Apostila Plano Topografico Local

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TOPOGRAFIA APLICADA AO 
GEORREFERENCIAMENTO 
Plano Topográfico Local 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anderson Maicon De Souza 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
OUTUBRO 2020 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 3 
 
2. PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL ......................................................................... 4 o 
Definição do Plano Topográfico Local ................................................................................ 4 o 
Extensão do Sistema Topográfico Local .............................................................................. 5 o 
O Sistema Topográfico Local ............................................................................................... 9 
 
3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS ..................................................... 17 o 
Transformações de Coordenadas Geodésicas em Topográficas Locais ............................. 17 
11.2. Transformações de Coordenadas Topográficas Locais em Geodésicas...................... 21 
11.3. Determinação do Norte geográfico a partir das coordenadas plano retangulares no sistema 
topográfico local de pontos definidores dos azimutes planos (topográficos) ............... 23 
11.4. Exemplo de Transformação de coordenadas Geodésicas em plano retangulares no 
plano topográfico local: ............................................................................................................. 25 
11.5. Exemplo de transformação de coordenadas planoretangulares - plano topográfico 
local em coordenadas geodésicas .............................................................................................. 29 
 
4. BIBILIOGRAFIA .................................................................................................... 35 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A obtenção das coordenadas geodésicas de pontos na Superfície física da Terra, utilizando o 
posicionamento por satélites, através da técnica de posicionamento global GPS, tem se tornado uma 
tarefa comum em vários campos de aplicação, inclusive para fins de levantamentos topográficos. 
 
3 
 
A prática deste tipo de posicionamento tem demonstrado que é possível obter resultados com 
diferentes níveis de precisão, dependendo do equipamento utilizado, da metodologia adotada e do 
processamento empregado. Com a evolução dos receptores geodésicos, melhores técnicas de 
observação disponível e dos modernos e sofisticados métodos de ajustamento empregados, pôdese 
alcançar precisões (estatísticas) das coordenadas na casa de centímetros, e em alguns casos, de 
milímetros, desde que o rastreamento das portadoras seja efetuado por períodos longos, e se utilizem 
técnicas de pós-processamento dos dados. 
Assim, o advento do uso de receptores GPS para fins de levantamentos topográficos trouxe 
grandes facilidades para as práticas de georreferenciamento de glebas, que se tornou uma tarefa 
comum aos engenheiros do mensuramento e profissionais de áreas afins, devido à regulamentação 
da atual Lei de Registro de Terras 10.267 através do decreto 4.449 de 30 de outubro de 2002. 
Segundo a nova Lei, nos casos de desmembramento, parcelamento ou remembramento de imóveis 
rurais, a identificação de um imóvel rural será obtida a partir do memorial descritivo, contendo as 
coordenadas dos vértices definidores dos limites dos imóveis rurais, georreferenciadas ao Sistema 
Geodésico Brasileiro. 
Com isso, tornou-se cotidiano a manipulação (transformação) de coordenadas entre 
diferentes sistemas, cabendo a nós, profissionais da área do mensuramento, dominar com 
desenvoltura o processo de transformação de pontos geodésicos caracterizados por suas coordenadas 
geodésicas para coordenadas plano-retangulares no Sistema Topográfico Local e vice-versa. Para tal 
fim, cabe salientar, portanto, que é primordial o conhecimento e o domínio dos métodos e as técnicas 
convencionais aplicados aos levantamentos topográficos, uma vez que mesmo com o avanço da 
tecnologia para posicionamento baseado na recepção de satélites, muitas vezes teremos que recorrer 
aos métodos tradicionais da Topografia. É também de extrema importância, dominar o Sistema de 
Projeção UTM, evitando-se o seu emprego generalizado, tal como a transformação das Coordenadas 
Planas no Sistema UTM para Coordenadas Planas no Sistema Topográfico Local, com aplicações 
das correções relativas ao fator de deformação linear (fator K) e ao fator de elevação, porém, sem o 
estabelecimento de uma origem, abstraindo-se o efeito da curvatura terrestre, o que ocasiona erros 
além do limite de precisão requerido pelo levantamento topográfico. 
 
4 
 
 
2. PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL 
 
 o Definição do Plano Topográfico Local 
 
É definido por um sistema plano-retangular X,Y que representa as posições de pontos de um 
levantamento topográfico. Uma terceira grandeza, a altura (cota ou altitude) junta-se às coordenadas 
planas X e Y, determinando a posição tridimensional dos pontos. A origem deste sistema de 
coordenadas planas é um vértice geodésico com coordenadas geodésicas conhecidas e o plano de 
referência é tangente, neste ponto, ao geóide, ou matematicamente, à superfície de referência 
(elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado. 
 
