Curso Raciocínio Lógico

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PRÓ-CONCURSO DE PERNAMBUCO
Pró-Concurso de Pernambuco 
Rua Corredor do Bispo, 85 – Boa Vista – Recife-PE 
Fones: 3222.6231 / 3231.1064 
www.proconcursope.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AAppoossttiillaa ddee 
RRaacciiooccíínniioo LLóóggiiccoo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profº Weber Campos 
 webercampos@euvoupassar.com 
webercampos@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 2 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
Programas de Raciocínio Lógico de Concursos Públicos 
 
 CONCURSOS DA FCC 
 TRT/PE 2006 
 Esta prova visa a avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias 
entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e 
avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. 
 Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam a 
analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as 
funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e 
temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. 
 Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico 
que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. 
 
 MPE-PE 2006 
 ICMS-SP 2006 
 TRT 24ª Região 2006 
 BACEN 2006 
 TCE SP 2005 
 TRT 23ª Região 2004 
 TRT 9ª Região 2004 
 TRF 4ª Região 2004 
 
 
 CONCURSOS DA ESAF 
 
AFC/CGU – 2006 
1. Estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação. 
3. Diagramas lógicos. 
 
Auditor Fiscal MG – 2005 e MPU – 2004 
1. Estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação. 
3. Diagramas lógicos. 
4. Álgebra linear. 
5. Probabilidades. 
6. Combinações, Arranjos e Permutações. 
 
AFC STN – 2005 
Fiscal do Trabalho – 2003 
Analista de Plan. e Orçamento – MPOG – 2003 
Analista de Controle Externo – TCU – 2002 
1. Estruturas Lógicas. 
2. Lógica de Argumentação. 
3. Diagramas Lógicos. 
4. Álgebra Linear. 
5. Probabilidades. 
6. Combinações, Arranjos e Permutação. 
7. Geometria Básica. 
8. Trigonometria. 
 
Fiscal do Recife – 2003 
1. Estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação. 
3. Diagramas lógicos. 
 
CONCURSOS DO CESPE 
 
TRT Maranhão – 2005 
1. Estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação. 
3. Diagramas lógicos. 
4. Álgebra linear. 
5. Probabilidades. 
6. Combinações, Arranjos e Permutações. 
7. Geometria básica 
 
ATIA – TCE-PE – 2004 
TCE Espírito Santo – 2004 
Tribunal de Contas da União – 2004 
 
1. Compreensão de estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, 
deduções e conclusões. 
3. Diagramas lógicos. 
4. Fundamentos de matemática. 
5. Princípios de contagem e probabilidade. 
 
Agente, Escrivão, Delegado e Perito – PF – 2004 
1. Compreensão de estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, 
deduções e conclusões. 
3. Diagramas lógicos. 
4. Princípios de contagem e probabilidade 
 
Papiloscopista da Polícia Federal – 2004 
1. Compreensão de estruturas lógicas. 
2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, 
deduções e conclusões. 
3. Fundamentos de Matemática. 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 3 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
ÍNDICE 
 
CONCEITOS INICIAIS 
- Proposição: Simples e Composta 
- Conectivos Lógicos 
 Conjunção: “A e B” 
 Disjunção: “A ou B” 
 Disjunção Exclusiva: “ou A ou B” 
 Condicional: “Se A então B” 
 Bicondicional: “A se e somente se B” 
 Negação: “não A” 
- Representação das proposições em linguagem simbólica 
- Representação das proposições em linguagem idiomática 
- Determinação do Valor Lógico de uma Proposição Composta 
- Construção da Tabela-Verdade para uma Proposição Composta 
- Tautologia 
- Contradição 
- Contingência 
- Negação de Proposições Compostas 
- Proposições Logicamente Equivalentes 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
- Proposições Categóricas 
- Representação das Proposições Categóricas por Diagramas de Conjuntos 
 
ARGUMENTO 
- Argumento Válido 
- Argumento Inválido 
- Métodos para testar a validade dos argumentos 
 
INTRODUÇÃO A TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
INTRODUÇÃO A ANÁLISE COMBINATÓRIA (Princípio Fundamental da Contagem) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
- CONCEITOS DE LÓGICA, CONECTIVOS LÓGICOS E TABELAS-VERDADE 
- QUESTÕES QUE ENVOLVEM NEGAÇÃO 
- EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
- DIAGRAMAS LÓGICOS 
- ARGUMENTO 
- QUESTÕES DE ASSOCIAÇÃO 
- MENTIRAS E VERDADES 
- SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE LETRAS 
- SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE PALAVRAS 
- SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE NÚMEROS 
- SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE FIGURAS 
- QUESTÕES LÓGICAS QUE ENVOLVEM DADOS 
- QUESTÕES LÓGICAS QUE ENVOLVEM PALITOS 
- QUESTÕES LÓGICAS COM FIGURAS 
- QUESTÕES DE CONJUNTOS 
- PROBLEMAS LÓGICOS 
- PROBLEMAS ARITMÉTICOS 
- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
- QUESTÕES LÓGICAS DE INTERPRETAÇÃO DE TEXTO 
 
GABARITO 
 
 
Raciocínio Lógico 4 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
CONCEITOS INICIAIS 
 
# PROPOSIÇÃO 
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um 
juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: 
verdadeiro ou falso. 
 
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: 
O número 6 é par. 
Existe um número ímpar menor que dois. 
Todos os homens são mortais. 
Nenhum porco espinho sabe ler. 
O cão late e o gato mia. 
2 + 8 = 10 
5 > 7 
A Terra é o maior planeta do Sistema Solar. 
A polarização horizontal é indicada para ondas terrestres. 
Míriam quer um sapatinho novo ou uma boneca. 
 
Não são proposições as sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas: 
Qual é o seu nome? 
Caramba! 
Preste atenção ao sinal. 
 
# PROPOSIÇÃO SIMPLES 
 
Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição como 
sua componente. Não se pode subdividi-Ia em partes menores tais que alguma delas seja uma nova 
proposição. 
 
Exemplo: 
 Fabíola foi ao cinema. 
 Luciana é brasileira. 
 
# PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
 
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição 
composta. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela, uma 
nova proposição. 
 
Exemplo: 
A sentença "Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio" é uma proposição composta pois é possível 
retirar-se dela duas outras proposições: 
"Cínthia é irmã de Maurício" e "Cínthia é irmã de Júlio". 
 
# CONECTIVOS LÓGICOS 
 
Existem alguns termos e expressões que estão freqüentemente presentes nas proposições 
compostas, tais como "não", "e", "ou", "se ... então" e "se e somente se" aos quais denominamos conectivos 
lógicos. Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de modo a criar novas 
proposições. 
 
Exemplo: 
A sentença "Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y" 
 é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos ("não", "se ... então" e 
"ou") que estão agindo sobre as proposições simples "x é maior que y", "x é igual a y" e "x é menor que y". 
 
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor 
lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos 
conectivos lógicos utilizados. 
As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo lógico 
usadopara ligar as proposições componentes, como veremos a seguir. 
 
 
Raciocínio Lógico 5 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 
São apresentados no quadro abaixo os conectivos lógicos, bem como seus significados e a estrutura 
lógica generalizada da proposição composta respectiva. 
 
