Aula 01 - Percolação de Água em Obras de Terra

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Percolação de Água em Obras de 
Terra
Prof. Me. José Daniel Jales Silva
<daniel.jales@ufersa.edu.br>
Pau dos Ferros - 2019
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
CENTRO MULTIDISCIPLINAR PAU DOS FERROS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
OBRAS EM TERRA
Curso de Engenharia Civil – Obras em Terra Prof. Me. José Daniel
Fluxo Bidimensional
 Fluxo é unidimensional quando ocorre sempre na mesma direção.
 A direção do fluxo e o gradiente são constantes em qualquer ponto.
 Caso dos permeâmetros vistos e de areias uniformes.
 Fluxo Tridimensional – Partícula se desloca em qualquer direção.
Fluxo Bidimensional
As partículas seguem caminhos 
curvos mas contidos em planos 
paralelos.
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Fluxo Bidimensional
O estudo deste fluxo é muito facilitado pela representação 
gráfica dos caminhos percorridos pela água e da 
correspondente dissipação de carga!
Linhas de Fluxo
Linhas Equipotenciais
“Fluxo laminar”
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Fluxo Uniforme
a) Na face inferior, a carga altimétrica é
nula, a carga piezométrica é de 20 cm e
a carga total é de 20 cm;
b) Na face superior, a carga altimétrica é
de 12 cm, a carga piezométrica é de 2
cm e a carga total é de 14 cm;
c) A diferença de carga, de 6 cm, dissipa-
se ao longo de 12 cm. O gradiente
hidráulico, portanto, é de 0,5;
d) A vazão pela lei de Darcy, 𝑞 = 𝑘. 𝑖. 𝐴 é
igual a 𝑞 = 0,05 ∙ 0,5 ∙ 8 = 0,2 𝑐𝑚3/𝑠
8 cm
1 cm
k=0,05 cm/s
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Linhas de Fluxo
 Qualquer gota de água que penetra na
face inferior da areia se dirige à face
superior segundo uma linha reta. (Linhas
de Fluxo).
Traçando uma linha a cada 2 cm
tem-se 4 faixas chamadas canais de fluxo.
A vazão de cada canal é igual a
dos demais pois todos tem a mesma
largura.
8 cm
1 cm
Linhas de Fluxo
Linhas de Equipotenciais
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Linhas Equipotenciais
Em qualquer ponto da superfície
inferior, as cargas totais são iguais. Pode-se
dizer que representa uma linha
equipotencial.
A linha superior também é uma
linha equipotencial.
A diferença de carga de 6 cm
dissipa-se linearmente ao longo da linha
de percolação.
Em todos os pontos a 2 cm da face
inferior, ocorre uma dissipação de 1 cm de
carga, pois o gradiente é de 0,5 a cada 1
cm.
8 cm
1 cm
Linhas de Fluxo
Linhas de Equipotenciais
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Linhas Equipotenciais
Nesse caso, qualquer linha
horizontal indica uma equipotencial.
As linhas equipotenciais formam,
com as linhas de fluxo anteriormente
traçadas, retângulos de 2 x 3 cm.
8 cm
1 cm
Linhas de Fluxo
P/ uma 
equipotencial 
a cada 3 cm
4 faixas iguais 
de perda de 
potencial
∆ℎ =
6
4
= 1,5 𝑐𝑚
Linhas de Equipotenciais
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Linhas Equipotenciais
A definição de que as linhas de fluxo devem determinar canais de 
igual vazão e que as equipotenciais devem determinar faixas de 
perda de potencial de igual valor leva ao fato de que, no fluxo 
unidimensional, a rede resultante é de retângulos.
Entretanto, tanto para o traçado da rede como para os cálculos, é 
conveniente escolher espaçamentos iguais entre as linhas.
Nesse casso poderíamos traçar as linhas equipotenciais a cada 2 cm.
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Rede de Fluxo
A rede de fluxo define:
Número de canais de fluxo: 𝑁𝑓
Número de faixas de perda de potencial: 𝑁𝑑
Dimensões de um quadrado genérico – b = largura do
canal de fluxo e l = distância entre equipotenciais.
