Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 1 Potencial Elétrico • O Potencial Elétrico: Energia Potencial Suponha que desejamos deslocar uma carga elétrica Q de uma distância dL em um campo elétrico E. A força em Q devido a este campo elétrico é: EQFE = onde o índice nos lembra que a força é devida ao campo. A componente desta força na direção dL que desejamos vencer é: LLEL aEQaFF ˆˆ ⋅=⋅= Aqui, o vetor é um vetor unitário na direção de dL. A força que deve ser aplicada é igual e contrária à força originada pelo campo: Lâ Lapl aEQF ˆ⋅−= O gasto de energia é o produto da força pela distância. Assim, o trabalho realizado por um agente externo deslocando a carga Q na região de um campo elétrico E será dado por: LdEQdLaEQdW L ⋅−=⋅−= ˆ ∫ ⋅−= final inicial LdEQW Observe os exemplos ilustrativos (Sears&Zemansky). Figura 1 – Uma carga de teste q0 que se move do ponto a até o ponto b sofre ação de uma força de módulo q0E. O trabalho realizado pela força é dado por Wab e não depende da trajetória da partícula. Figura 2 –(a) Quando uma carga positiva se move na mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho positivo e a energia potencial diminui. (b) Quando uma carga positiva se move no sentido contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho negativo e a energia potencial aumenta. Figura 3 –(a) Quando uma carga negativa se move na mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho negativo e a energia potencial aumenta. (b) Quando uma carga negativa se move no sentido contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho positivo e a energia potencial diminui. Figura 4 - A carga q0 se move radialmente. A medida que se desloca de a até b sua distância varia de ra até rb. Figura 5 – O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga q0 depende somente das distâncias ra e rb. Definimos o potencial elétrico V como sendo a energia potencial U por unidade de carga elétrica q : Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 2 Potencial Elétrico V Uq= 0 A diferença de potencial entre dois pontos em um campo elétrico (ddp) é igual a diferença de energia potencial entre esses pontos por unidade de carga: Ou seja, o trabalho por unidade de carga realizado por um agente externo para deslocar uma carga de um ponto a outro em um campo elétrico. Q W Q W Q W if ifVVV ∆=−=−=∆ ∫ ⋅−=∆ final inicial LdEV Coordenadas dL dr= (Elemento diferencial de deslocamento) Cartesianas ˆ ˆx ydr dxa dya dza= + + ˆz Cilíndricas ˆ ˆ zdr d a d a dzaρ φ ˆρ ρ φ= + + Esféricas ˆ ˆrdr dra rd a rsen d âθ φθ θ φ= + + Se imaginarmos que trazemos uma carga que do infinito até um ponto P (O ponto f é o infinito e o ponto i corresponde a P) e definindo como zero o potencial no infinito, teremos: V Wq P= − ∞ Aqui, W P∞ é o trabalho feito pelo campo elétrico sobre a carga teste, quando a carga teste se movimenta do infinito até o ponto P. Vemos que o potencial V em um ponto numa região onde há campo elétrico de uma carga positiva é positivo. Para ver isso, imagine que uma carga teste positiva vem do infinito até um ponto próximo de uma carga positiva isolada. A força eletrostática atuando na carga elétrica possui sentido contrário em relação ao deslocamento da carga positiva. Então, o trabalho que devemos fazer sobre a carga teste é positivo, e o trabalho feito pelo campo elétrico na carga é negativo. Com o sinal menos na equação, teremos um resultado positivo. Similarmente o potencial em um ponto próximo de uma carga elétrica negativa é negativo. A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem a Alessandro Volta, cientista italiano que inventou a primeira pilha elétrica. 1 11V J C= (Joule / Coulomb) Observamos que: 1 1 1 111 N C N C J N m V m V C J = =( )( . )( ). Uma energia muito utilizada nas escalas atômicas é o elétron-volt (eV), que definimos como o trabalho requerido para movimentar uma carga elétrica elementar e, podendo ser um próton ou elétron, através de uma diferença de potencial de 1 volt. 1 1 1 6 10 1 1 6 1019 19eV e V C J C J= = =− −.( ) ( , . )( / ) , . Potencial elétrico para distribuições de carga: Sendo: r : vetor que localiza o ponto P que desejamos calcular o potencial. r ′ : vetor que localiza um ponto da região correspondente à distribuição de carga. Densidade linear de carga rL: ∫ ′ ′− ′′ = L L rr LdrrV 04 )()( πε ρ Densidade superficial de carga rs: ∫∫ ′− ′′ = S S rr SdrrV 04 )()( πε ρ Densidade volumétrica de carga rv: ∫∫∫ ′− ′′ = V v rr VdrrV 04 )()( πε ρ Superfícies Equipotenciais Um conjunto de pontos no espaço todos a um mesmo potencial é chamado de superfície equipotencial. Uma família de superfícies equipotenciais, cada superfície correspondendo a um valor de potencial diferente, pode ser usada para representar o campo elétrico de uma determinada região. As superfícies equipotenciais para uma carga elétrica puntiforme são famílias de esferas concêntricas. Figura 6 – Superfícies equipotenciais planas (a), esféricas (b) e superfícies num dipolo elétrico (c). Podemos calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico da seguinte maneira: ∫−=− f i if LdEV .V O potencial de uma carga puntiforme pode ser calculado mediante a equação dada: V dr V kQ r kQ r= − ⇒ =∫ 2 Para um sistema de cargas puntiformes q1,q2,...,qn, o potencial elétrico em um ponto P será a soma do potencial elétrico devido às diversas cargas em P; se r1, r2, ... , rn, for a distância da carga qi ao ponto P, então o potencial em P será dado por: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 3 Potencial Elétrico V V V V Vn kQ r kQ r kQ rP P n nP = + + + ⇒ = + + +1 2 1 1 2 O potencial de uma distribuição contínua de carga é dado por: 2... ... V dV dqr= =∫ ∫14 0πε A integral nessa expressão é tomada sobre toda a distribuição de carga. Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de r estão fixas em suas posições. Encontre a energia potencial elétrica da configuração. U q V q kq r kq q r= = =1 2 1 2 1 2 Figura 7 – A energia potencial associada à carga de teste q0 no ponto a depende das cargas q1, q2 e q3 bem como suas distâncias r1, r2 e r3. Pode-se mostrar que para um sistema de cargas puntiformes q1, q2, ...qN a energia potencial será dada por: ( )[ ]++++= 15141312121 VVVVQWE ( )[ ]+++++ 25242321221 VVVVQ ( )[ ]+++++ 35343231321 VVVVQ ( )[ ]+++++ 45434241421 VVVVQ ( )[ ]++++++ 54535251521 VVVVQ A energia armazenada no campo eletrostático é calculada por: dVEW V E ∫∫∫= 202 ε • Condutor Isolado: Uma vez o equilíbrio de cargas é estabelecido, e um excesso de cargas é colocado em um condutor isolado, esta se distribuirá ao longo de sua superfície. Isto sempre ocorrerá quando o condutor tiver uma cavidade interna vazia. Superfícies eqüipotenciais e Campo elétrico: Figura 8 – Superfícies equipotenciais. O campo elétrico é normal às superfícies. O vetor campo elétrico sempre é perpendicular às superfícies eqüipotenciais e apontam da maior para os menores valores de potencial elétrico. Figura 9 – Caminho descrito por uma carga. A figura anterior ilustra a trajetória descrita por uma carga elétrica positiva deslocando-se entre a. Observe que ela caminha da região de ial para a de menor potencial elétrico. linhas de forç maior potenc Fi e em (b) u movendo-semovendo-se n gura 10 – Em (a) temos uma carga puntiforme positiva ma carga puntiforme negativa. Em ambos os casos, no sentido de E, o potencial elétrico V diminui e o sentido oposto de E o potencial elétrico V aumenta. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 4 Potencial Elétrico Linhas elétricas de força: As linhas elétricas de força indicam a direção na qual uma carga positive de teste se moveria na presença de um campo elétrico. O diagrama acima mostra as linhas de força para duas cargas positivas que se repelem. Uma carga teste positiva seria repelida de ambas as cargas O diagrama a direita mostra a linha de força de duas cargas que se atraem. Uma carga teste positiva seria atraída para a carga negativa. Potencial Elétrico de um Dipolo Elétrico: Quando temos duas cargas de mesma magnitude porém sinais opostos, há um dipolo elétrico, com as cargas +Q e – Q localizadas em (0,0,+d/2) e (0,0,-d/2), respectivamente. Figura 7 – Representação de dipolo elétrico. Gradiente do potencial Podemos obter o potencial de duas maneiras: uma diretamente a partir da intensidade do campo elétrico, fazendo a integral de linha, e outra através da distribuição de cargas em si, fazendo a integral apropriada, conforme a distribuição de cargas. Porém, nem sempre é conhecida a intensidade do campo elétrico ou a distribuição de carga. Informações sobre as superfícies equipotenciais são muito úteis. Da relação conhecida: ∫ ⋅−= LdEV Podemos imaginar um elemento pequeno ∆L ao longo do qual E é essencialmente constante, dando a uma diferença de potencial: LdEV ⋅−=∆ θcosLdEV ⋅−=∆ Considerando a situação limite, teremos: θcosE dL dV −= O valor máximo dessa expressão pode ser dada por: E dL dV = max Obtemos as características de E e V em qualquer ponto: • A magnitude da intensidade do campo elétrico é dada pelo máximo valor da taxa de variação do potencial com a distância. • O máximo valor é