron deve ser acelerado de 
3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. Para atingir esta velocidade, 
através de qual ddp ele deve passar? 
(b) Através de qual ddp ele deve passar para que 
ele seja freado de 8,0.106 m/s até ficar momentaneamente 
em repouso? 
(c) Encontre a relação entre y e x. 
 
Figura 10 – (a) Representação de um tubo de raios catódicos. 
(b) Estudo da trajetória do elétron. 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) 
 
 
 
 
 y0
 
 
 
 
 
 
(a) 
)(
2
1)(
2
1 2222
ivif vvq
mVvvmVq −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=∆⇒−=∆− 
( ) ( )[ ] Vsmxsmx
Cx
kgxV 157/1000.3/1000.8
106.1
1011.9
2
1 2626
19
31
+=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=∆ −
− 
 (b) 
( ) ( )[ ] Vsmxsm
Cx
kgxV 182/1000.8/0
106.1
1011.9
2
1 262
19
31
−=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=∆ −
− (c) 
Desprezando o peso: 
 2
2
1 t
mE
qy
tvx x
=
=
 
 Isolando o tempo: 
 2
20 2
1
x
x
v
x
m
qEy
tvx
=
=
 
 2
20 2
1
2 x
x
v
L
m
qEdy
tvL
==
=
 
 L
md
qEv
mv
qELd x
x
=⇒= 2
2
 
 Tempo que o elétron permanece entre as 
placas: 
 tvLx x== 
 
xv
Lt = 
 Componente da velocidade vy com que o 
elétron sai da região entre as placas: 
 
x
yy mv
qELvt
m
qEv =⇒= 
 
m
qEdv
L
md
qEm
qELv yy =⇒= 
 Módulo da velocidade: 
 22
222
222
x
xyx vm
LEqvvvv +=+= 
 Ao sair da região entre as placas, o elétron 
possui as componentes das velocidades constantes 
(MU), se desprezarmos a gravidade: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 7 
 
 
 Potencial Elétrico 
 Então, chamando de ∆t o tempo que levará para 
o elétron percorrer do ponto que sai da região entre as 
placas até atingir a tela: 
 
 
⎩
⎨
⎧
∆=
∆=−
tvD
tvyy
x
y0
 D
v
v
yy
x
y=− 0 
 D
L
md
qE
m
qEd
yy += 0 
 D
L
dyy += 0 
 
Exemplo 2 – Encontre o potencial de um condutor 
esférico oco de raio R nos pontos em seu interior e 
exterior. 
 
Figura 11 – (a) Representação do campo e do 
potencial em um condutoresférico oco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ∫
∞
∞ ⋅−=−
r
ldEVrV 
 Pela lei de Gauss, o campo é dado por: 
0ε
qSdE
S
=⋅∫∫ 
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
Rr
Rr
r
aq
rE
r
 se 0
 se 
ˆ
4 20πε 
O elemento de deslocamento em coordenadas 
esféricas é dado por: 
φθ φθθ adrsenardadrld r ˆˆˆ ++= 
( ) ∫
∞
∞ −=−
r
dr
r
qVrV 2
04πε
 
Fazendo V¶ = 0 
( )
r
r
qrV
∞
=−
1
4
0
0πε
 
( )
r
qr
04πε
=V 
Exemplo 3 – Encontre a diferença de potencial 
entre duas placas carregadas com densidades de 
carga superficiais +rs e -rs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a disposição da figura, o campo 
elétrico na região entre as placas é dado por: 
)ˆ(
2
)ˆ(
2 00
y
s
y
s aaE −+−=
ε
ρ
ε
ρ
 
y
s â
0ε
E ρ−= 
∫ ⋅−=−
b
a
ab ldEVV
d
 
zyx adzadyadxl ˆˆˆ ++= 
∫=−
b
a
s
ab dyV
0ε
ρV 
( )abV sab −=−
0ε
V ρ 
Exemplo 4 – Encontre o potencial de uma 
distribuição linear de carga rL, sabendo que: 
O potencial é dado por: ∫
′ ′−
′′
=
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 8 
 
 
 Potencial Elétrico 
 
 
 z P(x,y,z) 
 
 L/2 
 r 
 r’ 
 
 
 
 y 
 
 
 
x 
 
 -L/2 
 
 
 Temos: 
 
 zazr ˆ=′ 
 zyx azayaxr ˆˆˆ ++=
( )222 zzyxrr ′−++=′− 
( )∫′ ′−++
′′
=
L
L
zzyx
zdrrV
222
04
)()(
πε
ρ
 
( )∫
+
− ′−++
′
=
2
2
222
04
)(
L
L zzyx
zdrV L
πε
ρ
 
( )∫
+
− ′−++
′
=
2
2
222
04
)(
L
L zzyx
zdrV L
πε
ρ
 
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′−+++′−=
=′
−=′
2
2
222
0
ln
4
)(
L
L
z
z
L zzyxzzrV
πε
ρ
( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++++
−+++−
=
2
2
22
2
2
2
22
2
0
ln
4
)(
LL
LL
L
zyxz
zyxz
rV
πε
ρ 
 
Exemplo 5 – Encontre o potencial de uma 
distribuição de carga rs sobre um disco de raio R: 
 
Agora o potencial será dado por: 
 
∫∫ ′−
′′
=
S
S
rr
SdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
 
Usando coordenadas cilíndricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 z P(x, y, z) 
 
 
 
 
 
 
 
 rs y 
 r’ 
 x 
 
 
 
 
ρρ ar ˆ′=′ 
 zazar ˆˆ += ρρ 
( ) 22 zrr +′−=′− ρρ 
( )∫∫ +′−
′′′
=
S
S
z
ddrV
22
04
)(
ρρπε
φρρρ
 
( )∫ ∫ +′−
′′′
=
π
ρρ
φρρ
πε
ρ 2
0 0
22
04
)(
R
S
z
ddrV 
( )⎢⎣
⎡ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′−++′−−= 22
0
ln
4
2)( ρρρρρ
πε
πρ zrV S 
( )
R
z
=′
=′⎥⎦
⎤′−++
ρ
ρ
ρρ
0
22 
 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
−++−
−=
22
22
0
ln
2
)(
ρρ
ρρ
ρ
ε
ρ
z
RzR
rV S 
( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−−++ 2222
02
ρρ
ε
ρ zRzS 
Veja que para um ponto sobre o eixo z: 
r = 0 
Então: 
=)(rV [ ]zRzS −+ 22
02ε
+
ρ 
Se tomarmos o gradiente do potencial e 
multiplicarmos por -1, teremos o campo elétrico: 
zaz
VVE ˆ
∂
∂
−=∇−= 
Logo: 
[ ]
z
S
a
z
zRz
E ˆ
2
22
0
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+∂
−=
ε
ρ
 
z
S a
Rz
z ˆ1
2 220
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−=
ε
ρE 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 9 
 
 
 Potencial Elétrico 
z
S a
Rz
zE ˆ1
2 220
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=
ε
ρ
 
 Compare com a expressão do campo de 
um disco carregado uniformemente deduzida na pág. 24. 
É a mesma...!!! 
 
Exemplo 6 – Encontre o potencial de uma 
distribuição de carga rL sobre um anel de carga Q 
circular de raio a 
∫
′ ′−
′′
=
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
ρaar ˆ=′ 
 z P(x, y, z) 
 
 
 
 
 
 
 
 rs y 
 r’ 
 x 
 
 
 zazar ˆˆ += ρρ 
( ) 22 zarr +−=′− ρ 
φ′=′ adLd 
 
( )∫′ +−
′′
=
L
L
za
adrrV
22
04
)()(
ρπε
φρ
 
( ) ∫
′
+−
=
π
φ
ρπε
ρ 2
0
22
04
)( d
za
arV L 
( ) 2202
)(
za
arV L
+−
=
ρε
ρ
 
Ou: 
( ) 2204
)(
za
QrV
+−
=
ρπε
 
Sobre o eixo Oz: r =0. 
22
02
)(
za
azV L
+
=
ε
ρ
 
22
04
)(
az
QzV
+
=
πε
 
Exemplo 7– Encontre a diferença de potencial 
entre dois pontos devido a um fio infinito com densidade 
de carga rL. 
Campo devido a um fio infinito: 
ρρπε
ρ aE L ˆ
2 0
= 
Potencial: 
∫−=−
f
i
if LdEV .V
d
 
 Adotando potencial zero no infinito e 
lembrando que em coordenadas cilíndricas: 
zadzadadl ˆˆˆ ++= φρ φρρ 
( ) ( ) ∫−=−
ρ
ρ
ρ
ρπε
ρρρ
0 0
0 2
dV LV 
( ) ( )
00
0 ln2 ρ
ρ
πε
ρρρ LV −=−V 
Exemplo 8– Encontre o potencial devido a um 
fio carregado com carga Q de comprimento 2L com 
densidade de carga uniforme rL. 
 
Podemos calcular o potencial diretamente por: 
∫
′ ′−
′′
=
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
zyx azayaxr ˆˆˆ ++= 
Colocando sobre o fio sobre o eixo z: 
 
zazr ˆ′=′ 
( )∫′ ′−++
′
=
L
L
zzyx
zdrV
222
04
)(
πε
ρ
 
( )∫
+
− ′−++
′
=
L
L
L
zzyx
zdrV
222
04
)(
πε
ρ
 
( ) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′−−′−++=
=′
−=′
Lz
Lz
L zzzzyxrV 222
0
ln
4
)(
πε
ρ 
( )
( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−++
−−+++
=
LzLzyx
LzLzyxV L
222
222
0 )(
)(ln
4πε
ρ
 
 Ou: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−++
−−+++
=
)()(
)()(ln
42 222
222
0 LzLzyx
LzLzyx
L
QV
πε
 
 
Exemplo 9– Encontre o potencial devido a 
uma distribuição uniforme de carga rv cilíndrica de 
raio R infinita. 
 
Relação entre a densidade de carga: 
dV
dQ
LR
Q
v == 2π
ρ 
Campo da distribuição de carga será dado pela 
lei de Gauss: 
 
0ε
QSdE
s
=⋅∫∫ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 10 
 
 
 Potencial Elétrico 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=⋅∫∫
RL
RLR
SdE
v
v
s ρ
ε
πρρ
ρ
ε
πρ
 se 
 se 
0
2
0
2
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
RL
RLR
LE
v
v
ρ
ε
πρρ
ρ
ε
πρ
πρ
 se 
 se 
2
0
2
0
2
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
R
RR
E
v
v
ρ
ε
ρρ
ρ
ρε
ρ
 se 
2
 se 
2
0
0
2
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
Ra
RaR
E
v
v
ρ
ε
ρρ
ρ
ρε
ρ
ρ
ρ
 se ˆ
2
 se ˆ
2
0
0
2
 
Sendo 
zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρ 
Sejam r,r0 < R: 
( ) ( ) ∫−=−
ρ
ρ
ρρ
ε
ρρρ
0 0
0 2
dVV v 
( ) ( ) ( )202
0
0 4
ρρ
ε
ρρρ −−=− vVV 
( ) ( ) ( )220
0
0 4
ρρ
ε
ρρρ −=− vVV 
Sejam r,r0 > R: 
( ) ( ) ∫−=−
ρ
ρ
ρ
ρε
ρρρ
0 0
2
0 2
dRVV v 
( ) ( ) ∫−=−
ρ
ρ
ρ
ρε
ρρρ
0
1
2 0
2
0 d
RVV v 
( ) ( )
00
2
0 ln2 ρ
ρ
ε
ρρρ RVV v−=− 
 
Exemplo 10 - Encontre o potencial devido a uma 
distribuição uniforme de carga rv esférica de raio R. 
 
Relação entre a densidade de carga: 
dV
dQ
R
Q
v == 3
3
4π
ρ 
Campo da distribuição de carga será dado pela lei 
de Gauss: 
 
0ε
QSdE
s
=⋅∫∫ 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=⋅∫∫
Rr
RrR
SdE
v
v
s ρ
ε
πρ
ε
πρ
 se 
3
4
 se 
3
4
0
3
0
3
 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
Rrr
RrR
rE
v
v
 se 
3
4
 se 
3
4
4
0
3
0
3
2
ε
πρ
ε
πρ
π 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
Rrr
Rr
r
R
E
v
v
 se 
3
 se 
3
0
2
0
3
ε
ρ
ε
ρ
 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=
Rrar
Rr
r
aR
E
rv
rv
 se 
3
ˆ
 se 
3
ˆ
0
2
0
3
ε
ρ
ε
ρ
 
 
Sendo 
φθ φθθ adrsenardadrl r ˆˆˆ ++=d 
Sejam r,r0 < R: 
 
( ) ( ) ∫−=−
r
r
v rdrrVrV
0 0
0 3ε
ρ
 
( ) ( ) ( )220
0
0 6
rrrVrV v −=−
ε
ρ
 
Sejam r,r0 > R: 
( ) ( ) ∫−=−
r
r
v dr
r
RrVrV
0
2
0
3
0 3ε
ρ
 
( ) ( )
rr
rr
v
r
RrVrV
=
=
=−
0
0
3
0 3ε
ρ
 
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−
00
3
0
11
3 rr
RrVrV v
ε
ρ
 
 
 Exemplo 11 – (pg. 93 – Hayt 4a Edição) 
Dado ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + ache 
o trabalho para mover uma carga de 20µC ao longo 
de um percurso incremental de 10-4m de 
comprimento na direção: 
ˆ ˆ0.6 0.48 0.64x ya a ˆza− + − 
(a) Localizado na origem; 
(b) Em P(2, -2, -5) 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 11 
 
 
 Potencial Elétrico 
 
Solução: 
ˆLdW QE a dL= − ⋅ 
(a) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + 
( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 3 0 2 0 2 0 Vx y z mE a a= + + a
( )ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 0 0 0 Vx y z mE a a a= + + 
( )0dW J= 
(b) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + 
( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(2,-2, -5) 3 2 2 5 2 2 Vx y z mE a a= + − + − a
( )ˆ ˆ ˆ(2, -2, -5) 12 10 4 Vx y z mE a a a= − − 
( ) ( ) 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ20 12 10 4 0.6 0.48 0.64 10x y z x y zdW a a a a a aµ −=− − − ⋅ − + −
( ) ( ) ( )( ) 420 12 0.6 10 0.48 4 0.64 10dW µ −=− − − − − 
( ) 420 9.44 10dW µ −=− − 
( )18.88dW nJ= 
 
Exemplo 12 – (pg. 50, E4.1– Hayt) 
Dado 
( ) ( )2 22
1 ˆ ˆ ˆ8 4 4 Vx y mzE xyza x za x yaz
= + − determine 
a quantidade diferencial de trabalho realizado ao 
deslocarmos uma partícula de 6nC de uma distância de 
2µm, partindo de P(2, -2, 3) e caminhando na direção 
: ˆLa
 