Figura 2.1– Definição do Plano Topográfico Local. 
Assim, todas as distâncias e ângulos determinados nas operações topográficas são 
pressupostos como sendo a projeção em verdadeira grandeza sobre o Plano Topográfico Local. Neste 
caso há uma coincidência da superfície de referência com o plano tangente a esta superfície, o que 
permite concluir que há uma desconsideração da curvatura da Terra. Entretanto, esta 
desconsideração só é admitida desde que os erros desta abstração não ultrapassem os erros 
provenientes das operações topográficas, face à precisão dos instrumentos de medição e processos 
de cálculo empregados. 
 
5 
 
 
 o Extensão do Sistema Topográfico Local 
 
A extensão do Sistema Topográfico Local é limitada pela precisão requerida para a 
determinação das posições dos pontos no processo de levantamento e do erro ocasionado pela 
desconsideração da curvatura terrestre, em um alinhamento definido pela distância do ponto mais 
afastado do levantamento em relação à origem do sistema. 
Seja a Figura 10.2, onde SF é um trecho da Superfície Física, PT é o plano tangente ao geóide 
na origem do Sistema Topográfico (ponto A1), R é o raio da Terra, supostamente esférica. Seja B 
um ponto da superfície física, cuja projeção sobre o plano tangente é definida pelo ponto B1, e sobre 
o geóide é o ponto B2. 
Sejam D e D1 as distâncias entre os pontos A e B referidas ao geóide A1B2 e ao plano tangente 
A1B1, respectivamente. 
 
Figura 2.2 – Erro devido à curvatura da Terra. 
 
6 
 
 
Verifique que: 
 D1 = A1B1 = R . tan α (1) 
Admitindo-se que α é um ângulo muito pequeno, pode-se escrever: 
 
 D = arco A1B2 = R.α (2) 
A diferença entre D1 e D é denominada de erro planimétrico (∆D) devido à curvatura da 
Terra, portanto: 
∆D = D1 – D (3) ∆D = R . tan α – R.α = R (tan α – α) 
 (4) 
 
Sendo o ângulo central α muito pequeno, convém desenvolver a função tangente em série de 
potências: 
 tan α = α + α3/3 + 2α5/15 + 17α7/315 + ... (5) 
 
Limitando a expressão ao segundo termo deste desenvolvimento e substituindo a expressão 
(5) na equação (4) tem-se: 
 ∆D = R. α3 (6) 
 3 
 
Da expressão (2) tem-se α em função de R e D: 
 α = D/R α3 = D3/R3 (7) 
 
Inserindo a equação (7) na equação (6) tem-se: 
 
 ∆D = D3/3R2 (8) 
 
 
7 
 
Esta é a expressão do erro planimétrico devido à curvatura da Terra. O erro ∆D corresponde 
a um erro ε na escala E da planta, ou seja: 
 
 ∆D = ε/E (9)Fazendo E = 1/M, onde M é o “módulo da escala”, tem-se: 
 
 ∆D = ε x M (10) 
 
O erro ε é a menor dimensão que se pode perceber em uma planta topográfica, ou à espessura 
do traço mais fino do desenho. A seguir, estão consignados na Tabela abaixo, diversos valores de 
distâncias calculadas sobre o geóide e sobre o plano tangente de referência, incluindo também os 
erros planimétricos “absolutos” e “relativos”. 
 
 α D1 = R . tan α D = R.α ∆D (m) δ 
8’ 14823,690 14823,663 0,027 1 : 550.000 
9’ 16676,659 16676,621 0,038 1 : 430.000 
10’ 18529,631 18529,579 0,052 1 : 350.000 
12’ 22235,585 22235,495 0,090 1 : 250.000 
12,5’ 23007,661 23007,560 0,100 1 : 230.000 
13’ 24088,567 24088,453 0,115 1 : 210.000 
13,1’ 24335,632 24335,514 0,118 1 : 205.000 
13,25’ 24551,814 24551,692 0,122 1 : 201.000 
13.5’ 25015,060 25014,932 0,129 1 : 190.000 
15’ 27794,545 27794,368 0,176 1 : 150.000 
R = Raio Médio da Terra = 6370 Km δ 
= erro relativo aproximado 
 
• Os valores ideais para a extensão do Sistema Topográfico Local são admitidos como sendo 
de 50 km para um erro relativo máximo de 1:35.000; 
 
8 
 
• Para cartografia de âmbito municipal: 70 km para em erro relativo máximo de 1:20.000; 
• Para cartografia, em áreas urbanas e especiais: 35 km para um erro relativo máximo de 
1:100.000 
 