obtido quando a direção do comprimento incremental é oposta a E ou, em outras palavras, a direção de E é oposta à direção à qual o potencial está aumentando mais rapidamente. Assim: NadL dVE ˆ max −= Onde é um vetor unitário normal à superfície equipotencial e apontando na direção dos maiores potenciais. Nâ Como maxdL dV ocorre quando ∆L na direção de , Nâ dN dV dL dV = max e: NadN dVE ˆ−= Mas, podemos encontrar a derivada direcional de V: Nzyx aaz Va y Va x V dN dV ˆˆˆˆ ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = NaVdN dV ˆ⋅∇= Comparando, chega-se a: VE ∇−= Ou seja, podemos obter o campo elétrico fazendo menos o gradiente do potencial V. O gradiente é obtido: Em coordenadas cartesianas: zyx az Va y Va x VV ˆˆˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ • Em coordenadas cilíndricas: zaz VaVaVV ˆˆ1ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ φρ φρρ • Em coordenadas esféricas: ∇ φθ φθθ aV rsen aV r a r VV r ˆ 1ˆ1ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 5 Potencial Elétrico Considere agora o dipolo elétrico: Er dr ˆra dl E P rdθ Eθ θ 1R r 2R O Potencial em P devido às cargas +Q e –Q é dado por: 0 1 0 2 1 1 4 4 Q QV R Rπε πε = − 2 1 0 2 14 R RQV R Rπε ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Observe da figura que podemos aproximar: 2 1 cosR R d θ− ≅ 2 2 1R R r≅ 2 0 cos 4 QdV r θ πε ≅ 2 0 cos 4 pV r θ πε ≅ 2 0 ˆ 4 rp aV rπε ⋅ ≅ Como: ˆr r ra r r ′− = ′− Sendo os vetores: r : localiza o ponto P. r ′ : localiza o centro do dipolo. dQp = : momento de dipolo. O potencial elétrico num ponto P localizado pelo vetor r é dado por (Observe da figura): rr rrp rr V ′− ′− ⋅ ′− = 2 04 1 πε Campo elétrico de um dipolo elétrico: 1 1ˆ ˆr V V VE V a a a r r rsen ˆθ φθ θ φ ∂ ∂ ∂ = −∇ = − − − ∂ ∂ ∂ 2 0 cos 4 Qd r V θ πε ≅ 2 2 0 0 cos 1 cos 1 cosˆ ˆ 4 4 4r Qd Qd Qd 2 0 ˆE a a r r r r rsen r aθ φ θ θ πε θ πε θ φ πε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ =− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ ( )2 2 0 0 cos 1 1ˆ ˆ ˆcos 0 4 4r Qd QdE a a r r r r aθ φ θ θ πε πε θ ∂ ∂⎛ ⎞=− − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ( )2 2 0 0 cos 1 1ˆ ˆcos 4 4r Qd QdE a a r r r r θ θ θ πε πε θ ∂ ∂⎛ ⎞=− −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ( )3 3 0 0 cos 2 ˆ ˆ 4 4r Qd QdE a sen r r aθ θ θ πε πε ⎛ ⎞=− − − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ [ ]3 0 ˆ ˆ2cos 4 r QdE a se r n aθθ θπε = + Para visualizar as superfícies equipotenciais do dipolo, podemos fazer: r E rd E dr θ θ= Por outro lado, como: 3 3 0 0 2 cos ; 4 4r Qd QdsenE E r rθ θ θ πε πε = = 3 0 3 0 4 2 cos 4 r Qdsen E r drQdE d r θ r θ πε θ θ πε = = 2cos sen dr dr θ θ θ = cos2dr d r sen θ θ θ = 2dr cotg d r θ θ= 2dr cotg d r θ θ=∫ ∫ ln 2lnr sen Cθ= + 2ln lnr sen Cθ= + 2r Asen θ= Esta equação determina a família de linhas de força para um dipolo elétrico. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 6 Potencial Elétrico Representação da superfície 2r sen θ= e campo vetorial representando o campo elétrico: Aplicação: trajetória do elétron em um tubo de raios catódicos. Exemplo 1 – (a) Um elétron deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. Para atingir esta velocidade, através de qual ddp ele deve passar? (b) Através de qual ddp ele deve passar para que ele seja freado de 8,0.106 m/s até ficar momentaneamente em repouso? (c) Encontre a relação entre y e x. Figura 10 – (a) Representação de um tubo de raios catódicos. (b) Estudo da trajetória do elétron. (a) (b) (c) y0 (a) )( 2 1)( 2 1 2222 ivif vvq mVvvmVq −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =∆⇒−=∆− ( ) ( )[ ] Vsmxsmx Cx kgxV 157/1000.3/1000.8 106.1 1011.9 2 1 2626 19 31 +=−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =∆ − − (b) ( ) ( )[ ] Vsmxsm Cx kgxV 182/1000.8/0 106.1 1011.9 2 1 262 19 31 −=−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =∆ − − (c) Desprezando o peso: 2 2 1 t mE qy tvx x = = Isolando o tempo: 2 20 2 1 x x v x m qEy tvx = = 2 20 2 1 2 x x v L m qEdy tvL == = L md qEv mv qELd x x =⇒= 2 2 Tempo que o elétron permanece entre as placas: tvLx x== xv Lt = Componente da velocidade vy com que o elétron sai da região entre as placas: x yy mv qELvt m qEv =⇒= m qEdv L md qEm qELv yy =⇒= Módulo da velocidade: 22 222 222 x xyx vm LEqvvvv +=+= Ao sair da região entre as placas, o elétron possui as componentes das velocidades constantes (MU), se desprezarmos a gravidade: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 7 Potencial Elétrico Então, chamando de ∆t o tempo que levará para o elétron percorrer do ponto que sai da região entre as placas até atingir a tela: ⎩ ⎨ ⎧ ∆= ∆=− tvD tvyy x y0 D v v yy x y=− 0 D L md qE m qEd yy += 0 D L dyy += 0 Exemplo 2 – Encontre o potencial de um condutor esférico oco de raio R nos pontos em seu interior e exterior. Figura 11 – (a) Representação do campo e do potencial em um condutoresférico oco. ( ) ∫ ∞ ∞ ⋅−=− r ldEVrV Pela lei de Gauss, o campo é dado por: 0ε qSdE S =⋅∫∫ ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = Rr Rr r aq rE r se 0 se ˆ 4 20πε O elemento de deslocamento em coordenadas esféricas é dado por: φθ φθθ adrsenardadrld r ˆˆˆ ++= ( ) ∫ ∞ ∞ −=− r dr r qVrV 2 04πε Fazendo V¶ = 0 ( ) r r qrV ∞ =− 1 4 0 0πε ( ) r qr 04πε =V Exemplo 3 – Encontre a diferença de potencial entre duas placas carregadas com densidades de carga superficiais +rs e -rs. Observando a disposição da figura, o campo elétrico na região entre as placas é dado por: )ˆ( 2 )ˆ( 2 00 y s y s aaE −+−= ε ρ ε ρ y s â 0ε E ρ−= ∫ ⋅−=− b a ab ldEVV d zyx adzadyadxl ˆˆˆ ++= ∫=− b a s ab dyV 0ε ρV ( )abV sab −=− 0ε V ρ Exemplo 4 – Encontre o potencial de uma distribuição linear de carga rL, sabendo que: O potencial é dado por: ∫ ′ ′− ′′ = L L rr LdrrV 04 )()( πε ρ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 8 Potencial Elétrico z P(x,y,z) L/2 r r’ y x -L/2 Temos: zazr ˆ=′ zyx azayaxr ˆˆˆ ++= ( )222 zzyxrr ′−++=′− ( )∫′ ′−++ ′′ = L L zzyx zdrrV 222 04 )()( πε ρ ( )∫ + − ′−++ ′ = 2 2 222 04 )( L L zzyx zdrV L πε ρ ( )∫ + − ′−++ ′ = 2 2 222 04 )( L L zzyx zdrV L πε ρ ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ′−+++′−= =′ −=′ 2 2 222 0 ln 4 )( L L z z L zzyxzzrV πε ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++++ −+++− = 2 2 22 2 2 2 22 2 0 ln 4 )( LL LL L zyxz zyxz rV πε ρ Exemplo 5 – Encontre o potencial de uma distribuição de carga rs sobre um disco de raio R: Agora o potencial será dado por: ∫∫ ′− ′′ = S S rr SdrrV 04 )()( πε ρ Usando coordenadas cilíndricas: z P(x, y, z) rs y r’ x ρρ ar ˆ′=′ zazar ˆˆ += ρρ ( ) 22 zrr +′−=′− ρρ ( )∫∫ +′− ′′′ = S S z ddrV 22 04 )( ρρπε φρρρ ( )∫ ∫ +′− ′′′ = π ρρ φρρ πε ρ 2 0 0 22 04 )( R S z ddrV ( )⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−++′−−= 22 0 ln 4 2)( ρρρρρ πε πρ zrV S ( ) R z =′ =′⎥⎦ ⎤′−++ ρ ρ ρρ 0 22 ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ −++− −= 22 22 0 ln 2 )( ρρ ρρ ρ ε ρ z RzR rV S ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−−++ 2222 02 ρρ ε ρ zRzS Veja que para um ponto sobre o eixo z: r = 0 Então: =)(rV [ ]zRzS −+ 22 02ε + ρ Se tomarmos o gradiente do potencial e multiplicarmos por -1, teremos o campo elétrico: zaz VVE ˆ ∂ ∂ −=∇−= Logo: [ ] z S a z zRz E ˆ 2 22 0 ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+∂ −= ε ρ z S a Rz z ˆ1 2 220 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + −= ε ρE Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 9 Potencial Elétrico z S a Rz zE ˆ1 2 220 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −= ε ρ Compare com a expressão do campo de um disco carregado uniformemente deduzida na pág. 24. É a mesma...!!! Exemplo 6 – Encontre o potencial de uma distribuição de carga rL sobre um anel de carga Q circular de raio a ∫ ′ ′− ′′ = L L rr LdrrV 04 )()( πε ρ ρaar ˆ=′ z P(x, y, z) rs y r’ x zazar ˆˆ += ρρ ( ) 22 zarr +−=′− ρ φ′=′ adLd ( )∫′ +− ′′ = L L za adrrV 22 04 )()( ρπε φρ ( ) ∫ ′ +− = π φ ρπε ρ 2 0 22 04 )( d za arV L ( ) 2202 )( za arV L +− = ρε ρ Ou: ( ) 2204 )( za QrV +− = ρπε Sobre o eixo Oz: r =0. 