(a) 
6 3 2ˆ ˆ
7 7 7x y
a a+ + ˆza 
(b) 
6 3 2ˆ ˆ
7 7 7x y
a a− − ˆza 
(c) 
3 6ˆ ˆ
7 7x y
a a+ 
Solução: 
ˆLdW QE a dL= − ⋅ 
(a) ( ) ( )( ) ( )2 221 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 8 2 2 3 4 2 3 4 2 23
V
x y mz
E a a= ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − a
( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 32
9
V
x y z mE a a a= − + + 
( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 32
9
V
x y z mE a a= − + + a 
ˆLdW QE a dL= − ⋅ 
( )1 6 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 2
7 7x y x y z
dW n a a a a aˆ32
9 7
a µ⎛ ⎞=− − + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋅
1 6 3 26 96 48 32 2
9 7 7 7
dW n µ⎛ ⎞=− − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
1 3686 2
9 7
dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
4416
54
dW nµ= 
( )736
9
dW fJ= 
 
(b) 
6 3 2ˆ ˆ
7 7 7x y
a a− − ˆza 
ˆLdW QE a dL= − ⋅ 
( )1 6 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 2
9 7 7x y x y z
dW n a a a a a a2
7
µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 7846 2
9 7
dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
9408
54
dW nµ= 
( )1568
9
dW fJ= 
 
(c) 
3 6ˆ ˆ
7 7x y
a a+ 
ˆLdW QE a dL= − ⋅ 
( )1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 2
9 7x y x y
dW n a a a a a6
7
µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
6 0 2dW n µ=− ⋅ ⋅ 
( )0dW fJ= 
 
Exemplo 13 – (pg. 50, E4.2– Hayt) 
Calcule o trabalho realizado ao deslocarmos 
uma carga de 4C, de B(1, 0, 0) até A(0, 2, 0) ao 
longo do caminho y = 2 – 2 x, z = 0, no campo E = 
(a) ( )ˆ5 Vx ma 
(b) ( )ˆ5 Vx mxa 
(c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+
L
Solução: 
f
i
W Q E d= − ⋅∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 12 
 
 
 Potencial Elétrico 
(a) ( )ˆ5 Vx ma 
( )
(0,2,0)
(1,0,0)
ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW a dxa dya dza= − ⋅ + +∫
(0,2,0)
(1,0,0)
4 5W dx= − ∫
z
 
( )
( )0,2,0
1,0,0
4 5 20 (0 1)W x= − ⋅ = − ⋅ − 
( )20W J= 
(b) ( )ˆ5 Vx mxa 
( )
(0,2,0)
(1,0,0)
ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW xa dxa dya= − ⋅ + +∫
(0,2,0)
(1,0,0)
4 5W xdx= − ∫
zdza
 
( )
( )0,2,02 2
1,0,0
0 14 5 20 ( )
2 2
xW = − ⋅ = − ⋅ −
2
2
 
( )10W J= 
(c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+
zdza( ) ( )
(0,2,0)
(1,0,0)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 5x x x yW xa ya dxa dya= − + ⋅ + +∫
( )
(0,2,0)
(1,0,0)
4 5 5W xdx ydy= − +∫ 
( )
( )
( )
( )0,2,0 0,2,02 2
1,0,0 1,0,0
4 5
2 2
x yW
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − ⋅ +
⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 2 20 1 2 020
2 2 2 2
W
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − ⋅ − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
120 2
2
W ⎡ ⎤= − ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )30W J= − 
 
Exemplo 14 – (Hayt – pg. 53 E4.3) 
Veremos mais tarde que um campo E variante no 
tempo não é conservativo (Se ele não é conservativo, o 
trabalho deve ser uma função do caminho usado). 
Considere ( )ˆ Vy mE ya= em certo instante de tempo e 
calcule o trabalho para deslocar uma carga de 3C de (1, 
3, 5) para (2, 0, 3) ao longo dos segmentos de retas 
unindo: 
(a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3) 
(b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3) 
 
 
 
 
 
Solução: 
(a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f
i
W Q E dL= − ⋅∫ 
1 2 3C C C
W Q E dL E dL E dL
⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ 
( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + + 
E dL ydx⋅ = 
2 2 2
1 2 2
3 0W Q dx ydx dx
⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ 
( )213 3 0 0W x= − + + 
( )9W J= − 
(b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3) 
 
1 2 3C C C
W Q E dL E dL E dL
⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ 
( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + + 
E dL ydx⋅ = 
1 1 2
1 1 1
3 0W Q dx ydx dx
⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ 
( )3 0 0 0W = − + + 
( )0W J= 
 
Exemplo 15 – (Hayt – pg. 53 E4.4) 
Um campo elétrico é expresso em 
coordenadas cartesianas por: 
( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + + . Determine: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 13 
 
 
 Potencial Elétrico 
(a) VMN se os pontos M e N são especificados por 
M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2); 
(b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35); 
(c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4). 
 
Solução: 
( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + + 
.
M
M N
N
V V E d− = −∫ L 
(a) 
( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 4 .
M
M N x y z x y
N
V V x a ya a dxa dya dza− =− + + + +∫
( )
( )
( )2,6, 1
2
3, 3,2
6 6 4M NV V x dx ydy dz
−
− −
− = − + +∫
z
 
( )( )
( )2,6, 13 2
3, 3,2
2 3 4M NV V x y z
−
− −
− = − + + 
( ) ( ) ( )( )( )3 23 22 2 3 6 4 1 2 3 3 3 4 2M NV V− =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − + ⋅ − + ⋅
( )( )16 108 4 54 27 8M NV V− =− + − − − + + 
( )( )120 19M NV V− =− − − 
139M NV V V− =− 
(b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35); 
 
.
M
M Q
Q
V V E d− = −∫ L
4y dz
 
( )
( )
( )2,6, 1
2
4, 2, 35
0 6 6MV x dx yd
−
− −
− = − + +∫ 
( )( )
( )2,6, 13 2
4, 2, 35
2 3 4MV x y z
−
− −
= − + + 
( ) ( ) ( )( )( )23 2 32 2 3 6 4 1 2 4 3 2 4 35MV =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −
( )( )120 0MV =− − 
120MV V=− 
(c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4) 
 
.
N
N P
P
V V E dL− = −∫ 
( )
( )
( )3, 3,2
2
1,2, 4
2 6 6NV x dx yd
− −
−
− = − + +∫ 4y dz 
( )( )
( )3, 3,23 2
1,2, 4
2 2 3 4NV x y z
− −
−
= − + + 
( ) ( ) ( )(( )3 2 3 22 2 3 3 3 4 2 2 1 3 2 4 4NV = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −
(
)
)( )2 19 2NV = − − − − 
19NV V= 
 
Exemplo 16 – (Hayt – pg. 53 E4.5) 
Uma carga pontual de 15 nC está localizada na 
origem do espaço livre. Calcule V1 se o ponto P1 está 
localizado em P1(-2,3,-1) e: 
(a) V = 0 em (6,5,4); 
(b) V = 0 no infinito; 
(c) V = 5 em (2,0,4); 
 
Em coordenadas esféricas: 
( )2
0
ˆ
4
r V
m
aQE
rπε
= 
ˆ ˆrdr dra rd a rsen d âθ φθ θ φ= + + 
∫−=−
f
i
if LdEV .V 
( )2
0
ˆ ˆ ˆ.
4
f
r
f i r
i
aQV V dra rd a rsen d a
r
ˆθ φθ θ φπε
− = − + +∫
 
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0; 1r r r ra a a a a aθ φ⋅ = ⋅ = ⋅ = 
2
04
f
f i
i
Q drV V
rπε
− = − ∫ 
1
( 2,3, 1)
2
0 (6,5,4)
0
4P
Q d
rπε
− −
− = − ∫
rV 
( ) ( )2 221 2 3 1r = − + + − 
1 14=r 
2 2 2
0 6 5 4r = + + 
0 77=r 
1
14
2
0 774
P
Q dr
rπε
= − ∫V 
1
14
770
1
4
r
P
r
Q
rπε
=
=
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
V 
1
0
1 1
4 14 77P
Q
πε
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
V 
1
0
1 1
4 14 77P
Q
πε
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
V 
( )1 12
15 1 1
4 8,85 10 14 77P
nV
π −
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
 
1
20,69PV V= 
(b) V = 0 no infinito; 
.
f
fV V E dL∞
∞
− = −∫ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 14 
 
 
 Potencial Elétrico 
1
1 2
0
0
4
r
P
Q drV
rπε ∞
− = − ∫ 
1
14
0
1
4
r
P
r
QV
rπε
=
→∞
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
1
0
1 0
4 14P
QV
πε
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )1 12
15 1
4 8,85 10 14P
nV
π −
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
 
1
36,08PV V= 
(c) V = 5 em (2,0,4); 
 
2 2
0 2 0
2r = + 4+ 
0 20r = 
1
0
1 15
4 14 20P
QV
πε
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )1 12
15 1 15
4 8,85 10 14 20P
nV
π −
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
 
1
5 5,89PV = + 
1
10,89PV V= 
 
Exemplo 17 – (Hayt – pg. 58 E4.6) 
Se tomarmos zero de referência para potencial no 
infinito, determine o potencial em (0,0,2) causado por 
estas configurações de carga no espaço livre: 
(a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; 
(b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1); 
(c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0. 
Solução: 
∫−=−
f
i
if LdEVV . 
(a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; 
 Campo devido a um anel de raio a: 
( ) ( )
3
04
L
L
r r r
E d
r r
ρ
πε′
′ ′−
L′=
′−∫ 
ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= + 
L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′ 
( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − + 
( )2 2r r a zρ′− = − + 
( )
( )( )
2
3 22 200
ˆ ˆ
4
zL a a zaE ad
a z
π
ρρρ φ
πε ρ
⎡ ⎤
− +⎢ ⎥ ′= ⎢ ⎥
− +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ 
( )
( )( ) ( )( )
2 2
3 2 3 22 22 20 0 0
ˆ ˆ
4
L za a da zE
a z a z
π π
ρρ φρ φ
πε ρ ρ
a d
⎡ ⎤
′− ′⎢ ⎥= +⎢ ⎥
− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
 
( )
( )( ) ( )( )
2 2
3 2 3 22 22 20 0 0
ˆˆ
4
L zaa zaE a d d
a z a z
π π
ρ
ρρ φ φ
πε ρ ρ
⎡ ⎤
−⎢ ⎥′ ′= +⎢ ⎥
− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
 
A primeira integral tem o valor zero, pois se 
lembre que o versor âρ depende do ânguloφ: 
 
 
 
 âφ φ φ 
 
 âρ 
 
 
 ˆ ya
 
 
 
 φ 
 
 ˆxa
 
 
 
( )2ˆ ˆcos cosx ya a πρ φ φ= + − â
â
 
ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= + 
ˆ ˆ cosx ya sen aφ âφ φ= − + 
( )
2 2
0 0
ˆ ˆcos x ya d a sen a d
π π
ρ ˆφ φ φ φ′ ′ ′= +∫ ∫ ′
ˆ
 
2 2 2
0 0 0
ˆ ˆcos x ya d d a sen d a
π π π
ρ φ φ φ φ φ′ ′ ′ ′ ′= +∫ ∫ ∫ 
[ ] [ ]
2
2 2
0 0
0
ˆ ˆ cosx ya d sen a a
π
φ π φ π
ρ φ φ
φ φ φ′ ′= =
′ ′= =
′ ′ ′= + −∫ ˆ
ˆ
 
2
0
ˆ ˆ0 0x ya d a a
π
ρ φ′ = +∫ 
Assim: 
 
( )( )
[ ] 23 2 02 20
ˆ
4
L za za
a z
φ π
φ
ρ φ
πε ρ
′=
′=
E
⎡ ⎤
⎢ ⎥′= ⎢ ⎥
− +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 15 
 
 
 Potencial Elétrico 
( )( )3 22 20
ˆ
2
4
L za zaE
a z
ρ π
πε ρ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
− +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )( )3 22 20
ˆ
2
L
z
a zE a
a z
ρ
ε ρ
=
− +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Potencial em P(0,0,2) 
.
P
PV V E dL∞
∞
− = −∫ 
( )( )
2
3 22 20
ˆ .
2
P
L
P z
a zV V a dL
a z
ρ
ε ρ
∞
∞
− = −
− +
∫
ˆ ˆ ˆzdL d a d a dzaρ φρ ρ φ= + + 
( )( )
(0,0,2)
3 22 20
0
2
L
P
a zdzV
a z
ρ
ε ρ∞
− = −
− +
∫ 
( )
0; 2
2 20
1
2
z
L
P
aV
a z
ρ
ρ
ε ρ
= =
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − −
⎢ ⎥− +⎣ ⎦
 
( )
0; 2
2 20
1
2
z
L
P
aV
a z
ρ
ρ
ε ρ
= =
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥− +⎣ ⎦
 
( )2 20
1 0
2 0 2
L
P
aV
a
ρ
ε
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −
⎢ ⎥− +⎣ ⎦
 
2
0
1
2 4
L
P
aV
a
ρ
ε
=
+
 
 Veja que poderíamos ter calculado o 
potencial também por: 
 
∫
′ ′−
′′
=
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
πε
ρ
 
ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= + 
L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′ 
( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − + 
( )2 2r r a zρ′− = − + 
( )2 20
( )
4
L
L
adV r
a z
ρ φ
πε ρ′
′
=
− +
∫ 
( )
2
2 20 0
1( )
4
LaV r d
a z
πρ φ
πε ρ
′=
− +
∫ 
( )
[ ] 202 20
1( )
4
LaV r
a z
φ π
φ
ρ φ
πε ρ
′=
′=
′=
− +
 
( )2 20
1( ) 2
4
LaV r
a z
ρ π
πε ρ
=
− +
 
( )2 20
1( )
2
LaV r
a z
ρ
ε ρ
=
− +
 
Observe que na página 57 do livro tem um π a 
mais no denominador. Tire por favor!!! 
 Como o raio do anel vale a = 2.5m: 
( )12 2
12 2.5 1
2 8.85 10 2.5 4
P
nV
−
=
⋅ +
 
( )12 2
12 2.5 1
2 8.85 10 2.5 4
P
nV
−
=
⋅ +
 
31.6949 10 0.3123P = ⋅V 
( )529,32PV V= 
 
 
 
(b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1); 
 
0
1
4P
Q
r rπε
=
′−
V 
ˆ ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a a= + + 
ˆ ˆ ˆ1 2 1x y zr a a a′ = + − 
ˆ ˆ ˆ1 2 3P x yr r a a a′− = − − + z 
( ) ( )2 2 21 2Pr r′ 3− = − + − + 
14Pr r′− = 
0
18 1
4 14P
n
πε
=V 
( )43.29PV V= 
 
(c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0 
o Supondo uma densidade linear de carga de 12 
nC/m em um fio de comprimento L 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 16 
 
 
 Potencial Elétrico 
0
( )( )
4
L
L
r dxV r
r r
ρ
πε′
′ ′
=
′−∫ 
ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + â
ˆz
 
ˆ ˆ2.5 0x yr x a a a′ ′= + + 
ˆ ˆ2.5 2P x yr r x a a a′ ′− = − + ˆz 
( )22 22.5 2Pr r x′ ′− = + − + 
2 10.25Pr r x′ ′− = + 
2.5
2
0 0
12
4 10.25
P
n dxV
xπε
′
=
′ +
∫ 
2 2
2 2
lndx x x a C
x a
= + + +
+
∫ 
2
00
12 ln 10.25
4
x L
P
x
nV x x
πε
′=
′=
⎡ ⎤′ ′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2 2
0
12 ln 10.25 ln 0 0 10.25
4P
nV L L
πε
⎡ ⎤= + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
2
0
12 10.25ln
4 10.25P
n L LV
πε
⎡ ⎤+ +
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
o Supondo uma carga12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0 e x 
=0 : 
0
1
4P
QV
r rπε
=
′−
 
ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + â
ˆz
 
ˆ ˆ0 2.5 0x yr a a a′ = + + 
ˆ ˆ0 2.5 2P x yr r a a a′− = − + ˆz 
( ) ( )2 2 20 2.5Pr r′− = + − + 2 
10.25Pr r′− = 
0
12 1
4 10.25P
nV
πε
= 
 
( )33,73PV V= 
Exemplo 18 – (Hayt – pg. 61 E4.7) 
Uma porção de um campo potencial bidimensional 
é mostrada na figura abaixo. As linhas de grade estão 
separadas de 1mm. Determine os valores aproximados do 
campo E em coordenadas cartesianas em: 
(a) a; 
(b) b; 
(c) c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
E V= −∇ 
(a) a; (-4,-6) (mm) 
ˆy
VE V a
x
∂
= −∇ = −
∂
 
3
106 104 ˆ
2 10 y
E V a−
−
= −∇ = −
⋅
 
( )ˆ1000 Vy mE V a= −∇ ≅ − 
(b) b; 
(c) c. 
 