Conectivos 
(linguagem idiomática) 
Conectivos
(Símbolo) Estrutura lógica Exemplo 
e ∧ Conjunção: A ∧ B João é ator e alagoano. 
ou ∨ Disjunção: A ∨ B Irei ao cinema ou à praia. 
se ... então → Condicional: A → B Se chove então faz frio. 
se e somente se ↔ Bicondicional: A ↔ B Vivo se e somente se sou feliz. 
não ~ Negação: ~A O número 2 não é ímpar 
 
 
# CONJUNÇÃO: “A e B” 
 
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que 
estejam ligadas pelo conectivo "e". 
 A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como: 
A ∧ B 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: André é pianista. 
B: André é brasileiro. 
 
A conjunção “A e B” pode ser escrita como: André é pianista e brasileiro. 
 
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a 
conjunção " A e B " corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B, 
 
 A ∩ B 
 
 
 
 
 
 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção "A e B" 
para cada um dos valores que A e B podem assumir. 
 
A B A e B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
A conjunção "A e B" é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é também verdadeira. 
Para que a conjunção "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja 
falsa. 
 
 
 
 
# DISJUNÇÃO: “A ou B” 
 
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que 
estejam ligadas pelo conectivo "ou". 
A B 
 
 
Raciocínio Lógico 6 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 A conjunção “A ou B” pode ser representada simbolicamente como: 
A ∨ B 
 
Exemplo: 
 Dadas as proposições simples: 
A: Alberto fala espanhol. 
 B: Alberto é universitário. 
 
A disjunção "A ou B" pode ser escrita como: Alberto fala espanhol ou é universitário. 
 
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção 
"A ou B" corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B, 
 
A ∪ B 
 
 
 
 
 
 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção "A ou B" 
para cada um dos valores que A e B podem assumir. 
 
A B A ou B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
A disjunção "A ou B" é falsa somente quando A é falsa e B é também falsa. Para que a disjunção 
"A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. 
 
 
# DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou A ou B” 
 
 Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, 
mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: 
1ª) “Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 
2ª) “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 
 A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a 
primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma 
bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos 
que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então 
teremos que não será dada a bola. 
 Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que 
apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. 
Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo 
tempo, falsas. 
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos 
dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, 
necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva. 
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se houver uma 
das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. 
 
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte: 
A B 
 
 
Raciocínio Lógico 7 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
A B ou A ou B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a 
disjunção exclusiva "ou p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, excluindo apenas a 
parte relativa à intersecção. 
 
 
 
 
 
 
 
# CONDICIONAL: “Se A então B” 
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que 
estejam ligadas pelo conectivo "Se ... então" ou por uma de suas formas equivalentes. 
A proposição condicional "Se A, então B" pode ser representada simbolicamente como: 
A → B 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: José é alagoano. 
B: José é brasileiro. 
 
A condicional "Se A, então B" pode ser escrita como: 
A → B: Se José é alagoano, então José é brasileiro. 
 
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A, então B": 
 
Se A, B. Todo A é B. 
B, se A. A é condição suficiente para B. 
Quando A, B. B é condição necessária para A. 
A implica B. A somente se B. 
 
Exemplo: Dada a condicional “Se chove, então faz frio”, são expressões equivalentes: 
 
 Se chove, faz frio. Toda vez que chove, faz frio. 
Faz frio, se chove. Chover é condição suficiente para fazer frio. 
Quando chove, faz frio. Fazer frio é condição necessária para chover. 
Chover implica fazer frio. Chove somente se faz frio. 
 
 
Exemplo: Marque certo (C) ou errado (E). 
Se nasci em Recife, então sou pernambucano. 
Daí: 
( ) Nascer em Recife é condição suficiente para ser pernambucano. 
( ) Nascer em Recife é condição necessária para ser pernambucano. 
( ) Ser pernambucano é condição suficiente para nascer em Recife. 
( ) Ser pernambucano é condição necessária para nascer em Recife. 
( ) Nasci em Recife somente se sou pernambucano. 
( ) Sou pernambucano somente se nasci em Recife. 
( ) Nascer em Recife é condição suficiente e necessária para ser pernambucano. 
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a 
proposição condicional "Se A então B" corresponderá à inclusão do conjunto A no conjunto B (A está 
contido em B): 
A ⊂ B 
 
 
A 
B 
p q 
 
 
Raciocínio Lógico 8 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 
 
 
 
 
 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional 
"Se A então B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. 
A B A → B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Uma condicional "Se A então B" é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão 
B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a 
única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa. 
 
Alguns dos resultados da tabela anterior podem parecer absurdos à primeira vista. 
A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possíveis numa sentença condicional, 
considere a seguinte situação: 
Numa tarde de domingo um casal está sentado no sofá da sala de seu apartamento assistindo a um 
filme quando a campainha toca. A mulher, que se diz sensitiva, fala: "Se for uma mulher,então ela 
estará trazendo um pacote nas mãos". O marido que não costuma dar muita importância às 
previsões da mulher resmunga: "Vamos ver se você está mesmo certa!" e vai abrir a porta. 
 
Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava errada? 
 
Há quatro hipóteses a serem analisadas: 
 
1ª - Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo trazendo um pacote 
nas mãos. Nesse casos teremos que reconhecer que a previsão da mulher era correta (este caso 
corresponde ao que está descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 
2ª - Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, porém ela não estava trazendo um pacote 
nas mãos. Nesse caso, podemos dizer que a previsão da mulher mostrou-se errada (este caso corresponde 
ao que está descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 
3ª - Quem tocou a campainha não era uma mulher embora estivesse mesmo trazendo um pacote 
nas mãos. Nesse caso, não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada pois ela não disse que 
somente uma mulher poderia estar trazendo um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser 
ou verdadeira ou falsa e esta não é falsa. Então é verdadeira! (este caso corresponde ao que está descrito 
na terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 
4ª - Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas 
mãos. Nesse caso, também não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada pois a previsão de 
que a pessoa traria um pacote nas mãos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. 
Não sendo uma mulher, não teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a 
proposição não é falsa. Logo é verdadeira. (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha da 
tabela-verdade apresentada para a condicional). 
 
 
IMPORTANTE: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do tipo "se A então B" esperamos que 
exista entre A e B alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relação de causa e 
efeito. No entanto, para a Lógica, não importa se existe ou não alguma relação entre A e B. Veja abaixo as 
seguintes proposições que são consideradas verdadeiras. 
 
"Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil". 
"Se um número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par". 
“Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo" . 
 
# BICONDICIONAL: “A se e somente se B” 
 
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que 
estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se". 
 
 
Raciocínio Lógico 9 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser representada simbolicamente como: 
A↔B . 
 
Exemplo: 
 Dadas as proposições simples: 
A: Mauro é criativo. 
B: Mauro é brasileiro. 
A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser escrita como: 
A ↔ B: Mauro é criativo se e somente se Mauro é brasileiro. 
 
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a 
proposição bicondicional "A se e somente se B" corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: 
“se A então B e se B então A”, ou seja, 
“ A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A → B) e (B → A) “ 
 
Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes 
expressões: 
A se e só se B. 
Se A então B e se B então A. 
A somente se B e B somente se A. 
A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. 
B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. 
Todo A é B e todo B é A. 
Todo A é B e reciprocamente. 
 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição 
bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. 
 
A B A ↔ B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
A proposição bicondicional "A se e somente se B" é verdadeira somente quando A e B têm o 
mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores 
lógicos contrários. 
 
