Estabilidade de Sistemas Elétricos

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Aula 00: Estabilidade de Sistemas 
Elétricos de Potência
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
Favor acessar o link abaixo para realizar o procedimento de sondagem de aprendizado:
https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=nqplKssl7kiFm3JpfMgFXHmQv6
RrgZ1Pt-0X03joUxBUQ0I4Rk9BVURRMjhaQlo3RzRNSkZCWVpVRC4u
https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=nqplKssl7kiFm3JpfMgFXHmQv6RrgZ1Pt-0X03joUxBUQ0I4Rk9BVURRMjhaQlo3RzRNSkZCWVpVRC4u
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
CARGA HORÁRIA: 66h
EMENTA 
Estuda a estabilidade de Sistemas Elétricos no que compete
à análises de curto-circuito e fluxo de carga e análises da
estabilidade e do controle do sistema elétrico de potência,
bem como sua operação segundo critérios econômicos.
Discute ainda noções básicas de sistemas de transmissão
tipo HVDC.
COMPETÊNCIAS
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
II- TRABALHAR EM EQUIPE.
VII- PENSAMENTO MATEMÁTICO, FÍSICO e QUÍMICO-
Aplicar conhecimentos matemáticos, físicos, químicos nas atividades da
engenharia.
VIII - PENSAMENTO LÓGICO-
Pensar e usar a lógica formal estabelecendo relações, comparações e
distinções em diferentes situações.
XIII - DOMÍNIO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO-
Utilizar sistemas informatizados requeridos para a operacionalização da
profissão.
XIV - DESENVOLVIMENTO DE PROJETOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS-
Elaborar e integrar projetos de sistemas de geração, transmissão e
distribuição de energia elétrica.
XVIII - OPERAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS-
Operar e otimizar o funcionamento e manutenção de unidades
consumidoras, geradoras e transmissoras de energia elétrica, máquinas
elétricas e sistemas de medição e controle elétricos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
1- Lembrar as grandezas e conceitos de sistemas elétricos de
potência.
2- Entender e aplicar as técnicas de resolução de sistemas elétricos
de potência.
3- Calcular as diversas grandezas envolvidas nos sistemas elétricos.
4- Interpretar as diversas grandezas envolvidas nos sistemas
elétricos.
5- Conhecer e resolver os problemas de sistemas elétricos de
potência.
6- Utilizar softwares de simulação de sistemas elétricos de potência.
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA - APS:
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA - APS:
ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS
Estudar o sistema de transmissão de energia elétrica em Corrente Contínua,
elaborar um documento no formato de artigo com 3 páginas e um Powerpoint
para apresentação de 5 minutos em sala de aula.
Simular o sistema de transmissão CC em um ambiente computacional.
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA - APS:
AVALIAÇÃO
A avaliação da APS será baseada nos princípios de autonomia pedagógica,
feedback significativo e metacognição, culminando na autoavaliação do
estudante. A nota da APS será atribuída no valor de 0,0 (zero) até 1,0 (um)
ponto e vai compor a nota da A2, com base na rubrica de autoavaliação
disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
Só poderá realizar a autoavaliação o estudante que finalizar a atividade
conforme instruções deste documento, postando-a até o dia solicitado pelo
professor.
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
Recursos 
NOVO MODELO DE AVALIAÇÃO
Conteúdo
1. Introdução 
2. Estados Operativos de um Sistema Elétrico de Potência
3. Programas utilizados em SEP. 
4. Estudos de expansão de sistemas de transmissão
5. Processos autorizativos de empreendimentos de 
transmissão junto à ANEEL
6- Curto-circuito Componentes simétricas
1. Introdução
Os Sistemas Elétricos de Potência ou Sistemas
Eletroenergéticos:
• podem ser definidos como conjunto de equipamentos
físicos e elementos de circuitos elétricos conectados,
que atuam de modo coordenado;
• com o intuito de gerar, transmitir e distribuir Energia
Elétrica aos consumidores.
Geração: Perfaz a função de converter alguma forma de
energia (hidráulica, térmica, etc) em energia elétrica;
1. Introdução
Transmissão: Responsável pelo transporte
de energia elétrica dos Centros de
Produção aos Centros de Consumo, ou até
outros sistemas elétricos, interligando-os;
Distribuição: Distribui a energia elétrica recebida do
sistema de transmissão aos grandes, médios e pequenos
consumidores.
1. Introdução
1. Introdução
Fig. 1: Desenho ilustrativo de
um Sistema Elétrico de
Potência (ou Sistema Eletro-
Energético)
1. Introdução
1. Introdução
Diagrama unifilar exemplificando um Sistema Elétrico de Potência
Evolução dos Sistemas de Energia Elétrica 
A gestão de energia e operação de Sistemas Elétricos é uma
tarefa extremamente difícil e complexa,
- exigindo um planejamento prévio bem elaborado;
- e a análise simultânea de uma grande quantidade de
informações técnicas e econômico-financeiras.
1. Introdução
Além disso, vale lembrar que armazenar uma grande
quantidade de energia na forma elétrica é uma tarefa
inviável.
1. Introdução
“Mas qual é o objetivo da gestão de energia e operação 
de Sistemas Elétricos?”
Podemos dizer que a gestão de energia e a operação de
sistemas eletro-energéticos tem como objetivo principal o
suprimento do seu mercado de energia elétrica, levando-
se em conta:
– Continuidade;
– Qualidade; 
– Economia.
1. Introdução
Em decorrência do grande desafio e da grande quantidade
de informações a serem analisadas e processadas, tornou-
se imprescindível automatizar a Operação e o
Gerenciamento de Sistemas Eletro-Energéticos.
1. Introdução
A automação da Operação de Sistemas Elétricos só foi
possível com a implantação de dois tipos de Centros de
Controle:
1. Introdução
- Um responsável pela gestão dos Sistemas de Geração e 1.
Introdução - Um responsável pela gestão dos Sistemas de
Geração e Transmissão, denominado Sistema de
Gerenciamento de Energia ou EMS (Energy Managment
System);
- Outro responsável pela gestão dos Sistemas de Distribuição
de Energia, denominado Sistema de Gerenciamento de
Distribuição ou DMS (Distribution Managment System).
1. Introdução
Fig. 3: Visão geral de 2 Centros de Operação e Controle: a) CPFL; b) ISA-CTEEP
1. Introdução
Centros de 
Controle 
EMS 
(Geração e 
Transmissão)
- Planejamento (Operação e
Expansão);
- Sistema Supervisório
(SCADA);
- Controle da Geração;
- Operação em Tempo Real;
- Análise e Controle de
Segurança em Tempo Real;
- Vários outros estudos em
SEP.
1. Introdução
Objetivo da Operação em Tempo-Real: 
Manter o Sistema Elétrico operando sem sobrecarga em
equipamentos e atendendo todos os consumidores, em
qualquer condição ou Estado de Operativo.
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Importância da caracterização dos Estados Operativos:
- É imprescindível à operação e controle dos sistemas
elétricos.
- Isto porque consiste em verificar se o sistema está ou
não operando adequadamente e, caso não esteja,
deve indicar o que deve ser feito para corrigir essa
operaçãoinadequada.
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Como determinar os Estados Operativos ?
- Através da verificação (análise) contínua do atendimento
de várias restrições: de Carga; de Operação; e de
Segurança.
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Restrições de Carga [ g ( x) = 0 ]:
- traduzem o fato de que o Sistema deve atender todos os
seus consumidores. Logo, são restrições de igualdade,
sendo “ x” as variáveis de estado (tensões fasoriais nas
barras do sistema);
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Restrições de Operação [ h ( x ) ≤ 0 ]:
- refletem a necessidade de serem obedecidos os limites de
operação dos equipamentos do Sistema, por exemplo, a
máxima potência que pode ser transmitida por uma
determinada linha de transmissão;
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Restrições de Segurança [ s ( x ) ≤ 0 ]
- consiste de analisar um conjunto preestabelecido de
contingências possíveis (ou as mais prováveis) de
equipamentos do Sistema para um determinado estado de
operação. Tem o papel de verificar a capacidade do
Sistema elétrico continuar operando da forma adequada
após a simulação de alguma perturbação (contingência).
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Fig. 4: Estados operativos e transições possíveis de estados
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Baseando-se nas 3 restrições, quatro estados operativos
foram definidos:
➢ Normal Seguro;
➢ Normal Alerta;
➢ Emergência;
➢ Restaurativo.
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Estado Normal Seguro: 
É o estado de operação ideal, pois são obedecidos os
três conjuntos de restrições: carga, operação e
segurança.
Isto significa que o sistema está em perfeitas condições
de operação, sendo que, nenhuma das contingências de
segurança preestabelecidas, se de fato ocorrer, levará o
sistema ao estado de emergência
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Estado Normal Seguro: 
É o estado de operação ideal, pois são obedecidos os
três conjuntos de restrições: carga, operação e
segurança.
Isto significa que o sistema está em perfeitas condições
de operação, sendo que, nenhuma das contingências de
segurança preestabelecidas, se de fato ocorrer, levará o
sistema ao estado de emergência
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Estado Normal Alerta (ou Inseguro):
Neste estado, são obedecidas as restrições de carga e
operação; nem todas as restrições de segurança são
obedecidas.
Da mesma maneira que no estado seguro, o sistema está
intacto, com atendimento de toda a sua demanda e sem
nenhuma violação de limites de operação, porém, a
ocorrência de pelo menos uma das contingências listadas
como possíveis poderá levar o sistema para o estado de
emergência.