Exemplo 19 – (Hayt – pg. 61 E4.8) 
Dado o campo potencial em coordenadas 
cilíndricas, (2
100 cos
1
V V
z
ρ φ=
+
) e o ponto P 
em ρ = 3m, φ = 60°, z = 2m, determine os valores em 
P para: 
(a) V; 
(b) E; 
(c) E; 
(d) dV/dN; 
(e) aN ; 
(f) ρv no espaço livre. 
 
 Solução: 
(a) V; 
( )2
100 cos
1
V V
z
ρ φ=
+
 
( )2
100 3cos 60
2 1
V V= °
+
 
( )30,0V V= 
(b) E; 
E V= −∇ 
zaz
VaVaVV ˆˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ φρ φρρ
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 17 
 
 
 Potencial Elétrico 
2 2
2
100 1 100ˆ ˆcos cos
1 1
100 ˆcos
1 z
V a a +
z z
a
z z
ρ φρ φ ρ φρ ρ φ
ρ φ
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + ∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞
⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
2
2
2 2 2 2
2
2 2
1 100 1 100cos cos
1 1
100 cos
1
V
z z
z z
ρ ρ φ ρ φ
ρ ρ ρ ρ φ
ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ + ∂ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
( ) ( )2 2
2
100cos 1 100ˆ ˆcos
1 1
1 ˆ100 cos
1 z
V a
z z
a
z z
ρ φa
φ ρ ρ
ρ ρ φ
ρ φ
∂ ∂
∇ = + +
+ ∂ + ∂
∂ ⎛ ⎞
⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
φ
 
( )22 2 2
100cos 100 2ˆ ˆ ˆ100 cos
1 1 1
z
zV a sen a
z z z
ρ φ a
φ φ ρ φ∇ = − −
+ + +
( )22 2 2
100cos60 100 2 2ˆ ˆ ˆ60º 100 3cos60
2 1 2 1 2 1
P zV a sen aρ φ
° ⋅
∇ = − − ⋅ °
+ + +
a
ˆ ˆ10 10 3 24 ˆP zV a aρ φ∇ = − − a 
( )ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − − − â 
( )ˆ ˆ ˆ10 10 3 24 Vz mE a a aρ φ= − + + 
(c) E; 
ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − + + â 
( ) ( )22 210 10 3 24E = − + + 
( ) ( )22 210 10 3 24E = − + + 
( )31.24 VmE = 
(d) dV/dN; 
( )31.24 Vm
dVE
dN
= = 
(e) aN ; 
ˆN
Va
V
∇
=
∇
 
ˆ ˆ10 10 3 24
ˆ
31.24
z
N
a a
a ρ φ
− −
=
â
 
ˆ ˆ ˆ0.320 0.554 0.768 ˆN za a aρ φ= − − a 
(f) ρv no espaço livre. 
v Dρ = ∇⋅ 
0v Eρ ε= ∇⋅ 
( )0v Vρ ε= ∇⋅ −∇ 
2
0v Vρ ε= − ∇ 
Em coordenadas cilíndricas, o Laplaciano de V é 
dado por: 
2 2
2
2 2 2
1 1V VV V
z
ρ
ρ ρ ρ ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 
( )2
100 cos
1
V V
z
ρ φ=
+
 
 
[ ] [ ]
2
2
2 2 2 2
2
2 2
100 1 100cos cos
1 1
100cos
1
V
z z
z z
ρφ ρ ρ φ
ρ ρ ρ ρ φ
ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
∇ = +⎜ ⎟+ ∂ ∂ + ∂⎝ ⎠
∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
 
( ) [ ]
( )
2
2 2 2
22
100 1 100cos
1 1
2100 cos
1
V sen
z z
z
z z
ρφ ρ φ
ρ ρ ρ φ
ρ φ
∂ ∂
∇ = + −
+ ∂ + ∂
⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
 
( ) ( )
( )
2
2 2
2 22 2
42
100 1 100 1cos cos
1 1
1 1 2 1 2
200 cos
1
V
z z
1
z z z z
z
φ φ
ρ ρ
ρ φ
−
∇ = −
+ +
⎡ ⎤⋅ + − ⋅ +
⎢ ⎥−
⎢ ⎥+⎣ ⎦
 
( ) ( )
( )
2 2
2 2
42
1 4
200 cos 1
1
z z
V z
z
ρ φ
⎡ ⎤+ −
⎢ ⎥∇ = − +
⎢ ⎥+⎣ ⎦
 
( )
2
2
32
1 3200 cos
1
zV
z
ρ φ −∇ = −
+
 
2
0v Vρ ε= − ∇ 
( )
2
0 32
1 3200 cos
1
v
z
z
ρ ε ρ φ
⎧ ⎫−⎪ ⎪= − −⎨ ⎬
+⎪ ⎪⎩ ⎭
` 
( )
2
0 32
1 3200 cos
1
v
z
z
ρ ε ρ φ −=
+
 
( )
2
12
32
1 3 28.85 10 200 3cos60
2 1
vρ
− − ⋅= ⋅ ⋅ °
+
 
12 1 118.85 10 200 3
2 125v
ρ − −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
( )3233.64 pcv mρ = − 
 
Exemplo 20 – (Hayt – pg. 64 E4.10) 
Um dipolo elétrico localizado na origem do 
espaço livre possui momento de dipolo 
( )ˆ ˆ ˆ3 2x y zp a a a nC m= − + ⋅ . 
(a) Determinar V em PA(2,3,4). 
(b) Determinar V em r = 2.5, θ = 30° e φ = 40°. 
 
Solução: 
Esquema do dipolo e linhas de campo: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 18 
 
 
 Potencial Elétrico 
 
p Qd= 
2
0
1
4
r rV p
r rr rπε
′−
= ⋅
′−′−
 
r :Localiza o ponto P. 
r′ :Localiza o centro do dipolo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ˆ ˆ2 3 4x yr a a a= + + ˆz
ˆz
ˆz
 
ˆ ˆ0 0 0x yr a a a′ = + + 
ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + + 
ˆ ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + + z 
2 2 22 3 4 29r r′− = + + = 
 
2
0
1
4
r rV p
r rr rπε
′−
= ⋅
′−′−
 
( ) ( )2
0
ˆ ˆ ˆ2 3 4
ˆ ˆ ˆ3 2
294 29
x y z
x y z
a a anV a a a
πε
+ +
= − + ⋅ 
 
( )
0
3 2 2 3 1 4
4 29 29
n
πε
V = ⋅ − ⋅ + ⋅ 
0
4
4 29 29
nV
πε
= 
( )0.2305V V= 
(b) Determinar V em r = 2.5 θ = 30° e φ = 40°. ,
2
0
ˆ
4
rp a
r
V
πε
⋅
= 
r é a distância do centro do dipolo ao ponto P: 
 
ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a âzθ φ θ φθ= + +
 
ˆ ˆ ˆ30 cos 40 30 40 cos30r x ya sen a sen sen a âz= ° ° + ° ° + °
ˆ ˆ ˆ ˆ0.383 0.3214 0.866r x y za a a a= + + 
( ) ( )
2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 0.383 0.3214 0.866
4 2.5
x y z x y za a a a a aV
πε
− + ⋅ + +
=
n
( )
2
0
3 0.383 2 0.3214 1 0.866
4 2.5
n
V
πε
⋅ − ⋅ + ⋅
= 
0
1.3722
4 6.2
nV
πε
=
5
 
1.975( )V V= 
Exemplo 21– (Hayt – pg. 64 E4.10) 
Um dipolo de momento ( )ˆ6 zp a nC m= ⋅ 
está localizado na origem do espaço livre. 
(a) Determine V em P(r = 4, θ = 20°, φ = 0°); 
(b) Determine E em P. 
 
Solução: 
(a) 2
0
ˆ
4
rp aV
rπε
⋅
= 
ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a âzθ φ θ φ θ= + + 
ˆ ˆ ˆ20 cos 0 20 0 cos 20r x ya sen a sen sen a âz= ° ° + ° ° + °
 
ˆ ˆ ˆ0.342 0 0.9397r x ya a a= + + ˆza 
( ) ( )
2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ6 0.342 0 0.9397
4 4
z x ya a a aV
πε
⋅ + +
= z
n
 
( )
0
6 0.9397
4 16
n
πε
⋅
=V 
( )3.17V V= 
 
 
 
 (b) ( )3
0
ˆ ˆ2cos
4 r
pE a sen a
r θ
θ θ
πε
= + 
( )3
0
6 ˆ ˆ2cos 20 20
4 4 r
nE a sen aθπε
= ° + ° 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 19 
 
 
a
 Potencial Elétrico 
( )ˆ ˆ0.84375 1.879 0.342rE a θ= + 
( )ˆ ˆ1.585 0.288 Vr mE a aθ= + 
 Exemplo 21 – (Hayt – pg. 66 E4.11) 
Determine a energia armazenada no espaço livre para a 
região 
 2mm < r < 3 mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90° dado o campo 
potencial V =: 
(a) 
200V
r
 
(b) 2
300cos V
r
θ
 
 Solução: 
 
 12E
v
W D= ⋅∫∫∫ Edv 
φθ φθθ
aV
rsen
aV
r
a
r
VV r ˆ
1ˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
E V= −∇ 
0 0D E Vε ε= = − ∇ 
( )0D E V Vε⋅ = − ∇ ⋅ −∇ 
2
0D E Vε⋅ = ∇ 
2
1
02E
v
W Vε= ∇∫∫∫ dv 
20
2E v
W V dvε= ∇∫∫∫ 
(a) 
200V
r
= 
200 200
200 1 1ˆ ˆ ˆr
r rV a a a
r r r rsenθ φθ θ φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
200 ˆ ˆ0 0rV a ar
âθ φ∇ = − + + 
2
200 ˆrV ar
∇ = − 
2
200V
r
∇ = 
2
0
2
200
2E v
W d
r
ε ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∫∫ v 
3
2 2
3
3 10
2 20
4
0 02 10
1200
2E
W r sen
r
π π
ε d d drθ θ φ
−
−
⋅
⋅
= ∫ ∫ ∫ 
3
2 2
3
3 10
4 20
0 02 10
4 10
2E
W r dr sen
π π
ε d dθ θ φ
−
−
⋅
−
⋅
= ⋅ ∫ ∫ ∫ 
[ ] [ ]
3
2 2
3
3 10
40
0 0
2 10
14 10 cos
2
r
E
rr
W
π πθ φ
θ φ
ε θ φ
−
−
= ⋅
= =
= =
= ⋅
⎡ ⎤= ⋅ − −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )40 2 23 3
1 12 10 cos cos0 0
3 10 2 10E
W π πε − −
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − − − − − − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦
[ ]40 23 3
1 12 10 0 1
3 10 2 10E
W πε − −
⎡ ⎤= ⋅ − + + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦
 
4
0 23
10 1 12 1
10 3 2E
W πε −
⎡ ⎤= ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
 
7
02 10 12E
W πε= ⋅ 
12 78.85 10 2 10
12E
W π−= ⋅ ⋅ 
( )54.13 10EW J−= ⋅ 
(b) 2
300cos V
r
θ
 
2 2
2
300cos 300cos
300cos 1 1ˆ ˆr
r rV a a
r r r rsen
âθ φ
θ θ
θ
θ θ φ
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎜ ⎟ ⎜∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎞
⎟
⎠
∂
 
( )
2 3
cos300cos 300ˆ ˆrV ar r r
aθ
θθ
θ
∂∂ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
 
3 3
600cos 300ˆ ˆr
senV a
r r
aθ
θ θ
∇ = − − 
2 2
2
3 3
600cos 300senV
r r
θ θ⎛ ⎞ ⎛∇ = +⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
 
( )
42 2 2
6
9 10 4cosV s
r
enθ θ⋅∇ = + 
( )
4
2 20
6
9 10 4cos
2E v
W s
r
ε θ θ⋅= +∫∫∫ en dv 
( )
3
2 2
3
3 10
4 2 2 20
6
0 02 10
19 10 4cos
2E
W sen r sen d d dr
r
π π
ε θ θ θ θ φ
−
−
⋅
⋅
= ⋅ +∫ ∫ ∫
( )
3
2 2
3
3 10
4 4 2 30
0 02 10
9 10 4cos
2E
W r dr sen sen d
π π
ε dθ θ θ θ
−
−
⋅
−
⋅
= ⋅ + φ∫ ∫ ∫
 
[ ]
3
2
2
3
3 10
4 30
3 0
2 10 0
1 4 1 39 10 cos cos3 cos
2 3 3 12 4
r
E
r
W
r
π
π
θ
φ
φ
θ
ε θ θ θ φ
−
−
= ⋅ =
=
=
= ⋅ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4
0
29 3 3
10 1 1 4 1 39
2 3 10 3 2 3 12 4E
W πε −
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
1303 1 1 4 1 310
4 27 8 3 12 4E
πε−W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
1303 19 2410
4 216 12E
πε− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
W 
 
1303 19 10
2 216E
W πε⋅=
⋅
 
13,668 10EW = ⋅ 
( )36,68EW J= 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 20 
 