22 02 )( za azV L + = ε ρ 22 04 )( az QzV + = πε Exemplo 7– Encontre a diferença de potencial entre dois pontos devido a um fio infinito com densidade de carga rL. Campo devido a um fio infinito: ρρπε ρ aE L ˆ 2 0 = Potencial: ∫−=− f i if LdEV .V d Adotando potencial zero no infinito e lembrando que em coordenadas cilíndricas: zadzadadl ˆˆˆ ++= φρ φρρ ( ) ( ) ∫−=− ρ ρ ρ ρπε ρρρ 0 0 0 2 dV LV ( ) ( ) 00 0 ln2 ρ ρ πε ρρρ LV −=−V Exemplo 8– Encontre o potencial devido a um fio carregado com carga Q de comprimento 2L com densidade de carga uniforme rL. Podemos calcular o potencial diretamente por: ∫ ′ ′− ′′ = L L rr LdrrV 04 )()( πε ρ zyx azayaxr ˆˆˆ ++= Colocando sobre o fio sobre o eixo z: zazr ˆ′=′ ( )∫′ ′−++ ′ = L L zzyx zdrV 222 04 )( πε ρ ( )∫ + − ′−++ ′ = L L L zzyx zdrV 222 04 )( πε ρ ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ′−−′−++= =′ −=′ Lz Lz L zzzzyxrV 222 0 ln 4 )( πε ρ ( ) ( )⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−++ −−+++ = LzLzyx LzLzyxV L 222 222 0 )( )(ln 4πε ρ Ou: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−++ −−+++ = )()( )()(ln 42 222 222 0 LzLzyx LzLzyx L QV πε Exemplo 9– Encontre o potencial devido a uma distribuição uniforme de carga rv cilíndrica de raio R infinita. Relação entre a densidade de carga: dV dQ LR Q v == 2π ρ Campo da distribuição de carga será dado pela lei de Gauss: 0ε QSdE s =⋅∫∫ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 10 Potencial Elétrico ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > =⋅∫∫ RL RLR SdE v v s ρ ε πρρ ρ ε πρ se se 0 2 0 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = RL RLR LE v v ρ ε πρρ ρ ε πρ πρ se se 2 0 2 0 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = R RR E v v ρ ε ρρ ρ ρε ρ se 2 se 2 0 0 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = Ra RaR E v v ρ ε ρρ ρ ρε ρ ρ ρ se ˆ 2 se ˆ 2 0 0 2 Sendo zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρ Sejam r,r0 < R: ( ) ( ) ∫−=− ρ ρ ρρ ε ρρρ 0 0 0 2 dVV v ( ) ( ) ( )202 0 0 4 ρρ ε ρρρ −−=− vVV ( ) ( ) ( )220 0 0 4 ρρ ε ρρρ −=− vVV Sejam r,r0 > R: ( ) ( ) ∫−=− ρ ρ ρ ρε ρρρ 0 0 2 0 2 dRVV v ( ) ( ) ∫−=− ρ ρ ρ ρε ρρρ 0 1 2 0 2 0 d RVV v ( ) ( ) 00 2 0 ln2 ρ ρ ε ρρρ RVV v−=− Exemplo 10 - Encontre o potencial devido a uma distribuição uniforme de carga rv esférica de raio R. Relação entre a densidade de carga: dV dQ R Q v == 3 3 4π ρ Campo da distribuição de carga será dado pela lei de Gauss: 0ε QSdE s =⋅∫∫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > =⋅∫∫ Rr RrR SdE v v s ρ ε πρ ε πρ se 3 4 se 3 4 0 3 0 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = Rrr RrR rE v v se 3 4 se 3 4 4 0 3 0 3 2 ε πρ ε πρ π ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = Rrr Rr r R E v v se 3 se 3 0 2 0 3 ε ρ ε ρ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < > = Rrar Rr r aR E rv rv se 3 ˆ se 3 ˆ 0 2 0 3 ε ρ ε ρ Sendo φθ φθθ adrsenardadrl r ˆˆˆ ++=d Sejam r,r0 < R: ( ) ( ) ∫−=− r r v rdrrVrV 0 0 0 3ε ρ ( ) ( ) ( )220 0 0 6 rrrVrV v −=− ε ρ Sejam r,r0 > R: ( ) ( ) ∫−=− r r v dr r RrVrV 0 2 0 3 0 3ε ρ ( ) ( ) rr rr v r RrVrV = = =− 0 0 3 0 3ε ρ ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=− 00 3 0 11 3 rr RrVrV v ε ρ Exemplo 11 – (pg. 93 – Hayt 4a Edição) Dado ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + ache o trabalho para mover uma carga de 20µC ao longo de um percurso incremental de 10-4m de comprimento na direção: ˆ ˆ0.6 0.48 0.64x ya a ˆza− + − (a) Localizado na origem; (b) Em P(2, -2, -5) Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 11 Potencial Elétrico Solução: ˆLdW QE a dL= − ⋅ (a) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + ( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 3 0 2 0 2 0 Vx y z mE a a= + + a ( )ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 0 0 0 Vx y z mE a a a= + + ( )0dW J= (b) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + ( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(2,-2, -5) 3 2 2 5 2 2 Vx y z mE a a= + − + − a ( )ˆ ˆ ˆ(2, -2, -5) 12 10 4 Vx y z mE a a a= − − ( ) ( ) 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ20 12 10 4 0.6 0.48 0.64 10x y z x y zdW a a a a a aµ −=− − − ⋅ − + − ( ) ( ) ( )( ) 420 12 0.6 10 0.48 4 0.64 10dW µ −=− − − − − ( ) 420 9.44 10dW µ −=− − ( )18.88dW nJ= Exemplo 12 – (pg. 50, E4.1– Hayt) Dado ( ) ( )2 22 1 ˆ ˆ ˆ8 4 4 Vx y mzE xyza x za x yaz = + − determine a quantidade diferencial de trabalho realizado ao deslocarmos uma partícula de 6nC de uma distância de 2µm, partindo de P(2, -2, 3) e caminhando na direção : ˆLa (a) 6 3 2ˆ ˆ 7 7 7x y a a+ + ˆza (b) 6 3 2ˆ ˆ 7 7 7x y a a− − ˆza (c) 3 6ˆ ˆ 7 7x y a a+ Solução: ˆLdW QE a dL= − ⋅ (a) ( ) ( )( ) ( )2 221 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 8 2 2 3 4 2 3 4 2 23 V x y mz E a a= ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − a ( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 32 9 V x y z mE a a a= − + + ( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 32 9 V x y z mE a a= − + + a ˆLdW QE a dL= − ⋅ ( )1 6 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 2 7 7x y x y z dW n a a a a aˆ32 9 7 a µ⎛ ⎞=− − + + + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ 1 6 3 26 96 48 32 2 9 7 7 7 dW n µ⎛ ⎞=− − + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3686 2 9 7 dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4416 54 dW nµ= ( )736 9 dW fJ= (b) 6 3 2ˆ ˆ 7 7 7x y a a− − ˆza ˆLdW QE a dL= − ⋅ ( )1 6 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 2 9 7 7x y x y z dW n a a a a a a2 7 µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 7846 2 9 7 dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9408 54 dW nµ= ( )1568 9 dW fJ= (c) 3 6ˆ ˆ 7 7x y a a+ ˆLdW QE a dL= − ⋅ ( )1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 2 9 7x y x y dW n a a a a a6 7 µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 0 2dW n µ=− ⋅ ⋅ ( )0dW fJ= Exemplo 13 – (pg. 50, E4.2– Hayt) Calcule o trabalho realizado ao deslocarmos uma carga de 4C, de B(1, 0, 0) até A(0, 2, 0) ao longo do caminho y = 2 – 2 x, z = 0, no campo E = (a) ( )ˆ5 Vx ma (b) ( )ˆ5 Vx mxa (c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+ L Solução: f i W Q E d= − ⋅∫ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 12 Potencial Elétrico (a) ( )ˆ5 Vx ma ( ) (0,2,0) (1,0,0) ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW a dxa dya dza= − ⋅ + +∫ (0,2,0) (1,0,0) 4 5W dx= − ∫ z ( ) ( )0,2,0 1,0,0 4 5 20 (0 1)W x= − ⋅ = − ⋅ − ( )20W J= (b) ( )ˆ5 Vx mxa ( ) (0,2,0) (1,0,0) ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW xa dxa dya= − ⋅ + +∫ (0,2,0) (1,0,0) 4 5W xdx= − ∫ zdza ( ) ( )0,2,02 2 1,0,0 0 14 5 20 ( ) 2 2 xW = − ⋅ = − ⋅ − 2 2 ( )10W J= (c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+ zdza( ) ( ) (0,2,0) (1,0,0) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 5x x x yW xa ya dxa dya= − + ⋅ + +∫ ( ) (0,2,0) (1,0,0) 4 5 5W xdx ydy= − +∫ ( ) ( ) ( ) ( )0,2,0 0,2,02 2 1,0,0 1,0,0 4 5 2 2 x yW ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − ⋅ + ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 2 20 1 2 020 2 2 2 2 W ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⋅ − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 120 2 2 W ⎡ ⎤= − ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )30W J= − Exemplo 14 – (Hayt – pg. 53 E4.3) Veremos mais tarde que um campo E variante no tempo não é conservativo (Se ele não é conservativo, o trabalho deve ser uma função do caminho usado). Considere ( )ˆ Vy mE ya= em certo instante de tempo e calcule o trabalho para deslocar uma carga de 3C de (1, 3, 5) para (2, 0, 3) ao longo dos segmentos de retas unindo: (a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3) (b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3) Solução: (a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3) f i W Q E dL= − ⋅∫ 1 2 3C C C W Q E dL E dL E dL ⎛ ⎞ = − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + + E dL ydx⋅ = 2 2 2 1 2 2 3 0W Q dx ydx dx ⎛ ⎞ = − + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ( )213 3 0 0W x= − + + ( )9W J= − (b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3) 1 2 3C C C W Q E dL E dL E dL ⎛ ⎞ = − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + + E dL ydx⋅ = 1 1 2 1 1 1 3 0W Q dx ydx dx ⎛ ⎞ = − + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ( )3 0 0 0W = − + + ( )0W J= Exemplo 15 – (Hayt – pg. 53 E4.4) Um campo elétrico é expresso em coordenadas cartesianas por: ( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + + . Determine: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 13 Potencial Elétrico (a) VMN se os pontos M e N são especificados por M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2); (b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35); (c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4). Solução: ( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + + . M M N N V V E d− = −∫ L (a) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 4 . M M N x y z x y N V V x a ya a dxa dya dza− =− + + + +∫ ( ) ( ) ( )2,6, 1 2 3, 3,2 6 6 4M NV V x dx ydy dz − − − − = − + +∫ z ( )( ) ( )2,6, 13 2 3, 3,2 2 3 4M NV V x y z − − − − = − + + ( ) ( ) ( )( )( )3 23 22 2 3 6 4 1 2 3 3 3 4 2M NV V− =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ( )( )16 108 4 54 27 8M NV V− =− + − − − + + ( )( )120 19M NV V− =− − − 139M NV V V− =− (b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35); . M M Q Q V V E d− = −∫ L 4y dz ( ) ( ) ( )2,6, 1 2 4, 2, 35 0 6 6MV x dx yd − − − − = − + +∫ ( )( ) ( )2,6, 13 2 4, 2, 35 2 3 4MV x y z − − − = − + + ( ) ( ) ( )( )( )23 2 32 2 3 6 4 1 2 4 3 2 4 35MV =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ( )( )120 0MV =− − 120MV V=− (c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4) . N N P P V V E dL− = −∫ ( ) ( ) ( )3, 3,2 2 1,2, 4 2 6 6NV x dx yd − − − − = − + +∫ 4y dz ( )( ) ( )3, 3,23 2 1,2, 4 2 2 3 4NV x y z − − − = − + + ( ) ( ) ( )(( )3 2 3 22 2 3 3 3 4 2 2 1 3 2 4 4NV = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ( ) )( )2 19 2NV = − − − − 19NV V= Exemplo 16 – (Hayt – pg. 53 E4.5) Uma carga pontual de 15 nC está localizada na origem do espaço livre. Calcule V1 se o ponto P1 está localizado em P1(-2,3,-1) e: (a) V = 0 em (6,5,4); (b) V = 0 no infinito; (c) V = 5 em (2,0,4); Em