SE 2019 - Aula 13 - Geometria Plana PII

Prévia do material em texto

Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 1 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
 
Profº Carlos Henrique(Bochecha) - Aula 13 – Geometria Plana P.II 
 
1. (Fgv 2017) O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro 
C. A corda intersecta a diagonal do quadrado em A, sendo que 
QA 6 cm= e AB 4 cm.= 
 
Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS, em cm, é 
igual a 
a) 2 10. b) 5 2. c) 2 15. d) 6 2. e) 7 2. 
 
2. (Enem 2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha 
usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de 
suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do 
melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, 
dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que 
o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, 
o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão 
afixados os doces. 
 
 
 
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão 
numa altura h, em centímetro, igual a 
a) 
91
5
2
− b) 10 91− c) 1 d) 4 e) 5 
3. (Fgvrj 2017) A figura abaixo mostra dois quadrados e um triângulo 
equilátero entre eles. 
 
Determine os ângulos internos do triângulo ABC. 
 
4. (Pucrj 2017) A figura mostra um octógono regular de lado 8GH 1.= = 
Prolongamos os lados AB, CD, EF e GH para obter o quadrado IJKL. 
Quanto mede o lado 4IL ?= 
 
 
 
 
a) 2 b) 1 2+ c) 1 2− d) 
12
5
 e) 3 
 
5. (Pucsp 2017) Considere uma circunferência tangente aos eixos ortogonais 
cartesianos nos pontos A e B, com 10 cm de raio, conforme mostra a 
figura. 
 
 
 
Sabendo que os pontos E, F, C, D (k, 4) estão alinhados, a medida do 
segmento EF é 
a) 1,0 cm b) 1,5 cm c) 2,0 cm d) 2,5 cm 
 
6. (Enem 2017) A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas 
representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas. 
 
Caminhão entala em viaduto no Centro 
 
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das 
avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, 
próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para 
Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto. 
 
 
Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que 
eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m 
do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos. 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um 
viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m 
menor do que a altura do vão do viaduto. 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
 
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse 
caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão? 
a) 2,82 b) 3,52 c) 3,70 d) 4,02 e) 4,20 
 
7. (Enem 2ª aplicação 2016) Um terreno retangular de lados cujas medidas, 
em metro, são x e y será cercado para a construção de um parque de 
diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens de um rio. 
Observe a figura. 
 
 
 
Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7.500,00. O 
material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno 
paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados. 
 
Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem 
ser relacionados pela equação 
a) 4(2x y) 7.500+ = b) 4(x 2y) 7.500+ = c) 2(x y) 7.500+ = 
d) 2(4x y) 7.500+ = e) 2(2x y) 7.500+ = 
 
8. (Uece 2016) No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são 
respectivamente 3 m e 2 m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a 
medida do segmento VQ é igual a 1m e U é o ponto médio do lado PS, 
então, a medida, em graus, do ângulo ˆVUR é 
a) 40. b) 35. c) 50. d) 45. 
 
9. (Uefs 2016) 
 
 
O trapézio representado na figura tem bases medindo 12 cm e 4 cm, e 
os ângulos internos da base maior medem 60 e 30 . 
Seu perímetro, em cm, é igual a 
a) 16 4 2+ b) 16 4 3+ c) 20 3 2+ d) 20 4 2+ e) 20 4 3+ 
 
10. (Ucs 2016) Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é um 
paralelogramo, em que os segmentos orientados AB e AD representam 
duas forças, sendo ( )med AD 80,= ( )med AB 100= e 
( )med ABC 120 .=  
 
Assinale a alternativa que contém a afirmação correta sobre a ( )med AE 
do segmento AE, e sobre a medida q do ângulo DAC. 
a) ( )med AE 50= e q 30=  b) ( )med AE 130= e q 30=  
c) ( )med AE 130= e q 30  d) ( )med AE 50= e q 30  
e) ( )med AE 85= e q 30=  
 
11. (G1 - ifal 2016) Julgue as afirmativas abaixo e assinale a alternativa 
correta. 
 
I. Todo paralelogramo é losango. 
II. Se um quadrilátero tem todos os lados com a mesma medida, então esse 
quadrilátero é um quadrado. 
III. As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si. 
 
a) Só I é verdadeira. b) Só II é verdadeira. c) Só III é verdadeira. 
d) I e III são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. 
 
 
12. (Enem 2ª aplicação 2016) Pretende-se construir um mosaico com o 
formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, sendo duas 
delas triângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A figura 
apresenta cinco mosaicos formados por três peças. 
 
 
 
 
 
Na figura, o mosaico que tem as características daquele que se pretende 
construir é o 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
13. (Enem PPL 2016) Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma 
tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das 
caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola 
branca e a bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na 
bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, 
ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90 com a 
trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura. 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere 
um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de 
contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As 
coordenadas do ponto que representa a bola 9 são (3; 3), o centro da 
caçapa de destino tem coordenadas (6; 0) e a abscissa da bola branca é 
0,5, como representados na figura. 
 
Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era 
a) 1,3. b) 1,5. c) 2,1. d) 2,2. e) 2,5. 
 