 
 Potencial Elétrico 
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Microsoft Corporation. All rights reserved. © Funk & Wagnalls 
Corporation. All rights reserved 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leitura suplementar: 
 
Bioeletricidade 
• A eletricidade animal 
 
Contribuição de Galvani e de Volta. 
 A geração de eletricidade por certos peixes já era 
conhecida quando LUIGI GALVANI descreveu sua célebre 
observação sobre a contração da pata de rã. Galvani 
ensinava anatomia em Bolonha (Itália) e PUELLES (1956) 
conta que, certo dia, quando trabalhava com rãs decapitadas 
e penduradas numa haste de cobre e observou que, quando a 
pata do animal tocava o ferro de um balcão próximo, os 
músculos se contraíam. Conta também uma outra versão. 
Nesta, Galvani, em 1760, colocou algumas rãs mortas sobre 
um prato metálico e um dos seus assistentes, usando a 
máquina eletrostática de Ramsden, aplicou um choque 
elétrico sobre uma delas, produzindo contração muscular. O 
fenômeno foi prontamente reconhecido por Galvani como 
algo especial e a partir daquele momento passou a dedicar-
se ao estudo da eletricidade animal. 
Galvani observou que, mesmo sem a aplicação de 
choque elétrico, era possível obter a contração dos músculos 
das patas posteriores da rã. Para isso, eles eram colocados 
em contato com o nervo lombar que, por sua vez, era 
estimulado por um par bimetálico (cobre e zinco). Dos seus 
experimentos, concluiu: "o músculo e o nervo constituem 
uma espécie de condensador de uma própria e peculiar 
eletricidade que existe em todos os animais vivos". Galvani 
acreditava que "nos músculos se reúne o fluido elétrico, que 
logo se difunde pelo corpo mediante a rede de nervos, os 
quais são condutores naturais do fluido elétrico e que se 
insinuam com suas extremidades dentro dos músculos". 
Suas principais observações estão no seu livro De viribus 
Electricitatis in motu muscularis (1871). 
Na época de Galvani, ALEXANDRO VOLTA 
ensinava Física na Universidade de Pavia. Volta, estudando 
o fenômeno descrito por Galvani, concluiu que os metais 
podiam produzir eletricidade e, em 1800, construiu o 
primeiro gerador químico de eletricidade empilhando 
alternadamente discos de cobre e zinco. Os metais 
foram separados por papel ou camurça embebidos em 
solução aquosa acidulada com vinagre. Concluiu 
dizendo que os músculos e os nervos são apenas 
condutores de eletricidade e que no par bimetálico 
usado por Galvani estava a fonte geradora de 
eletricidade. 
 
• Potencial transmembrana. 
 A descoberta das correntes de injúria foi 
fundamental para que se soubesse que a membrana 
superficial das células vivas se encontra submetida a 
uma diferença de potencial, que é chamada de 
potencial transmembrana ou potencial de 
membrana. 
As células não-excitáveis, tais como as epiteliais do 
homem, apresentam um potencial de membrana 
constante, cujo valor está em torno de -20mV. Nos 
nervos e nos músculos, contudo, esses potenciais 
chegam a -90mV. Quando a célula está quiescente, o 
seu potencial de membrana apresenta valor constante e 
é chamado de potencial de repouso. 
Não satisfeito, Galvani redarguiu relatando os 
resultados de novos experimentos nos quais conseguiu 
obter a contração dos músculos da pata de uma rã 
quando eles eram postos em contato com o nervo 
ciático de uma outra rã. Nesses experimentos não usou 
o par bimetálico para estimular. Com isso, mostrou que 
os elementos geradores de tensão e de corrente elétrica 
estavam situados no animal. 
A contenda científica entre Galvani e Volta 
somente pôde ser resolvida com o desenvolvimento da 
ciência. Hoje se sabe que ambos estavam certos. De 
fato, as estruturas nervosas são capazes de iniciar e de 
propagar estímulos elétricos e estes participam 
decisivamente na promoção da resposta contrátil 
muscular. Por outro lado, lâminas bimetálicas podem 
produzir uma diferença de potencial elétrico suficiente 
para estimular o aparecimento do impulso elétrico nos 
nervos. 
Registro do fenômeno elétrico no coração. 
Depois que Galvani chamou a atenção para a 
eletricidade animal, não tardou muito para que 
WALLER (1887, 1899) descobrisse que os batimentos 
cardíacos ocorriam concomitantemente com o 
aparecimento de correnteselétricas e que elas podiam 
ser detectadas na superfície do corpo. EINTHOVEN 
(1913), tendo inventado o galvanômetro de mola, 
registrou pela primeira vez essas correntes, obtendo os 
primeiros eletrocardiogramas e abrindo para a ciência 
uma importante vertente de investigação. 
A detecção dos fenômenos elétricos nos nervos 
precedeu os trabalhos de EINTHOVEN. 
Em 1850, HELMHOLTZ conseguiu medir a 
velocidade de propagação da onda de excitação no 
nervo gastrocnêmico da rã e, pouco depois, 
BERNSTEIN (1868) obteve o registro da evolução 
temporal do potencial de injúria do nervo lesado. 
• POTENCIAL DE REPOUSO 
Em seres humanos e animais, cerca de 20% da 
taxa metabólica basal é usada para manter o 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 21 
 
 
 Potencial Elétrico 
funcionamento elétrico das células, usadas para controlar: 
• O fluxo de íons que se encontram em grandes 
quantidades do lado externo e interno da célula e no meio 
extracelular. 
• Os efeitos devido às diferentes concentrações de 
íons presentes no interior das células e no meio 
extracelular. 
Entre o líquido no interior de uma célula e o fluido 
extracelular há uma diferença de potencial elétrico 
denominada potencial de membrana. 
O potencial de uma membrana celular é a diferença 
de potencial entre as superfícies externa e interna da 
membrana celular quando elas estão eletricamente 
carregadas. 
Lembrando que as membranas celulares são estruturas 
complexas constituída por uma bicamada de fosfolipídios 
onde estão imersas moléculas de proteínas, como 
esquematizado na Figura 2.7. Os fosfolipídios ocupam 70% 
do volume e mais de 90% da superfície da membrana. O 
empacotamento dessas moléculas impede a passagem de 
íons e água através da membrana; porém como há 
proteínas transmembranais que formam canais através da 
bicamada, como descrevemos anteriormente, é possível a 
troca dos íons do meio intra para o meio extracelular e vice-
versa. 
As propriedades elétricas da membrana celular são 
derivadas da ionização de suas superfícies externa e 
interna e principalmente de sua capacidade de deixar 
passar seletivamente apenas alguns tipos de íons. Nas 
células excitáveis, a membrana celular tem permeabilidade 
seletiva. As membranas biológicas geralmente são: 
• Permeáveis a pequenos íons inorgânicos e 
monovalentes. 
• Pouco permeáveis a íons multivalentes. 
• Impermeáveis a íons inorgânicos complexos (fosfatos 
orgânicos) e proteínas. 
Os meios extra e intra celular apresentam geralmente 
característica salina. As moléculas suspensas nesses meios 
encontram-se ionizadas, movendo-se livremente. Por outro 
lado, tanto dentro como fora da célula, a concentração de 
ânions é muito próxima da concentração de cátions. 
Quando não há influências externas sobre a célula, o 
potencial de uma membrana celular é denominado de 
Potencial de Repouso V0. 
As membranas apresentam alta resistência elétrica 
decorrente da extensa superfície líquida, o que implica num 
potencial elétrico elevado (da ordem de 100 mV) entre o 
interior e o exterior da célula. 
Esse potencial pode ser medido ligando-se, por meio de 
microeletrodos, os pólos de um medidor de voltagem ao 
interior de uma célula (ponto A), e ao líquido extracelular 
(ponto B), como mostra a Figura 1. Esses eletrodos são, em 
geral, capilares de vidro, com uma ponta com menos de 1 
µm de diâmetro, contendo uma solução condutora de KCI. 
Essa solução está em contato com o medidor de voltagem 
por meio de um fio metálico. A Figura mostra o resultado 
de uma experiência típica para medir a diferença de 
potencial elétrico entre as partes externa e interna de uma 
célula. 
Para isso colocam-se, inicialmente, os eletrodos A e B 
no líquido extracelular. A seguir o eletrodo A é colocado no 
interior da célula. O deslocamento do eletrodo A é indicado 
na Figura 12 pela variação de x, coordenada na direção 
perpendicular à membrana de espessura d. Quando as 
pontas dos dois eletrodos estão no meio externo, a 
diferença de potencial medida W é nula, indicando que 
o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto 
desse meio. O mesmo aconteceria se os dois eletrodos 
pudessem ser colocados no interior da célula, pois 
ambos os meios são condutores. O potencial elétrico do 
fluido extracelular, por convenção, é considerado nulo 
e V é o potencial no interior da membrana. Assim, a 
diferença de potencial ∆V entre os dois meios é: 
∆V = V - 0 = V 
Quando a ponta do eletrodo A penetra na 
célula, o potencial elétrico V diminui bruscamente para 
aproximadamente: 
 -70 mV(-70.10-3V) como indica a Figura 12. 
Na maioria das células, o potencial de membrana V 
permanece inalterado, desde que não haja influências 
externas. Quando a célula se encontra nessa condição, 
dá-se ao potencial de membrana V, a designação de 
potencial de repouso representado por V0. Numa célula 
nervosa ou muscular o potencial de repouso é sempre 
negativo, apresentando um valor constante e 
característico. Nas fibras nervosas e musculares dos 
animais de sangue quente, os potenciais de repouso se 
situam entre -55 mV e -100 mV. Nas fibras dos 
músculos lisos, os potenciais de repouso estão 
aproximadamente entre -30 mV e -55 mV. 
 
Figura 1 – Medida do potencial de repouso de 
uma célula. 
 
 Medidor 
 De Voltagem 
 
 
 Meio externo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 22 
 
 
 Potencial Elétrico 
 Exercícios: Hayt – Capítulo 4 – 6ª Edição 
 
1. O valor de E em P(r =2, f =400 , z = 3) é dado por 
( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ 
Determine o trabalho incremental para deslocar uma 
carga de 20 mC de uma distância de 6 mm na direção de 
: 
 (a) ρa . ˆ
 (b) φa . ˆ
 (c) . zâ
 (d) E. 
 (f) zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−= 
 
Solução: 
 
 (a) Direção: . ρâ
 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
 ρaaL ˆˆ =
 ( ) dLaaaaQdW Lz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ
( ) dLaaaaQdW z ρφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−=
QdLdW 100−= 
µµ 620100 ⋅⋅−=dW 
pJdW 12000−= 
nJdW 12−= 
 
(b) Direção: : φâ
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
 ( ) dLaaaaQdW z φφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= 
QdLdW 200= 
µµ 620200 ⋅⋅=dW 
nJdW 24= 
 
(c) Direção: : zâ
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
( ) dLaaaaQdW zz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ 
µµ 630020 ⋅⋅−=dW 
nJdW 36−= 
 
(d) Direção: E : 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
E
EaL =ˆ 
dL
E
EEQdW ⋅−= 
dL
E
E
QdW
2
⋅−= 
dLEQdW ⋅−= 
( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ 
( ) 14100300200100 222 =+−+=E
µµ 61410020 ⋅⋅−=dW 
JdW 810489988.4 −⋅−= 
nJdW ⋅−= 89988.44 
 
(e) Direção: zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−= : 
zyxL aaa
G
G ˆ
29
4ˆ
29
3ˆ
29
2
+−==â 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
( )mVaaa zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρE 
zyxL aaa ˆ29
4ˆ
29
3ˆ
29
2
+−=â 
φρ φφ asenax ˆˆcos −â = 
φρ φφ aaseny ˆcosˆ +â = 
yx asena ˆˆcosâ φφρ += 
yx aasen ˆcosˆâ φφφ +−= 
 
643.0;766.0cos400 ==⇔= φφ senφ
â
 
 
yx aa ˆ643.0ˆ766.0 φρ += 
yx aa ˆ766.0ˆ643.0 +â −=φ 
 Substituindo em: 
( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ 
 
( )++= yx aaE ˆ643.0ˆ766.0100
( ) zyx aaa ˆ300ˆ766.0ˆ642.0200 ++−− 
( ) ++= xaE ˆ558.1286.76
( ) zy aa ˆ300ˆ2.1533.64 +− 
( )mVaaaE zyx ˆ300ˆ9.88ˆ158.205 +−=
zyxL aaaa ˆ29
4ˆ
29
3ˆ
29
2ˆ +−= 
 
E
29
4300
29
39.88
29
2158.205ˆ +−−=⋅ La
834.222523.49194.76ˆ ++=⋅ LaE 
5514.348ˆ =⋅ LaE 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 23 
 
 
 Potencial Elétrico 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
µµ 65514.34820 ⋅⋅−=dW 
nJdW 826,41−= 
 
 2. Seja: 
( )mVaaaE zyx ˆ500ˆ300ˆ400 +−= 
 nas vizinhanças do ponto P(6, 2, -3). Determine o 
trabalho incremental realizado no deslocamento e uma 
carga de 4 de uma distância de 1mm na direção 
especificada por: 
 
 (a) zyx aaa ˆˆˆ ++
 (b) zyx aaa ˆˆ3ˆ2 −+−
 3. Se mVaE ρˆ120= , determine a quantidade 
de trabalho incremental realizado no deslocamento de 
uma carga de 50 mC de uma distância de 2mm a partir 
de: 
 (a) P(1, 2, 3) em direção aQ(2, 1, 4); 
 (b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3); 
 
Solução: z 
 
 4 
 3 Q(2,1,4) 
 aL P(1,2,3) 
 
 1 2 
 1 f 
 2 y 
 x 
 
(a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4); 
 dLaEQdW Lˆ⋅−= 
 mVaE ρˆ120= 
 Em coordenadas cilíndricas: 
521 2222 =+=+= pp yxρ 
 yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ += 
 yx aaa ˆ5
2ˆ
5
1ˆ +=ρ 
mVaaE yxP ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= ˆ
5
1ˆ
5
1120 
→
→
=
PQ
PQaLˆ 
zyx aaaPQPQ ˆˆˆ +−=−=
→
 
31)1(1 222 =+−+=
→
PQ 
zyxL aaa ˆ3
1ˆ
3
1ˆ
3
1
+−=â 
15
120
15
240
15
120ˆ −=−=⋅ LaE 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
36 102
15
1201050 −− ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−=dW 
 
JdW µ098.3= 
 
 (b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3); 
→
→
=
QP
QP
Lâ 
zyx aaaQPQP ˆˆˆ −+−=−=
→
 
3)1()1()1( 222 =−+++−=
→
QP 
zyxL aaa ˆ3
1ˆ
3
1ˆ
3
1
−+−=â 
mVaE ρˆ120= 
 Em coordenadas cilíndricas: 
512 2222 =+=+= QQ yxρ 
 yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ += 
 yx aaa ˆ5
1ˆ
5
2ˆ +=ρ 
mVaa yxQ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= ˆ
5
1ˆ
5
2120E 
15
120
15
120
15
240ˆ −=+−=⋅ LQ aE 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
36 102
15
1201050 −− ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−=dW 
JdW µ098.3= 
 4. Determine a quantidade de energia 
necessária para deslocar uma carga de 6C da 
o igem até P(3, 1, -1) no campo r
( mVaayaxE zyx ˆ4ˆ3ˆ2 2 +−= ) ao longo do 
caminho reto x = -3z, y = x+2z. 
 