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Estado de Emergência:
O que caracteriza o estado de emergência é a violação
das restrições de operação.
A emergência pode ser provocada por uma contingência
e consequente desligamento de um ou mais
componentes do sistema (linhas, geradores, etc).
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Estado Restaurativo:
Este estado é atingido quando uma emergência é
eliminada por desligamento manual ou automático de
partes do sistema, efetuado pelo centro de controle ou por
dispositivos locais.
2. Estados Operativos de um 
Sistema Elétrico de Potência
Estado Restaurativo:
As restrições operacionais são obedecidas, mas o
sistema não está intacto (cargas não-atendidas,
ilhamentos, etc).
Nota-se, portanto, que ao se passar do estado de
emergência para o estado restaurativo, sacrifica-se a
integridade total do sistema, a fim de se resgatar a
observância das restrições de operação.
3. Programas Utilizados 
• Anarede
• Anafas/Sapre
• Anatem
• FormCepel
EditCepel
EditCepel
Anarede
Análise de Redes
Anafas / Sapre
Análise de Faltas Simultâneas
Anafas / Sapre
Sistema de Análise e Projeto de Redes Elétricas
4. Estudos de expansão de sistemas de 
transmissão
• Preparação de infraestrutura de dados
• Estudos de expansão da transmissão específica de
atendimento.
• Estudos e superação de equipamentos e instalações de
transmissão existentes em decorrência de expansões do
sistema.
4. Estudos de expansão de sistemas de 
transmissão
•Estudos de sistemas para a definição das características
elétricas básicas de novos equipamentos e instalações de
transmissão.
• Estudos de integração de novas usinas ao sistema elétrico
com a definição dos parâmetros e características básicas dos
geradores e seus sistemas de controle.
5. Processos autorizativos de 
empreendimentos de transmissão junto à 
ANEEL
• Análise de projetos básicos de empreendimentos de
transmissão.
• Preparação, análise e consolidação de informações
técnicas e econômicas para instruir processos autorizativos
de empreendimentos de transmissão.
• Análise de resoluções autorizativas da ANEEL e, quando
for o caso, preparação de recurso administrativo a ser
interposto junto a ANEEL.
AZEVEDO, G. P.; OLIVEIRA FILHO, A. L. (2001) Control Centers with Open
Archictectures. IEEE Computer Applications in Power Transaction on Power, p.27-32,
outubro.
DY LIACCO, T. E. (1974). Real-Time Computer Control of Power Systems. Proceedings
of the IEEE, Vol. 62, n o7, p.884-891, julho.
MONTICELLI, A. J. (1983). “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, São Paulo -
Brasil: Edgard Blucher.
WU, F. F.; MOSLEHI, K.; BOSE, A. (2005). Power System Control Centers: Past,
Present, and Future. Proceedings Proceedings of the IEEE, Vol. 93, No11, p.1890-1908,
novembro novembro.
ONS - OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ELÉTRICO (2009). Procedimento de
Redes. Revisão 2009. Endereço na Internet: http://www.ons.org.br.
KUNDUR, Prabha. Power System Stability and Control. Estados Unidos: McGraw-Hill,
1994.
Prabha Kundur (Canada, Convener), John Paserba (USA, Secretary), Venkat Ajjarapu
(USA), Göran Andersson, (Switzerland), Anjan Bose (USA) , Claudio Canizares
(Canada), Nikos Hatziargyriou (Greece), David Hill, (Australia), Alex Stankovic (USA),
Carson Taylor (USA), Thierry Van Cutsem (Belgium), and Vijay Vittal (USA). Definition
and Classification of Power System Stability. IEEE Transactions on Power Systems.,
IEEE/CIGRE Joint Task Force on Stability Terms and Definitions. V. 19, n. 02, p.1387-
1401, mai. 2004,
Referências Bibliográficas 
Fim
Aula 1: Estabilidade de Sistemas Elétricos 
de Potência
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
CARGA HORÁRIA: 66h
EMENTA 
Estuda a estabilidade de Sistemas Elétricos no que compete
à análises de curto-circuito e fluxo de carga e análises da
estabilidade e do controle do sistema elétrico de potência,
bem como sua operação segundo critérios econômicos.
Discute ainda noções básicas de sistemas de transmissão
tipo HVDC.
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras:de carga, de tensão 
controlada e swing 
Conteúdo
1. Introdução – Curto-circuito Componentes Simétricas
2. Programas utilizados em SEP. 
3. Processos autorizativos de empreendimentos de 
transmissão junto à ANEEL
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
O planejamento e operação de sistemas elétricos, do porte
do sistema brasileiro ou não, demandam estudos bastante
complexos, tais como os estudos de previsão de carga, de
fluxo de potência, de curto-circuito e de estabilidade.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Modernamente todos esses estudos são feitos por meio de
computadores, alguns deles em tempo real.
A finalidade das disciplinas de Sistemas de Potência é
fornecer uma introdução a tais assuntos.
Curto-circuito e de Estabilidade.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Fluxo de potência, também conhecido como fluxo de
carga, é um problema matemático, cujo objetivo é
determinar as tensões e potências em todos os barramentos
de um sistema elétrico.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Dessa forma podemos dimensionar linhas de
transmissão, transformadores e demais equipamentos
que farão parte do sistema, bem como operá-los
corretamente, de modo a manter os padrões adequados de
tensão e frequência.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Nesses casos, outros métodos, como o Newton-Raphson,
devem ser utilizados.
Interpretação do método de Newton.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
O método desacoplado rápido,
que é uma simplificação do
Newton-Raphson, também pode ser
utilizado em alguns casos.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
A operação correta dos sistemas também depende do
conhecimento dos níveis de curto-circuito em cada
barramento, de modo que sistemas adequados de proteção
possam ser dimensionados.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Em linhas gerais, o problema de curto-circuito nada mais
é do que um problema de fluxo de potência no qual uma
das barras é submetida a condições de curto, ou seja, é
forçada a manter tensão nula ou quase nula.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
O curto, mais apropriadamente denominado falta, pode ser
simétrico, como nos casos dos curtos trifásico e trifásico-
terra, ou assimétrico, como nos casos dos curtos fase-terra,
fase-fase ou fase-fase-terra.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Sendo um problema de fluxo de potência em condições
excepcionais, poderíamos em princípio usar os métodos de
fluxo de potência para resolver problemas de curto-circuito.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Conduto, no caso dos curtos assimétricos, o problema se
torna mais complexo, pois as correntes em cada uma das
fases serão diferentes.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Felizmente, em situações de curto podemos fazer algumas
simplificações no sistema e podemos também usar o
método das componentes simétricas, o que nos permitirá
conhecer correntes e potências de curto em cada uma das
barras do sistema.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Fluxo de potência e curto-circuito formam o conteúdo básico
de Sistemas de Potência, juntamente com os conteúdos
auxiliares (modelos de equipamentos, sistema por unidade e
componentes simétricas).
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Finalmente, estudos de estabilidade têm o objetivo de
determinar os limites operacionais de geradores síncronos
operando em sistemas multimáquinas.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Tais estudos podem ser divididos em estabilidade angular,
estabilidade em frequência e estabilidade de tensão e,
na atual grade do nosso curso, são abordados na disciplina
de Sistemas de Potência.
Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
Componentes Simétricos (ou Simétricas)
1 Introdução
Tais estudos podem ser divididos em estabilidade angular,
estabilidade em frequência e estabilidade de tensão e,
na atual grade do nosso curso, são abordados na disciplina
de Sistemas de Potência.
1. Introdução
O curto-circuito é um dos piores tipos de contingência que
podem ocorrer.
Basicamente existem 4 tipos de curto-circuito:
• Monofásico (fase –terra);
• Bifásico;
• Bifásico Terra;
• Trifásico.
Estabilidade de Sistemas elétricos - Curto-circuito 
Componentes simétricas
1. Introdução
O curto equilibrado e curto desequilibrado.
Para curtos desequilibrados serão utilizadas as componentes
simétricas.
Assim um sistema desequilibrado poderá ser resolvido com
técnicas de circuitos trifásicos equilibrados.
Sistema de sequência positiva, Negativa e Zero.
Surgem as impedâncias de sequência.
Estabilidade de Sistemas elétricos - Curto-circuito 
Componentes simétricas
1. Introdução
Estudos de proteção consideram o t=0+ do curto-circuito
Estudo utilizado para auxiliar o equacionamento de sistemas
desequilibrados.
Pode servir de indicador do grau de desequilíbrio do sistema.
Pode-se observar se o desequilíbrio envolve corrente de
neutro ou terra.
Estabilidade de Sistemas elétricos - Curto-circuito 
Componentes simétricas
1. Introdução
Se um sistema equilibrado for submetido a análise de
componentes simétricas, apenas as componentes de
sequência positiva existirão (e serão iguais ao próprio sistema
original).
Um conjunto arbitrário de tensões (ou correntes)
desequilibradas (ou desbalanceadas) pode ser transformado
em N conjuntos com N fases equilibradas (ou balanceadas).
Este Teorema é conhecido como Teorema de Fortescue ou
Teorema das Componentes simétricas.
