LIVRO ESTRUTURAS METALICAS 2019

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ESTRUTURAS 
METÁLICAS 
E MADEIRAS 
 
 
 
 
 
LUIZ CARLOS MENDES 
 
- 2019 - 
 1
1 INTRODUÇÃO 
 Este trabalho foi elaborado com base no método dos estados limites 
e estabelece os requisitos básicos que devem ser obedecidos no 
projeto à temperatura ambiente das estruturas de aço e das estruturas 
mistas de aço e concreto de edificações, incluindo passarelas de 
pedestres e suportes de equipamentos. 
2 AÇOS ESTRUTURAIS E MATERIAIS DE LIGAÇÃO 
2.1 Designação de produtos ASTM 
 
Os produtos especificados pela ASTM, quando suas dimensões e 
propriedades mecânicas são expressas no Sistema Internacional de 
Unidades, recebem no final da identificação a letra “M”. Nesta norma, por 
simplicidade, essa letra é suprimida. 
 
2.2 Aços para perfis, barras e chapas 
 
Os aços aprovados para uso nesta Norma para perfis, barras e 
chapas são aqueles com qualificação estrutural assegurada por norma 
brasileira ou norma ou especificação estrangeira, desde que possuam 
resistência característica ao escoamento máxima de 450 MPa e relação 
entre resistências características à ruptura (fu) e ao escoamento (fy) não 
inferior a 1,18. 
 
Permite-se ainda o uso de outros aços estruturais desde que 
tenham resistência característica ao escoamento máxima de 450 MPa, 
relação entre resistências características à ruptura e ao escoamento não 
 2
inferior a 1,18 e que o responsável pelo projeto analise as diferenças 
entre as especificações desses aços e daqueles mencionados em 4.5.2.2.1 
e, principalmente, as diferenças entre os métodos de amostragem usados na 
determinação de suas propriedades mecânicas. 
 
 
 
 Perfil I Perfil cantoneira Perfil tubular 
Figura 1.1 – Tipos de perfis mais usados 
 
 
fy ≤ 450 MPa (1.1) 
 
18,1
f
f
y
u ≤ (1.2) 
 
fy = resistência característica ao escoamento; 
fu = resistência característica à ruptura. 
 
2.3 Aços fundidos e forjados 
 
 Quando for necessário o emprego de elementos estruturais fabricados 
com aços fundidos ou forjados, devem ser obedecidas normas ou 
especificações próprias dos mesmos. 
 3
2.4 Parafusos, porcas e arruelas 
 
 Os parafusos de aço de baixo teor de carbono devem satisfazer a 
ASTM A307 ou ISO 898 Classe 4.6. 
 
 Os parafusos de alta resistência devem satisfazer a ASTM A325 ou ISO 
7411 Classe 8.8. 
 
 Os parafusos de aço-liga temperado e revenido devem satisfazer a 
ASTM A490 ou ISO 7411 Classe 10.9. 
 
 As porcas e arruelas devem satisfazer as especificações compatíveis, 
citadas no ANSI/AISC 360. 
 
2.5 Propriedades mecânicas gerais dos aços estruturais 
 
Para efeito de cálculo devem ser adotados, para os aços aqui 
relacionados, os seguintes valores de propriedades mecânicas: 
 
a) módulo de elasticidade, E = Ea = 200.000 MPa; 
b) coeficiente de Poisson, νa = 0,3; 
c) coeficiente de dilatação térmica, βa = 1,2 × 10-5 °C-1; 
d) massa específica, ρa = 7850 kg/m3. 
 
 
 
 
 4
 
3 CONCRETO E AÇO DAS ARMADURAS 
 
As propriedades do concreto de densidade normal devem 
obedecer à ABNT NBR 6118/2014. Assim, a resistência característica à 
compressão desse tipo de concreto, fck, deve situar-se entre 20 MPa e 50 
MPa, e os seguintes valores, devem ser adotados: 
 
a) O módulo de elasticidade, considerado como o módulo de deformação 
tangente inicial: 
 
Eci = 5600.fck (3.1) 
 
onde Eci e fck são expressos em megapascal (para a situação usual em que 
a verificação da estrutura se faz em data igual ou superior a 28 dias); 
 
b) O módulo de elasticidade secante, a ser utilizado nas análises 
elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços 
solicitantes e verificação de estados limites de serviço, 
 
Ecs = 0,85 Eci (3.2) 
 
c) Coeficiente de Poisson, υ c = 0,20 
d) Coeficiente de dilatação térmica, 15c C10
−− °=β ; 
e) Massa específica, ρc, igual a 2400 kg/m3 no concreto sem armadura e a 
2500 kg/m3 no concreto armado. Nesta norma, por simplicidade, o módulo 
de elasticidade secante do concreto será referido apenas como módulo de 
elasticidade do concreto e representado por Ec. 
 5
4 SEGURANÇA E ESTADOS LIMITES 
4.1 Critérios de segurança 
 
Os critérios de segurança adotados baseiam-se na ABNT NBR 8681. 
 
 
4.2 Estados limites 
 
Devem ser considerados os estados limites últimos (ELU) e os 
estados limites de serviço (ELS). Os estados limites últimos estão 
relacionados com a segurança da estrutura sujeita às combinações mais 
desfavoráveis de ações previstas em toda a vida útil, durante a construção 
ou quando atuar uma ação especial ou excepcional. Os estados limites de 
serviço estão relacionados com o desempenho da estrutura sob condições 
normais de utilização. 
 
O método dos estados limites utilizado para o dimensionamento de 
uma estrutura exige que nenhum estado limite aplicável seja excedido 
quando a estrutura for submetida a todas as combinações apropriadas de 
ações. Se um ou mais estados limites forem excedidos, a estrutura não 
atende mais aos objetivos para os quais foi projetada. 
4.3 Condições usuais relativas aos estados limites últimos (ELU) 
 
As condições usuais de segurança referentes aos estados 
limites últimos são expressas por desigualdades da forma: 
 
θ (S d , Rd ) ≥ 0 (4.1) 
 6
 
onde: 
 
Sd representa os valores de cálculo dos esforços atuantes (em alguns 
casos específicos, das tensões atuantes), obtidos com base nas 
combinações últimas de ações; 
 
Rd representa os valores de cálculo dos correspondentes esforços 
resistentes (em alguns casos específicos, das tensões resistentes), obtidos 
conforme o tipo de situação. 
 
Quando a segurança é verificada isoladamente em relação a 
cada um dos esforços atuantes, as condições de segurança tomam a 
seguinte forma simplificada: 
 
R d ≥ S d (4.2) 
 
4.4 Condições usuais relativas aos estados limites de serviço (ELS) 
 
As condições usuais referentes aos estados limites de serviço são 
expressas por desigualdades do tipo: 
 
Sser ≤ S lim (4.3) 
 
onde: 
Sser representa os valores dos efeitos estruturais de interesse, obtidos com 
base nas combinações de serviço das ações; 
Slim representa os valores limites adotados para esses efeitos. 
 7
5 AÇÕES 
 
 
5.1 Ações a considerar e classificação 
 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as 
ações que possam produzir efeitos significativos para a estrutura, levando-
se em conta os estados limites últimos e de serviço. 
 
