Revisão de Funções

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1 
 
 
 
_________________________________________________________ 
Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal 
Disciplina: Cálculo - 2012.2 Aula 1 
Professor: Carlos Sérgio 
 
 
Revisão de Funções 
 
 
Sistema cartesiano ortogonal 
 
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi 
criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos 
perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O 
eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados 
compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do 
plano cartesiano: 
 
 
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Em razão dessa 
ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo 
y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, veja: 
http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
2 
 
 
1º quadrante = x > 0 e y > 0 
2º quadrante = x < 0 e y > 0 
3º quadrante = x < 0 e y < 0 
4º quadrante = x > 0 e y < 0 
 
Localizando pontos no Plano Cartesiano: 
 
 
A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3 
 
B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2 
 
C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4 
 
D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4 
 
E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3 
 
O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os 
valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação 
3 
 
do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na 
Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos 
considerados críticos. 
 
 Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados 
aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de 
Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que 
tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude 
com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, 
que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem. 
 
 
 
A noção de função via conjuntos 
 
1º) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B 
dada pela fórmula y = 3.x, com xA e yB, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
* Todos os elementos de A têm correspondente em B; 
* A cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 
 
Nesse caso, temos uma função de A em B. 
 
2°) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5} e a correspondência entre A e B dada pela desigualdade y 
> x, com xA e yB, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
* Todos os elementos de A têm correspondente em B; 
* Ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B e não a um único. 
 
Nesse caso, NÃO temos uma função de A em B. 
 
 
 
3º) Dados A = {-4, -2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e a correspondência entre A e B dada pela 
fórmula y = x, com xA e y B, temos: 
 
http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
* Há elementos de A (os números -4 e -2) que não têm correspondente em B. 
 
Nesse caso, NÃO temos uma função de A em B. 
 
4º) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela 
fórmula y = x
4
, com xA e yB, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
* Todos os elementos de A têm correspondente em B; 
* A cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 
 
Nesse caso, temos uma função de A em B. 
 
 
Definição e Notação 
 
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como 
associar cada elemento xA a um único elemento yB. 
Usamos a seguinte notação: 
 
f: AB ou A  f B 
 
que se lê: f é uma função de A em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função f transforma x de A em y de B. 
 
 
 
 
5 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
2) Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1} e a correspondência entre A e B dada por y = x – 2, 
com xA e yB, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem 
 
 
1º) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: 
AB que transforma xA em yB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, a função f: AB está definida por y = 2.x ou por f(x) = 2.x. 
Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio 
(A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = 
f(x) de B. Nesse exemplo, o domínio é A = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6}, a regra é dada por y = 2.x e o conjunto imagem é dado por Im(f): {0, 2, 4, 6}. 
 
 
2º) Consideremos a função g:  definida por g(x) = x². Nesse caso a função g transforma 
todo número inteiro x em outro número inteiro y que é o quadrado de x. 
. 
. 
. 
* A imagem de x = -2 é g(-2) = (-2)² = 4 
* A imagem de x = -1 é g(-1) = (-1)² = 1 
* A imagem de x = 0 é g(0) = (0)² = 0 
* A imagem de x = 1 é g(1) = (1)² = 1 
* A imagem de x = 2 é g(2) = (2)² = 4 
. 
. 
. 
Portanto, o domínio é , o contradomínio é , a regra é y = x² e o conjunto imagem é , isto é, 
Im(g) = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando: 
 
Dada uma função h de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, 
contradomínio da função. Para cada xA, o elemento yB chama-se imagem de x pela função 
h ou o valor assumido pela função h para xA e o representamos por h(x). Assim, y = h(x). 
 
 
 
 
Em toda função f de A 
em B, Im(f)B. 
7 
 
 
 
 
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função h e é indicado 
por Im(h). 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Considere a função A  f B dada pelo diagrama e determine: 
 
 
a) D(f) b) CD(f) c) Im(f) d)f(4) e) y, quando x = 6 f) x, quando y = 7 
 
g) f(x), quando x = 5 h) x, quando f(x) = 1 
 
2) Considere A g B a função para a qual A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {-2, -1, 0, 1, 4, 7, 10} e 
g(x) é o triplo de x diminuído de 2 para todo xA. 
 
a) Considere o diagrama de flechas da função: 
b) Determine D(g), CD(g) e Im(g): 
c) Determine g(3): 
d) Determine x para o qual g(x) = -2: 
 
Estudo do Domínio de uma Função Real 
 
Vimos que uma função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei de 
correspondência. Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio 
(A) e o contradomínio (B). 
 