Estabilidade de Sistemas elétricos - Curto-circuito 
Componentes simétricas
1. Introdução
A expressão analítica geral para um sistema polifásico
desequilibrado, em termos de tensão, é dado por:
Componentes simétricas - Teorema de Fortescue 
1. Introdução
Componentes simétricas – Sistema Trifásico
Sequência 0 – mesmo módulo e mesma fase
Sequência positiva – mesmo módulo, mas defasados 120º
Sequência Negativa 
– Mesmo módulo, 
mas defasados 
120º
1. Introdução
Componentes simétricas – Sistema Trifásico
As sequências resultantes serão nomeadas como:
Componente de sequência Positiva – Constituída de três fasores de
módulos iguais e defasados entre si de 120º, com a mesma sequência de
fases (ABC) do sistema original.
Componente de sequência negativa - constituída de três fasores de
módulos iguais e defasados entre si de 120°, com sequência de fases inversas
(CBA) do sistema original.
Componente de sequência zero - constituída de três fasores de mesmo
módulo e em fase.
1. Introdução
Componentes simétricas – Sistema Trifásico
O sistema com 9 incógnitas pode ter diversas soluções para os fasores
desequilibrados.
Para tornar a solução única, reescreve-se a matriz todas em função da fase a,
reduzindo o número de incógnitas para 3.
Pode-se colocar todas as tensões em função da fase a da seguinte maneira:
Fasores desiquilibrados
Reescrever tudo como Va defasados 120º
a =1<240º
1. Introdução
Componentes simétricas – Sistema Trifásico
Pode-se colocar todas as tensões em função da fase a da seguinte maneira:
Na forma matricial:
[T] – matriz de transformação
S – Matriz de sequência 
(conj. 3~)
P – matriz do 
sistema original
P = [T]. S
Tensão de sequência 0
Tensão de sequência +
Tensão de sequência -
1. IntroduçãoComponentes simétricas – Sistema Trifásico
Para obter as componentes de sequência em função do sistema desbalanceado:
S = P/[T]
P = [T]. S
S = [T]-1 P
Se for isolar o conjunto trifásico (V0, V1, e V2) e for descobrir em função do
sistema original (Va, Vb e Vc) desequilibrado, isola-se a matriz S , passa a
matriz de Transformação para o outro lado da igualdade.
sistema original desequilibrado
1. Introdução
Componentes simétricas – Sistema Trifásico
Para Correntes:
• IN = IA+IB + IC
Corrente de sequência 0
Corrente de sequência +
Corrente de sequência -
Corrente de Neutro
(IN) IN = 3* Ia0
1. Introdução
Exemplo: Quais que são os valores das correntes
desequilibradas originais do sistema?
Componente de 
sequência zero
Componente de 
sequência Positiva 
Componente de 
sequência Negativa 
IA = Ia0 + Ia1 + Ia2
IB = Ib0 + Ib1 + Ib2
IC = Ic0 + Ic1 + Ic2
Corrente de sequência 0 Corrente de sequência + Corrente de sequência -
Ângulos defasados 120º de acordo com a sequência abc ou cba
1. Introdução
Como a gente sabe que é um sistema desequilibrado?
IA = Ia0 + Ia1 + Ia2
IB = Ib0 + Ib1 + Ib2
IC = Ic0 + Ic1 + Ic2
Eles não estão defasados 120º , assim como o módulo dos
três componentes (a, b e c) é diferente
Então podemos dizer que são correntes trifásicas
desiquilibradas
AZEVEDO, G. P.; OLIVEIRA FILHO, A. L. (2001) Control Centers with Open
Archictectures. IEEE Computer Applications in Power Transaction on Power, p.27-32,
outubro.
DY LIACCO, T. E. (1974). Real-Time Computer Control of Power Systems. Proceedings
of the IEEE, Vol. 62, n o7, p.884-891, julho.
MONTICELLI, A. J. (1983). “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, São Paulo -
Brasil: Edgard Blucher.
WU, F. F.; MOSLEHI, K.; BOSE, A. (2005). Power System Control Centers: Past,
Present, and Future. Proceedings Proceedings of the IEEE, Vol. 93, No11, p.1890-1908,
novembro novembro.
ONS - OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ELÉTRICO (2009). Procedimento de
Redes. Revisão 2009. Endereço na Internet: http://www.ons.org.br.
KUNDUR, Prabha. Power System Stability and Control. Estados Unidos: McGraw-Hill,
1994.
Prabha Kundur (Canada, Convener), John Paserba (USA, Secretary), Venkat Ajjarapu
(USA), Göran Andersson, (Switzerland), Anjan Bose (USA) , Claudio Canizares
(Canada), Nikos Hatziargyriou (Greece), David Hill, (Australia), Alex Stankovic (USA),
Carson Taylor (USA), Thierry Van Cutsem (Belgium), and Vijay Vittal (USA). Definition
and Classification of Power System Stability. IEEE Transactions on Power Systems.,
IEEE/CIGRE Joint Task Force on Stability Terms and Definitions. V. 19, n. 02, p.1387-
1401, mai. 2004,
Referências Bibliográficas 
Fim
Aula 02: Estabilidade de 
Sistemas Elétricos de Potência
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
ESTABILIDADE DE SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
CARGA HORÁRIA: 66h
EMENTA 
Estuda a estabilidade de Sistemas Elétricos no
que compete à análises de curto-circuito e fluxo
de carga e análises da estabilidade e do
controle do sistema elétrico de potência, bem
como sua operação segundo critérios
econômicos.
Discute ainda noções básicas de sistemas de
transmissão tipo HVDC.
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
Componentes Simétricas - Relembrando
• Estudo utilizado para auxiliar o equacionamento de
sistemas 3~ desequilibrados.
• Pode servir de indicador do grau de desequilíbrio do
sistema. (sequencia positiva, negativa e zero)
• Pode-se observar se o desequilíbrio envolve corrente de
neutro ou terra. (caso contrário só teremos sequência
positiva e negativa)
• Se um sistema equilibrado for submetido a análise de
componentes simétricas, apenas as componentes de
sequência positiva existirão (e serão iguais ao próprio
sistema original)
1. Introdução
Componentes simétricas – Sistema Trifásico
Para Correntes:
1. Introdução
Exemplo: Quais que são os valores das correntes
desequilibradas originais do sistema?
Componente de 
sequência zero
Componente de 
sequência Positiva 
Componente de 
sequência Negativa 
IA = Ia0 + Ia1 + Ia2
IB = Ib0 + Ib1 + Ib2
IC = Ic0 + Ic1 + Ic2
Corrente de sequência 0 Corrente de sequência + Corrente de sequência -
Ângulos defasados 120º de acordo com a sequência abc ou cba
Sentido anti-horário
9,53+5,5J
11,83-J24,25
14,76+J11,97
Calculadora cássio-Rec(x,y) 
...enter (parte real)...alpha F 
(parte imaginária)
1. Introdução
Como a gente sabe que é um sistema desequilibrado?
IA = Ia0 + Ia1 + Ia2
IB = Ib0 + Ib1 + Ib2
IC = Ic0 + Ic1 + Ic2
Eles não estão defasados 120º , assim como o módulo dos
três componentes (a, b e c) é diferente
Então podemos dizer que são correntes trifásicas
desiquilibradas
Sistema de sequência + Sentido anti-horário
Sentido convencional de giro dos fasores
Seq. 0 =9,53+5,5J
Seq. + = 11,83-J24,25
Seq. - = 14,76+J11,97
Calculadora cássio-Rec(x,y) 
...enter (parte real)...alpha F 
(parte imaginária)
Análise Detalhada da Corrente de Sequência Zero
A seq. 0 tem a característica peculiar em que os fasores
estão em fase.
Seu estudo merece destaque porque sua interpretação
é de extrema importância.
As conclusões obtidas produzem interpretações físicas,
com aplicação direta à proteção do sistema elétrico.
Ia0 = 1/3*(Ia + Ib + Ic) 
de onde pode-se analisar os casos a seguir.
a) Sistema trifásico em Y aterrado ou com neutro:
Carga ligada em Y aterrado
* quando houver um caminho de retorno pelo
neutro ou terra.
Sequência Zero
Aplicando a LKC ao nó da 
estrela, tem-se:
e, logo, 
Isto significa que só pode existir corrente de
sequência zero em um sistema com neutro aterrado:
Sistema trifásico em Y não aterrado e desbalanceado
É o caso de uma carga em Y desbalanceada ou carga
balanceada e/ou transformador com uma fase aberta.
Carga ligada em Y
Aplicando-se a primeira Lei de Kirchhoff no nó, têm-se:
= 0
= 0
Sistema trifásico em Y não aterrado e desbalanceado
Carga ligada em Y
Substituindo na expressão de corrente, obtém-se:
= 0
Neste caso, estando ou não o sistema
equilibrado, aplicando a LKC ao nó, tem-se:
Ia + Ib + Ic = 0 e, logo, Ia0 = 0
Sistema trifásico em Y não aterrado e desbalanceado
Portanto, de acordo com a conclusão do item “a”, como o
sistema não está aterrado, não haverá possibilidade de ter
corrente de sequência zero.
Note-se que a corrente de sequência Ia0 precisa de um circuito
fechado, para que possa circular
Ia0 = 0
Sistema trifásico em Δ desbalanceado
Carga ligada em Δ
Neste caso, aplicando a Primeira Lei de Kirchhoff no
“Super Nó”, isto é, a soma das correntes que entram no
no “Super Nó” é igual à soma das correntes que saem.
