_52493_1_Apostila_Matemxtica_Financeira

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Conteúdo produzido e curado pela equipe acadêmica 
 
 
APOSTILA – MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
Profa. Dra. Elaine Borges 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conteúdo produzido e curado pela equipe acadêmica 
MATEMÁTICA FINANCEIRA | Profa. Dra. Elaine Borges 
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 Propriedade Intelectual 
 
 
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SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO página 3 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO página 3 
 
TAXAS E INFLAÇÃO página 6 
 
DESCONTO RACIONAL E BANCÁRIO página 8 
 
SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMES (PMT) 
 página 10 
 
VPL E TIR página 12 
 
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA página 13 
 
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 Propriedade Intelectual 
 
 
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INTRODUÇÃO 
A matemática financeira estuda o valor do dinheiro no tempo. Seu objetivo é efetuar 
análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de valores financeiros 
em diferentes momentos no tempo. 
Dois valores financeiros, que se encontram em momentos diferentes no tempo, não 
são comparáveis. Para que valores financeiros em momentos diferentes do tempo 
sejam comparáveis, é preciso utilizar a matemática financeira e suas ferramentas a fim 
de trazer todos esses valores para o mesmo momento no tempo. O componente que 
vai converter os valores financeiros em unidades comparáveis é a taxa de juros. 
 
REGIME DE 
CAPITALIZAÇÃO 
 Regime de capitalização é a maneira pela qual os juros são calculados em uma 
operação. No regime de capitalização de juros simples, os juros incidem apenas sobre 
o capital inicial, ou seja, os juros gerados em cada um dos períodos são iguais. Por 
isso, a função que descreve a capitalização simples é linear, crescendo de maneira 
constante ao longo do tempo. 
Veja, a seguir, um exemplo de cálculo de juros simples em uma operação de 
empréstimo de R$ 1.000,00, com prazo de 5 anos e uma taxa de juros de 10% ao ano. 
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 Propriedade Intelectual 
 
 
 
Como podemos observar na tabela, os juros produzidos em todos os períodos serão 
de R$ 100,00. Por isso, para calcular os juros simples de uma operação basta 
multiplicar o capital inicial pela taxa de juros e pelo número de períodos. 
As fórmulas utilizadas para o cálculo de juros simples são as seguintes: 
J = C i n M = C (1 + in) 
 onde J = juros 
 C = capital inicial 
 i = taxa de juros unitária 
 n = número de períodos 
 M = montante (capital final = capital inicial + juros) 
No exemplo anterior, temos: 
 C = 1.000 i = 10% a.a./100 = 0,1 n = 5 anos 
 J = 1.000 × 0,1 × 5 = R$ 500 
 M = 1.000 (1 + 0,1 × 5) = R$ 1.500 
 
Já na capitalização de juros compostos, há a incidência de juros sobre o capital 
inicial e sobre todos os juros gerados nos períodos anteriores. Por isso, se diz que, em 
juros compostos, há juros sobre juros. 
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 Propriedade Intelectual 
 
 
Na tabela a seguir, podemos observar a formação de juros compostos período a 
período, com a mesma operação de empréstimo apresentada anteriormente, em que 
foram emprestados R$ 1.000,00, por 5 anos a uma taxa de 10% de juros ao ano. 
 
 
 
Como podemos observar, os juros aumentam conforme os períodos vão passando, 
e os aumentos também aumentam. Inicialmente, o acréscimo foi de R$ 10,00, mas, no 
último período, foi de R$ 13,30. Por esse motivo, a função que descreve os juros 
compostos é exponencial. 
A fórmula para cálculo dos juros compostos é a seguinte: 
VF = VP (1 + i)n 
onde VF = valor futuro 
 VP = valor presente 
 i = taxa de juros unitária 
 n = número de períodos 
No exemplo, temos: 
VF = 1.000 (1 + 0,10)5 = R$ 1.610,51 
Comparação entre juros simples e juros compostos 
Quanto maior o valor inicial e o número de períodos da operação, maior será a 
diferença entre os juros gerados pela capitalização composta em comparação com a 
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capitalização simples. Entretanto, é importante observar que, para operações de 
apenas um período (seja esse período um mês, um trimestre, um semestre ou um 
ano), os métodos de capitalização são indiferentes, ou seja, eles geram o mesmo valor 
de juros. Já para períodos inferiores a um, os juros simples irão superar os juros 
compostos. 
 