 
 
 
 
# NEGAÇÃO: “não A” 
 
Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que se 
obtém a partir da proposição A acrescida do conectivo lógico "não" ou de outro equivalente. 
A negação "não A" pode ser representada simbolicamente como: 
~A 
 
 Daí as seguintes frases são equivalentes entre si. 
 Lógica não é fácil. 
A = B 
 
 
Raciocínio Lógico 10 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Não é verdade que Lógica é fácil. 
 É falso que Lógica é fácil. 
Uma proposição A e sua negação "não A" terão sempre valores lógicos opostos. 
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação "não A" 
para cada um dos valores que A pode assumir. 
A não A 
V F 
F V 
 
Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão 
ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. 
 
Se a proposição A for representada como conjunto através de um diagrama, a negação "não A" 
corresponderá ao conjunto complementar de A (tudo que está fora de A), simbolizado por Ac . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO: 
No quadro abaixo, revemos para cada estrutura lógica, as condições em que ela é verdadeira e em que é 
falsa. 
Estrutura lógica É verdade quando É falso quando 
A ∧ B A e B são, ambos, verdade um dos dois for falso 
A ∨ B um dos dois for verdade A e B, ambos, são falsos 
A → B nos demais casos A é verdade e B é falso 
A ↔ B A e B tiverem valores lógicos iguais A e B tiverem valores lógicos diferentes 
~A A é falso A é verdade 
 
 
 
 
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES EM LINGUAGEM SIMBÓLICA 
 
EXEMPLO 1: Encontre a representação usando conectivos lógicos para cada uma das sentenças 
apresentadas nos itens de “a” a “h”, considerando que as letras P, Q, R e T representam as seguintes 
proposições: 
 P: Ana é artista 
 Q: Carlos é carioca 
 R: Jorge é juiz 
 S: Breno é alto 
 
a) Jorge é juiz e Breno é alto 
resposta: R ∧ S 
A
AC 
 
 
Raciocínio Lógico 11 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
b) Carlos é carioca ou Breno é alto 
resposta: Q ∨ S 
c) Breno é alto e Ana não é artista 
resposta: S ∧ ~P 
d) Ana não é artista e Carlos não é carioca 
resposta: ~P ∧ ~Q 
e) Se Jorge é juiz, então Breno não é alto. 
resposta: R → ~S 
f) Se Ana é artista e Jorge não é juiz, então Breno é alto 
resposta: (P ∧ ¬R) → S 
g) Carlos é Carioca é condição necessária para que Ana seja artista. 
resposta: P → Q 
h) Jorge é juiz se e só se Ana não é artista. 
resposta: R ↔ ~P 
 
 
EXEMPLO 2: Sejam as proposições P: Carlos é rico , Q: Carlos é alto e R: Carlos fala alemão. Traduzir 
para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 
 
a) Carlos é rico, mas fala alemão 
 resposta: P ∧ R 
b) Carlos não é alto ou rico, mas fala alemão 
resposta: (~Q ∨ P) ∧ R 
c) Carlos é rico ou não é rico, e fala alemão 
resposta: (P ∨ ~P) ∧ R 
d) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão 
resposta: (P ∨ Q) ∧ ~R 
e) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão 
resposta: (P ∧ Q) ∨ ~R 
f) É falso que Carlos é rico mas que não fala alemão 
 Aqui, note que a afirmação é “Carlos é rico mas não fala alemão”. Escrevendo em linguagem simbólica: 
P ∧ ~R 
Agora, dizer que essa afirmação é falsa, é dar falsidade a toda a expressão simbólica, assim: 
resposta: ~(P ∧ ~R) 
g) É falso que Carlos é alto ou fala alemão, mas que não é rico 
 Da mesma forma que naquestão anterior, a afirmação é “Carlos é alto ou fala alemão mas, não é 
rico”. E aí escrevemos: 
resposta: ~((Q ∨ R) ∧ ~P) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES EM LINGUAGEM IDIOMÁTICA 
 
EXEMPLO 3: Dadas as proposições P: João é pobre e Q: Laura fala inglês, encontre a sentença 
relacionada com cada representação simbólica dada nos itens abaixo: 
 
a) ~P → Q 
resposta: Se João não é pobre, então Laura fala inglês 
b) ~~P 
~(João não é pobre), daí 
resposta: João é pobre 
c) ~P ∧ Q → P 
resposta: Se João não é pobre e Laura fala inglês, então João é pobre 
 
 
Raciocínio Lógico 12 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
d) P ∨ ~Q 
resposta: João é pobre ou Laura não fala inglês 
e) Q → P 
resposta: Se Laura fala inglês, então João é pobre 
f) P ∨ Q 
resposta: João é pobre ou Laura fala inglês 
g) P → ~Q 
resposta: Se João é pobre, então Laura não fala inglês 
 
 
 
# DETERMINAÇÃO DO VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
 
# Ordem de Precedência dos Conectivos: 
 
 1º) ~ (Negação) 
 2º) ∧ , ∨ (Conjunção , Disjunção) 
 3º) → (Condicional) 
 4º) ↔ (Bicondicional) 
 
# Determinação do Valor Lógico de algumas Proposições Compostas Básicas 
 
Considere que: 
 P: uma proposição, que pode ter valor lógico V ou F. 
 V: valor lógico verdadeiro 
 F: valor lógico falso 
Agora, observe o valor lógico das seguintes sentenças: 
 
P ∧ ~P é F 
P ∧ F é F 
P ∨ ~P é V 
P ∨ V é V 
P → P é V 
P → V é V 
 
Exercícios: 
 Os valores lógicos de P e Q são V e F, respectivamente, determinar o valor lógico da proposição: 
 
01) ~P ∧ Q → P 
 
 
 
02) (P v Q) ∧ (P → Q) 
 
 
 
03) (P ↔ ~Q) v P 
 
 
 
04) ~(P ∨ Q) ↔ ~P ∧ ~Q 
 
 
 
 
 
 Os valores lógicos de P e Q são F e F respectivamente, determinar o valor lógico da proposição: 
 
05) (P → Q) → (P ↔ ~P ∧ Q) 
 
 
Raciocínio Lógico 13 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 
 
 
 Os valores lógicos de P, Q e R são V, V e F respectivamente, determinar o valor lógico da proposição: 
06) ~((Q ∨ R) ∧ ~P) 
 
 
 
07) (Q ↔ R → ~P) ∨ (~Q → P ↔ R) 
 
 
 
 O valor lógico de Q é V, determinar o valor lógico da proposição: 
08) P → ~R ∨ Q 
 
 
 
09) (P → Q) → (~Q → ~P) 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 1.V 2.F 3.V 4.V 5.V 6.V 7.V 8.V 9.V 
 
 
 
Raciocínio Lógico 14 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
# CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
 
 Exemplo 01) ~( P ∧ ~Q) 
 
P Q ~Q P ∧ ~Q ~(P ∧ ~Q) 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 Exemplo 02) ~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔P) 
 
P Q (P ∧ Q) (Q ↔ P) ~(P ∧ Q) ~(Q ↔ P) ~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔ P) 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
 
 
 Exemplo 03) (P ∨ ~R) → (Q ∧ ~R ) 
 
P Q R ~R P ∨ ~R Q ∧ ~R P ∨ ~R → Q ∧ ~R 
V V V F 
V V F V 
V F V F 
V F F F 
F V V V 
F V F V 
F F V V 
F F F F 
 
 Exemplo 04) (P→Q) ∧ (Q→R) → (P→R) 
 
P Q R (P→Q) (Q→R) (P→Q) ∧ (Q→R) (P→R) (P→Q) ∧ (Q→R) → (P→R) 
V V V V 
V V F V 
V F V V 
V F F V 
F V V V 
F V F V 
F F V V 
F F F V 
 
 
 
 
 
 Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição e 
Contingência. 
# TAUTOLOGIA: 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, 
... que a compõem. 
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, 
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e 
nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! 
 
Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente 
dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 
 
 
Raciocínio Lógico 15 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
 
 Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na última 
coluna, é sempre verdadeiro. 
 
 
 Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p . 
 
Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia: 
 
p q s p ∨ q p ∧ s (p ∨ q) ∧ (p ∧ s) [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p 
V V V V V V V 
V V F V F F V 
V F V V V V V 
V F F V F F V 
F V V V F F V 
F V F V F F V 
F F V F F F V 
F F F F F F V 
 
 Demonstrado! Observemos que o valor lógico da proposição composta [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p, que 
aparece na última coluna, é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos que p, q e s 
assumem. 
 
# CONTRADIÇÃO: 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... 
que a compõem. 
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da 
última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição. 
 
Exemplo 1: 
A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre falsa, 
independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 
 
p ~p p ↔ ~p 
V F F 
F V F 
 
Exemplo 2: 
 A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da 
construção de sua da tabela-verdade. Vejamos: 
 
p q (p ↔ ~q) (p ∧ q) (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) 
V V F V F 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F F 
 
 
Raciocínio Lógico 16 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece na última 
coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos que p e q 
assumem. 
 
 
# CONTINGÊNCIA: 
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem 
uma contradição. 
Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao final, 
você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só 
resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência! 
 
Exemplo: 
A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores lógicos 
de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 
 
p q (p ∧ q) p ↔ (p ∧ q) 
V V V V 
V F F F 
F V F V 
F F F V 
 
 E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma 
contradição! 
 
 
# NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à 
negação de uma proposição dada. 
A negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. 
 Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada. 
 A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições 
compostas: 
Negativas das Proposições Compostas: 
negação de (p e q) é ~p ou ~q 
negação de (p ou q) é ~p e ~q 
negação de (p → q) é p e ~q 
 
 
# NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM 
 Os termos todo, algum e nenhum aparecem freqüentemente nas questões de concursos, e 
necessitaremos muitas vezes de efetuar as negações desses termos. O quadro abaixo mostra as negações 
para cada um deles. 
ProposiçãoNegação da proposição 
Algum ... Nenhum ... 
Nenhum ... Algum ... 
Todo ... Algum ... não ... 
 
 Resolveremos alguns exemplos para que fique bem claro como se faz essas negações. 
 
Exemplos: 
1) Negação de: “Algum carro é veloz” 
 
 Basta trocar o ALGUM por NENHUM! 
 
 Resposta: “Nenhum carro é veloz”. 
 
 
Raciocínio Lógico 17 Prof. Weber Campos 
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2) Negação de: “Alguma arara não é amarela” 
 
 Basta trocar o ALGUM por NENHUM! 
 
 “Nenhuma arara não é amarela” (Resposta!) 
 
Podemos escrever a proposição: “Nenhuma arara não é amarela”, de outra forma equivalente (veja 
equivalência entre nenhum e todo na página 17): 
“Toda arara é amarela” (também é Resposta!) 
 
3) Negação de: “Nenhuma música é triste” 
 
 Basta trocar o NENHUM por ALGUM! 
 
 “Alguma música é triste” (Resposta!) 
 
4) Negação de: “Nenhum exercício não é difícil” 
 
 Basta trocar o NENHUM por ALGUM! 
 
 “Algum exercício não é difícil” (Resposta!) 
 
5) Negação de: “Toda meditação é relaxante” 
 
 Basta trocar o TODO por ALGUM...NÃO! 
 
 “Alguma meditação não é relaxante”. 
6) Negação de: “Todo o político não é rico” 
 
 Faremos duas soluções: 
 1ª SOLUÇÃO: 
 Basta trocar o TODO por ALGUM...NÃO! 
 
 “Algum político não não é rico”. 
 
 Apareceu na proposição acima uma dupla negação (veja dupla negação na página 18). Daí, os dois 
não se anulam, resultando na proposição seguinte: 
“Algum político é rico”.(Resposta!) 
 
 2ª SOLUÇÃO: 
 Podemos transformar a proposição dada inicialmente: 
 “Todo político não é rico” 
 para a seguinte forma equivalente (veja equivalência entre nenhum e todo na página 17): 
 “Nenhum político é rico” 
 
 E agora faremos a negação pedida na questão. 
 Basta trocar o NENHUM por ALGUM! 
 “Algum político é rico”.(Chegamos à mesma resposta anterior!) 
 
 
 Veja mais outros exemplos: 
 
7) Negação de: “Alguém ganhou o bingo” 
 
 Basta trocar o ALGUM por NENHUM! 
 
 Resposta: “Ninguém ganhou o bingo”. 
 
8) Negação de: “Algum dia ela me amará” 
 
 Basta trocar o ALGUM por NENHUM! 
 
 Resposta: “Nenhum dia ela me amará”, ou melhor: “Nunca ela me amará”. 
 
 
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# PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES 
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são 
equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas 
tabelas-verdade são idênticos. 
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por 
qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. 
A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: 
p ⇔ q , ou simplesmente por p = q. 
Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém 
conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. 
 Equivalências Básicas: 
1ª) p e p = p 
 Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente 
 
2ª) p ou p = p 
 Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema 
 
3ª) p e q = q e p 
 Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte 
 
4ª) p ou q = q ou p 
 Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco 
 
5ª) p ↔ q = q ↔ p 
 Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo 
 
6ª) p ↔ q = (p q) e (q p) 
 Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo 
 
 Equivalências da Condicional: 
As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Veremos várias questões 
de concurso que são resolvidas através delas. 
Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre 
as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as 
equivalências da condicional: 
 
 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p. 
Na linguagem lógica, teremos que: 
p q = ~q ~p 
 Observando a relação simbólica acima, percebemos que a forma equivalente para p q pode ser 
obtida pela seguinte regra: 
 1º) Trocam-se os termos da condicional de posição; 
 2º) Negam-se ambos os termos da condicional. 
 
Como exemplo, obteremos a proposição equivalente a condicional seguinte: 
Se chove, então me molho. 
 
 
Raciocínio Lógico 19 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
Usaremos a regra explicada acima. 
Primeiramente, escreveremos na linguagem lógica, teremos: chove me molho. 
1º) Trocam-se os termos da condicional de posição: me molho chove 
2º) Negam-se ambos os termos da condicional: não me molho não chove 
 Pronto! O resultado final é o seguinte: 
 “Se não me molho, então não chove”. 
 
 2ª) Se p, então q = não p ou q. 
Na linguagem lógica, teremos que: 
p q = ~p ou q 
 Como vemos, a uma outra forma equivalente para uma proposição condicional. Agora, a sua forma 
equivalente não é uma outra condicional, mas sim, uma disjunção, pois o símbolo do implica é trocado pelo 
conectivo “ou”. 
 Observando a relação simbólica acima, percebemos que essa outra forma equivalente para p q 
pode ser obtida pela seguinte regra: 
 1º) Nega-se o primeiro termo; 
 2º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”; 
 3º) Mantém-se o segundo termo. 
 
Como exemplo, obteremos a proposição equivalente a condicional seguinte: 
Se chove, então me molho. 
Usaremos a regra explicada acima. 
Primeiramente, escreveremos na linguagem lógica, teremos: chove me molho. 
 1º) Nega-se o primeiro termo: não chove; 
 2º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”; 
 3º) Mantém-se o segundo termo: me molho. 
 Pronto! O resultado final é o seguinte: 
 “Não chove ou me molho”. 
 