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Linhas Equipotenciais
8 cm
1 cm
𝑁𝑓 = 4
𝑁𝑑 = 6
 𝑏 = 𝑙 = 2 𝑐𝑚 para todos
os quadrados
Linhas de Fluxo
Linhas de Equipotenciais
𝑁𝑑 e 𝑁𝑓 não precisam ser números 
inteiros !
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Perda de Carga entre Equipotenciais
A construção com igual espaçamento entre as linhas
equipotenciais teve como objetivo a mesma perda de carga em cada
faixa de perda de potencial.
Então, em cada uma, a perda é:
∆𝒉 =
𝒉
𝑵𝑫
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Gradiente
O gradiente vale:
No exemplo anterior ele vale:
𝒊 =
∆𝒉
𝒍
=
𝒉
𝒍 ∙ 𝑵𝑫
𝒊 =
𝒉
𝒍 ∙ 𝑵𝑫
=
𝟔
𝟐 × 𝟔
= 𝟎, 𝟓
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Vazão
Para o cálculo da vazão, consideremos um elemento qualquer
da rede.
Pela Lei de Darcy, a vazão por esse elemento vale:
A vazão é a mesma em todos os elementos ao longo do canal
de fluxo a que pertence esse elemento. Nos outros canais, a vazão
também é a mesma (princípio de construção). A vazão total vale:
𝒒 = 𝒌 ×
𝒉
𝒍 ∙ 𝑵𝑫
× 𝒃 = 𝒌 ×
𝒉
𝑵𝑫
𝑸 = 𝒌 × 𝒉 ×
𝑵𝑭
𝑵𝑫
𝑸 = 𝟎, 𝟎𝟓 × 𝟔 ×
𝟒
𝟔
= 𝟎, 𝟐 𝒄𝒎3/𝒔
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Rede de Fluxo Bidimensional
A redes de fluxo bidimensionais devem ser traçadas segundo
os mesmos princípios:
 Canais de igual vazão ;
 Zonas de igual perda de potencial.
Consideremos um permeâmetro
de formato curvo!
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Linhas de Fluxo
A face interna do permeâmetro, o
arco AC, é uma linha de fluxo, na qual o
gradiente é igual a 6/12 = 0,5.
A face externa, o arco BD, também é
uma linha de fluxo, ao longo da qual o
gradiente é igual a 6/24 = 0,25.
Todas as outras linhas de fluxo serão
arcos de círculos concêntricos. Como o
comprimento de cada arco é diferente,
também são os gradientes.
𝒗 = 𝒌 ∙ 𝒊
𝒗
𝒊
= 𝒌
𝑸 = 𝒗 × 𝑨 𝒊 𝒗 𝑨
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Análise das Equipotenciais
A diferença de carga que
provoca a percolação é de 6 cm. Essa
carga se dissipa linearmente ao longo
de cada linha de fluxo.
Ao se optar por traçar linhas
equipotenciais que definam faixas de
perda de potencial iguais a 0,5 cm,
existirão 12 faixas (6/0,5 = 12).
Na superfície interna elas
distam 1 cm entre si e na externa 2
cm.
Esta construção determina
que as equipotenciais sejam retas
convergentes e ortogonais às linhas
de fluxo.
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Escolha das Linhas de Fluxo
Os canais de fluxo devem ter a
mesma vazão, além disso é útil que as
equipotenciais formem com as linhas de
fluxo aproximadamente figuras quadradas.
Assim, a primeira linha de fluxo a
partir da superfície interna deve afastar-se
um pouco mais de 1 cm.
Junto à superfície externa o
espaçamento se aproxima a 2 cm.
Com essa construção o número de
canais de fluxo é 5,7. Sendo assim o último
canais tem largura de 0,7 da distâncias entre
as equipotenciais e 70% da vazão.
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Escolha das Linhas de Fluxo
Ao analisar-se a vazão em cada canal pela Lei 
de Darcy, tem-se:
A vazão em todos os canais será a mesma se 
a relação b/l for constante.
𝒒 = 𝒌 ×
∆𝒉
𝒍
× 𝒃
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Linhas Equipotenciais
JUSTIFICATIVA PARA A ORTOGONALIDADE ENTRE AS LINHAS DE FLUXO E
EQUIPOTENCIAIS
No fluxo entre duas equipotenciais
o gradiente é máximo pelo caminho
normal às equipotenciais onde a distância
é mínima.