As ações a considerar classificam-se, de acordo com a ABNT NBR 
8681, em permanentes, variáveis e excepcionais. 
 
5.2 Ações permanentes 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores 
praticamente constantes durante toda a vida útil da construção. Também 
são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, 
tendendo a um valor limite constante. 
 
As ações permanentes são subdivididas em diretas e indiretas e 
devem ser consideradas com seus valores representativos mais 
desfavoráveis para a segurança. 
 
5.2.1 Ações permanentes diretas 
 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio 
da estrutura e pelos pesos próprios dos elementos construtivos fixos e 
das instalações permanentes. Constituem também ação permanente os 
empuxos permanentes, causados por movimento de terra e de outros 
materiais granulosos quando forem admitidos nãoremovíveis. 
 8
 
Os pesos específicos do aço e do concreto e os de outros materiais 
estruturais e dos elementos construtivos fixos correntemente empregados 
nas construções, na ausência de informações mais precisas, podem ser 
avaliados com base nos valores indicados na ABNT NBR 6120. 
 
Os pesos das instalações permanentes usualmente são considerados 
com os valores indicados pelos respectivos fornecedores. 
 
 
5.2.2 Ações permanentes indiretas 
 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações 
impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio e 
imperfeições geométricas. 
 
A retração e a fluência do concreto de densidade normal devem ser 
calculadas conforme a ABNT NBR 6118/2014. Para o concreto de baixa 
densidade, na ausência de norma brasileira aplicável, devem ser 
calculadas conforme o Eurocode 2 Part 1-1. 
 
Os deslocamentos de apoio somente precisam ser considerados 
quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras 
ações. Esses deslocamentos devem ser calculados com avaliação da 
rigidez do material da fundação, correspondente, em princípio, de 5% da 
respectiva distribuição de probabilidade. O conjunto formado pelos 
deslocamentos de todos os apoios constitui-se numa única ação. 
 
 
 
 9
 
5.3 Ações variáveis 
 
Ações variáveis são as que ocorrem com valores que apresentam 
variações significativas durante a vida útil da construção. 
 
As ações variáveis comumente existentes são constituídas pelas 
cargas acidentais decorrentes do uso e ocupação da edificação, como as 
ações decorrentes de sobrecargas em pisos e coberturas, de equipamentos 
e de divisórias móveis, de pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas, pela 
ação do vento e pela variação da temperatura da estrutura. 
 
As cargas acidentais são fornecidas pela ABNT NBR 6120 e, no caso 
de passarelas de pedestres, pela ABNT NBR 7188. 
 
Os esforços causados pela ação do vento devem ser determinados de 
acordo com a ABNT NBR 6123. 
 
Os esforços decorrentes da variação uniforme de temperatura da 
estrutura são causados pela variação da temperatura da atmosfera e pela 
insolação direta e devem ser determinados pelo responsável técnico pelo 
projeto estrutural considerando, entre outros parâmetros relevantes, o local 
da construção e as dimensões dos elementos estruturais. 
 
Recomenda-se, para a variação da temperatura da atmosfera, a 
adoção de um valor considerando 60% da diferença entre as temperaturas 
médias máximas e mínimas, no local da obra, com um mínimo de 10°C. 
 
Para a insolação direta, deve ser feito um estudo específico. Nos 
elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição 
 10
significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os 
efeitos dessa distribuição. 
 
Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma 
variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a 
variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura 
não seja inferior a 5°C. 
 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, estiver sujeita a 
choques ou vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na 
determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser 
considerada no dimensionamento dos elementos estruturais. 
 
5.4 Ações excepcionais 
 
Ações excepcionais são as que têm duração extremamente curta e 
probabilidade muito baixa de ocorrência durante a vida da construção, 
mas que devem ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. 
São ações excepcionais aquelas decorrentes de causas como explosões, 
choques de veículos, incêndios, enchentes e sismos excepcionais. 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de 
carregamentos, cujos efeitos não possam ser controlados por outros 
meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores 
definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras específicas. 
 
5.5 Valores das ações 
 
Os valores característicos, Fk, das ações são estabelecidos em função 
da variabilidade de suas intensidades. 
 11
 
5.5.1.Ações permanentes Fgk
 
Para as ações permanentes, os valores característicos, Fgk, devem 
ser adotados iguais aos valores médios das respectivas distribuições de 
probabilidade. Esses valores estão definidos nesta subseção ou em 
normas brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. 
 
5.5.2 Ações variáveis Fqk
 
Os valores característicos das ações variáveis, Fqk, são 
estabelecidos por consenso e indicados em normas brasileiras específicas. 
Esses valores têm uma probabilidade pré-estabelecida de serem 
ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, e 
estão definidos nesta subseção ou em normas brasileiras específicas, 
como a ABNT NBR 6120 e a ABNT NBR 6123. 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores 
representativos, Fk, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de 
ponderação γf . 
 
Fd = Fk . γf (5.1) 
 
5.6 Coeficientes de ponderação das ações 
 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente de ponderação γf, 
expresso por: 
 
γ f = γ f 1. γ f 2 . γ f3 (5.2) 
 
 12
 
onde: 
 
γf1 é a parcela do coeficiente de ponderação das ações γf que considera a 
variabilidade das ações; 
 
γf2 é a parcela do coeficiente de ponderação das ações γf que considera a 
simultaneidade de atuação das ações; 
 
γf3 é a parcela do coeficiente de ponderação das ações γf que considera os 
possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas 
construtivos, seja por deficiências do método de cálculo empregado, de 
valor igual ou superior a 1,10. 
 
 
5.6.1 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último 
(ELU) 
 
Os valores-base para verificação dos estados limites últimos são 
apresentados nas Tabelas 5.1 e 5.2, para o produto γf1γf3 e para γf2, 
respectivamente. O produto γf1γf3 é representado por γg ou γq. O coeficiente 
γf2 é igual ao fator de combinação ψo. 
 
 
 
 
 
 
 
 13
Tabela 5.1 – Valores dos Coeficientes de ponderação das ações 31 fff γγγ = 
 
 14
 
Tabela 5.2 – Valores dos fatores de combinação 0Ψ e de redução e para as 
ações variáveis 
1Ψ 2Ψ
 
 
 
O valor do coeficiente de ponderação de cargas permanentes de 
mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de 
toda a estrutura. 
 
 15
 
5.6.2 Coeficientes de ponderação e fatores de redução das ações no 
estado limite de serviço (ELS) 
 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para os estados 
limites de serviço, γf, é igual a 1,0. 
 
Nas combinações de ações de serviço são usados os fatores de 
redução ψ1 e ψ2, expressos na Tabela 5.2, para obtenção dos valores 
freqüentes e quase permanentes das ações variáveis, respectivamente. 
 
5.7 Combinações de ações últimas 
 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm 
probabilidades não desprezáveis de atuarem simultaneamente sobre a 
estrutura, durante um período pré-estabelecido. 
 
