topologia

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TOPOLOGIA GERAL
Mauricio A. Vilches
Departamento de Análise - IME
UERJ
2
Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
Provavelmente a Topologia é a mais novas das linhas da Matemática clássica, pois a Topolo-
gia aparece no século XV II com o nome de Analyse Situs, isto é análise da posição. Muitos
autores concordam que o primeiro a tentar estudar propriedades topológicas foi Leibniz, em
1679. Posteriormente, Euler em 1736 publica a solução do problema das pontes da cidade de
Köenigsberg, institulado ”Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”. As bases da
Topologiamoderna foram estabelicidas no Congresso Internacional deMatemática de 1909, em
Roma, onde Riesz propõe um carater axiomático da Topologia, baseado na teoria dos conjun-
tos, sem o conceito de distância subjacente. Em 1914, Hausdorff define os conjuntos abertos
através de axiomas, sem consideraçãoes métricas. Existem outras vertentes onde a topologia
encontrou novos impulsos para seu desenvolvimento, por exemplo, na Análise Funcional e nas
Equações Diferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente.
A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: não in-
teressa a distância, os ângulos nem a configuração dos pontos. Na Topologia, objetos que
possam transformar-se em outros, através de funções contı́nuas reversı́veis, são equivalentes e
indistinguiveis. Por exemplo, cı́rculos e elipses, esferas e paralelelpı́pedos.
A Topologia é pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moderna, da Geo-
metria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de efervescente pesquisa.
Mauricio A. Vilches
Rio de Janeiro
4
Conteúdo
1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 7
1.1 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Pontos e Conjuntos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Topologia Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.2 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.3 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.4 Espaços Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Topologia de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.1 Topologia de Zariski em Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 31
2.1 Funções Contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Continuidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Topologia Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Funções Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 HOMEOMORFISMOS 41
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Exemplos de Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Homeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 TOPOLOGIAQUOCIENTE 55
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 O Cı́rculo como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2 O Cilindro como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.3 A Faixa de Möebius como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.4 A Esfera como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.5 O Toro como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5
6 CONTEÚDO
4.2.6 A Garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.7 O Cone e Suspensão de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Ações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.1 G-espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.2 O Cı́rculo como Z-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.3 O Toro como Z × Z -espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 COMPACIDADE 73
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Compacidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 AXIOMAS DE SEPARAÇÃO 79
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Espaços de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Espaços de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.6 Variedades Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.7 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 CONEXIDADE 91
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Aplicacões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Conexidade por Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Bibliografia 100
Capı́tulo 1
ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
A seguir apresentaremos a definição de Topologia que é, essencialmente, a generalização de
algumas das propriedades intrı́nsecas dos intervalos abertos em R.
1.1 Topologias e Conjuntos Abertos
Seja X um conjunto não vazio. Denotemos por P(X) a famı́lia de todos os subconjuntos deX
e por Ac = X −A o complementar de A emX.
Definição 1.1. Uma topologia sobre X é uma famı́lia T ⊂ P(X) tal que:
1. X, ∅ ∈ T.
2. Dada uma famı́lia arbitrária {Aα ∈ T /α ∈ Γ}, então:
⋃
α∈Γ
Aα ∈ T.
3. Dados B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então:
n
⋂
i=1
Bi ∈ T.
Em outras palavras, uma topologia é uma famı́lia de subconjuntos de X tais que o conjunto
vazio e o conjunto X devempertencer à topologia; a reunião arbitrária de elementos da topo-
logia deve pertencer à topologia e a interseção finita de elementos da topologia deve pertencer
à topologia.
Os elementos de T são ditos conjuntos abertos deX ou simplesmente abertos deX.
O par
(
X,T
)
é chamado espaço topológico.
1.2 Exemplos
A seguir apresentaremos uma série de exemplos que utilizaremos em todos os capı́tulos se-
guintes.
[1] Todo conjuntoX não vazio possui as seguintes topologias:
Tind = {X, ∅}, chamada topologia indiscreta. Logo, os únicos subconjuntos abertos de X são
∅ eX.
7
8 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Tdis = P(X), chamada topologia discreta. Logo, todos os subconjuntos deX são abertos.
SeX tem mais de 2 elementos Tind 6= Tdis.
[2] Seja X = {a, b, c}. Verifiquemos se as seguintes famı́lias de subconjuntos de X são uma
topologia emX.
1. T1 = {∅, X, {a}}.
2. T2 = {∅, X, {a}, {b}}.
3. T3 = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}}.
Claramente, T1 e T3 são topologias paraX. T2 não é uma topologia emX, pois:
{a} ∪ {b} /∈ T2.
[3] SejaX = {a, b}. A topologia:
Tsier = {∅, X, {a}}
é dita de Sierpinski.
[4] SejaX = R e definamos a seguinte topologia:
T = {∅, A ⊂ R},
onde A ∈ T se, e somente se para todo x ∈ A existe um intervalo aberto (a, b) tal que:
x ∈ (a, b) ⊂ A.
1. Claramente ∅, R ∈ T.
2. Seja {Aα ∈ T /α ∈ Γ}, então:
⋃
α∈Γ
Aα ∈ T.
De fato, seja x ∈
⋃
α∈Γ
Aα, então existe α0 ∈ Γ tal que x ∈ Aα0 ∈ T; logo, existe (a, b) e:
x ∈ (a, b) ⊂ Aα0 ⊂
⋃
α∈Γ
Aα.
3. Sejam B1, B2 ∈ T; então, dado x ∈ B1 ∩ B2 temos que x ∈ B1 ∈ T e x ∈ B2 ∈ T, logo
existem (a1, b1) e (a2, b2) tais que x ∈ (a1, b1) ⊂ B1 e x ∈ (a2, b2) ⊂ B2. Se denotamos por
a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}, temos:
x ∈ (a, b) ⊂ B1 ∩B2.
Por indução: Se B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então
n
⋂
i=1
Bi ∈ T.
Esta topologia é chamada euclidiana ou usual e será denotada por Tus.
[5] SejaX = R2 e definamos a seguinte topologia:
T = {∅, A ⊂ R2},
1.2. EXEMPLOS 9
onde A ∈ T se, e somente se para todo (x, y) ∈ A existe um retângulo aberto (a, b) × (c, d) tal
que:
(x, y) ∈ (a, b) × (c, d) ⊂ A.
De forma análoga ao exemplo anterior, T é uma topologia e é também chamada euclidiana ou
usual e será denotada por Tus. Não é difı́cil ver que esta topologia pode ser estendida a R
n.
[6] Seja R2 e consideremos a famı́lia:
Tk = {∅, R2, Gk / k ∈ R},
onde:
Gk = {(x, y) ∈ R2 /x > y + k}.
Então
(
R2,Tk
)
, é um espaço topológico.
1. ∅, R2 ∈ Tk, por definição.
2. Seja Gk ∈ Tk tal que k ∈M ⊂ R:
SeM é limitado inferiormente, sejam = inf M , então:
⋃
k∈M
Gk = Gm ∈ Tk.
De fato, seja (x, y) ∈
⋃
k∈M
Gk; então, existe k ∈M tal que (x, y) ∈ Gk, isto é x− y > k ≥ m; logo,
(x, y) ∈ Gm e
⋃
k∈M
Gk ⊂ Gm.
Seja (x, y) ∈ Gm; então, x − y > m; logo, existe k ∈ M tal que x − y > k, caso contrário x − y
seria uma cota inferior deM maior quem; então:
Gm ⊂
⋃
k∈M
Gk.
SeM não é limitado inferiormente, então:
⋃
k∈M
Gk = R
2.
De fato, seja (x, y) ∈ R2, então, existe k ∈M tal que x− y > k; caso contrário,M seria limitado
inferiormente por x− y, logo (x, y) ∈ Gk.
3. Sejam Gk1 , Gk2 ∈ Tk e considere k1 = max{k1, k2}; então,Gk1 ⊂ Gk2 e:
Gk1 ∩Gk2 = Gk1 ∈ Tk.
[7] SejaX um conjunto não vazio e:
T = {A ⊂ X /Ac é finito ou é X}.
T é uma topologia paraX.
1. Claramente, X e ∅ pertencem a T.
10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2. Seja {Aα ∈ T /α ∈ Γ}; então:
⋃
α∈Γ
Aα ∈ T.
De fato:
(
⋃
α∈Γ
Aα
)c
=
⋂
α∈Γ
Acα,
como Acα é finito, a interseção é finita ou é todoX.
3. Sejam B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então:
( n
⋂
i=1
Bi
)c
=
n
⋃
i=1
Bci ,
a união é finita ou todoX, pois cada conjunto é finito ou todoX.
Esta topologia é chamada de cofinita e denotada Tcof . SeX é finito, então Tcof = Tdis.
Seja X = R com a topologia Tcof . O conjunto (−∞, 1) não é aberto nesta topologia, pois seu
complementar é [1,+∞) e não é finito nem igual a R. Mas, o conjunto (−∞, 1) ∪ (1,+∞) é
aberto. Nesta topologia os abertos são da forma:
A = R −
n
⋃
i=1
{xi /xi ∈ R}.
Seja X = R com a topologia Tus. Se A ⊂ R é finito, então A não é aberto. Analogamente em
Rn.
1.3 Conjuntos Fechados
Os conjuntos fechados são os duais dos conjuntos abertos, num espaço topológico. Veremos
que a topologia num espaço topológico, também pode ser caracterizada atraves dos conjuntos
fechados.
Definição 1.2. Seja F ⊂ X. F é dito fechado em X se F c ∈ T.
Isto é, um conjunto é fechado se, e somente se seu complementar é um conjunto aberto.
Exemplo 1.1.
[1] X e ∅ são fechados emX.
[2] Seja
(
X,Tsier
)
; então os fechados deX são ∅, X e {b}.
[3] ConsidereX = {a, b, c} com a T3 do exemplo [??]. Determinemos os conjuntos fechados de
X.
Primeiramente X e ∅ são fechados emX. Os conjuntos {a} e {b} não são fechados; de fato:
{a}c = {b, c} /∈ T3
{b}c = {a, c} /∈ T3.
Por outro lado {c}, {a, c} e {b, c} são fechados em X:
{c}c = {a, b} ∈ T3
{a, c}c = {b} ∈ T3
{b, c}c = {a} ∈ T3.
1.3. CONJUNTOS FECHADOS 11
Teorema 1.1. Seja
(
X,T
)
espaço topológico e F a famı́lia de conjuntos fechados; então:
1. X, ∅ ∈ F.
2. Sejam F1, F2, . . . , Fn conjuntos fechados emX; então:
n
⋃
i=1
Fi
é fechado em X.
3. Sejam Fα ∈ F, arbitrários tal que α ∈ Γ, então:
⋂
α∈Γ
Fα ∈ F.
A prova é imediata. De fato:
(
n
⋃
i=1
Fi
)c
=
n
⋂
i=1
F ci ∈ T
(
⋂
α∈Γ
Fα
)c
=
⋃
α∈Γ
F cα ∈ T.
Exemplo 1.2.
Seja
(
R,Tus
)
; então todo conjunto finito é fechado. De fato, dado x ∈ R, então {x} é fechado
em R pois {x}c = (−∞, x) ∪ (x,+∞); logo se A = {x1, x2, . . . xn} temos que:
A =
n
⋃
i=1
{xi}.
O exemplo anterior vale em Rn.
A propriedade de ser aberto ou fechado é independente uma da outra. Um conjunto pode ser
simultaneamante fechado e aberto, aberto e não fechado, fechado e não aberto ou nehum dos
dois.
A união infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado. Por exemplo, para
todo subconjunto B ⊂ X, temos:
B =
⋃
b∈B
{b}.
Uma topologia num espaço topológico também pode ser caracterizada, pelos seus conjuntos
fechados.
Exemplo 1.3.
[1] SeX tem a topologia discreta, todo subconjunto deX é aberto e fechado.
[2] Seja X = R − {0} com a topologia euclidiana; então os conjuntos (−∞, 0) e (0,+∞) são
abertos. Como cada um deles é complementar do outro, também são fechados.
[3] O conjunto Q ⊂ R não é aberto nem fechado com a topologia usual e nem com a topologia
cofinita de R.
12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Definição 1.3. Sejam T1 e T2 topologias sobre X. Se T1 ⊂ T2, então dizemos que a topologia T2 é mais
fina que T1.
Exemplo 1.4.
Em R2, Tcof é menos fina que a Tus. De fato, seja A ∈ Tcof ; então Ac é finito; logo Ac é fechado
em Tus e A é aberto em Tus.
