Exercícios Cálculo Dif e Int 1

Prévia do material em texto

Lista de exercícios do projeto CDI I
1 Derivadas
1.1 Derivada de uma função
1. Calcule f 0 (x), pela de�nição
a)f(x) = x2 + x
b)f(x) = 3x� 1
c)f(x) = x3
d)f(x) = 1x
e)f(x) = 5x
f)f(x) = 10
g)f(x) = xx+1
h)f(x) = 1x2
2. Mostre que a função g (x) =
�
2x+ 1 se x < 1
�x+ 4 se x � 1 não é deriável em p = 1.
Esboce o grá�co de g.
3. Seja g (x) =
�
x2 + 2x se x < 1
2x+ 1 se x � 1
a) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g0 (1)
b) Esboce o grá�co de g.
4. Seja f (x) =
�
2 se x � 0
x2 + 2 se x < 0
a) Esboce o grá�co de f .
b) f é derivável em p = 0? Em caso a�rmativo, calcule f 0 (0).
1.2 Derivadas de xn e n
p
x
1. Seja f (x) = x5. Calcule f 0 (x) ; f 0 (0) ; f 0 (2)
2. Calcule g0 (x) sendo g dada por
a)g (x) = x6
b)g (x) = x100
c)g (x) = 1x
d)g (x) = x2
e)g (x) = 1x3
f)g (x) = 1x7
g)g (x) = x
h)g (x) = x�3
1.3 Derivada de ex e lnx
1. Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f (x) = ex no ponto e
abscissa 0
1
2. Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f (x) = lnx no ponto
e abscissa 1: Esboce os grá�cos de f e da reta tangente.
3. Calcule f 0 (x) sendo
a)f (x) = 2x
b)f (x) = 5x
c)f (x) = �x
d)f (x) = ex
4. Calcule g0 (x) sendo
a)g (x) = log3 x
b)g (x) = log5 x
c)g (x) = log� x
d)g (x) = lnx
1.4 Derivada de funções trigonométricas
1. Seja f (x) = sinx. Calcule f 0 (x) e f 0
�
�
4
�
2. Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f (x) = sinx no
ponto e abscissa 0:
3. Seja f (x) = cosx. Calcule f 0 (x) ; f 0 (0) ; f 0
�
�
3
�
; f 0
�
��4
�
4. Calcule f 0 (x) sendo f (x) = tanx e f (x) = secx
5. Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f (x) = tanx no
ponto de abscissa 0:
6. Seja f (x) = cotx. Calcule f 0 (x) ; f 0
�
�
4
�
.
7. Seja g (x) = cscx. Calcule g0 (x) ; g0
�
�
4
�
1.5 Derivabilidade e continuidade
1. Seja f (x) =
�
x+ 1 se x < 2
1 se x � 2
a)f é contínua em 2? Por quê?
b)f é derivável em 2? Por quê?
2.Seja f (x) =
�
x2 se x � 0
�x2 se x > 0
a)f é contínua em 0? Por quê?
b)f é derivável em 0? Por quê?
3.Seja f (x) =
�
�x+ 3 se x < 3
x� 3 se x � 3
a)f é contínua em 3? Por quê?
b)f é derivável em 3? Por quê?
1.6 Regras de derivação
1. Calcule f 0 (x)
a)f(x) = 3x2 + 5
b)f(x) = x3 + x2 + 1
c)f(x) = 3x3 � 2x2 + 4
2
d)f(x) = 3x+
p
x
e)f(x) = 5 + 3x�2
f)f(x) = 2 3
p
x
g)f(x) = 3x+ 1x
h)f(x) = 4x +
5
x2
i)f(x) = 23x
3 + 14x
2
j)f(x) = 3
p
x+
p
x
l)f(x) = 2x+ 1x +
1
x2
m)f(x) = 6x3 + 3
p
x
n)f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde b; c e k são constantes
2. Calcule F 0 (x) onde F (x) é igual a
a) xx2+1
b)x
2�1
x+1
c) 3x
2+3
5x�3
d)
p
x
x+1
e)5x+ xx�1
f)
p
x+ 3x3+2
g)
3
p
x+xp
x
h)x+
4
p
x
x2+3
3. Calcule f 0 (x) onde f (x) é igual a
a)3x2 + 5 cosx
b) cos xx2+1
c)x sinx
d)x2 tanx
e) x+1tan x
f) 3sin x+cos x
g) sec x3x+2
h)cosx+
�
x2 + 1
�
sinx
i)
p
x secx
j)3 cosx+ 5 secx
l)x cotx
m)4 secx+ cotx
n) x2 + 3x tanx
o) x
2+1
sec x
p) x+1x sin x
q) xcsc x
r)
�
x3 +
p
x
�
cscx
s) x+sin xx�cos x
4. Calcule f 0 (x)
a)f (x) = x2ex
b)f (x) = 3x+ 5 lnx
c)f (x) = ex cosx
d)f (x) = 1+e
x
1�ex
3
e)f (x) = x2 lnx+ 2ex
f)f (x) = x+1x ln x
g)f (x) = 4 + 5x2 lnx
h)f (x) = e
x
x2+1
i)f (x) = ln xx
j)f (x) = e
x
x+1
5. Calcule F 0 (x) sendo F (x) igual a
a) xex cosx
b) ex sinx cosx
c) x2 (cosx) (1 + lnx)