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser 
determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura; a verificação 
dos estados limites últimos e dos estados limites de serviço deve ser 
realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço, 
respectivamente. 
 
Uma combinação última de ações pode ser classificada em normal, 
especial, de construção e excepcional. 
 
5.7.1 Combinações últimas normais 
 
As combinações últimas normais decorrem do uso previsto para a 
edificação. 
 16
 
Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam 
necessárias para verificação das condições de segurança em relação a 
todos os estados limites últimosaplicáveis. Em cada combinação devem 
estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus 
valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas como 
secundárias, com seus valores reduzidos de combinação. 
 
Para cada combinação, aplica-se a seguinte expressão: 
 
∑∑
=
ψγ+γ+
=
γ=
n
2j
)k,QjFojqi(k,1QF1q)k,GiF
m
1i
gi(Fd
 (5.3)
onde: 
FGi,k são os valores característicos das ações permanentes; 
FQ1,k é o valor característico da ação variável considerada como principal 
para a combinação; 
FQj,k são os valores característicos das ações variáveis que podem atuar 
concomitantemente com a ação variável principal; 
γgi são os coeficientes de ponderação para as cargas permanentes; 
γqi são os coeficientes de ponderação para as cargas variáveis; 
ψ0j são os fatores de combinação para as cargas variáveis. 
 
5.7.2 Combinações últimas especiais 
 
As combinações últimas especiais decorrem da atuação de ações 
variáveis de natureza ou intensidade especial, cujos efeitos superam em 
intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas nas 
combinações normais. Os carregamentos especiais são transitórios, com 
 17
duração muito pequena em relação ao período de vida útil da estrutura. 
 
A cada carregamento especial corresponde uma única combinação 
última especial de ações, na qual devem estar presentes as ações 
permanentes e a ação variável especial, com seus valores característicos, e 
as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação. 
 
Aplica-se a seguinte expressão: 
 
∑∑
=
ψγ+γ+
=
γ=
n
2j
)k,QjFef,ojqi(k,1QF1q)k,GiF
m
1i
gi(Fd
 (5.4)
 
onde: 
 
FGi,k são os valores característicos das ações permanentes; 
FQ1,k é o valor característico da ação variável especial; 
FQj,k são os valores característicos das ações variáveis que podem atuar 
concomitantemente com a ação variável especial; 
ψoj,ef são os fatores de combinação efetivos de cada uma das ações variáveis 
que podem atuar concomitantemente com a ação variável especial FQ1. 
 
Os fatores ψoj,ef são iguais aos fatores ψoj adotados nas 
combinações normais, salvo quando a ação variável especial FQ1 tiver um 
tempo de atuação muito pequeno, caso em que ψoj,ef podem ser 
tomados como os correspondentes fatores de redução ψ2j.
 
 18
5.7.3 Combinações últimas de construção 
 
As combinações últimas de construção devem ser levadas em conta 
nas estruturas em que haja riscos de ocorrência de estados limites últimos, 
já durante a fase de construção. O carregamento de construção é transitório 
e sua duração deve ser definida em cada caso particular. 
 
Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam 
necessárias para verificação das condições de segurança em relação a 
todos os estados limites últimos que são de se temer durante a fase de 
construção. Em cada combinação devem estar presentes as ações 
permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e 
as demais ações variáveis, consideradas como secundárias, com seus 
valores reduzidos de combinação. 
 
5.7.4 Combinações últimas excepcionais 
 
As combinações últimas excepcionais decorrem da atuação de ações 
excepcionais extremamente raras que podem provocar efeitos catastróficos, 
como explosões, choques de veículos, choques de embarcações e outras. 
 
As ações excepcionais somente devem ser consideradas no projeto 
de estrutura de determinados tipos de construção, nas quais essas ações 
não possam ser desprezadas e que, além disso, na concepção estrutural, 
não possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a gravidade das 
conseqüências dos efeitos das mesmas. 
 
O carregamento excepcional é transitório, com duração extremamente 
curta. 
 
 19
A cada carregamento excepcional corresponde uma única 
combinação última excepcional de ações. 
 
Devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, 
com seus valores característicos, e as demais ações variáveis com 
probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
reduzidos de combinação, conforme a ABNT NBR 8681. Nos casos de ações 
sísmicas, deve ser utilizada a ABNT NBR 15421. 
 
Aplica-se a seguinte expressão: 
 
∑∑
=
ψγ+γ+
=
γ=
n
2j
)k,QjFef,ojqi(QexcF1q)k,GiF
m
1i
gi(Fd
 (5.5)
 
onde: 
 
FQ,exc é o valor da ação transitória excepcional. 
 
 
5.8 Exercício 
 
Uma peça de estrutura metálica está sujeita ás seguintes solicitações 
indicadas. Pede-se que seja determinada a solicitação externa final levando-
se em conta os coeficientes de ponderação e fatores de combinação. 
 
a) carga permanente em situação normal pelo peso próprio da estrutura 
metálica: 95 kN . (γg = 1,25) 
 
 20
b) carga permanente de construção de um elemento construtivo 
industrializado: 80 kN. (γg = 1,30) 
 
c) carga permanente em situação normal de um elemento construtivo de 
equipamento: 60 kN. (γg = 1,50) 
 
d) efeito de variação de temperatura em situação normal: 82 kN. (γq = 1,25 ; 
 φ0 = 0,60) 
 
e) efeito de uma ação em situação normal de vento: 55 kN. (γq = 1,40 ; 
 φ0 = 0,60) 
 
f) efeito de uma explosão: 150 kN. 
 
g) efeito de um terremoto: 180 kN. 
 
h) efeito de uma variação de temperatura especial que só ocorreu durante a 
construção: 20 kN. (γq = 1,0 ; φ0 = 0,60) 
 
i) pesos de equipamentos por longos períodos de permanência decorrente 
do uso e ocupação: 55 kN. (γq = 1,50 ; φ0 = 0,70) 
 
Primeira hipótese – excluindo todas as ações excepcionais. 
 
φ0 = 1 na ação variável predominante. 
 
Sd = Σ γg.G + γq1.Q1 + Σ γq.ψ.Q 
 
 
 
 21
 
 
 (temperatura) (vento) 
Sd = 1,25x95 + 1,30x80 + 1,50x60 + 1,20x82 + 1,40x55x0,60 + 
 
 (temp. esp.) (equip. longos p.) 
 + 1x20x0,60 + 1,5x55x0,70 = 527,10 kN 
 
 
Segunda hipótese – considerando a maior das ações excepcionais. 
 
φ0 ≠ 1 na ação variável predominante. 
 