Entretanto, pode-se reduzir estes valores considerando-se o relevo do terreno. A altitude da 
maioria dos pontos do terreno não deve variar de ± 150 m da altitude média do terreno conforme a 
finalidade do levantamento topográfico. Tanto no caso dos valores ideais para a determinação da 
área de abrangência do sistema como no de suas reduções em função do relevo do terreno, deve-se 
estabelecer novos planos tangentes de modo que cada sistema apresentará uma origem distinta, 
porém “amarrados” entre si em pontos comuns cujas coordenadas geodésicas são conhecidas. 
Nos levantamentos topográficos regulares, em função dos instrumentos utilizados no 
processo de medição e das metodologias de cálculo empregadas, admite-se erros relativos da ordem 
de 1:200.000. Isto equivale a um erro de aproximadamente 10 cm em 20 km. Logo podese concluir 
que não há a necessidade de correção do erro devido à curvatura nestas circunstâncias, sendo que a 
partir deste limite a curvatura da terra já não se torna desprezível. Convém, entretanto, verificar a 
escala da planta e o erro admissível conseqüente, e assim efetuar ou não a correção ∆D. Por outro 
lado, na maioria dos casos o levantamento topográfico não excede o espaço do terreno limitado por 
uma malha do canevas geodésico (lados entre 5 e 6 km), o que permite admitir a hipótese de que em 
uma porção do terreno nestas circunstâncias, a curvatura terrestre é desprezível. 
 
 o O Sistema Topográfico Local 
 
O sistema topográfico local, conforme consta na NBR 13133 (1994), pode ser descrito pelas 
seguintes características: 
 
a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, ou seja, o centro de projeção 
está 
localizado no infinito; 
 
9 
 
b) a superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície 
terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao 
datum vertical brasileiro; 
 
c) as deformações máximas inerentes a desconsideração da curvatura terrestre e a 
refração atmosférica podem ser definidas (de forma aproximada) pelas seguintes expressões: 
l = - 0,4 mm/3 Km; 
h = + 78,5 mm/2 Km; h’ = + 67,0 mm/2 Km; 
onde: 
l = deformação planimétrica devido à curvatura da Terra, em mm h = deformação altimétrica 
devido à curvatura da Terra em mm h’= deformação altimétrica devido ao efeito conjunto 
da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em mm/distância considerada no terreno, 
em Km. 
d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 50 Km a partir da origem 
de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 
1/35000 nesta dimensão e 1/15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. 
e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de 
projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com 
a do levantamento topográfico. 
 
Conforme a alínea (e), temos que, em um levantamento topográfico a posição relativa dos 
pontos da superfície terrestre é caracterizada pelas coordenadas num sistema cartesiano ortogonal, 
em duas dimensões (Ver Figura 2.2). A origem dos dois eixos cartesianos coincide com a origem do 
sistema topográfico local, onde o eixo das ordenadas (Y) está orientado segundo a direção Norte-Sul 
verdadeira coincidindo-se com a linha do meridiano na origem. O eixo positivo das abscissas (X) 
forma 90º na direção Leste. 
 
10 
 
 
Figura 2.3 – Coordenadas Plano Retangulares no plano topográfico local. 
 
O sistema topográfico local, face às suas limitações quanto à sua extensão (conforme visto 
no item 5.2), permite tratar a superfície matemática da terra, dada pelo elipsóide de revolução, como 
sendo supostamente uma esfera (esfera de adaptação de Gauss), onde o raio da Terra é dado pelo 
raio médio do elipsóide de referência no ponto definido como sendo a origem do sistema topográfico 
local (ver Figura 2.3). 
 
 
11 
 
 
 
Para que todas as distâncias e ângulos determinados nas operações topográficas sejam 
considerados como sendo a projeção em verdadeira grandeza sobre o Plano do Horizonte Local, faz-
se necessário elevar o plano à altitude média do terreno, transformando-se assim no plano 
topográfico local (ver Figura 2.5). 
 
 
 
Figura 2.4 – O sistema topográfico local. 
 
12 
 
 
Figura 2.5 – Conceitos básicos do sistema topográfico local. 
 
Dessa forma, as coordenadas plano retangulares do ponto origem (apoio geodésico ao 
levantamento topográfico), devem ser afetadas por um fator de elevação, determinado pela seguinte 
expressão: 
 
• c= (Rm+Ht)/Rm. 
ou aproximadamente: • c = 1 + 1,57 x 10 -7 x Ht. 
 