coordenadas esféricas: ( )2 0 ˆ 4 r V m aQE rπε = ˆ ˆrdr dra rd a rsen d âθ φθ θ φ= + + ∫−=− f i if LdEV .V ( )2 0 ˆ ˆ ˆ. 4 f r f i r i aQV V dra rd a rsen d a r ˆθ φθ θ φπε − = − + +∫ Como: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0; 1r r r ra a a a a aθ φ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 04 f f i i Q drV V rπε − = − ∫ 1 ( 2,3, 1) 2 0 (6,5,4) 0 4P Q d rπε − − − = − ∫ rV ( ) ( )2 221 2 3 1r = − + + − 1 14=r 2 2 2 0 6 5 4r = + + 0 77=r 1 14 2 0 774 P Q dr rπε = − ∫V 1 14 770 1 4 r P r Q rπε = = ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ V 1 0 1 1 4 14 77P Q πε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ V 1 0 1 1 4 14 77P Q πε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ V ( )1 12 15 1 1 4 8,85 10 14 77P nV π − ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ 1 20,69PV V= (b) V = 0 no infinito; . f fV V E dL∞ ∞ − = −∫ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 14 Potencial Elétrico 1 1 2 0 0 4 r P Q drV rπε ∞ − = − ∫ 1 14 0 1 4 r P r QV rπε = →∞ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 0 1 0 4 14P QV πε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1 12 15 1 4 8,85 10 14P nV π − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ 1 36,08PV V= (c) V = 5 em (2,0,4); 2 2 0 2 0 2r = + 4+ 0 20r = 1 0 1 15 4 14 20P QV πε ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1 12 15 1 15 4 8,85 10 14 20P nV π − ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ 1 5 5,89PV = + 1 10,89PV V= Exemplo 17 – (Hayt – pg. 58 E4.6) Se tomarmos zero de referência para potencial no infinito, determine o potencial em (0,0,2) causado por estas configurações de carga no espaço livre: (a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; (b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1); (c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0. Solução: ∫−=− f i if LdEVV . (a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; Campo devido a um anel de raio a: ( ) ( ) 3 04 L L r r r E d r r ρ πε′ ′ ′− L′= ′−∫ ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= + L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′ ( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − + ( )2 2r r a zρ′− = − + ( ) ( )( ) 2 3 22 200 ˆ ˆ 4 zL a a zaE ad a z π ρρρ φ πε ρ ⎡ ⎤ − +⎢ ⎥ ′= ⎢ ⎥ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 3 2 3 22 22 20 0 0 ˆ ˆ 4 L za a da zE a z a z π π ρρ φρ φ πε ρ ρ a d ⎡ ⎤ ′− ′⎢ ⎥= +⎢ ⎥ − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 3 2 3 22 22 20 0 0 ˆˆ 4 L zaa zaE a d d a z a z π π ρ ρρ φ φ πε ρ ρ ⎡ ⎤ −⎢ ⎥′ ′= +⎢ ⎥ − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ A primeira integral tem o valor zero, pois se lembre que o versor âρ depende do ânguloφ: âφ φ φ âρ ˆ ya φ ˆxa ( )2ˆ ˆcos cosx ya a πρ φ φ= + − â â ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= + ˆ ˆ cosx ya sen aφ âφ φ= − + ( ) 2 2 0 0 ˆ ˆcos x ya d a sen a d π π ρ ˆφ φ φ φ′ ′ ′= +∫ ∫ ′ ˆ 2 2 2 0 0 0 ˆ ˆcos x ya d d a sen d a π π π ρ φ φ φ φ φ′ ′ ′ ′ ′= +∫ ∫ ∫ [ ] [ ] 2 2 2 0 0 0 ˆ ˆ cosx ya d sen a a π φ π φ π ρ φ φ φ φ φ′ ′= = ′ ′= = ′ ′ ′= + −∫ ˆ ˆ 2 0 ˆ ˆ0 0x ya d a a π ρ φ′ = +∫ Assim: ( )( ) [ ] 23 2 02 20 ˆ 4 L za za a z φ π φ ρ φ πε ρ ′= ′= E ⎡ ⎤ ⎢ ⎥′= ⎢ ⎥ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 15 Potencial Elétrico ( )( )3 22 20 ˆ 2 4 L za zaE a z ρ π πε ρ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )( )3 22 20 ˆ 2 L z a zE a a z ρ ε ρ = − + Potencial em P(0,0,2) . P PV V E dL∞ ∞ − = −∫ ( )( ) 2 3 22 20 ˆ . 2 P L P z a zV V a dL a z ρ ε ρ ∞ ∞ − = − − + ∫ ˆ ˆ ˆzdL d a d a dzaρ φρ ρ φ= + + ( )( ) (0,0,2) 3 22 20 0 2 L P a zdzV a z ρ ε ρ∞ − = − − + ∫ ( ) 0; 2 2 20 1 2 z L P aV a z ρ ρ ε ρ = = ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − − ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ( ) 0; 2 2 20 1 2 z L P aV a z ρ ρ ε ρ = = ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ( )2 20 1 0 2 0 2 L P aV a ρ ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ 2 0 1 2 4 L P aV a ρ ε = + Veja que poderíamos ter calculado o potencial também por: ∫ ′ ′− ′′ = L L rr LdrrV 04 )()( πε ρ ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= + L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′ ( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − + ( )2 2r r a zρ′− = − + ( )2 20 ( ) 4 L L adV r a z ρ φ πε ρ′ ′ = − + ∫ ( ) 2 2 20 0 1( ) 4 LaV r d a z πρ φ πε ρ ′= − + ∫ ( ) [ ] 202 20 1( ) 4 LaV r a z φ π φ ρ φ πε ρ ′= ′= ′= − + ( )2 20 1( ) 2 4 LaV r a z ρ π πε ρ = − + ( )2 20 1( ) 2 LaV r a z ρ ε ρ = − + Observe que na página 57 do livro tem um π a mais no denominador. Tire por favor!!! Como o raio do anel vale a = 2.5m: ( )12 2 12 2.5 1 2 8.85 10 2.5 4 P nV − = ⋅ + ( )12 2 12 2.5 1 2 8.85 10 2.5 4 P nV − = ⋅ + 31.6949 10 0.3123P = ⋅V ( )529,32PV V= (b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1); 0 1 4P Q r rπε = ′− V ˆ ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a a= + + ˆ ˆ ˆ1 2 1x y zr a a a′ = + − ˆ ˆ ˆ1 2 3P x yr r a a a′− = − − + z ( ) ( )2 2 21 2Pr r′ 3− = − + − + 14Pr r′− = 0 18 1 4 14P n πε =V ( )43.29PV V= (c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0 o Supondo uma densidade linear de carga de 12 nC/m em um fio de comprimento L Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 16 Potencial Elétrico 0 ( )( ) 4 L L r dxV r r r ρ πε′ ′ ′ = ′−∫ ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + â ˆz ˆ ˆ2.5 0x yr x a a a′ ′= + + ˆ ˆ2.5 2P x yr r x a a a′ ′− = − + ˆz ( )22 22.5 2Pr r x′ ′− = + − + 2 10.25Pr r x′ ′− = + 2.5 2 0 0 12 4 10.25 P n dxV xπε ′ = ′ + ∫ 2 2 2 2 lndx x x a C x a = + + + + ∫ 2 00 12 ln 10.25 4 x L P x nV x x πε ′= ′= ⎡ ⎤′ ′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 0 12 ln 10.25 ln 0 0 10.25 4P nV L L πε ⎡ ⎤= + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 0 12 10.25ln 4 10.25P n L LV πε ⎡ ⎤+ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ o Supondo uma carga12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0 e x =0 : 0 1 4P QV r rπε = ′− ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + â ˆz ˆ ˆ0 2.5 0x yr a a a′ = + + ˆ ˆ0 2.5 2P x yr r a a a′− = − + ˆz ( ) ( )2 2 20 2.5Pr r′− = + − + 2 10.25Pr r′− = 0 12 1 4 10.25P nV πε = ( )33,73PV V= Exemplo 18 – (Hayt – pg. 61 E4.7) Uma porção de um campo potencial bidimensional é mostrada na figura abaixo. As linhas de grade estão separadas de 1mm. Determine os valores aproximados do campo E em coordenadas cartesianas em: (a) a; (b) b; (c) c. Solução: E V= −∇ (a) a; (-4,-6) (mm) ˆy VE V a x ∂ = −∇ = − ∂ 3 106 104 ˆ 2 10 y E V a− − = −∇ = − ⋅ ( )ˆ1000 Vy mE V a= −∇ ≅ − (b) b; (c) c. Exemplo 19 – (Hayt – pg. 61 E4.8) Dado o campo potencial em coordenadas cilíndricas, (2 100 cos 1 V V z ρ φ= + ) e o ponto P em ρ = 3m, φ = 60°, z = 2m, determine os valores em P para: (a) V; (b) E; (c) E; (d) dV/dN; (e) aN ; (f) ρv no espaço livre. Solução: (a) V; ( )2 100 cos 1 V V z ρ φ= + ( )2 100 3cos 60 2 1 V V= ° + ( )30,0V V= (b) E; E V= −∇ zaz VaVaVV ˆˆ1ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ φρ φρρ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 17 Potencial Elétrico 2 2 2 100 1 100ˆ ˆcos cos 1 1 100 ˆcos 1 z V a a + z z a z z ρ φρ φ ρ φρ ρ φ ρ φ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + ∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 100 1 100cos cos 1 1 100 cos 1 V z z z z ρ ρ φ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ + ∂ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦ ( ) ( )2 2 2 100cos 1 100ˆ ˆcos 1 1 1 ˆ100 cos 1 z V a z z a z z ρ φa φ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ∂ ∂ ∇ = + + + ∂ + ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠ φ ( )22 2 2 100cos 100 2ˆ ˆ ˆ100 cos 1 1 1 z zV a sen a z z z ρ φ a φ φ ρ φ∇ = − − + + + ( )22 2 2 100cos60 100 2 2ˆ ˆ ˆ60º 100 3cos60 2 1 2 1 2 1 P zV a sen aρ φ ° ⋅ ∇ = − − ⋅ ° + + + a ˆ ˆ10 10 3 24 ˆP zV a aρ φ∇ = − − a ( )ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − − − â ( )ˆ ˆ ˆ10 10 3 24 Vz mE a a aρ φ= − + + (c) E; ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − + + â ( ) ( )22 210 10 3 24E = − + + ( ) ( )22 210 10 3 24E = − + + ( )31.24 VmE = (d) dV/dN; ( )31.24 Vm dVE dN = = (e) aN ; ˆN Va V ∇ = ∇ ˆ ˆ10 10 3 24 ˆ 31.24 z N a a a ρ φ − − = â ˆ ˆ ˆ0.320 0.554 0.768 ˆN za a aρ φ= − − a (f) ρv no espaço livre. v Dρ = ∇⋅ 0v Eρ ε= ∇⋅ ( )0v Vρ ε= ∇⋅ −∇ 2 0v Vρ ε= − ∇ Em coordenadas cilíndricas, o Laplaciano de V é dado por: 2 2 2 2 2 2 1 1V VV V z ρ ρ ρ ρ ρ φ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ( )2 100 cos 1 V V z ρ φ= + [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 1 100cos cos 1 1 100cos 1 V z z z z ρφ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∇ = +⎜ ⎟+ ∂ ∂ + ∂⎝ ⎠ ∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 22 100 1 100cos 1 1 2100 cos 1 V sen z z z z z ρφ ρ φ ρ ρ ρ φ ρ φ ∂ ∂ ∇ = + − + ∂ + ∂ ⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 42 100 1 100 1cos cos 1 1 1 1 2 1 2 200 cos 1 V z z 1 z z z z z φ φ ρ ρ ρ φ − ∇ = − + + ⎡ ⎤⋅ + − ⋅ + ⎢ ⎥− ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 42 1 4 200 cos 1 1 z z V z z ρ φ ⎡ ⎤+ − ⎢ ⎥∇ = − + ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ( ) 