Sd = γg1.G1 + γg2.G2 + γg3.G3 + ψ01.γq1.Q1 + ψ02.γq2.Q2 + ψ03.γq3.Q3 + 
ψ04.γq4.Q4 + E 
 
 (temperatura) (vento) 
Sd =1,25x95 + 1,30x80 + 1,50x60 + 0,60x1,20x82 + 1,40x55x0,60 + 
 
 (temp. esp.) (equip. longos p.) 
 + 1x20x0,60 + 1,5x55x0,70 = 667,74 kN 
 
 
 
Escolhe-se o maior. Então: Sd = 667,74 kN 
 22
 
6 RESISTÊNCIAS 
 
6.1 Valores das resistências 
 
6.1.1 Valores característicos 
 
As resistências dos materiais são representadas pelos valores 
característicos fk, definidos como aqueles que, em um lote de material, têm 
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido 
desfavorável para a segurança 
 
A resistência característica é admitida como sendo o valor que tem 
apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado 
lote de material. 
 
6.1.2 Valores de cálculo 
 
A resistência de cálculo fd de um material é definida como: 
 
 
m
k
d
ff
γ
= (6.1) 
 
 
Nessa expressão, γm é o coeficiente de ponderação da resistência 
característica, expresso por:23
 
 
 
 
 
γm = γm1 . γm2 . γm3 
 
 
 
 (6.2) 
 
 
γm1 é a parcela do coeficiente de ponderação que considera a variabilidade 
da resistência dos materiais envolvidos; 
 
γm2 é a parcela do coeficiente de ponderação que considera a diferença entre 
a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura; 
 
γm3 é a parcela do coeficiente de ponderação que considera os desvios 
gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista 
das resistências dos materiais. 
 
 
6.2 Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último 
(ELU) 
 
 
Os valores dos coeficientes de ponderação das resistências γm do 
aço estrutural, do concreto e do aço das armaduras, representados 
respectivamente por γa, γc e γs, são dados na Tabela 6.1, em função da 
classificação da combinação última de ações. No caso do aço estrutural, 
são definidos dois coeficientes, γa1 e γa2, o primeiro para estados limites 
últimos relacionados a escoamento e instabilidade e o segundo à ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 24
 
 
 
Tabela 6.1 – Valores dos coeficientes de ponderação das resistências mγ 
 
 
Valores dos coeficientes de ponderação das resistências γm diferentes 
dos apresentados são expressos pela Norma, em alguns casos em que a 
resistência não está ligada diretamente a ensaio do material e sim de um 
conjunto estrutural, onde a variabilidade das resistências ou o modelo 
analítico para determinação da resistência assim o exigir. 
 
 
6.3 Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de 
serviço (ELS) 
 
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço não 
necessitam de minoração, portanto, γm = 1,00. 
 
 
 
 25
 
7 ESTABILIDADE E ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
7.1 Generalidades 
 
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na 
estrutura, visando efetuar verificações de estados limites últimos e de 
serviço. 
 
A análise estrutural deve ser feita com um modelo realista, que permita 
representar a resposta da estrutura e dos materiais estruturais. Onde 
necessário, a interação solo-estrutura e o comportamento das ligações 
devem ser contemplados no modelo. 
 
7.2 Tipos de análise estrutural 
 
O tipo de análise estrutural pode ser classificado de acordo com 
considerações do material e dos efeitos dos deslocamentos da estrutura. 
 
7.2.1 Determinação dos esforços internos quanto aos materiais 
 
Os esforços internos podem ser determinados por: 
 
a) análise global elástica (diagrama tensão-deformação elástico-linear); 
 
b) análise global plástica: diagrama tensão-deformação rígido-plástico, 
elasto-plástico perfeito ou elasto-plástico não-linear. 
 
 26
A análise global elástica é sempre permitida, mesmo que os 
esforços resistentes da seção transversal sejam avaliados considerando-se 
a plasticidade. 
 
A análise global plástica pode ser usada para seções compactas, 
desde que as seções e as ligações possuam capacidade de rotação 
suficiente para formação de rótulas plásticas e redistribuição de 
esforços solicitantes. A estabilidade da estrutura deve ser verificada para 
essa condição. 
 
A não-linearidade do material pode ser considerada em alguns casos, 
de forma indireta, efetuando-se uma análise elástica reduzindo-se a rigidez 
das barras. 
 
7.2.2 Determinação dos esforços internos quanto ao efeito dos 
deslocamentos 
 
Os esforços internos podem ser determinados por: 
 
a) análise linear (teoria de primeira ordem), com base na geometria 
indeformada da estrutura; 
 
b) análise não-linear, com base na geometria deformada da estrutura, onde 
os deslocamentos afetam muito os esforços internos. 
 
A análise não-linear deve ser usada sempre que os deslocamentos 
afetarem de forma significativa os esforços internos. Essa análise pode ter 
como base teorias geometricamente exatas, teorias aproximadas ou 
adaptações a resultados da teoria de primeira ordem. Por simplicidade, os 
três tipos de análise são denominados de segunda ordem. 
 27
 
Os efeitos decorrentes dos deslocamentos horizontais dos nós da 
estrutura são chamados de efeitos globais de segunda ordem (P-∆), e os 
decorrentes da não-linearidade dos eixos das barras são chamados de 
efeitos locais de segunda ordem (P-δ). 
 
7.2.3 Classificação das estruturas quanto à sensibilidade a deslocamentos 
laterais 
 
a) Estrutura com pequena deslocabilidade 
 
A pequena deslocabilidade ocorre quando a relação entre os ∆ do 
estudo da segunda ordem e os de primeira ordem for inferior a 1,1 em 
todos os andares. 
 
 
∆c1 ∆c2 
 
 
 
∆b1 ∆b2 
 
 
 
∆a1 ∆a2 
 (análise de primeira ordem) ( análise de segunda ordem) 
 
Figura 7.1 - Deslocamentos horizontais na análise de primeira ordem e na 
análise de segunda ordem. 
 28
Pode-se escrever: 
1,1
1c
2c ≤
∆
∆ (7.1) 
 
1,1
1b
2b ≤
∆
∆ (7.2) 
 
1,1
1a
2a ≤
∆
∆ (7.3) 
) Estrutura com média deslocabilidade 
 
eira ordem estão situados entre 1,1 e 1,4 em todos os 
ndares, ou seja: 
 
 
b
É aquela em que as relações entre os deslocamentos de segunda 
ordem e os de prim
a
4,11,1
1c
2c ≤
∆
∆
≤ (7.4) 
 
4,11,1
1b
2b ≤
∆
∆
≤ (7.5) 
 
4,11,1
1a
2a ≤
∆
∆
≤ (7.6) 
) Estrutura com grande deslocabilidade 
 
os de primeira ordem são maiores que 1,4 em todos os andares, 
u seja: 
 
c
É aquela em que as relações entre os deslocamentos de segunda 
ordem e 
o
 29
 
4,1
1c
2c ≥
∆
∆ (7.7) 
 
4,1
1b
2b ≥
∆
∆ (7.8) 
 
4,1
1a
2a ≥
∆
∆ (7.9) 
 
de do material, 
uer pelo efeito das tensões residuais, podem ser utilizados. 
.3 Sistemas resistentes às ações horizontais 
 
 reticulado. São as treliças contraventantes 
 as paredes de cisalhamento. 
 