14. (Mackenzie 2016) A soma entre as medidas da altura e da base de um 
retângulo é de 14 cm. Se a diagonal mede 10 cm, então as medidas da 
altura e da base do retângulo são, respectivamente, 
a) 2 cm e 12 cm b) 9 cm e 5 cm c) 10 cm e 4 cm 
d) 8 cm e 6 cm e) 11cm e 3 cm 
 
15. (Fgv 2016) As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O 
são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados 
inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e 
BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir. 
 
 
 
A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é igual a 
a) 120 . b) 124 . c) 128 . d) 130 . e) 132 . 
 
16. (Espm 2016) Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente 
pelas cidades A, B e C e uma cidade D, distante 120 km de A, está 
localizada de tal forma que o ângulo DAB mede 36 . Um viajante fez o 
trajeto AB, BD e DC, percorrendo em cada trechoa mesma distância. Se 
ele tivesse ido diretamente de A até C, teria percorrido uma distância de: 
a) 120 km b) 60 3 km c) (120 cos 36 ) km  
d) 
120
km
cos 36
 e) 140 km 
 
17. (Unesp 2016) Uma mesa de passar roupa possui pernas articuladas AB 
e CD, conforme indica a figura. Sabe-se que = =AB CD 1m, e que M 
é ponto médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando a mesa está 
armada, o tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo ˆAMC 
é 60 . 
 
 
 
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da espessura do tampo 
e adotando =3 1,7, a altura do tampo dessa mesa armada em relação ao 
plano do chão, em centímetros, está entre 
a) 96 e 99. b) 84 e 87. c) 80 e 83. d) 92 e 95. e) 88 e 91. 
 
18. (Enem PPL 2016) Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa 
lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular quando 
percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, 
para isso, anotou as medidas dos ângulos ˆ ˆx EAD, y EDA= = e 
ˆz AED= do triângulo ADE. 
 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente, 
a) 18,18 e 108. b) 24, 48 e 108. c) 36, 36 e 108. 
d) 54, 54 e 72. e) 60, 60 e 60. 
 
19. (G1 - utfpr 2016) O número de diagonais de um polígono regular cujo 
ângulo externo mede 18 é: 
a) 5. b) 170. c) 14. d) 135. e) 275. 
 
20. (Enem PPL 2016) Um artista utilizou uma caixa cúbica transparente para 
a confecção de sua obra, que consistiu em construir um polígono 
IMNKPQ, no formato de um hexágono regular, disposto no interior da 
caixa. Os vértices desse polígono estão situados em pontos médios de 
arestas da caixa. Um esboço da sua obra pode ser visto na figura. 
 
 
 
Considerando as diagonais do hexágono, distintas de IK, quantas têm o 
mesmo comprimento de IK? 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 9 
 
 
 
 4 
 
 
21. (Enem 2016) Um marceneiro está construindo um material didático que 
corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e 
formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se 
posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a 
figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases 
distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com 
base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero 
(T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C). 
O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e 
nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, 
escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em 
suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a 
base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de 
diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 
7,2 cm e (V) 9,4 cm. 
 
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3, 
respectivamente. 
 
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o 
marceneiro deverá escolher? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
22. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo ABCD 
decomposto em quatro quadrados. 
 
 
 
O valor da razão 
AB
BC
 é igual a 
a) 
5
.
3
 b) 
5
.
2
 c) 
4
.
3
 d) 
3
.
2
 
 
23. (Fgv 2015) A figura representa um trapézio isósceles ABCD, com 
AD BC 4cm.= = M é o ponto médio de AD, e o ângulo ˆBMC é 
reto. 
 
 
 
O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a 
a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 15. 
24. (G1 - ifsul 2015) Sabe-se que a medida de cada ângulo interno de um 
polígono regular é 144 , então qual é o número de diagonais de tal 
polígono? 
a) 10 b) 14 c) 35 d) 72 
 
25. (Enem 2015) Para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em 
relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de 
proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a 
visualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. 
Ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono 
regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono 
seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens 
mencionadas. Ela desenhou as seguintes figuras: 
 
 
 
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias para 
representar a ingestão correta de diferentes tipos de alimentos é o 
a) triângulo. b) losango. c) pentágono. d) hexágono. e) octógono. 
 
26. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo, as retas r e 
s são paralelas, D e E são pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto 
de AD, ˆABC 30=  e ˆCDE 120 .=  Quanto mede, em graus, o 
ângulo ˆDFG? 
 
a) 120° b) 130° c) 140° d) 150° 
 
27. (Enem 2014) Diariamente, uma residência consome 20.160Wh. Essa 
residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de 
converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6cm 8cm. Cada 
uma das tais células produz, ao longo do dia, 24Wh por centímetro de 
diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a 
mesma quantidade de energia que sua casa consome. 
 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? 
a) Retirar 16 células. 
b) Retirar 40 células. 
c) Acrescentar 5 células. 
d) Acrescentar 20 células. 
e) Acrescentar 40 células. 
 
 
 
 5 
 
 
28. (G1 - ifsp 2014) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos 
de um losango são dadas, em graus, por 3x 60+  e 135 2x, − a 
medida do menor ângulo desse losango é 
a) 75°. b) 70°. c) 65°. d) 60°. e) 55°. 
 
29. (G1 - cftrj 2014) Quais são, respectivamente, as medidas dos ângulos X e 
Y na figura abaixo, sabendo que E é o ponto médio do segmento AD e que 
BCDE é um losango? 
 