2 2 32 1 3200 cos 1 zV z ρ φ −∇ = − + 2 0v Vρ ε= − ∇ ( ) 2 0 32 1 3200 cos 1 v z z ρ ε ρ φ ⎧ ⎫−⎪ ⎪= − −⎨ ⎬ +⎪ ⎪⎩ ⎭ ` ( ) 2 0 32 1 3200 cos 1 v z z ρ ε ρ φ −= + ( ) 2 12 32 1 3 28.85 10 200 3cos60 2 1 vρ − − ⋅= ⋅ ⋅ ° + 12 1 118.85 10 200 3 2 125v ρ − −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( )3233.64 pcv mρ = − Exemplo 20 – (Hayt – pg. 64 E4.10) Um dipolo elétrico localizado na origem do espaço livre possui momento de dipolo ( )ˆ ˆ ˆ3 2x y zp a a a nC m= − + ⋅ . (a) Determinar V em PA(2,3,4). (b) Determinar V em r = 2.5, θ = 30° e φ = 40°. Solução: Esquema do dipolo e linhas de campo: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 18 Potencial Elétrico p Qd= 2 0 1 4 r rV p r rr rπε ′− = ⋅ ′−′− r :Localiza o ponto P. r′ :Localiza o centro do dipolo. ˆ ˆ2 3 4x yr a a a= + + ˆz ˆz ˆz ˆ ˆ0 0 0x yr a a a′ = + + ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + + ˆ ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + + z 2 2 22 3 4 29r r′− = + + = 2 0 1 4 r rV p r rr rπε ′− = ⋅ ′−′− ( ) ( )2 0 ˆ ˆ ˆ2 3 4 ˆ ˆ ˆ3 2 294 29 x y z x y z a a anV a a a πε + + = − + ⋅ ( ) 0 3 2 2 3 1 4 4 29 29 n πε V = ⋅ − ⋅ + ⋅ 0 4 4 29 29 nV πε = ( )0.2305V V= (b) Determinar V em r = 2.5 θ = 30° e φ = 40°. , 2 0 ˆ 4 rp a r V πε ⋅ = r é a distância do centro do dipolo ao ponto P: ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a âzθ φ θ φθ= + + ˆ ˆ ˆ30 cos 40 30 40 cos30r x ya sen a sen sen a âz= ° ° + ° ° + ° ˆ ˆ ˆ ˆ0.383 0.3214 0.866r x y za a a a= + + ( ) ( ) 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 0.383 0.3214 0.866 4 2.5 x y z x y za a a a a aV πε − + ⋅ + + = n ( ) 2 0 3 0.383 2 0.3214 1 0.866 4 2.5 n V πε ⋅ − ⋅ + ⋅ = 0 1.3722 4 6.2 nV πε = 5 1.975( )V V= Exemplo 21– (Hayt – pg. 64 E4.10) Um dipolo de momento ( )ˆ6 zp a nC m= ⋅ está localizado na origem do espaço livre. (a) Determine V em P(r = 4, θ = 20°, φ = 0°); (b) Determine E em P. Solução: (a) 2 0 ˆ 4 rp aV rπε ⋅ = ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a âzθ φ θ φ θ= + + ˆ ˆ ˆ20 cos 0 20 0 cos 20r x ya sen a sen sen a âz= ° ° + ° ° + ° ˆ ˆ ˆ0.342 0 0.9397r x ya a a= + + ˆza ( ) ( ) 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ6 0.342 0 0.9397 4 4 z x ya a a aV πε ⋅ + + = z n ( ) 0 6 0.9397 4 16 n πε ⋅ =V ( )3.17V V= (b) ( )3 0 ˆ ˆ2cos 4 r pE a sen a r θ θ θ πε = + ( )3 0 6 ˆ ˆ2cos 20 20 4 4 r nE a sen aθπε = ° + ° Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 19 a Potencial Elétrico ( )ˆ ˆ0.84375 1.879 0.342rE a θ= + ( )ˆ ˆ1.585 0.288 Vr mE a aθ= + Exemplo 21 – (Hayt – pg. 66 E4.11) Determine a energia armazenada no espaço livre para a região 2mm < r < 3 mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90° dado o campo potencial V =: (a) 200V r (b) 2 300cos V r θ Solução: 12E v W D= ⋅∫∫∫ Edv φθ φθθ aV rsen aV r a r VV r ˆ 1ˆ1ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ E V= −∇ 0 0D E Vε ε= = − ∇ ( )0D E V Vε⋅ = − ∇ ⋅ −∇ 2 0D E Vε⋅ = ∇ 2 1 02E v W Vε= ∇∫∫∫ dv 20 2E v W V dvε= ∇∫∫∫ (a) 200V r = 200 200 200 1 1ˆ ˆ ˆr r rV a a a r r r rsenθ φθ θ φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 200 ˆ ˆ0 0rV a ar âθ φ∇ = − + + 2 200 ˆrV ar ∇ = − 2 200V r ∇ = 2 0 2 200 2E v W d r ε ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫∫∫ v 3 2 2 3 3 10 2 20 4 0 02 10 1200 2E W r sen r π π ε d d drθ θ φ − − ⋅ ⋅ = ∫ ∫ ∫ 3 2 2 3 3 10 4 20 0 02 10 4 10 2E W r dr sen π π ε d dθ θ φ − − ⋅ − ⋅ = ⋅ ∫ ∫ ∫ [ ] [ ] 3 2 2 3 3 10 40 0 0 2 10 14 10 cos 2 r E rr W π πθ φ θ φ ε θ φ − − = ⋅ = = = = = ⋅ ⎡ ⎤= ⋅ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )40 2 23 3 1 12 10 cos cos0 0 3 10 2 10E W π πε − − ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − − − − − − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦ [ ]40 23 3 1 12 10 0 1 3 10 2 10E W πε − − ⎡ ⎤= ⋅ − + + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦ 4 0 23 10 1 12 1 10 3 2E W πε − ⎡ ⎤= ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ 7 02 10 12E W πε= ⋅ 12 78.85 10 2 10 12E W π−= ⋅ ⋅ ( )54.13 10EW J−= ⋅ (b) 2 300cos V r θ 2 2 2 300cos 300cos 300cos 1 1ˆ ˆr r rV a a r r r rsen âθ φ θ θ θ θ θ φ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎜ ⎟ ⎜∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ∂ ( ) 2 3 cos300cos 300ˆ ˆrV ar r r aθ θθ θ ∂∂ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 3 3 600cos 300ˆ ˆr senV a r r aθ θ θ ∇ = − − 2 2 2 3 3 600cos 300senV r r θ θ⎛ ⎞ ⎛∇ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ( ) 42 2 2 6 9 10 4cosV s r enθ θ⋅∇ = + ( ) 4 2 20 6 9 10 4cos 2E v W s r ε θ θ⋅= +∫∫∫ en dv ( ) 3 2 2 3 3 10 4 2 2 20 6 0 02 10 19 10 4cos 2E W sen r sen d d dr r π π ε θ θ θ θ φ − − ⋅ ⋅ = ⋅ +∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 2 3 3 10 4 4 2 30 0 02 10 9 10 4cos 2E W r dr sen sen d π π ε dθ θ θ θ − − ⋅ − ⋅ = ⋅ + φ∫ ∫ ∫ [ ] 3 2 2 3 3 10 4 30 3 0 2 10 0 1 4 1 39 10 cos cos3 cos 2 3 3 12 4 r E r W r π π θ φ φ θ ε θ θ θ φ − − = ⋅ = = = = ⋅ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 0 29 3 3 10 1 1 4 1 39 2 3 10 3 2 3 12 4E W πε − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 1303 1 1 4 1 310 4 27 8 3 12 4E πε−W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1303 19 2410 4 216 12E πε− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ W 1303 19 10 2 216E W πε⋅= ⋅ 13,668 10EW = ⋅ ( )36,68EW J= Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 20 Potencial Elétrico "Electricity," Microsoft® Encarta® 96 Encyclopedia. © 1993-1995 Microsoft Corporation. All rights reserved. © Funk & Wagnalls Corporation. All rights reserved Leitura suplementar: Bioeletricidade • A eletricidade animal Contribuição de Galvani e de Volta. A geração de eletricidade por certos peixes já era conhecida quando LUIGI GALVANI descreveu sua célebre observação sobre a contração da pata de rã. Galvani ensinava anatomia em Bolonha (Itália) e PUELLES (1956) conta que, certo dia, quando trabalhava com rãs decapitadas e penduradas numa haste de cobre e observou que, quando a pata do animal tocava o ferro de um balcão próximo, os músculos se contraíam. Conta também uma outra versão. Nesta, Galvani, em 1760, colocou algumas rãs mortas sobre um prato metálico e um dos seus assistentes, usando a máquina eletrostática de Ramsden, aplicou um choque elétrico sobre uma delas, produzindo contração muscular. O fenômeno foi prontamente reconhecido por Galvani como algo especial e a partir daquele momento passou a dedicar- se ao estudo da eletricidade animal. Galvani observou que, mesmo sem a aplicação de choque elétrico, era possível obter a contração dos músculos das patas posteriores da rã. Para isso, eles eram colocados em contato com o nervo lombar que, por sua vez, era estimulado por um par bimetálico (cobre e zinco). Dos seus experimentos, concluiu: "o músculo e o nervo constituem uma espécie de condensador de uma própria e peculiar eletricidade que existe em todos os animais vivos". Galvani acreditava que "nos músculos se reúne o fluido elétrico, que logo se difunde pelo corpo mediante a rede de nervos, os quais são condutores naturais do fluido elétrico e que se insinuam com suas extremidades dentro dos músculos". Suas principais observações estão no seu livro De viribus Electricitatis in motu muscularis (1871). Na época de Galvani, ALEXANDRO VOLTA ensinava Física na Universidade de Pavia. Volta, estudando o fenômeno descrito por Galvani, concluiu que os metais podiam produzir eletricidade e, em 1800, construiu o primeiro gerador químico de eletricidade empilhando alternadamente discos de cobre e zinco. Os metais foram separados por papel ou camurça embebidos em solução aquosa acidulada com vinagre. Concluiu dizendo que os músculos e os nervos são apenas condutores de eletricidade e que no par bimetálico usado por Galvani estava a fonte geradora de eletricidade. • Potencial transmembrana. A descoberta das correntes de injúria foi fundamental para que se soubesse que a membrana superficial das células vivas se encontra submetida a uma diferença de potencial, que é chamada de potencial transmembrana ou potencial de membrana. As células não-excitáveis, tais como as epiteliais do homem, apresentam um potencial de membrana constante, cujo valor está em torno de -20mV. Nos nervos e nos músculos, contudo, esses potenciais chegam a -90mV. Quando a célula está quiescente, o seu potencial de membrana apresenta valor constante e é chamado de potencial de repouso. Não satisfeito, Galvani redarguiu relatando os resultados de novos experimentos nos quais conseguiu obter a contração dos músculos da pata de uma rã quando eles eram postos em contato com o nervo ciático de uma outra rã. Nesses experimentos não usou o par bimetálico para estimular. Com isso, mostrou que os elementos geradores de tensão e de corrente elétrica estavam situados no animal. A contenda científica entre Galvani e Volta somente pôde ser resolvida com o desenvolvimento da ciência. Hoje se sabe que ambos estavam certos. De fato, as estruturas nervosas são capazes de iniciar e de propagar estímulos elétricos e estes participam decisivamente na promoção da resposta contrátil muscular. Por outro lado, lâminas bimetálicas podem produzir uma diferença de potencial