As topologias sobre um conjunto nem sempre podem ser comparadas. Por exemplo: SejaX =
{a, b} com as topologias: T1 = {∅, {a}, X} e T2 = {∅, {b}, X}. então T1 e T2 não podem ser
comparadas.
Para toda topologia T sobreX temos:
Tind ⊂ T ⊂ Tdis.
No exemplo [1], temos:
Tind ⊂ T1 ⊂ T3 ⊂ Tdis.
1.4 Bases
Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário descrever todos os
conjuntos abertos da topologia, mas apenas alguns conjuntos especiais, os chamados abertos
básicos da topologia.
Sejam
(
X,T
)
um espaço topológico eB uma famı́lia de subconjuntos deX tal queB ⊂ T.
Definição 1.4. B é uma base para T se para todo A ∈ T, temos que:
A =
⋃
B∈B
B.
Como B ⊂ T, então toda união de elementos de B também pertence a T. Os elementos de B
são ditos abertos básicos da topologia.
SeB é uma base de T, dizemos queB gera a topologia T, ou que T é a topologia gerada porB.
Para todo A ∈ T existe B ∈ B tal que B ⊂ A. De fato, seja x ∈ A; como A ∈ T eB é uma base
de T, então:
A =
⋃
α∈Γ
Bα,
onde Bα ∈ B. Logo, existe α ∈ Γ tal que:
x ∈ Bα ⊂ A.
O seguinte teorema é um ótimo critério para verificar se uma famı́lia de subconjuntos é uma
base.
Teorema 1.2. SejaB ⊂ T. A famı́lia B é uma base de T se, e somente se
1. X =
⋃
B∈B
B.
2. Para todo B1B2∈ B, se x ∈ B1 ∩B2, então, existe B ∈ B tal que:
x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.
1.4. BASES 13
Prova : SeB é uma base de alguma topologia T, então X é aberto; logo se escreve como união
de abertos básicos.
Se B1, B2 ∈ B, então B1, B2 são abertos e B1 ∩ B2 é aberto; logo se x ∈ B1 ∩ B2, existe um
aberto B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.
Reciprocamente, seB satisfaz 1 e 2 e se exitir uma topologia que temB como base, todo aberto
nesta topologia pode ser escrito como união arbitrária de elementos deB. Definamos:
T = {U ⊂ X /U é união arbitrária de elementos de B}.
Devemos provar que T é uma topologia sobre X. Claramente ∅ ∈ T; por outro lado X ∈ T,
pelo ı́tem 1.
Sejam Aα ∈ T, arbitrários; cada Aα =
⋃
µ
Bα,µ, onde Bα,µ ∈ B; então:
A =
⋃
α
(
⋃
µ
Bα,µ
)
=
⋃
α,µ
Bα,µ ∈ T.
Agora consideremos A1 e A2 ∈ T, então A1 =
⋃
α
Bα e A2 =
⋃
µ
Bµ, então:
A1 ∩A2 =
(
⋃
α
Bα
)
∩
(
⋃
µ
Bµ
)
=
⋃
α,µ
(
Bα ∩Bµ
)
.
Se x ∈ A1 ∩ A2, existe pelo menos um par de ı́ndices (α, µ) tal que x ∈ Bα ∩ Bµ; por 2 existe
B ∈ B tal que:
x ∈ B ⊂ Bα ∩Bµ ⊂ A1 ∩A2;
logo, A1 ∩A2 é aberto. O caso geral segue por indução.
Definição 1.5. Os conjuntos B ∈ B tal que x ∈ B são chamados vizinhanças do ponto x.
Exemplo 1.5.
[1] Uma topologia é base de si própria.
[2] Para Tind, a base éB = {X}.
[3] Para Tdis, a base éB = {{x} /x ∈ X}.
[4] Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia.
[5] (Fundamental) SejaX = R e a, b ∈ R tal que a < b, então:
B = {(a, b)}
gera a topologia usual ou euclidiana de R.
De fato:
1. R =
⋃
a<b
(a, b).
2. Para todo x ∈ R, (x− 1, x+ 1) ∈ B.
3. Para todo x ∈ R tal que x ∈ (a1, b1) ∩ (a2, b2), temos:
x ∈ (a, b) ⊂ (a1, b1) ∩ (a2, b2),
14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
onde a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}.
[6] Sejam R, B a base da topologia euclidiana e B′ = {[a, b) / a < b}. Suponha que B′ é uma
base. (Veja os exercı́cios). Então estas bases geram topologias diferentes.
Seja (a, b) ∈ B; para todo x ∈ (a, b), existe [x, b) ∈ B′ tal que x ∈ [x, b) ⊂ (a, b). Por outro
lado, dado [x, d) ∈ B′, não existe (a, b) ∈ B tal que x ∈ (a, b) ⊂ [x, d). Logo, as bases geram
topologias diferentes.
1.5 Sub-bases
Seja
(
X,T
)
um espaço topológico e S uma famı́lia de subconjuntos deX tal queS ⊂ T.
Definição 1.6. S é uma sub-base de T se a coleção de interseções finitas de elementos deS é uma base
de T.
Proposição 1.1. Sejam X um cojunto não vazio e S uma famı́lia de elementos de X tais que para todo
x ∈ X existe A ∈ S tal que x ∈ A. Seja B a coleção de interseções finitas de elementos de S. Então,
a famı́lia T formada por ∅, X e as uniões arbitrárias de elementos de B é uma topologia para X e é a
menor topologia que contém S.
Prova :
Claramente ∅, X ∈ T e toda união de elementos de T pertence a T. Mostraremos que qualquer
interseção finita de elementos de T está em T, ou melhor, provaremos que se A, B ∈ T, então
A ∩B ∈ T:
Se A ou B é vazio, está provada a proposição.
1. Suponha que A e B são não vazios. Então:
A =
⋃
α
Aα, B =
⋃
β
Bβ,
onde Aα, Bβ ∈ B. Logo:
A ∩B =
(
⋃
α
Aα
)
∩
(
⋃
β
Bβ
)
=
⋃
α, β
(
Aα ∩Bβ
)
.
Por outro ladoAα eBβ são interseções finitas de elementos deS, logoAα∩Bβ é uma interseção
finita de elementos deS e, A ∩B ∈ T.
2. Claramente S ⊂ T.
3. Se T′ é outra topologia em X que também contém S, então B ⊂ T′; logo, T′ deve conter
as uniões arbitrárias de elementosB, isto é T ⊂ T′. Então T é a menor topologia sobre X que
contémS, isto é,S é uma sub-base deX.
Em geral S não é uma base de T, pois os elementos de T não podem ser escritos, necessaria-
mente, como uniões de elementos deS.
1.6. TOPOLOGIA RELATIVA 15
Exemplo 1.6.
[1] Toda topologia é sub-base de si mesma.
[2] S = {(−∞, a), (b,+∞) / a, b ∈ R} é uma sub-base para a topologia usual de R.
[3] S = {(−∞, a], [b,+∞) / a, b ∈ R} é uma sub-base para a topologia discreta de R.
[4] Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos; então:
S = {U × Y, X × V /U ∈ T1, V ∈ T2}
é uma sub-base para a topologia produto em X × Y .
1.6 Topologia Relativa
Uma questão natural que surge das últimas definições é: fixada uma topologia num conjunto,
um subconjunto não vazio herda de alguma forma esta estrutura?
Seja
(
X,T
)
um espaço topológico e ∅ 6= Y ⊂ X, então:
TY = {A ∩ Y /A ∈ T},
é uma topologia sobre Y chamada topologia relativa a Y .
Definição 1.7. O par
(
Y,TY
)
é dito subespaço topológico de
(
X,T
)
. Os elementos de TY são ditos
abertos relativos.
Em geral, os abertos relativos não são abertos no espaço total. Veja os exemplos.
Exemplo 1.7.
[1] Seja R com a topologia usual e consideremos Q ⊂ R com a topologia relativa, então A =
{x ∈ Q / 0 < x < 1} é aberto em Q pois A = (0, 1) ∩ Q e A não é aberto em R.
[2] Seja R com a topologia usual. N e Z ⊂ R são subespacos topológicos tais que a topologia
relativa é a topologia discreta. De fato, se n ∈ Z então:
{n} = Z ∩
(
n− 1
2
, n +
1
2
)
.
[3] Seja R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} com a topologia gerada por:
{+∞} ∪ (a,+∞) e {−∞} ∪ (−∞, a).
A topologia T gerada por estes conjuntos é dita topologia estendida.
[4] Seja Y = R ⊂ R com a topologia relativa; então TY é a topologia euclidiana.
Proposição 1.2. Seja
(
Y,TY
)
subespaço topológico de
(
X,T
)
.
1. SejaB = {Bγ / γ ∈ Γ} uma base de T; entãoBY = {Bγ ∩ Y / γ ∈ Γ} é uma base para BY .
2. A ⊂ Y é fechado se, e somente se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X é fechado.
3. Se A é fechado (aberto) em Y e Y é fechado (aberto) em X, então A é fechado (aberto) em X.
16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Prova :
1. Imediata.
2. Se A ⊂ Y é fechado, então A = Y −W , ondeW é aberto em Y ; logoW = Y ∩ U , onde U
é aberto emX; por outro lado:
A = Y −
(
Y ∩ U
)
= Y ∩ U c.
Reciprocamente, se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X é fechado, então:
Y −A = Y ∩ F c;
logo, A é fechado em Y .
3. Como A = Y ∩ F e ambos são fechados emX, então A é fechado emX
Exemplo 1.8.
[1] Seja R com a topologia usual. O conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y2 = 1} ⊂ R2
com a topologia relativa é dito cı́rculo unitário. Os abertos relativos em S1 são os arcos abertos
de cı́rculos.
Figura 1.1: Abertos relativos de S1
[2] Em geral, seja Rn+1 com a topologia usual. O conjunto:
Sn = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 /
n
∑
i=1
x2i = 1}
com a topologia induzida, é chamado esfera unitária.
1.7. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 17
1.7 Pontos e Conjuntos Notáveis
Nesta seção estudaremos alternativas para determinar se um conjunto é aberto, e/ou fechado.
Definições 1.1. Seja
(
X,T
)
um espaço topológico e A ⊂ X
1. x ∈ X é um ponto interior a A se existe U vizinhança de x tal que:
x ∈ U ⊂ A.
O conjunto de todos os pontos interiores a A é denotado por:
◦
A ou Int(A).
2. x ∈ X é um ponto exterior a A se é interior a Ac.
O conjunto de todos os pontos exteriores a A é denotado por: ExtA.
3. x ∈ X é um ponto aderente a A se para toda vizinhança U de x temos:
A ∩ U 6= ∅.
O conjunto de todos os pontos aderentes a A é denotado por: A. O conjunto A é dito fecho de A.
4. x ∈ X é um ponto de acumulação de A se para toda vizinhança U de x temos:
(
A− {x}
)
∩ U 6= ∅.
O conjunto de todos os pontos de acumulação a A é denotado por: A′.
5. x ∈ X é um ponto da fronteira de A se é aderente a A e a Ac.
O conjunto de todos os pontos da fronteira de A é denotado por: ∂A.
6. x ∈ X é um ponto isolado de A se {x} é vizinhança de x
7. Um conjunto onde todos os pontos são isolados é dito discreto.
8. A ⊂ X é dito denso emX se:
A = X.
Se A ⊂ X, entãoX =
◦
A ∪ ∂ A ∪ ExtA, onde as uniões são disjuntas. ∅ = ∅ e X = X.
◦
A ⊂ A e,
por definição, é um conjunto aberto.
x /∈ A se, e somente se existe uma vizinhança U de x tal que U ∩A = ∅, isto é:
x /∈ A ⇔ x ∈
◦
(
Ac
)
.
Logo,
(
A
)c
=
◦
(
Ac
)
= ExtA e comoX =
◦
A ∪ ∂A ∪ ExtA, onde as uniões são disjuntas, temos:
A =
◦
A ∪ ∂A,
sendo a união disjunta.
O conjunto A é fechado. De fato,
(
A
)c
=
◦(
Ac
)
que é aberto.
Para todo A ⊂ X, temos A ⊂ A. De fato, se x /∈ A, então existe U vizinhança de x tal que
U ∩A = ∅, isto é x ∈ U ⊂ Ac; logo x /∈ A.
Para todo A, B ⊂ X, temos: se A ⊂ B, então A ⊂ B. De fato, se x /∈ B, então existe U
vizinhança de x tal que U ∩B = ∅, isto é x ∈ U ⊂ Bc; como Bc ⊂ Ac, então x /∈ A ⊂ A.