Assim:
Substituindo na expressão de corrente, obtém-se:
0
As conclusões são as mesmas, ou seja, não existe
sequência Zero (corrente de Neutro), pois não existe
neutro em Δ, a ligação não oferece caminho para a
circulação desta componente.
e, logo,
Exercício
Um condutor de linha 3 ϕ está aberto. A corrente
que flui para uma carga em Y (figura abaixo)
pela linha “a” é de 25A. Fazendoa corrente na
linha “a” como referência e supondo que seja a
linha “c” aberta. Determinar as componentes de
sequência das correntes de linha.
Figura: carga em Y
Exercício
Resolução:
Figura: carga em Y
Sequência zero
Sequência Positiva
Sequência Negativa
Ia1 =12,5-j7,21 A Ia2 =12,5+j7,21 A
Exercício
Resolução: representação gráfica
25+j0 A
-25+j0 A
Curto-circuito Impedâncias de sequências para
geradores, transformadores e linhas
• Cada impedância de sequência se opões a
passagem da sua respectiva corrente de
sequência;
• Cada elemento do sistema elétrico será ensaiado 
e representado por 3 impedâncias de sequências: 
positiva, negativa e zero. Z1, Z2 Z0;
• Os principais elementos ensaiados são:
- Geradores;
- Transformadores;
- Linhas de Transmissão – LT.
Curto-circuito Impedâncias de sequências para
geradores, transformadores e linhas
• Elemento ativo (que alimenta) do diagrama 
elétrico;
• Único elemento que possui 3 reatâncias distintas:
- Subtransitória;
- Transitória e;
- De regime permanente.
• Em estudos de curto-circuito e proteção de SEP’s
utiliza-se a reatância subtransitória.
Gerador Síncrono;
Curto-circuito Impedâncias de sequências para
geradores, transformadores e linhas
• Obtém-se a reatância de sequência positiva.
• A reatância subtransitória é a que interessa.
• A de regime permanente obtida neste ensaio
é a tradicional reatância síncrona do gerador;
• Gerador é posto a girar na velocidade
síncrona e as fases são postas em curto
trifásico. (mesmo ensaio da reatância
síncrona).
Gerador Síncrono - ensaio de sequência POSITIVA
Ensaio de Curto-circuito trifásico no Gerador Síncrono
Osciloscópio
Ensaio de Curto-circuito trifásico no Gerador Síncrono 
(fases vistas no osciloscópio)
As correntes totais de falta
em função do tempo,
durante uma falta trifásica
nos terminais de gerador
síncrono.
Características da corrente de curto
Componentes da corrente
A componente CC surge devido a característica indutiva dos 
enrolamentos de fase.
A corrente não pode variar bruscamente na armadura, assim a 
componente CC atinge o valor de pico necessário para manter 
a corrente que havia imediatamente antes da falta (corrente 0).
Como no momento da falta os valores instantâneos de corrente 
são diferentes em cada fase, o valor da componente CC da 
corrente será diferente em cada fase.
Componentes da corrente
Essas componentes CC de corrente caem muito rapidamente, 
mas inicialmente seus valores são em média 50 ou 60% da 
corrente CA no instante imediatamente após a ocorrência da 
falta (corrente 0).
Portanto, a corrente total inicial é tipicamente 1,5 ou 1,6 vezes 
maior que a componente CA tomada isoladamente.
B + 60 ou B + 50
B = 100%
Componente CA Simétrica
A componente CA 
simétrica da 
corrente de falta
Componente CA Simétrica
Dividida em corrente subtransitória, transitória e de regime
permanente.
subtransitória
regime permanente
transitória
Aula 3: Introdução à Operação, 
Controle e Estabilidade de Sistemas 
Elétricos de Potência
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
ESTABILIDADE DE SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
CARGA HORÁRIA: 66h
EMENTA 
Estuda a estabilidade de Sistemas Elétricos no
que compete à análises de curto-circuito e fluxo
de carga e análises da estabilidade e do
controle do sistema elétrico de potência, bem
como sua operação segundo critérios
econômicos.
Discute ainda noções básicas de sistemas de
transmissão tipo HVDC.
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
Com o intuito de ilustrar a aplicação do sistema p.u.,
apresenta-se a seguir um exemplo completo
A rede da figura representa um sistema simplificado, no qual se
pretendem calcular as tensões nos diversos barramentos, as correntes
nas linhas e ainda as perdas, resultantes da alimentação das cargas
indicadas.
Supõe-se que a alimentação da carga C1 é realizada a 380 V.
Definimos como base de potência Sb=1000 kVA.
Existem na rede três zonas de tensão, definidas pelos transformadores.
A rede da figura representa um sistema simplificado, no qual se
pretendem calcular as tensões nos diversos barramentos, as correntes
nas linhas e ainda as perdas, resultantes da alimentação das cargas
indicadas.
Supõe-se que a alimentação da carga C1 é realizada a 380 V.
Definimos como base de potência Sb=1000 kVA.
Existem na rede três zonas de tensão, definidas pelos transformadores.
Fixando 
teremos: na baixa tensão
na média tensão
na alta tensão 
As impedâncias e correntes de base nas três zonas são dadas por:
Sb=1000 kVA = 103 kVA
Podemos agora calcular os valores por unidade das impedâncias das linhas:
E, usando a fórmula de mudança de base, obtemos os valores em pu das reatâncias
de fugas dos transformadores:
Sb=1000 kVA = 103 kVA = 1MVA
É agora possível estabelecer o esquema em p.u., no qual os transformadores têm
razão de transformação unitária, o que permite resolver o circuito como se tivesse só
um nível de tensão.
Fixando a origem das fases no barramento da carga C1, onde V1=380/400=0,95 pu V,
teremos (argumentos em graus):
Supõe-se que a alimentação da carga C1 é realizada a 380 V.
Accos 0,85 = 31,7883 ≈ 31,79
=
= + .
Accos 0,9 = 25,8419 ≈ 25,84
=
+ =
+ .+
A partir destes valores, é possível calcular
sucessivamente as tensões e correntes, até ao
barramento de AT, e passá-los para o SI:
Accos 0,9 = 25,8419 ≈ 25,84
=
=
= . =
= . =
Fim
Aula 4: Introdução à Operação, 
Controle e Estabilidade de Sistemas 
Elétricos de Potência
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
Com o intuito de ilustrar a aplicação do sistema p.u.,
apresenta-se a seguir um exemplo completo
A rede da figura representa um sistema simplificado, no qual se
pretendem calcular as tensões nos diversos barramentos, as correntes
nas linhas e ainda as perdas, resultantes da alimentação das cargas
indicadas.
Supõe-se que a alimentação da carga C1 é realizada a 380 V.
Definimos comobase de potência Sb=1000 kVA.
Existem na rede três zonas de tensão, definidas pelos transformadores.
A rede da figura representa um sistema simplificado, no qual se
pretendem calcular as tensões nos diversos barramentos, as correntes
nas linhas e ainda as perdas, resultantes da alimentação das cargas
indicadas.
Supõe-se que a alimentação da carga C1 é realizada a 380 V.
Definimos como base de potência Sb=1000 kVA.
Existem na rede três zonas de tensão, definidas pelos transformadores.
Fixando 
teremos: na baixa tensão
na média tensão
na alta tensão 
As impedâncias e correntes de base nas três zonas são dadas por:
Sb=1000 kVA = 103 kVA
Podemos agora calcular os valores por unidade das impedâncias das linhas:
E, usando a fórmula de mudança de base, obtemos os valores em pu das reatâncias
de fugas dos transformadores:
Sb=1000 kVA = 103 kVA = 1MVA
É agora possível estabelecer o esquema em p.u., no qual os transformadores têm
razão de transformação unitária, o que permite resolver o circuito como se tivesse só
um nível de tensão.
Fixando a origem das fases no barramento da carga C1, onde V1=380/400=0,95 pu V,
teremos (argumentos em graus):
Supõe-se que a alimentação da carga C1 é realizada a 380 V.
Accos 0,85 = 31,7883 ≈ 31,79
=
= + .
Accos 0,9 = 25,8419 ≈ 25,84
=
+ =
+ .+
A partir destes valores, é possível calcular
sucessivamente as tensões e correntes, até ao
barramento de AT, e passá-los para o SI:
Accos 0,9 = 25,8419 ≈ 25,84
=
=
= . =
= . =
3.1. Introdução ao Problema de Estabilidade e
Controle em Sistemas Elétricos de Potência
Estabilidade de um sistema de potência é
entendida como a habilidade de retomar um estado
de equilíbrio após ser submetido a uma
perturbação física.
Atualmente:
Definição geral:
Existem vários cenários de Instabilidade;
Divisão e classificação do problema de Estabilidade:
- depende do tempo de análise;
- depende do tipo de perturbação;
- depende do tipo de variável em análise
Dependendo do tempo de análise:
- Curto prazo;
- Médio prazo;
- Longo prazo.
3.1. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
Dependendo do tipo de perturbação
3.1. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
Dependendo do tipo de perturbação
- Perturbações imprevisíveis:
• Grandes perturbações (curto-circuito);
3.1. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
Ilustração de curto trifásico em uma linha de transmissão.
Como o sistema de transmissão tem configuração em
malha (não radial), o curto-circuito é alimentado pelas
duas extremidades da linha.
- Perturbações imprevisíveis:
• Pequenas perturbações (variações de carga).
Dependendo do tipo de perturbação
- Perturbações previsíveis:
* Variações lentas e previsíveis de carga.
