Estimadores pontuais e distribuições amostrais

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Estatística p/ Receita Federal (Auditor Fiscal) Com videoaulas - 2019
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
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Sumário 
1 ʹ Média amostral ............................................................................................................ 2 
1.1 - Introdução aos estimadores pontuais....................................................................................... 2 
1.2 - Média amostral como uma variável aleatória ......................................................................... 4 
1.3 - Esperança e variância da média amostral ................................................................................ 6 
2 ʹ Variância .................................................................................................................... 17 
2.1 ʹ Estimador pontual da variância ............................................................................................. 17 
2.2 ʹ Distribuição amostral da variância ........................................................................................ 20 
3 ʹ Proporção amostral .................................................................................................... 24 
3.1 ʹ Estimador da proporção ......................................................................................................... 24 
3.2 ʹ Distribuição amostral da proporção ...................................................................................... 25 
4 ʹ Fator de correção para populações finitas .................................................................. 30 
 
 
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1 ʹ MÉDIA AMOSTRAL 
1.1 - INTRODUÇÃO AOS ESTIMADORES PONTUAIS 
Usamos a média amostral (隙博) para estimar a média populacional (航) 
 
É importante padronizarmos nossa linguagem. 
Há dois símbolos usualmente empregados para a média. A partir de agora, é importante saber diferenciá-
los, pois eles vão aparecer juntos em uma mesma questão. 
Quando temos uma variável aleatória, a média desta variável é designada por 航. Às vezes podemos modelar 
uma população como uma variável aleatória. Então, sempre que quisermos nos referir à média de uma 
variável aleatória, ou à média de uma população, vamos usar o símbolo 航. 
Seja X a variável aleatória que designa o resultado do lançamento de um dado. Já vimos que a média desta 
variável aleatória (= esperança) é de 3,5. 航 噺 ぬ┸の 
Podemos pensar que 3,5 é a média da variável aleatória X. Ou então, se pensarmos em uma população 
formada por todos os resultados que poderiam ser obtidos quando se lança o dado infinitas vezes, dizemos 
que a média dessa população é 3,5. 
 
Pegamos o dado de seis faces e lançamos três vezes, obtendo: 6, 2, 3. 
Estes três lançamentos são uma amostragem dos infinitos resultados que poderiam ocorrer. Se quisermos 
nos referir à média de uma amostra, vamos utilizar o símbolo 隙博 ふさX barraざぶ: 隙博 噺 は 髪 に 髪 ぬぬ 噺 ななぬ 
Outro exemplo. Suponha que a média dos salários de todos os moradores de determinado bairro seja R$ 
2.000,00. 航 噺 に┻どどど 
Entrevistamos dez dos moradores, obtendo uma amostra. A média desta amostra foi R$ 3.600,00. 隙博 噺 ぬ┻はどど 
Entenderam? 
Resumindo: 
• Falou em média populacional: o símbolo é  
• Falou em média de variável aleatória: o símbolo é  (pois variáveis aleatórias são usadas para 
modelar populações) 
• Falou em média amostral: símbolo é 隙 博博博博 
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Nosso objetivo é, a partir de uma amostra, estimar qual o parâmetro populacional. Partindo da amostra das 
dez pessoas acima, estimamos a média populacional em R$ 3.600,00. 
O valor da média da amostra (隙博) é um estimador da média populacional (航). É um estimador não 
tendencioso, de variância mínima, de mínimos quadrados e, se a variável aleatória for normal, é também um 
estimador de máxima verossimilhança. 
Em outro tópico falamos sobre estas características dos estimadores. 
 
Exemplo 
De uma população foi extraída uma amostra com os seguintes valores: 4, 6, 8, 8. Qual a estimativa para a 
média da população? 
 
Resolução. 
Não sabemos a média da população (  ). Neste caso, vamos utilizar a média da amostra ( X ) para estimar a 
média da população. 
A estimativa da média da população fica: 隙 噺 ね 髪 は 髪 ぱ 髪 ぱね 噺 は┸の 
Estimamos a média populacional em 6,5. 
 
Exemplo 
De uma população foi extraída uma amostra com os seguintes valores: 3, 5, 5, 7. Qual a estimativa para a 
média da população? 
 
Resolução 
Exercício bem parecido com o anterior. 
Não sabemos a média da população (航). Neste caso, vamos utilizar a média da amostra (隙博) para estimar a 
média da população. 
A estimativa da média da população fica: 隙博 噺 ぬ 髪 の 髪 の 髪 ばね 噺 の 
Estimamos a média populacional em 5. 
 
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1.2 - MÉDIA AMOSTRAL COMO UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
Muitas populações podem ser modeladas segundo uma variável aleatória. Como exemplo, considere a 
temperatura de um local, medida com nosso termômetro mágico de infinitas casas após a vírgula. 
Nosso objetivo é estimar a temperatura média do local em um dado dia. Para tanto, consideramos que a 
temperatura se comporta como uma variável aleatória X. 
Deste modo, encontrar a temperatura média do local é o mesmo que encontrar a esperança de X. 継岫隙岻 噺 航 噺╂ 
Num dado dia, vamos lá nesse local e, em dez instantes diferentes, medimos a temperatura. Agora temos 
uma amostragem de tamanho 10 para a temperatura no local. 
Suponha que esta média tenha sido 隙怠博博博 噺 にえ 系 
Neste ponto, não custa nada lembrar a simbologia que padronizamos. 
• X é a média de uma amostra 
•  é a média da população (é o valor que pretendemos estimar) 
 
Só que os instantes em que realizamos a amostragem foram aleatoriamente escolhidos. Se, por acaso, outros 
instantes tivessem sido escolhidos, cada uma das medições poderia ser ligeiramente diferente. Seria possível 
ter obtido uma segunda média igual a 隙態博博博 噺 に┸なえ系 
Ou também seria possível ter obtido uma terceira média 隙戴博博博 噺 に┸どのなえ系 
Quando nos referimos a uma única amostra, 隙博 representa um número, a média aritmética daquela amostra. 
Mas também podemos nos referir a 隙博 de forma diferente. Podemos pensar em inúmeras amostras, com 隙博 
assumindo valores diferentes em cada uma delas. Assim, 隙博 seria uma variável. 
 隙博 pode ser vista como uma variável aleatória 
 
Quando nos referimos a 隙博 como uma variável aleatória, é porque estamos pensando em todas as diferentes 
amostras que poderiam ter sido extraídas. Nesse caso, 隙博 é vista apenas como uma fórmula, um método de 
cálculo: somamos todos os valores da amostra e di┗ｷSｷﾏﾗゲ ヮﾗヴ さﾐざく NWゲゲW I;ゲﾗが Sｷ┣Wﾏﾗゲ ケ┌W 隙博 é uma 
estatística. 
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Por outro lado, quando nos referimos a uma amostra em particular, que fornece um único valor para a média 
amostral, nesse caso, 隙博 assumirá um valor único, fixo. Por exemplo, 隙博 噺 に. Nesta situação, quando nos 
referimos a 隙博 como algo fixo, dizemos que 隙博 噺 に é uma estimativa da média populacional. 
 
Então, frisando: 隙博 pode ser vista como algo que varia (caso estejamos pensando em todas as possíveis 
amostras) ou pode ser vista como algo fixo (quando pensamos em uma amostra em particular). 
 
(Fundação Carlos Chagas) 
Seja uma população constituída pelos valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Todas as amostras com tamanho 2, 
sem reposição, são selecionadas.A probabilidade de que a média amostral seja superior a 5 é de 
(A) 1/4 
(B) 1/6 
(C) 2/3 
(D) 1/3 
(E) 1/15 
 
Resolução: 
Vejam como o exercício explora 隙博 como uma variável aleatória. 
 
A cada possível amostra de tamanho 2, 隙博 assume um valor diferente. 
Exemplo: se a amostra for (1, 3), a média amostral será 2. 
 
Se a amostra for (1, 5), a média amostral será 3. 
 
Ou seja, se pensarmos em todas as possíveis amostras de tamanho 2, 隙博 varia, 隙博 é uma variável aleatória. 
 
Abaixo temos todas as amostras possíveis, de tamanho 2, sem reposição: 
 
1, 2 1, 3 1,4 1,5 1,6 
2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 
3,5 3,6 4,5 4,6 5,6 
 
São quinze amostras possíveis. 
 
Em um único caso a média é maior que 5. Trata-se da amostra (5,6). 
 
Temos um caso favorável em quinze possíveis. A probabilidade de que a média seja maior que 5 é de: 鶏 噺 ななの 
Gabarito: E 
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==117c2b==
 
 
 
 
 
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Destaco que não era necessário escrever todas as amostras para contar quantas são. Poderíamos usar análise 
combinatória para tanto. 
No caso das amostras possíveis, queremos formar conjuntos de dois elementos, a partir dos seis valores 
disponíveis. Temos combinação de 6, tomados 2 a 2. 
 系滞┸態 噺 は┿ね┿ 抜 に┿ 噺 なの 
 
No caso dos casos favoráveis, temos um único caso favorável (5, 6). 
 
Dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis, temos: 
 鶏 噺 ななの 
 
1.3 - ESPERANÇA E VARIÂNCIA DA MÉDIA AMOSTRAL 
É possível demonstrar que 隙博 tem esperança igual a 航 e variância igual a 購態 閥 券. 
 継岫隙博岻 噺 航 
 撃岫隙博岻 噺 購態券 
 
Além disso, 隙博 é aproximadamente normal. A aproximação será tanto melhor quanto maior for o tamanho 
da amostra. 
 
Muito bem, vejamos esses resultados separadamente. 
O primeiro deles é o seguinte: 
 継岫隙博岻 噺 航 
 
Ou seja, o valor esperado para a média amostral (vista como uma variável aleatória) é igual à média da 
população. 
Explicando melhor. 
 
Se fosse possível fazer muitas e muitas amostras, de tal modo que, em cada uma delas, calculássemos a 
média amostral ( X ), a média de todos os valores de X seria justamente a média da população (航). 
 
Como exemplo, considere um tetraedro regular. Nas suas faces temos os números 1, 2, 3, 4. 
Lançamos o tetraedro sobre uma mesa. X representa o valor da face que fica em contato com a mesa. 
Vamos realizar um estudo dos possíveis resultados deste lançamento. Para tanto, lançamos duas vezes 
(amostra de tamanho 2). 
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Saíram os resultados 1 e 3. 
Para esta amostra em particular a média amostral foi: 隙博 噺 な 髪 ぬぬ 噺 に 
 
Ok, fizemos uma única amostra. Neste caso, 隙博 é um número. É simplesmente a média aritmética dos valores 
pertencentes à amostra. 
 