 
 
30. (G1 - ifce 2014) Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto A 
em direção a um ponto B, que distam entre si cinco metros. Ao chegar ao 
ponto B, gira novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco metros, 
repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto de origem. O percurso 
do robô formará um polígono regular de 
a) 10 lados. b) 9 lados. c) 8 lados. d) 7 lados. e) 6 lados. 
 
31. (Enem 2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 
11,5m e 14m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar 
doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que 
as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e 
com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as laterais do terreno. 
Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar 
se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior 
extensão. 
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço 
disponível é 
a) 4. b) 8. c) 9. d) 12. e) 20. 
 
32. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, 
como na figura abaixo: 
 
 
Assumindo DE GF EF DG AB ,= =12, = =8 e =15 a altura do 
triângulo ABC é: 
a) 
35
4
 b) 
150
7
 c) 
90
7
 d) 
180
7
 e) 
28
5
 
 
33. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de 
sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 
4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos 
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares 
ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC 
representam cabos de aço que serão instalados. 
 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 1m b) 2 m c) 2,4 m d) 3m e) 2 6 m 
34. (Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar 
carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles 
congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de 
modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento 
desse parafuso. Observe a figura: 
 
 
 
Considere as seguintes medidas: AM AN BM BN 4 dm;= = = = 
MN x dm;= AB y dm.= 
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: 
a) 
216 – 4x 
b) 
264 – x 
c) 
216 – 4x
2
 
d) 
264 – 2x
2
 
 
35. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a 
leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. 
Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: 
a) 8 metros 
b) 10 metros 
c) 12 metros 
d) 14 metros 
e) 16 metros 
 
36. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 
30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de 
medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma 
distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa 
distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3. 
 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 
 
 
37. (Enem PPL 2012) Em uma das paredes de um depósito existem 
compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de 
dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a 
profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são 
arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de 
aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi 
idealizada e está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o 
aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de 
folgas. 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? 
a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do 
compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior 
de caixas. 
b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário 
praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do 
compartimento. 
c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente 
no compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura. 
d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o 
número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do compartimento. 
e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente 
no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura. 
 
38. (Udesc 2012) Numa praça de alimentação retangular, com dimensões 12 
m por 16 m, as mesas estão dispostas em fileiras paralelas às laterais do 
ambiente, conforme o esquema da figura, sendo as linhas pontilhadas os 
corredores entre as mesas. 
 
 
 
Pela disposição das mesas, existem várias maneiras de se chegar do ponto A 
ao ponto C, movendo-se apenas pelos corredores. Seguindo-se o caminho 
destacado e desprezando-se a largura dos corredores, a distância percorrida 
é: 
a) 12 m b) 20 m c) 24 m d) 28 m e) 16 m 
 
39. (Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo 
quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. 
 
 
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha 
utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a 
área total da pipa. 
Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ˆABC e 
ˆADC são retos. 
Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, 
determine o comprimento total da linha, representada por 
AB BC CD DA.+ + + 
 
40. (Pucrj 2012) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz 
de CÂB. Sabemos que AB mede 1 e que BD mede 
1
.
2
 Quanto mede 
o cateto BC ? 
 
a) 1 b) 2 c) 
3
2
 d) 
4
3
 e) 2 
 
41. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas 
sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que 
a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para 
que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada 
que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento 
deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da 
medida L do lado da base da estatua. 
 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a 
exigência de segurança seja cumprida? 
a) R L/ 2 b) R 2L/π c) R L/ π d) R L/2 e) ( )R L/ 2 2 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos médios dos 
lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Um dos ângulos internos 
desse losango mede ,α sendo 0 90 .α    
 
42. (Insper 2012) Se 60 ,α =  então a razão entre o perímetro do losango 
ABCD e o perímetro do quadrilátero MNPQ, nessa ordem, é igual a 
a) 3 1.+ b) 2. c) 3. d) 
3
.
2
 e) 2 3 2.− 
 
43. (G1 - ifce 2011) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero 
convexo são inversamente proporcionais a 5, 8, 10 e 40, então as medidas, 
em graus, dos ângulos são, respectivamente, iguais a 
a) 160°; 100°; 80° e 20°. b) 100°; 80°; 20° e 160°. c) 80°; 50°; 40° e 10°. 
d) 50°; 40°; 10º e 80°. e) 75°; 45°; 40° e 20°. 
 
44. (Unicamp simulado 2011) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou 
uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a 
uma altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada 
escorregou por 1 m, tocando o muro paralelo à parede, conforme ilustração 
abaixo. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada 
passou a fazer um ângulo de 45º com o piso horizontal. A distância entre a 
parede da casa e o muro equivale a 
 
 
 
a) 4 3 + 1 m b) 3 2 −1 m. c) 4 3 m d) 3 2 −2 m 
 
 
 7 
 
 
45. (Espm 2011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do 
segmento AD é igual a: 
a) 2 b) 1 2+ c) 2 2 1− d) 2 2 1+ e) 2 2 
 
46. (Ibmecrj 2010) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado igual a 
9 cm. Seus lados foram divididos em 9 partes iguais e, pelos pontos de 
divisão, traçaram-se paralelas à diagonal AC. A soma dos comprimentos 
dessas paralelas incluindo AC é: 
 
a) 90 2 cm b) 72 2 cm c) 81 2 cm d) 80 2 cm e) 86 2 cm 
 
47. (Uerj 2010) Observe a figura a seguir, que representa um quadrado 
ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. 
Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. 
 