∂ A é um conjunto fechado, pois
(
∂A
)c
=
◦
A ∪
◦
Ac que é aberto. ∂
(
∂ A
)
= ∅.
18 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Exemplo 1.9.
[1] Sejam R com a topologia usual e A = (0, 1) ∪ {2}; então:
◦
A = (0, 1), ExtA = (−∞, 0] ∪ [1, 2) ∪ (2,+∞), A = [0, 1] ∪ {2}, A′ = [0, 1] e ∂ A = {0} ∪ {1}.
[2] Sejam N, Z e Q ⊂ R e R com a topologia usual; então:
N e Z são discretos.
◦
Z = ∅ e Z = ∂ Z = Z.
◦
Q = ∅, pois nenhum intervalo aberto pode
ser formado apenas por racionais. ∂Q = R, pois todo intervalo aberto contem racionais e
irracionais. Q = R, isto é,Q é denso em R. De fato, suponha queQ 6= R, então existe x ∈ R−Q.
Como R − Q é aberto, existe (a, b) tal que:
x ∈ (a, b) ⊂ R − Q.
Por outro lado, todo intervalo contém números racionais, logo existe q ∈ Q tal que q ∈ (a, b) ⊂
R − Q; logo q ∈ R − Q, o que é uma contradição. Por outro lado Q ′ = R.
Proposição 1.3. Sejam
(
X,T
)
e A ⊂ X:
1. A é fechado se, e somente se A = A.
2. A = A.
Prova :
1. Suponha A fechado; então Ac é aberto. Se x /∈ A, então x ∈ Ac, logo existe U vizinhança
de x tal que x ∈ U ⊂ Ac; então U ∩A = ∅ isto é x /∈ A; logo A ⊂ A.
A = A ⇔ se x /∈ A, então existe uma vizinhança U de x tal que U ∩A = ∅ ⇔ x ∈ U ⊂ Ac
isto é Ac é aberto ⇔ A é fechado.
2. Como A é fechado, pelo ı́tem anterior A = A.
Teorema 1.3. Seja
(
X,T
)
e A ⊂ X; então A é o menor conjunto fechado que contem A, isto é:
A =
⋂
{
F /A ⊂ F e F é fechado
}
.
Prova :
(⊂) Se x /∈ ⋂
{
F
}
, então x ∈
(
⋂
{
F
})c
=
⋃
{
F c
}
que é aberto; logo, existe pelo menos um
F c tal que x ∈ F c; como F c é aberto, existe U vizinhança de x tal que x ∈ U ⊂ F c ⊂ Ac; então
U ∩A = ∅; logo x /∈ A.
(⊃) A é fechado e A ⊂ A; então⋂
{
F} ⊂ A .
Exemplo 1.10.
[1] Seja
(
X,Tsier
)
; então {b} = {b} e {a} = X.
[2] Seja
(
X,T
)
onde T é a topologia discreta. Como todos os subconjuntos deX são fechados,
o único conjunto denso em X éX.
[3] SejaX = {a, b, c, d, e} com a seguinte topologia:
T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}.
Pelo teorema temos que:
{b} = {b, e}, {a, c} = X e {b, d} = {b, c, d, e}.
Logo, o menor fechado que contém {b} é {b, e}. Note que {a, c} é denso em X.
1.7. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 19
Teorema 1.4. Sejam
(
X,T
)
e A ⊂ X; então
◦
A é o maior conjunto aberto contido em A, isto é:
◦
A =
⋃
{
U /U ⊂ A e U é aberto
}
.
Prova :
(⊂)
◦
A é aberto e
◦
A ⊂ A; então
◦
A ⊂ ⋃
{
U
}
.
(⊃) Seja x ∈ ⋃
{
U
}
, então existe pelo menos um U tal que x ∈ U ⊂ A, isto é x ∈
◦
A.
Proposição 1.4. Sejam
(
X,T
)
e A ⊂ X.
1. A = A ∪A′. Em particular, A é fechado se, e somente se A′ ⊂ A.
2.
◦
A =
(
Ac
)c
. Em particular, A é aberto se, e somente se A =
◦
A.
Prova :
1. Por definição A′ ⊂ A; por outro lado A ⊂ A, então A ∪ A′ ⊂ A. Reciprocamente, seja
x ∈ A. Se x ∈ A está provado. Se x /∈ A, então toda vizinhança U de x é tal que
(
U − {x}
)
∩A 6= ∅, isto é, x ∈ A′.
2. Se U ⊂ A, então Ac ⊂ U c e os conjuntos abertos U ⊂ A são exatamente os complementa-
res dos conjuntos F fechados tais que Ac ⊂ F . Pelo teorema anterior:
◦
A =
⋃
{
U /U ⊂ A e U é aberto
}
=
⋃
{
F c /Ac ⊂ F e F é fechado
}
=
(
⋂
{
F c /Ac ⊂ F e F é fechado
}
)c
=
(
Ac
)c
.
Exemplo 1.11.
[1] Seja
(
X,Tsier
)
; então:
◦
{b} = ∅,
◦
{a} = {a}. {b}′ = ∅ e {a}′ = {b}. ∂ {b} = ∂ {a} = b.
[2] Seja
(
X,Tind
)
; então:
Para todo A ⊂ X tal que A 6= X, temos que
◦
A = ∅. Para todo A ⊂ X não vazio, A = X. Se A
tem mais de um elemento, temos A′ = X e {x}′ = {x}c e ∂ A = X.
[3] Seja
(
X,Tdis
)
; então:
Para todo A ⊂ X temos que:
◦
A = A, A = A, A′ = ∅ e ∂ A = ∅
[4] Seja
(
X,Tcof
)
; então:
Para todo A /∈ Tcof temos que
◦
A = ∅. Se A é infinito, A = X. Para todo A ⊂ X tal que A é
infinito,A′ = X e seA é finito,A′ = ∅. Para todoA ⊂ X aberto tal queX é infinito, ∂ A = X−A;
caso contrário ∂ A = X.
20 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
[5] Considere
(
R,Tcof
)
e A = [0, 1]. Então
◦
A = ∅ e A = A′ = ∂ A = R.
[7] Seja
(
X,Tind
)
; para todo A ⊂ X tal que A 6= X, temos que ∂ A = X.
[8] Seja
(
X,Tdis
)
; para todo A ⊂ X temos que ∂ A = ∅.
Proposição 1.5. São equivalentes as seguintes condições:
1. A é denso em X.
2. Se F é fechado e A ⊂ F , então F = X.
3. Todo aberto básico não vazio deX contém elementos de A.
4.
◦
Ac = ∅.
Prova :
1) ⇒ 2) Se A ⊂ F , entãoX = A ⊂ F = F , logo F = X.
2) ⇒ 3) Seja U aberto básico não vazio tal que U ∩ A = ∅; então A ⊂ U c 6= X, o que é uma
contradição pois U c é fechado.
3) ⇒ 4) Suponha que IntAc 6= ∅; como IntAc é aberto, então existe U aberto básico não vazio
tal que U ⊂ IntAc; como IntAc ⊂ Ac, U ⊂ Ac e U ∩A = ∅; logo U não contém pontos de A.
4) ⇒ 1)
(
A
)c
=
(
(
Ac
)c
)c
=
◦
Ac = ∅. Logo, A = X.
Seja Y subespaço deX e denotemos por AY o conjunto A como subconjunto de Y ; então:
1.
◦
AY =
◦
A ∩ Y .
2. AY = A ∩ Y .
3. A′Y = A
′ ∩ Y .
Exemplo 1.12.
Seja R com a topologia usual e Y = [0, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5} com a topologia relativa. Então:
(1, 3) = (1, 3) ∩ Y ; por outro lado, (1, 3) = [1, 3] ∩ Y ; logo (1, 3) é aberto e fechado em Y . Logo,
◦
(̂1, 3)Y = (1, 3)Y = (1, 3).
[0, 1) = [0, 1] ∩ Y ; logo [0, 1) é fechado em Y . Logo,
◦
[̂0, 1)Y = (0, 1).
1.8 Topologia Métrica
1.8.1 Espaços Métricos
Uma importante classe de exemplos de espaços topológicos é a dos espaços métricos.
SejaM 6= ∅.
1.8. TOPOLOGIA MÉTRICA 21
Definição 1.8. Umamétrica ou distância sobreM é uma função:
d : M ×M −→ R,
tal que, para todo x, y, z ∈M , tem-se:
1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se x = y.
2. d(x, y) = d(y, x).
3. Desigualdade triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
O par (M,d) é chamado espaço métrico.
Exemplo 1.13.
[1] (M,d) é um espaço métrico com a métrica:
d(x, y) =
{
0 se x 6= y
1 se x = y.
d é dita métrica discreta.
[3] (R, d) é uma espaço métrico com d(x, y) = |x− y|, onde | | é o valor absoluto em R.
[3] Rn como espaço métrico. Em Rn podemos definir as seguintes métricas:
d1(x, y) =
√
√
√
√
n
∑
i=1
(xi − yi)2,
d2(x, y) =
n
∑
i=1
|xi − yi|,
d3(x, y) = max
1≤i≤n
|xi − yi|,
onde x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. As provas que d1 e d2 são métricas são
imediatas. Por outro lado, a desigualdade triangular para d3 segue de:
|xi − zi| ≤ |xi − yi| + |yi − zi| ≤ d3(x, y) + d3(y, z).
[4] Seja B(M,R) o conjunto de todas as funções limitadas f : M −→ R. Como a soma e a
diferença de funções limitadas é limitada, então:
d(f, g) = sup
x∈M
|f(x) − g(x)|,
é uma métrica em B(M,R). A única propriedade não trivial é a desiguldade triangular. Seja
x ∈M , utilizando a desigualdade triangular em (R, | |). Para todo x ∈M temos: |f(x)−h(x)| ≤
|f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)|, então:
|f(x) − h(x)| ≤ |f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)|
≤ sup
x∈M
|f(x) − g(x)| + sup
x∈M
|g(x) − ghx)|
≤ d(f, g) + d(g, h).
Considerando o supremo em ambos os lados na última desigualdade, temos que:
d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h).
Pois, o lado direito da desiguldade não depende de x ∈M .
22 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Definição 1.9. Sejam (M1, d1) e (M2, d2) espaços méricos. f : M1 −→ M2 é uma isometria se é
bijetiva e:
d2(f(x), f(y)) = d1(x, y),
para todo x, y ∈M1.
Exemplo 1.14.
[1] Seja R com a distância usual e f : R −→ R definida por f(x) = x/2. A função f é bijetiva,
por outro lado:
|f(x) − f(y)| = 1/2 |x − y|.
Logo, não é uma isometria.
[2] Sejam (Rn, d1), a ∈ Rn e Ta : Rn −→ Rn definida por Ta(v) = v+a, então f é uma isometria.
De fato, Ta é claramente bijetiva, e:
d1(Ta(x), Ta(y)) = d1(v + a,w + a)
=
√
√
√
√
n
∑
i=1
((xi − ai) − (yi −ai))2
=
√
√
√
√
n
∑
i=1
(xi − yi)2
= d1(x, y).
Se mudamos para as outras métricas de Rn, f é isometria?
1.8.2 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos
Seja (M,d) um espaço métrico e r ∈ R tal que r > 0.
Definição 1.10. Uma bola aberta emM de centro x0 e raio r é denotada e definida por:
B(x0, r) = {x ∈M /d(x, x0) < r}.
Definimos B(x, 0) = ∅. Se r ≤ s, então B(x0, r) ⊂ B(x0, s).
Exemplo 1.15.
[1] SejaM = R, com d = | |; então:
B(x0, r) = (x0 − r, x0 + r);
isto é, as bolas abertas são os intervalos abertos.
[2] SejaM = R, com d1; então:
B((x0, y0), r) = {(x, y) / (x − x0)2 + (y − y0)2 < r2};
isto é, um disco aberto centrado em (x0, y0).
Proposição 1.6. As bolas abertas num espaço métrico formam uma base para uma topologia no espaço
métrico.
1.8. TOPOLOGIA MÉTRICA 23
Prova : 1. Claramente: M =
⋃
x∈M
B(x, 1).
2. Seja z ∈ B(x, rx) ∩B(y, ry); seja r = min{rx − d(x, z), ry − d(y, z)}; então
B(z, r) ⊂ B(x, rx) ∩B(y, ry).
De fato, r > 0 e se w ∈ B(z, r); temos:
d(w, x) ≤ d(w, z) + d(z, x) < r + d(z, x) ≤ rx − d(z, x) + d(z, x) = rx;
logo, w ∈ B(x, rx). De forma análoga, w ∈ B(y, ry).