 
Os métodos de análise que considerem direta ou indiretamente a 
influência da geometria deformada da estrutura (efeitos P-δ e P-∆), das 
imperfeições iniciais, do comportamento das ligações e da redução de 
rigidez dos elementos componentes, quer pela não-linearida
q
 
 
7
 
São subestruturas de contraventamento com a função de impedir os 
deslocamentos distorcionais do
e
 
 
 
 
 
 30
 
 
 
 
 
Figura 7.2 – Treliças contraventantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
 
 
 
 
 
Figura 7.3 – Paredes de cisalhamento (shear wall). 
 
 
 32
 
8 CONDIÇÕES ESPECÍFICAS PARA O DIMENSIONAMENTO 
DE ELEMENTOS DE AÇO 
 
8.1 Relações entre largura e espessura em elementos comprimidos dos 
perfis de aço 
 
8.1.1 Elemento AA Grupo 2 - Almas de perfis I, U e H 
 
 
 
 
 
 
 
 b 
 b 
 t 
 t 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 – Perfis I e U. 
 
 
ylim f
E49,1
t
b
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (8.1) 
 
 
E = módulo de elasticidade do aço sendo igual a 200.000 MPa; 
fy = tensão de escoamento do aço; 
fu = tensão última de ruptura; 
Elementos AA – possuem duas bordas longitudinais vinculadas; 
Elemento AL – possuem apenas uma borda longitudinal vinculada. 
 33
Tabela 8.1 – Tensões de escoamento e de ruptura dos aços. 
 
Para aço MR 250 ........... fy = 250 MPa fu = 400 MPa 
Para aço AR 350 ...........fy = 350 MPa fu = 450 MPa 
Para aço AR 350 COR ..... fy = 350 MPa fu = 485 MPa 
Para aço AR 415 ........... fy = 415 MPa fu = 520 MPa 
 
Os perfis H apresentam a altura de mesmo comprimento de mesa. 
 
8.1.2 Elemento AL Grupo 4 
 
Mesas das seções I, H, T ou U laminadas ( apresentam curvas nas 
junções entre as almas e mesas ). 
 
 b b 
 
 t 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.2 - Perfis I e T laminados. 
 
ylim f
E56,0
t
b
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (8.2) 
 
 
 34
 
 
 
b 
tmédio
 
Figura 8.3 – Perfis U laminados. 
 
ylim f
E56,0
t
b
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (8.2) 
 
 
8.1.3 Elemento AL Grupo 5 
 
Mesas das seções I, H, T ou U soldadas ( não apresentam curvas nas 
junções entre as almas e mesas ). 
 
 
 
 
 35
 
 b b 
 
 t 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.4 – Perfis I e T soldados 
 
c
ylim
k
f
E64,0
t
b
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ (8.3) 
 
 O valor de kc é expresso por: 
 
w
c
t
h
k 4=
 (8.4)
 
 
sendo kc compreendido no intervalo 
 
0,35 ≤ kc ≤ 0,76 (8.5) 
 
tw = espessura da alma e h é a altura do perfil; 
h = altura do perfil. 
 
 36
 
8.2 Classificação das seções transversais 
 
Dependendo do valor do parâmetro de esbeltez λ dos componentes 
comprimidos em relação a λp e λr, as seções transversais são classificadas 
em: 
 
a) compactas: seções cujos elementos comprimidos possuem λ não 
superior a λp e cujas mesas são ligadas continuamente à alma ou às almas; 
 
λ < λ p (8.6) 
 
 
b) semicompactas: seções que possuem um ou mais elementos 
comprimidos com λ excedendo λp, mas não λr; 
 
 λ p ≤ λ ≤ λ r (8.7) 
 
 
c) esbeltas: seções que possuem um ou mais elementos comprimidos com 
λ excedendo λr. 
 
λ > λ r (8.8) 
 
 
O parâmetro de esbeltez dos elementos comprimidos será definido e os 
parâmetros de esbeltez λp e λr são fornecidos para os diversos tipos de 
solicitação. 
 
 
 37
 
As seções compactas são capazes de desenvolver uma distribuição 
de tensões totalmente plástica com grande rotação antes do início da 
flambagem local. Essas seções são adequadas para análise plástica, 
devendo no entanto, para esse tipo de análise, ter um eixo de simetria no 
plano do carregamento quando submetidas à flexão, e ser duplamente 
simétricas quando submetidas à força axial de compressão. 
 
Nas seções semicompactas, os elementos comprimidos podem 
atingir a resistência ao escoamento, levando-se em conta as tensões 
residuais, antes que a flambagem local ocorra, mas não apresentam 
grande capacidade de rotação. 
 
Nas seções esbeltas, um ou mais elementos comprimidos flambam 
em regime elástico, levando-se em conta as tensões residuais. 
 
 
λ < λp λp ≤ λ ≤ λr λ > λr 
Figura 8.5 - Perfis I. 
 
 
 38
 
8.3 Tipos e parâmetros de esbeltez de elementos componentes 
 
Para efeito de flambagem local, os elementos componentes das 
seções transversais usuais, exceto as seções tubulares circulares, são 
classificados em AA, quando possuem duas bordas longitudinais 
vinculadas, e AL, quando possuem apenas uma borda longitudinal vinculada. 
 
O parâmetro de esbeltez dos elementos componentes da seção 
transversal é definido pela relação entre largura e espessura (relação b / t ). 
 
8.4 Definições de λ, λ p e λ r
 
 Para os perfis I 
 
a) Flambagem local da mesa 
 
 
Figura 8.6 – Mesa de perfil I. 
 
 b 
t 
 39
 
t
b
=λ
 (8.9)
 
 
 b = bf / 2 (b = metade do comprimento total da mesa ) 
 
y
p f
E38,0=λ
 (8.10)
 
 
λ r para perfis laminados 
 
( )ryr f
E83,0
σ−
=λ
 (8.11)
 
 
σr = 0,30 fy (8.12) 
 
σr = tensão residual. 
 
 λ r para perfis soldados 
 
( )
c
ry
r
k
f
E95,0
σ−
=λ (8.13) 
w
c
t
h
4k = (8.14) 
 
0,35 ≤ kc ≤ 0,76 (8.15) 
 
 
 40
 
b) Flambagem local da alma 
 
 
Figura 8.7 – Alma do perfil I. 
 
 
w
w
t
h
=λ (8.16) 
 
y
p f
E76,3=λ (8.17) 
 
y
r f
E70,5=λ (8.18) 
 
 
 
 
y
x
tw
 41
 
c) Flambagem lateral por torção 
 
 
Lb 
Figura 8.8 – Deformação do perfil sujeito à flambagem lateral por torção e o 
comprimento destravado Lb. 
 
y
b
r
L
=λ (8.19) 
 
 
 42
 
y
p f
E76,1=λ (8.20) 
 
y
2
1w
1ty
ty
r I
C27
11
.I.r
I.I38,1 β
++
β
=λ (8.21) 
 
( )
t
ry
1 IE
wf σ−
=β (8.22) 
 
( )
4
tdI
C
2
fy
w
−
= (8.23) 
 
σr = 0,30 fy (8.24) 
 
onde: 
 
Lb = comprimento longitudinal não contraventado; 
ry = raio de giração na direção y; 
w = menor módulo elástico de resistência entre wx e wy; 
Cw = momento setorial de inércia para seções I; 
σr = tensão residual; 
d = altura do perfil; 
fy = tensão de escoamento do aço; 
tf = espessura do flange 
It = momento de inércia à torção 
E = módulo de elasticidade do aço E = 200.000 MPa. 
 