3.1. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
- Perturbações previsíveis:
Curto temporário. (a) Incidência de descarga atmosférica,
que pode ocasionar sobretensão na rede primária [5].
(b) Curto-circuito temporário devido à sobretensão [3].
Dependendo da variável de interesse
- Ângulo do rotor;
- Tensão;
- Frequência.
3.1. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
3.2. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
Fig.: Visão Geral dos Sistemas de Controle de um gerador 
(ou usina) conectado à uma Rede Elétrica Interligada
Ensaio de curto-circuito trifásico no 
gerador síncrono
A análise do curto-circuito trifásico permite a
obtenção do circuito de sequência positiva do
gerador (sequência de fase abc).
As formas de onda das correntes ia(t), ib(t) e ic(t)
são obtidas através de um ensaio experimental,
usando um oscilógrafo ou registrador que grava os
sinais das correntes durante todo o curto-circuito.
Ensaio de curto-circuito trifásico no gerador síncrono.
Ensaio de curto-circuito trifásico no 
gerador síncrono
O ensaio é feito aplicando-se um curto trifásico aos
terminais do gerador, inicialmente com tensão
nominal e girando a vazio em velocidade síncrona,
como ilustra a figura abaixo
Ensaio de curto-circuito trifásico no gerador síncrono.
Fig.: Principais Malhas de Controle Presentes em um SEP
3.2. Introdução ao Problema de
Estabilidade e Controle em Sistemas
Elétricos de Potência
3.3. Conceitos Básicos de Estabilidade
Uma das características básicas que um sistema
elétrico de potência deve ter é a de garantir o
suprimento de energia às cargas, de forma
confiável e ininterrupta.
3.3. Conceitos Básicos de Estabilidade
Estes fatos estão relacionados, nos dias de hoje, com o
conceito de confiabilidade dos sistemas elétricos,
que além da continuidade do fornecimento de
energia, define condições mínimas para uma
operação adequada, como os níveis do sinal de
tensão, tanto em amplitude como em frequência.
3.4. Estabilidade dos Sistemas de Potência
Um dos estudos mais importantes realizado para os sistemas
de potência interligados existentes na atualidade é o da
avaliação da sua estabilidade.
A estabilidade de um sistema de potência pode ser definida
como sendo a capacidade que este sistema tem de se
manter em um estado de equilíbrio, quando em condições
operativas normais, e de alcançar um estado de equilíbrio
viável após ter sido submetido a uma perturbação como:
❖ curto-circuito em um elemento importante;
❖ saída de operação de grandes blocos de carga ou de
geração, etc.
3.4. Estabilidade dos Sistemas de Potência
A estabilidade de um sistema elétrico de potência é, na
verdade, um problema único, global, onde devem ser
considerados os efeitos de equipamentos como:
❑ geradores e seus dispositivos de controle e proteção;
❑ linhas de transmissão e seus elementos de compensação;
❑ proteção e controle;
❑ transformadores e seus respectivos controles de tap;
❑ cargas de tipos e características diversas, etc.
3.4. Estabilidade dos Sistemas de Potência
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
Esta classe de estudo de estabilidade está ligada a
observação da habilidade do sistema de
potência em manter um perfil de tensões
adequado em todos os seus barramentos, tanto
em condições normais, como em situações de
distúrbio.
Sistema de potência com curto trifásico na barra q.
Um sistema entra em um estado de instabilidade de
tensão quando uma perturbação, elevação de carga,
ou alteração na configuração, causa um contínuo e
incontrolável declínio da tensão.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
Sendo substancialmente relacionado à indisponibilidade
de suprimento de potência reativa, o fenômeno é
caracterizado por uma redução progressiva na magnitude
da tensão, iniciando de forma localizada e podendo então
se expandir até mesmo por todo o sistema interligado,
causando colapso na operação.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
O processo de instabilidade pode se
manifestar de diversas formas, dependendo
das características das cargas e da
dinâmica dos equipamentos de controle de
tensão.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
De uma forma geral um estudo de estabilidade de
tensão pode ser classificado em duas categorias:
a) Estudo de estabilidade de tensão de regime
permanente ou para pequenos impactos e;
b) Estudo de estabilidade de tensão para
grandes impactos.
Estas duas subclasses, que consideram tipos
distintos de perturbações.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
a) Estudo de estabilidade de tensão de regime
permanente ou para pequenos impactos
Ele avalia a habilidade do sistema de potência em manter um
perfil adequado de tensões após ter sido submetido a um
pequeno impacto, como uma variação normal de carga, por
exemplo.
A natureza da resposta do sistema a estes pequenos
impactos depende de fatores como:
• a condição operativa;
• as características das cargas e;
• dos dispositivos de controle de tensão.
3.5. Estudo deEstabilidade de Tensão
a) Estudo de estabilidade de tensão de
regime permanente ou para pequenos
impactos
Assim sendo, pode-se dizer que este tipo de estudo de
estabilidade tem como função principal determinar as
características próprias (ou inerentes) do sistema,
quanto à relação entre tensões e potências reativas.
A instabilidade se manifesta principalmente pela
insuficiência de potência reativa, o que define uma
redução progressiva nas magnitudes das tensões.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
a) Estudo de estabilidade de tensão de
regime permanente ou para pequenos
impactos
Neste tipo de estudo de estabilidade os impactos
são admitidos como sendo suficientemente
pequenos, de tal forma que permitam o emprego
de equações algébrico-diferenciais linearizadas
nas análises.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
b) Estudo de estabilidade de tensão para
grandes impactos.
Este tipo de estudo de estabilidade determina a capacidade
do sistema de potência de controlar as tensões de seus
barramentos após a ocorrência de uma grande perturbação,
como:
✓ desligamento de elementos importantes;
✓ curtos-circuitos em linhas de transmissão;
✓ alteração rápida e substancial no equilíbrio carga/geração,
etc.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
b) Estudo de estabilidade de tensão para
grandes impactos.
Pode-se dizer que o sistema apresenta estabilidade,
nestas condições, se após o distúrbio seus
controladores levarem as tensões de todas as barras a
uma condição de equilíbrio adequada.
Influem neste comportamento:
“a condição operativa do sistema, a natureza da
perturbação considerada, as características das cargas, a
dinâmica dos sistemas de controle e os elementos de
proteção do sistema.”
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
b) Estudo de estabilidade de tensão para
grandes impactos.
Os estudos de estabilidade de tensão para grandes impactos
requerem a avaliação do desempenho dinâmico não-
linear do sistema de potência em um período de tempo
suficiente, que possa até considerar os efeitos de elementos
como:
o transformadores com taps variáveis;
o cargas termostáticas;
o limitadores das correntes de campo dos geradores;
o esquemas de corte de carga por subtensão, etc.
Estes períodos de tempo podem se estender desde alguns
segundos até dezenas de minutos.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
b) Estudo de estabilidade de tensão para
grandes impactos.
Em função das grandes excursões verificadas
para as variáveis representativas do sistema, a
análise da estabilidade de tensão para grandes
impactos deve ser realizada com o auxílio de
equações algébrico-diferenciais não-lineares.
3.5. Estudo de Estabilidade de Tensão
AZEVEDO, G. P.; OLIVEIRA FILHO, A. L. (2001) Control Centers with Open
Archictectures. IEEE Computer Applications in Power Transaction on Power, p.27-32,
outubro.
DY LIACCO, T. E. (1974). Real-Time Computer Control of Power Systems. Proceedings
of the IEEE, Vol. 62, n o7, p.884-891, julho.
MONTICELLI, A. J. (1983). “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, São Paulo -
Brasil: Edgard Blucher.
WU, F. F.; MOSLEHI, K.; BOSE, A. (2005). Power System Control Centers: Past,
Present, and Future. Proceedings Proceedings of the IEEE, Vol. 93, No11, p.1890-1908,
novembro novembro.
ONS - OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ELÉTRICO (2009). Procedimento de
Redes. Revisão 2009. Endereço na Internet: http://www.ons.org.br.
KUNDUR, Prabha. Power System Stability and Control. Estados Unidos: McGraw-Hill,
1994.
Prabha Kundur (Canada, Convener), John Paserba (USA, Secretary), Venkat Ajjarapu
(USA), Göran Andersson, (Switzerland), Anjan Bose (USA) , Claudio Canizares
(Canada), Nikos Hatziargyriou (Greece), David Hill, (Australia), Alex Stankovic (USA),
Carson Taylor (USA), Thierry Van Cutsem (Belgium), and Vijay Vittal (USA). Definition
and Classification of Power System Stability. IEEE Transactions on Power Systems.,
IEEE/CIGRE Joint Task Force on Stability Terms and Definitions. V. 19, n. 02, p.1387-
1401, mai. 2004,
Referências Bibliográficas 
Fim
Aula 4: Fluxo de Potência
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
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1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
3.6 Fluxo de Potência e Fluxo de Potência 
Continuado 
Os estudos de fluxos de potência são de muita
importância no planejamento e desenho dos
sistemas de potência, assim como também, na
determinação das melhores condições de
operação, controle e supervisão dos sistemas
existentes.
A análise de fluxo de potência em redes
elétricas consiste basicamente na
determinação do estado da rede (magnitude
das tensões nodais e os ângulos de fase), da
distribuição dos fluxos e das injeções de
potências ativa e reativa nas barras, dentre
outras grandezas de interesse.