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base 
seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o 
problema proposto no jogo. 
 
Calcule a razão
PS
.
PQ
 
 
48. (Pucrj) 
 
Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? 
a) 24° b) 30° c) 36° d) 40° e) 45° 
 
49. (Uerj) Dois atletas partem simultaneamente do ponto A, com movimento 
uniforme, e chegam ao mesmo tempo ao ponto C. Um deles segue a trajetória 
AC, com velocidade 1v km / h, e o outro segue a trajetória ABC, com 
velocidade 2v km / h, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
Sendo a e c, respectivamente, as medidas, em quilômetros, dos catetos 
BC e BA, podemos afirmar que 
1
2
v
v
 corresponde a: 
a) 
( )
( )
2 2 a c
a c
+
+
 b) 
( )
( ) ( )
2 2 a c
a c
+
 +
 
 c) ( )
( )2 2
a c
a c
 
+ 
 
+  
 d) 
( )
( )
2 2a c
a c
 
+  
+
 
 
50. (Uerj) Terno pitagórico é a denominação para os três números inteiros 
que representam as medidas, com a mesma unidade,dos três lados de um 
triângulo retângulo. 
Um terno pitagórico pode ser gerado da seguinte forma: 
 
- escolhem-se dois números pares consecutivos ou dois números ímpares 
consecutivos; 
- calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se uma fração cujo numerador 
e denominador representam as medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo; 
- calcula-se a hipotenusa. 
 
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medidas dos três lados de 
um triângulo retângulo, considerando os números pares 4 e 6. 
b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e que (x - 1) e (x + 1) 
representam dois pares ou dois ímpares consecutivos. 
Demonstre que esses dois números geram um terno pitagórico. 
 
51. (Enem) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou 
azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. 
Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a 
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de 
ladrilhos, como ilustram as figuras: 
 
 
 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas 
medidas de seus ângulos internos. 
 
Nome Triângulo Quadrado Pentágono 
Figura 
 
Ângulo 
interno 
60° 90° 108° 
 
Nome Hexágono Octágono Eneágono 
Figura 
 
Ângulo 
interno 
120° 135° 140° 
 
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de 
ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo 
escolhido deverá ter a forma de um 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono. 
 
 
 
 8 
 
 
52. (Uerj) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus 
ângulos internos são iguais. 
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a 
figura denominada: 
a) losango 
b) trapézio 
c) retângulo 
d) quadrado 
 
53. (Enem) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 
degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras 
respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura: 
 
 
 
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo 
comprimento mínimo, em cm, deve ser: 
a) 144. 
b) 180. 
c) 210. 
d) 225. 
e) 240. 
 
54. (Uerj) Observe a figura: 
 
 
 
Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma 
brincadeira: 
 
10.) esticou uma linha AB , cujo comprimento é metade da altura dela; 
20.) ligou B ao seu pé no ponto C; 
30.) fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o ponto D sobre BC ; 
40.) fez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre AC . 
 
Para surpresa da modelo, C E é a altura do seu umbigo. 
Tomando AB como unidade de comprimento e considerando 5 = 2,2, a 
medida C E da altura do umbigo da modelo é: 
a) 1,3 b) 1,2 c) 1,1 d) 1,0 
 
55. (Uff) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado 
circunscrito em uma circunferência de raio R é: 
a) 
1
3
 b) 
1
2
 c) 
3
3
 d) 
2
2
 e) 2 
 
56. (Uerj) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, 
escrever um poema do qual extraímos o fragmento a seguir: 
 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, 
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente 
por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável 
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; 
olhos romboides, boca trapezoide, 
corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, 
até que se encontraram no Infinito. 
"Quem és tu?" - indagou ele em ânsia radical. 
Sou a soma dos quadrados dos catetos. 
Mas pode me chamar de hipotenusa." 
 (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.) 
 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de 
Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: 
a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa." 
b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de 
hipotenusa." 
c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado 
da hipotenusa." 
d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de 
quadrado da hipotenusa." 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [C] 2: [C] 
 
3:
ABC 15 45 60
BAC 45 30 75
BCA 15 30 45
=  +  = 
=  +  = 
=  +  = 
 
 
4: [B] 5: [D] 6: [D] 7: [A] 8: [D] 9: [E] 10: [C] 11: [C] 12: [B] 13: [E] 14: [D] 
 
15: [E] 16: [A] 17: [B] 18: [C] 19: [B] 20: [B] 21: [B] 22: [A] 23: [C] 24: [C] 
 
25: [C] 26: [D] 27: [A] 28: [A] 29: x = 34°. 30: [E] 31: [C] 42: [D] 33: [C] 
 
34: [B] 35: [B] 36: [C] 37: [E] 38: [D] 
 
39: AB BC CD DA 2 30 2 40 140cm.+ + + =  +  = 
 
40: [D] 41: [A] 42: [E] 43: [A] 44: [B] 45: [B] 46: [C] 
 
47: PS 2x 5
5
2xPQ
5
= =
 48: [C] 49: [D] 
 
50: a) Sejam a, b e c, respectivamente, a hipotenusa e os catetos do triângulo 
procurado. De acordo com o enunciado, temos: 
1 1 5
4 6 12
+ = 
Donde b = 5 e c = 12. 
Logo a = 25 144+ = 13. 
 
b) De modo análogo ao item (a), vem: 
2 2
1 1 x 1 x 1 2x
x 1 x 1 x 1 x 1
+ + −
+ = =
− + − −
 
Assim, b = 2x e c = 
2x 1− . 
e, portanto, a =
2 4 2 2 2 24x x 2x 1 (x 1) x 1+ − + = + = + . 
E como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que 
2x 1+ , 2x 
e
2x 1− são inteiros. 
 c.q.d. 
 