 
13 
 
 
 As coordenadas plano retangulares da origem do sistema são dadas por X = 0 e Y = 0. Entretanto, 
para evitarmos pontos no plano topográfico com coordenadas negativas, é comum arbitrar um valor 
inicial para o ponto de origem, lembrando-se sempre do valor máximo para a extensão do plano 
topográfico local (50 Km). Dessa forma as coordenadas do ponto de origem se apresentarão somadas 
de termos constantes (exemplo, X = 150.000 e Y = 250.000) KX e KY, para os os eixos X e Y 
respectivamente. 
 Logo, temos que: 
X = 0 + KX = KX 
Y = 0 + KY = KY 
Para orientação dos alinhamentos utiliza-se o azimute plano de suas direções. Este azimute 
é dado pelo ângulo formado por uma direção de um determinado alinhamento com o norte da 
quadrícula (NQ), sendo o vértice, o ponto inicial deste alinhamento. As linhas paralelas ao eixo Y 
no canevas do plano topográfico local se referem às projeções de linhas geodésicas (meridianos) 
paralelas ao meridiano da origem (O). Logo, enquanto as direções Norte e Sul geodésicas, 
convergem para os pólos, no plano topográfico local as direções são representadas paralelamente ao 
meridiano central e representam as direções Norte e Sul de quadrícula. A diferença angular entre as 
direções norte-sul geodésica (NG)e norte-sul na quadrícula (NQ) é definida como a convergência 
meridiana, que é utilizada para transformar azimute verdadeiro, determinado pela astronomia, em 
azimute topográfico que é referido ao norte de quadrícula e vice-versa (ver Figura 2.6). 
A convergência meridiana (γ) só deve considerada no caso de utilização de elementos 
colhidos em planta para locação em campo com a finalidade de aviventação de rumos ou para 
elaboração de memoriais descritivos de perímetros de propriedades em registros públicos ou em 
açõesjudiciais. Em plantas de projetos e obras de engenharia, a consideração da convergência 
meridiana é irrelevante 
A Figura 2.6 representa o comportamento da convergência meridiana em algumas direções 
indicadas nos vértices iniciais de cada direção, para um plano topográfico local situado no hemisfério 
sul. A convergência meridiana nos pontos situados a leste da origem do sistema topográfico local, 
apresenta valores negativos, enquanto à oeste apresenta valores positivos. 
 
14 
 
 
Figuras 2.6 – Exemplo da convergência meridiana no hemisfério Sul. 
 
A Figura 2.7 a seguir representa o comportamento da convergência meridiana para um plano 
topográfico local, situado no hemisfério norte. A convergência meridiana nos pontos situados a leste 
da origem do sistema topográfico local, apresenta valores positivos, enquanto à oeste apresenta 
valores negativos. 
 
 
 
 
15 
 
 
Figuras 2.7 – Exemplo da convergência meridiana no hemisfério Norte. 
 
Para o caso da origem do sistema se situar exatamente no equador, conforme pode ser visto 
pela Figura 2.8, têm-se as seguintes situações. 
Pontos situados no eixo dos X (linha do equador): γ = 0; 
Pontos situados no primeiro quadrante: γ > 0; Pontos 
situados no segundo quadrante: γ < 0; 
Pontos situados no terceiro quadrante: γ > 0; Pontos 
situados no quarto quadrante: γ < 0. 
 
Nos dois hemisférios, pontos situados exatamente no mediano da origem têm valores nulos 
para a convergência meridiana γ. 
 
NQ 
NG 
 
16 
 
 
Figuras 2.8 – Exemplo da convergência meridiana quando a origem se situa na 
linha do equador. 
 
Para estabelecer um sistema topográfico local,deve-se, inicialmente, calcular as coordenadas 
plano retangulares dos pontos geodésicos utilizados como apoio geodésico ao levantamento 
topográfico. Estas coordenadas são obtidas a partir das coordenadas geodésicas destes pontos (ϕ,λ) 
e das coordenadas geodésicas da origem (O) do sistema (ϕo, λo), por intermédio das fórmulas da 
solução inversa do problema geodésico de transporte de coordenadas geodésicas, cujas coordenadas 
plano retangulares são objetos de determinação. 
A origem do sistema (O) pode ser, ou não, um ponto do apoio geodésico. Neste caso 
recomenda-se que o mesmo esteja próximo ao centro da área do levantamento. 
Caso contrário, pode ser escolhido um ponto qualquer, não necessariamente identificado e 
materializado no terreno, sendo as suas coordenadas geodésicas impostas, convenientemente, a fim 
de que o ponto mais afastado da área de abrangência do sistema não proporcione um erro devido à 
 
 
17 
 
negligência da curvatura da terrestre que exceda o erro possível de ser cometido pela operação 
topográfica. A partir das coordenadas plano retangulares dos pontos de apoio geodésico, calcula-se 
as demais coordenadas pelo processo convencional da topografia. 
 
3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS 
3.1 Transformações de Coordenadas Geodésicas em Topográficas Locais 
 
3.2.11 Problema 
 
Calcular as coordenadas plano retangulares (x, y) de um ponto P de coordenadas 
geodésicas (ϕ,λ), a partir das coordenadas geodésicas da origem do sistema topográfico 
local (ϕo,λo) cujas coordenadas plano retangulares são X0,Y0 (arbitrárias). 
 