3.6 Fluxo de Potência e Fluxo de Potência 
Continuado 
Nesse tipo de análise, a modelagem do sistema
é estática e a rede é representada por um
conjunto de equações e inequações algébricas.
Tais modelos se justificam pelo fato da análise se
referir a situações em que as variações das
grandezas no tempo são suficientemente lentas,
de modo que o efeito transitório pode ser
desconsiderado.
O comportamento do sistema elétrico de potência
3.6 Fluxo de Potência e Fluxo de Potência 
Continuado 
Nos sistemas de potência, os componentes
podem ser ligados de duas formas distintas:
➢ entre os nós (barras do sistema), como é o
caso das linhas de transmissão e
transformadores, e entre o nó de referência
e um nó qualquer, como é o caso das
cargas, dos geradores, compensadores
síncronos, etc.
3.6 Fluxo de Potência e Fluxo de Potência 
Continuado 
Nos sistemas de potência, os componentes
podem ser ligados de duas formas distintas:
➢ Os geradores e as cargas do sistema são
tratados como parte externa do sistema.
Sendo assim, são modelados como injeções
constantes de potência nos nós da rede.
3.6 Fluxo de Potência e Fluxo de 
Potência Continuado 
Em outras palavras, em cada nó da rede, a
potência líquida injetada deve igual à soma das
potências que fluem para os nós adjacentes.
3.6 Fluxo de Potência e Fluxo de 
Potência Continuado 
O teorema de Fortescue 
O teorema de Fortescue aplica-se a sistemas
polifásicos e foi originalmente enunciado da seguinte
forma:
“qualquer sistema de N fasores
desequilibrados, sendo N um número
primo, pode ser escrito como a soma
de N conjuntos de fasores
equilibrados”.
O teorema de Fortescue 
O teorema de Fortescue pode ser escrito para
tensões ou correntes.
Para N = 3 (sistema trifásico), os três conjuntos de
fasores equilibrados são conhecidos como
“sequências” e definidos da maneira a seguir.
1) Sequência positiva
Equação 1
2) Sequência negativa 
Equação 2
3) Sequência zero
Equação 3
O teorema de Fortescue 
A figura abaixo ilustra as três sequências em termos
de seus fasores.
Sequências de fase: (a) positiva; (b) negativa; (c) zero 
Intuitivamente, podemos imaginar as três componentes
de Fortescue como sendo produzidaspor geradores
comuns.
A sequência positiva seria produzida por um campo
girante trifásico, girando no sentido da sequência de
fases do sistema.
O teorema de Fortescue 
A sequência negativa seria produzida por um campo girante
trifásico, mas girando no sentido oposto à sequência de
fases do sistema.
Já a sequência zero seria produzida por um campo
pulsante, não girante.
Dado um sistema de correntes desequilibradas Ia, Ib e Ic
, o teorema de Fortescue pode ser agora escrito em função
das componentes de sequência positiva, negativa e zero
Equação 4
O teorema de Fortescue 
O sistema de equações (4) pode ser simplificado
introduzindo-se o operador unitário “a”, definido como
É fácil verificar que o operador “a” tem as seguintes 
propriedades: 
Equação 5
Equação 6
Equação 7
Equação 8
Equação 9
Equação 10
Equação 11
Equação 12
Equação 13
O teorema de Fortescue 
Tomando a fase a como referência, podemos agora
escrever as correntes de sequência positiva da
seguinte forma
De maneira semelhante, as correntes de sequência
negativa podem ser escritas como
Equação 14
Equação 15
As correntes de sequência zero podem ser escritas de
maneira ainda mais simples
Equação 16
O teorema de Fortescue 
Substituindo as relações (14), (15) e (16) na relação (4),
teremos que:
Equação 14 Equação 15 Equação 16
Equação 4
Equação 16a
Equação 16b
Equação 16c
Escrevendo a relação acima em forma matricial, teremos:
O teorema de Fortescue 
Equação 17
ou, em notação mais compacta 
Equação 18
Equação 19
Onde:
O sobre-índice abc denota o sistema desequilibrado
original e o sobre-índice 012 denota o sistema de
sequência.
O teorema de Fortescue 
Equação 20
A matriz de transformação [A] tem algumas
propriedades interessantes.
Primeiro, podemos notar que ela é simétrica, ou seja,
onde o sobre-índice T denota a matriz transposta.
Além disso, podemos verificar que:
onde [I] é a matriz-identidade.
Este resultado será útil mais tarde.
Equação 21
O teorema de Fortescue 
Finalmente, a matriz [A] é invertível, com inversa dada por:
Equação 22
Pré-multiplicando a relação (18) por [A]-1, podemos agora
obter as componentes de sequência em função das
componentes do sistema abc original
Equação 23
Equação 24
Note, da relação acima, que
Sistema de sequência
012 escrito em termos do
sistema abc original.
Equação 25
1/[A] =[A]-1 = 1/3[I]
1
In = Ia +Ib +Ic
I0a = In/3
O teorema de Fortescue 
onde In é a corrente de neutro.
Assim, só haverá corrente de sequência zero em circuitos
nos quais houver caminho para a corrente de neutro.
“Quando tal caminho não existir, como é
o caso de conexões delta, a corrente de
sequência zero será nula.”
Exercícios
1. Usando a relação (24), calcule as correntes de
sequência para um sistema abc equilibrado.
Solução.
Em um sistema totalmente equilibrado, teremos:
Onde:
Aplicando (24), vem:
Ou
Equação 7
Equação 6
Exercícios
1. Usando a relação (24), calcule as correntes de
sequência para um sistema abc equilibrado.
Em ambos os casos a componente de sequência zero seria nula.
Os resultados acima indicam que um sistema equilibrado com os
ângulos 0°, –120°, +120° (sistema de sequência positiva) tem apenas
componente de sequência positiva.
Se os ângulos fossem 0°, +120°, –120°, caracterizando um sistema de
sequência negativa, apenas a componente de sequência negativa
existiria.
Exercícios
2. Em um sistema desequilibrado circulam as correntes
Ia = 8<0º, Ib = 6 <-90º e Ic = 16<143,1º. Calcule as
correntes de sequência e desenhe os diagramas
fasoriais para cada uma delas.
Solução.
De acordo com a relação (24), teremos 
Equação 24
ou, 
Ou ainda, 
Exercícios
2. Em um sistema desequilibrado circulam as correntes
Ia = 8<0º, Ib = 6 <-90º e Ic = 16<143,1º. Calcule as
correntes de sequência e desenhe os diagramas
fasoriais para cada uma delas.
Em retangular, teremos: 
-1,6 + j1,2
9,31 + j3,09
0,29 - j4,29
Exercícios
2. Em um sistema desequilibrado circulam as correntes
Ia = 8<0º, Ib = 6 <-90º e Ic = 16<143,1º. Calcule as
correntes de sequência e desenhe os diagramas
fasoriais para cada uma delas.
A Figura abaixo ilustra o diagrama fasorial completo,
mostrando a composição das correntes de sequência a
partir das correntes do sistema abc original.
Diagrama fasorial mostrando a
composição de um sistema
desequilibrado a partir de três
sistemas equilibrados
Aula 6: Estabilidade de Sistemas Elétricos
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson 
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
3. Uma carga equilibrada ligada em Y com Neutro
aterrado perde uma das fases de alimentação.
Determine as componentes de sequência da
corrente desequilibrada
EXERCÍCIO
1,66 + j2,88
1,66 – j2,88
6,66 + j0
Impedâncias de sequência 
Considere agora o circuito da Figura abaixo, que ilustra uma
carga trifásica equilibrada, com impedância série Zs por fase,
ligada em estrela aterrada por uma impedância de neutro Zn
e alimentada por uma fonte trifásica cujas tensões de fase
são Va , Vb e Vc. As fases estão acopladas entre si por meio
de impedâncias mútuas Zm , as quais podem ser resultantes
de capacitâncias ou indutâncias entre os condutores das
linhas.
Carga trifásica equilibrada com impedâncias mútuas 
Impedâncias de sequência 
As tensões de fase Va , Vb e Vc. podem ser escritas
como:
Lembrando que In = Ia+Ib+Ic e reordenando os termos das 
equações acima, vem:
ou, em forma matricial, 
Equação 32
Impedâncias de sequência 
A equação pode ser escrita em forma mais compacta
utilizando-se a notação matricial
Onde:
Zabc é a matriz-impedância do sistema abc original. 
Nossa intenção é obter a equação de sequência
correspondente à (33). Substituindo a relação (18) na (33),
teremos:
Equação 33
Equação 34
Equação 35
Equação 18
Impedâncias de sequência 
Equação 36
Pré-mutiplicando ambos os lados de (35) por [A]-1, vem
Sabendo que [V012] tem dimensão de volts e que [I012] tem
dimensão de amperes, então, por força da lei de Ohm, o
termo [A]-1 x [Zabc] x [A] deverá ter dimensão de ohms,
sendo denominado matriz-impedância de sequência:
Equação 37
Impedâncias de sequência 
Substituindo as relações (19), (22) e (34) em (37),
teremos, após um calculo direto
Equação 19 Equação 22
Equação 34
Equação 37
Matriz-impedância de sequência.
Equação 38
Impedâncias de sequência 
A relação (37) deixa claro que as componentes simétricas
funcionam como um método de diagonalização da matriz-
impedância.
A consequência elétrica desse fato é ainda mais
interessante.