TAXAS E INFLAÇÃO 
Taxas proporcionais 
Para transformar uma taxa de juros simples de uma unidade de tempo para outra 
basta multiplicar ou dividir essa taxa pelo número de períodos, pois os juros simples 
são lineares, ou seja, proporcionais ao período. 
As taxas de 18% ao ano e de 1,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois: 18 
/ 1,5 = 12 / 1 
EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 
ik = 30% ao ano / 12 meses = 2,5% a.m. 
Taxas equivalentes 
No caso dos juros compostos, as taxas não são proporcionais, pois a função é 
exponencial, e não linear. Isso significa que para transformar uma taxa de juros 
compostos de uma unidade de tempo para outra (por exemplo, de ano para mês) a 
complexidade é um pouco maior. 
Uma maneira fácil de calcular taxas equivalentes é pensar na fórmula da seguinte 
maneira: 
 iQUERO = (1 + iTENHO) 
QUERO / TENHO – 1 
No expoente, você vai dividir o período da taxa que você QUER calcular pelo 
período da taxa que você TEM, sendo necessário que seja na mesma unidade de 
tempo e, de preferência, na menor unidade de tempo envolvida na operação, para 
facilitar o cálculo. 
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 Propriedade Intelectual 
 
 
Por exemplo, suponha que queiramos saber a taxa mensal equivalente (composta) 
a 58% ao ano. 
 im = (1+ia)
1 MÊS /12 MESES – 1 im = 1,58
1/12 – 1 = 3,89% a.m. 
Taxas variáveis 
A taxa de juros pode variar ao longo dos períodos de capitalização. Nesse caso, 
para calcular a taxa de juros de todo o período temos que acumular as taxas. Por se 
tratar de juros compostos, não é possível acumular as taxas somando umas às outras. 
Em vez disso, vamos multiplicar as taxas após elas serem divididas por 100 e 
somadas a 1. 
EXEMPLO: Maria possui uma aplicação por 6 meses que apresentou as seguintes 
rentabilidades mensais: 
Mês 01 02 03 04 05 06 
Taxa 1,2% 0,9% 1% 1,1% 0,95% 0,85% 
 (1+iACUMULADA) = (1+i1) (1+i2) (1+i3) ... (1+in) 
 (1+iACUMULADA) = (1+0,012) (1+0,009) (1+0,01) (1+0,011) (1+0,0095) (1+0,0085) 
 iACUMULADA = 1,06152 – 1 = 0,06152 ou 6,15% ao semestre 
Para conhecer a taxa média mensal do período, ou qualquer taxa média, basta 
calcular a taxa equivalente. No caso do exemplo anterior, a taxa média mensal será: 
 iMÉDIA = [(1+0,012) (1+0,009) (1+0,01) (1+0,011) (1+0,0095) (1+0,0085)]
1/6 − 1 
 iMÉDIA = 1,06152
1/6 – 1 = 0,00999 ou 1% 
Inflação e taxa real 
A inflação é o aumento geral de preços de uma economia e está incluída em todas 
as taxas de juros. Quando a gente retira a inflação de uma taxa de juros, temosa taxa 
real, que corresponde ao ganho real obtido, já que a inflação é apenas uma correção 
monetária que visa à manutenção do poder de compra da moeda. 
Seja R = taxa nominal, r = taxa real e h = inflação 
 1 + R = (1+r) (1+h) 
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EXEMPLO: Suponhamos que os preços, no momento, estejam subindo a 5% ao ano 
(inflação) e que a taxa de retorno nominal de um investimento é de 15,5% ao ano. 
Para deflacionar os R$ 115,50 em 5% basta dividir uma taxa pela outra após somar 1 
às taxas: 115,50/1,05 = 10%. Portanto, nosso retorno real é de 10%. 
Taxa bruta e taxa líquida 
Quando consideramos o pagamento de impostos sobre os rendimentos das 
aplicações, podemos calcular a taxa líquida. A taxa líquida é a taxa recebida após o 
pagamento dos impostos, ou seja, é a taxa após impostos. A taxa bruta, por sua vez, 
seria a taxa nominal, que não leva em consideração o pagamento de impostos. 
Para descontar o imposto de uma taxa de juros basta multiplicar a taxa bruta por 1 
menos a alíquota do imposto. 
Fórmula: 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒃𝒓𝒖𝒕𝒂 = 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒍í𝒒𝒖𝒊𝒅𝒂 (𝟏 − 𝒂𝒍í𝒒𝒖𝒐𝒕𝒂 𝒊𝒎𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐) 
Exemplo: A alíquota de Imposto de Renda (IR) de um CDB em que foram investidos 
R$ 1.000,00 por 360 dias a uma taxa bruta de 10% a.a. foi de 20% sobre os 
rendimentos. A taxa líquida será: 
ilíquida = 0,10 (1 − 0,20) = 8% a.a. 
DESCONTO RACIONAL 
E BANCÁRIO 
Ao se liquidar um título antes do seu vencimento, é gerado um desconto. O valor 
descontado de um título é seu valor atual na data do resgate. O desconto racional vai 
seguir os métodos da matemática financeira e pode utilizar juros simples ou 
compostos. 
Fórmula do desconto racional para juros simples: 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 =
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑵𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍
(𝟏+𝒊𝒏)
 