 
5. Calcule valor de ∫ ⋅
P
A
dG L para G xâ2= y , 
com A( l, -1 , 2) e P(2, 1, 2) usando o caminho: 
(a) segmentos retos de: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 24 
 
 
 Potencial Elétrico 
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
0
1
2
3
4
0
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
 A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2); 
(b) segmentos retos de A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P 
(2, 1, 2). 
 
 
 
Solução: 
 
-1
-0.5
0
0.5
0
1
2
3(a) segmentos retos de: 
 A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A(1, -1, 2) 
 
 
 B(1,1,2) 
 
 
 
 P(2,1,2) 
 
 
 
 
 
xayG ˆ2= 
∫ ⋅
P
A
LdG 
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= 
dxydxydxyLdG
A
B
B
A
P
A
x
x
x
x
x
x
P
A
∫∫∫∫ +==⋅ 222 
⎩
⎨
⎧
=∴<<⇔→
=∴=⇔→
121
01
yxPB
dxxBA
 
22120 2
1
2
1
=⋅=⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdG
P
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) segmentos retos de: 
A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P (2, 1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A(1,-1,2) 
 
 
 C(2,-1,2) 
 
 
 P(2,1,-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xayG ˆ2= 
∫ ⋅
P
A
LdG 
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= 
dxydxydxyLdG
A
C
C
A
P
A
x
x
x
x
x
x
P
A
∫∫∫∫ +==⋅ 222 
⎩
⎨
⎧
=∴=⇔→
∴≤≤−=⇔→
02
21 ;1
dxxPC
xyCA
 
22)1(20 2
1
2
1
−=⋅−=−⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdG
P
A
 
 
6. Seja . zyx ayazaxG ˆ2ˆ2ˆ4 ++= . Dado um 
ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final Q(4, 3, .l), 
determine ∫ ⋅
P
A
LdG usando o caminho: 
(a) linha reta: y =x – 1, z = 1. 
(b) parábola 6y = x2 +2, z = 1. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 25 
 
 
 Potencial Elétrico 
7. Repita o problema 6 para yx azaxyG ˆ2ˆ3
2 += . 
 
Solução: 
 
 yx azaxyG ˆ2ˆ3
2 += 
 De: P(2, 1, 1) a Q(4, 3, .l) 
 
( ) (∫ ∫ ++⋅+=⋅
P
A C
zyxyx adzadyadxazaxyLdG ˆˆˆˆ2ˆ3
2
dyzdxxyLdG
c
P
A c
∫∫ ∫ +=⋅ 23 2
)
 
 
 (a) linha reta: y =x – 1, z = 1. 
 
⎩
⎨
⎧
≤≤≤≤
=⇔=−=
31;42
1;1
yx
dxdyzxy
C 
dyzdxxyLdG
P
A
∫∫∫ +=⋅
3
1
4
2
2 23 
dydxxxLdG
P
A
∫∫∫ ⋅+−=⋅
3
1
4
2
2 12)1(3 
∫∫∫ ++−=⋅
3
1
4
2
23 2)363( dydxxxxLdG
P
A
 
90)13(2
2
32
4
3 4
2
234 =−++−=⋅∫
=
=
P
A
x
x
xxxLdG 
 
(b) parábola 6y = x2 +2, z = 1. 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤≤≤
=⇔=
+
=
31;42
6
21;
6
22
yx
dxxdyzxyC 
dyzdxxyLdG
P
A
∫∫∫ +=⋅
3
1
4
2
2 23 
dydxxxLdG
P
A
∫∫∫ ⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=⋅
3
1
4
2
22
12
6
23 
∫∫∫ +++=⋅
3
1
4
2
35 2)44(
36
3 dydxxxxLdG
P
A
 
)13(22
6
1
12
1
4
2
246 −+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++=⋅
=
=
∫
x
x
P
A
xxxLdG
82478 =+=⋅∫
P
A
LdG 
 
8. Uma carga pontual Q1 está localizada na origem no 
espaço livre. Determine o trabalho realizado no 
deslocamento de Q2 de: 
(a) B(rB, θB, fB) até C(rA, θB, fB),com θ e f 
mantidos constantes; 
(b) C(rA, θB, fB) até D(rA, θA, fB) com r e f 
mantidos constantes; 
(c) D(rA, θA, fB) até A(rA, θ.A, fA) com r e θ 
mantidos constantes. 
 
9. Uma densidade superficial de carga uniforme de 
20 nC/m2 está presente na superfície da esfera r =0,6 
em no espaço livre. 
(a) Determine o potencial absoluto em P(r = l cm, 
θ = 250, f = 500); 
(b) Determine VAB, dados os pontos A(r = 2 cm, θ 
= 300, f = 600) e B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900). 
 
Solução: 
 
(a) P(r = l cm, θ = 250, f = 500) 
 
r
R
r
A
r
QV ss
0
2
00 4
4
44 πε
πρ
πε
ρ
πε
=== 
2
0
23
2
104
)106(420)10( −
−
− ⋅==
πε
πnrV 
VrV 14.8)10( 2 == − 
 
(b) VAB, A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) 
B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900). 
 
BAAB VVV −= 
0715.4
4
4
44 0
2
00
====
A
s
A
s
A
A r
R
r
A
r
QV
πε
πρ
πε
ρ
πε
V 
7143.2
4
4
44 0
2
00
====
B
s
B
s
B
B r
R
r
A
r
QV
πε
πρ
πε
ρ
πε
V 
7143.20715.4 −=ABV 
VVAB 3572.1= 
 
10. Dada uma densidade superficial de carga de rS 
de 8nC/m2 no plano .x = 2, uma densidade linear de 
carga de 30nC/m na linha x = l. y = 2 e uma carga 
pontual de lµC e,m P(-l, -1, 2), determine VAB para os 
pontos A(3, 4, 0) e B(4, 0, 1). 
 
11. Seja uma densidade superficial de carga 
uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma 
densidade linear de carga de 8 nC/m localizada em .x = 
0, z = 4 e uma carga pontual de 2mC presente em P'(2, 
0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5) determine V em N(l, 2, 3). 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 26 
 
 
∫ ⋅−=−=
A
B
BAAB LdEVVV
 Potencial Elétrico 
E
Solução: Solução: 
 
 z z 
 
 M(0,0,5) M(0,0,5) 
 (V = 0) 5 (V = 0) 5 
 
 
 rL = 8nC/m 4 Q(0,y,4) r
 
 
 3 3 
 θ θ 
 N(1,2,3) 
 
 
 2 2 
 
 1 y 1 y 
 2 (2,0,0) Q = 2µC 2 (2,0,0) Q
 rS = 5nC/m2 r
 
 P(x,y,z) P(x,y,z) 
 
 EL
 
 
 
 x x 
 
 Diferença de Potencial entre A e B Diferença de Potencial entre A e B 
∫ ⋅−=−=
A
B
BAAB LdEVVV
L = 8nC/m 4 Q(0,y,4) 
 N(1,2,3) 
 = 2µC 
S = 5nC/m2 
 EL
 
• Potencial devido à distribuição de carga linear de 
densidade linear de carga de rL = 8 nC/m: 
 
Campo devido ao fio em N: 
ρπε
ρ ρaE L
ˆ
2 0
= 
 Observando a figura, temos: 
222 )4()()0( −+−+−= zyyxρ 
→→
→
−
==
QP
QP
QP
QPa ρˆ 
( )
( )
( ) zx
a
zx
za
zx
xa ˆ
4
4ˆ
4
ˆ2222 −+
−
+
−+
=ρ 
 
ρπε
ρ ρaE LN
ˆ
2 0
= 
( )
( )( )zxN azax
zx
nE ˆ4ˆ
4
1
2
8
2
220
−+
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+
=
πε
 
( )
( )( )zxP azax
zx
n ˆ4ˆ
4
1
2
8
22
0
−+
−+
=
πε
 
 
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= 
∫ ⋅−=−=
N
M
NMNNM LdEVVV 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
+
−+
=⋅ dz
zx
zdx
zx
xnLdEP 2222
0 4
4
42
8
πε
 
( )∫ −+−=−=
N
M
MNNM dxzx
xnVVV 22
0 42
8
πε
 
( )∫ −+
−N
M
dz
zx
zn
22
0 4
4
2
8
πε
− 
 
( )[ ] )3,2,1(( )5,0,0(22
0
4ln
2
1
2
8
−+−=−= zxnVVV MNNM πε
 
( )[ ] )3,2,1( )5,0,0(22
0
4ln
2
1
2
8
−+ zxn
πε
− 
( )[ ] )3,2,1(( )5,0,0(22
0
4ln2
2
1
2
8
−+−=−= zxnVVV MNNM πε
 
( )[ ]( 22
0
431ln
2
8
−+−=−=
πε
nVV MNNMV 
( )[ ])22 450ln −+− 
( )2ln
2
8
0πε
nVVV MNNM −=−= 
813.99−=−= MNNM VVV V 
813.990 −=−= NNM VV
V
 
813.99−=N 
 
• Potencial devido à distribuição de carga de 
densidade superficial de carga uniforme de rS = 5 
nC/m2 
 
∫ ⋅−=−=
N
M
NMNNM LdEVVV 
z
S
S aE N ˆ2 0ε
ρ
= 
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= 
∫ ⋅−=−=
N
M
S
MNNM dzVVV
02ε
ρ
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 27 
 
 
 Potencial Elétrico 
∫ ⋅−=−=
3
5 02
dzVVV SMNNM ε
ρ
 
71,564
2 0
3
5
0
==−=−=
ε
ρ
ε
ρ sS
MNNM zVVV V 
• Potencial devido à carga pontual de Q = 2mC: 
∫ ⋅−=−=
N
M
NMNNM LdEVVV Q 
∫−=−=
N
M
MNNM r
drQVVV 2
04πε
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=−=
N
M
r
r
MNNM r
QVVV 1
4 0πε
 
29502 222 =++=Mr 
( ) ( ) ( ) 14302012 222 =−+−+−=Nr
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
−−−=−=
29
1
14
1
4 0πε
QVVV MNNM
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−=
29
1
14
1
4 0πε
QVVV MNNM
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−=
29
1
14
1
4
2
0πε
µ
MNNM VVV
[ ]185695.026726.0
4
2
0
−=−=
πε
µ
MNNM VVV
VVVV MNNM 1639.1468=−= 
QSL NNNN
VVVV ++=
ρρ
 
1639.146871.564813.99 ++−=NV 
061.1933=NV ñ kVVN 933,1=
 
12. Três cargas pontuais de 0.4pC cada estão 
localizadas em (0, 0,- l), (0, 0, 0) e (0,.0,.l) no espaço livre. 
(a) Encontre uma expressão para o potencial absoluto 
como uma função de z ao longo da linha. x = 0, y = 1. 
(b) Esboce V(z). 
. 
13. Três cargas pontuais idênticas de 4 pC cada estão 
localizadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de 0,5 
mm de lado no espaço livre. Quanto trabalho deve ser 
realizado para deslocar uma carga para um ponto 
eqüidistante das outras duas e sobre a linha que as une? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 y B 4pC 
 
 
 rB 
 0.5mm 
 
 
 
 x 
 
 4pC rA A 4pC 
 
∫ ⋅−=−=
A
B
BAAB LdEVVV 
∫−=−=
A
B
BAAB drr
QVV
Q 2
0
1
41 πε
V 
A
B
r
r
BAAB r
QVV ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=−=
0
1
4πε
V 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−=
BA
BAAB rr
Q
VV
Q
11
4 0
1
1 πε
V 
 
 rA = 2.5 mm; rB = 5.0 mm 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
=−= −− 44
0 105
1
105.2
1
4
4
1 πε
pVVV BAABQ
04
8000
1 πε
pVVV BAABQ =−= 
 Cálculo da energia entre as cargas Q1 e Q2: 
 
2
0
2 4
8000
121
QpVQ
QABQQ πε
==W 
ppVQ
QABQQ
4
4
8000
0
2 121 πε
==W
W
W
W
 
JVQ
QABQQ
15
2 10288000121
−⋅== 
JVQ
QABQQ
12
2 10288121
−⋅== 
 Analogamente: 
pJVQ
QABQQ
288
323 2
== 
 Energia total: 
 
JVQWWW
QABQQQQT
12
2 10288232321
−⋅⋅==+=
pJWWW QQQQT 5762321 =+= 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 28 
 
 
 Potencial Elétrico 
14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em 
(1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre. 
14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em 
(1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre. 
(a) Determine V em P(0, 0, z). (a) Determine V em P(0, 0, z). 
(b) Determine Vmax. (b) Determine V
(c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (c) Calcule |dV/dz| no eixo z. 
(d/) Determine |dVIdz|max. (d/) Determine |dVIdz|
 
15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada 
estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço 
livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em 
P(4, 1,3). 
15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada 
estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço 
livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em 
P(4, 1,3). 
 