Em solos isotrópicos, o fluxo segue
o caminho de maior gradiente, da mesma
forma que, ao colocar-se uma esfera numa
certa cota de um talude ela rola pelo
caminho mais íngreme que é normal às
curvas de nível do terreno.
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Traçado das Redes de Fluxo
O método mais comum de determinação de redes de fluxo é a construção
gráfica.
É feita por tentativas, a partir da definição das linhas limites. Por exemplo,
no caso de percolação por uma pranchada, as linhas que contornam a pranchada e
o fundo da camada permeável sãolinhas de fluxo, e a superfície do terreno
representa as linhas equipotenciais inicial e final.
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Linhas de Fluxo
Traçado das Redes de Fluxo
 É a trajetória percorrida pela água no interior do maciço 
de solo
Linhas de Fluxo = descrevem o “caminho” d’água
Equipotenciais = pontos com igual carga total
Linhas de Equipotenciais Limites = BA/CD
Linhas de Fluxo-Limite = AE/EC/FG
Equipotencial Limite
Equipotenciais
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Traçado das Redes de Fluxo
 É a trajetória percorrida pela água no interior do maciço 
de solo
Equipotenciais
Linhas de Fluxo
Linhas de Fluxo = trajetória do fluxo
Equipotenciais = pontos com igual carga total
Linhas de Equipotenciais Limites = AB
Linhas de Fluxo-Limite = AD/BC
Linha de Saturação = BC
Linha Freática = BC/CD (pressão neutra nula)
Linha Livre = CD
BC e CD  H = z (carga altimétrica apenas)
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Traçado das Redes de Fluxo
 Regras
 A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas e a 
vazão entre duas linhas de fluxo consecutivas devem ser 
constantes.
Lei de Darcy no elemento i:
Conceito de Rede:
Rede composta por regiões formando
“quadrados” ! (kv = kh = isotropia)
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Traçado das Redes de Fluxo
 Regras – Caso de Fluxo Não Confinado – Linha Freática 
a ser determinada
 Faz parte do problema determinar a posição da Linha freática
 Sua localização é feita por tentativa
 Deve satisfazer:
A)A carga total ao longo da LF é somente altimétrica
B)A LF deve ser perpendicular ao talude de montante
C) A LF é tangente ao talude de jusante, na saída da água ou 
pode ser vertical, no sentido da gravidade
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Traçado das Redes de Fluxo
 A)A carga total ao longo da LF é somente altimétrica
 Sendo assim a diferença entre as ordenadas dos pontos de 
encontro de duas equipotenciais consecutivas com a linha 
freática é constante.
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Traçado das Redes de Fluxo
 Regras – Caso de Fluxo Não Confinado – Linha Freática 
a ser determinada
 B)A LF deve ser perpendicular ao talude de montante que é uma 
equipotencial. Na Figura b ocorre uma exceção pois a linha não 
poderia subir e depois descer.
Enrocamentos
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Traçado das Redes de Fluxo
 Regras – Caso de Fluxo Não Confinado – Linha Freática 
a ser determinada
 C) A LF é tangente ao talude de jusante, na saída da água ou 
pode ser vertical, no sentido da gravidade
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Traçado das Redes de Fluxo
 Observações Importantes:
 O processo é iterativo! Não é necessário acertar na primeira 
tentativa!
 Transições entre trechos retos e cursos das linhas devem ser 
suaves;
 Em cada canal, o tamanho dos “quadrados” varia gradualmente.
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Considerações sobre o Traçado
 Deve-se aproveitar todas as oportunidades para se estudar o
aspecto de redes de fluxo bem construídas;
 Para o traçado de uma nova rede, três ou quatro canais de fluxo são
suficientes na primeira tentativa.
 Sempre observe a aparência de toda a rede. Deixe os detalhes para
depois.
Se as redes forem bem traçadas, várias pessoas podem chegar ao 
mesmo resultado!
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Outros Métodos de Traçado de Redes de Fluxo
Redes de fluxo podem ser obtidas por outros métodos, como
os modelos físicos. Quando se coloca uma areia em uma caixa de
madeira com uma face de vidro, cria-se uma percolação e, por meio
de corantes, observam-se linhas de fluxo.
A partir delas são traças as equipotenciais.
