Matemática Básica29

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Anderson Maicon De Souza 
 
Matemática Comercial e Financeira 
 Lista de Exercícios – Desconto Simples 
 
1) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à 
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? Resposta: R$ 1.190,48 
 
2) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à 
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? Resposta: R$ 1.250,00 
 
3) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 
dias, à taxa de 2,5% ao mês? Resposta: R$ 225,00 
 
4) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é 
de R$ 1.000,00 e o valor líquido de R$ 880,00? Resposta: 3% am 
 
5) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à 
taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? 
 Prazo 
 Borderô de Cobrança Valor (R$) (vencimento) 
 A 2.500 25 dias 
 B 3.500 25 dias 
 C 2.500 45 dias Resposta: R$ 11.770,00 
 
6) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o 
borderô a seguir: 
 A) 6.000 15 dias 
 B) 3.500 25 dias 
C) 2.500 45 dias Resposta: R$ 11.768,00 
 
7) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um 
banco à taxa 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
Resposta: R$ 29.408,00 
 
8) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, 
que sofreu um desconto de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. Resposta: 92 dias 
 
9) Se você depositar hoje R$ 2.000,00 numa aplicação que rende 1,5% ao mês no regime de juros 
simples, qual será o saldo da sua aplicação ao final de 2 anos. 
 
10) Um investidor aplicou uma determinada quantia numa instituição financeira pelo prazo de 180 
dias e recebeu o montante de R$ 5.896,00. Sabendo-se que a instituição remunera suas 
aplicações numa taxa mensal simples de 1,2% a.m., determine o valor da quantia inicial 
aplicada. 
 
11) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um montante de R$ 1.700,00 no 
prazo de 36 meses. Determine qual a taxa mensal de juros simples relativa à operação. 
 
12) Um investidor deseja aplicar uma quantia de R$ 12.000,00 a uma taxa mensal simples de 1,8% 
a.m. Depois de quanto tempo o investidor terá acumulado um montante de R$ 13.944,00? 
 
 
 
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Anderson Maicon De Souza 
13) Qual é o valor de face de um título comprado por R$ 15.000,00, com prazo de 5 meses à taxa de 
4% ao mês? 
 
14) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 180.000,00 com valor de face de R$ 
360.000,00 e prazo de 4 anos, determinar a taxa de juros mensal simples desse título. 
 
15) Determine o valor de compra de um título que possui um valor de face de R$ 292.800,00 com 2 
anos de prazo à uma taxa de 6% a.m. 
 
16) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 700.000,00 com valor de face de R$ 
896.000,00 e taxa simples de 8% ao ano, determinar o prazo desse título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão de Descontos Simples – Exercícios Resolvidos 
 
 
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Anderson Maicon De Souza 
01) (Analista de Comércio Exterior - ESAF/1998) O desconto simples racional de um título 
descontado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor 
do desconto correspondente caso fosse um desconto simples comercial. 
a) R$ 43,20 b) R$ 676,80 c) R$ 720,00 d) R$ 763,20 e) R$ 12.000,00 
Todos já sabemos que o desconto comercial representa o montante quando tomado como capital o 
desconto racional. 
Assim, a fórmula a ser empregada, para o cálculo direto, é a seguinte: 
Dc = Dr(1+in) 
Dc = 720,00 x (1 + 0,02 x 3) 
Dc = 720,00 x 1,06 
Dc = 763,20 
Assim, a resposta correta é a representada pela letra “d”. 
Preste muita atenção nesta questão, pois algo parecido poderá aparecer no próximo concurso!!! 
 
02) (AFTN ESAF/1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a. m.). O 
valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições 
contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento, será efetuado em duas parcelas. A primeira 
parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a 
Segunda parcela no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-
primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: 
a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00 
Perceba que o total dos pagamentos a ser efetuado é de $ 1.400,00. O pagamento do final do 4º 
mês é de 70% desse valor, logo esse pagamento será de $ 980,00. O pagamento do mês 11 será de 
30% do total, isto é $ 420,00. Considerando, ainda, que o financiamento está sujeito a uma taxa de 
juros de 10% ao mês, teremos o seguinte esquema: 
 
Para obter o Va, devemos calcular o Va dos dois títulos, considerando o desconto racional, visto que 
se está afirmando que a taxa envolvida é de juros simples. Assim, teremos: 
Va = [980,00 / (1 + 0,1 x 4)] + [420 / (1 + 0,1 x 11)] 
Va = [980 / 1,4] + [420 / 2,2] 
Va = 700,00 + 200,00 
Va = $ 900,00 
Logo a alternativa correta está representado pela letra “b”. 
 
 
 
03) (BB/CENTRO-OESTE/99) Uma LTN, cujo prazo a decorrer até o seu vencimento é de 36 dias, está 
sendo negociada com uma rentabilidade efetiva linear de 24% ao ano. A taxa de desconto anual embutida 
é de: 
a) 23,44% b) 23,46% c) 23,48% d) 23,50% e) 23,52% 
 
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Anderson Maicon De Souza 
A taxa de 24% ao ano é a própria taxa efetiva. O detalhe dessa questão é que o “n” é 0,1 ano e com 
isso é só aplicar a fórmula do cálculo da taxa efetiva e obteremos a taxa de desconto comercial 
embutida na operação. Assim: 
ief = 
idc 
1 - idc x n 
 
0,24 = 
idc 
1 - idc x 0,1 
0,24 x (1 – idc x 0,1) = idc 
0,24 – 0,024 idc = idc 
0,24 = 1,024 idc 
idc = 0,24 / 1,024 
idc = 0,234375, isto é, aproximadamente 23,44% ao ano. 
Logo, a alternativa correta é da letra “a”. 
 
04) (AFTN/ESAF/1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence 
em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal 
(simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a titulo de saldo 
médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do 
vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, você receberá líquidos, hoje, $ 
105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: 
a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d)4,8% e) 5,4% 
O valor nominal da duplicata é de R$ 150,00. 
Perceba que foi informado haver uma retenção de 15% desse valor, o que representa R$ 22,50. 
Como o líquido recebido, que não é o valor atual, é de R$ 105,00, por diferença chegamos a 
conclusão que o valor do desconto foi de R$ 22,50. 
Agora é só aplicar a fórmula do desconto comercial e acharemos a taxa de desconto implicada na 
operação. 
Dc = Nin 
22,50 = 150 x i x 3 
22,50 = 450 I 
i = 22,50 / 450 
i = 0,05, isto é 5% ao período! 
Logo a alternativa correta é a letra “a”. 
 
05) (AFTN/ESAF/1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu 
vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no 
caso de um desconto racionalsimples. 
a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600,00 
 
Novamente, considerando o desconto comercial sendo o montante quando o desconto racional for 
considerado o capital, teremos: 
Dc = Dr (1 + i n) 
600,00 = Dr ( 1 + 0,05 x 4) 
600,00 = 1,2 Dr 
 
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Anderson Maicon De Souza 
Dr = 600 / 1,2 
Dr = R$ 500,00 
Logo a alternativa correta é a letra “c”. 
 
06) (AF-CE/ESAF/1998) Qual o valor hoje de um título de valor nominal de R$ 24.000,00, vencível ao 
fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ano, considerando um desconto simples comercial? 
a) R$ 19.200,00 b) R$ 20.000,00 c) R$ 20.400,00 d) R$ 21.000,00 e) R$ 21.600,00 
O exercício versa sobre valor atual comercial. Estamos nos lembrando da fórmula? 
O valor atual comercial é calculado pela fórmula: 
Vac = N (1 – in) 
Como a taxa é de 40% ao ano e o período de antecipação é de 6 meses, isto é, 0,5 ano e, ainda, 
considerando que o valor nominal é de R$ 24.000,00, teremos: 
Vac = 24.000 x (1 – 0,2 x 0,5) 
Vac = 24.000 x 0,9 
Vac = 21.600,00 
Logo, a resposta correta é a letra “e”. 
 
07) (FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às diferentes maneiras com que 
uma nota promissória pode ser descontada. 
 Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo o desconto comercial será sempre 
menor que o valor atual segundo o desconto racional. 
 O desconto bancário nada mais é do que o desconto comercial acrescido de uma taxa a titulo 
de despesas bancárias. 
 No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida. 
 A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma mesma taxa, aumenta à medida 
que a data de desconto aproxima-se da data do vencimento. 
 Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos — é 
descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto 
bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga 
pelo cliente é superior a 24% a.a. 
Item 1: 
Vocês já devem Ter visto por aí que a fórmula do desconto comercial é algo parecido como: 
Dc = Nin 
Onde: Dc = Desconto Comercial 
 N = Valor Nominal 
 i = taxa de desconto comercial (unitária) 
 n = número de períodos de antecipação. 
 
Também não deve ser novidade que o desconto racional pode ser calculado pela aplicação da 
seguinte fórmula: 
Dr = 
Nin 
(1 + in) 
 
Dessas duas fórmulas podemos extrair diversas conclusões: 
 
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Anderson Maicon De Souza 
1ª) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional; 
2ª) O desconto comercial representa o montante, tomado como capital o desconto racional. Faço 
essa afirmativa tendo em mente que Nin é o desconto comercial e se substituirmos Nin por Dc 
na fórmula do Dr, teremos: 
Dr = 
Dc 
 Dc = Dr (1 + in) 
(1 + in) 
 
3ª) Qualquer desconto (comercial ou racional) é sempre o valor nominal menos o valor atual: 
 D = N – Va Va = N - D 
Conforme afirmamos, o desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional. Então, o 
valor atual comercial (Vac) é sempre menor do que o valor atual racional (Var); 
4ª) No desconto racional as fórmulas a serem empregadas são semelhantes às fórmulas do juro e 
do montante, tomando-se, para tanto, no lugar do capital o valor atual e no lugar do montante 
o valor nominal. 
Por isso o desconto racional é, também, chamado de desconto “Por Dentro”, pois com a aplicação da 
mesma taxa, por igual período do desconto sobre o valor atual, tornaremos a obter o valor 
nominal (montante); 
5ª) O desconto comercial representa os “juros” sobre o valor nominal (montante), isto é, o seu 
cálculo é feito por fora, sobre o valor nominal 
De tudo o que aqui se disse, a relação existente entre o desconto comercial e o desconto racional, 
seja talvez a de maior importância, pois costuma ser freqüentemente questionada em concursos, 
principalmente nos elaborados pela ESAF e pelo CESPE. Por isso, repito a relação: 
 Dc = Dr x (1 + in) 
 
O item está CERTO. 
 
Item 2: 
O desconto bancário é o próprio desconto comercial, acrescido de taxas. A razão é 
óbvia, pois nessa modalidade de desconto o valor do desconto é maior do que no 
desconto racional. 
O item está CERTO. 
 
Item 3:. 
A taxa implícita é aquela taxa necessária para elevar o Valor Atual ao Valor Nominal em igual 
período adotado para o desconto, ou seja, é a taxa efetiva da operação. 
 
 
Exemplificando: 
Se atribuirmos ao valor nominal o correspondente a R$ 1.000,00, com taxa de desconto comercial 
de 10% ao período e quisermos saber o desconto comercial que esse título sofrerá três meses antes 
do vencimento, teremos: 
N = 1.000,00 
i = 10% ou 0,10 
n = 3 períodos 
Dc = ? 
 Dc = Nin 
 
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Anderson Maicon De Souza 
 Dc = 1.000,00 x 0,10 x 3 
 Dc = R$ 300,00 
Vac = 1.000,00 – 300,00 = R$ 700,00 
Para elevar R$ 700,00 (Va) a R$ 1.000,00 (N), qual a taxa que deve ser aplicada? 
N = Va x (1 + in) 
1.000,00 = 700,00 (1 + 3i) 
1.000,00 = 700,00 + 2.100,00 i 
1.000,00 – 700,00 = 2.100,00 i 
2.100,00 i = 300,00 
i = 300,00  2.100,00 
i = 0,1428, isto é, 14,28% ao período. 
É de se notar que a taxa implícita (efetiva) supera largamente a taxa da operação. 
O cálculo da taxa efetiva ou implícita pode ser obtida, também, pela aplicação da 
seguinte fórmula: 
ief 
= 
idc 
(1 – idc x n) 
 
Onde: ief = taxa efetiva 
 idc = taxa de desconto comercial 
 n = número de períodos de antecipação 
Salienta-se, ainda, que quanto maior for o número de períodos de antecipação (n), 
maior será a diferença entre a taxa da operação e a taxa efetiva. 
Se usarmos o exemplo anterior e trocarmos o período de antecipação para somente um 
período (n = 1), obteremos a seguinte taxa efetiva: 
ief 
= 
0,10 
= 
0,1
0 
= 0,1111 ou 11,11% 
(1 – 0,10 x 
3) 
0,9 
Comparando os dois resultados, comprova-se o antes afirmado: A taxa efetiva é tanto 
maior quanto maior for o período de antecipação do desconto. 
O item está ERRADO. 
 
 
Item 4: 
Podemos aplicar o raciocínio desenvolvido no item anterior, relativamente à taxa 
efetiva. 
Também podemos utilizar a relação existente entre o desconto comercial e o desconto 
racional, pois mudando apenas o “n”, a diferença entre as duas modalidades de 
desconto aumenta à medida que nos afastamos do prazo de vencimento. 
Ressalte-se que o “n” diminui à medida que nos aproximamos da data do vencimento. 
O item está ERRADO. 
 
Item 5: 
Dc = Nin 
 
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Anderson Maicon De Souza 
Dc = 1.000,00 x 0,18 x 2 
Dc – 360,00 
 Va = N – D 
 Va = 1.000,00 – 360,00 
 Va = R$ 640,00 
Para elevar o valor de R$ 640,00 a R$ 1.000,00, em dois anos, é necessário que se 
utilize uma taxa de 25% ao ano no regime de juros compostos. 
M = 1.000 
C = 640 
n = 2 
i = ? 
 1.000 = 640 (1 + i)2 
 (1 + i)2 = 1.000  640 
 (1 + i) = (1,5625)1/2 
 1 + i = 1,25 
 i = 0,25, isto é, 25% 
O item está CERTO. 
 
08) (FISCAL-SC/1998) O valor nominal de um título de crédito descontado quatro meses e meio antes 
de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% ao ano que sofreu um desconto simples por fora no 
valor de R$ 225,00, vale: 
a) R$ 100.000,00 b) R$ 10.000,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 30.000,00 
O desconto simples por fora é o próprio desconto comercial. 
A taxa de desconto é de 6% ao ano, o que eqüivale a 0,5% ao mês. O prazo de antecipação é de 
4,5 meses. 
A fórmula para calcular o desconto comercial é: 
Dc = Nin 
Assim, substituindo as variáveis na fórmula teremos: 
225,00 = N x 0,005 x 4,5 
0,0225 N = 225 
N = 225 / 0,0225 
N = R$ 10.00,00 
Logo a resposta correta é a letra “B”. 
 
 
09) (AFRF-2000/2001 – ESAF) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses 
antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples 
correspondente, istoé, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. 
a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00 
Alguém duvida que uma questão do tipo desta pode ser cobrada no próximo concurso?!! 
Vocês já estão devidamente instruídos para resolver esta e outras questões deste tipo. O gabarito 
esta representado pela letra “a”. 
 
10) (Bacen-2001) Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 três meses antes 
do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto 
racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. 
a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620,00 
Não posso subestimar a inteligência de vocês, por isso nessa só forneço o gabarito que é a letra “a”. 
 
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Anderson Maicon De Souza 
 
11) (AFRF-2002-A/Esaf) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do 
seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma 
taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 
Da mesma forma como na questão anterior, não é justo que eu resolva esta. Mas tomem cuidado, 
isto poderá aparecer na próxima prova!!! Gabarito letra “e”. 
 
Já que estamos nessa, aí vão mais uma de “sobremesa”!!! 
1 - Uma operação com LTN, que tem 39 dias para o seu vencimento, está sendo negociada a uma taxa de 
rentabilidade de 1,20% ao mês. A taxa de desconto anual correspondente será de: 
a) 13,58% b) 13,78% c) 13,98% d) 14,18% e) 14,48% 
Já resolvemos um exercício semelhante a este, porém aqui o detalhe é em relação ao “n” para o 
qual devemos adotar o valor de 39/360, se quisermos trabalhar com a taxa anual, ou então o “n” 
terá de ser 1,3 se quisermos trabalhar com a taxa em meses. 
Adotando o “n” em anos, devemos adotar também a taxa em anos, que para o caso será de 14,40% 
ao ano ( 12 x 1,2%). 
Assim, teremos: 
ief = 
idc 
1 - idc x n 
 
0,144 = 
idc 
1 - idc x 39/360 
 
0,144 x (1 – idc x 39/360) = idc 
0,144 – 0,0156 idc = idc 
0,144 = 1,0156 idc 
idc = 0,144 / 1,0156 
idc = 0,141788, isto é, aproximadamente 14,18% ao ano. 
Logo, a alternativa correta é da letra “d”. 
Por hoje é isso. Em breve trarei a resolução das questões faltantes do concurso de AFPS-2002. 
Um forte abraço a todos e bons estudos!!!