51: [B] 52: [A] 53: [D] 54: [B] 55: [D] 56: [D] 
 
 
 
 
 9 
 
 
Gabarito: 
 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
Considere a figura, em que é a medida do lado do quadrado PQRS. 
 
 
É fácil ver que os triângulos BQS e CQS são semelhantes por AA. 
Ademais, como QS 2cm= e C é ponto médio de QS, temos 
2
2
QC QA 62
10QB QS 2
60
2 15 cm.
=  =
 =
 =
 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
O triângulo OAB é um triângulo pitagórico do tipo 3-4-5, portanto: 
OA 4
AB r 3
R 5
h R OA 5 4 h 1
=
= =
=
= − = −  =
 
 
Resposta da questão 3: 
 Desenhando: 
 
 
 
Calculando: 
BÂD ABD 45
ADC 360 90 90 60 120
180 120
DAC DCA 30
2
BDC 60 90 150
180 150
DBC DCB 15
2
= = 
=  −  −  −  = 
 − 
= = = 
=  +  = 
 − 
= = = 
 
 
Assim: 
ABC 15 45 60
BAC 45 30 75
BCA 15 30 45
=  +  = 
=  +  = 
=  +  = 
 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Calculando: 
8
4 4
1 2
1 GL 2 GL
22
2
IH GL
2
2
2 1 1 2
2
= =   = =
= =
=  +  = +
 
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
Como a circunferência é tangente aos eixos coordenados e está no primeiro 
quadrante, as coordenadas do seu centro são ( )C 10,10 . Logo: 
 
 
 
Analisando o triângulo destacado em vermelho, percebe-se que ele tem 
catetos 6 e 8 (por Pitágoras). Assim, a coordenada do ponto D será 
(18, 4). Ainda: o triângulo em vermelho é semelhante ao triângulo EBC 
(em azul). Logo, pode-se escrever: 
EC 10
EC 12,5
10 8
EF EC 10 EF 2,5
= → =
= − → =
 
 
Resposta da questão 6: [D] 
 
Unindo-se os centros dos círculos, tem-se um triângulo equilátero (com altura 
h destacada em vermelho) de lado igual a 2r, conforme a figura a seguir: 
 
 
 
A altura total dos canos será igual a: 
canos
canos
viaduto
H h 2r
r 0,6
3 3
h L 0,6 2 h 1,02
2 2
H 1,02 1,2 2,22 m
H 1,3 0,5 2,22 4,02 m
= +
=
=  =    =
= + =
= + + =
 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
 
 
 10 
 
 
O custo para cercar os lados paralelos ao terreno é igual a 2x 4 8x, = 
enquanto que para cercar os outros lados o custo é 2y 2 4y. = Portanto, 
segue que 
8x 4y 7500 4(2x y) 7500.+ =  + = 
 
Resposta da questão 8: [D] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sabendo que VQ 1m= e U é ponto médio de PS, temos 
PV QR 2 m= = e PU 1m.= Em consequência, os triângulos PVU 
e QRV são congruentes por LAL. Portanto, segue que UVR é reto e, 
assim, o triângulo VRU é retângulo isósceles. 
 
A resposta é VUR 45 .=  
 
Resposta da questão 9: [E] 
 
Considere a figura, em que AE BC. 
 
 
 
Sendo CD 12cm= e EC 4cm,= temos DE CD EC 8cm.= − = 
Ademais, AE BC implica em AED 30 ,=  pois BCE e AED são 
ângulos correspondentes.Logo, como ADE 60 ,=  vem DAE 90 .=  
 
Por conseguinte, do triângulo ADE, encontramos 
AD
cos60 AD 4cm
DE
 =  = 
e 
AE
sen60 AE 4 3 cm.
DE
 =  = 
 
A resposta é ABCD2p (20 4 3)cm.= + 
 
Resposta da questão 10: [C] 
 
Se ABCD é paralelogramo, então ABC ADC 120 . =  Logo, como 
EDC e ADC são suplementares, vem EDC 60 .=  Por outro lado, 
sendo AB CD,= do triângulo retângulo EDC, encontramos 
 
DE DE
cosEDC cos60 DE 50.
100CD
=   =  = 
 
Em consequência, vem AE AD DE 130.= + = 
 
Sabemos que DAC ACD 60+ =  e CD AD. Desse modo, 
q DAC= só pode ser maior do que a média aritmética das medidas dos 
ângulos DAC e ACD, qual seja, 30 . 
 
Resposta da questão 11: [C] 
 
[I] Falsa. Um losango é um paralelogramo de lados congruentes. 
[II] Falsa. Um quadrado deve ter todos os lados com a mesma medida e todos 
os ângulos retos. 
[III] Verdadeira. As diagonais de um quadrado são sempre perpendiculares 
entre si. 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
O mosaico que possui as características daquele que se pretende construir é 
o 2. De fato, pois os triângulos 30 , 60 , 90   são congruentes e o 
triângulo 30 , 30 ,120   é isósceles. 
No mosaico 1, o triângulo 30 , 30 ,120   é isósceles, mas os triângulos 
30 , 60 , 90   não são congruentes. 
No mosaico 3, os triângulos 22 , 68 , 90   são congruentes, mas o 
triângulo 44 , 46 , 90   não é isósceles. 
Nos mosaicos 4 e 5 não é possível formar um triângulo retângulo com as 
três peças. 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
Considerando os dados do enunciado: 
 
 
 
( )
( )
ABC CFG AB AC
BM CM BM 1 B 1; 3
ABC DBE
DE DB DE 0,5 E 0,5; 2,5
    =
=  = 
  
=  = 
 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
 
De acordo com as informações do enunciado, podemos escrever: 
2 2 2 2
x y 14 y 14 x
x y 10 x y 10
+ = = −  
 
+ = + =  
 
 
 
 
 11 
 
 
Substituindo a primeira equação na segunda, temos: 
2 2 2 2x (14 x) 10 x 14x 48 0 x 6 ou x 8+ − =  − + =  = = 
 
Se x 6,= temos y 8.= 
Se x 8,= temos y 6.= 
 
Portanto, a única alternativa correta é a [D]. 
 
Resposta da questão 15: [E] 
 
Se o lado AB refere-se a um polígono regular de 6 lados, então o arco 
AB mede 60 . 
Se o lado CD refere-se a um polígono regular de 10 lados, então o arco 
CD mede 36 . 
A circunferência tem um total de 360 , logo o ângulo pedido será: 
360 60 36
132
2
α α
− −
=  =  
 
Resposta da questão 16: [A] 
 
Teremos: 
 
 
 
BA BD DAB ADB BDC 36
2 36 ABD 180 ABD 108 DBC BCD 72
= → = = = 
 + =  → = → = = 
 
 
Logo: 
ADC ACD 72 AC AD 120 km= = → = = 
 
Resposta da questão 17: [B] 
 
Se M é o ponto médio dos segmentos e se AMC é 60 , então os 
triângulos formados ( AMC e DMB) são equiláteros com lado igual a 
0,5.= Logo, a altura da mesa em relação ao chão será igual a 2h, 
sendo h a altura de um dos triângulos equiláteros. Ou seja: 
3 0,5 1,7
h 0,425 2h 0,85 m 85 cm
2 2

= = = → = = 
 
Resposta da questão 18: [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )int ernos
internos
pentágono regular z é ângulo interno
S 180 n 2 180 5 2 540
S 540
z 108
n 5
x y z 180
2x 108 180 x y 36
x y

=   − =   − = 

= = = 
+ + = 
 + =  = = 
=
 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
( ) ( )
externos
n n vértices ou lados
S 360 n 18 n 20 vértices ou lados
n n 3 20 20 3
Diagonais 170
2 2
= 
=  =   → =
 −  −
= = =
 
 
Resposta da questão 20: [B] 
 
A diagonal IJ cruza liga vértices opostos do hexágono. Como existem 
apenas 6 vértices, há apenas mais duas diagonais possíveis ligando vértices 
opostos (portanto tendo o mesmo comprimento) – NQ e MP. 
 
Resposta da questão 21: [B] 
 
Usando as aproximações fornecidas, concluímos que os diâmetros dos 
círculos inscrito e circunscrito a T medem, respectivamente, 4 cm e 
8 cm. Em consequência, os exemplares I e V não satisfazem as condições, 
pois T cabe em V e I cabe em T. 
Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras concluímos facilmente que a 
diagonal de R mede 5 cm. Em que os diâmetros dos círculos inscrito e 
circunscrito a R medem, respectivamente, 3 cm e 5 cm. Portanto, os 
exemplares III e IV também não satisfazem as condições restando apenas o 
exemplar II. 
 
Resposta da questão 22: [A] 
 
Há três tipos de quadrados, com 1 2 3  sendo os seus lados. É fácil 
ver que 2 12=  e 3 1 2 13 .= + =  Portanto, temos 
3 2
3
AB 5
.
3BC
+
= = 
 
Resposta da questão 23: [C] 
 
Seja N o ponto do segmento BC tal que MN é paralelo a AB. Logo, 
MN é a base média do trapézio ABCD e, portanto, segue que 
AB CD
MN .
2
+
= Além disso, MN é a mediana relativa à hipotenusa 
BC do triângulo BMC. Daí, vem 
BC
MN 2cm.
2
= = 
 
Em consequência, podemos afirmar que o perímetro do trapézio ABCD é 
igual a 12cm. 
 
Resposta da questão 24: [C] 
 
Como trata-se de um polígono regular, a soma dos ângulos internos será igual 
a 144 n,  sendo n o número de lados do polígono. Pela fórmula da soma 
dos ângulos internos, tem-se: 
 
S 144n 180 (n 2) 144n 180n 360 36n 360 n 10= =  − → − = − → = → =
 
Sabendo que o polígono tem n 10= lados, aplica-se a fórmula do número 
de diagonais: 
 
n (n 3) 10 (10 3) 70
d d 35
2 2 2
 −  −
= = = → = 
 
Resposta da questão 25: [C] 
 
Excetuando-se o triângulo equilátero, cada polígono pode ser dividido em 2n 
triângulos retângulos congruentes, com n sendo o número de lados do 
polígono. Além disso, sejam c, p e g, respectivamente, as frações da área 
de cada polígono, correspondentes às quantidades de carboidratos, proteínas 
e gorduras. 
 