Solução: Solução: 
 
 z z 
 3 F2(-1,2,z) 3 F
 
 
 2 -1 rL2 = 8nC/m 2 -1 r
 
 F1(1,y,2) rL1 = 8nC/m F
 
 1 2 1 2 
 1 P(4,1,3) y 1 P(4,1,3) y 
 
 
 
 4 4 
 
 x x 
 
 Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Cálculo do campo devido ao Fio (1) : 
 Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto 
qualquer sobre o Fio (1) é F1(1,y,2). Então: 
 Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto 
qualquer sobre o Fio (1) é F
 
max. 
max. 
2(-1,2,z) 
L2 = 8nC/m 
1(1,y,2) rL1 = 8nC/m 
1(1,y,2). Então: 
ρπε
ρ ρaE L
ˆ
2 0
= 
222
1 )2()()1( −+−+−==
→
zyyxPF ρ 
→→
→
−
==
PF
FP
PF
PFa
1
1
1
1ˆ ρ 
( ) ( ) ( ) ( )
zx a
zx
za
zx
xa ˆ
21
2ˆ
21
1ˆ
2222 −+−
−
+
−+−
−
=ρ 
 
( ) ( )
( ) ( )( )zxF azax
zx
nE ˆ2ˆ1
21
1
2
8
2
220
1
−+−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+−
=
πε
( ) ( )
( ) ( )( )zxF azax
zx
nE ˆ2ˆ1
21
1
2
8
22
0
1
−+−
−+−
=
πε
 
 
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= 
∫ ⋅−=−=
P
O
FOPPO LdEVVV 1 
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−
−
+
−+−
−
=⋅ dz
zx
zdx
zx
xnLdEF 2222
0 21
2
41
1
2
8
1 πε
 
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−
−
+
−+−
−−
= ∫∫ dzzx
zdx
zx
xnV
P
O
P
O
PO 2222
0 21
2
21
1
2
8
πε
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )POPOPO zxzxnV 22212221
0
21ln21ln
2
8
−+−+−+−
−
=
πε
 
( ) ( )[ ]( ))3,1,4( )0,0,0(22
0
21ln
2
8
−+−
−
= zxnPO πε
V 
( ) ( )[ ] [ ]( )2222
0
)20()10(ln2314ln
2
8
−+−−−+−
−
=
πε
nVPO 
[ ] [ ]( )5ln10ln
2
8
0
−
−
=
πε
n
POV 
5
10ln
2
8
0πε
n
PO
−
=V 
2ln
2
8
0πε
n
PO
−
=V 
2ln
2
8
0πε
nVOP
−
=−V 
2ln
2
8
0πε
nVOP
−
+=V 
813.99100 −=PV 
( ) VV FP 187.01 = 
 
 Cálculo do campo devido ao Fio (2) : 
 Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto 
qualquer sobre o Fio (2) é F2(-1,2,z). Então: 
 
ρπε
ρ ρaL ˆ
2 0
=E 
222
2 )()2()1( zzyxPF −+−++==
→
ρ 
→→
→
−
==
PF
FP
PF
PF
2
2
2
2
ρâ 
( ) ( ) ( ) ( )
yx a
yx
ya
yx
xa ˆ
21
2ˆ
21
1ˆ
2222 −++
−
+
−++
+
=ρ
 
 
( ) ( )
( ) ( )( )yxF ayax
yx
n ˆ2ˆ1
21
1
2
8
2
220
1
−++
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −++
=
πε
E
( ) ( )
( ) ( )( )yxF ayaxyx
n ˆ2ˆ1
21
1
2
8
22
0
2
−++
−++
=
πε
E 
 
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= 
∫ ⋅−=−=
P
O
FOPPO LdEVVV 1 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 29 
 
 
 Potencial Elétrico 
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−
+
−++
+
=⋅ dy
yx
ydx
yx
xnLdEF 2222
0 21
2
21
1
2
8
1 πε
 
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−
+
−++
+−
= ∫∫ dyyx
ydx
yx
xnV
P
O
P
O
PO 2222
0 21
2
21
1
2
8
πε
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[( )POPOPO yxyxnV 22212221
0
21ln21ln
2
8
−+++−++
−
=
πε
] 
( ) ( )[ ]( ))3,1,4( )0,0,0(22
0
21ln
2
8
−++
−
= yxnVPO πε
 
( ) ( )[ ] [( ]22 )0()10(ln214ln
2
8
−++−++
−
=
πε
nV )22
0
21−PO 
[ ] [ ]( )5ln26ln
2
8
0
−
−
=
πε
nVPO 
5
26ln
2
8
0πε
nVPO = 
5
26ln
2
8
0πε
nVV OP
−
=− 
5
26ln
2
8
0πε
nVV OP
−
+= 
4068.237100−=PV 
( ) VV FP 4068.1372 −= 
( ) ( ) 4068.137187.0
21
−=+= FPFPP VVV 
( ) ( ) VVVV FPFPP 2198.13721 −=+= 
 
16. Distribuições superficiais de carga uniformes de 6, 
4 e 2 nC/m2 estão presentes em r = 2,4 e 6 cm, 
respectivamente, no espaço livre. 
(a) Considere V = 0 noinfinito e determine V(r). 
(b) Calcule Vem r = l, 3, 5 e 7 cm. 
(c) Esboce V versus r para l < r < 10 cm. 
 
17. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 
2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, respectivamente, 
no espaço livre. Considere V = 0 em r = 4 cm e calcule V 
em r = 
(a) 5 cm; 
(b) 7 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Calculo do campo elétrico Devido às densidades 
superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/ m2 estão 
presentes em r = 2 e 6 cm, utilizando a Lei de Gauss e 
utilizando uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio 
r. 
 
 r 
 z 2 6 
 rS =2nC/m2 rS =6nC/m2
 
 
 
 
 
 
 
 ρâ
 dS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em coordenadas cilíndricas, o elemento de 
área lateral da superfície cilíndrica é dado por: 
ρφρ adzdSd ˆ= 
Aplicando a Lei de Gauss: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
<<
<
=⋅∫∫
06.0 se 
06.020.0 se 
02.0 se 0
0
21
0
1
ρ
ε
ρ
ε
ρ
QQ
Q
SdE
S
 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
<<
<
=∫ ∫
−
06.0 se 
06.020.0 se 
02.0 se 0
0
21
0
1
2
0
21
1
2
2
ρ
ε
ρρ
ρ
ε
ρ
ρ
φρ
π
AA
A
dzdE
ss
s
L
L
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 30 
 
 
 Potencial Elétrico 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
<<
<
=
06.0 se 
22
06.020.0 se 
2
02.0 se 0
2
0
21
0
1
21
1
ρ
ε
πρρπρρ
ρ
ε
πρρ
ρ
πρ
LL
L
LE
ss
s
 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
<<
<
=
06.0 se 
06.020.0 se 
02.0 se 0
0
21
0
1
21
1
ρ
ρε
ρρρρ
ρ
ρε
ρρ
ρ
ss
sE 
 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
<<
<
=
06.0 se 06.0202.06
06.020.0 se 
02.06
02.0 se 0
0
0
1
ρ
ρε
ρ
ρε
ρ
nn
n
E 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<
<
=
06.0 se 118.27
06.020.0 se 559.13
02.0 se 0
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
E 
 Sendo zadzadadLd ˆˆˆ ++= φρ φρρ , 
calcularemos: 
(a) V (r = 5cm) 
∫ ⋅−=−
1
2
21
ρ
ρ
ρρ LdEVV 
∫−==−=
05.0
04.0
21
559.13)04.0()05.0( ρ
ρ
ρρ dVV
05.0
04.021
ln559.13)04.0()05.0( =
=
−==−= ρ
ρ
ρρρ VV 
4
5ln559.13)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ VV 
VVV 025.3)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ 
(b) 7 cm. 
 
)4()6(
)6()7()4()7(
21
2121
=−=
+=−===−=
ρρ
ρρρρ
VV
VVVV
 
 
 r 
 
 4 6 7 
 
∫∫ −+−==−=
6
4
7
6
21
559.13118.27)4()7( ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ ddVV
 
4
6
6
7
21 ln559.13ln118.27)4()7( −−==−= ρρ VV
VVV 676.9)4()7( 21 −==−= ρρ 
 
18. Uma densidade linear de carga não-uniforme, 
rL = 8/ (z2 + l) nC/m, está situada ao longo do eixo 
z. 
Determine o potencial em P(r = l, 0, 0) no espaço 
livre se V = O em r = ¶. 
 
19. Uma superfície anelar, l cm < r < 3 cm, z = 0 
possui uma densidade superficial de carga não-
uniforme 
rS = 5r nC/m2. Determine V em P(0, 0, 2cm) se V 
= 0 no infinito. 
 
Solução: 
 
 dE z 
 
 r P(0,0,2) 
 
 
 θ 
 
 
 
 
 3 r’ 
 1 zâ
 
 0 f y φâ
 r df 
 dA ρâ
 dQ’ 
 x 
 
 
 Em coordenadas cilíndricas: 
 ρφρ dddA = 
 O Campo será dado por: 
 
rr
rr
rr
dQrEd
′−
′−
′−
= 2
04
)(
πε
 
 
 Da figura, vemos: 
 ρρar ˆ=′ 
 zazr ˆ= 
ρρaazrr z ˆˆ −=′− 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 31 
 
 
 Potencial Elétrico 
22 ρ+=′− zrr 
ρφρρρ ddndAdQ s 5== 
ρφρ ddndQ 25= 
 
( ) ρφ
πε
ρ ddrr
rr
nrEd ′−
′−
= 3
0
2
4
5)( 
( )
( ) ρφρ
ρπε
ρ
ρ ddaaz
z
nrEd z ˆˆ
4
5)( 2322
0
2
−
+
= 
 Note que antes de integrarmos, precisamos fazer a 
transformação para cartesianas, pois os vetores da base 
cilíndrica variam em cada ponto (exceto ). zâ
 Como em coordenadas cilíndricas: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φ
ρ
 
 Assim, substituindo: 
( )
[ ]( ) ρφφφρ
ρπε
ρ ddasenaaz
z
nrEd yxz ˆˆcosˆ
4
5)( 2322
0
2
+−
+
=
 As integrais nas componentes x e y darão zero. 
Mostre!!. 
 
 Assim: 
 
( ) zaddz
znrEd ˆ
4
5)( 2322
0
2
ρφ
ρπε
ρ
+
= 
 
( ) zaddz
znrE ˆ
4
5)(
3
1
2
0
2322
0
2
ρφ
ρπε
ρπ
∫ ∫ +
= 
( ) z
a
z
zdnrE ˆ
4
10)(
3
1
2322
2
0
∫
+
=
ρ
ρρ
πε
π
 
 
 Fazendo: θρρθ ztg
z
tg =⇒= 
θρ 2seczd = 
( ) θθρ 222222 sec1 ztgzz =+=+ 
 
( )
( ) z
ad
z
zzztgnrE ˆ
sec
sec
4
10)(
3
1
2322
22
0
θ
θ
θθ
πε
π
∫
⋅
= 
zad
tg
z
znrE ˆ
sec
sec
4
10)(
3
1
3
22
3
4
0
θ
θ
θθ
πε
π
∫= 
zad
tgznrE ˆ
sec4
10)(
3
1
2
0
θ
θ
θ
πε
π
∫= 
zad
senznrE ˆ
cos4
10)(
3
1
2
0
θ
θ
θ
πε
π
∫= 
zadz
nrE ˆ
cos
)cos1(
4
10)(
3
1
2
0
θ
θ
θ
πε
π
∫
−
= 
( ) zadz
nrE ˆcossec
4
10)(
3
10
θθθ
πε
π
∫ −= 
( ) zasentgznrE ˆsecln4
10)( 2
1
0
θ
θ
θθθ
πε
π
−+=
 
 Como: 
( ) zasentgznrE ˆsecln4
10)( 2
1
0
θ
θ
θθθ
πε
π
−+=
 
Voltando: 
θρρθ ztg
z
tg =⇒= 
z
z 22
sec
+
=
ρ
θ 
22 z
sen
+
=
ρ
ρθ 
za
zzz
z
znrE ˆln
4
10)(
2
1
22
22
0
ρ
ρ
ρ
ρρρ
πε
π
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
+
=
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
2
2
0 9
339ln
4
10
zzz
zznE
πε
π
 
za
zzz
z ˆ
1
111ln
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
− 
zz
zz
zz
zznE 11ln39ln
4
10 22
0
+
+
−
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
πε
π
 
za
z
z
z
z ˆ
19
3
22 ⎟
⎟
⎠
⎞
+
+
+
− 
 
 
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
=
11
39ln
4
10
2
2
0 z
zzn
πε
πE 
za
z
z
z
z ˆ
19
3
22 ⎟
⎟
⎠
⎞
+
+
+
−
d
 
Calculando o potencial, teremos: 
 
zadzadadL ˆˆˆ ++= φρ φρρ 
( ) ∫
∞
∞ ⋅−=−=
2
2 LdEVcmzV 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 32 
 
 
 Potencial Elétrico 
dz
zz
zzdz
zz
zznV ∫∫
∞∞
+
+
−
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
=
2 22 2
0
11ln39ln
4
10)2(
πε
π 
⎟⎟
⎠
⎞
+
+
+
− ∫∫
∞∞
2
22 19
3 dz
z
zdz
z
zz
 
2
222
0
93log
22
93
4
10)2(
∞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++
+
+−
=
z
zzznV
πε
π 
2
222
0
11log
22
1
4
10
∞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++
+
+
+
z
zzzn
πε
π 
 
( )22
0
93
4
10
∞++ z
n
πε
π ( )22
0
1
4
10
∞+− z
n
πε
π 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++
+
+−
=
2
293log
2
2
2
293
4
10)2(
222
0πε
πnV 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++
+
+
+
2
211log
2
2
2
21
4
10 222
0πε
πn 
 
( )2
0
293
4
10
++
πε
πn ( )2
0
21
4
10
+−
πε
πn 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
+
−
=
2
133log2
2
133
4
10)2(
0πε
πnV 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
++
2
51log2
2
5
4
10
0πε
πn ( )133
4
10
0πε
πn
+ 
( )5
4
10
0πε
πn
− 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
++−
−−
=
51
133log25133
2
5133
4
10)2(
0πε
πnV
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−−
=
51
133log2
2
1335
4
10)2(
0πε
πnV 
5.809)2( =V 
 Como calculamos tudo em cm para E e para V, 
observe que devemos multiplicar por um fator 10-2 (para 
obter E em N/C) e10-2 para obter V em volt, ou seja, 10-4. 
Assim: 
 
VV 08095.0)2( = 
 
20. A Fig. 4.11 mostra três distribuições de cargas no 
plano z = 0 no espaço livre, 
(a) Determine a carga total para cada distribuição, 
(b) Determine o potencial em P(0, 0, 6) causado por 
cada uma destas três cargas individualmente. 
(c) Determine VP. 
 
 Fig. 4.11 Veja Problema 4.20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. Seja V = 2xy2z3+3ln(x2 + 2y2+3z2) V no espaço 
livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em 
P(3, 2, -1): 
(a) V; 
(b) |V |; 
(c) E; 
(d) |E|; 
(e) aN; 
(f) D. 
 
 Solução: 
 
(a) V; 
 
( )22232 32ln32),,( zyxzxyzyx +++=V 
( )22232 )1(3223ln3)1(232)1,2,3( −⋅+⋅++−⋅⋅⋅=−V
( )18ln324)1,2,3( +−=−V 
V32.15)1,2,3( −=V − 
(b) |V |; 
VV 32.15)1,2,3( =− 
 
(c) E; 
 
VE ∇−= 
zyx az
Va
y
Va
x
VEˆˆˆ
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−= 
222
32
32
62
zyx
xzy
x
V
++
+=
∂
∂
 
222
3
32
124
zyx
yxyz
y
V
++
+=
∂
∂
 
222
22
32
186
zyx
zzxy
z
V
++
+=
∂
∂
 
 
222
32
)1,2,3( )1(3)2(23
)3(6)1(22
−++
+−⋅=
∂
∂
−x
V
 
4.7
20
148
20
188
)1,2,3(
−=
−
=+−=
∂
∂
−x
V
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 33 
 
 
 Potencial Elétrico 
222
3
)1,2,3( )1(3)2(23
)2(12)1)(2)(3(4 3(
−++
+−=
∂
∂
−y
V
8.22
20
456
20
2424
)1,2,3(
−=−=+−=
∂
∂
−y
V
 
222
22
)1,2,3( )1(3)2(23
)1(18)1()2)(3(6
−++
−
+−=
∂
∂
−z
V
1.71
20
1422
20
1872
)1,2,3(
==−=
∂
∂
−z
V
 
zyx az
Va
y
Va
x
VE ˆˆˆ
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−= 
( ) ( ) ( ) zyx aaaE ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.7 −−−−−= 
zyx aaaE ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.7 −+= 
(d) |E|; 
C
NE 03.751.718.224.7 222 =++= 
(e) aN; 
zyxN aaa
E
Ea ˆ
03.75
1.71ˆ
03.75
8.22ˆ
03.75
4.7ˆ −+==
zyxN aaa
E
Ea ˆ948.0ˆ304.0ˆ098.0ˆ −+== 
(f) D. 
 