Acontece que não estamos interessados em uma amostra específica, que fornece um valor único para 隙博. 
Estamos interessados na variável aleatória 隙博. 
O resultado do lançamento do dado é aleatório. Seria possível que tivéssemos obtido outras amostras. Se o 
tetraedro for homogêneo, as possíveis amostras seriam: 
 
1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4 
2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4 
3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4 
4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4 
 
Seriam 16 amostras possíveis, todas elas com a mesma probabilidade de ocorrer. O valor da média amostral 
em cada uma dessas amostras seria: 
 
Valores da amostra X 
1 e 1 1 
1 e 2 1,5 
1 e 3 2 
1 e 4 2,5 
2 e 1 1,5 
2 e 2 2 
2 e 3 2,5 
2 e 4 3 
3 e 1 2 
3 e 2 2,5 
3 e 3 3 
3 e 4 3,5 
4 e 1 2,5 
4 e 2 3 
4 e 3 3,5 
4 e 4 4 
Repare que 隙博 pode ser visto como uma variável aleatória que assume diversos valores. 
A média de todos os possíveis valores de 隙博 fica: 
 継盤隙匪 噺 ななは 抜 岫な 髪 な┸の 髪 に 髪 に┸の 髪 な┸の 髪 に 髪 に┸の 髪 ぬ 髪 に 髪 に┸の 髪 ぬ 髪 ぬ┸の 髪 に┸の 髪 ぬ 髪 ぬ┸の 髪 ね岻 
 継盤隙匪 噺 に┸の 
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Vamos agora calcular a média da variável aleatória X. 
 
A variável aleatória X assume os valores 1, 2, 3, 4, cada um com probabilidade 1/4. 
 
Portanto: 
 継岫隙岻 噺 航 噺 なね 抜 な 髪 なね 抜 に 髪 なね 抜 ぬ 髪 なね 抜 ね 
 航 噺 に┸の 
 
Concluindo: a esperança da média amostral é igual à esperança da população. Isto significa que, se fosse 
possível fazer um número muito grande de amostras, a média de todas as médias amostrais seria igual à 
média da população. 
 
 
X pode ser vista como uma variável aleatória com esperança  . Ou seja, a média das médias amostrais 
é a média da população 
Ainda não estudamos as diversas características dos estimadores. Mas podemos falar sobre uma delas: o 
estimador não tendencioso (ou não viciado, ou não viesado). 
O fato da média de X ser igual à média da população nos permite classificar X como estimador não 
tendencioso (ou não viciado). Usando esse estimador, em média (considerando as inúmeras amostras que 
poderiam ser feitas), nós estamos realmente acertando o valor do parâmetro desconhecido. 
Sempre que a esperança de um estimador for igual ao parâmetro estimado, estamos diante de um estimador 
não tendencioso. 
 継岫隙博岻 噺 航 
 
A média de 隙博 é igual ao parâmetro estimado; se fizéssemos inúmeras amostragens, em média, acertaríamos 
a média populacional. 
 
Sabendo que 隙博 pode ser vista como uma variável aleatória, é possível calcular a sua variância. 
Seja 購態 a variância da população. 
É ヮﾗゲゲｹ┗Wﾉ SWﾏﾗﾐゲデヴ;ヴ ケ┌Wが ゲWﾐSﾗ けnげ ﾗ デ;ﾏ;ﾐｴﾗ S;ゲ ;ﾏﾗゲデヴ;ゲが ; ┗;ヴｷ>ﾐIｷ; SW X fica: 
 撃岫隙博岻 噺 購態券 
 
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Um outro símbolo possível para a variância de X seria: 
2
X
 . Portanto: 
 購諜博態 噺 購態券 
 
A variância da média amostral é igual à variância da população dividido por n. 
Por consequência, o desvio padrão da média amostral é: 
 購諜博 噺 購ヂ券 
 
Ou seja, o desvio padrão de X é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de n. 
 
Esses resultados acima não são difíceis de entender. Eles decorrem diretamente das propriedades da 
esperança e da variância. 
 
Considere que X1, X2, ..., Xn Iﾗﾐゲデｷデ┌;ﾏ ┌ﾏ; ;ﾏﾗゲデヴ; ;ﾉW;デﾙヴｷ; SW デ;ﾏ;ﾐｴﾗ さﾐざく á ;ﾏﾗゲデヴ; Y W┝デヴ;ｹS; SW ┌ﾏ; 
população infinita (ou, caso a população seja finita, a amostragem é feita com reposição). Daqui a pouco 
falamos da importância disso. 
 
A média amostral fica: 隙博 噺 隙怠 髪 隙態 髪 橋 髪 隙津券 
 
Agora aplicamos a esperança dos dois lados da igualdade: 
 継岫隙博岻 噺 継 磐隙怠 髪 隙態 髪 橋 髪 隙津券 卑 
 
O número 券 pode ser retirado da esperança, dividindo: 
 継岫隙博岻 噺 な券 抜 継岫隙怠 髪 隙態 髪 橋 髪 隙津岻 
 
A esperança da soma é igual à soma das esperanças: 
 継岫隙博岻 噺 な券 抜 岷継岫隙怠岻 髪 継岫隙態岻 髪 橋 髪 継岫隙津岻峅 
 
Cada uma das variáveis 隙沈 tem esperança igual à esperança populacional: 
 継岫隙博岻 噺 な券 抜 岷航 髪 航 髪 橋 髪 航峅 
 継岫隙博岻 噺 な券 抜 岷券航峅 噺 航 
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Que é o primeiro resultado apresentado. 
 
Além disso, como para calcular 隙博 precisamos somar diversas variáveis independentes entre si, 隙博 é 
aproximadamente normal. A apro┝ｷﾏ;N?ﾗ Y デ;ﾐデﾗ ﾏWﾉｴﾗヴ ケ┌;ﾐデﾗ ﾏ;ｷﾗヴ ﾗ ┗;ﾉﾗヴ SW さﾐざく Tヴ;デ;-se de aplicação 
do teorema do limite central. Esse foi o terceiro resultado apresentado. 
 
Finalmente, vejamos a variância de 隙博: 隙博 噺 隙怠 髪 隙態 髪 橋 髪 隙津券 
 
Aplicamos a variância dos dois lados da igualdade: 
 撃岫隙博岻 噺 撃 磐隙怠 髪 隙態 髪 橋 髪 隙津券 卑 
 
Propriedades da variância: quando dividimos a variável por uma constante, a variância é dividida pela 
constante ao quadrado: 撃岫隙博岻 噺 な券態 抜 撃岫隙怠 髪 隙態 髪 橋 髪 隙津岻 
 
Se as variáveis forem independentes entre si, a variância da soma é a soma das variâncias: 
 撃岫隙博岻噺 な券態 抜 岷撃岫隙怠岻 髪 撃岫隙態岻 髪 橋 髪 撃岫隙津岻峅 
 
Todas as variáveis têm variância 購態 撃岫隙博岻 噺 な券態 抜 岷購態 髪 購態 髪 橋 髪 購態峅 
 撃岫隙博岻 噺 な券態 抜 岷券購態峅 噺 購態券 
 
Logo: 購諜博 噺 購ヂ券 
 
Esse foi o segundo resultado apresentado. 
 
Como já dissemos, estas fórmulas da variância e desvio padrão só são válidas se a variável aleatória tiver 
população infinita (ou seja, assume infinitos valores, como no caso de uma variável aleatória contínua). 
Caso a população seja finita (como foi o caso do lançamento do tetraedro), o resultado continua valendo, 
desde que a amostragem seja feita com reposição. 
 
O detalhe é o seguinte. No desenvolvimento da variância de 隙博 usamos o fato de que X1, X2, ..., Xn são 
independentes entre si. Para que isso ocorra, devemos ter uma de duas situações: 
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• a população é infinita, de modo que qualquer que seja o resultado para um valor 隙沈, isso não interfere 
nas probabilidades para o valor 隙珍; 
• a população é finita, mas a amostragem é feita com reposição 
 
Exemplificando. Considere que temos uma urna com bolas numeradas de 1 a 10. Extraímos duas bolas da 
urna. 
Se a primeira bola é 1, e não há reposição, então a chance de a segunda bola ser 1 é 0. Isso porque não 
sobrou bola com número 1 na urna. 
No entanto, se a primeira bola extraída é 2, e não há reposição, então a chance de a segunda bola ser 1 é de 
1/9. Isso porque sobrou uma bola de número 1, em 9 restantes. 
Ou seja, no caso de população finita e amostragem sem reposição, as probabilidades para uma extração 
dependem dos resultados das outras extrações. As variáveis são dependentes. 
 
Assim, caso a população seja finita e a amostragem seja feita sem reposição, as fórmulas devem ser 
adaptadas (fator de correção para populações finitas). 
 
Falamos sobre este fator em outro momento. 
Por enquanto, vamos nos concentrar na fórmula que é mais cobrada: 
 購諜博 噺 購態券 
Por consequência: 購諜博 噺 購ヂ券 
 
Vamos ver a aplicação desta fórmula da variância para o caso do tetraedro. 
A variável aleatória X pode assumir os valores 1, 2, 3 e 4, cada um com probabilidade 1/4. 
Sua variância fica: 
X Quadrado do desvio em relação à média 岫結態岻 Probabilidade 岫鶏岻 Pe 2 
1 2,25 0,25 0,5625 
2 0,25 0,25 0,0625 
3 0,25 0,25 0,0625 
4 2,25 0,25 0,5625 
TOTAL 1 1,25 
 
E variância de X fica: 撃岫隙岻 噺 購態 噺 な┸にのな 噺 な┸にの 
 
A variável aleatória X , quando fazemos amostras de tamanho 2, assume os seguintes valores: 
 
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 12 
 
X Probabilidade 
1 1/16 
1,5 2/16 
2 3/16 
2,5 4/16 
3 3/16 
3,5 2/16 
4 1/16 
E sua variância fica: 
 
X Quadrado do desvio em relação à 
média 
( 2e ) 
Probabilidade 
( P ) 
Pe 2 
1 2,25 1/16 0,140625 
1,5 1,00 2/16 0,125 
2 0,25 3/16 0,046875 
2,5 0,00 4/16 0 
3 0,25 3/16 0,046875 
3,5 1,00 2/16 0,125 
4 2,25 1/16 0,140625 
TOTAL 1 0,625 
 
A variância de X é dada por: 撃岫隙博岻 噺 ど┸はにのな 噺 ど┸はにの 
 
 
A variância da população foi de 1,25. 購態 噺 な┸にの 
 
 
A variância de X foi 0,625. 撃岫隙博岻 噺 ど┸はにの 
 
As amostras tinham tamanho 2. 券 噺 に 
 
Portanto: 撃岫隙博岻 噺 購態券 
 
 ど┸はにの 噺 な┸にのに 
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 13 
 
 隙博 pode ser vista como uma variável aleatória com esperança 航 e variância 購態 閥 券 (e, consequentemente, 
desvio padrão 購 閥 ヂ券) 
Ou seja, a média de 隙博 é igual à média da população. E a variância de 隙博 é igual à variância da população 
dividida por n. O desvio padrão de 隙博 é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de n. 
 
Agora vem o grande detalhe. Pelo teorema do limite central é possível demonstrar que a variável aleatória 
X tem distribuição aproximadamente normal. A aproximação é melhor quanto maior o tamanho das 
amostras (quanto maior o valor de n). Isto vale mesmo que a variável X não seja normal. 
Caso a variável X seja normal, a variável X também será normal (aí já não é aproximação). 
 
Ou seja, para a variável X nós podemos utilizar a tabela de áreas para a variável normal. Isto é de extrema 
utilidade na determinação dos chamados intervalos de confiança. 
 
 
 隙博 pode ser vista como uma variável aleatória normal (ou aproximadamente normal) com esperança 航 e 
variância 購態 閥 券 (e, consequentemente, desvio padrão 購 閥 ヂ券) 
A aproximação vale mesmo que X não seja normal. Quanto maior o tamanho das amostras, melhor a 
aproximação. 
 