 Desses resultados, concluímos que as três sentenças abaixo são equivalentes entre si. 
1) Se chove, então me molho. 
 2) Se não me molho, então não chove. 
 3) Não chove ou me molho. 
 
 Se precisarmos transformar uma disjunção numa condicional, podemos usar a mesma relação 
mostrada anteriormente, ou seja: 
~p ou q = p q 
 
 A única coisa diferente entre as duas relações, é que nesta colocamos a disjunção no primeiro 
membro da igualdade e a condicional no segundo membro da igualdade. Só isso! 
 A relação simbólica acima nos mostra que podemos transformar uma disjunção numa condicional 
equivalente, através da seguinte regra: 
 1º) Nega-se o primeiro termo; 
 
 
Raciocínio Lógico 20 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 2º) Troca-se o “ou” pelo símbolo “ ”; 
 3º) Mantém-se o segundo termo. 
É praticamente a mesma regra que vimos anteriormente para transformar uma condicional em uma 
disjunção. 
 
Como exemplo, obteremos a condicional que é equivalente à disjunção seguinte: 
O carro é branco ou a moto não é azul. 
Usaremos a regra explicada acima. 
 1º) Nega-se o primeiro termo: O carro não é branco; 
 2º) Troca-se o “ou” pelo símbolo “ ”. 
 3º) Mantém-se o segundo termo: a moto não é azul. 
 O resultado é o seguinte: 
“O carro não é branco a moto não é azul”. 
 Ou seja: 
“Se o carro não é branco, então a moto não é azul”. 
 Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos: 
p → q = ~q → ~p 
p → q = ~p ou q 
~p ou q = p → q 
 
Importante: Para obtermos a proposição equivalente deveremos sempre usar as regras que foram 
apresentadas! As fórmulas da tabela acima são somente para nos ajudar a lembrar destas regras!Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação: 
1ª) Leis associativas: 
(p e q) e s = p e (q e s) 
(p ou q) ou s = p ou (q ou s)
 
2ª) Leis distributivas: 
p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s) 
p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s)
 
3ª) Lei da dupla negação: 
~(~p) = p 
 Daí, concluiremos ainda que: 
S não é não P = S é P 
Todo S não é não P = Todo S é P 
Algum S não é não P = Algum S é P 
Nenhum S não é não P = Nenhum S é P 
 Exemplos: 
1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica 
2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional 
3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural 
4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural 
 
 
Raciocínio Lógico 21 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Equivalências com o símbolo da negação: 
~(p e q) = ~p ou ~q 
~(p ou q) = ~p e ~q 
~(p → q) = p e ~q 
~(p ↔ q) = [(p e ~q) ou (~p e q)]
 Talvez alguma dúvida surja em relação à última linha da tabela acima. Porém, basta nos 
lembrarmos da forma equivalente da bicondicional: 
 (p ↔ q) = (p q) e (q p) 
(Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!) 
 
 Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente. 
E para negar uma conjunção, já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por um OU. 
 
 
 Equivalência entre “nenhum” e “todo”: 
Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões de prova. É uma 
equivalência simples, de fácil compreensão, e que nos será muito útil. Vejamos: 
1ª) Todo A não é B = Nenhum A é B 
Exemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco. 
2ª) Nenhum A não é B = Todo A é B 
Exemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. 
 Colocando essas equivalências numa tabela, teremos: 
Todo A não é B = Nenhum A é B 
Nenhum A não é B = Todo A é B 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 22 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
Consideramos que uma questão é de Diagramas Lógicos, quando ela traz diagramas ou quando 
temos que usar diagramas para chegarmos a solução da questão. Os diagramas geralmente são círculos, 
mas também podem ser outras figuras: quadrado, triângulo, ... . 
Os diagramas lógicos serão bastante usados nas soluções das questões que envolvem os termos: 
todo, algum e nenhum. 
 
# PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 
As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de proposições 
categóricas, e são elas: 
 Todo A é B 
 Nenhum A é B 
 Algum A é B 
 Algum A não é B 
 
 Todo A é B 
 Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo 
elemento de A também é elemento de B. 
 Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. 
Todo gaúcho é brasileiro ≠ Todo brasileiro é gaúcho 
 
 
 Nenhum A é B 
 Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A e B 
não tem elementos em comum. 
 Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. 
 Exemplo: 
Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata 
 
 
 Algum A é B 
 Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o 
conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. 
 Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no 
sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns alunos são ricos”, mesmo sabendo 
que “todos eles são ricos”. 
 Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. 
 Exemplo: 
Algum médico é poeta = Algum poeta é médico 
 Também, são equivalentes as expressões seguintes: 
Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B 
 Exemplo: 
Algum poeta é médico = Pelo menos um poeta é médico = Existe um poeta que é médico 
 
 
 
Raciocínio Lógico 23 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Algum A não é B 
 Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um 
elemento que não pertence ao conjunto B. 
 Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B, e também é 
logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A. 
 Exemplo: 
Algum fiscal não é honesto = Algum fiscal é não honesto = Algum não honesto é fiscal 
 
 Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. 
 Exemplo: 
Algum animal não é mamífero ≠ Algum mamífero não é animal 
 
IMPORTANTE: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e 
estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B. 
 
 
 
 
# Revisão 
Como mais adiante teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, 
resolvemos listar algumas regras que já foram vistas. 
Todo A não é B é equivalente a Nenhum A é B 
Nenhum A não é B é equivalente a Todo A é B 
 
A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa) 
A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa) 
 
 
 
 
 
 
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 
 As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução de 
diversas questões de concurso. 
 Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é quem definirá o 
desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposição categórica pode possuir mais de um 
desenho. 
 Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposições categóricas: 
Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. 
Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. 
Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. 
Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. 
 
 Junto com as representações das proposições categóricas, analisaremos a partir da verdade de 
uma das proposições categóricas, a verdade ou a falsidade das outras. 
 
 
 
1. Se a proposição “Todo A é B” é verdadeira, então temos duas representações possíveis: 
 
 
Raciocínio Lógico 24 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 
 O conjunto A dentro do conjunto B O conjunto A é igual ao conjunto B 
 
 
 
 
 
 Em ambas as representações acima, observe que todo elemento de A também é elemento de B. 
Daí as duas representações são válidas para a proposição “Todo A é B”. 
 Quando “Todo A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas são os 
seguintes: 
Nenhum A é B é necessariamente falsa. 
Algum A é B é necessariamente verdadeira. 
Algum A não é B é necessariamente falsa. 
 
 
2. Se a proposição “Nenhum A é B” é verdadeira, então temos somente a representação: 
 
 Não há elementos em comum entre os dois conjuntos (Não há intersecção!) 
 
 
 
 
 Quando “Nenhum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas são os 
seguintes: 
Todo A é B é necessariamente falsa. 
Algum A é B é necessariamente falsa. 
Algum A não é B é necessariamente verdadeira. 
 
 
3. Se a proposição “Algum A é B” é verdadeira, temos quatro representações possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
A B
A B 
A = B 
B
A 
A 
 B 
 
A = B 
a b
a 
a Os dois conjuntos possuem uma parte 
dos elementos em comum. b
Todos os elementos de A estão em B.c Todos os elementos de B estão em A. d O conjunto A é igual ao conjunto B 
 
 
 
Raciocínio Lógico 25 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Em todas as quatro representações acima, observe que o conjunto A tem pelo menos um 
elemento em comum com o conjunto B. Daí, todas as quatro representações são corretas para a 
proposição “Algum A é B”. 
 Quando “Algum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas são os 
seguintes: 
Nenhum A é B é necessariamente falsa. 
Todo A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em b e d) e pode ser falsa (em a e c). 
Algum A não é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c e d). 
 
