Distribuições contínuas de probabilidade-1

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Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 8
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 4 - Distribuições Contínuas (Notas de Aula)
1 Distribuição Uniforme
Usada comumente nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades
diferentes a um conjunto possíveis de valores da variável aleatória em um determinado
intervalo.
Uma variável aleatória contínuaX, definida no intervalo [a, b], tem distribuição Uniforme
se sua função densidade de probabilidade for especificada por
f(x) =
{
k para a ≤ x ≤ b
0 para x < a ou x > b
O valor de k pode ser obtido da seguinte forma
∫ b
a
k dx = 1
k · x |ba= 1
k =
1
b− a
Logo,
f(x) =

1
b−a para a ≤ x ≤ b
0 para x < a ou x > b
Sua Função de distribuição F (X) é dada por∫ x
a
1
b− a
ds =
x− a
b− a
1
Sua média E(X) e Variância V (X) são dados por
E(X) = b+a
2
e V (X) = (b−a)
2
12
Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo [0,2]. Qual a probabilidade de
que esteja entre 1 e 1,5?
2 Distribuição Normal
A distribuição Normal, também conhecida por distribuição Gaussiana, segunda lei de
Laplace, Laplace, Laplace-Gauss, de Moivre, é uma família importante das distribuições
contínuas de probabilidade, aplicável em muitas áreas (JOHNSON e KOTZ, 1970). Suas
propriedades, além de fundamentar decisões, medir e prevenir riscos e até explicar curiosi-
dades, descrevem bem variáveis como comprimento de pinos e diâmetros de discos, altura,
peso, inteligência e tempo de gestação de seres vivos, rendas e despesas de famílias ou
categorias profissionais, rendimentos de máquinas e campos de trigo, qualidade do ar,
velocidade de molécula, distribuições diamétricas e volumétricas de árvores, etc. Cada
membro dessa família pode ser definido por dois parâmetros, locação e escala: a média
µ e a variância σ2, respectivamente. A distribuição normal padrão possui média zero e
variância um (JOHNSON e KOTZ, 1970).
Uma variável normal, de modo geral, retrata bem fenômenos cujo efeito final correspon-
de à soma de múltiplas causas ou é afetado por diversas variáveis independentes (típico
de variáveis físico químicas, socioeconômicas, psicossociais, etc).
Carl Friedrich Gauss em 1809 se tornou associado com essa distribuição quando ele
analizou dados astronomicos, e definiu a equação desta densidade de probabilidade. Ela
é frequentemente chamada de curva de sino porque o gráfico da sua densidade de proba-
bilidade se assemelha um sino (JOHNSON e KOTZ, 1970).
Definição: Dizemos que uma v.a. X possui uma distribuição Normal (ou Gaussiana)
com média µ e variância σ2 (−∞ < µ < ∞ e σ > 0) se X possuir uma distribuição
contínua com função densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
1
σ
√
2π
e−
1
2
(
x−µ
σ
)2
para −∞ < x <∞
2.1 Média
E(X) = µ
V (X) = σ2
Usaremos a seguinte notação: X ∼ N(µ, σ2)
2
2.2 Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal com média zero (µ = 0) e variância um (σ2 = 1) é denomi-
nada distribuição normal padrão N(0, 1). A função densidade de probabilidade de uma
distribuição normal padrão é em geral representada por φ(x) e dada por
φ(x) =
1√
2π
e−
x2
2
Se uma variável X tem uma distribuição normal com média µ e variância σ2, então a
variável
Z =
X − µ
σ
Z é chamada de Variável Normal Reduzida, Normal Padronizada ou Variável Normal-
izada.
As probabilidades para uma distribuição normal com qualquer média e variância podem
ser determinadas através de Tabelas de uma distribuição normal padrão.
Como ilustração, na Figura 1 é apresentado o gráfico da função normal representada
com diferentes parametrizações.
Figura 1: Densidade da distribuição normal segundo diferentes parametrizações.
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Exemplos do uso da Tabela
1. Seja X ∼ N(100, 25). Calcular
a) P (100 ≤ X ≤ 106)
b) P (89 ≤ X ≤ 107)
c) P (X ≤ 114)
d) P (X ≥ 108)
Resolução
µ = 100 e σ = 5, Z = X−100
5
.
a) P (100 ≤ X ≤ 106) = P (0 ≤ Z ≤ 1, 2) = P (Z ≤ 1, 2) − P (Z ≤ 0) = 0, 8849 −
0, 5000 = 0, 3849
b) P (89 ≤ X ≤ 107) = P (−2, 2 ≤ Z ≤ 1, 4) = P (Z ≤ 1, 4) − P (Z ≤ −2, 2) =
0, 9192− 0, 0139 = 0, 9053
c) P (X ≤ 114) = P (Z ≤ 2, 8) = 0, 9918
d) P (X ≥ 108) = P (Z ≥ 1, 6) = 1− P (Z ≤ 1, 6) = 1− 0, 9452 = 0, 0548
2. Supor uma população em que o peso dos indivíduos seja distribuido normalmente
com média 68 kg e desvio padrão 4 kg. Determinar a proporção de indivíduos
a) abaixo de 66 kg
b) acima de 72 kg
c) entre 66 e 72 kg
a) P (X < 66) = P (Z < −0, 5) = 0, 3085
b) P (X > 72) = P (Z > 1) = 1− P (Z ≤ 1) = 1− 0, 8413 = 0, 1587
c) P (66 < X < 72) = P (−0, 5 < Z < 1) = P (Z < 1) − P (Z < −0, 5) = 0, 8413 −
0, 3085 = 0, 5328
4
Exercícios
1. A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como uma variável aleatória com
distribuição uniforme no intervalo [50,70] da escala Rockwel. Calcular a probabilidade
de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.
2. A variável aleatória X tem distribuição uniforme com parâmetros a = 5 e b = 10.
Calcule as probabilidades:
a) P (X < 7)
b) P (8 < X < 9)
c) P (X > 8, 5)
3. A distribuição da altura de plantas de Amaranthus hybridus, X, pode ser aproximada
por uma distribuição normal de média 29,7 cm e desvio padrão 2,7 cm. A probabili-
dade de uma planta apresentar altura:
a) entre 29,7 e 32,0 cm?
b) acima de 32,0 cm?
c) abaixo de 30,0 cm?
4. Certo tipo de armazenados de bateria dura, em média, três anos, com desvio padrão
de 0,5 ano. Assumindo que a vida dos armazenadores é distribuída normalmente,
encontre a probabilidade de que certo armazenador dure pelo menos 2,3 anos.
5. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil, antes de queimarem, nor-
malmente distribuída com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas.
Encontre a probabilidade de que uma lâmpada queime entre 778 e 834 horas.
6. Certa máquina fabrica resistores elétricos com uma resistência média de 40 ohms e
desvio padrão de 2 ohms. Supondo que a resistência siga uma distribuiçao normal
e que pode ser medida para qualquer grau de acuidade, qual é a porcentagem de
resistores que terão uma resistência excedendo 43 ohms?
7. O diâmetro de uma cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e desvio
padrão 0,02. Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81?
8. As massas das peças de um determinado lote têm distribuição normal, com média
de 65,3 g e desvio padrão de 5,5 g. Encontre a probabilidade de peças com massas:
a) entre 60 e 70 g;
b) superiores a 63,2 g.
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	Distribuição Uniforme
	Distribuição Normal
	Média
	Distribuição Normal Padrão