 (Fundação Carlos Chagas) 
Se retirarmos uma amostra aleatória de 1200 observações de uma população com distribuição 
uniforme no intervalo [17; 29], a distribuição da média amostral X será, aproximadamente, 
a) uniforme com média 23 e variância 12 
b) normal com média 23 e desvio padrão 0,1 
c) uniforme com média 23 e variância 1 
d) normal com média 23 e desvio padrão 12. 
e) normal com média 23 e desvio padrão 1. 
 
Resolução. 
Quando a população tem distribuição normal, X também é uma variável aleatória normal. Quando a 
população não for normal, X será aproximadamente normal. A aproximação será tanto melhor quanto 
maior for a amostra. 
Nesse caso, em que X é uniforme, X é aproximadamente normal. Note que a amostra é bem grande (n = 
1200). 
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Estudamos em outro capítulo que, para calcular a média de uma variável aleatória uniforme, basta pegar o 
ponto médio do intervalo em que a função densidade é diferente de zero. Neste caso, a esperança de X fica: 
 継岫隙岻 噺 にひ 髪 なばに 噺 にぬ 
 
A média de X coincide com a média populacional. 
 継岫隙博岻 噺 航 噺 にぬ 
Para terminar a questão, ainda falta achar o desvio padrão da média amostral. Para tanto, precisamos da 
variância da população (não informada). 
Vimos em aula passada que, se uma variável aleatória é uniforme no intervalo [a, b], sua variância fica: 
 撃岫隙岻 噺 岫決 伐 欠岻態なに 
 
Neste caso, a variável é uniforme no intervalo entre 17 e 29. 
 撃岫隙岻 噺 岫にひ 伐 なば岻態なに 噺 なに態なに 噺 なに 
 
Sabendo que X tem variância 12, temos: 
 購諜博態 噺 購態券 噺 なにな┻にどど 噺 ど┸どな 
 
 購諜博 噺 ど┸な 
 
Portanto, X tem distribuição aproximadamente normal, com média 23 e desvio padrão 0,1. 
 
Gabarito: B. 
 
(Fundação Universa) 
Certa população em estudo tem 航 噺 ねば e 購 噺 なに. Se forem realizadas 500 amostras aleatórias de 
tamanho 25, quantas dessas amostras se espera que tenham média maior do que 50? 
(A) 37. 
(B) 49. 
(C) 53. 
(D) 65. 
(E) 77. 
Dado: 
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 15 
 
 PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z0 
 Segunda casa decimal de Z0 
Z0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
 
 
Resolução. 
A média das amostras (隙博) pode ser vista como uma variável aleatória aproximadamente normal, de média 
47 (pois é igual à média da população). 
 
Além disso, 隙博 tem desvio padrão dado por: 購諜博 噺 購ヂ券 
 購諜博 噺 なにヂにの 噺 なにの 噺 に┸ね 
 
Com isso, 隙博 tem média 47 e desvio padrão 2,4. 
Queremos saber a probabilidade de esta variável aleatória assumir valores maiores que 50. 
Precisamos consultar a tabela da distribuição normal reduzida. 
Para tanto, usamos a transformação que converte a variável em estudo (隙博) na variável normal padrão: 
 傑 噺 隙博 伐 航購諜博 
 傑 噺 隙博 伐 ねばに┸ね 
 
Quando 隙博 vale 50, Z vale: 
 傑 噺 のど 伐 ねばに┸ね 噺 な┸にの 
Com isso, a probabilidade de a média amostral ser maior que 50 é igual à probabilidade de Z ser maior que 
1,25. 
Consultando a tabela, temos:PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z0 
 Segunda casa decimal de Z0 
Z0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
Logo: 鶏岫ど 隼 傑 隼 な┸にの岻 噺 ぬひ┸ねねガ 
Portanto: 鶏岫傑 伴 な┸にの岻 噺 のどガ 伐 ぬひ┸ねねガ 噺 など┸のはガ 
 
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 16 
 
Espera-se que em 10,56% das amostras a média amostral seja maior que 50. 
Lembrando-se que serão extraídas 500 amostras: など┸のはガ 抜 のどど 噺 のに┸ぱ 
 
Espera-se que em aproximadamente 53 amostras a média seja maior que 50. 
Gabarito: C 
 
(Fundação Carlos Chagas) 
Atenção: Para resolver à questão, use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 1) = 0,84, P(Z < 1,28) = 0,90, P(Z < 2) = 0,977, P(Z < 2,88) = 0,998 
Considere as variáveis aleatórias Xi: N(10, 4), i = 1, 2, 3, 4, independentes. Seja 隙博 噺 デ 隙沈替沈退怠ね 
Nessas condições, o valor 欠 tal que 鶏岫隙博 伴 欠岻 噺 ど┸ひ é igual a 
a) 7,16. 
b) 7,44. 
c) 7,56. 
d) 7,85. 
e) 8,72. 
 
Resolução 
A esperança da média amostral coincide com a esperança da população: 
 継岫隙博岻 噺 継岫隙岻 噺 など 
 
A variância da média amostral é igual à variância da população, dividida por 券, onde 券 é o tamanho da 
amostra (no caso, vale 4). 撃岫隙博岻 噺 撃岫隙岻券 噺 ねね 噺 な 
 
Assim, 隙博 é uma variável aleatória com esperança 10 e variância 1 (logo, desvio padrão igual a 1). 
O enunciado nos informou que: 
 鶏岫傑 隼 な┸にぱ岻 噺 ど┸ひ 
Portanto: 
 鶏岫傑 伴 伐な┸にぱ岻 噺 ど┸ひ 
 
Isso ocorre porque a normal reduzida é simétrica em torno de 0. 
 
As variáveis 隙博 e 傑 se relacionam do seguinte modo: 
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 17 
 
 傑 噺 隙博 伐 継岫隙博岻購諜博 
Quando 傑 噺 伐な┸にぱ, 隙博 噺 欠. Sabemos disso porque: 
 
 鶏岫傑 伴 伐な┸にぱ岻 噺 鶏岫隙博 伴 欠岻 噺 ど┸ひ 
Com isso: 
 傑 噺 隙博 伐 継岫隙博岻購諜博 
 伐な┸にぱ 噺 欠 伐 などな 
 欠 伐 など 噺 伐な┸にぱ 
 欠 噺 など 伐 な┸にぱ 噺 ぱ┸ばに 
 
 
Gabarito: E 
 
 
2 ʹ VARIÂNCIA 
2.1 ʹ ESTIMADOR PONTUAL DA VARIÂNCIA 
Usamos a variância da amostra (s2) para estimar a variância da população (購態). 
A variância amostral pode ser calculada de duas maneiras. 
Se o exercício pedir o estimador não-viciado, usamos 券 伐 な no denominador: 
 嫌態 噺 デ岫隙沈 伐 隙博岻態券 伐 な 
 
Se o exercício pedir o estimador de máxima verossimilhança e a variável for normal, usamos 券 no 
denominador: 嫌態 噺 デ岫隙沈 伐 隙博岻態券 
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 18 
 
Vamos padronizar a simbologia. Quando quisermos nos referir à variância populacional ou à variância de 
uma variável aleatória, vamos usar o símbolo 購態. Ou então, podemos usar o símbolo V(X). Outro símbolo 
possível nos exercícios é Var(X). 
Quando quisermos nos referir à variância de uma amostra, usamos 2s . 
• Variância da população (ou da variável aleatória): )()(2 XVarXV == 
• Variância da amostra: 2s 
 
Para variância, o estimador que vamos usar geralmente é: 
 嫌態 噺 デ岫隙沈 伐 隙博岻態券 伐 な 
que é a mesma fórmula vista na estatística descritiva. 
 
Na estatística descritiva, quando se estuda a fórmula da variância amostral, aprende-se que o denominador 
é 券 伐 な em vez de 券. 
Quando queremos estimar a variância da população, um dos fatores que tem influência nesse denominador 
é justamente a característica desejada para o estimador. Para que o estimador tenha certa característica de 
tal forma que ele possa ser enquadrado como não tendencioso, é necessário que o denominador seja 券 伐 な. 
 
Este estimador acima é o mais utilizado. Ele é não tendencioso. Contudo, no caso da variável normal, ele não 
é o estimador de máxima verossimilhança. O estimador de máxima verossimilhança é: 
 嫌態 噺 デ岫隙沈 伐 隙博岻態券 
 
Se por acaso o exercício der uma amostra de uma variável normal e pedir para calcular o estimador de 
máxima verossimilhança da variância utilizamos 券 no denominador (em vez de 券 伐 な). 
 
Exemplo 
Considere a seguinte amostra de uma variável aleatória normal: 
1, 2, 3. 
Calcule: 
a) o estimador não tendencioso da variância populacional 
b) o estimador de máxima verossimilhança da variância populacional 
 
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 19 
 
Resolução 
a) O estimador não tendencioso é aquele em que temos 券 伐 な no denominador. 
Fica assim: 嫌態 噺 デ岫隙沈 伐 隙博岻態券 伐 な 噺 岫伐な岻態 髪 ど態 髪 な態ぬ 伐 な 噺 な 
 
b) O estimador de máxima verossimilhança é aquele com 券 no denominador. 嫌態 噺 デ岫隙沈 伐 隙博岻態券 噺 岫伐な岻態 髪 ど態 髪 な態ぬ 噺 にぬ 
 
(Fundação Getúlio Vargas) 
Considere uma Amostra Aleatória Simples de n unidades extraídas de uma população na qual a 
característica, X, estudada tem distribuição Normal com média  e variância 2 , ambas 
desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, X = 
=
n
i
iXn 1
1
, e 
variância da amostra ( )
=
−=
n
i
i XXn
s
1
22 1 . Então, é correto afirmar que: 
(A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, 
respectivamente. 
(B) X é não-tendencioso, mas é 2S tendencioso para a estimação da média e da variância da 
população, respectivamente. 
(C) X é tendencioso, mas 2S é não-tendencioso para a estimação da média e da variância da 
população, respectivamente. 
(D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, 
respectivamente. 
(E) X e 2S são, ambos, não-tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, 
mas apenas X é consistente. 
 