3.2.12 Fórmulas 
 
X0 = x0 + kx 
 
Y0 = y0 + ky 
x0 = y0 = 0 
kx , ky = constantes arbitrárias 
 
X = x + k 
x 
Y = y + ky 
 
x =−∆λ1.cosϕ0.Np.arc1".c 
 1 2 2 2 4 
 
18 
 
y = [∆ϕ1 + C x. + D.(∆ϕ1) + E.(∆ϕ1)x + E C x. . ].c B 
A = tan−1 ∆x 
∆y 
∆x = x − x0 = x 
 
∆y = y − y0 = y 
∆λ= λ λ− 0 ∆ϕ=ϕ ϕ− 0 
 
∆λ1 = ∆λ"×correção arco-seno =∆λ"× 1− (sen1")2 ×(∆λ")2 
 6 
∆ϕ1 = ∆ϕ"×correção arco-seno =∆ϕ"× 1− (sen61")2 ×(∆ϕ")2 
 
∆ϕ1"= ∆ϕ"× 1− (sen1")2 (∆ϕ")2 = ∆ϕ"×[1−3,9173×10−12 
×(∆ϕ")2] × 
 6 
 
 ∆ϕ 3 
∆A 
= −
∆λ" .senϕm.sec 2 + F.(∆λ"
) 
 
A' = A +∆A ±180o 
 
 
19 
 
( ) × 2 
2 2 
0 
3 
N0 × sen A × cosϕ0 = −N p × sen A'×cosϕ (prova) 
1 
B = 
M0 ×arc1" 
 
 tanϕ0 
C = 
 2 × M0 × ×N0 arc1" 
 
D = 3× ×e2 senϕ0 × cosϕ0 × arc1" 
1− e .sen ϕ 
 
1+ 3× tan2ϕ0 
E = 2 
6 × N0 
 
senϕm × cosϕm × sen21" 
F = 
12 
 
M0 × N0 + Ht c 
= 
M0 × N0 
 
ϕm = 
 
 
20 
 
 a × −(1e2) 
 M0 = 3 
(1− e2 × sen2ϕ0) 
 
a 
 N0 = 2 2 
1− e × sen ϕ0 
 
a 
Np = 1− e2 × sen2ϕ 
 
e = 
 
 a −b 
b
 
f = = 1− a a onde: 
 N0 - raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano do elipsóide em O 
(origem); 
 Np - raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano do elipsóide em P; 
M0 - raio de curvatura das seção meridiana do elipsóide em O (origem); 
a - semi-eixo maior do elipsóide de referência; b - semi-eixo 
menor do elipsóide de referência; e - primeira excentricidade do elipsóide 
de referência; f - achatamento do elipsóide de referência; A - 
azimute topográfico e geodésico da direção OP; 
A' - azimute geodésico recíproco de A (somente para utilização na PROVA); 
γ - convergência meridiana em P; c - fator de elevação; 
 Ht - altitude ortométrica do plano topográfico. 
( ) 
a b 
a 
f f 
− 
= ×− 
2 2 
2 2 
 
21 
 
 
3.2.13 Observações: 
 
 Na aplicação das fórmulas considerar ϕ negativo no hemisfério sul, λ crescendo 
positivamente para oeste. 
 Os coeficientes C, D e F são negativos no hemisfério sul. 
 O eixo das ordenadas é o eixo dos Y e o das abscissas é X. 
 O azimute A é topográfico e também geodésico, pois em O a convergência 
meridiana é nula e A' é elipsóidico, estes azimutes servem para a prova (detecção de 
erros grosseiros nos cálculos). O azimute recíproco no sistema topográfico local é 
igual a A ± 180°, não levando em conta a convergência meridiana. 
 
3.2 Transformações de Coordenadas Topográficas Locais em Geodésicas 
 
3.2.1 Problema 
 
Calcular as coordenadas geodésicas ϕ e λ de um ponto P dado por suas coordenadas 
plano retangulares X e Y, a partir destas e das coordenadas geodésicas φ0 e λ0 e plano 
retangulares X0 e Y0 da origem O do sistema topográfico local. 
 
3.2.2 Fórmulas 
 
X0 = x0 +kx 
 
Y0 = +y0 kx 
 
x0 = y0 = 0 
kx , ky = constantes arbitrárias 
 
22 
 
 
x= X −k 
x 
y Y k= − y 
x 
x' = 
c y 
y' = 
c 
 
c = M0 × N0 + Ht 
M0 × N0 
Ht = altitude ortométrica do plano topográfico 
a ×(1− e2) 
 M0 = 3 
(1− e2 × sen2ϕ0) 
a 
' 
x
 A = azimute topográfico da direção OP = tan−1 
y' 
ϕ=ϕ0 +∆ϕ 
 Correção de ∆ϕ′′ = ∆ϕ1 ⇒ ∆ϕ1 = ∆ϕ1′′× correção arco seno 
N 
e 
0 
2 2 
0 1 
= 
− × sen ϕ 
 