 
 43
O raio de giração na direção y se escreve por: 
 
A
J
r yy = 
 
onde: 
 
Jy = momento de inércia à flexão na direção y; 
A = área da seção transversal do perfil. 
 
O momento de inércia à flexão Jy se escreve por: 
 
12
b.t
12
t.h
12
b.tJ
3
ff
3
ww
3
ff
y ++= 
 
 
Figura 8.9 – Nomenclatura do perfil I. 
y 
tf
 
 
 
 
 
hw
 
 
 
 
tf
 
bf 
 44
 
9 BARRAS PRISMÁTICAS SUBMETIDAS À FORÇA AXIAL DE 
 TRAÇÃO 
 
9.1 Generalidades 
 
Neste capítulo será feita a análise de barras prismáticas submetidas à 
força axial de tração, incluindo barras ligadas por pinos e barras redondas 
com extremidades rosqueadas. 
 
No dimensionamento, deve ser atendida a condição: 
 
Nt,Sd ≤ Nt,Rd (9.1) 
 
onde: 
 
Nt,Sd é a força axial de tração solicitante de cálculo; 
Nt,Rd é a força axial de tração resistente de cálculo. 
 
 
9.2 Força axial resistente de cálculo 
 
A força axial de tração resistente de cálculo, Nt,Rd, a ser usada no 
dimensionamento, exceto para barras redondas com extremidades 
rosqueadas e barras ligadas por pinos, é o menor dos valores obtidos, 
considerando-se os estados limites últimos de escoamento da seção bruta e 
ruptura da seção líquida, de acordo com as expressões (9.2) e (9.3). 
 
 
 
 45
a) para escoamento da seção bruta: 
 
1a
yg
Rd,t
fA
N
γ
= (9.2)
 
b) para ruptura da seção líquida: 
 
2a
ue
Rd,t
fAN
γ
= (9.3) 
 
onde: 
 
Ag é a área bruta da seção transversal da barra; 
Ae é a área líquida efetiva da seção transversalda barra tracionada; 
fy é a resistência ao escoamento do aço; 
fu é a resistência à ruptura do aço; 
γa1 é o coeficiente de ponderação para o escoamento do aço estrutural; 
γa2 é o coeficiente de ponderação para a ruptura do aço estrutural. 
 
9.3 Área líquida nominal 
 
Em regiões com furos, feitos para ligação ou para qualquer outra 
finalidade, a área líquida nominal An de uma barra é a soma dos produtos 
da espessura pela largura líquida de cada elemento. 
 
 Em ligações parafusadas, a largura dos furos deve ser considerada 
2,0 mm maior que a dimensão máxima desses furos, perpendicular à 
direção da força aplicada. Alternativamente, caso se possa garantir que os 
furos sejam executados com broca, pode-se usar a largura igual à dimensão 
máxima. 
 46
 
No caso de uma série de furos distribuídos transversalmente ao eixo da 
barra, em diagonal a esse eixo ou em ziguezague, a largura líquida dessa 
parte da barra deve ser calculada deduzindo-se da largura bruta a soma das 
larguras de todos os furos em cadeia, e somando-se para cada linha 
ligando dois furos, a quantidade s2/(4g), sendo s e g, respectivamente, os 
espaçamentos longitudinal e transversal (gabarito) entre esses dois furos 
(Figura 9.1); 
 
 1 
 g NSd
 2 
 s 
 
Figura 9.1 — Ilustração dos espaçamentos s e g entre os furos 1 e 2. 
 
s = espaçamento longitudinal entre os furos, na direção de NSd; 
g = espaçamento transversal entre os furos. 
 
A largura líquida crítica daquela parte da barra será obtida pela 
cadeia de furos que produza a menor das larguras líquidas, para as 
diferentes possibilidades de linhas de ruptura. 
 
∑ −+= d́g4
sbL
2
glc ∑ (9.4) 
 
d = d0 + ε (9.5) 
 
d´ = d + 2mm (9.6) 
 47
 
d´ = largura do furo; 
d0 = diâmetro nominal do furo; 
ε = folga do parafuso, tomada sempre como 1,5 mm; 
d = dimensão nominal do furo; 
t = espessura da chapa na região do furo. 
 
 
 
fuste
d0
rosca
Figura 9.2 – Diâmetro nominal do parafuso. 
 
Para cantoneiras, o gabarito g dos furos em abas opostas deve ser 
considerado igual à soma dos gabaritos, medidos a partir da aresta da 
cantoneira, subtraída de sua espessura. 
 
Na determinação da área líquida de seção que compreenda soldas de 
tampão ou soldas de filete em furos, a área do metal da solda deve ser 
desprezada. 
 
Em regiões em que não existam furos, a área líquida nominal, An, 
deve ser tomada igual à área bruta da seção transversal Ag. 
 
 48
 
 t
 bg 
Figura 9.3 – Seção transversal Ag. 
 
Na presença de apenas uma camada de furos, conforme Figura 9.4, a 
largura líquida crítica se escreve por: 
 
Llc = bg - Σd´ (9.7) 
 
Llc = bg - 4d´ 
 
 
t 
Figura 9.4 – Barra com uma linha de quatro parafusos. 
 bg 
Sd 
 49
 
Conjunto de três parafusos 
 
Figura 9.5 – Conjunto de três parafusos. 
 
Primeiro caminho da fissura 
 
Figura 9.6 – Conjunto de três parafusos. 
 
d́bL glc −= 
 
s2 s1 
g2 
g1 
s2 
g2 
s1 
g1 
 50
 
Segundo caminho da fissura 
 
Figura 9.7 – Conjunto de três parafusos. 
d́2
g4
sbLlc
1
2
1
g −+= 
 
Figura 9.8 – Conjunto de três parafusos. 
Terceiro caminho da fissura 
g2 
g1 
s2 s1 
g2 
g1 
s2 s1 
d́3
g4
s
g4
sbL
2
2
2
1
2
1
glc −++= 
 51
 
Conjunto de nove parafusos 
 
Figura 9.9 – Conjunto de nove parafusos. 
 
Figura 9.10 – Conjunto de nove parafusos. 
 