Resolução: 
Nesta questão, temos: 
- a média aritmética da amostra como um estimador da média populacional: vimos que a média da amostra 
é um estimador não-tendencioso. 
- a variância da amostra como um estimador da variância populacional: vimos que, quando se usa n no 
denominador, o estimador é tendencioso. 
Gabarito: B 
 
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 20 
 
Resumindo: há diversos tipos de estimadores. Por hora, ainda não sabemos exatamente o que eles 
significam. 
Só sabemos que, no caso de estimarmos a variância da população a partir de uma amostra, o denominador 
ヮﾗSW ゲWヴ さ 1−n ざ ﾗ┌ さnざく 
Se o exercício não falar nada, utili┣W さ 1−n ざく EゲデW Y ﾗ Wゲデｷﾏ;Sﾗヴ ﾏ;ｷゲ ┌デｷﾉｷ┣;Sﾗく EﾉW Y ﾐ?ﾗ デWﾐSWﾐIｷﾗゲﾗく 
“W ﾗ W┝WヴIｹIｷﾗ ヮWSｷヴ ﾗ Wゲデｷﾏ;Sﾗヴ SW ﾏ=┝ｷﾏ; ┗Wヴﾗゲゲｷﾏｷﾉｴ;ﾐN; W ; SｷゲデヴｷH┌ｷN?ﾗ aﾗヴ ﾐﾗヴﾏ;ﾉが ┌デｷﾉｷ┣W さnざく 
 
 (Cesgranrio) 
Em um conjunto de números, (Xi), de N elementos extraídos de uma determinada população de 
interesse, foi utilizada a seguinte expressão como medida da dispersão 
鯨 噺 彪布 岫隙沈 伐 隙博岻態軽朝沈退怠 
onde 隙博 é a média aritmética dos dados. Qual o significado estatístico correto dessa expressão? 
(A) Desvio padrão não tendencioso da população. 
(B) Estimativa não tendenciosa do desvio padrão da população. 
(C) Estimativa tendenciosa do desvio padrão da população. 
(D) Variância não tendenciosa da população. 
(E) Estimativa tendenciosa da variância da população 
 
Resolução. 
Q┌;ﾐSﾗ ┌ゲ;ﾏﾗゲ さNざ ﾐﾗ SWﾐﾗﾏｷﾐ;Sﾗヴが ; ┗;ヴｷ>ﾐIｷ; ;ﾏﾗゲデヴ;ﾉ Y ┌ﾏ Wゲデｷﾏ;Sﾗヴ デWﾐSWﾐIｷﾗゲﾗ S; ┗;ヴｷ>ﾐIｷ; 
populacional. Consequentemente, o desvio padrão amostral também é um estimador tendencioso do desvio 
padrão populacional. 
Gabarito: C 
 
2.2 ʹ DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA VARIÂNCIA 
Seja X uma variável aleatória, com média  e variância 2 . Seja 2s o estimador da variância populacional, 
baseado em uma amostra aleatória de tamanho n. 
É possível demonstrar que 岫券 伐 な岻嫌態購態 
tem distribuição de qui-quadrado com 券 伐 な graus de liberdade. 
Ou seja, a variável 鋼態, talque: 
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 21 
 
鋼態 噺 岫券 伐 な岻嫌態購態 
tem distribuição de qui-quadrado e, para ela, nós podemos consultar a tabela da função densidade de 
probabilidade, que é dada nas questões de prova. Esta informação é útil para testarmos hipóteses acerca da 
variância, bem como para definirmos intervalos de confiança para a mesma. 
Um grande cuidado que temos que ter com a distribuição de qui-quadrado é que ela não é simétrica (ao 
contrário da distribuição normal e da distribuição T). 
Apenas para se ter uma ideia do gráfico, segue exemplo abaixo, para 4 graus de liberdade. 
 
 
Quando o número de graus de liberdade aumenta, o gráfico tende a ficar simétrico (vide questão 02). 
 
(Cesgranrio) 
Se (X1, X2, ..., Xn) são variáveis aleatórias independentes e com distribuição normal reduzida e 
n
XXX
X n
+++
=
...21 , 
então a distribuição de 222
2
1 )(...)()( XXXXXX n −++−+− é: 
a) normal 
b) qui-quadrado com n-1 graus de liberdade 
c) qui-quadrado com n graus de liberdade 
d) t de Student com n-1 graus de liberdade 
e) t de Studente com n graus de liberdade 
 
Resolução. 
A variância amostral é dada por: 
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 22 
 
嫌態 噺 デ 岫隙沈 伐 隙博岻態津沈退怠券 伐 な 
Logo: 嫌態 抜 岫券 伐 な岻 噺 布岫隙沈 伐 隙博岻態津沈退怠 
 
Dividindo os dois lados da igualdade por 購態: 嫌態 抜 岫券 伐 な岻購態 噺 デ 岫隙沈 伐 隙博岻態津沈退怠 購態 
 
Como X tem distribuição normal reduzida, sua variância é igual a 1: 嫌態 抜 岫券 伐 な岻購態 噺 布岫隙沈 伐 隙博岻態津沈退怠 
 
Como vimos, 
2
2 )1(

− ns
 
tem distribuição de qui-quadrado com 1−n graus de liberdade. Logo, 
( )
=
−
n
i
i XX
1
2
 
 também tem distribuição de qui-quadrado com 1−n graus de liberdade. 
Gabarito: B. 
 
(FGV) Suponha que uma amostra de tamanho n = 5 é extraída de uma população Normal, com média 
desconhecida, obtendo as seguintes observações: 
 
X1= 3, X2= 5, X3= 6, X4=9 e X5=12 
 
São dados ainda os seguintes valores, retirados da tabela da distribuição Qui-Quadrado: 
 鶏岫鋼替態 隼 の岻 噺 ど┸ばなぬ 
 鶏岫鋼替態 隼 なに┸の岻 噺 ど┸ひぱは 
 鶏岫鋼泰態 伴 の岻 噺 ど┸ぱのね 
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 23 
 
 鶏岫鋼泰態 伴 なに岻 噺 ど┸ひばな 
 
 
Se a população tem variância verdadeira 購態 噺 ね em nova amostra 岫券 噺 の岻, a probabilidade de se 
observar uma variância amostral maior do que a anterior é de: 
 
a) 0,014; 
b) 0,029; 
c) 0,146; 
d) 0,287; 
e) 0,713 
 
Resolução: 
Primeira amostra 
 
Iniciamos com o cálculo da média. 
 隙 噺 ぬ 髪 の 髪 は 髪 ひ 髪 なにの 噺 ば 
 
Em seguida calculamos a variância. 
 嫌怠態 噺 岫ぬ 伐 ば岻態 髪 岫の 伐 ば岻態 髪 岫は 伐 ば岻態 髪 岫ひ 伐 ば岻態 髪 岫なに 伐 ば岻態の 伐 な 
 嫌怠態 噺 のどね 噺 なに┸の 
 
Segunda amostra 
 
Queremos que a variância da segunda amostra, 嫌態態 , seja maior que 12,5. 
 
A estatística teste usada nos testes para a variância é a seguinte: 
 
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 24 
 
岫券 伐 な岻 抜 嫌態購態 
 噺 ね 抜 嫌態ね 
 噺 嫌態 
 
Que tem distribuição de qui-quadrado com 券 伐 な 噺 の 伐 な 噺 ね graus de liberdade. 
 
Ou seja, 嫌態 se comporta segundo uma distribuição de qui-quadrado com4 graus de liberdade. 
 
Agora usamos a informação dada na questão: 
 鶏岫鋼替態 隼 なに┸の岻 噺 ど┸ひぱは 
 
Portanto: 
 鶏岫鋼替態 伴 なに┸の岻 噺 な 伐 ど┸ひぱは 噺 ど┸どなね 
 
A chance de nossa variável ser maior que 12,5 vale 1,4%. 
 
Resposta: A 
 
3 ʹ PROPORÇÃO AMOSTRAL 
3.1 ʹ ESTIMADOR DA PROPORÇÃO 
Usamos a proporção amostral (喧┏) para estimar a proporção populacional (p) 
 
Para melhor entendimento, considere que a proporção de moradores de uma cidade que pretendem votar 
num candidato A é de 40%. É um valor que se refere à população inteira. É um parâmetro. Vamos padronizar. 
Sempre que nos referirmos à proporção da população, usamos o símbolo p . 
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 25 
 
%40=p 
Suponha que nós não conhecemos esta proporção referente à população (40%) e, para estimá-la, 
entrevistamos 10 pessoas. Destas, 5 pretendem votar no candidato A. 
A proporção verificada na amostra é 50%. Chamamos de p̂ . 
%50ˆ =p 
Vamos usar p̂ como estimador de p . 
Resumindo: 
• Proporção da população: p 
• Proporção amostral: p̂ 
 
Exemplo: 
Para uma pesquisa de intenções de voto para a Prefeitura de uma cidade, foram entrevistadas 100 pessoas. 
Verificou-se que, nesta amostra, 30 eleitores pretendem voltar no candidato A. Qual a estimativa da 
proporção populacional de intenções de voto do candidato A? 
 
Resolução. 
Não sabemos qual a proporção populacional (ou seja, referente a todos os eleitores da cidade). Vamos usar 
a proporção verificada na amostra para estimar a proporção populacional. 
 
Na amostra temos: 
3,0%30ˆ ==p 
Dizemos que a estimativa da proporção populacional é de 30%. 
 
3.2 ʹ DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 
Seja 喧 a proporção de casos favoráveis em uma população e 喧┏ a proporção de casos favoráveis em uma 
amostra. Vimos que 喧┏ é um estimador para 喧. 
Para ficar mais claro, vamos analisar o exemplo do dado que é lançado três vezes. Consideramos caso 
favorável quando sai um múltiplo de 3. 
 
Na população (formada por todos os possíveis resultados do lançamento do dado), a proporção de casos 
favoráveis é igual a 1/3. Por esse motivo, a probabilidade de sucesso em um único lançamento é igual a 1/3. 
Assim, a proporção de casos favoráveis na população é igual à probabilidade de sucesso em um lançamento. 
 
Ficamos com: 
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 26 
 
喧 噺 なぬ 
(proporção de casos favoráveis na população = probabilidade de sucesso em um lançamento) 
 圏 噺 にぬ 
 
(proporção de casos desfavoráveis na população = probabilidade de fracasso em um lançamento). 
 
Lançamos o dado três vezes. Obtemos os seguintes resultados: 1, 3, 6. 
Na amostra de tamanho 3, a proporção de casos favoráveis foi de 2/3. 
 喧┏ 噺 にぬ 
Usamos a proporção amostral para estimar a proporção da população. Caso não soubéssemos que o dado 
tem 1/3 de faces com múltiplos de 3, a partir do resultado obtido na amostragem acima, estimaríamos esta 
proporção em 2/3. 
 
Quando temos uma única amostra, p̂ é um valor, um número, fixo, constante. 
 
Mas podemos pensar em p̂ de forma diferente. Podemos pensar em inúmeras amostras possíveis. Se 
lançássemos o dado três vezes novamente, obtendo outra amostra, p̂ poderia assumir outros valores. 
Quando consideramos as inúmeras amostras possíveis, p̂ é uma variável aleatória. 
 
Neste exemplo do dado, as amostras de tamanho 3 possíveis seriam: 
 
 
 
Todas essas amostras são equiprováveis. Podemos montar o seguinte quadro: 
 
1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2
1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3
1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4
1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1
1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2
1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3
1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4
1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5
1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6
1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 1
1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2
1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3
1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4
1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5
1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6
1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 1
1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 64 2
1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 3
1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 4
1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 5
1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 6
1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 1
1 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 2
1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 3
1 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6 5 4
1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 5
1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6 5 6
1 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 1
1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6 6 2
1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 3
1 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6 6 4
1 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 5
1 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6 6 6
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 27 
 
p̂ Probabilidade 
0 64/216 
1/3 96/216 
2/2 48/216 
3/3 8/216 
A esperança de p̂ fica: 
 継岫喧┏岻 噺 ど 抜 はねになは 髪 なぬ 抜 ひはになは 髪 にぬ 抜 ねぱになは 髪 ぬぬ 抜 ぱになは 噺 なぬ 
 
A esperança da proporção amostral é igual à esperança da proporção da população. 
A variância de p̂ fica: 
 購椎賦態 噺 磐ど 伐 なぬ卑態 抜 はねになは 髪 磐なぬ 伐 なぬ卑態 抜 ひはになは 髪 磐にぬ 伐 なぬ卑態 抜 ねぱになは 髪 磐な 伐 なぬ卑態 抜 ぱになは 噺 ににば 
 
Sabendo que a proporção amostral pode ser vista como uma variável, é importante ver um meio mais rápido 
para calcular sua média e sua variância. 
 
