1° C e D Matemática Genival

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Escola Estadual André Antônio Maggi
Escola Plena
Apostila de Atividades Escolares
1º Ano do Ensino Médio
	Matemática – Carga horária mensal 32 aulas
	Códigos das habilidades
	Objetos do conhecimento
	EM13MAT302
	Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
	EM13MAT502
	Funções polinomiais do 2º grau (função quadrática): gráfico, raízes, pontos de máximo/mínimo, crescimento/decrescimento, concavidade. Gráficos de funções.
Nome do Professor: Genival Gonçalves da Costa Santos
Nome do Estudante: 
Período: Integral Turma: ( ) A ( ) B ( ) C ( )D
Período / Semana: 03 a 07/11/2020 / 1ª. 
Tema: Equações do 2º grau com uma incógnita.
Uma equação do 2° grau é toda e qualquer equação com uma incógnita, cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado e é expressa da seguinte forma:
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
A representação ax2 + bx + c = 0 é chamada de Forma Geral da equação do 2º grau, a letra x é a incógnita, e as letras a, b e c são números reais que exercem a função de coeficientes da equação. Apenas o coeficiente a deve ser diferente de zero, sendo:
· a, o coeficiente do quadrado da incógnita (coeficiente de x2);
· b, o coeficiente da incógnita (coeficiente de x);
· c, o termo independente da incógnita.
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja, a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equação 2x2 = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0.Sabendo disso, podemos responder:
a) 5x²- 3x - 2 = 0 a = 5, b = -3, c = -2 → Completa!
b) 3x² + 55 = 0 a = 3, b = 0, c = 55 → Incompleta, pois b = 0!
c) x²- 6x = 0 a = 1, b = -6, c = 0 → Incompleta, pois c = 0! 
d) x² - 10x + 25 = 0 a = 1, b = -10, c = 25 → Completa!
Exercícios
01- Verifique quais das equações seguintes são do 2° grau e identifique os coeficientes a, b e c.  
a) 4y² -5y=0
b) 3x-5=0
c) 0x² +10x-8=0
d) - y² - 25=0
e) 8x²+17x+4=0
f) 
02- Escreva a equação , em que:
a) a = 2; b = -5 e c = 7
b) a = 2; b = - 10 e c = 0
c) a = ; b = 0 e c = 5
d) a = 1; b = 3 e c = -4
03- Observe as equações e responda.
Solução:
Período / Semana: 09 a 13/11/2020 / 2ª. 
Tema: Função de 2° Grau.Equação de 2° Grau e Função de 2° Grau é a mesma coisa?
Uma equação é uma igualdade entre expressões algébricas. Quando essas expressões possuem apenas um número desconhecido, chamado incógnita, pode ser possível encontrá-lo resolvendo a equação. Dessa maneira, uma equação possui números desconhecidos, números conhecidos e uma igualdade.
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto numérico a um único elemento de outro conjunto numérico. Essa regra é justamente uma expressão algébrica representada de maneira parecida com as equações. Entretanto, para mostrar que existe uma relação entre elementos de dois conjuntos distintos, de um lado, usa-se f(x) ou y e, do outro, usa-se x.
Assim, as funções fazem uso das equações como regras que relacionam elementos entre conjuntos. Vale lembrar que, nas funções, os números desconhecidos x e f(x) são chamados variáveis, os quais são, respectivamente, independente e dependente, respectivamente.
Função de 2° Grau.
Toda função do tipo , com e , é denominado uma função quadrática ou de 2° Grau.
Exemplos:
Exemplos em aplicações:
· A função que relaciona a área A de um quadrado com a medida x do lado é dada por 
· Em relação a um sistema de abscissas, a posição de um móvel em movimento uniformemente variado é expressa pela função polinomial do 2° grau: em que S0 é a abcissa onde está o móvel no instante inicial (t = 0), v0 é a sua velocidade no instante inicial, a é a aceleração escalar constante do móvel e t é o tempo transcorrido desde o instante inicial.
Gráfico de uma função Quadrática
Observe alguns pontos do gráfico da função quadrática 
Se atribuirmos a x os infinitos valores reais, obteremos o seguinte gráfico:
A partir dessa representação podemos estudar características do gráfico, veja a seguir:
A concavidade da parábola de equação 
Período / Semana: 16 a 19/11/2020 / 3ª. 
Tema: Pontos Interessantes de uma Função Quadrática.
Pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox.
Há parábolas que interceptam o eixo das abscissas em um ou dois pontos. Para obter esses pontos a partir de atribuímos o valor de zero à variável y, obtendo:
Pela fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau, temos:
Ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy .
Para obter esse ponto, atribuímos o valor zero à variável x da equação , obtendo:
Logo, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, c).