Por exemplo, substituindo (38) em (36), podemos escrever
Equação 36
Equação 38
Equação 39
Impedâncias de sequência 
ou, de forma mais explícita 
Equação 40
Assim, tensões de uma sequência produzirão
correntes desta sequência apenas.
Em outras palavras, os circuitos de sequência são
eletricamente desacoplados entre si.
Impedância de Sequência
Uma impedância de sequência é a impedância que um
dispositivoelétrico qualquer apresenta frente a aplicação de um
conjunto de tensões em seq + seq – e seq 0.
Ensaios aplicando as condições de seq + - e 0 são feitos
Impedância de Sequência de cargas 
Y neutro
Seq 0
Seq +
Seq -
Impedância de Sequência de cargas 
Y neutro
Seq 0
Impedância de Sequência de cargas 
sem Y neutro
Seq 0
Triângulo
redes de sequência: balanceadas - cargas Y e ∆ 
balanceadas
Uma carga Y balanceada está em paralelo com uma carga
∆ balanceada e conectada a um banco de capacitores. A
carga Y tem uma impedância ZY = (3 + j4)Ω por fase, e seu
neutro está aterrado através de uma reatância indutiva Xn =
2 Ω. O banco de capacitores possui uma reatância Xc = 30
Ω por fase. Desenhe as redes de sequência para esta
carga e calcule as impedâncias da sequência de carga.
Resolução
Z0 = ZY + 3.Zn = 3 +j4 + 3(j2) = 3 + j10Ω
Z1 = ZY //(Z∆/3) =
(3 + j4)(-j30/3)
(3 + j4) - j(30/3)
Z1 =
(5<53,13°)(10<-90°)
6,708<-63,43°
Z1 = 7,454<26,57° Ω
Z1 = Z2 = 7,454<26,57° Ω
10,44<73,30ºΩ
4. Fluxo de Potência
Nos sistemas de potência, os componentes podem ser ligados
de duas formas distintas:
➢ A parte interna da rede, formada pelos demais componentes
(linhas de transmissão, transformadores, etc.) é tratada
como um conjunto de circuitos passivos e modelada por
meio da matriz de admitância de barra.
➢ Impondo-se a conservação das potências ativa e reativa em
cada nó da rede é possível obter as equações básicas que
regem o comportamento dos fluxos de potência nas redes
elétricas.
4.1 O que é Fluxo de Potência
Rede genérica em diagrama unifilar
Também conhecido como fluxo de carga, é o estudo que visa
obter o estado operativo de uma rede elétrica em regime
permanente senoidal, sinalizando os caminhos percorridos
pelas potências ativa e reativa em todos os elementos da rede
elétrica, além do fasor tensão em todas as barras.
Barra de geração
Obs.: Considerar que os sistemas elétricos de potência são equilibrados.
Barra de primário 
do Trafo
Barra de secundário 
do Trafo
4.2 Estudo de Fluxo de Potência
Avaliação do desempenho das redes de energia elétrica em
condições de regime permanente senoidal é de grande
importância tanto na operação em tempo real do sistema
quanto no planejamento de sua operação e expansão.
Rede genérica em diagrama unifilar
Barra de geração
Barra de primário 
do Trafo
Barra de secundário 
do Trafo
Obs.: As barras são pontos de interesse ou de medição onde nos interessa saber 
a potência injetada. 
4.2 Estudo de Fluxo de Potência
A partir da resolução do problema de fluxo de carga obtém-se:
➢ O carregamento das linhas de transmissão e
transformadores;
➢ Carregamento dos geradores;
➢ A magnitude e ângulo da tensão nas barras;
➢ As perdas de transmissão;
➢ O carregamento dos equipamentos de compensação de
reativos (síncronos e estático)
4.2 Estudo de Fluxo de Potência
A partir destes resultados definem-se medidas de alterações na
rede elétrica com o objetivo de tornar a operação mais
otimizada, segura e econômica.
4.2 Estudo de Fluxo de Potência
Essas alterações podem ser tanto no planejamento da
expansão do sistema (instalação de novos equipamentos)
como na operação (ajustes e mudanças de topologia):
➢ Ajuste no despacho dos geradores;
➢ Ajustes nos dispositivos de controle de tensão (injeções de
potência reativa, posição dos taps dos transformadores);
➢ Ajustes no intercâmbio com os sistemas vizinhos;
➢ Mudanças na topologia (ligar ou desligar alguma linha de
transmissão ou transformador).
➢ Instalação de novas plantas de geração;
1. Seja um sistema 1 abaixo (3 barras) é um sistema industrial típico,
trifásico, com um transformador em delta-estrela solidamente aterrado
(sistema de 115 kV também solidamente aterrado), que alimenta uma
carga de 10MVA modelada como impedância constante. Tome como
base a potência de 25MVA, e valores de tensão base como os níveis
de transformação do transformador.
As tabelas 1 e 2 apresentam os dados de linha do sistema em estudo.
Circuito
Impedâncias Próprias Comprime
nto [km]Zaa [Ω/km] Zbb [Ω/km] Zcc [Ω/km]
SE-B1 0 +j51,2 0 +j51,2 0 +j51,2 1
B2-B3 0 +j21,6 0 +j21,6 0 +j21,6 1
Circuito
Impedâncias Mútuas
Zaa [Ω/km] Zbb [Ω/km] Zcc [Ω/km]
SE-B1 0 +j20,4 0 +j20,4 0 +j20,4
B2-B3 0+j8,6 0+j8,6 0+j8,6
Tabela 1 - Dados de impedância própria.
Tabela 2 - Dados de impedância mútua.
Circuito
Impedâncias Próprias Compriment
o [km]Zaa [Ω/km] Zbb [Ω/km] Zcc [Ω/km]
SE-B1 0 +j51,2 0 +j51,2 0 +j51,2 1
B2-B3 0 +j21,6 0 +j21,6 0 +j21,6 1
Circuito
Impedâncias Mútuas
Zaa [Ω/km] Zbb [Ω/km] Zcc [Ω/km]
SE-B1 0 +j20,4 0 +j20,4 0 +j20,4
B2-B3 0+j8,6 0+j8,6 0+j8,6
A. Como cada trecho do sistema é estabelecido que possua 1Km de
comprimento. Calcule da matriz de impedâncias entre SE e B1 em
p.u. Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em 3
casas decimais.
B. Matriz de impedâncias do transformador em p.u. Deixe tudo em
coordenadas polares. Coloque os resultados em 2 casas decimais
C.Como cada trecho do sistema é estabelecido que possua 1Km de
comprimento. Calcule da matriz de impedâncias entre o trecho B2 e
B3 em p.u. Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os
resultados em 3 casas decimais
D.Calcule a matriz de impedâncias total do sistema, ou seja, das
matrizes de impedância de cada trecho e do transformador em p.u.
Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em 3
casas decimais
Tabela 1 - Dados de impedância própria.
Tabela 2 - Dados de impedância mútua.
A. Como cada trecho do sistema é estabelecido que possua 1Km de
comprimento. Calcule da matriz de impedâncias entre SE e B1 em
p.u. Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em 3
casas decimais.
B. Matriz de impedâncias do transformador em p.u. Deixe tudo em
coordenadas polares. Coloque os resultados em 2 casas decimais
C. Como cada trecho do sistema é estabelecido que possua 1Km de
comprimento. Calcule da matriz de impedâncias entre o trecho B2 e B3
em p.u. Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em
3 casas decimais
X=10% ou X= j10/100 = j0,1
C. Como cada trecho do sistema é estabelecido que possua 1Km de
comprimento. Calcule da matriz de impedâncias entre o trecho B2 e B3
em p.u. Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em
3 casas decimais
D. Calcule a matriz de impedâncias total do sistema, ou seja, das
matrizes de impedância de cada trecho e do transformador em p.u.
Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em 3
casas decimais
D. Calcule a matriz de impedâncias total do sistema, ou seja, das
matrizes de impedância de cada trecho e do transformador em p.u.
Deixe tudo em coordenadas polares. Coloque os resultados em 3
casas decimais
Fim
Aula 7: Estabilidade de Sistemas Elétricos
Docente: MSc. Antonio Tavares de França Júnior.
Engº Eletricista (Bacharel)
Engº de Seg. do Trab. (pós-graduado)
Engº Mecânico (Mestre)
CRONOGRAMA DE AULAS
1 – Curto-circuito Componentes simétricas
2 – Curto-circuito Impedâncias de sequências para geradores, 
transformadores e linhas
3 – Curto-circuito Redes de sequência positiva, negativa e zero 
4 – Curto-circuito Tipos de curto-circuito 
5 – Curto-circuito Cálculo de curto-circuito 
6 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância 
de barras 
7 – Curto-circuito Análise de faltas usando a matriz impedância de 
barras 
8 – Fluxo de Carga Definição e modelagem do fluxo de carga 
CRONOGRAMA DE AULAS
16 – Aula Prática Estabilidade
11 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson
12 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson
13 – Aula Prática Fluxo de Carga - Método de Newton Raphson 
14 – Aula Prática Fluxo de Carga – Método de Newton Raphson 
15 – Estabilidade
10 – Fluxo de Carga Método de Newton Raphson
9 – Fluxo de Carga Modelagem das barras: de carga, de tensão 
controlada e swing 
APS 1
Obs.: POSTAGEM DA APS PELO ESTUDANTE NO BB - 09 à 15/11 (inclui sábado e domingo) 
APS 2
Obs.: POSTAGEMDA APS PELO ESTUDANTE NO BB - 09 à 15/11 (inclui sábado e domingo) 
Estudo de Fluxo de Potência
➢ Instalação de novas linhas de transmissão e transformadores;
➢ Instalação de dispositivos de controle de fluxo de potência (FACTS1 –
Sistema de Transmissão Flexível de CA);
➢ Interconexão com outros sistemas.