Nesse exemplo do lançamento do dado, seja X ﾗ ﾐ┎ﾏWヴﾗ SW I;ゲﾗゲ a;┗ﾗヴ=┗Wｷゲ Wﾏ けnげ ﾉ;ﾐN;ﾏWﾐデﾗゲく Vｷﾏﾗゲ em 
aula anterior que X é uma variável binomial com média e variância dadas por: 
 航諜 噺 券喧 
 購諜態 噺 券喧圏 
 
OﾐSW けnげ Y ﾗ ﾐ┎ﾏWヴﾗ SW W┝ヮWヴｷﾏWﾐデﾗゲが p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso. 
Nesse exemplo, n = 3; p = 1/3; q = 2/3. 
 
Ficamos com: 
 航諜 噺 券喧 噺 な 購諜態 噺 券喧圏 噺 にぬ 
X tem média 1 e variância 2/3. Isso significa que, em três lançamentos, esperamos 1 caso favorável (e dois 
desfavoráveis). Ou seja, se fosse possível fazer infinitos conjuntos de três lançamentos do dado, o número 
médio de casos favoráveis seria igual a 1. 
“Wﾃ; け p̂ げ ; ヮヴﾗヮﾗヴN?ﾗ SW I;ゲﾗゲ a;┗ﾗヴ=┗Wｷゲ ┗WヴｷaｷI;S; ﾐ┌ﾏ; S;S; ;ﾏﾗゲデヴ; SW デ;ﾏ;ﾐｴﾗ けﾐげく á ┗;ヴｷ=┗Wﾉ け p̂ げ ヮﾗSW 
ser obtida a partir de X. 
 喧┏ 噺 隙券 
 
Para ficar mais claro, suponhamos um conjunto de lançamentos em particular. Lançamos o dado três vezes, 
obtendo: 1, 3, 6. 
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 28 
 
Nessa situação, o número de casos favoráveis é igual a 2 (X = 2). E a proporção de casos favoráveis fica: 
 喧┏ 噺 隙券 
 喧┏ 噺 にぬ 
 
Em dois terços dos casos, tivemos sucesso. 
Fácil, né? Para achar a proporção de casos favoráveis na amostra, basta pegar a variável X W Sｷ┗ｷSｷヴ ヮﾗヴ けnげく 
“;HWﾏﾗゲ Iﾗﾏﾗ I;ﾉI┌ﾉ;ヴ ; ﾏYSｷ; W ; ┗;ヴｷ>ﾐIｷ; S; ┗;ヴｷ=┗Wﾉ Hｷﾐﾗﾏｷ;ﾉく “;HWﾏﾗゲ ケ┌W ; ┗;ヴｷ=┗Wﾉ け p̂ げが ケ┌W ｷﾐSｷI; ; 
proporção de casos favoráveis na amostra, pode ser obtida por: 
 喧┏ 噺 隙券 
 
P;ヴ; ﾗHデWヴﾏﾗゲ け p̂ げが Sｷ┗ｷSｷﾏﾗゲ ; ┗;ヴｷ=┗Wﾉ けXげ ヮﾗヴ ┌ﾏ; Iﾗﾐゲデ;ﾐデW けﾐげく 
Quando dividimos uma variável por uma constante, a média também fica dividida por essa constante. A 
média de p̂ é: 
 継岫喧┏岻 噺 継岫隙岻券 噺 喧 
 
Concluímos que a esperança de p̂ é justamente a probabilidade de sucesso em um experimento. 
Quando lançamos o dado três vezes (obtendo uma única amostra de tamanho 3), teremos um determinado 
valor para a proporção amostral ( p̂ ). Esse valor pode ser igual a 1/3 ou não. No exemplo acima (com 
resultados 1, 3 e 6), inclusive, foi diferente. 
Mas, se fosse possível repetir infinitas vezes o conjunto de três lançamentos, obtendo para cada amostra um 
valor de p̂ , teríamos que a média de p̂ seria igual a 1/3. 
 
Vejamos agora a variância de p̂ . Quando dividimos uma variável por uma constante, a variância sofre a 
variação ao quadrado. 
 喧┏ 噺 隙券 蝦 撃岫喧┏岻 噺 撃岫隙岻券態 噺 券喧圏券態 噺 喧圏券 
 
E seu desvio padrão fica: 
 購椎賦 噺 謬喧圏券 
Então o que importa para gente é saber isso. Se p̂ for a variável que indica a proporção de casos favoráveis 
na amostra, então p̂ tem média e desvio padrão dados por: 
 航椎賦 噺 喧 
 
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 29 
 
購椎賦 噺 謬喧圏券 
 
 
Proporção de casos favoráveis na amostra 
Pode ser vista como uma variável com média e desvio padrão dados por: 
 航椎賦 噺 喧 購椎賦 噺 謬喧圏券 
OﾐSW けヮげ Y ; ヮヴﾗヮﾗヴN?ﾗ SW I;ゲﾗゲ a;┗ﾗヴ=┗Wｷゲ ﾐ; ヮﾗヮ┌ﾉ;N?ﾗ W けケげ Y ; proporção de casos desfavoráveis 
na população. 
(Cespe) 
Uma agência de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela a seguir, acerca 
dos números de imóveis ofertados (X) e vendidos (Y) em determinado município, nos anos de 2005 
a 2007. 
 
 
Com respeito ao texto, considere que cada imóvel ofertado em determinado ano seja classificado 
como vendido ou não-vendido, e, a um imóvel e classificado como vendido seja atribuído um 
valor Z = 1, e, ao imóvel classificado como não-vendido, seja atribuído um valor Z = 0. Supondo-se 
que as classificações dos imóveis como vendido ou não-vendido em um dado ano possam ser 
consideradas como sendo realizações de uma amostragem aleatória simples, julgue os itens a seguir. 
Considerando os dados de 2007, a estimativa da probabilidade P(Z = 1) é igual a 0,35, e o erro-padrão 
dessa estimativa é superior a 0,01 e inferior a 0,02. 
 
Resolução: 
No fundo, queremos, a partir da amostra fornecida, estimar a proporção de imóveis vendidos na população. 
Consideramos que a proporção de imóveis vendidos na amostra é um estimador da proporção de imóveis 
vendidos na população. Esta estimativa fica: 
 喧┏ 噺 ばどどにどどど 噺 ど┸ぬの 
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 30 
 
 
O desvio padrão fica: 俵喧┏ 圏賦券 噺 俵ど┸ぬの 抜 ど┸はのにどどど 
 
Observem que, na verdade, deveríamos usar na fórmula do desvio padrão os valores de 喧 e 圏┻ No entanto, 
se temos acesso apenas a uma amostra, não temos como saber tais valores. Substituímos então por suas 
estimativas (喧┏ 結 圏賦) 
 
Continuando. 
 
Para responder à questão, temos que saber se o desvio padrão está no intervalo entre 0,01 e 0,02. 
Caso isso seja verdade, então a variância estará entre: 
 ど┸どな怠 隼 購態 隼 ど┸どに態 
 など貸替 隼 購態 隼 ね 抜 など貸替 
 
Vamos calcular a variância: 
 購態 噺 ど┸ぬの 抜 ど┸はのにどどど 噺 な┸なぬばの 抜 など貸替 
 
A variância realmente está no intervalo: 
 など貸替 隼 購態 隼 ね 抜 など貸替 
 
Logo, é correto dizer que o desvio padrão está no intervalo entre 0,01 e 0,02. 
Gabarito: certo. 
 
4 ʹ FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS 
Quando a amostragem é feita sem reposição, a partir de uma população finita, cada extração não é 
independente das demais. 
Apesar disso, se pudermos considerar a população bem grande, é razoável considerar que cada extração é 
independente das demais. 
Contudo, quando o tamanho da população (em relação ao tamanho da amostra) não for tão grande, a 
aproximação fica ruim. 
Segundo o autor William J Stevenson, se a amostra for superior a 5% da população, a aproximação fica ruim. 
Nestes casos, quando estivermos calculando o intervalo de confiança, precisaremos aplicar um fator de 
correção. É o chamado fator de correção para população finita. 
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 31 
 
O fator de correção é: 
俵軽 伐 券軽 伐 な 
onde N é o tamanho da população e n é o tamanho da amostra. 
Neste caso, os valores dos desvios-padrão da média amostral e da proporção amostral ficam: 
購諜博 噺 購ヂ券 抜 俵軽 伐 券軽 伐 な 
 
購椎賦 噺 謬喧圏券 抜 俵軽 伐 券軽 伐 な 
 
Este fator de correção acima estudado, com a raiz quadrada, vale para os desvios padrão. 
Para corrigirmos a variância, o fator é elevado ao quadrado, tornando-se: 軽 伐 券軽 伐 な 
 
(Fundação Carlos Chagas) 
Uma população possui 15 elementos e tem variância 2 . Desta população retira-se uma amostra 
aleatória sem reposição de n elementos. Sabendo-se quea média amostral 隙博 desses n elementos 
tem variância igual a 
蹄鉄態腿 o valor de n é dado por 
(A) 5 
(B) 10 
(C) 14 
(D) 25 
(E) 28 
 
Resolução: 購諜博態 噺 購態券 抜 軽 伐 券軽 伐 な 
 購態にぱ 噺 購態券 抜 なの 伐 券なの 伐 な 
 
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 32 
 
なにぱ 噺 な券 抜 なの 伐 券なね 
 なに 噺 な券 抜 なの 伐 券な 
 券 噺 に 抜 岫なの 伐 券岻 
 券 噺 ぬど 伐 に券 ぬ券 噺 ぬど 券 噺 など 
Gabarito: B 
 
 
(Fundação Carlos Chagas) 
Em uma população de 100 elementos, com variância populacional 50, foram tomadas amostras 
casuais simples de tamanho 10. Nestas condições, as variâncias da média amostral na amostragem, 
com e sem reposição, são respectivamente 
 a) 1/5 e 90/99 
b) 2 e 90/99 
c) 4 e 450/99 
d) 5 e 200/99 
e) 5 e 450/99 
 
Resolução: 
Amostragem com reposição: 購諜博 噺 購態券 噺 のどなど 噺 の 
Amostragem sem reposição: 購諜博 噺 購態券 抜 軽 伐 券軽 伐 な 噺 の 抜 などど 伐 などなどど 伐 な 購諜博 噺 ねのどひひ 
Gabarito: E 
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1 
 
Sumário 
Lista de exercícios .............................................................................................................. 2 
Média amostral (estimador pontual, distribuição amostral) ........................................................... 2 
Variância amostral (estimador pontual, distribuição amostral) ...................................................... 9 
Proporção amostral (estimador pontual, distribuição amostral) ................................................... 10 
Fator de correção para populações finitas ..................................................................................... 13 
Gabaritos ......................................................................................................................... 15 
Questões comentadas ..................................................................................................... 16 
Média amostral (estimador pontual, distribuição amostral) ......................................................... 16 
Variância amostral (estimador pontual, distribuição amostral) .................................................... 39 
Proporção amostral (estimador pontual, distribuição amostral) ................................................... 44 
Fator de correção para populações finitas ..................................................................................... 52 
 
 
 
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2 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
MÉDIA AMOSTRAL (ESTIMADOR PONTUAL, DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL) 
 
1. (CESPE / STM ʹ 2018) 
 
Diversos processos buscam reparação financeira por danos morais. A tabela seguinte mostra 
os valores, em reais, buscados em 10 processos ね numerados de 1 a 10 ね de reparação por 
danos morais, selecionados aleatoriamente em um tribunal. 
processo valor 
1 3.700 
2 3.200 
3 2.500 
4 2.100 
5 3.000 
6 5.200 
7 5.000 
8 4.000 
9 3.200 
10 3.100 
 
A partir dessas informações e sabendo que os dados seguem uma distribuição normal, julgue 
o item subsequente. 
 