Desse modo, para o losango, o pentágono, o hexágono e o octógono, 
respectivamente, temos: 
1 1 3
(c, p, g) , , ;
2 8 8
 
=  
 
 
6 1 3
(c, p, g) , , ;
10 10 10
 
=  
 
 
7 1 1
(c, p, g) , ,
12 12 4
 
=  
 
 e 
3 1 3
(c, p, g) , , .
4 16 16
 
=  
 
 
 
 
 
 12 
 
 
Em particular, para o triângulo equilátero, considere a figura. 
 
 
É fácil ver que 
5 1 1
(c, p, g) , , .
9 9 3
 
=  
 
 
 
Portanto, o único polígono que satisfaz é o pentágono. 
 
Resposta da questão 26: [D] 
 
 
ˆADC 30 (ângulos opostos do paralelogramo)
ˆGFD 30° 120 150 (alternos internos)
= 
= +  = 
 
 
Resposta da questão 27: [A] 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, concluímos facilmente que a diagonal de 
uma célula solar mede 10cm. Em consequência, as 100 células 
produzem 100 10 24 24.000 Wh.  = Assim, estão sendo produzidos, 
diariamente, 24000 20160 3.840 Wh− = além do consumo. Portanto, 
o proprietário deverá retirar 
3840
16
240
= células. 
 
Resposta da questão 28: [A] 
 
3x 60 135 2x
5x 75
x 15
3 15 60 180 75 .α α
+  =  −
= 
= 
+   + =   = 
 
 
Resposta da questão 29: 
 
 
y = 180° – 112° = 68° 
Logo, BED 68 .=  
AE EB,= portanto, ˆEBC x.= 
 
No triângulo AEB : 2x = 68° 
 
Portanto, x = 34°. 
 
Resposta da questão 30: [E] 
 
 
 
O trajeto do robô será um polígono regular de lado 5m e ângulo externo 60°. 
Como 360° : 6 = 60°, concluímos que o polígono pedido possui 6 lados. 
 
Resposta da questão 31: [C] 
 
Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 3 m e as mudas 
correspondem aos pontos vermelhos. 
 
 
 
Portanto, segue que o resultado pedido é 9. 
 
Resposta da questão 32: [D] 
 
Seja h a altura do triângulo ABC. 
Como os triângulos ABC e DGC são semelhantes, temos que 
 
h 12 8
15h 180 8h
h 15
180
h u.c.
7
−
=  − =
 =
 
 
Resposta da questão 33: [C] 
 
É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, 
 
AF AC AF 4
6BF BD BF
AF BF 2 3
2AF
AF 2
.
5AF BF
=  =
+ +
 =
 =
+
 
 
Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, 
vem 
 
AF EF AF EF
6AB BD AF BF
EF 2
6 5
EF 2,4 m.
=  =
+
 =
 =
 
 
 
 
 13 
 
 
Resposta da questão 34: [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Seja H o ponto de interseçãodos segmentos AB e MN. 
Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, segue que AMBN é 
losango. Logo, 
y
AH
2
= e 
x
HN .
2
= 
 
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos 
2 2
2 2 2 2
2 2
2
y x
AH HN AN 4
2 2
y 64 x
y 64 x dm.
   
+ =  + =   
   
 = −
 = −
 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 
6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o 
hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo 
retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
2 2 2 2 2 2BC AC AB BC 8 6
BC 100
BC 10 m.
= +  = +
 =
 =
 
 
Resposta da questão 36: [C] 
 
Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de 
lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta 
OC com o círculo de raio 30cm e centro em C. 
 
 
 
Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, 
segue-se que 
60 3
OC 34cm.
3
=  
Portanto, 
R OC CD DE
34 30 10
74cm.
= + +
= + +
=
 
 
Resposta da questão 37: [E] 
 
Para que a troca seja possível, deve-se ter 4a 2b 2= + e 3b 5a 5.= + 
Logo, se 4a 32cm,= ou seja, a 8cm,= então 3b 45cm= e, 
portanto, a troca será possível. 
 
Resposta da questão 38: [D] 
 
A distância percorrida é dada pela soma das dimensões da praça de 
alimentação, ou seja, 16 12 28 m.+ = 
 
Resposta da questão 39: 
 Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 
igual a 360 e que os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o 
quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso, como AC BD,⊥ segue que 
DE EB= e, portanto, 
2
DE EB AE EC DE 18 32
DE 9 2 32
DE 3 8
DE 24cm.
 =   = 
 =  
 = 
 =
 
 
Desse modo, como AE 18 3 6= =  e DE 24 4 6,= =  vem que 
AD 5 6 30.=  = Por outro lado, como EC 32 4 8= =  e 
DE 24 3 8,= =  obtemos CD 5 8 40.=  = 
Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os 
triângulos BCE e CDE, vem 
AB BC CD DA 2 30 2 40 140cm.+ + + =  +  = 
 
Resposta da questão 40: [D] 
 
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que 
1
BD CD CD2
1AB AC AC
AC 2 CD.
=  =
 = 
 
Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
2
2 2 2 2 2
2
1
AC BC AB (2 CD) CD 1
2
5
3 CD CD 0
4
5
CD u.c.
6
 
= +   = + + 
 
  − − =
 =
 
Portanto, 
 
BC BD CD
1 5
2 6
4
u.c.
3
= +
= +
=
 
 
Resposta da questão 41: [A] 
 
 
 
 
 
 14 
 
 
Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o 
lado da base da estátua, podemos escrever: 
 
R2 + R2 = L2 
 
2
2 LR
2
L
R
2
=
=
 
 
Portanto: 
 
L
R .
2
 
 
Resposta da questão 42: [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Seja a medida do lado do losango ABCD. 
Assim, como AQ AM
2
= = e supondo QAM 60 ,=  temos que o 
triângulo AQM é equilátero e, portanto, MQ .
2
= Analogamente, segue 
que PN .
2
= 
Por outro lado, temos que QDP 120 .=  Daí, se S é o pé da 
perpendicular baixada de D sobre PQ, concluímos que QDS 60 ,=  pois 
DP DQ .
2
= = Logo, do triângulo DQS, vem 
PQ
QS 2senQDS sen60
DQ
2
3
PQ .
2
=   =
 =
 
 
Por conseguinte, a razão pedida é igual a 
 
ABCD
MNPQ
2p 4
2p 3
2
2 2
4 3 1
3 1 3 1
2 3 2.
=
 
 + 
 
−
= 
+ −
= −
 
 
 
 
 
Resposta da questão 43: [A] 
 
Sejam a, b, c e d as medidas dos ângulos internos do quadrilátero. 
Temos que 
a b c d
k,
1 1 1 1
5 8 10 40
= = = = sendo k a constante de 
proporcionalidade. 
Além disso, sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero 
convexo é 360 , vem 
k k k k
a b c d 360 360
5 8 10 40
8k 5k 4k k 40 360
40 360
k 800 .
18
+ + + =   + + + = 
 + + + =  
 
 = = 
 
Portanto, a 160 , b 100 , c 80=  =  =  e d 20 .=  
 
Resposta da questão 44: [B] 
 
 
 
Na figura 2: y2 = x2 + x2  y = x 2 
Na figura 1: y2 = 42 + (x – 1)2 (x 2 )2 = 16 + x2 -2x + 1 x2 + 2x – 17 = 0 
 
Resolvendo a equação temos: 
x 3 2 1 ou x -3 2 1 (não convém)= − = − 
Resposta: m)123( − 
 
Resposta da questão 45: [B] 
 
Sabendo que o número de diagonais (d) de um polígono regular em função 
do número de lados (n) é dado por 
n (n 3)
d ,
2
 −
= temos que 
2n (n 3)20 n 3n 40 0 n 8.
2
 −
=  − − =  = 
Logo, A,B, C e D são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo 
ângulo interno mede 
180 (n 2) 180 (8 2)
135 .
n 8
  −   −
= =  
De posse desses dados, considere a figura abaixo. 
 
Como os triângulos AB'B e CC'D são congruentes, basta calcularmos 
AB', pois BB'C'C é retângulo. 
Assim, 
AB 1 2
AB' .
22 2
= = = 
 
 
 
 15 
 
 
Por conseguinte, 
 
AD 2 AB' B'C'
2
2 1
2
2 1.
=  +
=  +
= +
 
 
Resposta da questão 46: [C] 
 
Hipotenusa de um triângulo isósceles 
 
 
 
Logo, a soma pedida será 
S 2(1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2) 9 2 81 2.= + + + + + + + + = 
 
Resposta da questão 47: 
 
 
 
2 2 2 2 2 2CN NB BC CN x 4x CN x 5
CD
MC MC x
2
= +  = +  =
=  =
 
A seguinte relação é válida para o triângulo ADM: 
2x 2x5xDE 2x DE
5
=  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
PQ DE= , 
pode-se obter a razão: 
PS 2x 5
5
2xPQ
5
= = 
 
Resposta da questão 48: [C] 
 
Resposta da questão 49: [D] 
 
Resposta da questão 50: 
 a) Sejam a, b e c, respectivamente, a hipotenusa e os catetos do triângulo 
procurado. De acordo com o enunciado, temos: 
1 1 5
4 6 12
+ = 
 
Donde b = 5 e c = 12. 
 
Logo a = 25 144+ = 13. 
 
b) De modo análogo ao item (a), vem: 
2 2
1 1 x 1 x 1 2x
x 1 x 1 x 1 x 1
+ + −
+ = =
− + − −
 
Assim, b = 2x e c = 
2x 1− . 
 
e, portanto, a =
2 4 2 2 2 24x x 2x 1 (x 1) x 1+ − + = + = + . 
 
E como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que 
2x 1+ , 2x 
e
2x 1− são inteiros. 
 c.q.d. 
 
Resposta da questão 51: [B] 
 
 
 
Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do 
quadrado mede 90°. 
Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o 
quadrado. 
 
Resposta da questão 52: [A] 
 
Resposta da questão 53: [D] 
 
Duplicando a figura dada, como na figura a seguir, podemos observar 5 
degraus de 90 cm cada. 
 
 
Logo a soma dos comprimentos dos degraus da escada é 
5 90
225 cm.
2

= 
Portanto, será necessária uma peça linear de no mínimo 225 cm. 
 
Resposta da questão 54: [B] 
 
Resposta da questão 55: [D] 
 
Resposta da questão 56: [D]