4. Se a proposição “Algum A não é B“ é verdadeira, temos três representações possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em todas as três representações acima observe que o conjunto A tem pelo menos um elemento 
que não pertence ao conjunto B. 
 Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: 
Todo A é B é necessariamente falsa. 
Nenhum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em c) e pode ser falsa (em a e b). 
Algum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c). 
 
 Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é buscar entender tudo 
isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo, conseguiremos solucionar os 
problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lógicos! 
 Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Passemos às resoluções! 
 
Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como 
uma proposição verdadeira, é correto inferir que: 
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. 
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. 
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
 
A B 
A 
B 
A B
a Os dois conjuntos possuem uma 
parte dos elementos em comum. b
 Todos os elementos de B estão em A. 
c Não há elementos em comum entre os dois conjuntos. 
 
 
Raciocínio Lógico 26 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
Sol.: 
 Temos que a proposição “todo livro é instrutivo” é verdadeira. Baseando-se nesta proposição, 
construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas. Como vimos 
anteriormente há duas representações possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pode haver questão mais fácil que esta? 
 A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os 
diagramas. E estamos com a situação inversa! 
 A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima os conjuntos em 
vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta necessariamente perfeito que “algum livro é 
instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
 Resposta: opção B. 
 Já achamos a resposta correta, mas continuaremos a análise das outras opções. 
 A opção C é incorreta! Pois a proposição “algum livro não é instrutivo” é necessariamente falsa. 
Isso pode ser constatado nos dois desenhos acima, vejam que não há um livro sequer que não seja 
instrutivo. 
 A opção D é incorreta! Pois na análise da opção B já havíamos concluído que “algum livro é 
instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
 A opção E é incorreta! Pois na análise da opção C já havíamos concluído que “algum livro não é 
instrutivo” é uma proposição necessariamente falsa. 
 
livro 
instrutivo 
livro instrutivo = 
a b
 
 
Raciocínio Lógico 27 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
ARGUMENTO 
 
 Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra 
proposição final, que será conseqüência das primeiras! 
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn , 
chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento. 
 No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes 
hipótese e tese, respectivamente. 
 Vejamos alguns exemplos de argumentos: 
 Exemplo 1) p1: Todos os cearenses são humoristas. 
 p2: Todos os humoristas gostam de música. 
 c : Todos os cearenses gostam de música. 
 
Exemplo 2) p1: Todos os elétrons são partículas negativas. 
 p2: O neliun é uma partícula negativa. 
 c : O neliun é um elétron. 
 
 O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo é 
aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão. 
 Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos 
ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa um argumento 
válido e um argumento inválido. 
 
# ARGUMENTO VÁLIDO: 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua 
conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. 
Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser 
visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto pode 
ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das 
premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste. 
Exemplo 03: O silogismo... 
 p1: Todos os homens são pássaros. 
 p2: Nenhum pássaro é animal. 
 c: Portanto, nenhum homem é animal. 
 
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a 
validade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. 
Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção está 
perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão! 
Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo válido? 
Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de diagramas de 
conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com freqüência em questões que pedem a 
verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima. 
 
Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar 
essa frase da seguinte maneira: 
 
 
 
Raciocínio Lógico 28 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem 
ao conjunto maior (dos pássaros). 
 E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do 
outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo. 
 Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa. 
 
Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra-chave 
desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos. 
Vejamos como fica sua representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois conjuntos 
separados, sem nenhum ponto em comum. 
 Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acimae as analisemos em 
conjunto. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o desenho 
das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma conseqüência necessária 
das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está totalmente separado (total 
dissociação!) do conjunto dos animais. 
Resultado: este é um argumento válido! 
Para testar a validade do argumento acima, consideramos as duas premissas como verdadeiras, 
mesmo sabendo que eram absurdas. Perceberam? 
Conjunto dos 
pássaros 
Conjunto 
dos homens 
Conjunto dos 
Animais 
Conjunto dos 
Pássaros 
Homens 
 Pássaros 
Animais 
 
 
Raciocínio Lógico 29 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
Num raciocínio dedutivo (lógico) não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se 
as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das 
premissas é tarefa que incube à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer 
tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito, etc., assuntos que talvez 
desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do 
argumento! 
Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido. 
 
# ARGUMENTO INVÁLIDO: 
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, 
falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da 
conclusão. 
Entenderemos melhor com um exemplo. 
Exemplo 04: 
p1: Todas as crianças gostam de chocolate. 
p2: Patrícia não é criança. 
c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate. 
 
Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas 
não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. 
Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não 
afirmou que somente as crianças gostam de chocolate. 
 Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento 
anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Vamos lá: 
 Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já aprendemos 
acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que fazer 
aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Patrícia, 
obedecendo o que consta nesta segunda premissa. 
 Vemos facilmente que a Patrícia só não pode estar dentro do círculo das crianças. É a única 
restrição que faz a segunda premissa. Isto posto, concluímos que a Patrícia pode estar em dois lugares 
distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do conjunto maior (sem tocar o círculo das 
crianças!). Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
crianças 
Pessoas que 
gostam de 
chocolate 
crianças 
Pessoas que 
gostam de 
chocolate 
x Patrícia x Patrícia 
 
 
Raciocínio Lógico 30 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos 
resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado, ou seja, 
se esta conclusão, é necessariamente verdadeira! O que vocês dizem? É necessariamente verdadeiro que 
Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, respondemos que não! Pode ser que ela 
não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo maior), mas também pode ser que goste (caso esteja 
dentro do círculo maior)! 
 Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão! 
 
 
# MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS 
 
 Os diferentes métodos utilizados para testar a validade de um argumento são mostrados a seguir: 
 
1) Utilizando diagramas de conjuntos 
 
 Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo, algum e 
nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um, .... 
 Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior verificação da 
verdade da conclusão. 
 
2) Construindo a tabela-verdade do argumento 
 
 Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo método descrito acima, que ocorre 
quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos “ou” , 
“e”, “→” e “↔”. 
 Baseia-se na construção da tabela verdade, destacando uma coluna para cada premissa e outra 
para a conclusão. 
 Após a construção da tabela verdade, verificar quais são as linhas da tabela em que os valores 
lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas, os valores lógicos relativos a coluna da 
conclusão, forem também V, o argumento é válido. Se ao menos uma daquelas linhas tiver na coluna da 
conclusão um valor F, então o argumento é inválido. 
 Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve várias 
proposições simples, mas através deste método podemos observar e entender, claramente, a validade do 
argumento. 
 
3) Considerar premissas verdadeiras e verificar o valor lógico da conclusão 
 
 Esta forma é bem fácil e rápida para mostrar a validade de um argumento, mas só devemos utilizá-
la na impossibilidade do primeiro método. 
 Este método inicia-se considerando as premissas como verdades, e através de operações lógicas 
com os conectivos, descobrir o valor lógico da conclusão, que deve resultar em verdade para que o 
argumento seja válido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 31 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou 
de outro, em cada caso. Vejamos: 
 Deve ser usado quando... Não deve ser 
usado quando... 
O argumento é válido 
quando... 
 
1º Método 
Utilização dos 
Diagramas 
(circunferências) 
 
 
o argumento apresentar as 
palavras todo, nenhum, ou 
algum 
 
 
o argumento não 
apresentar tais 
palavras. 
 
a partir dos diagramas 
verificarmos que a conclusão 
é uma conseqüência 
obrigatória das premissas. 
 