“W ´ 噺 estimativa pontual para a média dos valores buscados como reparação por danos 
morais no referido tribunal, então ぬ┻どどど 隼 航 隼 ぬ┻ぬどど. 
 
2. (CESPE / Polícia Federal ʹ 2018) 
 
O tempo gasto (em dias) na preparação para determinada operação policial é uma variável 
aleatória X que segue distribuição normal com média M, desconhecida, e desvio padrão igual 
a 3 dias. A observação de uma amostra aleatória de 100 outras operações policiais semelhantes 
a essa produziu uma média amostral igual a 10 dias. 
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3 
 
 
Com referência a essas informações, julgue o item que se segue, sabendo que 鶏岫傑 伴 に岻 噺 ど┸どにの, em que Z denota uma variável aleatória normal padrão. 
 
O erro padrão da média amostral foi inferior a 0,5 dias. 
 
3. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
Considerando que uma amostra aleatória simples 隙怠┸ 隙態┸ 橋 ┸ 隙津 tenha sido retirada de uma 
população exponencial com média igual a 5, julgue o próximo item, relativo à média amostral 隙博 噺 諜迭袋 諜鉄袋 ┻┻┻袋 諜韮津 
 
A variância da média amostral é igual a 25. 
 
4. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
Considerando que uma amostra aleatória simples 隙怠┸ 隙態┸ 橋 ┸ 隙津 tenha sido retirada de uma 
população exponencial com média igual a 5, julgue o próximo item, relativo à média amostral 隙博 噺 諜迭袋 諜鉄袋 ┻┻┻袋 諜韮津 
 
A razão 
 ヂ津 岫 諜博 貸 泰岻泰 segue distribuição t de Student com n graus de liberdade. 
 
5. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
A respeito de uma amostra de tamanho 券 噺 など, com os valores amostrados (0,10, 0,06, 0,10, 
0,12, 0,08, 0,10, 0,05, 0,15, 0,14, 0,11), extraídos de determinada população, julgue o item 
seguinte. 
 
A estimativa pontual da média a partir dessa amostra é inferior a 0,09. 
 
6. (FCC / SEFAZ PI ʹ 2015) 
 
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4 
 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
 鶏岫傑 隼 ど┸ね岻 噺 ど┸はのの┹ 鶏岫傑 隼 な┸に岻 噺 ど┸ぱぱの┹ 鶏岫傑 隼 な┸は岻 噺 ど┸ひねの┹ 鶏岫傑 隼 な┸ぱ岻 噺 ど┸ひはね┹ 鶏岫傑 隼 に岻 噺 ど┸ひばば┻ 
 
Uma auditoria feita em uma grande empresa considerou uma amostra aleatória de 64 contas 
a receber. Se a população de onde essa amostra provém é infinita e tem distribuição normal 
com desvio padrão igual a R$ 200,00 e média igual a R$ 950,00, a probabilidade da variável 
aleatória média amostral, usualmente denotada por X, estar situada entre R$ 980,00 e R$ 
1.000,00 é dada por 
a) 18,4% 
b) 9,2% 
c) 28,5% 
d) 47,7% 
e) 86,2% 
 
7. (FCC / CNMP ʹ 2015) 
 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 鶏岫傑 隼 ど┸ね岻 噺 ど┸はのの┹ 鶏岫傑 隼 ど┸のぬ岻 噺 ど┸ばど┹ 鶏岫傑 隼 な岻 噺 ど┸ぱねな┹ 鶏岫傑 隼 な┸にぱ岻 噺 ど┸ひど┹ 鶏岫傑 隼 な┸のの岻 噺 ど┸ひね┹ 鶏岫傑 隼 な┸は岻 噺 ど┸ひねの┹ 鶏岫傑 隼 な┸はね岻 噺 ど┸ひの┹ 鶏岫傑 隼 な┸ばの岻 噺 ど┸ひは┹ 鶏岫傑 隼 な┸ぱ岻 噺 ど┸ひはね┹ 鶏岫傑 隼 に┸どの岻 噺 ど┸ひぱ 
 
Sejam (X1,X2,...Xn ) e (Y1,Y2,...Yn ) duas amostras aleatórias simples, independentes, de duas 
variáveis aleatórias X e Y, respectivamente. 
 
Sabe-se que: 
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5 
 
 
I. X representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola A e tem 
distribuição normal com média de 5,8 e variância 2,25. 
 
II. Y representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola B e tem 
distribuição normal com média de 5,4 e variância 1,75. 
 
III. 隙博 噺 デ 諜日韮迭 津 e 桁博 噺 デ 超日 韮迭津 , são as médias amostrais das duas amostras consideradas. 
 
IV. 戟 噺 隙博 伐 桁博┻ 
 
Nessas condições, supondo que as populações de onde essas amostras foram extraídas sejam 
infinitas, o valor de n para que 鶏岫戟 伴 な岻 噺 ぬ┸はガ é igual a 
a) 49. 
b) 36. 
c) 25. 
d) 9. 
e) 81. 
 
8. (FCC / TRT 3ª Região ʹ 2015) 
 
Atenção: Para responder às questões de números 49 a 53 utilize, dentre as informações dadas 
a seguir, as que julgar apropriadas. 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 鶏岫傑 隼 ど┸の岻 噺 ど┸のひな┹ 鶏岫傑 隼 な岻 噺 ど┸ぱねな┹ 鶏岫傑 隼 な┸なの岻 噺 ど┸ぱひのな┹ 鶏岫傑 隼 な┸なば岻 噺 ど┸ぱばひ┹ 鶏岫傑 隼 な┸に岻 噺 ど┸ぱぱの┹ 鶏岫傑 隼 な┸ね岻 噺 ど┸ひなひ┹ 鶏岫傑 隼 な┸はね岻 噺 ど┸ひの┹ 鶏岫傑 隼 に岻 噺 ど┸ひばば┹ 鶏岫傑 隼 に┸どは岻 噺 ど┸ひぱ┹ 鶏岫傑 隼 に┸ね岻 噺 ど┸ひひば┻ 
 
Instrução: O enunciado aseguir refere-se à questão. 
 
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6 
 
Considere que X é a variável aleatória, que representa as idades, em anos, dos trabalhadores 
SW IWヴデ; ｷﾐS┎ゲデヴｷ;く “┌ヮﾗﾐｴ; ケ┌W X デZﾏ SｷゲデヴｷH┌ｷN?ﾗ ﾐﾗヴﾏ;ﾉ Iﾗﾏ ﾏYSｷ; SW ´ ;ﾐﾗゲ W SWゲ┗ｷﾗ 
padrão de 5 anos. 
 
Uma amostra aleatória, com reposição, de 16 trabalhadores será selecionada e sejam 隙怠┸ 隙態┸橋 ┸ 隙怠滞 as idades observadas e 隙博 噺 デ 諜日迭展迭 怠滞 a média desta amostra. Sabendo-se que a 
probabilidade de 隙博 ser superior a 30 anos é igual a 0,919, o valor de 航, em anos, é igual a 
a) 28,25. 
b) 31,75. 
c) 30,50. 
d) 32,50. 
e) 30,85. 
 
9. (FCC / TRT 3ª Região ʹ 2015) 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
 
P(Z < 0,5) 噺 0,591; P(Z < 1) 噺 0,841; P(Z < 1,15) 噺 0,8951; P(Z < 1,17) 噺 0,879; P(Z < 1,2) 噺 0,885; P(Z < 1,4) 噺 0,919; 
P(Z < 1,64) 噺 0,95; P(Z < 2) 噺 0,977; P(Z < 2,06) 噺 0,98; P(Z < 2,4) 噺 0,997. 
 
O tempo total para a análise de um processo trabalhista, que chega a um Tribunal Regional do 
Trabalho, é dado pela soma dos tempos dos 3 analistas, que o examinam. Sejam 隙沈, 件 噺 な┸ に┸ぬ, as variáveis aleatórias que representam os tempos, em dias, para análise dos analistas 1,2 e 
3, respectivamente. Sabe-se que o vetor 隙 噺 蕃隙怠隙態隙戴否 tem distribuição normal multivariada com 
vetor de médias dado por 航 噺 蕃にどなのなぬ否 e matriz de covariâncias dada por 
 み 噺 蕃に┸な ど どど に┸に どど ど な┸ひの否 
 
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7 
 
ﾗﾐSW ﾗゲ ┗;ﾉﾗヴWゲ Sﾗ ┗Wデﾗヴ ´が ゲ?ﾗ S;Sﾗゲ Wﾏ Sｷ;ゲ W ﾗゲ S; ﾏ;デヴｷ┣ デ em (dias) 2. 
 
Um processo é selecionado aleatoriamente dentre todos os processos que chegam àquele 
órgão. A probabilidade do tempo total para análise se situar entre 42 dias e 45 dias, em %, é 
igual a 
a) 5,7. 
b) 39,3. 
c) 83,7. 
d) 49,2. 
e) 11,2. 
 
10. (FCC / DPE SP ʹ 2015) 
 
Uma amostra aleatória simples, com reposição, de n observações X 1, X 2, ... X n, foi selecionada 
SW ┌ﾏ; ヮﾗヮ┌ﾉ;N?ﾗ Iﾗﾏ SｷゲデヴｷH┌ｷN?ﾗ ┌ﾐｷaﾗヴﾏW Iﾗﾐデｹﾐ┌; ﾐﾗ ｷﾐデWヴ┗;ﾉﾗ ぷЪヲがHへが H б Ъヲく 
 
Sabe-se que: 
 
I. a média dessa distribuição uniforme é igual a 10; 
II. o desvio padrão de 隙博 噺 デ 諜日韮迭津 é igual a 0,4. 
 
Nessas condições, o valor de n é igual a 
a) 100. 
b) 400. 
c) 225. 
d) 300. 
e) 324. 
 
11. (FCC / TRT 11ª Região ʹ 2017) 
 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
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8 
 
 
P(Z < 0,4) 噺 0,655; P(Z < 0,67) 噺 0,75; P(Z < 1,4) 噺 0,919; P(Z < 1,6) 噺 0,945; 
P(Z < 1,64) 噺 0,95; P(Z < 1,75) 噺 0,96; P(Z < 2) 噺 0,977; P(Z < 2,05) 噺 0,98 
 
A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma 
┗;ヴｷ=┗Wﾉ ;ﾉW;デﾙヴｷ; X Iﾗﾏ SｷゲデヴｷH┌ｷN?ﾗ ﾐﾗヴﾏ;ﾉ Iﾗﾏ ﾏYSｷ; ´ふХぶ W ┗;ヴｷ>ﾐIｷ; ヴふХぶ 2. 
 
Uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 券, 隙怠┸ 隙態┸ ┻ ┻ ┻ ┸ 隙津 , é selecionada da 
distribuição de X. Sendo 隙博, a média amostral dessa amostra, o valor de n para que 隙博 não se 
distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 96% é igual a 
a) 64 
b) 100 
c) 121 
d) 81 
e) 225 
 
12. (FCC / TRF 2ª Região ʹ 2012) 
 
Instruções: Para resolver à questão, use, dentre as informações dadas abaixo, aquelas que 
julgar apropriadas. 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
 鶏 岫傑 隼 ど┸はば岻 噺 ど┸ばの┹ 鶏 岫傑 隼 ど┸ぱね岻 噺 ど┸ぱど┹ 鶏 岫傑 隼 な┸の岻 噺 ど┸ひぬぬ┹ 鶏 岫傑 隼 に岻 噺 ど┸ひばば┹ 鶏 岫傑 隼 に┸の岻 噺 ど┸ひひね┹ 鶏 岫傑 隼 に┸ひね岻 噺 ど┸ひひぱ 
 
Seja 激 噺 岫隙┸ 桁岻 uma variável aleatória com distribuição normal bivariada com vetor de 
médias 航 噺 岾ばね峇 e matriz de covariâncias 岾など どど には峇. Uma amostra aleatória simples 岫隙沈 ┸ 桁沈岻 件 噺 な┸に┸ぬ┸ね, com reposição, é selecionada da distribuição de W, e sejam 隙博 噺 デ 諜日填日 転 迭 替 e 桁博 噺デ 超日填日 転 迭 替 . O valor 計, tal que 鶏岫】岫隙博 伐 桁博岻 伐 ぬ】 隼 計岻 噺 ど┸はど, é igual a 
a) 1,28. 
b) 1,44. 
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c) 2,45. 
d) 2,52. 
e) 3,09. 
 
VARIÂNCIA AMOSTRAL (ESTIMADOR PONTUAL, DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL) 
 
13. (FCC / TRT 19ª Região ʹ 2014) 
 
Uma população de 2000 elementos foi dividida em 3 estratos. O tamanho de cada estrato 岫軽沈岻 
bem como as variâncias populacionais 岫購沈態岻 de cada estrato estão apresentados na tabela 
abaixo. 
Estrato (i) Tamanho do estrato (錆餐) Variância do estrato 岫時餐匝岻 
1 600 20 
2 1000 60 
3 400 40 
 
Uma amostra aleatória de 600 elementos, estratificada, com reposição, com partilha 
proporcional aos estratos, foi selecionada dessa população. Seja a variável 捲違 噺 デ 朝日 態待待待 捲違沈戴沈退怠 , 
onde 捲違沈 é a média do estrato i. Nessas condições, a variância de 捲違 é igual a 
 
a) 
怠怠 怠泰待 
b) 
胎 戴待待 
c) 
胎 怠泰待 
d) 
胎 怠泰 
e) 
怠胎 戴待待 
 
14. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
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10 
 
Uma amostra aleatória, com n 噺 16 observações independentes e identicamente distribuídas 
(IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e desvio padrão desconhecidos 
e distribuição normal. 
 
Tendo essa informação como referência inicial, julgue o seguinte item. 
 
Caso, em uma amostra aleatória de tamanho n 噺 4, os valores amostrados sejam 畦 噺 岶に┸ ぬ┸ ど┸ な岼, a estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional será igual a 泰戴 
 
PROPORÇÃO AMOSTRAL (ESTIMADOR PONTUAL, DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL) 
 
15. (CESPE / STM ʹ 2018) 
 
Em um tribunal, entre os processos que aguardam julgamento, foi selecionada aleatoriamente 
uma amostra contendo 30 processos. Para cada processo da amostra que estivesse há mais 
de 5 anos aguardando julgamento, foi atribuído o valor 1; para cada um dos outros, foi 
atribuído o valor 0. Os dados da amostra são os seguintes: 
 
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 
 
A proporção populacional de processos que aguardam julgamento há mais de 5 anos foi 
denotada por p; a proporção amostral de processos que aguardam julgamento há mais de 5 
anos foi representada por 喧┏ 
 
A variância da proporção amostral 喧┏ sob a hipótese nula H0: p 噺 0,5 é menor que 0,1. 
 
16. (CESPE / STM ʹ 2018) 
 
Em um tribunal, entre os processos que aguardam julgamento, foi selecionada aleatoriamente 
uma amostra contendo 30 processos. Para cada processo da amostra que estivesse há mais 
de 5 anos aguardando julgamento, foi atribuído o valor 1; para cada um dos outros, foi 
atribuído o valor 0. Os dados da amostra são os seguintes: 
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1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 
 
A proporção populacional de processos que aguardam julgamento há mais de 5 anos foi 
denotada por p; a proporção amostral de processos que aguardam julgamento há mais de 5 
anos foi representada por 喧┏ 
 
Estima-se que, nesse tribunal, 喧 伴 はどガ. 
 
17. (CESPE / Polícia Federal ʹ 2018) 
 
Determinado órgão governamental estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar 
a ser condenado por algum crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, 
seja igual a 0,25. Essa estimativa foi obtida com base em um levantamento por amostragem 
aleatória simples de 1.875 processos judiciais, aplicando-se o método da máxima 
verossimilhança a partir da distribuição de Bernoulli. 
 
Sabendo que 鶏岫傑 隼 に岻 噺 ど┸ひばの, em que Z representa a distribuiçãonormal padrão, julgue 
o item que se segue, em relação a essa situação hipotética. 
 
O erro padrão da estimativa da probabilidade p foi igual a 0,01. 
 
18. (CESPE / Polícia Federal ʹ 2018) 
 
Uma pesquisa realizada com passageiros estrangeiros que se encontravam em determinado 
aeroporto durante um grande evento esportivo no país teve como finalidade investigar a 
sensação de segurança nos voos internacionais. Foram entrevistados 1.000 passageiros, 
alocando-se a amostra de acordo com o continente de origem de cada um ね África, América 
do Norte (AN), América do Sul (AS), Ásia/Oceania (A/O) ou Europa. Na tabela seguinte, N é o 
tamanho populacional de passageiros em voos internacionais no período de interesse da 
pesquisa; n é o tamanho da amostra por origem; P é o percentual dos passageiros entrevistados 
que se manifestaram satisfeitos no que se refere à sensação de segurança. 
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12 
 
origem N n P 
África 100.000 100 80 
AN 300.000 300 70 
AS 100.000 100 90 
A/O 300.000 300 80 
Europa 200.000 200 80 
total 1.000.000 1.000 皿使伺使 
Em cada grupo de origem, os passageiros entrevistados foram selecionados por amostragem 
aleatória simples. A última linha da tabela mostra o total populacional no período da pesquisa, 
o tamanho total da amostra e Ppop representa o percentual populacional de passageiros 
satisfeitos. 
 
A partir dessas informações, julgue o item. 
 
Considerando o referido desenho amostral, estima-se que o percentual populacional Ppop seja 
inferior a 79%. 
 
19. (CESPE / Polícia Federal ʹ 2018) 
 
Uma pesquisa realizada com passageiros estrangeiros que se encontravam em determinado 
aeroporto durante um grande evento esportivo no país teve como finalidade investigar a 
sensação de segurança nos voos internacionais. Foram entrevistados 1.000 passageiros, 
alocando-se a amostra de acordo com o continente de origem de cada um ね África, América 
do Norte (AN), América do Sul (AS), Ásia/Oceania (A/O) ou Europa. Na tabela seguinte, N é o 
tamanho populacional de passageiros em voos internacionais no período de interesse da 
pesquisa; n é o tamanho da amostra por origem; P é o percentual dos passageiros entrevistados 
que se manifestaram satisfeitos no que se refere à sensação de segurança. 
origem N n P 
África 100.000 100 80 
AN 300.000 300 70 
AS 100.000 100 90 
A/O 300.000 300 80 
Europa 200.000 200 80 
total 1.000.000 1.000 皿使伺使 
Em cada grupo de origem, os passageiros entrevistados foram selecionados por amostragem 
aleatória simples. A última linha da tabela mostra o total populacional no período da pesquisa, 
o tamanho total da amostra e Ppop representa o percentual populacional de passageiros 
satisfeitos. 
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13 
 
 
A partir dessas informações, julgue o item. 
 
A estimativa do percentual populacional de passageiros originários da África que se mostraram 
satisfeitos com a sensação de segurança nos voos internacionais foi igual a 80% e a estimativa 
do erro padrão associado a esse resultado foi inferior a 4%. 
 
20. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
Considere um processo de amostragem de uma população finita cuja variável de interesse seja 
binária e assuma valor 0 ou 1, sendo a proporção de indivíduos com valor 1 igual a p 噺 0,3. 
Considere, ainda, que a probabilidade de cada indivíduo ser sorteado seja a mesma para todos 
os indivíduos da amostragem e que, após cada sorteio, haja reposição do indivíduo selecionado 
na amostragem. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 
 
Se, em uma amostra de tamanho n 噺 10, os valores observados forem 畦 噺 岶な┸ ど┸ な┸ ど┸ な┸ ど┸ ど┸ な┸ ど┸ ど岼┸ o erro padrão da média amostral será igual a 待┸泰 掴 待┸泰怠待 . 
 
FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS 
 
21. (FCC / TRE SP ʹ 2012) 
 
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é tomada de uma população de tamanho N. 
Sabe-se que 軽 噺 など n e que a variância populacional é 購2. A variância da média amostral é 
dada por 
 
a) 
蹄鉄津 貸 怠 . 
b) 
 苔 蹄鉄怠待 津 貸 怠 . 
c) 
 苔 蹄鉄怠待 岫 津 貸 怠岻 . 
d) 
 怠待 蹄鉄怠待 津 貸 怠 . 
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e) 
 怠待 蹄鉄怠待 岫 津 貸 怠岻 . 
 
22. (FCC / TRT 4ª Região ʹ 2009) 
 
Uma população possui 15 elementos e tem variância 購態. Desta população retira-se uma 
amostra aleatória sem reposição de n elementos. Sabendo-se que a média amostral 隙博 desses 
n elementos tem variância igual a 
蹄鉄態腿, o valor de n é dado por 
a) 5 
b) 10 
c) 14 
d) 25 
e) 28 
 
23. (CESPE / TCE-SC ʹ 2016) 
 
Considerando que um auditor fiscal encarregado de analisar indícios de irregularidades em 
obras de um determinado estado tenha analisado 50 obras e constatado irregularidades em 40 
delas, julgue o item a seguir. 
 
Se o total de obras, nesse estado, for igual a 300, então o fator de correção para a população 
finita deverá ser maior que 0,8. 
 
 
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GABARITOS 
1 ERRADO. 
2 CERTO 
3 ERRADO. 
4 ERRADO 
5 ERRADO. 
6 B 
7 B 
8 B 
9 E 
10 D 
11 B 
12 D 
13 A 
14 ERRADO. 
15 CERTO. 
16 CERTO. 
17 CERTO 
18 ERRADO 
19 CERTO 
20 ERRADO. 
21 B 
22 B 
23 CERTO 
 
 
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16 
 
QUESTÕES COMENTADAS 
MÉDIA AMOSTRAL (ESTIMADOR PONTUAL, DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL) 
 
1. (CESPE / STM ʹ 2018) 
 
Diversos processos buscam reparação financeira por danos morais. A tabela seguinte mostra 
os valores, em reais, buscados em 10 processos ね numerados de 1 a 10 ね de reparação por 
danos morais, selecionados aleatoriamente em um tribunal. 
processo valor 
1 3.700 
2 3.200 
3 2.500 
4 2.100 
5 3.000 
6 5.200 
7 5.000 
8 4.000 
9 3.200 
10 3.100 
 
A partir dessas informações e sabendo que os dados seguem uma distribuição normal, julgue 
o item subsequente. 
 
