Distribuições de Probabilidades

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DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES
ROTEIRO
 Distribuição empírica de probabilidades
 Distribuições teóricas de probabilidades
 Distribuição binomial
 Distribuição de Poisson
 Distribuição Normal
OBJETIVOS DA AULA
 Conhecer as principais distribuições teóricas de
probabilidades
 Efetuar cálculos utilizando as diferentes
distribuições de probabilidades
MOTIVAÇÃO
 Os métodos estatísticos podem mostrar que o
processo de seleção de um júri é discriminatório?
 Em 1972, um mexicano-americano foi condenado no
Condado de Hidalgo (Texas – fronteira com o México) por
roubo com intenção de estupro.
 181.535 pessoas elegíveis para a função de júri; 80%
delas eram mexicanos-americanos.
 870 pessoas selecionadas para a função do grande júri;
39% (339 pessoas) eram mexicanos-americanos.
MOTIVAÇÃO
 Questões-chave:
 Dado que os mexicanos-americanos constituem 80% da
população e que o acusado foi condenado por um júri de 12
pessoas com apenas 58% delas (7 jurados) mexicanos-
americanos, será que o júri foi selecionado em um processo
que discrimina contra mexicanos-americanos?
 Será que a discrepância entre a taxa de mexicanos-
americanos na população (80%) e a taxa de mexicanos-
americanos selecionados para o grande júri (39%) é grande
demais para ser explicada apenas pelo acaso?
 VARIÁVEL: qualquer característica que pode ser
mensurada ou categorizada
 VARIÁVEL ALEATÓRIA: pode assumir diferentes
valores, cada qual com uma probabilidade
 Variável aleatória discreta: valores podem ser
enumerados
 Variável aleatória contínua: pode assumir qualquer valor
(inteiro ou fracionário)
DEFININDO OS TIPOS DE VARIÁVEIS
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 Variável aleatória discreta
- Número de caras obtidas no lançamento 
de duas moedas
- Número de clientes que entram em um 
supermercado
 Variável aleatória contínua
- Altura dos alunos
- Peso dos alunos
- Quantidade de leite que uma vaca produz 
em um dia
DEFININDO OS TIPOS DE VARIÁVEIS
DISTRIBUIÇÃO EMPÍRICA DE 
PROBABILIDADES
 Especificação das probabilidades associadas com
os vários valores de uma variável, calculadas a
partir de uma quantidade finita de dados
 EXEMPLO:
 Uma turma de estatística tem 20 estudantes. A
distribuição da idade desses estudantes é: 1 de 16 anos,
4 de 18 anos, 9 de 19 anos, 3 de 20 anos, 2 de 21 anos e
1 de 30 anos. Considere X = a idade de um estudante.
Construa a distribuição de probabilidades de X.
X f(X) Freq.
16 1/20 0,05
18 4/20 0,2
19 9/20 0,45
20 3/20 0,15
21 2/20 0,1
30 1/20 0,05
DISTRIBUIÇÃO EMPÍRICA DE 
PROBABILIDADES
Propriedades de uma distribuição de probabilidade
• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1.
• A soma de todas as probabilidades é 1. 
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
16 17 18 19 20 21 30
Idade
P(
x)
DISTRIBUIÇÃO EMPÍRICA DE 
PROBABILIDADES
• A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x. 
DISTRIBUIÇÃO EMPÍRICA DE 
PROBABILIDADES
 EXEMPLOS:
 (a) A tabela abaixo descreve uma distribuição de probabilidade?
x P(x)
0 0,2
1 0,5
2 0,4
3 0,3
 (b) P(x) = x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2) determina uma distribuição
de probabilidade?
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS
 Distribuições teóricas de probabilidade
 São modelos teóricos utilizados para calcular a
probabilidade de ocorrência de um evento.
 Tipos de distribuições
 Discretas
 Distribuição binomial; Distribuição de Poisson
 Contínuas
 Distribuição normal
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 A distribuição binomial descreve o
comportamento de uma variável dicotômica
(binária)
 Os resultados são chamados arbitrariamente
de sucesso (p) e fracasso (q)
1  qp
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
• - O número de tentativas (ensaios) é fixo (n).
• - Cada ensaio apresenta dois resultados mutuamente 
exclusivos e coletivamente exaustivos.
• - Para cada tentativa há dois resultados possíveis,
S = sucesso ou F = fracasso.
• - A probabilidade de sucesso numa tentativa única é P(S) = p
- A probabilidade de fracasso é P(F) =q, onde p + q = 1
PROPRIEDADES DE UMA DIST. BINOMIAL
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
• - Resultado de um teste de diagnóstico
• - Ocorrência de lesões pulmonares em bovinos com tuberculose
• - Escolha entre um produto com ou sem defeito
• - Acertar ou não um alvo
• - Fumantes ou não fumantes em um grupo de pessoas
• - Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade
EXEMPLOS DE EXPERIMENTOS BINOMIAIS
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
• - Resultado de um teste de diagnóstico
• - Ocorrência de lesões pulmonares em bovinos com tuberculose
• - Escolha entre um produto com ou sem defeito
• - Acertar ou não um alvo
• - Fumantes ou não fumantes em um grupo de pessoas
• - Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade
EXEMPLOS DE EXPERIMENTOS BINOMIAIS
USO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Cálculo de probabilidades utilizando distribuição binomial
 