2º Método 
Construção da Tabela-
Verdade do 
argumento 
 
 
 
em qualquer caso, mas 
preferencialmente quando 
o argumento tiver no 
máximo duas proposições 
simples. 
 
 
 
o argumento 
apresentar mais 
de três 
proposições 
simples. 
 
nas linhas da tabela em que 
os valores lógicos das 
premissas têm valor V, os 
valores lógicos relativos a 
coluna da conclusão forem 
também V. 
 
 
3º Método 
Considerando as 
premissas 
verdadeiras e 
verificando o valor 
lógico da conclusão 
 
o 1º Método não puder ser 
empregado, e houver uma 
premissa... 
...que seja uma proposição 
simples; ou 
... que esteja na forma de 
uma conjunção (e). 
 
 
 
nenhuma 
premissa for uma 
proposição 
simples ou uma 
conjunção. 
 
 
o valor encontrado para a 
conclusão é obrigatoriamente 
verdadeiro. 
 
Exercícios: Classifique os seguintes argumentos como válido ou inválido. 
 
1. P ∨ Q 
 ~P___ 
 Q 
 
2. P → Q 
 Q____ 
 P 
 
3. P → Q 
 ~P____ 
 ~Q 
 
 
4. P → Q 
 R → ~Q 
 R______ 
 ~P e R 
 
6. Se não trabalho, então não compro um carro. 
 Trabalho ou serei aprovado em Matemática. 
 Não trabalho.___________________________ 
 Serei aprovado em Matemática e não compro o carro. 
 
 
Gabarito: 
1.válido 2. inválido 3. inválido 4. válido 6. válido 
 
 
Raciocínio Lógico32 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Agora relembraremos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, para nos familiarizarmos com a 
linguagem e a simbologia. 
 
Relações de pertinência (relacionam elemento com conjunto): 
∈ (pertence), ∉  (não pertence) 
 
Relações de inclusão (relacionam um conjunto com outro conjunto): 
⊂ (está contido), ⊃ (contém), ⊄ (não está contido), ⊃ ( não contém) 
 
Subconjunto: diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. 
 
Conjunto das partes de um conjunto: chama-se conjunto das partes de um conjunto A, denotado por 
P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, isto é: P(A) = {x | x ⊂ A}. 
O número de subconjuntos de um conjunto A é dado por 2n, em que n é o número de elementos de A. 
 
Operações com conjuntos: dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, denomina-se: 
- União (∪): A ∪ B = {x / x∈A ou x∈B} 
- Interseção (∩): A ∩ B = {x / x∈A e x∈B} 
- Diferença ( - ) : A - B = {x / x ∈A e x∉B} 
- Complementar (A'): A' = {x ∈S | x∉A} 
 
Exemplo 1: 
Considere o diagrama acima onde o retângulo representa o conjunto-universo S e os círculos representam 
os conjuntos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora determine: 
a) o conjunto A d) o número de elementos de B g) A ∪ B j) B - A 
b) o conjunto B e) o número de subconjuntos de A h) A ∩ B l) A' 
c) o número de elementos de A f) o número de subconjuntos de B Ii) A – B m) B' 
 
Solução 
a) A = {a, b, c, d, e} b) B = {d, e, f, g, h, i} c) n(A) = 5 
d) n(B) = 6 e) 2n = 25 = 32 f) 2n = 26 = 64 
g) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} h) A ∩ B = {d, e} i) A - B = {a, b, c} 
j) B - A = {f, g, h, i} l) A' = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n} m) B' = S - B = {a,b,c,j,l,m,n} 
 
 
Exemplo 2: Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos no conjunto universo 
S, tais que: A ⊄ B , B ⊄ A , C ⊂ A e C ⊂ B 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
S 
B 
f 
g 
h 
i 
d 
e 
m 
n 
l 
j 
S 
a 
b 
c 
A 
 
 
Raciocínio Lógico 33 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode ocorrer 
um determinado evento. Vejamos alguns exemplos: 
1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de 
cinema? 
2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 
4, 5)? 
3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as 
seguintes frutas: banana, maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão? 
Enfim! Situações como essas acima serão resolvidas por meio de técnicas que conheceremos a 
partir de agora. Ou seja, a Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de maneiras 
possíveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras! 
Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma moeda na mão 
e vou lançá-la três vezes para o ar. A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três 
lançamentos da moeda? 
Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por intermédio de 
um desenho, chamado diagrama da árvore. Da seguinte forma: 
 
1º Lançamento 2º Lançamento 3º Lançamento Resultados 
 Cara ------ C, C, C 
 Cara 
 Coroa ------ C, C, K 
 Cara 
 Cara ------ C, K, C 
 Coroa 
 Coroa ------ C, K, K 
 
 Cara ------ K, C, C 
 Cara 
 Coroa ------ K, C, K 
 Coroa 
 Cara ------- K, K, C 
 Coroa 
 Coroa ------ K, K, K 
 
Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho acima, 
percebemos que há oito diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes! 
Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da árvore! 
Aí entra a Análise Combinatória! Usando técnicas simples, podemos chegar ao resultado procurado, 
sem precisar desenhar as resultados possíveis! 
 
# PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: 
 Chamaremos essa primeira técnica apenas de Princípio da Contagem. Ok? 
 Consiste em quê? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma dessas 
etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de resultados possíveis! 
 
 
Raciocínio Lógico 34 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lançar uma moeda três vezes. Daí, 
fica bem fácil dividi-lo em etapas: cada etapa será um lançamento. Confere? 
 Destarte, teremos: 
 1ª etapa) 1º lançamento da moeda; 
 2ª etapa) 2º lançamento da moeda; 
 3ª etapa) 3º lançamento da moeda. 
 Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possíveis individuais de cada 
etapa. 
 Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis para esse 
primeiro lançamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dará com o segundo lançamento e 
com o terceiro. Daí, teremos: 
 1ª etapa) 1º lançamento da moeda 2 resultados possíveis 
 2ª etapa) 2º lançamento da moeda 2 resultados possíveis 
 3ª etapa) 3º lançamento da moeda 2 resultados possíveis 
 Finalmente, o Princípio da Contagem vem nos dizer: agora, basta multiplicar os resultados parciais 
(de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)! 
 Teremos: 2x2x2= 8 A mesma resposta do diagrama da árvore! 
 Sem precisarmos fazer desenho algum, concluímos que há oito possíveis resultados para o 
lançamento de uma moeda três vezes! 
 Passemos a outro exemplo, igualmente simples: 
“Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que dão para um saguão, no qual existem 4 
elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5º andar, utilizando um dos elevadores. 
De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 
 Caso decidíssemos tentar desenhar uma resolução, mediante o diagrama da árvore, faríamos o 
seguinte: 
 E1 (P1, E1) 
 E2 (P1, E2) 
 E3 (P1, E3) 
 E4 (P1, E4) 
 
 
E1 (P2, E1) 
 E2 (P2, E2) 
 . E3 (P2, E3) 
 E4 (P2, E4) 
 
 
E1 (P3, E1) 
 E2 (P3, E2) 
 P3 E3 (P3, E3) 
 E4 (P3, E4) 
 
 Em azul, estão as doze possibilidades distintas de, usando uma das três portas e um dos quatro 
elevadores, chegarmos ao quinto andar! 
 Ocorre que já aprendemos que o tal desenho acima é desnecessário! Mais rápido e eficaz será 
utilizar o princípio da contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5º andar do hospital) em duas 
etapas: 
P1 
P2 
 
 
Raciocínio Lógico 35 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada; 
 2ª etapa) a escolha de um elevador. 
 Feito isso, descobriremos o número de resultados possíveis, individualmente, para cada etapa. 
Teremos: 
 1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada 3 resultados possíveis; 
 2ª etapa) a escolha de um elevador ---------- 4 resultados possíveis. 
 Manda o princípio da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e teremos: 
 3x4=12 A mesma resposta do diagrama da árvore! 
 