“W ´ 噺 estimativa pontual para a média dos valores buscados como reparação por danos 
morais no referido tribunal, então ぬ┻どどど 隼 航 隼 ぬ┻ぬどど. 
 
Comentários: 
 
A média amostral nos dá a estimativa pontual da média: 
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17 
 
processo valor 
1 3.700 
2 3.200 
3 2.500 
4 2.100 
5 3.000 
6 5.200 
7 5.000 
8 4.000 
9 3.200 
10 3.100 
Total 35.000 
 
O total amostral é de R$ 35.000,00. 
 
Agora basta dividir por 10, já que são 10 elementos na amostra. 
 隙博 噺 ぬの┻どどどなど 噺 ぬ┻のどど 
 
Este valor não está entre 3.000 e 3.300. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
2. (CESPE / Polícia Federal ʹ 2018) 
 
O tempo gasto (em dias) na preparação para determinada operação policial é uma variável 
aleatória X que segue distribuição normal com média M, desconhecida, e desvio padrão igual 
a 3 dias. A observação de uma amostra aleatória de 100 outras operações policiais semelhantes 
a essa produziu uma média amostral igual a 10 dias. 
 
Com referência a essas informações, julgue o item que se segue, sabendo que 鶏岫傑 伴 に岻 噺 ど┸どにの, em que Z denota uma variável aleatória normal padrão. 
 
O erro padrão da média amostral foi inferior a 0,5 dias. 
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Comentários: 
 
O erro padrão da média amostral é dado por: 
 購ヂ券 
 
Na fórmula acima, temos: 
• n é o tamanho da amostra (=10) 
• 購 é o desvio padrão amostral (=3) 
 ぬヂなどど 
 ぬなど 
 噺 ど┸ぬ 
 
Gabarito: certo 
 
3. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
Considerando que uma amostra aleatória simples 隙怠┸ 隙態┸ 橋 ┸ 隙津 tenha sido retirada de uma 
população exponencial com média igual a 5, julgue o próximo item, relativo à média amostral 隙博 噺 諜迭袋 諜鉄袋 ┻┻┻袋 諜韮津 
 
A variância da média amostral é igual a 25. 
 
Comentários: 
 
Na distribuição exponencial, a variância é o quadrado da média. Ou seja: 
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19 
 
 撃岫隙岻 噺 航態 噺 の態 噺 にの 
 
Já a variância da média amostral é dada por: 
 購諜博態 噺 撃岫隙岻券 
 
Basta pegar a variância populacional e dividir por "n". 
 購 諜博態 噺 にの券 
 
Portanto, a variância da média amostral só valeria 25 se fosse garantido que 券 噺 な, o que não é o 
caso. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
4. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
Considerando que uma amostra aleatória simples 隙怠┸ 隙態┸ 橋 ┸ 隙津 tenha sido retirada de uma 
população exponencial com média igual a 5, julgue o próximo item, relativo à média amostral 隙博 噺 諜迭袋 諜鉄袋 ┻┻┻袋 諜韮津 
 
A razão 
 ヂ津 岫 諜博 貸 泰岻泰 segue distribuição t de Student com n graus de liberdade. 
 
Comentários: 
 
A razão 
 隙博 伐 航購 閥 ヂ券 
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20 
 
 
Segue uma distribuição normal (caso X seja normal), ou aproximadamente normal, em caso 
contrário. A aproximação é tanto melhor quanto maior o tamanho de "n". 
 
No nosso caso, a média populacional foi dada e vale 5. O desvio padrão populacional também vale 
5, tendo em vista que, no caso da distribuição exponencial, 航 噺 購 . Portanto, ficamos com: 
 隙博 伐 のの 閥 ヂ券 
 噺 ヂ券 抜 岫隙博 伐 の岻の 
 
Que foi a razão trazida pelo item. 
 
O item está errado, pois tal razão segue uma distribuição aproximadamente normal, e não t-Student. 
 
Se desconhecêssemos o desvio padrão populacional (o que não é o caso), aí substituiríamos pelo 
desvio padrão amostral. O resultado seria: 
 ヂ券 抜 岫隙博 伐 の岻嫌 
 
que seguiria aproximadamente uma t-Student, com 券 伐 な graus de liberdade (e não さnざ como foi 
dito na questão). 
 
Gabarito: errado 
 
 
5. (CESPE / TCE-PA ʹ 2016) 
 
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21 
 
A respeito de uma amostra de tamanho 券 噺 など, com os valores amostrados (0,10, 0,06, 0,10, 
0,12, 0,08, 0,10, 0,05, 0,15, 0,14, 0,11), extraídos de determinada população, julgue o item 
seguinte. 
 
A estimativa pontual da média a partir dessa amostra é inferior a 0,09. 
 
Comentários: 
 
A estimativa pontual da média é simplesmente a média amostral. 
 
Primeiro somamos todas as observações: 
 ど┸な 髪 ど┸どは 髪 ど┸なに 髪 ど┸どぱ 髪 ど┸など 髪 ど┸どの 髪 ど┸なの 髪 ど┸なね 髪 ど┸なな 噺 な┸どな 
 
Agora basta dividir por 10, eis que são dez observações. 
 な┸どななど 噺 ど┸などな 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
 
6. (FCC / SEFAZ PI ʹ 2015) 
 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
 鶏岫傑 隼 ど┸ね岻 噺 ど┸はのの┹ 鶏岫傑 隼 な┸に岻 噺 ど┸ぱぱの┹ 鶏岫傑 隼 な┸は岻 噺 ど┸ひねの┹ 鶏岫傑 隼 な┸ぱ岻 噺 ど┸ひはね┹ 鶏岫傑 隼 に岻 噺 ど┸ひばば┻ 
 
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22 
 
Uma auditoria feita em uma grande empresa considerou uma amostra aleatória de 64 contas 
a receber. Se a população de onde essa amostra provém é infinita e tem distribuição normal 
com desvio padrão igual a R$ 200,00 e média igual a R$ 950,00, a probabilidade da variável 
aleatória média amostral, usualmente denotada por X, estar situada entre R$ 980,00 e R$ 
1.000,00 é dada por 
a) 18,4% 
b) 9,2% 
c) 28,5% 
d) 47,7% 
e) 86,2% 
 
Comentários: 
 
Nossa tarefa é trabalhar com os valores da normal reduzida, pois é para a normal reduzida que temos 
as informações sobre as probabilidades. 
 
Quando temos uma variável qualquer, digamos, W, com distribuição normal, ela pode ser convertida 
na normal reduzida (Z) assim: 
 傑 噺 激 伐 航調購調 
 
No nosso caso, a variável em apreço é a média amostral (隙博). Sua média é igual à média da população 
(950) e seu desvio padrão é dado por: 
 購諜博 噺 購ヂ券 
 
Em que "券" é o tamanho da amostra e 購 é o desvio padrão populacional (200). 
 購諜博 噺 にどどヂはね 噺 にどどぱ 噺 にの 
 
Agora podemos finalmente trabalhar com a normal reduzida. 
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23 
 
 傑 噺 隙博 伐 ひのどにの 
 
Quando 隙博 噺 980, temos: 
 傑 噺 ひぱど 伐 ひのどにの 噺 な┸に 
 
Quando 隙博 噺 1.000, temos: 
 傑 噺 な┻どどど 伐 ひのどにの 噺 に 
 
Assim, a chance da média amostral estar entre 980 e 1.000 é igual à chance de Z estar entre 1,2 e 2. 
 鶏岫な┸に 隼 傑 隼 に岻 噺 ╂ 
 
Para calcular esta probabilidade, usamos as informações dadas na questão: 
 
 
Nós queremos a área entre 1 e 2, ou seja, a área rosa. 
 
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Foi dito que a chance de Z ser menor que 2 vale 97,7%. Logo, a chance de Z ser maior que 2 (área 
azul) é de: 
 欠権憲健 噺 などど ガ 伐 ひば┸ば ガ 噺 に┸ぬ ガ 
 
Foi dito que a chance de Z ser menor que 1,2 vale 88,5%. Logo, a chance de Z ser maior que 1,2 (área 
rosa + área azul) vale: 
 堅剣嫌欠 髪 欠権憲健 噺 などどガ 伐 ぱぱ┸の ガ 噺 なな┸の ガ 
 
Sabendo que a área azul sozinha vale 2,3%, e que a soma vale 11,5%, então a área rosa vale: 
 堅剣嫌欠 噺 なな┸のガ 伐 に┸ぬガ 噺 ひ┸にガ 
 
Gabarito: B 
 
Veja que algumas alternativas têm valores absurdos. 
 
A letra "E" é a pior de todas, pois diz que a área rosa, sozinha, vale 0,862. Isso é impossível, ela teria 
que ocupar mais da metade da área total, o que não é o caso. 
 
A letra "D" é a segunda pior, pois diz que a área rosa, sozinha, vale 0,477, ou seja, ocupa quase 
metade da área total, o que não é o caso. 
 
Como o gráfico é simétrico, então seu lado direito tem área de 50%. A área rosa teria que ocupar 
metade do lado direito para valer 25%. Isso claramente também não ocorre. Então não tem como a 
resposta ser letra C. 
 
Por fim, como vimos que 鶏岫 傑 伴 な┸に岻 é de 11,5%, então é impossível que a área rosa, sozinha, seja 
maior que 11,5%. Isso já permitiria descartar a letra A. 
 
7. (FCC / CNMP ʹ 2015) 
 
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 14
Estatística p/ Receita Federal (Auditor Fiscal) Com videoaulas - 2019
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Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 鶏岫傑 隼 ど┸ね岻 噺 ど┸はのの┹ 鶏岫傑 隼 ど┸のぬ岻 噺 ど┸ばど┹ 鶏岫傑 隼 な岻 噺 ど┸ぱねな┹ 鶏岫傑 隼 な┸にぱ岻 噺 ど┸ひど┹ 鶏岫傑 隼 な┸のの岻 噺 ど┸ひね┹ 鶏岫傑 隼 な┸は岻 噺 ど┸ひねの┹ 鶏岫傑 隼 な┸はね岻 噺 ど┸ひの┹ 鶏岫傑 隼 な┸ばの岻 噺 ど┸ひは┹ 鶏岫傑 隼 な┸ぱ岻 噺 ど┸ひはね┹ 鶏岫傑 隼 に┸どの岻 噺 ど┸ひぱ 
 
Sejam (X1,X2,...Xn ) e (Y1,Y2,...Yn ) duas amostras aleatórias simples, independentes, de duas 
variáveis aleatórias X e Y, respectivamente. 
 
Sabe-se que: 
 
I. X representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola A e tem 
distribuição normal com média de 5,8 e variância 2,25. 
 
II. Y representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola B e tem 
distribuição normal com média de 5,4 e variância 1,75. 
 
III. 隙博 噺 デ 諜日韮迭 津 e 桁博 噺 デ 超日 韮迭津 , são as médias