N 
a 
e 
p = 
× − 1 
2 2 
sen ϕ 
 
x y s + = ' ' 
2 2 ⇒ s = distância topográfica OP 
 
23 
 
−∆ϕ"= ∆ϕ1"× 1+ (arc61")2 ×(∆ϕ1")2 
∆ϕ1"= −δϕ"−D ×(δϕ")2 (em segundos) δϕ1" = B s. 
.cos A+ C s. 2.sen2 A− B E s. . 3.sen2 A.cos A 
 
λ= λ0 + ∆λ 
 ( 
 
∆λ"= ∆λ1"×correção arco-seno = ∆λ1"× 1+ arc61")2 ×(∆λ1")2 
1 
 ∆λ1"= × s × sen A× secϕ 
N p × arc1" 
 "×sen× sec+ F ×(∆λ")3 −∆ ∆λA =
A'= A + ∆A ±180o = azimute geodésico da direção PO 
 
PROVA: N0 × sen A× cosϕ0 = −N p × sen A'×cosϕ onde 
N0, N p , M0,a,e,c 
têm as mesmas definições apresentadas em 5.2. e os coeficientes B, C, D, E e F têm também 
as mesmas expressões. 
 
3.2.3 Observações: 
 
 
24 
 
 Na aplicação das fórmulas fazer as mesmas considerações contidas em 11.1.3. 
 
 A prova serve apenas para detectar erros grosseiros no cálculo dos valores de A e 
A' que são, neste caso, o azimute geodésico direto da direção OP e o seu azimute 
geodésico recíproco, respectivamente, cuja diferença é a convergência meridiana em 
P. 
 
3.3 Determinação do Norte geográfico a partir das coordenadas plano retangulares no 
sistema topográfico local de pontos definidores dos azimutes planos 
(topográficos) 
 
3.3.1 Problema 
 
Calcular a convergência meridiana no vértice do azimute plano (topográfico) de uma 
direção, dado por suas coordenadas plano retangularesno sistema topográfico local e a partir 
deste azimute determinar a direção do norte geográfico (verdadeiro) com a aplicação da 
convergência meridiana. O problema tem como dados: as coordenadas plano retangulares 
dos pontos definidores da direção conhecida ou seja P (vértice do azimute) e Q (ponto 
visado); as coordenadas plano retangulares e as coordenadas geodésicas da origem do 
sistema topográfico local e a altitude do plano topográfico. 
 
3.3.2 Fórmulas 
 
P x( p , y p ) Q x( q , yq ) O x( 0, y0) O(φ λ0, 0) 
−1 xq − x p 
(PQ)t = tan yq − y p 
 
 
25 
 
(PQ)g = (PQ)t +γp x0 = 
y0 = 0 
 
X0 = x0 + kx ∴kx = X0 
 
Y0 = y0 + ky ∴ky = Y0 
 
kx , ky = constantes arbitrárias 
xp = X p − kx 
 
yp = Yp − ky 
 
 
 
 γp = −(∆λp"×sen(ϕm )× 1∆ϕ + (F ×∆λp"3) 
 cos 
 2 
onde 
 
(PQ)t - azimute topográfico da direção PQ; (PQ)g - azimute 
geodésico da direção PQ; γp - convergência meridiana em P com 
valor dado em segundos 
3.4 Exemplo de Transformação de coordenadas Geodésicas em plano retangulares no 
plano topográfico local: 
 
26 
 
 
3.4.1 Dados 
 
- Origem O 
 
 ϕ0= 22°42’34.87698” S 
 λ0= 50°38’14.56789” W 
 
 X0= 150.000,000 m 
 Y0= 250.000,000 m 
• Altitude do plano topográfico Ht= 567,00 m 
 
• Elipsóide de referência: Elipsóide Internacional de 1967 (UGGI-67) 
 
 a = 6378160,000 e 
= 0.081820180369054 
 1-e2= 0.993305458 
 
- Ponto P 
 
 ϕ= 22o34'23.67892"S λ= 
50o32'23.43874"W 
 
3.4.2 Cálculos preliminares 
 
a 
 N0 = 2 2 = 6381344,3852 m 
1− e .sen ϕ0 
 
27 
 
a 
 N p = = 6381308,20401 m 
1− e2.sen2ϕ 
a.(1− e2) 
 M0 = 2 3 = 6344955,0806 
(1− e .sen2ϕ0) 
∆ϕ=ϕ−ϕ0 = 0.136443905556° 
 
∆ϕ"= ∆ϕ×3600 = 491.198060002” 
 
∆λ= λ−λ0 = 0.097535875° 
 
∆λ"=∆λ×3600= 351.12915” 
 