A topologia gerada por esta base é chamada topologia métrica gerada pela distância d, e será
denotada por Td.
Definição 1.11. O espaço topológico
(
X,T
)
é ditometrizável se T é uma topologia métrica.
Exemplo 1.16.
[1] Seja
(
M,d
)
, onde d é a métrica discreta; entãoB(x, 1/2) = {x}; logoTd é a topologia discreta.
[2] SeX possui mais de 2 pontos,
(
X,Tind
)
não é metrizável.
Proposição 1.7. Sejam (M,d) um espaço métrico, y0 ∈M e ∅ 6= A ⊂M . Definamos a distância entre
o ponto y0 é o conjunto A por:
d(y0, A) = inf{d(y0, x) /x ∈ A}.
Então, d(y,A) = 0 se, e somente se y ∈ A. Logo,
A = {y / d(y,A) = 0}.
Prova : Se y ∈ A se, e somente se existe B(y, r) tal que B(y, r) ∩ A 6= ∅ se, e somente se existe
ar ∈ A tal que d(y, ar) < r se, e somente se existe d(y,A) = 0.
1.8.3 Espaços Vetoriais Normados
Seja V um R-espaço vetorial.
Definição 1.12. Uma norma sobre V é uma função:
‖ ‖ : V × V −→ R,
tal que, para todo x, y ∈ V e λ ∈ R, tem-se:
1. Se x 6= 0, então ‖x‖ 6= 0.
2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.
3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.
O par (E, ‖ ‖) é chamado espaço vetorial normado.
24 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Exemplo 1.17.
[1] (Rn, ‖ ‖i) é um espaço vetorial normado com as seguintes normas:
‖x‖1 =
√
√
√
√
n
∑
i=1
x2i ,
‖x‖2 =
n
∑
i=1
|xi|,
‖x‖3 = max
1≤i≤n
|xi|,
onde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
[2] B(M,R) é um espaço vetorial, sendo:
‖f‖ = sup
x∈M
|f(x)|,
uma norma em B(M,R).
Seja (E, ‖ ‖) um espaço vetorial normado. Definindo:
d∗(x, y) = ‖x− y‖,
temos que (E, d∗) é um espaço métrico. d∗ é chamada métrica proveniente da norma ‖ ‖.
1.8.4 Espaços Vetoriais com Produto Interno
Seja V um R-espaço vetorial.
Definição 1.13. Um produto interno sobre V é uma função:
< >: V × V −→ R,
tal que, para todo x, y, z ∈ V e λ ∈ R, tem-se:
1. Se x 6= 0, então < x, x >> 0.
2. < λx, y >= λ < x, y >.
3. < x, y >=< y, x >.
4. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >.
Seja (E,< >) um espaço vetorial com produto interno. Definindo:
‖x‖∗ =
√
< x, x >,
temos que (E, ‖ ‖∗)) é um espaço vetorial normado. ‖ ‖∗ é chamada norma proveniente do
produto interno < >. Nem toda norma num espaço vetorial provém de um produto interno.
1.9. TOPOLOGIA DE ZARISKI 25
1.9 Topologia de Zariski
A topologia de Zariski é fundamental para o estudo de diferentes áreas da Álgebra, como por
exemplo, Álgebra Comutativa e Geometria Algébrica.
Seja K = R ou C. Consideremos a famı́lia dos polinômios de n-variáveis em K. Isto é:
{fi / fi ∈ K[x1, x2, , . . . , xn], i ∈ I}.
Seja:
Z(fi) = {x ∈ Kn / fi(x) = 0, i ∈ I}.
Exemplo 1.18.
Se f(x, y) = x2 + y2 − 1, então Z(f) = S1.
Note que Z(cte) = ∅ e Z(0) = K.
SejamZ(fi) eZ(gj). Denotemos hij = fi gj ∈ K[x1, x2, , . . . , xn] tal que i ∈ I e j ∈ J . Afirmamos
que Z(fi) ∪ Z(gj) = Z(fi gj). De fato, se hij(x) = 0 para todo i ∈ I e j ∈ J , então:
0 = hij(x) =
(
fi gj
)
(x) = fi(x) gj(x)
para todo i ∈ I e j ∈ J ; logo fi(x) = 0 para todo i ∈ I ou gj(x) = 0 para todo j ∈ J .
Denotemos porD(fi) =
(
Z(fi)
)c
eB = {D(fi) / i ∈ I}. A famı́lia B forma uma base para uma
topologia em Kn.
Definição 1.14. A topologia que gera B em Kn é chamada de Zariski.
Os Z(fi) são os fechados na topologia de Zariski. Em R, a topologia de Zariski é a topologia
cofinita. De fato, todo subconjunto finito em R é conjunto solução para algum polinômio de
uma variável real.
Por exemplo, se R = {r1, r2, . . . , rn}, então:
f(x) = (x− r1) (x− r2) . . . (x− rn)
é um polinômio que tem como conjunto solução R. Por outro lado o conjunto de soluções de
um polinômio de uma variável de grau n possui no máximo n elementos.
Se n > 1 a topologia de Zariski não é a cofinita.
Por exemplo, a reta y = 1 é solução do polinômio f(x, y) = x− 1 que não é um conjunto finito
em R2.
1.9.1 Topologia de Zariski em Anéis
Seja A um anel e denotemos por Spec(A) o conjunto de todos os ideais primos de A. Conside-
remos a seguinte famı́lia de subconjuntos:
V (I) = {p / p ∈ Spec(A), I ⊂ p},
onde I é um ideal de A.
26 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1. V (0) = Spec(A) e V (A) = ∅. Por outro lado:
V (I) ∪ V (J) = V (IJ)
⋂
α∈Γ
V (Iα) = V
(
∑
α∈Γ
Iα
)
2. Definimos sobre Spec(A) a topologia de Zariski, como a topologia que tem como conjun-
tos fechados os V (I).
3. Se denotamos por D(I) = Spec(A) − V (I) os abertos da topologia de Zariski, é possı́vel
provar que se I é um ideal principal, a base para a topologia de Zariski é:
B = {D(I) / I é um ideal principal}.
1.10. EXERCÍCIOS 27
1.10 Exercı́cios
1. Quantas topologias podem ser definidas no conjuntoX = {a, b, c}?
2. Verifique que N junto à famı́lia:
Tn = {∅, N, An /n ∈ N},
onde:
An = {1, 2, 3, . . . , n}
é uma topologia em N.
3. Seja
(
X,T
)
. Se para todo x ∈ X, {x} ∈ T, verifique que T = Tdis.
4. Seja
(
X,T
)
e Y = X ∪ {a}, a /∈ X. Defina:
T(Y ) = {U ∪ {a} /U ∈ T}.
(
Y,T(Y )
)
é um espaço topológico?
5. SejaX com a topologia cofinita. Verifique que os fechados deX sãoX, ∅ e os subconjun-
tos finitos deX.
6. Ache exemplo de um espaço topológico em que os conjuntos abertos são também con-
juntos fechados. Não considere a topologia discreta ou a indiscreta.
7. Sejam T1 e T2 duas topologias sobre o conjunto não vazio X. Considere:
(a) T1 ∩ T2 a famı́lia formada por abertos comuns a ambas as topologias.
(b) T1 ∪ T2 a famı́lia formada pela reunião dos abertos a ambas as topologias.
As famı́lias definidas são topologias sobreX? No caso negativo, ache um contra-exemplo.
8. SejaX = R e a, b ∈ R tal que a < b. Verifique que:
B = {[a, b)}
gera a topologia chamada do limite inferior em R e é denotada por Tlinf .
9. SejaX = R e a, b ∈ Q tal que a < b. Então:
B = {(a, b)}
gera a topologia usual de R?
10. Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos. Verifique que:
B = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}
é uma base para uma topologia deX × Y . Esta topologia é chamada produto.
11. Em particular, sejam a, b, c, d ∈ R eB = {(a, b) × (c, d) / a < b, c < d}. Verifique queB é
uma base para a topologia usual em R2.
12. Seja X = {1, 2, 3, 4, 5}. Verifique que não existe nenhuma topologia em X que tenha
como base:
B = {{1, 2}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}}.
28 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
13. SejaX = {a, b, c, d, e, f} com a seguinte topologia:
T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}.
Verifique que:
B = {{a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}}
é uma base para T.
14. Verifique queB = {[a, b] / a, b ∈ R} é uma base para a topologia discreta em R.
15. Seja
(
X,T
)
e A ⊂ X. Verifique que:
(a) ∂ A ⊂ A, se e somente se A é fechado.
(b) ∂ A = ∅, se e somente se A é aberto e fechado.
(c) ∂ A ∩A = ∅, se e somente se A é aberto.
16. Seja p ∈ X e defina a seguinte topologia em X:
T = {∅, A ∈ P(X) / p ∈ A}.
Verifique que T é uma topologia e que {p} é denso em X.
17. Verifiquese são métricas:
(a) d1(x, y) = (x− y)2, x, y ∈ R.
(b) d2(x, y) = |x3 − y3|, x, y ∈ R.
(c) d3(x, y) =
|x− y|
1 + |x− y| , x, y ∈ R.
Nos casos afirmativos, descreva os abertos.
18. Verifique que em Rn, temos: d3 ≤ d1 ≤ d2 ≤ n d3.
19. Seja C0
(
[a, b]
)
o conjunto das funções contı́nuas f : [a, b] −→ R. Defina:
d1(f, g) =
∫ b
a
|f(x) − g(x)| dx
d2(f, g) =
√
∫ b
a
|f(x) − g(x)|2 dx
Verifique que d1 e d2 são métricas em C
0
(
[a, b]
)
.
20. Determine a topologia definida pela métrica discreta.
21. Determine, geometricamente, as bolas abertas em Rn com as métricas definidas anterior-
mente.
22. Seja (M,d) um espaço métrico:
(a) Seja r > 0 e:
B[x0, r] = {x ∈M /d(x, x0) ≤ r}.
Verifique que B[x0, r] é um conjunto fechado.
1.10. EXERCÍCIOS 29
(b) Seja F ⊂M finito. Verifique que F é fechado.
23. Seja (M,d) um espaço métrico. Defina:
d1 = k d, d2 = d+ k e d3 = d/k,
onde k ∈ R − {0}.
(a) Verifique se d1, d2 e d3 são métricas.
(b) Verifique se d1, d2 e d3 geram a mesma topologia.
24. Seja (M,d) um espaço métrico. Defina:
d1(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
.
(a) Verifique d1 é uma métrica.
(b) Verifique que d1 e d geram a mesma topologia.
25. Se f é uma isometria, então f−1 é uma isometria?
26. Sejam
(
M,d1
)
e
(
N, d2
)
espaços métricos. Definamos emM ×N :
d((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2),
onde (x1, y1), (x2, y2) ∈M ×N . Verifique que:
27. d é uma métrica emM ×N . Esta métrica é ditamétrica produto.
28. Se B1(x, r) é uma bola aberta emM e B2(y, s) é uma bola aberta em N , então:
B = {B1(x, r) ×B2(y, s)},
é uma base para uma topologia emM ×N .
29. Sejam x =
(
xn
)
n∈N
uma seqüência em R e:
(a) lp = {x /
∞
∑
n=1
|xn|p < +∞}, 1 ≤ p < +∞.
(b) l∞ = {x / sup{xn /n ∈ N} < +∞}.
Definamos em lp e em l∞, respectivamente:
‖x‖p =
[ ∞
∑
n=1
|xn|p
]1/p
‖x‖∞ = sup
n∈N
{|xn|}.
Verifique que
(
lp, ‖ ‖p
)
e
(
l∞, ‖ ‖∞
)
são espaços vetoriais normados.
30. Sejam
(
E, ‖ ‖1
)
e
(
V, ‖ ‖2
)
espaços vetoriais normados. Definamos em E × V :
‖(u, v)‖ = ‖u‖1 + ‖v‖2,
onde (u, v) ∈ E × F . Verifique que ‖ ‖ é uma norma em E × F . Esta norma é dita norma
produto.
30 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
31. Sejam x =
(
xn
)
n∈N
uma seqüência em R e considere lp e l∞ como no exercı́cio [29]:
32. Verifique que
(
lp, ‖ ‖p
)
e
(
l∞, ‖ ‖∞
)
são espaços vetoriais com produto interno.
33. Sejam V1 e V2 espaços vetoriais com produtos internos< , >1 e< , >2, respectivamente.
Definamos em V1 × V2:
< (u1, v1), (u2, v2) >=< u1, u2 >1 + < v1, v2 >2,
onde (u1, v1), (u2, v2) ∈ V1 × V2. Verifique que < , > é um produto interno em V1 × V2.