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Outros Métodos de Traçado de Redes de Fluxo
Pode-se também aplicar analogias com outros problemas
físicos, como:
 Dissipação de calor;
 Dissipação de potencial elétrico
 Ambos expressas pela equação de Laplace
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Outros Métodos de Traçado de Redes de Fluxo
Pode-se também resolver os problemas de percolação por
métodos numéricos como análise por elementos finitos.
Neste caso pode-se calcular a carga total em cada ponto com
elevada precisão através de softwares que trabalham até mesmo com
materiais não homogêneos.
Software GeoSeep
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Interpretação de Redes de Fluxo
Com uma rede de fluxo, como a apresentada na figura abaixo, obtêm-se as
seguintes informações:
VAZÃO: é determinada pela fórmula:
𝑸 = 𝒌 × 𝒉 ×
𝑵𝑭
𝑵𝑫
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Interpretação de Redes de Fluxo
Neste exemplo há 5 canais de fluxo e 14 faixas de perda de potencial.
Para um 𝑘 = 10−4 Τ𝑚 𝑠, por exemplo:
𝑸 = 𝟏𝟎−𝟒 × 𝟏𝟓, 𝟒 ×
𝟓
𝟏𝟒
= 𝟓, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 Τ𝒎³ 𝒔 ≈ 𝟐 Τ𝒎³ 𝒉
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Interpretação de Redes de Fluxo
GRADIENTE: a diferença de carga total que provoca percolação, dividida
pelo número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de uma
equipotencial para a seguinte.
No exemplo considerado a perda de carga entre equipotenciais é 
cerca de 15,4 / 14 = 1,1 m.
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Interpretação de Redes de Fluxo
Essa perda de carga, dividida pela distância entre as equipotenciais, é o
gradiente.
Como a distância entre equipotenciais é variável ao longo de uma linha de
fluxo, o gradiente varia de ponto para ponto.
No ponto A o gradiente é obtido pela divisão de 1,1 por 6 que é a distância entre 
as equipotenciais nesse ponto, e vale 0,18.
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Interpretação de Redes de Fluxo
De particular interesse é o gradiente na face de saída do fluxo.
Qual o ponto mais crítico? No pé de Jusante da 
Barragem, onde o 
gradiente é maior.
(Areia Movediça)
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Análise de Cargas e Pressões
Consideremos o ponto A.
- Carga altimétrica é a cota do ponto. Se referida à superfície inferior da camada
permeável, vale:
ℎ𝐴 = 35 𝑚
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Análise de Cargas e Pressões
Consideremos o ponto A.
- A carga total é a altura que a água subiria num tubo colocado nesse ponto. Este
encontra-se na equipotencial limite entre a 6ª e a 7ª faixa de perda de potencial.
- Até essa equipotencial ocorre uma perda de carga igual a 1,1 × 6 = 6,6 𝑚. Logo:
𝒉𝑻 = 𝟓𝟓, 𝟒 − 𝟔, 𝟔 = 𝟒𝟖, 𝟖 𝒎
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Análise de Cargas e Pressões
Consideremos o ponto A.
- A carga piezométrica é a diferença das duas:
- A pressão da água em num ponto qualquer é a carga piezométrica expressa em
unidades de pressão. Vale:
𝒉𝒑 = 𝟒𝟖, 𝟖 − 𝟑𝟓 = 𝟏𝟑, 𝟖 𝒎
𝒖 = 𝟏𝟑, 𝟖 × 𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟖 𝒌𝑷𝒂
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Análise de Cargas e Pressões
Analisando outros pontos:
- B possui a mesma carga total que o ponto A, pois todos os pontos de uma
equipotencial têm a mesma carga total;
- C tem a mesma carga altimétrica que o ponto A;
- D tem a mesma carga piezométrica que o ponto A.
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 Com a Rede de Fluxo Desenhada, pode-se:
 Força de Percolação (F) – através do cálculo do gradiente médio 
(i) nesta região:
OBSERVAÇÕES:
1) Para o cálculo da vazão, não é necessário uma boa precisão no traçado da rede
2) O contrário acontece para o cálculo do gradiente ou da pressão neutra em 
pontos do maciço.
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Fluxos Tridimensionais
Para fluxos tridimensionais usa-se a 
Equação de Laplace que é base para a 
dedução da equação do adensamento.