Primeiro caminho de fissura 
g2 
g1 
s2 s1 
g2 
g1 
s2 s1 
d́3
g4
s
g4
sbL
1
2
1
2
2
1
glc −++= 
 
 52
 
 
Figura 9.11 – Conjunto de nove parafusos. 
Segundo caminho de fissura 
d́3
g4
sbLlc
2
2
1
g −+= 
 
 
Figura 9.12 – Conjunto de nove parafusos. 
Terceiro caminho de fissura 
d́3
g4
s
g4
sbLlc =
1
2
2
2
2
1
g −++ 
g2 
g1 
s2 s1 
g2 
g1 
s2 s1 
 53
 
 
Figura 9.13 – Conjunto de nove parafusos. 
Quarto caminho de fissura 
d́3bL glc −= 
 
Quinto caminho de fissura 
 
Figura 9.14 – Conjunto de nove parafusos. 
g2 
g1 
s2 s1 
g2 
g1 
s2 s1 
d́3
g4
sbL
2
2
1
glc −+= 
 
 54
 
 
Figura 9.15 – Conjunto de nove parafusos. 
Sexto caminho de fissura 
d́3
g4
s
g4
sbLlc =
1
2
1
2
2
1
g −++ 
 
 
Figura 9.16 – Conjunto de nove parafusos. 
Sétimo caminho de fissura 
d́3
g4
s
g4
sbLlc =
1
2
1
2
2
2
g −++ 
g2 
g1 
s2 s1 
g2 
g1 
s2 s1 
 55
 
 
Figura 9.17 – Conjunto de nove parafusos. 
Oitavo caminho de fissura 
g2 
g1 
s2 s1 
d́3
g4
s
g4
sbLlc =
1
2
1
2
2
2
g −++ 
 
.4 Área líquida nominal 
An = Llc . t (9.8) 
lc = largura líquida crítica; 
 
 
.5 Área líquida efetiva 
 (9.9) 
minal influenciada pela presença dos furos; 
Ct = coeficiente de redução da área líquida nominal para transformá-la em 
área líquida efetiva. 
9
 
L
t = espessura da chapa.
9
Ae = An . Ct 
 
An = área líquida no
 56
9.6 Coeficiente de redução 
 
O coeficiente de redução da área líquida, Ct, apresenta os valores 
indicados a seguir. 
 
Quando a força de tração for transmitida diretamente para cada um 
dos elementos da seção transversal da barra, por soldas ou parafusos, o 
valor de Ct se escreve por: 
 
Ct = 1,00 (9.10) 
 
 
s2 
g2 
g1 
s1 
Figura 9.18 – Conjunto de nove parafusos. 
 
 
Quando a força de tração for transmitida somente por soldas 
transversais, o valor de Ct se escreve por: 
 
g
c
t A
AC = (9.11) 
 
 57
onde: 
 
Ac é a área da seção transversal do elemento solda conectado; 
Ag á área bruta da seção transversal da barra soldada. 
 
 
t
bg 
Figura 9.19 – Barras com solda. 
 
Nas barras com seções transversais abertas, quando a força de tração 
for transmitida somente por parafusos ou somente por soldas longitudinais 
ou por uma combinação de soldas longitudinais e transversais para alguns 
elementos da seção transversal, o valor de Ct se escreve por: 
 
c
c
t l
e1C −= (9.12) 
 
 Deve-se, no entanto, ser usado 0,90 como limite superior, podendo ser 
usado 0,60 como limite inferior. 
 
O parâmetro ec é a excentricidade da ligação, igual à distância do 
centro geométrico da seção da barra, G, ao plano de cisalhamento da 
ligação. 
 58
 
G 
ec 
Figura 9.20 – Seção transversal de uma cantoneira ligada a uma chapa 
por soldas. 
 
 
lc 
Figura 9.21 – Seção longitudinal de uma cantoneira ligada a uma 
chapa por soldas. 
 
O parâmetro I c nas ligações soldadas, é o comprimento da 
ligação, tomado igual ao comprimento da solda. 
 
 
c
c
t l
e1C −= (9.12) 
 
 59
Nas ligações parafusadas lc é a distância do primeiro ao último 
parafuso da linha de furação com maior número de parafusos, na direção 
da força axial. 
 
Em perfis com um plano de simetria, a ligação deve ser simétrica em 
relação ao mesmo e são consideradas, para cálculo de Ct duas 
barras fictícias e simétricas, cada uma correspondente a um plano de 
cisalhamento da ligação. 
 
 Esta simetria se obtém no caso de duas seções T e no caso de perfis I 
ou H ligados pelas mesas, ou duas seções U no caso desses perfis serem 
ligados pela alma (Figuras 9.22 a 9.25). 
 
Caso de perfil I formado por duas seções T fictícias ligadas por 
chapas através das mesas apenas por parafusos. 
 
 
ec 
 ec 
lc 
Figura 9.22 – Vista longitudinalde perfil I ligado por chapas através de 
parafusos pelas mesas. 
 60
 
 
 ec 
CG do T superior 
CG do T inferior 
 ec 
plano de cisalhamento da ligação 
Figura 9.23 - Corte transversal de perfil I ligado por chapas através de 
parafusos pelas mesas. 
 
c
c
t l
e1C −= (9.12) 
 
lc = distância do primeiro ao último parafuso; 
ec = distância do centro geométrico G da barra fictícia T ao plano de 
 cisalhamento da ligação. 
 
A própria linha de base usada para se determinar o centro de 
gravidade constitui o centro de cisalhamento da ligação. 
 
 61
Caso de perfil I ligado por chapas através da alma apenas por 
parafusos. 
 
c 
lc 
Figura 9.24 – Vista longitudinal do perfil I ligado por chapas através da 
alma apenas por parafusos. 
 
 
c
c
t l
e1C −= (9.12) 
 
 
lc = distância do primeiro ao último para fuso da ligação no sentido 
longitudinal da força axial solicitante de tração Sd. 
ec = distância do centro de gravidade do perfil U fictício ao centro de 
cisalhamento da ligação. 
 
 62
 
A alma do perfil I deverá ser dividida de modo a formar dois perfis U e 
deverá ser determinado o centro de gravidade CG a a partir da linha de 
base. Porém esta linha de base não é o centro de cisalhamento da ligação. 
A metade da espessura da alma do perfil I (tw) deverá ser descontada para a 
determinação de ec. 
 
ec = CG - tw/2 (9.13) 
 
 
 ec ec 
CG do CG do 
U da U da 
esquerda direita 
CG 
 
Figura 9.25 – Corte transversal do perfil I ligado por chapas através da 
alma apenas por parafusos. 
 
 63
 
A Figura 9.26 reúne todos os valores de ec nas seções abertas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.26 — Ilustração dos valores de ec em seções abertas. 
 
 
Nas chapas planas, quando a força de tração for transmitida somente 
por soldas longitudinais ao longo de ambas as suas bordas, conforme a 
Figura 9.27, os valores de Ct se escrevem por: 
 
Ct = 1 para lw ≥ 2b 
Ct = 0,87 para 1,5 ≤ lw ≤ 2b (9.14) 
Ct = 0,75 para b ≤ lw < 1,5b 
 
 
lw = comprimento dos cordões de solda; 
b = a largura da chapa (distância entre as soldas situadas nas duas bordas). 
 
 
 
 64
 
 
 
 b 
 
 
 lw
Figura 9.27 — Chapa plana com força de tração transmitida por solda 
longitudinal. 
 