ϕm = = - 22.6414660972° 
arc1"= 4,8481368111×10−6 
1 
B = = 0,0325084738389772 
M0.arc1" 
 tanϕ0 -1.066 × 10-9 
C = = 
2.M0.N0.arc1" 
 3.e2.senϕ ϕ0.cos 0.arc1" -1.73639281055 × 10-8 
D == 
 
28 
 
2. (1− e2.sen2ϕ0)3 
 
 1+3.tan2ϕ0 6.24340176535 × 10-15 
E = 6.N02 = 
 senϕm.cosϕm.sen21" 
-13 
F = = −6.95917 × 10 
12 
∆λ1 = ∆λ"× 1− (sen1")2 ×(∆λ")2 = 351.12915” 
 6 
∆ϕ1 = ∆ϕ"× 1− 
(sen
6
1")2 ×(∆ϕ")2 = 491.198060002” 
 
M0.N0 + Ht 
c == 1.000089107 
M0.N0 
 
3.4.3 Cálculo de x 
 
x =∆λ1.cosϕ.N p .arc1".c = 10031.704379 
 
3.4.4 Cálculo de X 
 
X = x + kx = 160031.704379 
 
 
29 
 
3.4.5 Cálculo de y 
 
1 [ 2 .(∆ϕ1)2 + E.(∆ϕ1).x2 + E. .C x4].c y = 
∆ϕ1 + C.x + D 
B 
 
y = 15107.761308 
 
3.4.6 Cálculo de Y 
 
Y = y + ky = 265107.761308 
3.4.7 Cálculo de A (azimute topográfico da direção OP) 
 
OBS.: Neste caso A é também o azimute geodésico da direção OP, porque a convergência 
meridiana (γ) em O é nula. 
 
A = tan−1 xy = 10031,704315107,7613791 = 33.584557565⇒ 
33035'04.407234" 1° quadrante 
3.4.8 Cálculo de γ (convergência meridiana em P) 
 
∆ϕ (∆λ")3 m 
 ∆A 
= −
∆λ".senϕ .sec 2 + F. 
 ∆A = −0002 15′,171983668" 
 
30 
 
3.4.9 Cálculo de A' (somente para aplicação na PROVA) 
 
OBS.: A’ é o azimute geodésico da direção PO 
 
A'= A + ∆A ±180o = 213032'34.83525" 
 
OBS.: ∆A =γP 
 
 3.4.10 Prova 
 
N0.cosϕ0.sen A = −N p .cos .sen 'ϕ A 
N0 = 6381344,38522 N p = 6.381.308,20401 
φ0 = -22°42’34,87698” 
 
 ϕ= -22°34’23’,67892” 
A = 33°35’04.407234” A' = 213°32’34,83525” 
N0.cosϕ0.sen A = 5 749 919 316..
 , 
 N p .cos .sen 'ϕ A = 5749919323.
 . , 
A diferença 0.007 se deve às aproximações nos cálculos. 
 
 3.4.11 Conclusões 
 
 O ponto P está no 1° quadrante do sistema topográfico local, a leste do meridiano do ponto 
O (origem-datum) do sistema, o que acarreta para γp o sinal negativo. 
 
3.5 Exemplo de transformação de coordenadas planoretangulares - plano topográfico 
local em coordenadas geodésicas 
 
3.5.1 Dados 
 
 
31 
 
- Origem O 
 
 ϕ0 = 22 48 0388906o '
 . " S λ0 = 42 28 
0325712o ' , " 
 X0 =150000 000. , m 
 Y0 = 250000 000. , m 
 
- Altitude do plano topográfico 
 Ht = 40m 
- Elementos do elipsóide de referência a = 6378160.0 e = 
0.081820180369054 
 1-e2 = 0.993305458 
 
- Ponto P 
X = 158.896,891 m 
Y = 248076.972 m 
 
3.5.2 Cálculos preliminares 
 
a 
 N0 = = 6381345,6263 
1− e2.sen2ϕ0 
a.1( −e2) 
M0 ==6345005,5774 (1−e2.sen2ϕ0)3 
arc1"= 4,8481368×10−6 
 
32 
 
y 
c 
x y + ' ' 
2 2 
1 
B = = 0,0325082151200513 
M0.arc1" 
C = 
tanϕ0 = −1.07076315807046×10−9 
2.M0.N0.arc1" 
D = 3.e2.senϕ0.cosϕ0.arc1" = −1.74181695697278×10−8 
2. (1− e2.sen2ϕ0)3 
3.tan2ϕ06.26267463693786×10−15 1+ 
E = 6.N02 = 
==1.00000628617276 c 
 
 
x = X − kx = 8896 8556. 
 