d) (1 +
p
x) ex tanx
1.7 Derivada de ordem superior
1. Determine f 0, f 00; f 000
a)f(x) = 4x4 + 2x
b)f(x) = 1x
c)f(x) = 5x2 � 1x3
d)f(x) = 3x3 � 6x+ 1
e)f(x) = x2 jxj
f)f(x) =
�
x2 + 3x se x � 1
5x� 1 se x > 1
2. Determine a derivada de ordem n.
a) f (x) = ex
b) f (x) = sinx
c) f (x) = cosx
d) f (x) = lnx
1.8 Notação de Leibniz
1. Calcule a derivada
a)y = 5x3 + 6x� 1
b)s = 5
p
t+ 3t
c)x = tt+1
d)y = t cos t
e)y = u+1lnu
f)x = t3et
g)s = et tan t
h)y = x
3+1
sin x
i)y = 3
p
u secu
j)x = 3t +
2
t2
l)x = et cos t
m)u = 5v2 + 3v4
n) V = 43�r
3
o)E = 12v
2
4
p) E = 12mv
2, m constante
q) U = ax12 �
b
x6 ; a e b constantes
2. Seja y = x
3
x+
p
x
. Calcule dydx e
dy
dx jx=1
3. Seja y = t2x, onde x = x (t) é uma função derivável. Calcule dydt jt=1
supondo dydt jt=1 = 2 e x = 3 para t = 1 ( isto é, x (1) = 3) :
4. Seja y = 1x2 : Veri�que que x
dy
dx + 2y = 0.
5. Seja y = �2x2+k ; k constante. Veri�que que
dy
dx � xy
2 = 0
6. Calcule a derivada segunda.
a) y = x3 + 2x� 3
b) x = t sin t
c) y = x10 + 1x3
d) y = t ln t
e) x = et cos t
f) y = e
x
x
7. Seja y = x2 � 3x. Veri�que que x d
2y
dx2 �
dy
dx = 3:
8. Seja y = 1x . Veri�que que x
2 d
3y
dx3 = 6
dy
dx :
9. Seja x = cos t. Veri�que que d
2x
dt2 + x = 0:
10. Seja y = ex cosx Veri�que que d
2y
dx2 � 2
dy
dx + 2y = 0
11. Seja y = tet Veri�que que d
2y
dt2 � 2
dy
dt + y = 0
1.9 Regra da cadeia
1. Determine a derivada
a)y = sin 4x
b)y = cos 5x
c)f (x) = e3x
d)f (x) = cos 8x
e)y = sin t3
f)g (t) = ln (2t+ 1)
g)x = esin t
h)f (x) = cos ex
i)y = (sinx+ cosx)3
j)y =
p
3x+ 1
l)f (x) = 3
q
x�1
x+1
m)y = e�5x
n) x = ln
�
r2 + 3t+ 9
�
o)f (x) = etan x
p)y = sin (cosx)
q) g (t) =
�
r2 + 3
�4
r)f (x) = cos
�
x2 + 3
�
s) y =
p
x+ ex
t) y = tan 3x
5
u) y = sec 3x
2. Derive
a)y = xe3x
b)y = ex cos 2x
c)y = e�x sinx
d)y = e�2t sin 3t
e)f (x) = e�x
2
+ ln (2x+ 1)
f)g (t) = e
t�e�t
et+e�t
g)y = cos 5xcos 2x
h)f (x) =
�
e�x + ex
2
�3
i)y = t3e�3t
j)g (x) = ex
2
ln (1 +
p
x)
l)y = (sin 3x+ cos 2x)3
m)y =
p
ex + e�x
n) y = ln
�
x+
p
x2 + 1
�
o)y =
p
x2 + e
p
x
p)y = x ln (2x+ 1)
q) y =
�
ln
�
x2 + 1
��3
r)y = ln (secx+ tanx)
s) y = cos3 x3
t) f (x) = cos x
sin2 x
u) f (t) = te
2t
ln(3t+1)
3. Calcule a derivada segunda
a) y = sin 5t
b) y = cos 4t
c) y = x sin!t, ! constante