Exemplo:
Para esboçar o gráfico da função , vamos obter os pontos de intersecção da parábola com os eixos Ox e Oy.
Observe a concordância entre o sinal do coeficiente a de e o sentido para onde está voltada a concavidade da parábola: como a > 0, a concavidade é voltada para cima.
Vértice da parábola.
Para determinar as coordenadas do vértice V da parábola de equação, vamos utilizar a seguinte relação:
Exemplo:
Exercício: Faça a representação gráfica do exemplo anterior.
Solução:
Período / Semana: 23 a 27/11/2020 / 4ª. 
Tema: Raízes da Equação do 2° grau.
Exercícios.
01- Resolva as equações de 2º grau, apresentando todos os cálculos/passos para encontrar as raízes. 
a) x² - 5x + 6 = 0 
b) x² - 8x + 12 = 0 
c) x² + 2x - 8 = 0 
d) x² - 5x + 8 = 0 
e) 2x² - 8x + 8 = 0 
f) x² - 4x - 5 = 0 
g) -x² + x + 12 = 0 
h) -x² + 6x - 5 = 0 
i) 6x² + x - 1 = 0 
j) 3x² - 7x + 2 = 0 
k) 2x² - 7x = 15 
l) 4x² + 9 = 12x 
m) x² = x + 12 
n) 2x² = -12x - 18 
o) x² + 9 = 4x 
p) 25x² = 20x – 4 
q) 2x = 15 – x² 
r) x² + 3x – 6 = -8 
s) x² + x – 7 = 5 
t) 4x² - x + 1 = x + 3x² 
u) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x² 
v) 4 + x ( x - 4) = x 
w) x ( x + 3) – 40 = 0 
x) x² + 5x + 6 = 0 
y) x² - 7x + 12 = 0 
z) x² + 5x + 4 = 0 
02-Encontre as raízes das equações de 2º grau, apresentando todos os cálculos/passos para solução
a) 7x² + x + 2 = 0 
b) x² - 18x + 45 = 0 
c) -x² - x + 30 = 0 
d) x² - 6x + 9 = 0 
e) (x + 3)² = 1 
f) (x - 5)² = 1 
g) (2x - 4)² = 0 
h) (x - 3)² = -2x² 
i) Quais são as soluções da equação 3x² - 12 = 0?
j) x² + 3x - 28 = 0 
k) 3x² - 4x + 2 = 0 
l) x² - 3 = 4x + 2 
Período / Semana: 30/11/2020 á 04/12/2020 / 5ª. 
Tema: Resolução de equações incompletas
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau
1° Caso – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)
Exemplos:
1) x² - 25 = 0
 x² = 25
 x = √25
 x = 5
 Logo S = (+5 e -5)
2) 2x² - 18 = 0
 2x² = 18
 x² = 18/2
 x² = 9
 x = √9
 x = 3
 Logo S = (-3 e +3)
3) 7x² - 14 = 0
 7x² = 14
 x² = 14/7
 x² = 2
 x = √2
 Logo S = (-√2 e +√2)
4) x² + 25 = 0
 x² = -25
 x = √-25
 Obs: Não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25.
Exercícios
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau, apresentando todos passos para solução
 a) x² - 49 = 0 
 b) x² = 1 
 c) 2x² - 50 = 0 
 d) 7x² - 7 = 0 
 e) 5x² - 15 = 0 
 f) 21 = 7x² 
 g) 5x² + 20 = 0 
 h) 7x² + 2 = 30 
 i) 2x² - 90 = 8 
 j) 4x² - 27 = x²k) 8x² = 60 – 7x² 
 l) 3(x² - 1 ) = 24 
 m) 2(x² - 1) = x² + 7 
 n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) 
 o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x 
Período / Semana: 07 a 09/12/2020 / 6ª. 
Tema: Sequência Numérica e Progressões Aritméticas (P.A).
Sequência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem.
É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma sequência. Por exemplo: Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem.
O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de sequência numérica.
Exemplos:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a sequência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a sequência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números que começa com a letra D.
Quando temos uma sequência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo an.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10
A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (a1, a2, a3,..., an ).
*Para as sequências que são infinitas a representação geral é (a1, a2, a3, an, ... ).
**Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A sequência definida pela lei de formação an = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an é o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, an é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da sequência.
• n = 1 → a1 = 2 . 1² - 1 → a1 = 1
• n = 2 → a2 = 2 . 2² - 1 → a2 = 7
• n = 3 → a3 = 2 . 3² - 1 → a3 = 17
• n = 4 → a4 = 2 . 4² - 1 → a4 = 31.
...
Assim, a sequência formada é (1, 7, 17, 31, ...)