y = Y − ky = −19230280. 
x x' = = 
8896 779636. c 
 
y' = = −1923015912. s == 9102 
28897100275. 
. 
. 
0 0 
0 0 + 
N M 
H N M t 
 
33 
 
 A = tan−1 
x' 
 =102 11 478640 ′ . ′′ ( 2° Quadrante 
topográfico) 
 y' 
(azimute topográfico da direção OP) 
 
3.5.3 Cálculo de 
δϕ"
 
 
 δϕ" = B s. .cos A + C s. 2.sen A − B E s.. 3.sen2 A.cos A 
∆ϕ1" = −δϕ"−D ×(δϕ")2 (em segundos) 
 ∆ϕ1 =−62 42873649, 
 
3.5.4 Correção de ∆ϕ 
 
 
"= ∆ϕ1′′× 1+ (sen1")2 ×(∆ϕ")2 = 62.4287446828721 
− ∆ϕ 
 6 
 ∆ϕ= 0 01 02 42874ο ′ . ′′ 
 
3.5.5 Cálculo de 
ϕ
 
 
ϕ=ϕ0 +∆ϕ 
 ϕ0 = 22 48 0388906o ' , " 
 
34 
 
ϕ= 22 48 0388906o ' , "+0 010242874ο '
 = 22 49 06317810 '' . " ϕ= 22 49 
06317810 '' . " S 
 
3.5.6 Cálculo de 
N p 
 
a 
 N p == 63813334075575. 
1− e2.sen2ϕ 
 
3.5.7 Cálculo de 
∆λ
1
"
 
 
1 
 ∆λ1"= × ×s sen A.secϕ=−311886389415. " 
N p .arc1" 
 
3.5.8 Cálculo de ∆λ" 
 
∆λ"= ∆λ1
" 1
 + 
(sen
6
1")2 ×(∆λ1")2 = 311.98876285529" 
 
3.5.9 Cálculo de λ 
 
λ=λ0 + ∆λ 
 λ= 42 22512683460 ' . ′′W 
 
 
35 
 
 3.5.10 Cálculo de F 
 
senϕm .cos2ϕm .sen21" 
 F = = 
12 
F =−6.99953×10−13 
 
 3.5.11 Cálculo de ∆A 
 
 ∆ ∆λA = − ".senϕm .sec ∆ϕ2 + F.(∆λ")3 = −0 02 0094480 ' .
 ′′ 
 
 3.5.12 Cálculo de A' 
 
A' = A+∆A±180o 
 
A' = 282009′46.915′′ 
 
 3.5.13 Prova: 
 
N0.cosϕ0.sen A = −N p .cos .sen 'ϕ A 
 
 N0.cosϕ0.sen A = 5749919 617. N p .cos .sen 'ϕ A = −5749919 617.
 
 
 3.5.14 Resumo 
 
36 
 
 
 ϕ= 22 49 06317810 ′ . ′′S 
 Coordenadas geodésicas de P 
λ= 42022′51.26834"W 
• Azimute geodésico da direção OP ⇒ Ag = A + γ , porem, γ = 0 Ag = 102°11’47,864” 
• - Azimute geodésico recíproco (direção PO) ⇒ A’g = (A + γ) ± 180 
A’g = (102°11’47,864” - 0°02’00,94948”) + 180° 
A'g = 282°09’46.915” 
• - Convergência meridiana em P 
 γp = ∆A = −0 02 00 949480′ . ′′ 
 
 3.5.15 Conclusões 
 
• Estando o ponto P no hemisfério sul verifica-se que está no 2° quadrante do sistema 
topográfico com origem em O, a leste do meridiano deste ponto, o que acarreta para 
γp = ∆A o sinal negativo 
 
 
37 
 
 
4. BIBILIOGRAFIA 
 
1. LIMA, Divaldo Galvão. “Sistema Topográfico Local” - São Paulo - 1995 em publicação. 
2. LIBAULT, André. Geocartografia. São Paulo: Editora Universitária.,[s. ed.], 1975. 
3. LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Topografia Contemporânea: 
 Planimetria: 
Florianópolis: Ed. da UFSC, 1995. 320 p. 
4. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (1ª parte). Curitiba: UFPR.,[s. ed.], 1971. 
5. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (2ª parte). Curitiba: UFPR.,[s. ed.], 1971. 
6. UZÊDA, Olívio Gondim. Topografia. Rio de Janeiro: Ed. Ao Livro Técnico., 1963. 
7. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 13133: 
Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35p. 
8. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 14166: Rede 
de referência cadastral municipal - procedimento. Rio de Janeiro, 1998. 23p. 
9. ESPARTEL, Lelis.Curso de Topografia. 9ª ed. Rio de Janeiro, Globo, 1987. 
 
38 
 
10. INSTITUTO NACIONAL DE COLONIZAÇÃO E REFORMA AGRÁRIA (INCRA). 
Normas técnicas para georreferenciamento de imóveis rurais. 2003.