d) y = e�3x
e) y = e�x
2
f) y = e
x
x+1
g) y = ln
�
x2 + 1
�
h) y = x
2
x�1
i) y = e�x � e�2x
j) y = e�x cosx
l) y = xx2+1
m) y = 3x+1x2+x
n) y = sin 3xex
o) y = xe�2x
p) y = sin (cosx)
q) y = 4x+5x2�1
r) y = xe
1
x
s) y = x
2
x2+x+1
t) y =
p
t2 + 3
6
u) y = x 3
p
x+ 2
4. Seja y = e2x. Veri�que que d
2y
dx2 � 4y = 0:
5. Seja y = xe2x: Veri�que que d
2y
dx2 � 4
dy
dx + 4y = 0:
6. Derive
a) y = tan 3x
b) y = sec 4x
c) y = cotx2
d) y = sec (tanx)
e) y = secx3
f) y = etan x
2
g) y = csc 2x
h) y = x3 tan 4x
i) y = ln (sec 3x+ tan 3x)
j) y = e�x secx2
l) y =
�
x2 + cotx2
�3
m) y = x2 tan 2x
1.10 Derivada de f (x)g(x)
1. Calcule a derivada
a) y = 5x+ log3 x
b) y = 2x
2
+ 32x
c) y = 32x+1 + log2
�
x2 + 1
�
d) y = (2x+ 1)x
e) y = xsin 3x
f) y = (3 + cosx)x
g) y = xx sinx
h) y = xx
2+1
i) y = (1 + i)�t, i constante
j) y = 10x � 10�x
l) y = (2 + sinx)cos 3x
m) y = ln (1 + xx)
n) y =
�
1 + 1x
�x
o) y = xx
x
p) y = x� + �x
q) y = (1 + x) e�x
2. Calcule a derivada.
a) y = (x+ 2)x
b) y = (1 + ex)x
2
c) y = (4 + sin 3x)x
d) y = (x+ 3)x
2
e) y = (3 + �)x
2
f) y =
�
x2 + 1
��
7
1.11 Derivada de função dada implicitamente
1. Expresse dydx em termos de x e de y, onde y = f (x) é uma função diferenciável
dada implicitamente pela equação
a) x2 � y2 = 4
b) y3 + x2y = x+ 4
c) xy2 + 2y = 3
d) y5 + y = x
e) x2 + 4y2 = 3
f) xy + y3 = x
g) x2 + y2 + 2y = 0
h) x2y3 + xy = 2
i) xey + xy = 3
j) y = ln
�
x2 + y2
�
= 4
l) 5y + cos y = xy
m) 2y + sin y = x
1.12 Diferenciais
1. Calcule a diferencial
a) y = x3
b) y = x2 � 2x
c) y = xx+1
d) y = 3
p
x
2. Seja A = l2; l > 0:
a) Calcule a diferencial
b) Interprete geometricamente o erro que se comete na proximação de
4A por dA. (Olhe para A = l2 como a fórmula para o cálculo da área do
quadrado de lado l.)
3. Seja V = 43�r
3, r > 0:
a) Calcule a diferencial.
b) Interprete geometricamente dV . (Lembre-se que V é o volume da
esfera de raio r e que 4�r2 é a área da superfície esférica de raio r.)
1.13 Linearização
1. Determine as equações das retas tangente e normal ao grá�co a função dada,
no ponto dado.
a) f (x) = x2 � 3x, no ponto de abscissa 0.
b) f (x) = 3
p
x, no ponto de abscissa 8.
c) f (x) = 1x2 , no ponto de abscissa 1.
d) f (x) = x+ 1x , no ponto de abscissa 1.