Capı́tulo 2
FUNÇÕES EM ESPAÇOS
TOPOLÓGICOS
2.1 Funções Contı́nuas
A continuidade de uma função é um dos conceitos centrais em quase todas as áreas da Ma-
temática. E é o primeiro passo para tentar distinguir objetos diferentes em Topologia.
Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos.
Definição 2.1. A função f : X −→ Y é contı́nua se para todo V ∈ T2 temos que:
f−1
(
V
)
∈ T1.
f é contı́nua se a imagem inversa dos abertos de Y são abertos em X.
Uma função contı́nua não leva, necessariamente, abertos em abertos. Por exemplo se
(
Y,T2
)
é
tal que T2 não é a topologia discreta, ou se Y temmais de dois elementos e T2 não é a topologia
indiscreta.
Exemplo 2.1.
[1] Toda função constante é contı́nua. De fato, seja f : X −→ Y tal que f(x) = y0 para todo
x ∈ X e V ⊂ Y aberto, então:
f−1
(
V
)
=
{
X se y0 ∈ V
∅ se y0 /∈ V.
Em ambos os casos f−1
(
V
)
é aberto, logo f contı́nua.
[2] SejaX tal que T1 e T2 são topologias em X. A função identidade:
id :
(
X,T1
)
−→
(
X,T2
)
é contı́nua se, e somente se T2 ⊂ T1. De fato, considereX =
(
R,Tus
)
e Y =
(
R,Tlinf
)
, então:
id−1
(
[a, b)
)
= [a, b) /∈ Tus.
[3] Sejam
(
X,T
)
e
(
Y,Tind
)
. Toda função
f : X −→ Y
31
32 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
é contı́nua.
[4] Sejam
(
X,Tdis
)
e
(
Y,T
)
. Toda função
f : X −→ Y
é contı́nua.
Seja Y ⊂ X. A topologia relativa TY pode ser caracterizada como a menor topologia sobre Y
tal que a função inclusão:
i : Y −→ X
é contı́nua. De fato, se U ∈ T, a continuidade de i implica em que i−1
(
U
)
= U ∩ Y deve ser
aberto em Y ; logo qualquer topologia onde i for contı́nua deve conter TY .
Proposição 2.1. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
e
(
Z,T3
)
espaços topológicos.
1. Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z são contı́nuas, então:
g ◦ f : X −→ Z
é contı́nua.
2. Se f : X −→ Y é contı́nua e A ⊂ X é subespaço topológico, então:
f |A : A −→ Y
é contı́nua.
3. Se f : X −→ Y é contı́nua e f
(
X
)
⊂ Y é subespaço topológico, então:
f : X −→ f
(
X
)
é contı́nua.
Prova :
1. Segue do seguinte fato:
(
g ◦ f
)−1
= f−1 ◦ g−1
2. Note que f |A = f ◦ i, onde i : A −→ X é a inclusão; pelo ı́tem anterior f |A é contı́nua.
3. f−1
(
V ∩ f
(
X
))
= f−1
(
V
)
∩ f−1
(
f
(
X
))
= f−1
(
V
)
.
Teorema 2.1. Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos e f : X −→ Y . As seguintes condições são
equivalentes:
1. f é contı́nua.
2. Para todo F ⊂ Y fechado, f−1
(
F
)
é fechado em X.
3. A imagem inversa por f de qualquer elemento da base (subbase) de Y é aberto emX (não necessa-
riamente um aberto básico ou subbásico de X).
4. Para todo x ∈ X e para todaW vizinhança de f(x) em Y , existe U vizinhança de x emX tal que:
f
(
U
)
⊂W.
2.1. FUNÇÕES CONTÍNUAS 33
5. f
(
A
)
⊂ f
(
A
)
, para todo A ⊂ X.
6. f−1
(
B
)
⊂ f−1
(
B
)
, para todo B ⊂ Y .
Prova :
1) ⇔ 2) De fato, f−1
(
Y −A
)
= X − f−1
(
A
)
, para todo A ⊂ Y .
1) ⇔ 3) SejaB uma base da topologia de Y e B ∈ B; como f é contı́nua, f−1
(
B
)
é aberto em
X. A prova da recı́proca segue de que todo aberto V ∈ T2 pode ser escrito como:
V =
⋃
α∈Γ
Bα,
e que:
f−1
(
⋃
α∈Γ
Bα
)
=
⋃
α∈Γ
f−1
(
Bα
)
.
1) ⇒ 4) Como f contı́nua e W é aberto (é vizinhança de f(x)), consideramos o conjunto
U = f−1
(
W
)
que é vizinhança de x e:
f
(
U
)
⊂W.
4) ⇒ 5) Seja A ⊂ X e x ∈ A; provaremos que f(x) ∈ f
(
A
)
. Denotemos por Ux a vizinhança de
x tal que f
(
Ux
)
⊂W , ondeW é vizinhança de f(x). Se x ∈ A, então Ux ∩A 6= ∅; logo:
∅ 6= f
(
Ux ∩A
)
⊂ f
(
Ux
)
∩ f
(
A
)
⊂W ∩ f
(
A
)
;
então f(x) ∈ f
(
A
)
.
5) ⇒ 6) Seja A = f−1
(
B
)
; então:
f
(
A
)
⊂ f
(
A
)
= f
(
f−1
(
B
))
= B ∩ f
(
X
)
⊂ B.
Logo, A ⊂ f−1
(
B
)
6) ⇒ 2) Seja F ⊂ Y fechado, então:
f−1
(
F
)
⊂ f1−
(
F
)
= f−1
(
F
)
.
Logo, f−1
(
F
)
= f−1
(
F
)
e f−1
(
F
)
é fechado.
Pelo teorema, basta utilizar os abertos básicos da topologia para estudar a continuidade de uma
função. A função f é dita contı́nua no ponto x0 ∈ X se o item [4] do teorema anterior vale para
x0.
Exemplo 2.2.
Seja R com topologia usual. Verifique que f(x) = x2 é contı́nua.
Pela propiedade anterior, basta provar que f−1
(
(a, b)
)
é aberto.
Temos três casos:
1. Se 0 < a < b, então:
f−1
(
(a, b)
)
= (−
√
b,−√a) ∪ (√a,
√
b).
2. Se a < 0 < b, então:
f−1
(
(a, b)
)
= (−
√
b,
√
b).
34 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. Se a < b < 0, então:
f−1
(
(a, b)
)
= ∅.
4. Nos três casos, os conjuntos f−1
(
(a, b)
)
são abertos; logo f é contı́nua.
O seguinte corolário é fundamental em diversas áreas e é conhecido como teorema de colagem.
Corolário 2.1. Seja
(
X,T
)
tal queX = A∪B, onde A e B são conjuntos fechados (abertos) emX. Se
f : A −→ Y e g : B −→ Y são funções contı́nuas tais que f(x) = g(x) para todo x ∈ A ∩ B, então a
função h : X −→ Y definida por:
h(x) =
{
f(x) se x ∈ A
g(x) se x ∈ B
é contı́nua.
Prova : Seja F ⊂ Y fechado; então:
h−1
(
F
)
= h−1
(
F ) ∩
(
A ∪B
)
=
(
f−1
(
F
)
∩A
)
∪
(
g−1
(
F
)
∩B
)
= f−1
(
F
)
∪ g−1
(
F
)
.
Como f−1
(
F
)
e g−1
(
F
)
são fechados, então h contı́nua.
Exemplo 2.3.
Seja R com a topologia usual e
f(x) =
{
x se 0 ≤ x ≤ 1
2 − x se 1 ≤ x ≥ 2.
Logo, f é contı́nua.
Proposição2.2. Seja
(
X,T
)
. Então f : X −→ R é contı́nua se, e somente se para todo b ∈ R ambos
os conjuntos:
{x / f(x) > b} e {x / f(x) < b}
são abertos.
Prova : Seja
(
R,Tus
)
. Consideramos (b,+∞) e (−∞, b) elementos da subbase da topologia
euclidiana; logo:
f−1
(
(b,+∞)
)
= {x / f(x) > b}
f−1
(
(−∞, b)
)
= {x / f(x) < b}.
Exemplo 2.4.
A condição que ambos os conjuntos sejam abertos não pode ser ignorada. Por exemplo, con-
sideremos a função caracterı́stica de A, χA : R −→ R não é contı́nua. De fato, considere
A = (0, 1); então {x /χA(x) < 1} não é aberto e todos {x /χA(x) > b} são abertos, Logo, na
proposição ambos os conjuntos devem ser abertos.
2.2. CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 35
2.2 Continuidade em Espaços Métricos
Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos; então:
f : M −→ N
é contı́nua em x ∈ M , se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que d1(x, y) < δ implica em que
d2(f(x), f(y)) < ε. Isto é:
f
(
B1(x, δ)
)
⊂ B2(f(x), ε).
Proposição 2.3. Sejam (M,d) um espaço métrico, R com a topologia usual, y0 ∈ M e A ⊂ M . A
função f : M −→ R definida por f(y) = d(y,A) é contı́nua. Veja a proposição 1.7.
Prova : Sejam x, y ∈M ; então, para cada a ∈ A temos d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), logo:
d(x,A) = inf{d(x, a) / a ∈ A} ≤ d(x, y) + inf{d(y, a) / a ∈ A} = d(x, y) + d(y,A).
Então d(x,A) − d(y,A) ≤ d(x, y). Analogamente, mudando x por y e vice-versa, obtemos:
|d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x, y).
Sejam
(
V, ‖ ‖1
)
e
(
W, ‖ ‖2
)
espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação
linear f : V −→W é contı́nua.
Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos; então:
f : M −→ N
é uniformemente contı́nua, se para todo x, y ∈M e ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que d1(x, y) < δ(ε);
implica em d2(f(x), f(y)) < ε.
Uniformemente contı́nua implica contı́nua. A reciproca é falsa, basta considerar:
f : (0,+∞) −→ (0,+∞)
definida por f(x) = 1/x é contı́nua e não uniformemente contı́nua. A função f(y) = d(y,A) é
uniformemente contı́nua.
Sejam
(
V, ‖ ‖1
)
e
(
W, ‖ ‖2
)
espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação
linear f : V −→W é uniformemente contı́nua.
2.3 Topologia Inicial
Sejam
(
Y,T2
)
, X um conjunto não vazio e f : X −→ Y uma função. É possı́vel achar uma
topologia paraX tal que f seja contı́nua? Por exemplo se
(
X,Tdis
)
, então f é contı́nua.
SejaX um conjunto não vazio e:
Sf = {f−1
(
V
)
/V ∈ T2}.
Sf é uma subbase para uma topologia T(f) sobreX que torna f contı́nua.
Definição 2.2. T(f) é dita topologia inicial para f .
36 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.3.1 Topologia Produto
Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
e X × Y . Denotemos por:
pr1 : X × Y −→ X
pr2 : X × Y −→ Y
as respectivas projeções canônicas, onde pr1(x, y) = x e pr2(x, y) = y.
pr−11
(
U
)
= U × Y,
pr−12
(
V
)
= X × V,
pr−11
(
U
)
∩ pr−12
(
V
)
= U × V.
Note que:
Spr = {pr−11
(
U
)
, pr−12
(
V
)
/U ∈ T1, V ∈ T2} e
Bpr = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}
são a subbase e a base que geram uma topologia sobreX×Y , que torna as projeções contı́nuas.
Esta topologia é dita topologia produto.
Esta é a menor topologia com esta propriedade. Isto é,W ⊂ X×Y é aberto se para todo x ∈W
existe U × V , U aberto em X e V aberto em Y tal que x ∈ U × V ⊂W .
U
X x V
U x Y
U x VV
Figura 2.1: Elementos deS eB.
Observação 2.1.
Todos os argumentos desta seção são válidos para uma quantidade finita de espaços topológicos.
Exemplo 2.5.
[1] Rn = R×R×. . .×R tem a topologia produto induzida pela topologia deR. Se consideramos
em R a topologia usual, então a topologia em Rn também é a topologia euclidiana ou usual.
[2] Sn ⊂ Rn+1 é um conjunto fechado. De fato, seja Rn com topologia usual e consideremos a
função f : Rn+1 −→ R definida por:
f(x1, x2, . . . , xn, xn+1) = x
2
1 + x
2
2 + . . .+ x
2
n + x
2
n+1 − 1.
f é contı́nua e Sn = f−1
(
{0}
)
; logo, Sn é fechado.