EXEMPLO: Seja um título de valor nominal R$ 4.000,00 que está sendo liquidado 3 
meses antes do seu vencimento. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros simples, qual é o 
valor descontado racional? 
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VR = N / (1+in), ou seja, VR = 4.000 / (1 + 0,035 × 3) = R$ 3.619,91 
Fórmula de desconto racional para juros compostos: 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 =
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑵𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍
(𝟏 + 𝒊)𝒏
 
EXEMPLO: Seja um título de valor nominal R$ 4.000,00 que está sendo liquidado 3 
meses antes do seu vencimento. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros compostos, qual 
é o valor descontado racional? 
VR = N / (1+i)n 
VR = 4.000 / (1 + 0,035)3 = 3.607,77 
No desconto bancário, o desconto incide sobre o valor nominal do título (valor no 
vencimento), gerando maior volume de encargos. Essa é a modalidade mais adotada 
pelo mercado. 
Fórmula de desconto bancário simples: 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝑩𝑨𝑵𝑪𝑨𝑹𝑰𝑶 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑵𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝟏 − 𝒊𝒏) 
EXEMPLO: Seja um título de valor nominal igual a R$ 13.000,00 que irá vencer em 8 
meses. Sendo de 4% ao mês a taxa de juros simples utilizada na operação, qual é o 
valor descontado bancário? 
VR = N (1 − in) 
VR = 13.000 (1 − 0,04 × 8) = R$ 8.840 
Fórmula do desconto bancário composto: 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝑩𝑨𝑵𝑪𝑨𝑹𝑰𝑶 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑵𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝟏 − 𝒊)
𝒏 
EXEMPLO: Seja um título de valor nominal igual a R$ 13.000,00 que irá vencer em 8 
meses. Sendo de 4% ao mês a taxa de juros compostos utilizada na operação, qual é 
o valor descontado bancário? 
VR = N (1 - i)n 
VR = 13.000 (1 - 0,04)8 = R$ 9.378,06 
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5 SERIÉS DE 
PAGAMENTO 
UNIFORMES (PMT) 
As Séries de Pagamentos Uniformes (PMT) referem-se a situações com múltiplos 
fluxos de caixa de mesmo valor que se repetem com o mesmo intervalo de tempo. 
Nas séries postecipadas, os pagamentos ocorrem no final de cada período, e essa é 
a modalidade mais comumente utilizada pelo mercado. 
Fórmula da série de pagamentos uniforme postecipada 
VP = PMT [
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
𝑖
] 
EXEMPLO: Temos três pagamentos anuais de R$ 500,00 e uma taxa de juros de 10% 
a.a. Qual o valor presente dessa operação? 
Na HP12C: 
[g] [END] 
3 [n] 
10 [i] 
500 [CHS] [PMT] 
[PV]  VP = R$ 1.243,43 
É possível que a operação postecipada tenha uma entrada. Nesse caso, basta 
subtrair a entrada do valor presente da operação e seguir com o cálculo da mesma 
forma. 
Séries de pagamentos uniformes antecipadas são aquelas em que os pagamentos 
ocorrem no início de cada período. Para o seu cálculo é preciso informar à HP com o 
[g] [BEG] que se trata de uma operação antecipada. 
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EXEMPLO: Vamos financiar um carro novo que custa R$ 50.000,00 em 24 parcelas 
mensais, pagando uma taxa de juros de 1,5% ao mês. As parcelas serão antecipadas, 
ou seja, irão vencer no início do mês. Qual o valor da parcela? 
Na HP: 
[g] [BEG] 
24 [n] 
1,5 [i] 
50.000 [CHS] [PV] 
[PMT]  PMT = R$ 2.459,32 
Perpetuidade 
Um caso especial de série de pagamentos uniforme surge quando a série de fluxos 
iguais se estende indefinidamente. Esse caso é chamado de perpetuidade. 
Normalmente, é difícil conseguir pensar concretamente num exemplo de 
perpetuidade, já que não estamos acostumados a imaginar um horizonte de tempo 
infinito. No entanto, suponha que você tenha aplicado no banco R$ 100.000,00 e que 
você pretenda realizar retiradas mensais apenas do valor dos juros gerados, ou seja, 
você pretende manter os seus R$ 100.000,00 aplicados nessa conta. Se o banco te 
pagar uma taxa de juros média de 1% ao mês, isso significa que você fará retiradas de 
R$ 1.000,00 por mês indefinidamente. Nesse caso, um fluxo de pagamentos de R$ 
1.000,00 que irá se repetir indefinidamente vale hoje R$ 100.000,00. Vale lembrar, 
porém, que por conta da inflação, esses R$ 1.000,00 por mês em 20, 30 anos valeriam 
quase nada. 
𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖⁄ 
EXEMPLO: Quanto dinheiro você precisa ter juntado até os 60 anos de idade para 
obter uma aposentadoria mensal perpétua de R$ 10.000,00 por mês, considerando 
uma taxa de juros média de 1% ao mês? 
VP = 10.000 / 0,01 = R$ 1.000.000,00 
 