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Exercício – Traçado de Rede de Fluxo
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 Solução – (a) – Esboço da rede de fluxo
56
42
28
14
Portanto: Nc = 3 ; Nq = 4
10 m
27 m
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Dimensionamento de Filtros Horizontais de 
Barragens
 Problema: 
 Determinar a espessura do filtro (Hf) para receber a vazão Q de 
água no maciço da barragem;
 Duas hipóteses: 
i) Subestima a espessura Hf
ii) Superestima Hf
 Em ambas, considera-se que a 
altura de água na entrada do filtro
seja igual sua espessura Hf
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Dimensionamento de Filtros Horizontais de 
Barragens
i) subestima a espessura Hf
Considera-se que o filtro trabalha em carga máxima;
Espessura Hf subestimada!
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Dimensionamento de Filtros Horizontais de 
Barragens
Aplica-se a Equação de Dupuit:
ii) Subestima a espessura do filtro
Considera-se que o filtro trabalha livremente,
com presença de
Linha Freática!
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Dimensionamento de Filtros Horizontais de 
Barragens
ii) Superestima a espessura
Considera-se que o filtro trabalha livremente,
com presença de
Linha Freática!
Aplica-se a Equação de Dupuit:
Permeâmetro de Dupuit: fluxo não 
confinado:
Valores de Hf possíveis:
Condição Seção Plena Condição Seção Livre
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Sistemas de Drenagem Interna em barragem de terra 
(BT)
U
F
E
R
S
A
 –
E
N
C
-
O
b
ra
s 
d
e
 T
e
rr
a
 –
P
ro
f.
 J
o
h
n
 E
lo
i
5
0
DIMENSIONAMENTO DOS FILTROS
Procedimentos:
1. Traçado da Rede de fluxo para a determinação da quantidade de água 
(vazão) a ser captada pelos filtros (fácil), em função das estimativas dos 
coeficientes de permeabilidade do maciço compactado e dos maciços de 
fundação (difícil);
2. Fixam-se valores para os coeficientes de permeabilidade dos filtros (função 
dos materiais disponíveis) e calculam-se as suas espessuras, com base na 
Lei de Darcy, ou na Equação de Dupuit;
3. Verifica-se se os materiais dos filtros e os solos que os envolvem satisfazem 
o Critério de Filtro de Terzaghi, para se ter uma garantia segura contra o 
piping.
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Sistemas de Drenagem Interna em barragem de terra 
(BT)
UFERSA – ENC- Obras de Terra – Prof. John Eloi
5
1
DIMENSIONAMENTO DOS FILTROS
Cálculo da largura dos filtros (B):
• Para os filtros verticais 
Fluxo Vertical:
Q é a vazão absorvida pelo filtro;
kfv é o seu coeficiente de permeabilidade vertical;
Lei de Darcy
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Sistemas de Drenagem Interna em barragem de terra 
(BT)
UFERSA – ENC- Obras de Terra – Prof. John Eloi
5
2
DIMENSIONAMENTO DOS FILTROS
Proteção contra o PIPING
• Os filtros têm de possuir:
• Espaços grandes para permitir a 
passagem da água;
• Espaços pequenos para reter o 
solo.
• Permeabilidade do filtro deve 
ser, pelo menos, de 10 a 20 
vezes a do solo a ser protegido;
• Critério de Terzaghi
• A permeabilidade está 
ligada aos vazios do solo;
• O tamanho dos vazios está 
ligado à granulometria;
• O índice de vazios depende 
mais das partículas 
menores
Critério de filtros e transição
Terzaghi propôs:
• Proteção contra o “piping” 
• Permeabilidade:
Os índices 15 e 85 referem-se às 
porcentagens do material, em peso, com 
partículas menores do que o diâmetro D, a 
eles associados.
atendidas 
simultaneamente
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Exercício
Para o Exercício 1, dimensionar os filtros horizontal e vertical e escolher o material
mais adequado segundo os critérios de Tezaghi,
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Exercício
Para o Exemplo Resolvido determinar a subpressão total que a barragem sofre
quando a água acumulada no reservatório atinge a cota de 15,4 m acima da cota de
jusante, considerando que a base da barragem tem 56 m de comprimento.
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Tapete Impermeável
Obrigado !