2.3. TOPOLOGIA INICIAL 37
[3] O cilindro S1 × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R3.
4. Seja S1 com a topologia induzida de R2; então T 2 = S1 × S1 com a topologia produto, é dito
toro.
Figura 2.2: O toro T 2 = S1 × S1
Proposição 2.4. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
,
(
Z,T3
)
espaços topológicos,
(
Y × Z,Tp
)
espaço topológico
produto, f1 : X −→ Y e f2 : X −→ Z e definamos:
f : X −→ Y × Z
por f(x) = (f1(x), f2(x)). Então, f é contı́nua se, e somente se f1 e f2 são contı́nuas.
Prova : Sejam pr1 : Y ×Z −→ Y e pr2 : Y ×Z −→ Z as respectivas projeções. Como fi = pri ◦f ,
se f é contı́nua, então fi = pri ◦ f são contı́nuas (i = 1, 2).
Reciprocamente, se as fi são contı́nuas, seja U × V um aberto básico de Y × Z ; então:
f−1
(
U × V
)
= f−11
(
U
)
∩ f−12
(
V
)
;
logo, f é contı́nua.
Proposição 2.5. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
,
(
Z,T3
)
,
(
H,T4
)
espaços topológicos,
(
X × Y,Tp
)
,
(
Z ×
H,Tp
)
espaços topológicos produto, f1 : X −→ Z e f2 : Y −→ H . Definamos:
f1 × f2 : X × Y −→ Z ×H
por (f1 × f2)(x, y) = (f1(x), f2(y)). Se f1 e f2 são contı́nuas, então f1 × f2 é contı́nua.
Prova : Sejam pr1 : X × Y −→ X e pr2 : X × Y −→ Y as respectivas projeções. Como:
f1 ◦ pr1 : X × Y −→ Z
f2 ◦ pr2 : X × Y −→ H
são contı́nuas, então f1 × f2 é contı́nua.
Proposição 2.6. Sejam
(
X,T1
)
um espaço topológico e
(
E, ‖ ‖
)
um R-espaço vetorial normado. Como
E possui uma estrutura algébrica, dadas f, g : X −→ E podemos definir a nova função:
f + g :X −→ E
x −→
(
f + g
)
(x) = f(x) + g(x).
Se f e g são contı́nuas, então f + g é contı́nua.
38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Prova : Sejam h : X −→ E × E tal que h(x) = (f(x), g(x)) e S : E × E −→ E tal que
S(v1, v2) = v1 + v2; a função S é contı́nua. Então f + g = S ◦ h, é contı́nua.
Proposição 2.7. Sejam f : X −→ E e α : X −→ R e definamos a nova função:
αf :X −→ E
x −→
(
αf)(x) = α(x) f(x)).
Se f e α são contı́nuas, então α f é contı́nua.
Prova : Sejam h : X −→ R × E tal que h(x) = (α(x), f(x)) e m : R × E −→ E tal que
m(λ, v) = λ v; a funçãom é contı́nua. Então α f = m ◦ h, é contı́nua.
Observação 2.2.
A prova de que S em são contı́nuas segue do fato de serem ambas contrações. Veja [EL2].
2.4 Funções Abertas e Fechadas
Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos.
Definição 2.3. A função:
f : X −→ Y,
é aberta (fechada) se para todo U aberto (fechado) emX, temos que f
(
U
)
é aberto (fechado) em Y .
Observamos que se f for aberta, não necessariamente f é contı́nua. Veja os seguintes exemplos.
Exemplo 2.6.
[1] A função identidade:
id :
(
X,T1
)
−→
(
X,T2
)
é aberta (fechada) se, e somente se T1 ⊂ T2, mas não é contı́nua quando T1 6= T2.
[2] As projeções de um espaço produto são abertas.
[3] As projeções não são fechadas. Por exemplo, seja R com a topologia usual e considere as
projeções pri : R
2 −→ R, (i = 1, 2) e o conjunto:
H = {(x, y) ∈ R2 /x y = 1}.
Figura 2.3: H e a projeção R − {0}
2.4. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 39
H é fechado em R2 e pri(H) = R − {0}, que é aberto.
[4] Se X = {a, b} com a topologia discreta, então f : X −→ R definida por f(a) = 0 e f(b) = 1
é contı́nua, fechada e não aberta.
Seja f : X −→ Y bijetiva. Então f é aberta se, e somente se f é fechada. De fato. Seja U ⊂ X
aberto; logo U c = F é fechado e
f(F ) = f(X − U) = Y − f(U);
logo, f é fechada.
Proposição 2.8. Seja f : X −→ Y . São equivalentes as condições:
1. f é aberta.
2. f(
◦
A) ⊂
◦
̂(f(A)
)
, para todo A ⊂ X.
3. f leva abertos básicos de X em abertos básicos de Y
4. Para todo x ∈ X e toda U ⊂ X vizinhança de x, existeW ⊂ Y tal que:
f(x) ∈W ⊂ f(U).
Prova :
1) ⇒ 2)
◦
A ⊂ A; então f(
◦
A) ⊂ f(A); por outro lado f(
◦
A) é aberto e
◦
̂(f(A)
)
é o maior aberto
contido em f(A); logo f(
◦
A) ⊂
◦
̂(f(A)
)
.
2) ⇒ 3) Seja U aberto básico deX;
◦
U = U ; então:
f(U) = f(
◦
U) ⊂
◦
̂(f(A)
)
⊂ f(U);
logo, f(U) é aberto básico.
3) ⇒ 4) Para cada x ∈ X,seja U vizinhança de x; existe V aberto básico tal que x ∈ V ⊂ U .
ConsidereW = f(V ).
4) ⇒ 1) Seja U ⊂ X aberto; para todo y ∈ f(U) existe vizinhançaWy de y tal queWy ⊂ f(U);
logo:
f(U) =
⋃
y∈f(U)
Wy;
então, f é aberta.
Proposição 2.9. f : X −→ Y é fechada se, e somente se f(A) ⊂ f(A).
Prova : Se f é fechada, então f(A) é fechado e f(A) ⊂ f(A), logo:
f(A) ⊂ f(A) = f(A).
Reciprocamente, seja F ⊂ X fechado; logo:
f(F ) ⊂ f(F ) ⊂ f(F ) = f(F );
então, f(F ) = f(F ) e f(F ) é fechado.
40 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.5 Exercı́cios
1. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {a, b} com as seguintes topologias:
(a) T1 = {∅,X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {a}}, respectivamente. Ache todas as
funções contı́nuas entreX e Y .
(b) T1 = {∅,X, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {b}}, respectivamente. Ache todas as
funções contı́nuas entre Y eX.
2. Seja X = {1/n /n ∈ N} ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. A
função:
f :X −→
(
R,Tus
)
1/n −→ (−1)n n
é contı́nua?
3. Seja R com a topologia usual, as funçõs definidas por:
(a) f(x) =
{
x2 se x ≤ 0
x3 se x ≤ 0
(b) f(x) =
{
x2 + 4 se −4 ≤ x ≤ 0
x− 3 se 0 ≤ x ≤ 4
são contı́nuas?
4. Verifique que a função f(y) = d(y,A) é uniformemente contı́nua.
5. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
e
(
Z,T3
)
espaços topológicos. Considere f : X −→ Y e f : Y −→
Z :
(a) Se f e g são abertas (fechadas), enão g ◦ f é aberta (fechada).
(b) Se g ◦ f é aberta (fechada) e f é contı́nua e sobrejetiva, então g é aberta (fechada)?
(c) Se g ◦ f é aberta (fechada) e g é contı́nua e injetiva, então f é aberta (fechada)?
6. Verifique que são equivalentes:
(a) f é fechada.
(b) Se U ∈ T1, então {y ∈ Y / f−1(y) ⊂ U} ∈ T2.
(c) Se F ⊂ X é fechado, então {y ∈ Y / f−1(y) ∩ F 6= ∅} é fechado em Y .
7. Toda função f :
(
R,Tcof
)
−→
(
R,Tus
)
é fechada? Justifique sua resposta.
8. Toda função f :
(
R,Tcof
)
−→
(
R,Tcof
)
é aberta e fechada? Justifique sua resposta.
Capı́tulo 3
HOMEOMORFISMOS
3.1 Introdução
Um dos problemas centrais em Topologia é poder decidir se dois espaços são diferentes ou
não. Por exemplo, não é trivial dizer sob o ponto de vista da Topologia que uma esfera, se uma
esfera é diferente de um toro ou seRn é diferente deRm, se n 6= m. Neste capı́tulo começaremos
com os primeiros conceitos que nos permitirão responder a algumas destas questões.
Sejam X e Y espaços topológicos.
Definição 3.1. f : X −→ Y é um homeomorfismo se f é bijetiva, contı́nua e f−1 é contı́nua.
SeX e Y são homeomorfos utilizamos a seguinte notação:
X ∼= Y.
A composta de homeomorfismos é um homeomorfismo. Ser homeomorfo é uma relação de
equivalência na famı́lia dos espaços topológicos.
Veremos nos próximos parágrafos que os espaços topológicos homeomorfos possuem as mes-
mas propriedades topológicas. Isto é, se consideramos as classes de equivalência, teremos que
espaços homeomorfos são essencialmente iguais em topologia.
Uma função bijetiva e contı́nua não é necessariamente um homeomorfismo. Veja o seguinte
exemplo.
Exemplo 3.1.
Sejam S1 ⊂ R2 e [0, 2π) ⊂ R com as respectivas topologias induzidas pelas topologias usuais.
Definamos:
f : [0,2π) −→ S1
t −→ (cos(t), sen(t)).
f é contı́nua e bijetiva. Por outro lado,
f−1 : S1 −→ [0, 2π)
é descontı́nua em p = (1, 0). De fato: Seja ε = π; para cada n ∈ N, seja tn = 2π −
1
n
∈ [0, 2π) e
zn = f(tn), logo ‖zn − p‖ <
1
n
, pois o arco tn é maior que a corda.
41
42 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
t
zn
n p
Figura 3.1:
Então f−1(zn) = tn e |f−1(zn) − f−1(p)| = |tn| = 2π −
1
n
> π = ε, para todo n ∈ N. Logo, f é
uma bijeção contı́nua que não é um homeomorfismo.
A seguir apresentaremos os primeiros exemplos de homeomorfismos. Alguns detalhes serão
deixados para o leitor.
Exemplo 3.2.
[1] Seja R com a topologia usual. Então, todo intervalo aberto (a, b), com a topologia induzida
pela topologia usual de R, é homeomorfo a R. De fato:
Seja f : (a, b) −→ (−1, 1) definida por:
f(t) =
2 t− (b+ a)
b− a ,
f é bijetiva, contı́nua e sua inversa:
f−1(y) =
(b− a) y + (a+ b)
2
,
também é contı́nua. Logo, (a, b) ∼= (−1, 1). Definamos f : R −→ (−1, 1) por:
f(t) =
t
1 + |t| ,
f é bijetiva, contı́nua e sua inversa:
f−1(y) =
y
1 − |y| ,
também é contı́nua. Logo, R ∼= (−1, 1). Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:
R ∼= (a, b).
[2] Seja Rn com a topologia usual eH = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn /xn = 0} ⊂ Rn. Então
H ∼= Rn−1.
Definamos f : H −→ Rn−1 por f(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = (x1, x2, . . . , xn−1). Então, f é contı́nua e
bijetiva. Definamos f−1 : Rn−1 −→ H por f−1(x1, x2, . . . , xn−1) = (x1, x2, . . . , xn−1, 0). Então,
f−1 é contı́nua. Logo:
H ∼= Rn−1.
3.1. INTRODUÇÃO 43
[3] Seja
(
E, ‖ ‖
)
um espaço vetorial normado; então:
As translações :
Ta : E −→ E
v −→ v + a
a ∈ E, são homeomorfismos.
As homotetias:
hλ : E −→ E
v −→ λ v
λ ∈ R − {0}, são homeomorfismos.
Para todo r > 0 e todo v ∈ E:
E ∼= B(v, r).
De fato:
Ta são bijetivas, contı́nuas e as inversas T
−1
a = T−a, que são contı́nuas.
hλ são bijetivas, contı́nuas e as inversas h
−1
λ = hλ−1 , que são contı́nuas.
Definimos o homeomorfismo Φ : E −→ E por:
Φ(x) =
(
Tw ◦ hs/r ◦ T−v
)
(x) = s/r (x− v) + w.