 
xnx qp
xnx
n
xP 


!!
!
 n = número de observações (tentativas)
 x = número de eventos de um certo tipo 
(“sucesso”)
 p = probabilidade de ocorrência do evento 
que nos interessa (“sucesso”)
 q = probabilidade de não ocorrência do 
evento que nos interessa (“fracasso”)
Considere que, em determinada população, 30% das pessoas tem
alergia respiratória, ou seja, P(S ou p) = 0,30; e P(F ou q) = 0,70.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, apresentar alergia?
P(S) = 0,3 = 30%
- Qual a probabilidade de um em duas pessoas (A e B) ter alergia?
P(A alérgico e B não) ou P (A não e B sim)
P [(S e F) + P (F e S)] = [pq + qp] = 2pq = 2(0,7x0,3) = 0,42 (42%)
- Qual a probabilidade de duas pessoas dentre três apresentarem alergia?
P( 2 sucessos e 1 fracasso)
P( SSF + SFS + FSS) = ppq + pqp + qpp = 3p2q = 3(0,3)2(0,7) = 0,189 (18,9%)
- Qual a probabilidade de duas pessoas dentre quatro apresentarem alergia?
P( 2 sucessos e 2 fracassos)
P( SSFF + SFSF + SFFS + FFSS + FSFS + FSSF) = 
224
2
4
2 )( qpCppqqC 
USO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Cálculo de probabilidades utilizando distribuição binomial
 