elétrico suficiente para estimular o aparecimento do impulso elétrico nos nervos. Registro do fenômeno elétrico no coração. Depois que Galvani chamou a atenção para a eletricidade animal, não tardou muito para que WALLER (1887, 1899) descobrisse que os batimentos cardíacos ocorriam concomitantemente com o aparecimento de correnteselétricas e que elas podiam ser detectadas na superfície do corpo. EINTHOVEN (1913), tendo inventado o galvanômetro de mola, registrou pela primeira vez essas correntes, obtendo os primeiros eletrocardiogramas e abrindo para a ciência uma importante vertente de investigação. A detecção dos fenômenos elétricos nos nervos precedeu os trabalhos de EINTHOVEN. Em 1850, HELMHOLTZ conseguiu medir a velocidade de propagação da onda de excitação no nervo gastrocnêmico da rã e, pouco depois, BERNSTEIN (1868) obteve o registro da evolução temporal do potencial de injúria do nervo lesado. • POTENCIAL DE REPOUSO Em seres humanos e animais, cerca de 20% da taxa metabólica basal é usada para manter o Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 21 Potencial Elétrico funcionamento elétrico das células, usadas para controlar: • O fluxo de íons que se encontram em grandes quantidades do lado externo e interno da célula e no meio extracelular. • Os efeitos devido às diferentes concentrações de íons presentes no interior das células e no meio extracelular. Entre o líquido no interior de uma célula e o fluido extracelular há uma diferença de potencial elétrico denominada potencial de membrana. O potencial de uma membrana celular é a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna da membrana celular quando elas estão eletricamente carregadas. Lembrando que as membranas celulares são estruturas complexas constituída por uma bicamada de fosfolipídios onde estão imersas moléculas de proteínas, como esquematizado na Figura 2.7. Os fosfolipídios ocupam 70% do volume e mais de 90% da superfície da membrana. O empacotamento dessas moléculas impede a passagem de íons e água através da membrana; porém como há proteínas transmembranais que formam canais através da bicamada, como descrevemos anteriormente, é possível a troca dos íons do meio intra para o meio extracelular e vice- versa. As propriedades elétricas da membrana celular são derivadas da ionização de suas superfícies externa e interna e principalmente de sua capacidade de deixar passar seletivamente apenas alguns tipos de íons. Nas células excitáveis, a membrana celular tem permeabilidade seletiva. As membranas biológicas geralmente são: • Permeáveis a pequenos íons inorgânicos e monovalentes. • Pouco permeáveis a íons multivalentes. • Impermeáveis a íons inorgânicos complexos (fosfatos orgânicos) e proteínas. Os meios extra e intra celular apresentam geralmente característica salina. As moléculas suspensas nesses meios encontram-se ionizadas, movendo-se livremente. Por outro lado, tanto dentro como fora da célula, a concentração de ânions é muito próxima da concentração de cátions. Quando não há influências externas sobre a célula, o potencial de uma membrana celular é denominado de Potencial de Repouso V0. As membranas apresentam alta resistência elétrica decorrente da extensa superfície líquida, o que implica num potencial elétrico elevado (da ordem de 100 mV) entre o interior e o exterior da célula. Esse potencial pode ser medido ligando-se, por meio de microeletrodos, os pólos de um medidor de voltagem ao interior de uma célula (ponto A), e ao líquido extracelular (ponto B), como mostra a Figura 1. Esses eletrodos são, em geral, capilares de vidro, com uma ponta com menos de 1 µm de diâmetro, contendo uma solução condutora de KCI. Essa solução está em contato com o medidor de voltagem por meio de um fio metálico. A Figura mostra o resultado de uma experiência típica para medir a diferença de potencial elétrico entre as partes externa e interna de uma célula. Para isso colocam-se, inicialmente, os eletrodos A e B no líquido extracelular. A seguir o eletrodo A é colocado no interior da célula. O deslocamento do eletrodo A é indicado na Figura 12 pela variação de x, coordenada na direção perpendicular à membrana de espessura d. Quando as pontas dos dois eletrodos estão no meio externo, a diferença de potencial medida W é nula, indicando que o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto desse meio. O mesmo aconteceria se os dois eletrodos pudessem ser colocados no interior da célula, pois ambos os meios são condutores. O potencial elétrico do fluido extracelular, por convenção, é considerado nulo e V é o potencial no interior da membrana. Assim, a diferença de potencial ∆V entre os dois meios é: ∆V = V - 0 = V Quando a ponta do eletrodo A penetra na célula, o potencial elétrico V diminui bruscamente para aproximadamente: -70 mV(-70.10-3V) como indica a Figura 12. Na maioria das células, o potencial de membrana V permanece inalterado, desde que não haja influências externas. Quando a célula se encontra nessa condição, dá-se ao potencial de membrana V, a designação de potencial de repouso representado por V0. Numa célula nervosa ou muscular o potencial de repouso é sempre negativo, apresentando um valor constante e característico. Nas fibras nervosas e musculares dos animais de sangue quente, os potenciais de repouso se situam entre -55 mV e -100 mV. Nas fibras dos músculos lisos, os potenciais de repouso estão aproximadamente entre -30 mV e -55 mV. Figura 1 – Medida do potencial de repouso de uma célula. Medidor De Voltagem Meio externo Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 22 Potencial Elétrico Exercícios: Hayt – Capítulo 4 – 6ª Edição 1. O valor de E em P(r =2, f =400 , z = 3) é dado por ( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ Determine o trabalho incremental para deslocar uma carga de 20 mC de uma distância de 6 mm na direção de : (a) ρa . ˆ (b) φa . ˆ (c) . zâ (d) E. (f) zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−= Solução: (a) Direção: . ρâ dLaEQdW Lˆ⋅−= ρaaL ˆˆ = ( ) dLaaaaQdW Lz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ ( ) dLaaaaQdW z ρφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= QdLdW 100−= µµ 620100 ⋅⋅−=dW pJdW 12000−= nJdW 12−= (b) Direção: : φâ dLaEQdW Lˆ⋅−= ( ) dLaaaaQdW z φφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= QdLdW 200= µµ 620200 ⋅⋅=dW nJdW 24= (c) Direção: : zâ dLaEQdW Lˆ⋅−= ( ) dLaaaaQdW zz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ µµ 630020 ⋅⋅−=dW nJdW 36−= (d) Direção: E : dLaEQdW Lˆ⋅−= E EaL =ˆ dL E EEQdW ⋅−= dL E E QdW 2 ⋅−= dLEQdW ⋅−= ( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ ( ) 14100300200100 222 =+−+=E µµ 61410020 ⋅⋅−=dW JdW 810489988.4 −⋅−= nJdW ⋅−= 89988.44 (e) Direção: zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−= : zyxL aaa G G ˆ 29 4ˆ 29 3ˆ 29 2 +−==â dLaEQdW Lˆ⋅−= ( )mVaaa zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρE zyxL aaa ˆ29 4ˆ 29 3ˆ 29 2 +−=â φρ φφ asenax ˆˆcos −â = φρ φφ aaseny ˆcosˆ +â = yx asena ˆˆcosâ φφρ += yx aasen ˆcosˆâ φφφ +−= 643.0;766.0cos400 ==⇔= φφ senφ â yx aa ˆ643.0ˆ766.0 φρ += yx aa ˆ766.0ˆ643.0 +â −=φ Substituindo em: ( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ ( )++= yx aaE ˆ643.0ˆ766.0100 ( ) zyx aaa ˆ300ˆ766.0ˆ642.0200 ++−− ( ) ++= xaE ˆ558.1286.76 ( ) zy aa ˆ300ˆ2.1533.64 +− ( )mVaaaE zyx ˆ300ˆ9.88ˆ158.205 +−= zyxL aaaa ˆ29 4ˆ 29 3ˆ 29 2ˆ +−= E 29 4300 29 39.88 29 2158.205ˆ +−−=⋅ La 834.222523.49194.76ˆ ++=⋅ LaE 5514.348ˆ =⋅ LaE Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 23 Potencial Elétrico dLaEQdW Lˆ⋅−= µµ 65514.34820 ⋅⋅−=dW nJdW 826,41−= 2. Seja: ( )mVaaaE zyx ˆ500ˆ300ˆ400 +−= nas vizinhanças do ponto P(6, 2, -3). Determine o trabalho incremental realizado no deslocamento e uma carga de 4 de uma distância de 1mm na direção especificada por: (a) zyx aaa ˆˆˆ ++ (b) zyx aaa ˆˆ3ˆ2 −+− 3. Se mVaE ρˆ120= , determine a quantidade de trabalho incremental realizado no deslocamento de uma carga de 50 mC de uma distância de 2mm a partir de: (a) P(1, 2, 3) em direção aQ(2, 1, 4); (b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3); Solução: z 4 3 Q(2,1,4) aL P(1,2,3) 1 2 1 f 2 y x (a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4); dLaEQdW Lˆ⋅−= mVaE ρˆ120= Em coordenadas cilíndricas: 521 2222 =+=+= pp yxρ yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ += yx aaa ˆ5 2ˆ 5 1ˆ +=ρ mVaaE yxP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ˆ 5 1ˆ 5 1120 → → = PQ PQaLˆ zyx aaaPQPQ ˆˆˆ +−=−= → 31)1(1 222 =+−+= → PQ zyxL aaa ˆ3 1ˆ 3 1ˆ 3 1 +−=â 15 120 15 240 15 120ˆ −=−=⋅ LaE dLaEQdW Lˆ⋅−= 36 102 15 1201050 −− ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⋅−=dW JdW µ098.3= (b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3); → → = QP QP Lâ zyx aaaQPQP ˆˆˆ −+−=−= → 3)1()1()1( 222 =−+++−= → QP zyxL aaa ˆ3 1ˆ 3 1ˆ 3 1 −+−=â mVaE ρˆ120= Em coordenadas cilíndricas: 512 2222 =+=+= QQ yxρ yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ += yx aaa ˆ5 1ˆ 5 2ˆ +=ρ mVaa yxQ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ˆ 5 1ˆ 5 2120E 15 120 15 120 15 240ˆ −=+−=⋅ LQ aE dLaEQdW Lˆ⋅−= 36 102 15 1201050 −− ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⋅−=dW JdW µ098.3= 4. Determine a quantidade de energia necessária para deslocar uma carga de 6C da o igem até P(3, 1, -1) no campo r ( mVaayaxE zyx ˆ4ˆ3ˆ2 2 +−= ) ao longo do caminho reto x = -3z, y = x+2z. 5. Calcule valor de ∫ ⋅ P A dG L para G xâ2= y , com A( l, -1 , 2) e P(2, 1, 2) usando o caminho: (a) segmentos retos de: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 24 Potencial Elétrico -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2); (b) segmentos retos de A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P (2, 1, 2). Solução: -1 -0.5 0 0.5 0 1 2 3(a) segmentos retos de: A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2); A(1, -1, 2) B(1,1,2) P(2,1,2) xayG ˆ2= ∫ ⋅ P A LdG zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= dxydxydxyLdG A B B A P A x x x x x x P A ∫∫∫∫ +==⋅ 222 ⎩ ⎨ ⎧ =∴<<⇔→ =∴=⇔→ 121 01 yxPB dxxBA 22120 2 1 2 1 =⋅=⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdG P A (b) segmentos retos de: A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P (2, 1, 2). A(1,-1,2) C(2,-1,2) P(2,1,-2) xayG ˆ2= ∫ ⋅ P A LdG zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= dxydxydxyLdG A C C A P A x x x x x x P A ∫∫∫∫ +==⋅ 222 ⎩ ⎨ ⎧ =∴=⇔→ ∴≤≤−=⇔→ 02 21 ;1 dxxPC xyCA 22)1(20 2 1 2 1 −=⋅−=−⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdG P A 6. Seja . zyx ayazaxG ˆ2ˆ2ˆ4 ++= . Dado um ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final Q(4, 3, .l), determine ∫ ⋅ P A LdG usando o caminho: (a) linha reta: y =x – 1, z = 1. (b) parábola 6y = x2 +2, z = 1. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 25 Potencial Elétrico 7. Repita o problema 6 para yx azaxyG ˆ2ˆ3 2 += . Solução: yx azaxyG ˆ2ˆ3 2 += De: P(2, 1, 1) a Q(4, 3, .l) ( ) (∫ ∫ ++⋅+=⋅ P A C zyxyx adzadyadxazaxyLdG ˆˆˆˆ2ˆ3 2 dyzdxxyLdG c P A c ∫∫ ∫ +=⋅ 23 2 ) (a) linha reta: y =x – 1, z = 1. ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤≤≤ =⇔=−= 31;42 1;1 yx dxdyzxy C dyzdxxyLdG P A ∫∫∫ +=⋅ 3 1 4 2 2 23 dydxxxLdG P A ∫∫∫ ⋅+−=⋅ 3 1 4 2 2 12)1(3 ∫∫∫ ++−=⋅ 3 1 4 2 23 2)363( dydxxxxLdG P A 90)13(2 2 32 4 3 4 2 234 =−++−=⋅∫ = = P A x x xxxLdG (b) parábola 6y = x2 +2, z = 1. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤≤≤ =⇔= + = 31;42 6 21; 6 22 yx dxxdyzxyC dyzdxxyLdG P A ∫∫∫ +=⋅ 3 1 4 2 2 23 dydxxxLdG P A ∫∫∫ ⋅+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =⋅ 3 1 4 2 22 12 6 23 ∫∫∫ +++=⋅ 3 1 4 2 35 2)44( 36 3 dydxxxxLdG P A )13(22 6 1 12 1 4 2 246 −+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ++=⋅ = = ∫ x x P A xxxLdG 82478 =+=⋅∫ P A LdG 8. Uma carga pontual Q1 está localizada na origem no espaço livre. Determine o trabalho realizado no deslocamento de Q2 de: (a) B(rB, θB, fB) até C(rA, θB, fB),com θ e f mantidos constantes; (b) C(rA, θB, fB) até D(rA, θA, fB) com r e f mantidos constantes; (c) D(rA, θA, fB) até A(rA, θ.A, fA) com r e θ mantidos constantes. 9. Uma densidade superficial de carga uniforme de 20 nC/m2 está presente na superfície da esfera r =0,6 em no espaço livre. (a) Determine o potencial absoluto em P(r = l cm, θ = 250, f = 500); (b) Determine VAB, dados os pontos A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) e B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900). Solução: (a) P(r = l cm, θ = 250, f = 500) r R r A r QV ss 0 2 00 4 4 44 πε πρ πε ρ πε === 2 0 23 2 104 )106(420)10( − − − ⋅== πε πnrV VrV 14.8)10( 2 == − (b) VAB, A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900). BAAB VVV −= 0715.4 4 4 44 0 2 00 ==== A s A s A A r R r A r QV πε πρ πε ρ πε V 7143.2 4 4 44 0 2 00 ==== B s B s B B r R r A r QV πε πρ πε ρ πε V 7143.20715.4 −=ABV VVAB 3572.1= 10. Dada uma densidade superficial de carga de rS de 8nC/m2 no plano .x = 2, uma densidade linear de carga de 30nC/m na linha x = l. y = 2 e uma carga pontual de lµC e,m P(-l, -1, 2), determine VAB para os pontos A(3, 4, 0) e B(4, 0, 1). 11. Seja uma densidade superficial de carga uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma densidade linear de carga de 8 nC/m localizada em .x = 0, z = 4 e uma carga pontual de 2mC presente em P'(2, 0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5) determine V em N(l, 2, 3). Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 26 ∫ ⋅−=−= A B BAAB LdEVVV Potencial Elétrico E Solução: Solução: z z M(0,0,5) M(0,0,5) (V = 0) 5 (V = 0) 5 rL = 8nC/m 4 Q(0,y,4) r 3 3 θ θ N(1,2,3) 2 2 1 y 1 y 2 (2,0,0) Q = 2µC 2 (2,0,0) Q rS = 5nC/m2 r P(x,y,z) P(x,y,z) EL x x Diferença de Potencial entre A e B Diferença de Potencial entre A e B ∫ ⋅−=−= A B BAAB LdEVVV L = 8nC/m 4 Q(0,y,4) N(1,2,3) = 2µC S = 5nC/m2 EL • Potencial devido à distribuição de carga linear de densidade linear de carga de rL = 8 nC/m: Campo devido ao fio em N: ρπε ρ ρaE L ˆ 2 0 = Observando a figura, temos: 222 )4()()0( −+−+−= zyyxρ →→ → − == QP QP QP QPa ρˆ ( ) ( ) ( ) zx a zx za zx xa ˆ 4 4ˆ 4 ˆ2222 −+ − + −+ =ρ ρπε ρ ρaE LN ˆ 2 0 = ( ) ( )( )zxN azax zx nE ˆ4ˆ 4 1 2 8 2 220 −+ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −+ = πε ( ) ( )( )zxP azax zx n ˆ4ˆ 4 1 2 8 22 0 −+ −+ = πε zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= ∫ ⋅−=−= N M NMNNM LdEVVV ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − + −+ =⋅ dz zx zdx zx xnLdEP 2222 0 4 4 42 8 πε ( )∫ −+−=−= N M MNNM dxzx xnVVV 22 0 42 8 πε ( )∫ −+ −N M dz zx zn 22 0 4 4 2 8 πε − ( )[ ] )3,2,1(( )5,0,0(22 0 4ln 2 1 2 8 −+−=−= zxnVVV MNNM πε ( )[ ] )3,2,1( )5,0,0(22 0 4ln 2 1 2 8 −+ zxn πε − ( )[ ] )3,2,1(( )5,0,0(22 0 4ln2 2 1 2 8 −+−=−= zxnVVV MNNM πε ( )[ ]( 22 0 431ln 2 8 −+−=−= πε nVV MNNMV ( )[ ])22 450ln −+− ( )2ln 2 8 0πε nVVV MNNM −=−= 813.99−=−= MNNM VVV V 813.990 −=−= NNM VV V 813.99−=N • Potencial devido à distribuição de carga de densidade superficial de carga uniforme de rS = 5 nC/m2 ∫ ⋅−=−= N M NMNNM LdEVVV z S S aE N ˆ2 0ε ρ = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= ∫ ⋅−=−= N M S MNNM dzVVV 02ε ρ Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 27 Potencial Elétrico ∫ ⋅−=−= 3 5 02 dzVVV SMNNM ε ρ 71,564 2 0 3 5 0 ==−=−= ε ρ ε ρ sS MNNM zVVV V • Potencial devido à carga pontual de Q = 2mC: ∫ ⋅−=−= N M NMNNM LdEVVV Q ∫−=−= N M MNNM r drQVVV 2 04πε ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−=−= N M r r MNNM r QVVV 1 4 0πε 29502 222 =++=Mr ( ) ( ) ( ) 14302012 222 =−+−+−=Nr ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −−−=−= 29 1 14 1 4 0πε QVVV MNNM ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=−= 29 1 14 1 4 0πε QVVV MNNM ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=−= 29 1 14 1 4 2 0πε µ MNNM VVV [ ]185695.026726.0 4 2 0 −=−= πε µ MNNM VVV VVVV MNNM 1639.1468=−= QSL NNNN VVVV ++= ρρ 1639.146871.564813.99 ++−=NV 061.1933=NV ñ kVVN 933,1= 12. Três cargas pontuais de 0.4pC cada estão localizadas em (0, 0,- l), (0, 0, 0) e (0,.0,.l) no espaço livre. (a) Encontre uma expressão para o potencial absoluto como uma função de z ao longo da linha. x = 0, y = 1. (b) Esboce V(z). . 13. Três cargas pontuais idênticas de 4 pC cada estão localizadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de 0,5 mm de lado no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para deslocar uma carga para um ponto eqüidistante das outras duas e sobre a linha que as une? Solução: y B 4pC rB 0.5mm x 4pC rA A 4pC ∫ ⋅−=−= A B BAAB LdEVVV ∫−=−= A B BAAB drr QVV Q 2 0 1 41 πε V A B r r BAAB r QVV ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−=−= 0 1 4πε V ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=−= BA BAAB rr Q VV Q 11 4 0 1 1 πε V rA = 2.5 mm; rB = 5.0 mm ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⋅ =−= −− 44 0 105 1 105.2 1 4 4 1 πε pVVV BAABQ 04 8000 1 πε pVVV BAABQ =−= Cálculo da energia entre as cargas Q1 e Q2: 2 0 2 4 8000 121 QpVQ QABQQ πε ==W ppVQ QABQQ 4 4 8000 0 2 121 πε ==W W W W JVQ QABQQ 15 2 10288000121 −⋅== JVQ QABQQ 12 2 10288121 −⋅== Analogamente: pJVQ QABQQ 288 323 2 == Energia total: JVQWWW QABQQQQT 12 2 10288232321 −⋅⋅==+= pJWWW QQQQT 5762321 =+= Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 28 Potencial Elétrico 14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em (1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre. 14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em (1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre. (a) Determine V em P(0, 0, z). (a) Determine V em P(0, 0, z). (b) Determine Vmax. (b) Determine V (c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (d/) Determine |dVIdz|max. (d/) Determine |dVIdz| 15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em P(4, 1,3). 