Note que Φ(v) = w e Φ
∣
∣
B(v,r)
é um homeomorfismo tal que Φ
(
B(v, r)
)
= B(w, s). Então:
B(v, r) ∼= B(w, s)
para todo v, w ∈ E e r, s > 0. Agora definamos f : E −→ B(v, 1) por:
f(u) =
u
1 + ‖u‖
que é contı́nua e bijetiva com inversa contı́nua:
f−1(w) =
w
1 − ‖w‖ ;
logo, f é um homeomorfismo.
Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:
E ∼= B(v, r).
[3] Sejam R2n e Cn ambos com a topologia usual. Então:
R2n ∼= Cn,
para todo n ≥ 1.
Se z ∈ C, z = x + i y, onde x, y ∈ R. Por outro lado, Cn = C × C × . . . × C (n-vezes) e
R2n = R × R × . . .× R (2n-vezes). Definamos:
f :C × C × . . .× C −→ R × R × . . .× R × R
(z1, z2, . . . , zn) −→ (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn).
f é, claramente, um homeomorfismo. Logo:
Cn ∼= R2n.
44 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
Teorema 3.1. Seja f : X −→ Y bijetiva. São equivalentes as condições:
1. f homeomorfismo.
2. f é contı́nua e aberta.
3. f é contı́nua e fechada.
4. f(A) = f(A), para todo A ⊂ X.
Prova :
1) ⇔ 2) f−1 é contı́nua se, e somente se para todo aberto U ⊂ X:
(
f−1(U)
)−1
= f(U)
é aberto em Y .
2) ⇔ 3) Segue do parágrafo anterior.
3) ⇔ 4) Como f é contı́nua, f(A) ⊂ f(A); como f é fechada, f(A) ⊂ f(A).
Corolário 3.1. Seja f : X −→ Y . O gráfico de f é definido por:
G(f) = {(x, f(x)) /x ∈ X} ⊂ X × Y.
Considere G(f) com a topologia induzida pela topologia produto. Então f é contı́nua se, e somente se
X ∼= G(f).
Prova : De fato, definamos h : X −→ X × Y por h(x) = (x, f(x)) que é contı́nua; então
h : X −→ G(f) é bijetiva e contı́nua. Por outro lado, se U ⊂ X é aberto:
h(U) = {(x, f(x)) /x ∈ U} =
(
U × Y
)
∩G(f),
que um aberto relativo. Reciprocamente, f = pr2 ◦ h.
Corolário 3.2. Sejam f : X −→ Y homeomorfismo e A ⊂ X; então:
1. A ∼= f(A).
2. X −A ∼= Y − f(A).
3.2 Exemplos de Homeomorfismos
[1] Seja A ⊂ R2 com a topologia induzida, definido por:
A = {(x, y) ∈ R2 / 0 < a ≤
√
x2 + y2 ≤ b}.
A é um anel; então:
A ∼= S1 × [a, b].
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 45
Figura 3.2: O anel A
Definamos f : A −→ S1 × [a, b] e f−1 : S1 × [a, b] −→ A por:
f(x, y) =
(
(
x
√
x2 + y2
,
y
√
x2 + y2
),
√
x2 + y2
)
e f−1((x, y), t) = (t x, t y),
claramente f e f−1 são bijetivas e contı́nuas; logo f é um homeomorfismo.
[2] Sejam S1 e o quadrado Q = {(x, y) / max{|x|, |y|} = 1} em R2 com a topologia induzida
pela topologia usual de R2; então:
S1 ∼= Q.
d c
z w
u v
ba
Figura 3.3: Homeomorfismo entre S1 e Q
Definamos f : S1 −→ Q levando o arco ab de S1 no segmento uv de Q, o arco bc e S1 no
segmento vw de Q, o arco cd e S1 no segmento wz de Q e o arco da e S1 no segmento zu de Q,
isto é:
f(x, y) =
( x
m
,
y
m
)
e f−1(x, y) =
(x
r
,
y
r
)
,onde m = max{|x|, |y|} e r =
√
x2 + y2; claramente f e f−1 são bijetivas e contı́nuas; logo f é
um homeomorfismo.
De forma análoga, temos que:
S2 ∼= C,
onde S2 ⊂ R3 e C = {(x, y, z) / max{|x|, |y|, |z|} = 1} é o cubo unitário.
46 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
Figura 3.4: Homeomorfismo entre S2 e C
[3] Consideremos Sn ⊂ Rn+1 e o conjunto
E = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 / a21 x21 + . . . a2n+1 x2n+1 = 1} ⊂ Rn+1,
onde ai ∈ R−{0}, ambos com topologia induzida pela topologia usual deRn+1. Então, Sn ∼= E.
E
nS
Figura 3.5: Homeomorfismo radial entre S2 e E
Seja f : Sn −→ E definida por:
f(x1, . . . , xn+1) =
(x1
a1
, . . . ,
xn+1
an+1
)
.
f é bem definida, bijetiva e contı́nua. Definamos f−1 : E −→ Sn por:
f−1(x1, . . . , xn+1) =
(
a1 x1, . . . , an+1 xn+1
)
.
f−1 é bem definida e contı́nua. Logo, Sn é homeomorfo a E.
Então, Sn e E são topologicamente ”iguais”.
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 47
Figura 3.6: Espaços homeomorfos a S2
[4] Consideremos R2 − {(0, 0)} ⊂ R2 com topologia induzida pela topologia usual de R2 e os
conjuntos
H = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y2 − z2 = 1}, e S1 × R,
com topologia induzida pela topologia usual de R3. Então:
R2 − {(0, 0)} ∼= H ∼= S1 × R.
Seja f : R2 − {(0, 0) −→ S1 × R definida por:
f(x, y) =
( x
√
x2 + y2
,
y
√
x2 + y2
, ln(
√
x2 + y2)
)
.
f é bem definida, bijetiva e contı́nua. Definamos f−1 : S1 × R −→ R2 − {(0, 0) por:
f−1(x, y, t) =
(
x et, y et
)
.
g é bem definida, contı́nua e inversa de f . Logo:
R2 − {(0, 0)} ∼= S1 × R.
Por outro lado, definamos h : S1 × R −→ H por:
h(x, y, t) =
(
x
√
1 + t2, y
√
1 + t2, t
)
.
h é bem definida, bijetiva e contı́nua. Definamos h−1 : H −→ S1 × R por:
h−1(x, y, z) =
( x√
1 + z2
,
y√
1 + z2
, z
)
.
h−1 é bem definida e contı́nua. Logo:
H ∼= S1 × R.
48 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
Figura 3.7: H e S1 × R
[5] Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Consideremos
Rn+1 ∼= Rn × R; então (x, t) ∈ Sn se, e somente se ‖x‖ = 1 − t2 . Denotemos por:
Sn− = {(x, t) ∈ Sn / t ≤ 0} e Sn+ = {(x, t) ∈ Sn / 0 ≤ t}.
Os conjuntos Sn− e S
n
+ são ditos hemisférios de S
n. Note que
Sn = Sn− ∪ Sn+ e Sn− ∩ Sn+ = E.
O conjunto E é chamado equador de Sn; é claro que:
E ∼= Sn−1.
Isto é, podemos considerar Sn−1 como o equador de Sn.
Figura 3.8: Sn−1 como equador de Sn
Consideremos a projeção:
p : Rn × R −→ Rn
(x, t) −→ x.
Se (x, t) ∈ Sn, ‖(x, t)‖ = 1, logo ‖p(x, t)‖ ≤ 1; então p(Sn) ⊂ B[x, 1] ⊂ Rn. Via projeção, temos
que
Sn−
∼= B[x, 1] ∼= Sn+.
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 49
De fato, a função:
q : B[x, 1] −→ Sn+
x −→ (x,
√
1 − ‖x‖2)
é bem definida, contı́nua bijetiva e com inversa contı́nua p
∣
∣
Sn
+
.
Figura 3.9: Sn−, B[x, 1] e S
n
+
[6] Projeção Estereográfica : Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de
Rn+1 e p = (0, 0, . . . , 0, 1), então:
Sn − {p} ∼= Rn.
De fato. Seja Φ : Sn − {p} −→ Rn definida da seguinte forma, dado x ∈ Sn − {p}; considere
a semi-reta px ∈ Rn+1; então Φ(x) = y, onde y é a interseção de px com o semi-plano definido
por xn+1 = 0, homeomorfo a R
n:
{
px = p+ t (x− p), t ∈ [0, 1]
xn+1 = 0,
logo, 1 + t (xn+1 − 1) = 0 e t =
1
1 − xn+1
; então:
Φ(x) =
1
1 − xn+1
(x1, x2, . . . , xn).
p
x
z
Φ ( )x
Φ ( )z
Figura 3.10: Definição de Φ
50 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
Φ é bijetiva e contı́nua e:
Φ−1(y) =
( 2 y1
1 + ‖y‖2 , . . . ,
2 yn
1 + ‖y‖2 ,
‖y‖2 − 1
1 + ‖y‖2
)
;
‖Φ−1(y)‖2 = 1 e Φ−1 é contı́nua.
3.2.1 Grupos de Matrizes
Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem n × m, tendo
como entradas elementos de K = R ou C, é um K-espaço vetorial. Fixemos K = R; o caso
complexo é análogo. Denotemos este espaço vetorial por:
Mn×m
(
R
)
.
Seja A = (aij) ∈Mn×m
(
R
)
. Definamos:
Ψ : Mn×m
(
R
)
−→ Rn×m
A −→ (a11, a12, . . . , a1n, . . . , am1, . . . , amn).
Ψ é claramente um isomorfismo de espaços vetoriais. Via o isomorfismoΨ, o espaçoMn×m
(
R
)
herda toda a estrutura linear e topológica deRn×m. Utilizaremos a métrica usual de Rn×m para
introduzir uma topologia emMn×m
(
R
)
.
De fato, dada A = (aij) ∈Mn×m
(
R
)
, definamos:
‖A‖1 = ‖Ψ(A)‖ =
[ n
∑
i,j=1
a2ij
]1/2
.
‖ ‖1 é uma norma em Mn×m
(
R
)
que o torna um espaço vetorial normado. Logo, um espaço
topológico. Note que ‖A‖1 =
√
AAt, onde At é a matriz transposta de A. É imediato que Ψ é
bijetiva, contı́nua com inversa contı́nua. Logo:
Mn×m
(
R
) ∼= Rn×m.
Denotemos porMn
(
R
)
= Mn×n
(
R
)
; então:
Mn
(
R
) ∼= Rn2.
Seja R com a topologia usual. A função:
det : Mn
(
R
)
−→ R,
definida indutivamente:
1. Se n = 1, det((a11)) = a11.
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 51
2. Se n > 1, seja A = (aij) e:
det(A) =
n
∑
i=1
(−1)i+1 ai1 det(A[i,1]),
onde 1 ≤ i, j ≤ n e A[i,j] é a matriz (n − 1) × (n − 1), que se obtem omitindo a i-ésima
linha e a j-ésima coluna de A.
A função det é multilinear, logo contı́nua.
Seja Gl(n,R) o conjunto das matrizes invertı́veis de ordem n. Gl(n,R) é aberto emMn
(
R
)
. De
fato:
Gl(n,R) = det−1({0}c).
Gl(n,R) é também um grupo, chamado grupo linear geral real.
Denotemos por O(n) ⊂ Gl(n,R), definido por:
A ∈ O(n) ⇔ AAt = I,
onde I é matriz identidade. Logo, A ∈ O(n) ⇔ det(A) = ±1. O(n) é um grupo, chamado
ortogonal.
Denotemos por SO(n) ⊂ O(n) definido por:
A ∈ SO(n) ⇔ det(A) = 1.
SO(n) é um grupo, chamado ortogonal especial. O(n) e SO(n) são fechados em Mn
(
R
)
. De
fato:
SO(n) = det−1({1})
O(n) = det−1({−1, 1}).
O(n) é isomorfo a SO(n) × {−1, 1}. De fato:
f :O(n) −→ SO(n) × {−1, 1}
A −→ (A/det(A), det(A)).
f é um isomorfismo de grupos.
SejaK = C, denotemos por C∗ = C − {0}. De forma análoga ao caso real, definimos:
Gl(n,C) = det−1
(
C∗
)
U(n) = {A ∈ Gl(n,C) /A∗ A = I}
SU(n) = det−1({1}).
De forma análoga, os grupos Gl(n,C), U(n) e SU(n) são ditos, linear complexo, unitário e
especial unitário, respectivamente.
U(n) é isomorfo a SU(n) × S1. De fato:
f :U(n) −→ SU(n) × S1
A −→ (A/det(A), det(A)).
f é um isomorfismo de grupos.