( )zyx aaaED ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.700 −+== εε 
( )2ˆ235.629ˆ78.201ˆ49.65 mpCaaaD zyx −+= 
 
22. Seja o potencial V = 80r0.6 V. Considerando as 
condições do espaço livre, determine: 
(a) E; 
(b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m; 
(c) a carga total contida dentro da superfície p = 0,6. 
 
23. Seja o potencial V = 80r0.6 V. Considerando as 
condições do espaço livre, determine: 
 
(a) E; 
(b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m; 
(c) a carga total contida dentro da superfície fechada: 
r = 0,6; 0 < z < l. 
 
Solução: 
(a) E; 
VE ∇−= 
 Em coordenadas esféricas: 
φθ φθθ
aV
rsen
aV
r
a
r
VV r ˆ
1ˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
 
 Como há só dependência em r com o potencial: 
 
0=
∂
∂
=
∂
∂
φθ
VV
 
6.080r=V 
4.0
16.0 486.080
r
r
r
V
=⋅=
∂
∂ − 
rar
V ˆ484.0−=∇−=E 
(b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 
m; 
• Em coordenadas esféricas: 
Dv ⋅∇=ρ 
4.0
00 48
−−== rED εε 
( ) ( )
φθ
θ
θθ
φ
θ ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
D
rsen
senD
rsen
Dr
rr
D r
111 2
2
 
 
[ ]( )4.0022 481 −−∂
∂
=⋅∇ rr
rr
D ε 
( )6.1
20
148 r
rr
D
∂
∂
−=⋅∇ ε 
16.1
20 6.1
148 −−=⋅∇ r
r
D ε 
26.0
08.76
−−=⋅∇ rD ε 
4.1
08.76
−−=⋅∇ rD ε 
4.1
0 5.08.76)5.0(
−⋅−== ερ rv 
pCrv 1794)5.0( −==ρ 
• Em coordenadas cilíndricas: 
 
Dv ⋅∇=ρ 
( ) ( )
z
D
DDD z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇ φρ φρ
ρ
ρρ
11 
4.0
00 48
−−== ρεε ED 
[ ]( )4.00481 −−∂
∂
=⋅∇ ρερ
ρρ
D 
( )6.00 148 ρρρε ∂
∂
−=⋅∇ D 
16.0
0 6.0
148 −−=⋅∇ ρ
ρ
εD 
ρ
ρε
4.0
08.28
−
−=⋅∇ D 
4.1
08.28
−−=⋅∇ ρεD 
4.1
0 5.08.28)5.0(
−⋅−== ερρv 
373.672)5.0( mpCv −==ρρ 
 
(c) a carga total contida dentro da superfície 
fechada: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 34 
 
 
 Potencial Elétrico 
r = 0,6; 0 < z < l, pela Lei de Gauss: 
 
dzdpSdDQ
S
i φρρ
π
∫ ∫∫∫ −−=⋅=
2
0
1
0
4.08,424 
dzdpQi φρρ
π
∫ ∫−=
2
0
1
0
6.08,424 
∫∫−=
1
0
2
0
6.08.424 dzdpQi
π
φρ 
( ) 126.08.4246.0 6.0 ⋅⋅−== πρ pQ 
( ) 126.08.4246.0 6.0 ⋅⋅−== πρ pQ 
( ) pCQ 51.19646.0 −==ρ 
( ) CQ 964.16.0 −==ρ 
24. Dado o campo potencial V = 80rcosθ e o ponto 
P{r= 2,5, θ = 30°, f = 60°) no espaço livre, determine em 
P: 
(a) V; 
(b) E; 
(c) D; 
(d) rv; 
(e) dVIdN; 
(f) aN. 
 
25. Dentro do cilindro r = 2,0 < z < l, o potencial é 
dado por V = 100 + 50r + 150r senf V. 
(a) Determine V, E, D e rv, em P(l, 60°, 0.5) no espaço 
livre, 
(b) Quanta carga está contida no cilindro? 
 
 Solução: 
(a) V(l, 60° 0.5) = 100+50.1+150.1sen60, 0 = 279.90V 
E: VE ∇−= 
Em coordenadas cilíndricas: 
zaz
VaVaVV ˆˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ φρ φρρ
 
( )
+
∂
++∂
=∇ ρρ
φρρ asenV ˆ15050100 
( )
φφ
φρρ
ρ
asen ˆ150501001
∂
++∂
+ 
( )
zaz
sen ˆ15050100
∂
++∂
+
φρρ 
( ) ρφ asenV ˆ15050 +=∇ φφρρ âcos150
1
+ zâ0+ 
( ) ( ) ρasenV ˆ60150505.0,60,1 00 +=∇ φâ60cos150 0+ 
( ) ρaV ˆ90.1795.0,60,1 0 =∇ φâ75+ 
φρ aaEVE ˆ75ˆ90.179 −−=⇒∇−= 
D 
( 20 ˆ75.663ˆ12.1592 mpCaaED φρε −−== ) 
Ou 
( )20 ˆ64.6ˆ59.1 mnCaaED φρε −−== 
rv, em P(l, 60°, 0.5) no espaço livre: 
 
Dv ⋅∇=ρ 
( ) φρ φεφε aasenD ˆcos150ˆ15050 00 −+−= 
( ) ( )
z
DDDD zv ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇= φρ φρ
ρ
ρρ
ρ 11 
( )++
∂
∂
−=⋅∇= )15050(10 φρρρ
ερ senDv 
( )φ
φρ
ε cos15010 ∂
∂
− 
ρ
φε
ρ
φερ sensenv
15015050
00 +
+
−= 
ρ
ερ 500−=v 
3
0
0 442
1
50)5.0,60,1( mpCv −=−= ερ 
(b) Quanta carga está contida no cilindro? 
 
∫∫ ⋅=
S
i SdDQ 
( ) φρ φεφε aasenD ˆcos150ˆ15050 00 −+−= 
ρφρ adzdSd ˆ= 
( ) dzdsenSdD
S
i φρφε
π
∫ ∫∫∫ +−=⋅=
2
0
1
0
0 15050Q 
( ) dzdseni φφρε
π
∫ ∫ +−=
2
0
1
0
0 15050Q 
( ) ∫∫ +−=
1
0
2
0
0 15050 dzdsenQi φφρε
π
 
( ) 1cos15050 200 ⋅−−= == πφφφφρεiQ 
( )( )0cos1500502cos1502500 −⋅−−⋅−= ππρεiQ
( )( )15001501000 −−−−= πρεiQ 
πρε 1000 ⋅−=iQ
Q
Q
 
π10011085.8 12 ⋅⋅⋅−= −i 
nCi 78.2−= 
26. Um dipolo com Qd/4πe0 = 100 Vm2 está 
localizado na origem no espaço livre e alinhado de tal 
forma que seu momento está na direção az. 
(a) Esboce |V(r = l, θ, f = 0 ) versus θ em um 
gráfico polar, 
(b) Esboce |E r = l, θ, f = 0) | versus θ em um 
gráfico polar. 
 
27. Duas cargas pontuais, l nC em (0; 0; 0.l) e -l 
nC em (0; 0; -0,1), estão no espaço livre, 
(a) Calcule V em P(0,3; 0; 0,4). 
(b) Calcule E em P. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 35 
 
 
 Potencial Elétrico 
(c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na 
origem e determine V em P. 
 
Solução: 
rr
rrp
rr
V
′−
′−
⋅
′−
= 2
04
1
πε
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 θ P 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
 r : localiza o ponto P. 
 r ′ : localiza o centro do dipolo. 
 
(a) V em P(0,3; 0; 0,4). 
 
 Vemos que: zx aar ˆ4.0ˆ3.0 += 
 zyx aaar ˆ0ˆ0ˆ0 ++=′ 
 zx aarr ˆ4.0ˆ3.0 +=′− 
 5.04.03.0 22 =+=′− rr 
 Momento de dipolo: 
 dQp = 
 zad ˆ2.0= 
 zanp ˆ2.0= 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⋅= zxz aaanV ˆ5.0
4.0ˆ
5.0
3.0ˆ2.0
5.04
1
2
0πε
 
nV 08.0
125.04
1
0πε
= 
VV 76.5= 
 
 (b) Calculo de E em P. 
 
 ( )θθθπε asenar
QdE r ˆˆcos24 30
+= 
 
 
5
4
5.0
4.0cos ===
r
zθ 
 
 
5
3
5.0
03.0 2222
=
+
=
+
==
r
yx
r
sen ρθ 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
= θπε
aan r ˆ5
3ˆ
5
42
5.04
2.01
3
0
E 
( )θπε aa
n
r ˆ3ˆ8625.04
2.0
0
+=E 
22
0
38
625.04
2.0
+=
πε
nE 
73
625.04
2.0
0πε
nE = 
73
625.04
2.0
0πε
nE = 
mVE 25= 
 
28. Um dipolo localizado na origem no espaço 
livre possui um momento p = 2.10-9az;Cm. Em que 
pontos da linha y = z, x = O temos: 
(a) |E| = l mV/m? 
(b) |E| = l mV/m? 
 
29. Um dipolo de momento p = 3ax- 5ay + 10az 
nC.m está localizado em Q(1,2,-4) no espaço livre. 
Determine V em P(2, 3, 4). 
 
 Solução: 
 
rr
rrp
rr
V
′−
′−
⋅
′−
= 2
04
1
πε
 
(a) V em P(2, 3, 4). 
 
 Vemos que: r zyx aaa ˆ4ˆ3ˆ2 ++= 
 zyx aaar ˆ4ˆ2ˆ1 −+=′ 
 zyx aaarr ˆ8ˆˆ ++=′− 
 66811 222 =++=′− rr 
 Momento de dipolo: 
 zyx aaap ˆ10ˆ5ˆ3 +−= 
 
 zyx aaap ˆ10ˆ5ˆ3 +−= (nC.m) 
( ) ( )
66
ˆ8ˆˆ
ˆ10ˆ5ˆ3
664
1
2
0
zyx
zyx
aaa
aaanV
++
⋅+−=
πε
 
( )8101513
664
1
3
0
⋅+⋅−⋅=
πε
nV 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 36 
 
 
 Potencial Elétrico 
78
664
1
3
0πε
nV = 
VV 309.1= 
 
30. Um dipolo de momento p = 2az. nC.m está 
localizado na origem no espaço livre. Calcule a magnitude 
de E e sua direção âE em componentes cartesianas em r = 
100 m, f = 90° e θ =: 
(a) 0°; 
(b) 30°; 
(c) 90°. 
 
31. Um campo potencial no espaço livre é expresso por 
V = 20/(xyz) V. 
(a) Determine a energia total armazenada dentro do 
cubo l < x, y, z. < 2. 
(b) Que valor seria obtido supondo-se uma densidade 
de energia uniforme igual ao valor no centro do cubo? 
 
Solução: 
 
(a) Cálculo da energia total armazenada dentro do 
cubo l < x, y, z. < 2. 
dVEW
V
E ∫∫∫= 202
ε
 
VE ∇−= 
xyz
V 20= 
zyx az
Va
y
Va
x
VE ˆˆˆ
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−= 
zyx axyz
a
zxy
a
yzx
E ˆ20ˆ20ˆ20 222 ++= 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= zyx az
a
y
a
xxyz
E ˆ1ˆ1ˆ120 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= 222222
2 111400
zyxzyx
E 
422242224
2 400400400
zyxzyxzyx
E ++= 
dxdydz
zyxzyxzyx
WE ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
2
1
2
1
2
1
422242224
0 400400400
2
ε
dxdydz
zyx
WE ∫ ∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
1
2
1
224
0 400
2
ε 
dxdydz
zyx
dxdydz
zyx ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
2
1
2
1
2
1
422
0
2
1
2
1
2
1
242
0 400
2
400
2
εε Fazendo
: 
dc
c
db
b
da
a
dadbdc
cba ∫∫∫∫ ∫ ∫ =
2
1
2
2
1
4
2
1
2
2
1
2
1
2
1
242
1111
 
2
1
3
2
1
2
1
2
1
242
1
3
111
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=∫ ∫ ∫ cbadadbdccba
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−=∫ ∫ ∫ 33
22
1
2
1
242 )1(3
1
)2(3
1
1
1
2
11 dadbdc
cba
2
1
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=∫ ∫ ∫ 3
1
24
1
2
11 22
1
2
1
2
1
242 dadbdccba
 
96
712
1
2
1
242 =∫ ∫ ∫ dadbdccba
2
1
 
 
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++=
96
7
296
7
296
7
2
400 000 εεεEW 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
192
21400 0εEW
W
 
pJE 1875.387= 
 
 
32. Na região do espaço livre onde 
2 < r < 3, 
0,4π < θ < 0,6π 
0,4 < f < π/2 
Seja rar
kE ˆ2= . 
(a) Determine um valor positivo para k de 
forma que a energia total armazenada seja 
exatamente l J. 
(b) Mostre que a superfície é uma superfície 
equipotencial. 
(c) Determine VAB dados os pontos 
A(r = 2, θ = π/2, f = π/3) e 
B(r = 3, θ = π/2, f = π/4) 
 
33. Uma esfera de cobre de raio 4 cm possui 
uma carga total de 4µC uniformemente distribuída 
pela sua superfície no espaço livre. 
(a) Use a lei de Gauss para determinar D 
externa à esfera. 
(b) Calcule a energia total armazenada no 
campo eletrostático. 
(c) Use 
C
Q
2
2
WE = para calcular a 
capacitância da esfera isolada. 
 