15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em P(4, 1,3). Solução: Solução: z z 3 F2(-1,2,z) 3 F 2 -1 rL2 = 8nC/m 2 -1 r F1(1,y,2) rL1 = 8nC/m F 1 2 1 2 1 P(4,1,3) y 1 P(4,1,3) y 4 4 x x Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto qualquer sobre o Fio (1) é F1(1,y,2). Então: Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto qualquer sobre o Fio (1) é F max. max. 2(-1,2,z) L2 = 8nC/m 1(1,y,2) rL1 = 8nC/m 1(1,y,2). Então: ρπε ρ ρaE L ˆ 2 0 = 222 1 )2()()1( −+−+−== → zyyxPF ρ →→ → − == PF FP PF PFa 1 1 1 1ˆ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) zx a zx za zx xa ˆ 21 2ˆ 21 1ˆ 2222 −+− − + −+− − =ρ ( ) ( ) ( ) ( )( )zxF azax zx nE ˆ2ˆ1 21 1 2 8 2 220 1 −+− ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −+− = πε ( ) ( ) ( ) ( )( )zxF azax zx nE ˆ2ˆ1 21 1 2 8 22 0 1 −+− −+− = πε zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= ∫ ⋅−=−= P O FOPPO LdEVVV 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+− − + −+− − =⋅ dz zx zdx zx xnLdEF 2222 0 21 2 41 1 2 8 1 πε ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+− − + −+− −− = ∫∫ dzzx zdx zx xnV P O P O PO 2222 0 21 2 21 1 2 8 πε ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )POPOPO zxzxnV 22212221 0 21ln21ln 2 8 −+−+−+− − = πε ( ) ( )[ ]( ))3,1,4( )0,0,0(22 0 21ln 2 8 −+− − = zxnPO πε V ( ) ( )[ ] [ ]( )2222 0 )20()10(ln2314ln 2 8 −+−−−+− − = πε nVPO [ ] [ ]( )5ln10ln 2 8 0 − − = πε n POV 5 10ln 2 8 0πε n PO − =V 2ln 2 8 0πε n PO − =V 2ln 2 8 0πε nVOP − =−V 2ln 2 8 0πε nVOP − +=V 813.99100 −=PV ( ) VV FP 187.01 = Cálculo do campo devido ao Fio (2) : Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto qualquer sobre o Fio (2) é F2(-1,2,z). Então: ρπε ρ ρaL ˆ 2 0 =E 222 2 )()2()1( zzyxPF −+−++== → ρ →→ → − == PF FP PF PF 2 2 2 2 ρâ ( ) ( ) ( ) ( ) yx a yx ya yx xa ˆ 21 2ˆ 21 1ˆ 2222 −++ − + −++ + =ρ ( ) ( ) ( ) ( )( )yxF ayax yx n ˆ2ˆ1 21 1 2 8 2 220 1 −++ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −++ = πε E ( ) ( ) ( ) ( )( )yxF ayaxyx n ˆ2ˆ1 21 1 2 8 22 0 2 −++ −++ = πε E zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= ∫ ⋅−=−= P O FOPPO LdEVVV 1 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 29 Potencial Elétrico ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++ − + −++ + =⋅ dy yx ydx yx xnLdEF 2222 0 21 2 21 1 2 8 1 πε ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++ − + −++ +− = ∫∫ dyyx ydx yx xnV P O P O PO 2222 0 21 2 21 1 2 8 πε ( ) ( )[ ] ( ) ( )[( )POPOPO yxyxnV 22212221 0 21ln21ln 2 8 −+++−++ − = πε ] ( ) ( )[ ]( ))3,1,4( )0,0,0(22 0 21ln 2 8 −++ − = yxnVPO πε ( ) ( )[ ] [( ]22 )0()10(ln214ln 2 8 −++−++ − = πε nV )22 0 21−PO [ ] [ ]( )5ln26ln 2 8 0 − − = πε nVPO 5 26ln 2 8 0πε nVPO = 5 26ln 2 8 0πε nVV OP − =− 5 26ln 2 8 0πε nVV OP − += 4068.237100−=PV ( ) VV FP 4068.1372 −= ( ) ( ) 4068.137187.0 21 −=+= FPFPP VVV ( ) ( ) VVVV FPFPP 2198.13721 −=+= 16. Distribuições superficiais de carga uniformes de 6, 4 e 2 nC/m2 estão presentes em r = 2,4 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre. (a) Considere V = 0 noinfinito e determine V(r). (b) Calcule Vem r = l, 3, 5 e 7 cm. (c) Esboce V versus r para l < r < 10 cm. 17. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre. Considere V = 0 em r = 4 cm e calcule V em r = (a) 5 cm; (b) 7 cm. Solução: Calculo do campo elétrico Devido às densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, utilizando a Lei de Gauss e utilizando uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r. r z 2 6 rS =2nC/m2 rS =6nC/m2 ρâ dS Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área lateral da superfície cilíndrica é dado por: ρφρ adzdSd ˆ= Aplicando a Lei de Gauss: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + << < =⋅∫∫ 06.0 se 06.020.0 se 02.0 se 0 0 21 0 1 ρ ε ρ ε ρ QQ Q SdE S ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + << < =∫ ∫ − 06.0 se 06.020.0 se 02.0 se 0 0 21 0 1 2 0 21 1 2 2 ρ ε ρρ ρ ε ρ ρ φρ π AA A dzdE ss s L L Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 30 Potencial Elétrico ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + << < = 06.0 se 22 06.020.0 se 2 02.0 se 0 2 0 21 0 1 21 1 ρ ε πρρπρρ ρ ε πρρ ρ πρ LL L LE ss s ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + << < = 06.0 se 06.020.0 se 02.0 se 0 0 21 0 1 21 1 ρ ρε ρρρρ ρ ρε ρρ ρ ss sE ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + << < = 06.0 se 06.0202.06 06.020.0 se 02.06 02.0 se 0 0 0 1 ρ ρε ρ ρε ρ nn n E ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > << < = 06.0 se 118.27 06.020.0 se 559.13 02.0 se 0 ρ ρ ρ ρ ρ E Sendo zadzadadLd ˆˆˆ ++= φρ φρρ , calcularemos: (a) V (r = 5cm) ∫ ⋅−=− 1 2 21 ρ ρ ρρ LdEVV ∫−==−= 05.0 04.0 21 559.13)04.0()05.0( ρ ρ ρρ dVV 05.0 04.021 ln559.13)04.0()05.0( = = −==−= ρ ρ ρρρ VV 4 5ln559.13)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ VV VVV 025.3)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ (b) 7 cm. )4()6( )6()7()4()7( 21 2121 =−= +=−===−= ρρ ρρρρ VV VVVV r 4 6 7 ∫∫ −+−==−= 6 4 7 6 21 559.13118.27)4()7( ρ ρ ρ ρ ρρ ddVV 4 6 6 7 21 ln559.13ln118.27)4()7( −−==−= ρρ VV VVV 676.9)4()7( 21 −==−= ρρ 18. Uma densidade linear de carga não-uniforme, rL = 8/ (z2 + l) nC/m, está situada ao longo do eixo z. Determine o potencial em P(r = l, 0, 0) no espaço livre se V = O em r = ¶. 19. Uma superfície anelar, l cm < r < 3 cm, z = 0 possui uma densidade superficial de carga não- uniforme rS = 5r nC/m2. Determine V em P(0, 0, 2cm) se V = 0 no infinito. Solução: dE z r P(0,0,2) θ 3 r’ 1 zâ 0 f y φâ r df dA ρâ dQ’ x Em coordenadas cilíndricas: ρφρ dddA = O Campo será dado por: rr rr rr dQrEd ′− ′− ′− = 2 04 )( πε Da figura, vemos: ρρar ˆ=′ zazr ˆ= ρρaazrr z ˆˆ −=′− Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 31 Potencial Elétrico 22 ρ+=′− zrr ρφρρρ ddndAdQ s 5== ρφρ ddndQ 25= ( ) ρφ πε ρ ddrr rr nrEd ′− ′− = 3 0 2 4 5)( ( ) ( ) ρφρ ρπε ρ ρ ddaaz z nrEd z ˆˆ 4 5)( 2322 0 2 − + = Note que antes de integrarmos, precisamos fazer a transformação para cartesianas, pois os vetores da base cilíndrica variam em cada ponto (exceto ). zâ Como em coordenadas cilíndricas: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = +−= += zz yx yx aa asenaa senaaa ˆˆ cosˆˆˆ ˆcosˆˆ φφ φφ φ ρ Assim, substituindo: ( ) [ ]( ) ρφφφρ ρπε ρ ddasenaaz z nrEd yxz ˆˆcosˆ 4 5)( 2322 0 2 +− + = As integrais nas componentes x e y darão zero. Mostre!!. Assim: ( ) zaddz znrEd ˆ 4 5)( 2322 0 2 ρφ ρπε ρ + = ( ) zaddz znrE ˆ 4 5)( 3 1 2 0 2322 0 2 ρφ ρπε ρπ ∫ ∫ + = ( ) z a z zdnrE ˆ 4 10)( 3 1 2322 2 0 ∫ + = ρ ρρ πε π Fazendo: θρρθ ztg z tg =⇒= θρ 2seczd = ( ) θθρ 222222 sec1 ztgzz =+=+ ( ) ( ) z ad z zzztgnrE ˆ sec sec 4 10)( 3 1 2322 22 0 θ θ θθ πε π ∫ ⋅ = zad tg z znrE ˆ sec sec 4 10)( 3 1 3 22 3 4 0 θ θ θθ πε π ∫= zad tgznrE ˆ sec4 10)( 3 1 2 0 θ θ θ πε π ∫= zad senznrE ˆ cos4 10)( 3 1 2 0 θ θ θ πε π ∫= zadz nrE ˆ cos )cos1( 4 10)( 3 1 2 0 θ θ θ πε π ∫ − = ( ) zadz nrE ˆcossec 4 10)( 3 10 θθθ πε π ∫ −= ( ) zasentgznrE ˆsecln4 10)( 2 1 0 θ θ θθθ πε π −+= Como: ( ) zasentgznrE ˆsecln4 10)( 2 1 0 θ θ θθθ πε π −+= Voltando: θρρθ ztg z tg =⇒= z z 22 sec + = ρ θ 22 z sen + = ρ ρθ za zzz z znrE ˆln 4 10)( 2 1 22 22 0 ρ ρ ρ ρρρ πε π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −+ + = ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 2 0 9 339ln 4 10 zzz zznE πε π za zzz z ˆ 1 111ln 2 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − zz zz zz zznE 11ln39ln 4 10 22 0 + + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = πε π za z z z z ˆ 19 3 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + + + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ = 11 39ln 4 10 2 2 0 z zzn πε πE za z z z z ˆ 19 3 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + + + − d Calculando o potencial, teremos: zadzadadL ˆˆˆ ++= φρ φρρ ( ) ∫ ∞ ∞ ⋅−=−= 2 2 LdEVcmzV Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 32 Potencial Elétrico dz zz zzdz zz zznV ∫∫ ∞∞ + + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +− = 2 22 2 0 11ln39ln 4 10)2( πε π ⎟⎟ ⎠ ⎞ + + + − ∫∫ ∞∞ 2 22 19 3 dz z zdz z zz 2 222 0 93log 22 93 4 10)2( ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + +− = z zzznV πε π 2 222 0 11log 22 1 4 10 ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + + + z zzzn πε π ( )22 0 93 4 10 ∞++ z n πε π ( )22 0 1 4 10 ∞+− z n πε π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + +− = 2 293log 2 2 2 293 4 10)2( 222 0πε πnV ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + + + 2 211log 2 2 2 21 4 10 222 0πε πn ( )2 0 293 4 10 ++ πε πn ( )2 0 21 4 10 +− πε πn ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = 2 133log2 2 133 4 10)2( 0πε πnV ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ 2 51log2 2 5 4 10 0πε πn ( )133 4 10 0πε πn + ( )5 4 10 0πε πn − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ++− −− = 51 133log25133 2 5133 4 10)2( 0πε πnV ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + −− = 51 133log2 2 1335 4 10)2( 0πε πnV 5.809)2( =V Como calculamos tudo em cm para E e para V, observe que devemos multiplicar por um fator 10-2 (para obter E em N/C) e10-2 para obter V em volt, ou seja, 10-4. Assim: VV 08095.0)2( = 20. A Fig. 4.11 mostra três distribuições de cargas no plano z = 0 no espaço livre, (a) Determine a carga total para cada distribuição, (b) Determine o potencial em P(0, 0, 6) causado por cada uma destas três cargas individualmente. (c) Determine VP. Fig. 4.11 Veja Problema 4.20 21. Seja V = 2xy2z3+3ln(x2 + 2y2+3z2) V no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em P(3, 2, -1): (a) V; (b) |V |; (c) E; (d) |E|; (e) aN; (f) D. Solução: (a) V; ( )22232 32ln32),,( zyxzxyzyx +++=V ( )22232 )1(3223ln3)1(232)1,2,3( −⋅+⋅++−⋅⋅⋅=−V ( )18ln324)1,2,3( +−=−V V32.15)1,2,3( −=V − (b) |V |; VV 32.15)1,2,3( =− (c) E; VE ∇−= zyx az Va y Va x VE
Compartilhar