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VPL E TIR 
O Valor Presente Líquido (VPL) é a diferença entre o valor presente das entradas de 
caixa e o valor presente das saídas de caixa, ambos descontados à taxa mínima de 
atratividade. Essa é uma das principais medidas utilizadas para avaliar a viabilidade 
econômico-financeira de um projeto de investimento. Se o VPL for positivo, o projeto 
deve ser aceito, pois o investidor já estará recebendo a taxa de atratividade mínima no 
projeto. 
Fórmula do VPL: 𝑽𝑷𝑳 = 𝑭𝑪𝟎 +
𝑭𝑪𝟏
(𝟏+𝒊)𝟏
+ 
𝑭𝑪𝟐
(𝟏+𝒊)𝟐
 + 
𝑭𝑪𝟑
(𝟏+𝒊)𝟑
 + … + 
𝑭𝑪𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏
 
EXEMPLO: Um projeto exige R$ 30.000,00 de investimento inicial e pretende gerar 
fluxos de caixa posteriores de acordo com o seguinte cronograma: R$ 15.000,00 no 
2.º ano, R$ 10.000,00 no 3.º ano e R$ 20.000,00 no final do projeto, no 4.º ano. 
Considerando uma taxa de juros de 12% a.a., qual seria o VPL desse projeto? 
Pela HP12C temos: 
30000 [CHS] [g] [CF0] 
0 [g] [CFj] 
15000 [g] [CFj] 
10000 [g] [CFj] 
20000 [g] [CFj] 
12 [i] 
[f] [NPV]  VPL = R$ 1.786,07 
Como o VPL é positivo, o projeto deve seraceito, pois o retorno obtido está acima 
dos 12% a.a. de juros. Para descobrir exatamente qual é a taxa de juros paga pelo 
projeto, podemos calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR). A TIR ocorre quando o 
VPL é zerado, conforme podemos observar a seguir. 
Fórmula da TIR: 𝟎 = 𝑭𝑪𝟎 +
𝑭𝑪𝟏
(𝟏+𝑻𝑰𝑹)𝟏
+ 
𝑭𝑪𝟐
(𝟏+𝑻𝑰𝑹)𝟐
 + 
𝑭𝑪𝟑
(𝟏+𝑻𝑰𝑹)𝟑
 + ⋯ + 
𝑭𝑪𝒏
(𝟏+𝑻𝑰𝑹)𝒏
 
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Para calcular a TIR do projeto, como todo o fluxo de caixa já havia sido inserido na 
HP, basta apenas apertar as teclas [f] [IRR] e veremos que a TIR = 14,17% a.a. 
 
CAPITALIZAÇÃO 
CONTÍNUA 
A capitalização contínua processa-se em intervalos de tempo bastante reduzidos, 
caracteristicamente em intervalos infinitesimais, promovendo grande frequência de 
capitalizações. 
Fórmula: 𝑴 = 𝑪 𝒆𝒊𝒏 
Para calcular o montante produzido com capitalização contínua basta multiplicar o 
capital inicial pelo número neperiano elevado à taxa de juros vezes o número de 
períodos. A HP possui um botão que calcula número neperiano com expoente. 
EXEMPLO: Suponha que um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 2 anos à taxa 
de 12% a.a. Qual seria o montante final no regime de capitalização contínua? 
𝑴=𝟏.𝟎𝟎𝟎 𝒆(𝟎,𝟏𝟐 𝒙 𝟐)  𝑴=𝟏.𝟐𝟕𝟏,𝟐𝟓. 
Na HP12C: 
0,24 [g] [𝒆𝒙] 
1000 [x]  𝑴=𝟏.𝟐𝟕𝟏,𝟐𝟓.