 Solução: 
 
(a) Lei de Gauss para determinar D externa à 
esfera. 
 
i
S
QSdD =⋅∫∫ 
2
2
4 r
QDQDr ii π
π =⇒=4 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 37 
 
 
 Potencial Elétrico 
r
i a
r
QD ˆ
4 2π
= 
22 )104(4
5)4( −⋅
==
π
µcmrD 
2410486.2 mCD −⋅= 
(b) Calcule a energia total armazenada no campo 
eletrostático. 
dVEW
V
E ∫∫∫= 202
ε
 
r
i a
r
QE ˆ
4 20πε
= 
( ) 420
22
4 r
QE i
πε
= 
( )
dV
r
QW
V
i
E ∫∫∫= 42
0
2
0
42 πε
ε
 
∫ ∫ ∫
∞
=
R
i
E drddsenrr
QW
π π
θφθ
επ 0
2
0
2
4
0
2
2 1
32
∫∫∫
∞
=
ππ
φθθ
επ
2
00
2
0
2
2 1
32
ddsendr
r
QW
R
i
E 
π
επ
41
32 0
2
2 ∞
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=
R
i
E r
QW 
R
QW iE
0
2
8πε
= 
( )
( ) JWE 8125.21048
105
2
0
26
=
⋅
⋅
= −
−
πε
 
(c) Cálculo da capacitância da esfera isolada: 
( )
8125.22
105
22
2622
⋅
⋅
==⇒=
−
E
E W
QC
C
QW 
pFC 444.4
625.5
1025 12
=
⋅
=
−
 
 
 34. Dado o campo potencial no espaço livre: V = 
80fV (coordenadas cilíndricas), determine: 
 (a) a energia armazenada na região: 
 2 < r < 4 cm 
0 < f < 0,2 π 
0 < z < 1 m. 
(b) a diferença de potencial VAB para 
A(r = 3 cm, f = 0, z = 0) 
B(r = 3 cm, f = 0,2 π, z = 1m) 
(c) o valor máximo de densidade de energia na 
região da esférica. 
 
35. Quatro cargas pontuais de 0,8 nC estão 
localizadas no vértice de um quadrado de 4 cm de lado. 
(a) Determine a energia potencial total 
armazenada. 
(b) Uma quinta carga de 0,8 nC é posicionada 
no centro do quadrado. Determine novamente a 
energia total armazenada. 
 
Solução: 
 
(a) Energia potencial total armazenada. 
 
∑
=
=
=
Nm
m
mmE VQ
1
2
1W 
( )[ ]141312121 VVVQWE ++= 
( )[ ]242321221 VVVQ +++ 
( )[ ]343231321 VVVQ +++ 
( )[ ]434241421 VVVQ +++ 
 
 r14
 (1) 4cm (4) 
 
 
 r12 r13 4 2 
 
 (2) (3) 
 
 
( ) Jn
r
QQ 72
0
2
2
1
120
2
12
1 1072.0
1044
8.0
4
−
− ⋅=⋅
=
πεπε
( ) Jn
r
QQ 72
0
2
2
1
130
3
12
1 10509.0
10244
8.0
4
−
−
⋅=
⋅
=
πεπε
 
( )77 10509.01072.024 −− ⋅+⋅⋅=EW
W
W
 
JE
710796.7 −⋅= 
JE µ7796.0= 
 
(b) Com a quinta carga de 0,8 nC posicionada 
no centro do quadrado. 
Energia total armazenada: 
 
( )[ ]15141312121 VVVVQWE +++= 
( )[ ]25242321221 VVVVQ ++++ 
( )[ ]35343231321 VVVVQ ++++ 
( )[ ]45434241421 VVVVQ ++++ 
( )[ ]54535251521 VVVVQ ++++ 
 
 
 4 2 
 4 cm 2 2 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 38 
 
 
 Potencial Elétrico 
( ) Jn
r
QQ 7
2
0
2
2
1
150
5
12
1 10018.1
10224
8.0
4
−
−
⋅=
⋅
=
πεπε
77 10018.1810796.7 −− ⋅⋅+⋅=EW 
JWE
71094.15 −⋅= 
JWE µ⋅= 594.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 39 
 
 
 Potencial Elétrico 
1a Prova (1°S 2005) 
Questão 1 – (3,0 Pontos) 
 
 Uma linha infinita de carga uniforme de densidade 
rL = +0,4 m.C/m está localizada no eixo z e é concêntrica a 
uma distribuição superficial de carga cilíndrica infinita de 
equação r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2. 
Considere e = e0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o 
espaço. 
 
(b) Assumindo que o potencial elétrico seja 0V em r = 
2m, encontre o potencial elétrico em r = 1 m e em r = 6m. 
 
 
Questão 2 – (2,0 Pontos) 
 
Considere a densidade volumétrica de carga 
20
0
r
e r
r
v
−
= ρρ existe em todo o espaço livre. Calcule a 
carga total presente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 – (3 0 Pontos) A densidade de fluxo 
elétrico é dada por 
,
D rar ˆ
2= C/m2 e é representada 
vetorialmente na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. 
(b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. 
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. 
(d) a carga que está contida na esfera de r = 4m? 
 
Questão 4 – (2,0 Pontos) 
A figura mostra a trajetória de um elétron num 
tubo de raios catódicos, no qual um elétron deve ser 
acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. 
(a) Para atingir esta velocidade, através de 
qual ddp ele deve passar? 
(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o 
campo elétrico entre as placas. 
 (c) Qual a densidade de carga superficial na 
placa? 
 
 
 
 
 y0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 40 
 
 
 Potencial Elétrico 
 
Questão 1 – (3,0 Pontos) 
 (a) 
rL = +0,4 m.C/m e 
 r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2. 
Considere e = e0. 
 
⎩
⎨
⎧
>+
<
=⋅⇒=⋅ ∫∫∫∫ 4 se 2
4 se 
ρπρρ
ρρ
LRL
L
SdDQSdD
sL
L
S
i
S
⎩
⎨
⎧
>+
<
=
4 se 2
4 se 
2
ρπρρ
ρρ
ρπρ LRL
L
LD
sL
L 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
+
<
=
4 se 
L2
2
4 se 
L2
ρ
ρπ
πρρ
ρ
ρπ
ρ
ρ LRL
L
D
sL
L
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
+
<
=
4 se ˆ
2
2
4 se ˆ
2
ρ
πρ
πρρ
ρ
πρ
ρ
ρ
ρ
a
R
a
D
sL
L
 
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
−
<
=
4 se mCˆ
2
8,024,0
4 se ˆ
2
4,0
2
2
ρµ
πρ
π
ρµ
πρ
ρ
ρ
aR
mCa
D 
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
−
<
=
4 se mCˆ2,32,0
4 se ˆ2,0
2
2
ρµ
πρ
π
ρµ
πρ
ρ
ρ
a
mCa
D 
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−
<
=
4 se mCˆ1363,3
4 se ˆ06366,0
2
2
ρµ
ρ
ρµ
ρ
ρ
ρ
a
mCa
D 
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−
<
=
4 se m
ˆ1363,3
4 se 
ˆ06366,0
0
0
ρ
ρε
ρ
ρε
ρ
ρ
V
a
mV
a
E 
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>⋅−
<
=
4 se mV
ˆ
1054,3
4 se 
ˆ
22,7193
5 ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
a
mV
a
E 
 (b) Potencial: 
∫ ⋅−=−=
A
B
BAAB LdEVVV 
 Em r = 1 m: 
∫ ⋅−=−= ====
2
1
121,2 LdEVVV ρρρρ 
∫−=−= ====
2
1
121,2
22,7193 ρ
ρρρρρ
dVVV 
2ln22,7193ln22,71930 2
111,2
−=−=−= === ρρρρ VV
 
96,49851 −=− =ρV 
V96,49851V ==ρ 
 Em r = 6 m: 
2446262,6 ======== −+−=−= ρρρρρρρρ VVVVVVV
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>⋅−
<
=
4 se mV
ˆ
1054,3
4 se 
ˆ
22,7193
5 ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
a
mV
a
E 
∫∫ ⋅−+⋅−===
4
2
6
4
2,6 ldEldEV ρρ 
∫∫ −⋅−−===
4
2
6
4
5
2,6 22,71931054,3 ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ddV 
∫∫ −⋅===4
2
6
4
5
2,6 22,71931054384,3 ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ddV 
2ln22,7193
4
6ln1054384,3 52,6 −⋅=== ρρV 
96,49854202,14369026 −=− == ρρ VV 
V4598,1387046V ==ρ 
 
Questão 2 – (2,0 Pontos) 
20
0
r
e r
r
v
−
= ρρ
V
v∫∫∫= ρe Q dv
φθθρ
ππ
ddrdsenr
r
erQ
r
r
2
2
0 0 0
20
2
0
∫ ∫ ∫
∞
−
= 
dredsend r
r
∫∫∫
∞ −
=
00
2
0
0
0
ππ
θθφρQ 
[ ]
∞→
=
−
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=
r
r
r
r
er
0
000
0cos2 πθθθπρQ
Q
 
[ ]000 022 rr +−= πρ 
( )Cr 004Q ρπ= 
Questão 3 – (3,0 Pontos) 
densidade de fluxo elétrico: rar ˆ
2=D C/m2 e é 
representada 
 
Determine: 
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. 
Dv ⋅∇=ρ 
( ) ( )
φθ
θ
θθ
φ
θ ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ D
rsen
senD
rsen
Dr
r r
111 2
2r
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 41 
 
 
 Potencial Elétrico 
Dv ⋅∇=ρ ( )42
1 r
rr ∂
∂
= 32 4
1 r
r
= 
Dv ⋅∇=ρ r4= ;
316 mCv =ρ 
(b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. 
raD ˆ4
2= C/m2 ñ raD ˆ16= C/m2
 
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. 
i
S
QSdD =⋅= ∫∫ψ 
rarD ˆ
2= 
4
0
2
0
22 4 rddrr πθφψ
π π
== ∫ ∫ 
Cππψ 102444 4 == 
(d) a carga que está contida na esfera de r = 4m? 
316 mCv =ρ 
CAQ v ππρ 10241644
2 === 
Dv ⋅∇=ρ r4= 
φθθ
ππ
ddrdsenrrQ 2
2
0 0
4
0
4∫ ∫ ∫= 
φθθ
ππ
ddrdsenrQ 3
2
0 0
4
0
4∫ ∫ ∫= 
ππ 102444 4 ==Q C 
 
Questão 4 – (2,0 Pontos) 
3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. 
(a) Para atingir esta velocidade, através de qual 
ddp ele deve passar? 
VqW ∆−= 
dLaEQdW Lˆ⋅−= 
VqW ∆−= = )(
2
1 22
ifc vvmE −=∆ 
)(
2
1 22
if vvme
V −=∆ 
))103()108((1031,9
106,12
1 262631
19 ⋅−⋅⋅⋅⋅
=∆ −−V
VV 578,156=∆ 
(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o campo 
elétrico entre as placas. 
mVdVE /828,702,0578,156 === 
mkVE 83,7= 
 (c) Qual a densidade de carga superficial na placa? 
 
 No interior: 
 9,78281085,8 120
0
⋅⋅==⇒= −EE εσ
ε
σ
 
228,69 mnC=σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 42 
 
 
 Potencial Elétrico 
 Trabalho: dv
V
v∫∫∫= ρQ VqW ∆−= 
dLaEQdW Lˆ⋅−= Dv ⋅∇=ρ Energia cinética 
 Teorema da Divergência (Teorema Gauss): 
)(
2
1 22
ifc vvmE −=∆ dVFSdF
VS
∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ 
 Lei de Coulomb 
 Lei de Gauss 
122
120
21
12 ˆ4
a
R
QQ
F
πε
= 
12
12
12
12
12ˆ rr
rr
R
R
a
−
−
== i
S
QSdD =⋅= ∫∫ψ ñ 
0ε
i
S
Q
SdE =⋅∫∫ 
 Teorema da Stokes 
( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇
CS
ldHSdH 2
212
0 1085,8 mN
C
⋅
−⋅=ε 
 Campo elétrico 
( )
3
04
)(
rr
rrQrE
′−
′−
=
πε
 Potencial elétrico 
∫ ⋅−=−=
A
B
BAAB LdEVVV 
∫∫∫ ′−
′−
′−
′′
=
v
v
rr
rr
rr
vdr
rE 2
04
)(
)(
πε
ρ 
 
 
 Carga elétrica 
Sistemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas 
 
 
 
 
 
 
Relações 
 
P(x, y, z) 
 
P(r, f, z) 
 
22 yx +=ρ 
x
yarctg=φ 
z=z 
P(r, f, q) 
 
222 zyxr ++= 
x
yarctg=φ 
z
yx
arctg
22 +
=θ 
Vetor 
posição zyx
azayaxr ˆˆˆ ++= zazar ˆˆ += ρρ rarr ˆ= 
Incremento 
rdLd = zyx
adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
 
zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ
 
φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++= 
 
 
 
Versores 
 
 
}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φ
ρ
 
zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++= 
zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=
yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−= 
Elemento de 
Volume 
dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2= 
Divergente
D⋅∇ z
D
y
D
x
D zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ( ) ( )
z
DDD z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
φρ φρ
ρ
ρρ
11 ( ) ( )
φθ
θ
θθ
φ
θ ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ D
rsen
senD
rsen
Dr
rr r
111 2
2
 
Gradiente
V∇ zyx
a
z
Va
y
Va
x
VV ˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
 
zaz
VaVaVV ˆˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ φρ φρρ
 
φθ φθθ
aV
rsen
aV
r
a
r
VV r ˆ
1ˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
Rotacional 
H×∇ 
xy
y
xx
x
yz a
y
H
x
H
a
z
H
z
Ha
z
H
y
H ˆˆˆ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
 
( )
z
zz a
HH
a
H
z
H
a
z
HH ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φ
 
( ) ( ) ( )
φ
θ
θ
φθφ
θφθφθ
θ
θ
aH
r
rH
r
a
r
rHH
senr
aH
senH
rsen
rr
r ˆ
1ˆ11ˆ1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
 
Laplaciano 
V2∇ 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
2
2
2
2
2
11
z
VVV
∂
∂
+
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
φρρ
ρ
ρρ
 2
2
222
2
2
111
φθθ
θ
θθ ∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ V
senr
Vsen
senrr
Vr
rr
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV - 1 
 1
Potencial elétrico
 
 
 
 
 
 
 
PROCEDIMENTO PARA A 
ELABORAÇÃO DAS MANOGRAFIAS 
 
1. Elaborar o título. 
2. Indicar o material necessário para a 
montagem do experimento, se houver 
necessidade. 
3. Diagramatizar o experimento, quando 
houver. 
4. Indicar o conteúdo em papel A4, com 
folhas numeradas. 
5. As monografias serão elaboradas 
individualmente . 
6. As monografias individuais deverão ser 
entregues até a data solicitada de entrega. Não 
serão aceitas após a data pedida. 
 
Considerar: 
 
• Ordem e apresentação da monografia. 
 
• Conteúdo e apresentação dos dados 
experimentais. 
 
• Conclusões e discussão dos resultados. 
 
 
No mínimo, para cada monografia deve 
sempre conter: 
 
1. Título , data de realização e 
colaboradores; 
 
2. Objetivos e importância do tema 
pesquisado; 
 
3. Roteiro dos procedimentos 
experimentais, quando houver. 
 
4. Esquema do aparato utilizado, quando 
houver; 
 
5. Descrição dos principais instrumentos e 
equipamentos existentes; 
 
6. Dados medidos; 
 
7. Cálculos; 
 
8. Gráficos; 
 
9. Resultados e conclusões.