 
xnx qp
xnx
n
xP 


!!
!
 n = número de observações (tentativas)
 x = número de eventos de um certo tipo 
(“sucesso”)
 p = probabilidade de ocorrência do evento 
que nos interessa (“sucesso”)
 q = probabilidade de não ocorrência do 
evento que nos interessa (“fracasso”)
npMédia  :
npqPadrãoDesvio  : 
4
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 A importância da média e do desvio padrão:
 Regra empírica da amplitude
- A maioria dos valores deve ficar a 2 desvios padrões da
média, ou seja, não é usual que um valor difira da media por
mais do que 2 desvios padrões.
-
 Limites usuais
- Limite usual máximo:
- Limite usual mínimo:
 2
 2
EXEMPLO 1
 Suponha que precisemos selecionar 12 jurados de uma
população na qual 80% são mexicanos-Americanos, e que
desejemos encontrar a probabilidade de que, entre os 12 jurados
selecionados aleatoriamente, exatamente 7 sejam mexicanos-
Americanos.
 A) Esse procedimento resulta em uma dist. binomial?
 B) Se sim, identifique os valores de n, x, p e q.
EXEMPLO 2
 Em uma propriedade, a prevalência de parasitas pulmonares em
bovinos é de 30%. Qual a probabilidade de que, em um grupo de
4 bovinos, no máximo 2 sejam parasitados?
     22 7,03,0
!2!2
!4
4 em 2  nxP
  265,049,009,0
4
24
4 em 2  nxP
p = 0,3
q = 0,7
x = 2
n = 4 
EXEMPLO 3
 Considerando a probabilidade de um indivíduo
ter sangue Rh- é de 15%, qual a probabilidade
de, em um grupo de 4 indivíduos, termos 0, 1,
2,3 e 4 indivíduos Rh- ?
SOLUÇÃO
      52,085,015,0
!4!0
!4
4 em 0
40
 nxP
      366,085,015,0
!3!1
!4
4 em 1
31
 nxP
      0975,085,015,0
!2!2
!4
4 em 2
22
 nxP
      0115,085,015,0
!1!3
!4
4 em 3
13
 nxP
      00051,085,015,0
!0!4
!4
4 em 4
04
 nxP
EXEMPLO 4
 Com relação ao exemplo do júri apresentado no início da aula,
80% dos elegíveis para a função de júri erma mexicanos-
americanos.
a) Supondo que 870 jurados foram selecionados aleatoriamente,
ache a media e o desvio padrão para os números de mexicanos-
americanos;
b) Use a regra empírica da amplitude para encontrar o número usual
mínimo e máximo de mexicanos-americanos. Podemos concluir
que o resultados real de 339 mexicanos-americanos seja não-
usual? Isso sugere processo tendencioso na seleção do júri?
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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 Se p é muito pequeno (evento raro - < 5%) e n
(número de eventos) é grande (tende a infinito), a
distribuição binomial se aproxima de uma distribuição
de Poisson
 Distribuição de eventos raros
  u
x
e
x
u
xP 
!
Onde:
• u = np (média)
• e = 2,7182818... (algarismo neperiano)
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 APLICAÇÃO (EXEMPLOS):
 Chamadas telefônicas por unidade de tempo
 Acidentes por unidades de tempo
 Número de partículas emitidas de material 
radioativo
 Usuários de internet que tentam entrar em um site
 Contagem de bactérias em placa de Petri
EXEMPLO 1
 Em uma população de 10.000 pessoas, qual
a probabilidade de que nenhuma, uma e duas
pessoas estejam envolvidas em um acidente
de veículo a cada ano? Sabe-se que a
freqüência de acidentes por ano é de 0,024%.
EXEMPLO 3
 
 
%1,9091,0
1
1
!0
4,2
0 4,24,2
0
  eexP
4,200024,010000  npu
  %8,21218,0
!1
)4,2(
1 4,2
1
 exP
  %1,26261,0
2
76,5
!2
)4,2(
2 4,24,2
2
  eexP
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL
 Estima probabilidades associadas a variáveis 
quantitativas
 O termo Normal foi consagrado pelo uso
 Distribuição teórica de probabilidades mais 
conhecida
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CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
 Forma de sino
 Unimodal
 Simétrica em torno do seu valor central (média 
= mediana = moda)
 Área sob a curva totaliza 1 (100%)
CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
CARACTERÍSTICAS DA CURVA NORMAL
N = 1000 indivíduos
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
(OU REDUZIDA)
 É a distribuição normal cuja média é igual a 0
e o desvio padrão é igual a 1
 As áreas situadas abaixo da curva são
tabeladas
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
(OU REDUZIDA)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
(OU REDUZIDA)
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CÁLCULO DE PROBABILIDADES
 Para calcular probabilidades associadas à
distribuição normal, converte-se a variável
original do problema, X, em unidades
reduzidas ou padronizadas, z.
 Essa transformação é feita por meio da
fórmula:



x
z
EXEMPLO 1
Qual a probabilidade de um indivíduo
apresentar nível de colesterol com valor entre
200 e 225 mg/100 mL
Exercício 1 (dist. Binomial)
A probabilidade de um atirador acertar um
determinado alvo é de 1/3. Se ele atirar cinco
vezes, qual a probabilidade de:
a) Acertar exatamente um tiro;
b) Não acertar nenhum tiro;
c) Acertar dois ou mais tiros.
Exercício 2 (dist. Binomial)
Calcule a probabilidade de se obterem
exatamente 7 jurados mexicanos-americanos
quando 12 jurados são selecionados
aleatoriamente de uma população que é 80%
mexicana-americana.
Exercício 3 (dist. Normal)
Vamos supor que a taxa normal de glicose no
sangue humano seja uma variável aleatória com
distribuição normal de média 100 mg/dl de
sangue e desvio padrão s = 6 mg/dl de sangue.
Calcule a probabilidade de um indivíduo
apresentar:
a) taxa superior a 110mg/dl de sangue;
b) taxa inferior a 90 mg/dl de sangue;
c) taxa entre 90 e 110 mg/dl de sangue.