Existe uma maneira genérica para representamos uma sequência assim:
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)
a1 primeiro termo.
a2 segundo termo
a3 terceiro termo
an um termo qualquer
Assim, na sequência (3, 6, 9, 12, 15, ...) temos:
a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9, a4 = 12, ...
Na matemática interessam-nos com maior frequência as sequências onde os termos são números reais e obedecem a uma certa lei de formação, isto é, um critério que permita determinar de modo inequívoco os termos dessa sequência.
Exemplos:
01. A sequência dos números pares maiores que 4:
(6, 8, 10,12,14,16, ...)
02. A sequência dos números reais que obedecem à expressão na = 2 + 3n, com n  N*, é obtida fazendo-se:
para n = 1 a1 = 2 + 3 . 1 a1 = 5
para n = 2 a2 = 2 + 3 . 2 a2 = 8
para n =3 a3 = 2 + 3 . 3 a3 = 11
Assim, essa sequência pode ser representada por: (5, 8, 11,...)
Exercícios
01) Determine os quatro primeiros termos de cada sequência nos seguintes caso, sendo n ∈ N*:
a) an = 1 + n
Solução:
b) an = 3n – 2
Solução:
c) an = 
Solução: 
d) an = 
Solução:
e) an= an = 
Solução: 
f) an = 1 – 2n
Solução: 
g) an= 
Solução:
h) an= an= 
Solução:
Progressões Aritméticas (P.A).
Definição: Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão).
Exemplos:
01. Sendo a1 = 1 e razão r = 2, então:
a2 = a1 + r a2 = 1 + 2 = 3
a3 = a2 + r a3 = 3 + 2 = 5
a4 = a3 + r a4 = 5 + 2 = 7
Assim, a P.A. será (1, 3, 5, 7, ...)
02. Sendo a1 = 7 e razão r = – 4, então:
a2 = a1 + r a2 = 7 – 4 = 3
a3 = a2 + r a3 = 3 – 4 = – 1
a4 = a3 + r a4 = – 1 – 4 = – 5
...
an = an - 1 + r (Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão.). Assim, a P.A. será (7, 3, – 1, – 5, ...).
É importante notar que, dados os termos de uma P.A., determinamos a razão r dessa P.A. efetuando a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu termo anterior.
Exemplos:
01. Na P.A. (1, 4, 7, 10, 13):
Solução:
r = 4 – 1 = 3 ou r = 7 – 4 = 3
02. Na P.A. (8, 43, 53,):
Solução:
r = 43 – 1 = 13 ou r = 53 – 43= 13
Elementos: 
a1 - 1o Termo
an - Termo genérico (ou n-ésimo termo)
r – Razão.
n - Número de Termos.
Sn - Soma dos Termos.
TM - Termo Médio. 
Fórmula do termo Geral da P.A.
an = a1 + (n-1).r
Exemplos:
01. Calcule o décimo termo da P.A. (3, 7, 11,...).
Solução:
Sendo a1 = 3, r = 4 e n = 10 (pois, como queremos a10, então an = a10) e aplicando a fórmula an = a1 + (n – 1). r, temos:
a10 = 3 + (10 – 1) . 4
a10 = 3 + 36
a10 = 39
02. Determine o primeiro termo de uma P.A. em que a8 = 35 e r = 3. Sendo a8 = an e aplicando a fórmula an = a1 + (n – 1) . r:
Solução:
a8 = a1 + (8 – 1) . 3
35 = a1 + 21
35 – 21 = a1
a1 = 14
03- Numa P.A. o primeiro e o último termo são, respectivamente, 15 e 223 e a razão é igual a 8. Quantos termos tem essa P.A.
Solução: 
Sendo a1 = 15, an = 223 e r = 8 e aplicando a fórmula an = a1 + (n – 1) . r:
223 = 15 + (n – 1) . 8
223 – 15 = (n – 1) . 8
208 = (n – 1) . 8
2088 = (n – 1)
26 + 1 = n
n = 27
Exercícios- “Todos exercícios deverá apresentar os cálculos para encontrar a solução”.
01- Determine os quatro primeiros termos de uma P.A. de razão 3 e primeiro termo igual a 4.
Solução: 
02- Calcule os 6 primeiros termos de uma P.A., dados a1 = 8 e r = – 4.
Solução: 
03- Determine a razão das seguintes P.A.
a) (0, 4, 8, 12, 16).
Solução
b) (5, 3, 1, – 1, – 3).
Solução: 
c) (– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3).
Solução: 
d) (– 3, 0, 3, 6, ...).
Solução: 
e) (15, 10, 5, ...).
Solução: 
f) (, 1, , 2, , ...).
Solução: 
04- Calcule o sétimo termo da P.A. (1, 6, 11, ...).