 A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, já é possível apresentar formalmente o princípiofundamental da contagem. Vejamos: 
Enunciado do Princípio da Contagem: 
 Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo 
que: 
 P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
 P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; 
 . 
 . 
 Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então: 
 
(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer! 
 
 
 Seguiremos apresentando e resolvendo alguns outros exemplos que podem ser resolvidos 
empregando-se o princípio fundamental da contagem: 
 
 
 Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 
Sol.: 
 Quais serão as etapas desse evento? Ora, a definição do 1º colocado, a do 2º e a do 3º! 
 Três etapas, portanto. Teremos: 
 1ª etapa) Definição do 1º colocado 4 resultados possíveis; 
 2ª etapa) Definição do 2º colocado 3 resultados possíveis; 
 3ª etapa) Definição do 3º colocado 2 resultados possíveis. 
 Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
 4x3x2 = 24 Resposta! 
 Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1º, 2º e 3º colocados numa corrida, 
dispondo-se de 4 competidores. 
 
 De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana? 
Sol.: 
 Fila indiana, você sabe, é aquela em que uma pessoa fica atrás da outra. 
 Daí, as etapas do evento serão: definir quem vai na cabeça da fila, quem vai no meio e quem vai no 
fim. 
 Teremos: 
 1ª etapa) definição do 1º da fila: 3 resultados possíveis; 
 2ª etapa) definição do 2º da fila: 2 resultados possíveis; 
 3ª etapa) definição do 3º da fila: 1 resultado possível. 
 
 
Raciocínio Lógico 36 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Daí, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
 3x2x1 = 6 Resposta! 
 Podem ser formadas seis diferentes filas indianas, com três pessoas! 
 
 João vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O 
cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas 
formas pode o homem fazer sua refeição? 
Sol.: 
 Qual é o evento? Ora, é fazer uma refeição! Pelos dados da questão, as etapas para a composição 
deste evento (e os resultados possíveis para cada uma delas) serão as seguintes: 
 1ª etapa) definição da carne 8 resultados possíveis; 
 2ª etapa) definição da sobremesa 5 resultados possíveis. 
 Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
 8x5 = 40 Resposta! 
 Podem ser compostas 40 distintas refeições, dispondo-se de oito tipos de carne e 5 tipos de 
sobremesa! 
 
 Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? 
Sol.: 
 O objetivo é formar um casal. Ora, um casal é composto de um homem e uma mulher! Logo, para 
cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas: 
 1ª etapa) escolha do homem 80 resultados possíveis; 
 2ª etapa) escolha da mulher 90 resultados possíveis. 
 Pelo princípio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
 80x90 = 7200 Resposta! 
 
 O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete dígitos para designar os diversos telefones. 
Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2), e que o dígito zero (0) não seja utilizado para 
designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter? 
Sol.: 
 O evento agora é compor um número de telefone, observando as restrições previstas no enunciado! 
Como teremos 7 dígitos, trabalharemos também com 7 etapas! Cada etapa corresponde, naturalmente, à 
escolha do respectivo dígito. 
 Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa atenção, uma vez 
que o enunciado estabelece exigências específicas para algumas das etapas do evento. Por exemplo, é dito 
que o primeiro dígito será sempre 2. É dito também que na escolha do segundo e do terceiro dígitos não 
poderemos usar o algarismo zero! 
 Essas restrições terão que ser observadas quando formos fazer o cálculo dos resultados parciais! 
Teremos: 
 1ª etapa) Definição do 1º dígito 1 resultado possível (só pode ser “2”); 
 2ª etapa) Definição do 2º dígito 9 resultados possíveis. 
 Senão, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que ocupará 
o 2º dígito. São eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. São dez algarismos! Ocorre que o enunciado amarra que o 
algarismo zero não pode ocupar essa segunda casa! Daí, restam nove resultados possíveis! Idêntico 
raciocínio se repetirá para a próxima etapa. 
 3ª etapa) Definição do 3º dígito 9 resultados possíveis. 
 4ª etapa) Definição do 4º dígito 10 resultados possíveis! 
 
 
Raciocínio Lógico 37 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
 Aqui não há nenhuma exigência específica, e nenhuma restrição! Ou seja, pode ser usado qualquer 
algarismo do sistema decimal (e são 10!). O mesmo raciocínio se repetirá para as três últimas etapas. 
 5ª etapa) Definição do 5º dígito 10 resultados possíveis. 
 6ª etapa) Definição do 6º dígito 10 resultados possíveis. 
 7ª etapa) Definição do 7º dígito 10 resultados possíveis. 
 Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
 1x9x9x10x10x10x10 = 810.000 Resposta! 
 
 Um edifício tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por 
uma porta diferente da que usou para entrar? 
Sol.: 
 Iniciemos nossa análise. Qual é o objetivo da questão? Fazer com que uma pessoa entre e saia de 
um edifício. Para tanto, disporá a pessoa de um total de oito portas! 
 Ocorre que o enunciado determina que a porta de saída deverá ser diferente da de entrada. Em 
suma: precisamos escolher uma porta para entrar e uma para sair, de um total de oito portas! 
 Daí: 
 Conjunto Universo: {Porta1, Porta2, Porta3, Porta4, Porta5, Porta6, Porta7, Porta8} 
 Subgrupo: Porta de entrada Porta de saída 
 
 
 Daí, teremos: 
 1ª etapa) Escolha da porta de entrada: 8 resultados possíveis; 
 2ª etapa) Escolha da porta de saída: 7 resultados possíveis. 
 Multiplicando-se os resultados individuais, teremos: 
 8 x 7 = 56 Resposta! 
 
 Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada 
tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente? 
Sol.: 
 O conjunto universo é um grupo de 16 estações. 
 O objetivo é formar um bilhete, que defina uma partida e uma chegada. 
 
 Pelos dados da questão, as etapas para a composição deste evento (e os resultados possíveis para 
cada uma delas) serão as seguintes: 
1ª etapa) bilhete de partida 
 16 resultados possíveis; 
2ª etapa) bilhete de entrada 
 Estação de partida e estação de chegada podem ser iguais? Não! Tem que ser distintas! Daí, 
teremos: 
 15 resultados possíveis. 
 
 Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
 16x15 = 240 Resposta! 
 
 
 
Raciocínio Lógico 38 Prof. Weber Campos 
 Pró-Concurso de Pernambuco 
EXERCÍCIOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
# CONCEITOS DE LÓGICA, CONECTIVOS LÓGICOS E TABELAS-VERDADE 
 
01. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em 
comum, enquanto uma delas não tem essa característica. 
I. Que belo dia! 
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. 
III. O jogo terminou empatado? 
IV. Existe vida em outros planetas do universo. 
V. Escreva uma poesia. 
A frase que não possui essa característica comum é a 
(A) I. (D) IV. 
(B) II. (E) V. 
(C) III. 
 
02. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa 
proposição, o conectivo lógico é 
(A) disjunção inclusiva. (D) condicional. 
(B) conjunção. (E)