 
Construção de Gráficos de Funções 
 
Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com xD(f), no plano cartesiano, 
devemos: 
 
* Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com 
valores correspondentes para y = f(x); 
 
* A cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano; 
 
* Marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função. 
 
Exemplos: 
 
1º) Vamos construir o gráfico da função f:  dada por f(x) = 2x + 1. 
 
Como, neste caso, D = , vamos escolher alguns valores arbitrários de x: 
 
 
 
 
8 
 
 
X y = f(x) = 2x + 1 
-2 -3 
-1 -1 
0 1 
1 3 
2 5 
 
O gráfico da função dada é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = 2x + 1, 
resultando na reta da figura abaixo.2º) Vamos construir o gráfico da função  f dada por f(x) = -x². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x Y = f(x) = -x² (x, y) 
-2 -4 (-2, -4) 
-1,5 -2,25 (-1,5; -2,25) 
-1 -1 (-1, -1) 
0 0 (0, 0) 
1 -1 (1, -1) 
1,5 -2,25 (1,5; -2,25) 
2 -4 (2, -4) 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva que contém todos os pontos obtidos com y = -x² é o gráfico da função dada. Essa curva 
se chama parábola. 
 
3º) Vamos construir o gráfico das função  f dada por f(x) = 
 
 
Nesse caso, a função está definida por duas sentenças: 
 
 
x  3 
x y = f(x) = x (x, y) 
-1 -1 (-1, -1) 
1 1 (1, 1) 
3 3 (3, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x > 3 
x y = f(x) = x (x, y) 
4 3 (4, 3) 
5 3 (5, 3) 
6 3 (6, 3) 
x, se x 3 
3, se x > 3 
f(x) = x, se x 3 
f(x) = 3, se x > 3 
10 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções y = f(x), f:  : 
 
a) y = 2x + 3 
 
b) f(x) = x² + 3 
 
c) f(x) = 
 
 
 
Como determinar o domínio e a imagem de uma função a partir do seu gráfico? 
 
Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, às vezes, determinar o 
domínio D e o conjunto Im da função, projetando o gráfico nos eixos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D(f) = { x 2  x  4} = [2, 4] D(f) = { x 2  x  4} = [2, 4] 
 
Im(f) = {x  1 x  5} = [1, 5] Im(f) = {x  1 x  5} = [1, 5] 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Os seguintes gráficos representam funções; determine o domínio D e o conjunto imagem Im 
de cada uma delas: 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função 
 
4x, se x  0 
0, se x < 0 
11 
 
Já vimos que, para ter uma função de A em B, a cada xA deve corresponder um único yB. 
Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o 
gráfico deve fazê-lo uma única vez. Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de um 
ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico acima é de uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico acima não é de uma função. 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Determine se cada um dos gráficos abaixo representa uma função: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
Analisando o gráfico de uma função 
 
De modo geral, analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades 
importantes dela, tais como: 
 
1º) Onde ela é positiva (f(x) > 0), onde ela é negativa (f(x) < 0) e onde ela se anula (f(x) = 0). 
Os valores 0x nos quais ela se anula (f(x 0 ) = 0) são chamados zeros ou raízes da função f. 
 
2º) Onde ela é crescente (se x 1 < x 2 , então f(x 1 ) < f(x 2 )), onde ela é decrescente (se x 1 < 
x 2 , então f(x 1 ) > f(x 2 )), onde ela é constante (se x 1 < x 2 , então f(x 1 ) = f(x 2 )) e onde ela 
assume um valor máximo ou um valor mínimo, se existirem. 
 