➢ Também é possível avaliar o comportamento das redes elétricas em
cenários de aumento ou diminuição de carga.
➢ Avaliar o impacto causado pela inserção de novas fontes geradores
de ativos e reativos em qualquer ponto de uma rede.
➢ Avaliar a viabilidade de operação de um SEP em condição
emergencial (perda de LTs, geração)
2. Para o sistema monofásico a três fios da figura abaixo,
determinar as componentes simétricas de fase e de linha e o grau
de desequilíbrio.
=
=
Va0=1/3(VA - VA +0) = 0 
Va0=1/3 (110∠0º V -110∠0º V+0V ) = 0 
Va0=1/3 (110∠0º V +110∠180º V+0V ) = 0 
Va0= 0V 
Va1=1/3(VA – a.VA) Va1=1/3[110∠0º -(1∠120º. 110∠0º)]
Va1=1/3[110∠0º -(110∠120º)] Va1=1/3[190,52∠-30º]
Va1=63,51∠-30ºV
A. Determinação das componentes
simétricas de fase
Va1=55 -j31,755ºV
=
Va0= 0V 
Va1=63,51∠-30ºV
Va2=1/3(VA – a
2.VA) Va2 =1/3[110∠0º -(1∠240º. 110∠0º)] 
Va2 =1/3[110∠0º -(110∠-120º)] Va2 =1/3[190,52∠30º]
Va2 =63,51∠30ºV
Va2 =63,51∠30ºV
A. Determinação das componentes
simétricas de fase
B. Determinação das componentes simétricas das tensões de linha:
Vab= 220∠0ºV Vbc= 110∠180ºV Vca= 110∠180ºV
Va1=55 +j31,755ºV
B. Determinação das
componentes
simétricas das
tensões de linha:
Vab= 220∠0ºV
Vbc= 110∠180ºV
Vca= 110∠180ºV
=
V0L=1/3(VAB + VBC + VCA) = 0 
V0L=1/3 (220∠0º V +110∠180º V+ 110∠180º) = 0 
V0L= 0V 
V1L=1/3(VAB + a.VBC + a
2.VCA )
V1L=1/3[220∠0º +(1∠120º.110∠180º)+(1∠240º.110∠180º)]
V1L=1/3[220∠0º +110∠-60º +110∠60º] V1L=1/3[330∠0º]
V1L=110∠0ºV
V0L= 0V 
V1L=110∠0ºV
V2L=1/3(VAB + a
2.VBC + a.VCA) 
V2L =1/3[220∠0º +(1∠240º.110∠180º) +(1∠120º.110∠180º)] 
V2L =1/3[220∠0º +110∠60º) +110∠-60º] V2L =1/3[330∠0º]
V2L =110∠0ºV
V2L = 110∠0ºV
B. Determinação das componentes
simétricas das tensões de linha:
Vab= 220∠0ºV
Vbc= 110∠180ºV
Vca= 110∠180ºV
Sistemas Elétricos de Potência
INTRODUÇÃO AOS DISPOSITIVOS FACTS
Por fins 
econômicos, 
ambientais e de 
segurança
Estações de 
geração 
distantes dos 
centros de carga
Linhas de 
transmissão a 
tensões altas ou 
extra altas
Sistemas Elétricos de Potência Interligados
Vantagens
•Suprimento do déficit energético; 
•Continuidade e confiabilidade da geração.
Desvantagens
Distúrbios se propagarem;
•Interrupções em cascatas: apagões.
INTRODUÇÃO AOS DISPOSITIVOS FACTS
Sistemas Elétricos de Potência Interligados
INTRODUÇÃO AOS DISPOSITIVOS FACTS
Sistemas Elétricos de Potência Interligados
Fig: Sistema elétrico de grande porte e 
interligado.
Fonte: Eletrobras, Centrais Elétricas Brasileiras 
S.A.
Manutenção da operação de Sistemas Interligados
INTRODUÇÃO AOS DISPOSITIVOS FACTS
Controladores eletrônicos de alta potência que se adaptam 
às contingências e variações de carga.
Inserção de controle dinâmico sobre a potência reativa e ativa (jQ e P):
CONTROLADOR FATOR POTENCIA PFW03-M24
https://www.weg.net/catalog/weg/LC/pt/Controls/Medidores-e-Controladores-
Eletr%C3%B4nicos/Controlador-Autom%C3%A1tico-do-Fator-de-Pot%C3%AAncia-
PFW03/CONTROLADOR-FATOR-POTENCIA-PFW03-M24/p/14387143
FACTS: Sistema de Transmissão de Corrente 
Alternada Flexível
"Sistemas de transmissão de CA que incorporam controladores eletrônicos
e outros componentes estáticos para melhorar a controlabilidade e
aumentar a capacidade de transferência de potência"
https://www.actbr.com.br/eletronica-
proporcional/eletronica-proporcional-reguladores-
proporcionais/controladores-eletronicos-atos-e-bm-ac
Classificação dos FACTS
•Controladores conectados em derivação;
•Controladores conectados em série;
•Controladores combinados série-série;
•Controladores combinados série-shunt;
Classificação dos FACTS
Controladores Conectados de Derivação
Compensador Síncrono Estático (SSC ou STATCOM):
Um gerador síncrono Estático operando como um compensador estático
VAR conectado em derivação, cuja corrente de saída capacitiva ou Indutiva
pode ser controlada independentemente da tensão do Sistema de CA
Classificação dos FACTS
Controladores Conectados de Derivação
Compensador Síncrono Estático (SSC ou STATCOM):
Um compensador síncrono estático operando como um compensador
estático var em conexão shunt, sendo que a saída da corrente, capacitiva
ou indutiva, pode ser
controlada de forma independente da tensão do sistema AC.
Na Figura 4 mostra-se o STATCOM com fontes de tensão, de corrente e
acoplado com um armazenador de energia.
Compensador de Conexão Shunt:
a) STATCOM, com fontes de tensão e corrente.
b) STATCOM com Armazenador de Energia.
Classificação dos FACTS
Controladores de conexão série
Os controladores de conexão serie podem ser modelados como
impedâncias variáveis, capacitor, reator, etc, ou como fontes variáveis
baseadas em eletrônica de potencia.
A principio, os controladores serie resultam em uma queda de tensão na
linha de transmissão.
A Figura abaixo mostra a configuração de Controlador FACTS em 
conexão serie.
Figura: Configuração de Controlador FACTS de conexão tipo serie.
Classificação dos FACTS
Controladores de conexão combinados shunt-série
“Os controladores de conexão combinados shunt-serie,
assim como já diz o nome, poderiam ser uma
combinação de controladores serie e shunt separados,
os quais são controlados de forma coordenada.”
Classificação dos FACTS
Controladores de conexão combinados shunt-série
A principio os controladores combinados serie:
– shunt injetam corrente e tensão dentro do sistema.
Estes elementos dos controladores vão injetar tensão na linha (parte serie)
e/ou corrente (parte shunt) de forma independente, conseguindo controlar a
potencia ativa e reativa.
Quando os controladores são unificados, podem ter um intercambio de
potencia ativa entre os controladores via o enlace de potência.
Classificação dos dispositivos eletrônicos 
utilizados nos FACTS
1. Impedância Variável;
Controladores de conexão shunt
Os controladores de conexão shunt podem ser impedâncias variáveis,
fontes variáveis, ou uma combinação destas.
Os controladores shunt injetam corrente no ponto de conexão e por ser
uma impedância variável num ponto de tensão de linhas, a injeção de
corrente também e variável.
Na Figura mostra-se a configuração de controlador shunt.
Figura: Configuração de Controlador FACTS de conexão 
tipo Shunt.
Classificação dos dispositivos eletrônicos 
utilizados nos FACTS
2. Conversor de Fonte de Tensão (VSC);
GUPFC - Generalized Unified Power Flow Controller, Conexão de um VSC shunt
com dois o mais em conexão serie, generalização de varios UPFC - Unified Power
Flow Controller.
Classificação dos dispositivos eletrônicos 
utilizados nos FACTS
2. Conversor de Fonte de Tensão (VSC);
Unified Power Flow Controller (UPFC): Uma combinação de compensador
estático síncrono (STATCOM) e um compensador serie estático síncrono (SSSC), os
quais são acoplados via enlace comum em DC, para permitir um fluxo de potencia
ativa entre os terminais de saída serie do SSSC e terminais de saída shunt do
STATCOM.
São controlados para prover compensação concorrente de potencia ativa e reativa
na linha sem uma fonte de energia externa.
O UPFC, pelo principio de injeção de tensão serie de forma angular não restrita, e
capaz de controlar, concorrentemente ou seletivamente, a tensão, a impedância e
angulo da linha de transmissão ou alternativamente o fluxo da potencia reativa na
linha.
O UPFC pode também prover compensação reativa shunt independentemente
controlável.
Dispositivos FACTS
•Suporte de tensão em barramento críticos no sistema
•Controladores shunt conectados
•Regulam o fluxo de potência em linhas críticas
•Controladores conectados em série
Benefícios
•Otimização da operação do sistema;
•Controle do fluxo