Solução: 
05- Determine o a15 da P.A. (– 3, – 1, 1, 3, ...).
Solução: 
06- Numa P.A. de 20 termos, o primeiro termo é 5 e a razão é 4. Determine o último termo dessa P.A.
Solução: 
07- Na P.A. em que a30 = 24 e r = 6, calcule o primeiro termo.
Solução: 
08- Na P.A. em que a9 = 50 e r = – 2, calcule a1 e a18.
Solução: 
09- Calcule o número de termos de uma P.A. sabendo-se que a1 = – 14, an = 19 e r = 3
Solução: 
________________________________________________________________________________
Período / Semana: 14 a 18/12/2020 / 7ª. 
Tema: Aplicação da fórmula de Progressões Aritméticas em outros exemplos. 
01. Numa P.A., sabe-se que a1 = 8 e a10 = 62. Determine a razão.
Solução: 
Sendo a1 = 8, a10 = 62, n = 10 e aplicando a fórmula an = a1 + (n – 1). r, temos:
62 = 8 + (10 – 1) . r
62 – 8 = 9 . r
54 = 9 . r
549 =r
r = 6
02- Numa P.A., sabe-se que a5 = 8 e a10 = 23. Qual é a razão e o primeiro termo dessa P. A.?
Solução: 
a5, a6, a7, a8, a9, a10 6 termos. 
an = a1+(n – 1).r 
a10 = a5 + (6 – 1).r 
23 = 8 + 5.r
23 – 8 = 5.r
15 = 5.r
15/5= r
5=r
Calculando a1.
an= a1 + (n – 1).r
a5=a1 + (5 – 1).r
8=a1 + 4.3
8=a1 + 12
8-12=a1
-4= a1
03-Quantos são os múltiplos de 4 compreendidos entre 6 e 101?
Solução:
 
6, 7, 8, ............................., 100, 101 
 a1 an 
an=a1 + (n – 1).r 
100 = 8 + (n – 1). 4 
100 – 8 = (n – 1) . 4 
92 = (n – 1) . 4 
924 =(n – 1) 
23 = n – 1 
23 + 1 = n 
24 = n
04. Insira ou interpole 7 meios aritméticos entre 3 e 35.
Solução:
 
3, __, __, __, __, __, __, __, 35
a1 a9
a = a1 + (n – 1).r
a9 = a1 + (9 – 1).r
35 = 3 + 8.r
35 – 3 = 8.r
32 = 8.r
328 = r
4 = r
Logo: (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35)
Exercícios. “Todos exercícios deverá apresentar os cálculos para encontrar a solução”.
01- Calcule a razão de uma P.A., sabendo-se que a1 = 100 e a21 = – 40.
Solução: 
02- Determine a razão e o primeiro termo de uma P.A. em que a4 = – 3 e a11 = – 38.
Solução:
03- Quantos múltiplos de 5 há compreendidos entre 8 e 521?
Solução: 
04- Quantos múltiplos positivos de 3 formados por 3 algarismo?
Solução: 
05- Insira 5 meios aritméticos entre 12 e 54.
Solução: 
06- Interpole 4 meios aritméticos entre 2 e 42.
Solução: 
07- 
Solução:
08-
Solução:
Fontes e referências:
•Orientações: 
-BRASIL. Base NacionalComum Curricular – Educação é a base. Brasília: MEC, 2018.
-MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matriz de Referência ENEM: Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: http://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf. Acessado em 14/10/2020.
-MATO GROSSO. Secretaria Estadual de Educação, Esporte e Lazer. Projeto Pedagógico de Educação Integral. 2019.
-MATO GROSSO. Secretaria de Educação, Esporte e Lazer. Documento de Referência Curricular de Mato Grosso: Concepções para Educação Básica. 2019.
 •Livros:
-IEZZI, G. Matemática, Ciência e Aplicações. São Paulo, SP, 2016.
MORAN, JOSE MANUEL; MASETTO, MARCOS T.; BEHRENS, MARILDO APARECIDA. Novas Tecnologias e Mediação Pedagógica. Campinas, SP, Papirus, ed. 10, 2000.
- MURAKAMI, C.; IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar - Conjuntos, Funções - Vol. 1 - 8ª Ed. Editora: Atual. 2004.
- PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. 2.ed.-São Paulo: Moderna, 2010.
-SOUZA, Joamir Roberto de. Contato matemática. 1º ano. São Paulo: FTD, 2016.
•Sites: Acessado: 14/10/2020. 
- www.enem.inep.gov.br - (ENEM 2015 á 2020) – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. 
•Outros: Acessado: 14/10/2020. 
-Clube do Professor: Felipe Baroni.
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