Exemplo: 
 
Considere o gráfico abaixo de uma função definida no intervalo ]-6, 6[: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* f é positiva em ]-5, -1[ e em ]5, 6[. 
* f é negativa em ]-6, -5[ e em ]-1, 5[. 
* f é nula em x = -5, x = -1 e x = 5. Esses são os zeros ou raízes da função. 
* f é crescente em ]-6, -3] e em [2, 6]. 
* f é decrescente em [-3, 2]. 
* O ponto com x = -3 é um ponto de máximo e f(x) = 2 é o valor máximo de f. 
* O ponto com x = 2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3 é o valor mínimo de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Considerando o gráfico a seguir, que representa uma função, responda: 
 
 a) Qual o domínio e a imagem da função? 
 b) Em que intervalos a função é crescente? 
 c) Em que intervalo a função é decrescente? 
 d) f (1) é maior, menor ou igual a f(4)? 
 e) Qual o valor de 
)2()3(
)5(
ff
f

? 
 f) Quais são os zeros ou raízes da função? 
 g) Qual é o valor mínimo de f ? 
 
 
 
 
 
Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. 
 
 
Função Sobrejetora: 
Seja uma função f de A em B. Dizemos que f é sobrejetora, se e somente se, a imagem 
de f for o próprio contradomínio (conjunto B). Em símbolos 
f é sobrejetora  Im (f) = Cd (f). 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) :f . 
2)( xxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ● 
b ● 
c ● 
 ● 1 
 ● 2 
B
BCd
AD



Im 
Contradomínio e 
imagem iguais 
 sobrejetora 
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
 





Im
Cd
D
 
Contradomínio e 
imagem iguais 
 sobrejetora 
14 
 
 
Função Injetora: 
Seja uma função f de A em B. Dizemos que f é injetora, se cada elemento do conjunto 
contradomínio for imagem de apenas um elemento do conjunto A. 
Em símbolos: 
 f é injetora  x 1 , x 2  A, com x 1 x 2 temos f (x1 )  f (x 2 ) 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, pode-se 
afirmar que esta função é injetora. 
b) :f , 
2)( xxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, pode-se 
afirmar que esta função é injetora. 
 
Função Bijetora: 
Seja f uma função de A em B. Dizemos que f é bijetora, se e somente se f for ao mesmo 
tempo sobrejetora e injetora. Em símbolos: 
f é bijetora  f é sobrejetora e injetora. 
Exemplos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
a ● 
b ● 
c ● 
● 1 
● 2 
● 3 
● 4 
A B 
     
 3,2,1Im
3,2,,1,




BCd
AD
cbaf
 





Im
Cd
D
 
a ● 
b ● 
c ● 
 ● 1 
 ● 2 
 ● 3 
A B 
     
B
BCd
AD
cbaf




Im
3,2,,1,
 
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
 
15 
 
Esta função é sobrejetora pois a imagem e o contradomínio são iguais. É também 
injetora pois cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Como é 
sobrejetora e injetora é então bijetora. 
 
b)  :f , 
2)( xxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta função é sobrejetora poisa imagem e o contradomínio são iguais. É também 
injetora pois cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Como é 
sobrejetora e injetora é então bijetora. 
 
 
Função Inversa. 
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A 
que denominamos função inversa f e indicamos por 
1f . 
Ainda,     fyxxyf  ,/,1 é a função inversa de f se para todo By , existe um 
único Ax tal que 1),(  fxyf . 
Obs.: 
1º) Os pares ordenados que formam 
1f podem ser obtidos dos pares ordenados de f, 
permutando-se os elementos de cada par, isto é:     1,,  fxyfyx ; 
2º) Pela observação anterior, temos: 
    1,,  fxyfyx e se       111 ,,   fyxfxy 
isto é, a inversa de 
1f é a própria função f ou seja   ff  11 ; 
 
3º) O domínio da função 
1f é B, que é a imagem de f. 
 A imagem da função 
1f é A, que é o domínio de f. 
 A B B f
1
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
  )Im(1 fBfD    )(Im 1 fDAf  
Exemplo: 
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
 





Im
Cd
D
 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
16 
 
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, consideremos a função f de A em 
B definida por 12)(  xxf .. 
 