52 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
3.3 Homeomorfismos Locais
Definição 3.2. Seja f : X −→ Y . f é dito homeomorfismo local se para todo x ∈ X existe U ⊂ X
vizinhança de x tal que f(U) = V é aberto em Y e f : U −→ V é um homeomorfismo.
Sejam U ⊂ X, V ⊂ Y abertos e f : U −→ V um homeomorfismo; então para todo aberto
U ′ ⊂ U , temos que f(U ′) é aberto em V , logo é aberto em Y .
Proposição 3.1. Se f : X −→ Y é um homeomorfismo local, então f é aberta.
Prova : Seja A ⊂ X aberto; para cada x ∈ A existe Ux ⊂ A vizinhança de x tal que:
f : Ux −→ Vx,
onde f(Ux) = Vx. Seja U
′
x = Ux ∩A. Pela observação anterior f(U ′x) é aberto em Y . Como:
A =
⋃
x∈A
U ′x
f(A) = f
(
⋃
x∈A
U ′x
)
=
⋃
x∈A
f(U ′x)
que é aberto em Y . Logo, f é aberta.
Homeomorfismo implica homeomorfismo local. A recı́proca é falsa.
Exemplo 3.3.
Seja R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pela topologia usual de C.
Então:
f :R −→ S1
x −→ e2πix
é um homeomorfismo local.
1. Consideremos os seguintes subconjuntos do cı́rculo: S1 = {(x, y) ∈ S1 / y > 0}, S2 =
{(x, y) ∈ S1 / y < 0}, S3 = {(x, y) ∈ S1 /x > 0} e S4 = {(x, y) ∈ S1 /x < 0}.
S1
S2
S3
S4
Figura 3.11:
2. Consideremos os seguintes sub-intervalos: I1 = (n, n+ 1/2), I2 = (n− 1/2, n),
I3 = (n− 1/4, n + 1/4) e I4 = (n + 1/4, n + 3/4), n ∈ Z.
3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 53
3. Definamos: p1 : S1 −→ (−1, 1) por p1(x, y) = x.
4. A função p1 é um homeomorfismo. De fato, p1 possui a seguinte inversa contı́nua q1(t) =
(t,
√
1 − t2).
5. Denotemos por fi = f |Ii . Consideremos:
p1 ◦ f1 : I1 −→ (−1, 1).
Como e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)), então
(
p1 ◦ f1
)
(x) = cos(2πx). Logo, pelas propiedades
básicas de Trigonometria p1 ◦ f1 é um homeomorfismo:
1 1.5
-1
1
Figura 3.12: Homeomorfismo p1 ◦ f
6. Logo, p−11 ◦
(
p1 ◦ f1
)
: I1 −→ S1 é um homeomorfismo e f1 = p−11 ◦
(
p1 ◦ f1
)
é um homeo-
morfismo.
7. Definamos: p2 : S2 −→ (−1,1) por p2(x, y) = y.
8. A função p2 é um homeomorfismo. De fato, p2 possui a seguinte inversa contı́nua q2(t) =
(t,−
√
1 − t2).
9. De forma análoga, p−12 ◦
(
p2 ◦ f2
)
: I2 −→ S2 é um homeomorfismo e f2 = p−12 ◦
(
p2 ◦ f2
)
é
um homeomorfismo.
10. De forma análoga as anteriores, verifica-se que I3 ∼= S3 e I4 ∼= S4.
11. Como intervalos destes tipos cobrem R. Por exemplo:
R =
⋃
n∈Z
(n, n+ 1/2).
Então, f é um homeomorfismo local.
Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismo local não é homeomor-
fismo. Em particular, f é uma função aberta (não fechada).
Exemplo 3.4.
De forma totalmente análoga:
f :R2 −→ S1 × R
(x, y) −→ (e2πix, y)
e:
f :R2 −→ S1 × S1
(x, y) −→ (e2πix, e2πiy)
são homeomorfismos locais.
54 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
3.4 Exercı́cios
1. Sejam X × {y} e {x} × Y ⊂ X × Y . Verifique que para todo y ∈ Y e para todo x ∈ X,
temos:
X × {y} ∼= X e {x} × Y ∼= Y.
Em particular, Rn ∼= Rn × {0} ⊂ Rn+1.
2. Verifique que
(
R,Tus
)
não é homeomorfo a
(
R,Tcof
)
.
3. Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos. Dizemos que as métricas d1 e d2 são equiva-
lentes se id :
(
M,Td1
)
−→
(
M,Td2
)
é um homeomorfismo.
(a) Verifique que seM = Rn, então d1, d2 e d3 definidas anteriormente são equivalentes.
(b) Seja M = R2, d1, d2 e d3. Utilizando as bolas, de uma explicação geométrica da
equivalência destas métricas.
4. Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos. Verifique se a seguinte afirmação é verdadeira
ou não
f : M1 −→M2 é uma isometria se, e somente se f é um homemorfismo.
5. Verifique que as isometrias são homeomorfismos.
6. N e Q com a topologia induzida pela topologia usual de R, são homeomorfos?
7. Considerando R2 com a topologia usual, verifique se os seguintes subespaços são home-
omorfos:
(a) [0, 2] e [0, 1] ∪ [2, 3]
(b) {(x, y) ∈ R2 /x, y ≥ 0} e {(x, y) ∈ R2 / y ≥ 0}.
(c) {(x, y) ∈ R2 /x2 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.
(d) {(x, y) ∈ R2 /x3 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.
8. Seja
(
X,T1
)
um espaço topológico e denotemos por:
G(X) = {f : X −→ X /f é homeomorfismo}.
Verifique que:
(a) G(X) é um grupo com a composta de funções,
(b) SeX = [0, 1] e Y = (0, 1) com a topologia induzida pela usual de R, defina:
ψ :G(X) −→ G(Y )
f −→ f
∣
∣
Y
ψ é um isomorfismo de grupos? (Note queX e Y não são homeomorfos)
9. G(X) é abeliano? Caso a resposta seja negativa, quando é abeliano?
Capı́tulo 4
TOPOLOGIA QUOCIENTE
4.1 Introdução
A Topologia quociente é a fonte dos mais importantes exemplos de espaços topológicos, que
constituirão a parte central desta notas. Neste capı́tulo introduziremos os exemplos clássicos
na Matemática, como a faixa de Möebius, os espaços projetivos reais e complexos e a garrafa
de Klein.
Sejam
(
X,T
)
, Y um conjunto não vazio e f : X −→ Y sobrejetiva. Definamos em Y a seguinte
topologia:
Tf = {V ⊂ Y / f−1(V ) ∈ T}.
Claramente, Tf é uma topologia sobre Y .
Definição 4.1. Tf é dita topologia quociente em Y induzida por f .
Exemplo 4.1.
[1] Seja f : X −→ Y constante. Determine Tf .
Considere y0 ∈ Y e suponha que f(x) = y0 para todo x ∈ X. Seja U ∈ Tf . Se y0 ∈ U , então
f−1(U) = X e se y0 /∈ U , então f−1(U) = ∅. Isto é, qualquer subconjunto de Y é aberto, logo
Tf é a topologia discreta sobre Y .
[2] SejaX = {a, b, c} e R com a topologia usual; definamos f : R −→ X por:
f(x) =





a se x > 0
b se x < 0
c se x = 0.
Então, Tf = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}} é a topologia quociente emX induzida por f .
Proposição 4.1. A topologia quociente Tf é a mais fina sobre Y que torna f contı́nua.
Prova : De fato, sendo TY outra topologia em Y e se para todo V ∈ TY temos que f−1(V ) é
aberto emX, então V ∈ Tf .
Definição 4.2. Sejam
(
X,T
)
,
(
Y,TY
)
e f : X −→ Y sobrejetiva. A função sobrejetiva f que induz a
topologia quociente é chamada uma identificação se TY = Tf .
55
56 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Se f é uma identificação, V é aberto em Y se, e somente se f−1(V ) é aberto emX.
Se f é uma identificação, para todo P ⊂ Y temos que f
(
f−1(P )
)
= P , mas se S ⊂ X, em geral
S ⊂ f−1
(
f(S)
)
. Nem toda função bijetiva e contı́nua é uma identificação. Por exemplo:
id :
(
X,T1
)
−→
(
X,T2
)
é uma identificação se, e somente se T1 = T2. A composta de identificações é uma identificação.
Exemplo 4.2.
Espaço Projetivo Real
Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Definamos o conjunto
dos pares não ordenados:
PRn = {{x, −x} /x ∈ Sn},
onde −x é o antipodal de x. De forma natural temos a função sobrejetiva:
Π : Sn −→ RPn
tal que Π(x) = {x, −x}. O par
(
RPn,TΠ
)
é dito espaço projetivo real de dimensão n.
Faixa de Möebius
Considere o cilindro C = {(x, y, z) /x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1} com a topologia induzida por R3.
Definamos o conjunto dos pares não ordenados:
M = {{c, −c} / c ∈ C}.
De forma natural, temos a seguinte função sobrejetiva:
Π : C −→M
tal que Π(p) = {p, −p}. O par
(
M,TΠ
)
é dito faixa de Möebius.
Proposição 4.2.
1. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X −→ Y uma função sobrejetiva, contı́nua e aberta (fe-
chada); então f é uma identificação.
2. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X −→ Y uma função contı́nua. Se existe uma função
g : Y −→ X tal que f ◦ g = idY , então f é uma identificação.
Prova :
1. Seja TY uma topologia em Y ; como f é contı́nua, então TY ⊂ Tf . Como f é aberta, para
todo U ∈ Tf , U = f
(
f−1(U)
)
é aberto em TY ; logo TY = Tf .
2. Como f ◦ g = idY então f é sobrejetiva. Seja A ⊂ Y tal que f−1(A) seja aberto; então
A = (f ◦ g)−1(A) = g−1
(
f−1(A)
)
é aberto em Y ; logo f é uma identificação.
4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 57
Exemplo 4.3.
[1] A função:
pr1 :R
2 −→ R
(x, y) −→ x
é uma identificação. Analogamente para pr2(x, y) = y.
[2] A função:
f :R −→ S1
x −→ e2πix
é sobrejetiva, contı́nua e aberta; pela proposição [4.2] é uma identificação.
[3] Analogamente:
f :R2 −→ S1 × S2
(x, y) −→ (e2πix, e2πiy)
é uma identificação.
Teorema 4.1. (Propriedade Universal da Topologia Quociente) Sejam X, Z espaços topológicos
e f : X −→ Y uma identificação. Então, g : Y −→ Z é contı́nua se, e somente se g ◦ f é contı́nua.
X
g◦f
��
f
// Y
g
~~}}
}
}}
}}
Z
Prova : Se g é contı́nua e f contı́nua, então g ◦ f é contı́nua. Reciprocamente, seja W ⊂ Z
aberto; então
(
g ◦ f
)−1
(W ) é aberto emX. Como
(
g ◦ f
)−1
(W ) = f−1
(
g−1(W )
)
, pela definição
da topologia quociente, g−1(W ) é aberto em Y ; logo g é contı́nua.
4.2 Espaços Quocientes
Funções sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes de equivalência de
alguma relação de equivalência.
Sejam ∼ uma relação de equivalência sobre X e X
/
∼ o conjunto das classes de equivalência
em X. Definamos:
Π :X −→ X
/
∼
x −→ [x]
onde [x] é a classe de equivalência que contém x; Π é dita projeção canônica e é naturalmente
sobrejetiva.
Definição 4.3. Seja
(
X,T
)
um espaço topológico. O par
(
X
/
∼,TΠ
)
é dito espaço quociente de X.
58 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
A projeção canônica:
Π :X −→ X
/
∼
x −→ [x]
é naturalmente uma identifição. Note que V ⊂
(
X
/
∼
)
é aberto⇔
Π−1
(
V
)
= {x ∈ X / [x] ∈ V }
é aberto em X.
A seguir apresentaremos vários exemplos de homeomorfismos, a maioria bastante intuitivos.
Nos próximos parágrafos, teremos ferramentas suficientes para provar estes homeomorfismos.
Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geométrica.
4.2.1 O Cı́rculo como Espaço Quociente
Seja I = [0, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. Consideremos em I a
relação de equivalência:
x ∼ y ⇔ {x, y} = {0, 1}, ou x = y.
Se x ∈ (0, 1); então [x] = {x}. Se x = 0; então [0] = {0, 1}. Se x = 1, então [1] = {0, 1}; logo
[0] = [1].
0
1 1
0
[0]=[1]
Figura 4.1: Construção de S1
Logo, Π : I −→
(
I
/
∼
)
é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo