SE 2019 - Aula 19 - Casa

Prévia do material em texto

Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) - Aula 19 – Casa(P.G.) 
 
1. (Enem PPL 2014) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é 
duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma 
observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma 
população inicial de 
510 bactérias X e encerrou a observação ao final 
de uma hora. 
Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de 
bactérias X se duplica a cada quarto de hora. 
 
Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o 
número de bactérias X foi de 
a) 
2 52 10−  
b) 
1 52 10−  
c) 
2 52 10 
d) 
3 52 10 
e) 
4 52 10 
 
2. (Enem PPL 2012) Uma maneira muito útil de se criar belas figuras 
decorativas utilizando a matemática é pelo processo de 
autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, 
dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são 
semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o 
Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a 
seguir: 
 
- Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos 
(Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, 
restando 8 quadrados pretos (Figura 2). 
- Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, 
ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-
se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados 
pretos (Figura 3). 
- Passo 3: Repete-se o passo 2. 
 
 
 
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se 
cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e 
remove-se o quadrado central de cada um deles. 
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é 
a) 64. 
b) 512. 
c) 568. 
d) 576. 
e) 648. 
 
3. (Enem) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode 
ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A 
geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o 
comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por 
repetições de padrões similares. 
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria 
fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 
 
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 
 
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho 
do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 
 
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um 
vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois 
triângulos, conforme ilustra a figura 2; 
 
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos 
obtidos no passo 3 (figura 3). 
 
 
 
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência 
apresentada acima é 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 2 
 
 
 
4. (Ufrgs 2017) Na figura abaixo, encontram-se representados 
quadrados de maneira que o maior quadrado 1(Q ) tem lado 1. O 
quadrado 2Q está construído com vértices nos pontos médios dos lados 
de 1Q ; o quadrado 3Q está construído com vértices nos pontos 
médios dos lados de 2Q e, assim, sucessiva e infinitamente. 
 
 
 
A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na 
figura é 
a) 
1
.
2
 
b) 
1
.
4
 
c) 
1
.
8
 
d) 
1
.
16
 
e) 
1
.
32
 
 
5. (Acafe 2017) Se 
2 3 42 2 sen 2(sen ) 2(sen ) 2(sen ) 10,θ θ θ θ+ + + + + = com 
0 2,θ π  então, | cos (2 ) |θ é igual a: 
a) 17 25. 
b) 3 5. 
c) 9 5. 
d) 7 25. 
 
6. (G1 - ifsul 2017) Uma progressão geométrica (ou PG) é uma 
sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do 
anterior por uma constante q dada. 
 
Tendo como base a definição acima e considerando uma PG 
1 2 3(a , a , a ), avalie as seguintes afirmações: 
 
I. A progressão geométrica pode ser escrita como (x q, x, x q).− + 
II. O termo 2a pode ser escrito como 2 1 3a a a .=  
III. É válida a relação 
32
1 2
aa
.
a a
= 
IV. Se q 0, a PG será decrescente. 
 
Estão corretas as afirmativas 
a) I e II apenas. 
b) I, III e IV apenas. 
c) II e III apenas. 
d) I, II, III e IV. 
 
7. (Uel 2016) Leia o texto a seguir. 
 
Segundo teorias demográficas, a população mundial cresceria em ritmo 
rápido, comparado a uma tPG (2, 4, 8,16, 32, 64, ..., a , ...),= e a 
produção mundial de alimentos cresceria em um ritmo lento, comparado 
a uma tPA (1, 2, 3, 4, ..., b , ...).= 
(Adaptado de: <http://educação.uol.com.br/disciplinas/geografia/teorias-
demograficas-malthusianos-neomalthusianos-e-reformistas.htm>. Acesso 
em: 15 jun. 2015.) 
 
Suponha que PA seja a sequência que representa a quantidade de 
alimentos, em toneladas, produzidos no tempo t 0, e que PG seja a 
sequência que representa o número de habitantes de uma determinada 
região, nesse mesmo tempo t . 
 
A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, a razão entre a quantidade de alimentos, em kg, e o 
número de habitantes, para t 10= anos. 
a) 
3
6
5
2
 
b) 
4
6
5
2
 
c) 
5
6
5
2
 
d) 
3
5
5
2
 
e) 
4
5
5
2
 
 
8. (Fgv 2016) Três números formam uma progressão geométrica. A 
média aritmética dos dois primeiros é 6, e a do segundo com o terceiro 
é 18. Sendo assim, a soma dos termos dessa progressão é igual a 
a) 18. 
b) 36. 
c) 39. 
d) 42. 
e) 48. 
 
9. (G1 - ifsul 2016) Os números que expressam o raio de uma 
circunferência, seu perímetro e a área do círculo delimitado por tal 
circunferência estão, nessa ordem, em progressão geométrica. 
Qual é o raio da circunferência? 
a) 2 
b) 4 
c) 2π 
d) 4π 
 
 
10. (Upf 2016) O limite da expressão 
 
3 3 3 3 3n n n n n 
Onde n é positivo, quando o número de radicais aumenta 
indefinidamente é igual a: 
a) 
1
n
 
b) n 
c) 
n
2
 
d) n 
e) 3n 
 
 
 
 3 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [E] 
 
Uma hora corresponde a 
4
4
 de hora. Logo, ao fim de uma hora, o 
número de bactérias X foi de 4 52 10 . 
 
 
Resposta da questão 2: [B] 
 
É fácil ver que o número de quadrados pretos que restam após a n-ésima 
iteração é dado por 
n8 . Portanto, após a terceira iteração, o número de 
quadrados pretos que restam é igual a 
38 512.= 
 
 
Resposta da questão 3: [C] 
 
O número de triângulos pretos em cada passo constitui a PG 
(1, 3, 9, 27, ). 
A alternativa (C) é a única que apresenta 27 triângulos pretos. 
 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
A área de cada quadrado, a partir do segundo, é metade da área do 
quadrado anterior. Portanto, as áreas dos triângulos retângulos 
assinalados formam um PG infinita de razão 
1
.
2
 
 
 
 
A sequência 1 2 3A , A , A , é uma PG infinita de razão 
1
.
2
 
 
Calculando a área 1A , temos: 
1
1 1
12 2A
2 8

= = 
 
Portanto, a soma de todas as áreas dos triângulos retângulos será dada 
por: 
1 2 3 4S A A A A
1
1 1 1 1 18S ...
18 16 32 64 4
1
2
= + + + +
= + + + + =
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
A expressão dada trata-se de PG infinita de razão igual a sen .θ Assim, 
pode-se escrever: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
2 2 2
2 2
a 2 4
S 10 10 10sen 2 sen
1 q 1 sen 5
4 3
sen cos 1 cos 1 cos
5 5
9 16 7 7
cos 2 cos sen
25 25 25 25
θ θ
θ
θ θ θ θ
θ θ θ
=  =  − =  =
− −
 
+ =  + =  = 
 
= − = − = − =
 
 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
[I] Incorreta, pois a expressão (x q, x, x q)− + representa uma 
progressão aritmética. 
 
[II] Correta,pois, seja uma 1 2 3PG a , a , a ...,= onde o primeiro termo é 
1a e a razão é q temos: 
2
1 2 3 1 1 1PG a , a , a ..., (a ), (a q), (a q )...= =   
 
Aplicando a média geometria na PG, temos: 
2 2 2
1 1 1 1 1a q (a ) (a q ) a q a q =   =  =  
 
Como 1 2a q a = e 
2
1 3a q a = temos: 2 1 3a a a=  
 
[III] Correta, pois como trata-se de uma progressão onde, uma razão q 
deve ser multiplicada pelo termo anterior para se obter um novo 
termo, a razão entre dois termos consecutivos deve ser sempre a 
mesma. Ou seja: 
2 1
1 1 32
2
1 23 1
2 1
a a q
q
a a aa
a aa a q
q
a a q

= =
 =

= =

 
 
[IV] Incorreta, pois uma razão negativa pode tornar a sequência 
alternada, ou seja, a mesma pode alternar entre valores positivos e 
negativos. 
Tome uma PG com primeiro termo 1a 1= e razão q 1:= − 
PG 1, 1,1, 1...= − − 
 
Note que a sequência se alterna infinitamente e não é necessariamente 
decrescente. 
 
 
Resposta da questão 7: [B] 
 
Tem-se que 
t
ta 2= habitantes e tb 1000t= quilogramas. Portanto, 
para t 10,= vem 
 
10
10
10
4
10
4 4
10
4
6
b 1000 10
a 2
10
2
2 5
2
5
.
2

=
=

=
=
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
Resposta da questão 8: [C] 
 
( )
( ) ( )
( ) 2 2
a
PG , a, aq
q
a
a
a 1q
6 a 12 a 1 12 36 1
2 q q 1 12
1 q q
a aq 36
18 a 1 q 36 a
2 1 q
36 1 36 36 36 36q
1 12 12 12
1 q q 1 q q 1 q 1 q q
q' 3
36 36q 12q 1 q 12q 24q 36 0 q 2q 3 0
q'' 1(não con
 
=  
 
+
 
=  + =   + =   
  + =   
+  
+
=   + =  =
+
  +
 + =  + =  = 
+ +  + +  
=
 + =  +  − − =  − − = 
= −
( )
vém)
36
a a 9
1 4
PG 3, 9, 27 Soma 3 9 27 39
=  =
+
=  = + + =
 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
Calculando: 
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
22 2
PG a ,a q,a q R,2 R, R
q 2
q 2 R 4 R R 4
π π
π
π π π π π
→ =
=
= = → == → =
 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Tem-se que 
k
1 1 1 1
3 3 3 3 3 9 273 3n n n n n n .
+ + + + +
= 
 
Logo, tomando o limite, encontramos 
k
1
3
1 1 1 1 1
1
3 9 27 3 3
k
lim n n
n.
+ + + + + −
→
=
=