 x y 
 1 1 
 2 3 
 3 5 
 4 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação da Função Inversa. 
Regra prática. 
Dada a função bijetora f de A em B, definida pela sentença )(xfy  , para obtermos a 
sentença aberta que define 
1f , procedemos do seguinte modo: 
1º) Na sentença )(xfy  fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos x por y e y por x, 
obtendo )(yfx  ; 
2º) Transformamos algebricamente a expressão )(yfx  , expressando y em função de x para 
obtermos )(1 xfy  . 
Exemplos: 
a) Vamos encontrar a função inversa da função f dada por 32)(  xxf .. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 3 
 5 
 7 
 1 
 2 
 3 
 4 
A B 
f 
f é bijetora 
BfCd
AfD


)(
)(
 
        4,7,3,5,2,3,1,11 f em que BfD 
 )( 1 e Af 
 )Im( 1 . 
Observemos que a função f é definida por 12  xy e 
1f é 
definida pela sentença 2
1

y
x
 
 1 
 2 
 3 
 4 
 1 
 3 
 5 
 7 
B A 
f
--1 
 y 
x 
17 
 
 
 
 
 
b) Vamos encontrar a função inversa da função bijetora f   14: f tal que 
4
1
)(



x
x
xf 
 
 
Solução: 
 
1º) 
 
2º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo das Funções: 
 
 
Função Constante: 
Dado um número real c, definimos função constante aquela que a todo número real x faz 
corresponder o número c: 
 ccxff ,)(/: 
Exemplo: 
 
2)( xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
14
)(
1
14
14)1(
1414
4
1
4
1
1
















x
x
xf
x
x
y
xxy
xyxyyxxy
y
y
x
x
x
y
 
 
)( fD 
 2)Im( f 
18 
 
Função Polinomial do 1∘ Grau: 
 
 Dados os números reais a e b, sendo a  0, definimos função polinomial do 1º grau aquela 
em que a todo número real x faz corresponder o número ax + b: 
 f :  , com f (x) = ax + b (a 
*
, b  ) 
Exemplos: 
a) 12  x)x(f 
 
 
 
 
b) 12  x)x(f 
 
 
 
c) x)x(f 2 
x y 
0 0 
1 2 
 
Função Polinomial do 2º grau: 
 
 Dados os números reais a, b e c, sendo a  0, definimos função polinomial do 2º grau 
aquela em que a todo número real x faz corresponder o número ax
2
+ bx + c: 
  c,b*,a,cbxax)x(f/:f 2 
 
 
 
x y 
0 1 
1 3 
x y 
0 1 
1 -2 
 
 
 
D (f) =  
Im (f) =  
D(f) =  
Im(f) =  
D(f) =  
Im(f) =  
19 
 
Exemplos: 
a) 322  xx)x(f 
 
x y 
-4 5 
-3 0 
-1 -4 
1 0 
2 5 
 
 
 
 
 
 
b) 322  xx)x(f 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Polinomiais de grau maior que 2: 
 
Dados os números reais a n , a 1n , ..., a1 , a 0 , sendo a 0n , definimos função 
polinomial de grau n aquela em que a todo número real x faz corresponder o número 
01
1
1 ... axaxaxa
n
n
n
n 

 
 

 011,01
1
1 ,,...*,)(/: aaaaaxaxaxaxff nn
n
n
n
n 
 
 
x y 
-4 -5 
-3 0 
-1 4 
1 0 
2 -5 
 
 
D (f) =  
Im (f) = [-4, + ) 
D (f) =  
Im (f) = (- , 4] 
20 
 
Exemplos: 
a) 
3x)x(f  
 
 
 
 
 
 
b) 
4x)x(f  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
5x)x(f  
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
-2 -8 
-1 -1 
-0 0 
1 1 
2 8 
x y 
-1,5 -5,1 
-1 1 
0 0 
1 1 
1,5 5,1 
x y 
-1,4 -5,4 
-1 -1,0 
0 0,0 
1 1,0 
1,4 5,4 
 
 
 
D (f) =  
Im (f) =  
 
D (f) =  
Im (f) =  
 
D (f) =  
Im (f) =  
21 
 
D (f) =  
Im (f) = 
*
 
d) 22)( 23  xxxxf 
 
 
 
 
 
e) xxxx)x(f 652 234  
 
x y 
-2,5 6,6 
-2,0 0,0 
-1,5 -0,9 
-1 0,0 
-0,5 0,6 
0 0,0 
0,5 -0,9 
1 0,0 
1,5 6,6 
 
 
Função Exponencial: 
Denominamos função exponencial de base a (a > 0 e a  1) à função f (x) = xa 
definida para todo x real. 
Exemplos: 
a) 
x)x(f 2 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x
)x(f 






2
1
 
x y 
-3,0 -8,0 
-2,5 -2,6 
-2,0 0,0 
-1,5 0,6 
-1 0,0 
-0,5 -1,1 
0 -2,0 
0,5 -1,9 
1 0,0 
1,5 4,4 
x y 
-4 0,0625 
-3 0,125 
-2 0,25 
-1,0 0,5 
0 1,0 
1 2,0 
2 4,0 
3 8,0 
4 16,0 
D(f) =  
Im(f)=  
D(f) =  
Im(f)= [-1,+ ) 
 
 a > 0 
Função Crescente 
22 
 
D (f) =  ] 
Im (f) = 
*
 
0 < a < 1 
Função Decrescente 
xxf 2log)(  
D (f) = 
*
 
Im (f) =  
a > 0 
Função 
Crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Logarítmica: 
 
Dado um número real a (a > 0 e a  1), chamamos função logarítmica de base e à 
função xxf alog)(  , definida para todo x > 0. 
Exemplos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
-4 16,0 
-3 8,0 
-2 4,0 
-1,0 2,0 
0 1,0 
1 0,5 
2 0,25 
3 0,125 
4 0,0625 
x y 
0,125 -3 
0,25 -2 
0,5 -1 
1,0 0 
2 1 
4 2 
8 3 
 
 
23 
 
 
D (f) = 
*
 
Im (f) =

 
0 < a < 1 
Função Decrescente 
D(f)= 
Im(f)=[-1, 1] 
P=2 rad 
 
xxfb
2
1log)() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Trigonométricas: 
 
Função Seno: 
Denominamos função seno à função que a cada número real x, faz corresponder o 
número senxy  . 
Exemplo: senxy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
0,125 -3 
0,25 -2 
0,5 -1 
1,0 0 
2 1 
4 2 
8 3 
X y 
0 0 
2/ 1 
 0 
3 /2 -1 
2 0 
 
24 
 
 
D(f)={x /x k } 
Im(f)= 
P= rad 
D(f)= 






2
/

kxx
 
Im(f) =  
P =  rad 
Função Cosseno: 
Denominamos função cosseno à função que a cada número real x, faz corresponder o número 
xcosy  . 
Exemplo: xcosy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Tangente: 
Denominamos função tangente à função que a cada número real x, 
Zkkx  ,
2

 , faz corresponder o número tgxy  . 
 
Exemplo: tgxy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Cotangente: 
 Denominamos função cotangente à função que a cada número real x, Zkkx  , , 
faz corresponder o número gxcoty  . 
 
x y 
0 1 
 /2 0 
 -1 
3 /2 0 
2 1 
x y 
0 0 
 /2- + 
 /2  
 /2+- 
 0 
3 /2- + 
3 /2  
3 /2+ - 
2 0 
 
25 
 
D(f) =  kxx  / 
Im(f) =  
P =  rad 
D(f) = 






2
/

kxx
 
 
Im(f) =  1,   ,1 
P = 2 rad 
Exemplo: gxcoty  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Secante: 
 
 Denominamos função secante à função que a cada número real x, 
Zk,kx/x 
2

 , faz corresponder o número xsecy  . 
Exemplo: xsecy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
0+ + 
 /2 0 
 - - 
  
 + + 
3 /2 0 
2 - - 
2  
x y 
0 1 
 /2- + 
 /2  
 /2+ - 
 -1 
3 /2- - 
3 /2  
3 /2+ + 
2 1 
 
 
26 
 
D (f) =  kxx  / 
Im(f)=     ,11, 
P = 2 rad 
 
Função Cossecante: 
Denominamos função cossecante à função que a cada número real x, 
Zk,kx/x   , faz corresponder o número xcscy  . 
Exemplo: xcscy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
0 +  + 
 /2 1 
 - + 
  
 +  - 
3 /2 -1 
2 - - 
2 