8
1.13.1 Derive
a) y =
p
1 +
p
x
b) y = ln
�
3x+
p
1 + 9x2
�
c) y = x5x
2
d) y = (2 + sinx)x
e) y = ln
q
1+sin x
1�sin x
f) x = et
2
sin 3t
g) s = t ln t
2�1
t2+1h) y = x
2+1p
x+1
i) y = t
3
(t2+1)2
j) f (x) = x tan 3xx2+4
l) y = ln 1+tan
x
2
1�tan x2
m) g (x) = e
sec
p
x
x
n) y = ex
x
o) y = 12 tan
2 x+ ln cosx
p) y = ln
hp
1�x+
p
1+xp
1�x�
p
1+x
i
�
p
1�x2
x
q) y =
2(4+3 3
p
x)(2� 3
p
x)
3=2
5
r) s = 2
3t�2�3t
23t+2�3t
s) f (x) = ln cos
p
x
1+sin
p
x
t) y = e�3x (cos 3x� sin 3x)
u) y = 12 cot
2 5x+ ln sin 5x
2. Expresse dydx em termos de x e de y, onde y = y (x) é uma função derivável,
dada implicitamente pela equação dada.
a) y3 + sinxy = 1
b) ey + xy = x
c) yx + x = y2
d) x cos y + y cosx = 2
1.14 Função inversa
1. Calcule
a) arcsin 1
b) arcsin 12
c) arcsin
p
3
2
d) arctan 1
e) arctan (�1)
f) arctan
p
3
g) arcsin
�
� 12
�
h) arcsin (�1)
i) arctan
�
�
p
3
�
9
j) arcsin
�
�
p
3
2
�
l) arctan
p
3
3
m) arctan
�
�
p
3
3
�
2. Calcule
a) cos
�
arcsin 12
�
b) cos
�
arcsin
p
3
2
�
c) cos
�
arcsin
�
�
p
3
2
��
d) sec (arctan 1)
e) arcsin (sinx), onde ��2 � x �
�
2
f) arctan (tanx), onde ��2 < x <
�
2
g) arcsin
�
sin 2�3
�
(Tome cuidado! )
1.15 Derivada de função inversa
1. Determine a derivada
a) y = x arctanx
b) f(x) = arcsin 3x
c) g (x) = arcsinx3
d) y = arctanx2
e) y = 3arctan (2x+ 3)
f) y = arcsin ex
g) y = e3x arcsin 2x
h) y = sin 3xarctan 4x
i) y = x2earctan 2x
j) y = x arctan xcos 2x
l) y = e�3x + ln (arctanx)
m) f (x) = e
�x arctan ex
tan x
a) ddx
�
x arctanx� 12 ln
�
1 + x2
��
= arctanx
b) ddx
h
x3
3 arcsinx+
x2+2
9
p
1� x2
i
= x2 arcsinx
c) ddx [(x+ 1) arctan
p
x�
p
x] = arctan
p
x
d) ddx
h
� 12 arcsin
�
2�x
x
p
2
�i
= 1
x
p
x2+4x�4
e) ddx
hp
27x2+6x�1
x � 3 arcsin
�
1�3x
6x
�i
= 1
x2
p
27x2+6x�1
f) ddx
h
�
q
2
3 arctan
q
2(3�x)
3(x�2)
i
= 1
x
p
5x�6�x2
g) ddx
�
1
36x
�
9x2 � 2
�p
4� 9x2 + 227 arcsin
3x
2
�
= x2
p
4� 9x2
1.16 Aplicação de derivadas
1. Determine os intervalos de crescimento e de descrescimento e esboce o grá�co
(calcule para isto todos os limites necessários).
a) f (x) = x3 � 3x2 + 1
10
b) f (x) = x3 + 2x2 + x+ 1
c) f (x) = x+ 1=x
d) y = x2 + 1=x
e) y = x+ 1=x2
f) f (x) = 3x5 � 5x3
g) x = t1+t2
h) x = t
2
1+t2
i) = 2� e�t
j) y = e�x
2
l) f (x) = e2x � ex
m) g (t) = e�t
n) f (x) =
�
x3 � x2 + 1
�
=x
o) f (x) = 3x
2+4x
1+x2
p) g (x) = xex
q) f (x) = �x4 + 4x3 � 4x2 + 2
r) f (x) = e
x
x
s) g (x) = x
2�x+1
2(x�1)
t) f (x) = ln xx
u) g (x) = x� ex
2. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de in�exão.
a) f (x) = x3 � 3x2 � 9x
b) f (x) = 2x3 � x2 � 4x+ 1
c) f (x) = xe�2x
d) x (t) = t2 + 1t
e) g (x) = e�x � e�2x
f) g (x) = x
2
x2�2
g) y = x1+x2
h) f (x) = 1� e�x
i) f (x) = ln xx
j) f (x) = x4 � 2x3 + 2x
l) g (x) = 3
p
x2 � x3
m) y = x
3
1+x2
n) f (x) = xe1=x
3. Esboce o grá�co de cada uma das funções do exercício anterior.
11