Nas barras com seções tubulares retangulares, quando a força de 
tração for transmitida por meio de uma chapa de ligação concêntrica ou por 
chapas de ligação em dois lados opostos da seção, desde que o 
comprimento da ligação, lc, não seja inferior à dimensão da seção na 
direção paralela à(s) chapa(s) de ligação, os valores de ec se escrevem de 
acordo com o indicado na Figura 9.28. 
 
c
c
t l
e1C −= (9.12) 
 
 
 
Figura 9.28 — Ilustração do valor de ec em seção tubular retangular. 
 
 
 65
 
Nas barras com seções tubulares circulares, quando a força de tração 
for transmitida por meio de uma chapa de ligação concêntrica, conforme 
Figura 9.29: 
 
- se o comprimento da ligação, lc, for superior ou igual a 1,30 do diâmetro 
externo da barra, Ct = 1 ,00; 
 
- se o comprimento da ligação for superior ou igual ao diâmetro externo da 
barra e menor que 1,30 vezes esse diâmetro, Ct se escreve por: 
 
c
c
t l
e1C −= (9.12) 
 
 
 
Figura 9.29 — Ilustração do valor de ec em seção tubular circular com uma 
chapa de ligação concêntrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 66
 
9.7 Exercício 1 Ligação pelas mesas 
 
Determine o coeficiente de redução Ct para a ligação aparafusada 
entre a chapa e perfil através das mesas. O aço das chapas e do perfil é 
MR 250. 
 
 
 
19 
22,4 
750 
 
705,2 
22,4 
19 
mm 100 100
Figura 9.30 – Conjunto de parafusos ligando as mesas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 67
 
 
80 
 
160 320 
80 
100 100
mm 
Figura 9.31 – Conjunto de parafusos ligando as mesas. 
 
 
 
O perfil desta ligação é VS 750 x 157 com: 
 
bf = 320 mm, 
tw = 8mm, 
tf = 22,4 mm, 
d = 750 mm. 
 
A largura dos furos é d´ = 27,5 mm. 
 
 
 
 
 
 68
 
19 
 
 
22,4 
ec
352,6 
 
 
 
 
 8 mm 
ec 352,6 
22,4 
 
 
19 
 320 mm
mm 
Figura 9.32 – Seção transversal do perfil. 
 
Centro de gravidade do T superior 
 
 
Figura 9.33 – T superior 
 
 
 
352,6 
22,4 
x 
 156 156 mm 8
 69
Área (mm2) x (mm) A.x (mm3) 
 
1 – 22,4 x 156 = 3494,4 11,2 39137,28 
2 - 8 x (352,6 + 22,4) = 3000 187,5 562500 
3 - 22,4 x 156 = 3494,4 11,2 39137,28 
 Σ A = 9988,8 mm2 ΣA.x = 640774,56 mm3
 
mm15,64
8,9988
56,640774X == 
 
ec = 64,15 mm 
lc = 100 + 100 = 200 mm 
 
67,0
200
15,641
l
e1C
c
c
t =−=−= 
 
Cálculo da largura líquida crítica 
a) Primeiro caminho da fissura 
 
80 
 
160 
80 
320 
100 100 mm 
Figura 9.34 – Conjunto de seis parafusos. 
 70
 
Llc = bg - 2 d´ 
Llc = 320 - 2 (27,5) = 265 mm 
 
b) Segundo caminho da fissura 
 
 
80 
 
160 
80 
320 
100 100 mm 
Figura 9.35 – Conjunto de seis parafusos. 
 
 
Llc = 320 + 160x4
1002 - 2x27,5 = 280,6 mm 
 
Então, a largura líquida crítica é Llc = 265 mm 
 
Escoamento da seção bruta 
 
Ag = 19 x 320 = 6080 mm2 = 60,80 cm2
 
 71
kN1382
10x10,1
250x8,60fAN
1a
yg
Rd,t ==γ
= 
 
Ruptura da seção líquida 
 
An = Llc x t = 265 x 19 = 50,35 cm2
Ae = Ct x An = 0,67 x 50,35 = 33,73 cm2
 
kN999
10x35,1
400x73,33fAN
2a
ue
Rd,t ==γ
= 
 
Então: Nt,Rd = 999 kN 
 
 
 72
9.8 Exercício 2 Duas chapas lisas 
 
Determinar a largura líquida crítica da chapa de menor espessura da ligação 
aparafusada entre as duas chapas submetidas a um esforço de tração com 
parafusos M 20. A transmissão é igual para todos os parafusos e o aço das 
chapas é MR 250. A chapa superior tem espessura t = 22 mm. A chapa 
inferior tem espessura t = 25 mm. 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.36 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
a) Diâmetro nominal do furo. 
 
d0 = 20 mm 
d = d0 + ε = 20 + 1,5 = 21,5 mm 
 
 73
 
b) Largura do furo 
 
d´ = d + 2 mm = 21,5 + 2 = 23,5 mm = 2,35 cm. 
 
c) Cálculo da largura líquida crítica 
 
- Primeiro caminho de fissura 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.37 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
Llc = bg – 4 d´ 
 
Llc = 4 x 2,35 = 40 – 9,4 = 30,6 cm 
 
 74
 
- Segundo caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.38 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm85,3635,2x4
4x4
1040L
2
lc =−+= 
 
 
 
 75
 
- Terceiro caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.39 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
 
cm75,4035,2x5
4x4
10
4x4
1040L
22
lc =−++= 
 
 
 76
 
- Quarto caminho de fissura60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.40 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm92,4435,2x5
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
222
lc =−+++= 
 
 
 
 77
 
- Quinto caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.41 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm75,4035,2x5
4x4
10
4x4
1040L
22
lc =−++= 
 
 
 
 78
 
- Sexto caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.42 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm74,4635,2x6
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
2222
lc =−++++=
 
 
 
 
 
 79
- Sétimo caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.43 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm92,4435,2x5
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
222
lc =−+++= 
 
 
 
 
 
 80
- Oitavo caminho de fissura 
 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.44 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm99,5235,2x6
4x4
10
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
22222
lc =−+++++= 
 
 
 
 81
- Nono caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.45 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
 
cm89,5635,2x7
4x4
10
4x4
10
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
222222
lc =−++++++= 
 
 
 
 82
- Décimo caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.46 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm74,4635,2x6
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
2222
lc =−++++= 
 
 
 
 
 
 83
- Décimo primeiro caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.47 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
 
cm89,5635,2x7
4x4
10
4x4
10
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
222222
lc =−++++++= 
 
 
 
 
 84
- Décimo segundo caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.48 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm89,5635,2x7
4x4
10
4x4
10
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
222222
lc =−++++++= 
 
 
 
 
 
 85
- Décimo terceiro caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.49 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm74,4635,2x6
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
2222
lc =−++++= 
 
 
 
 
 86
- Décimo quarto caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.50 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm59,3635,2x5
6x4
10
6x4
1040L
22
lc =−++= 
 
 
 
 
 87
- Décimo quinto caminho de fissura 
 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.51 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm9,5035,2x6
4x4
10
4x4
10
4x4
10
4x4
1040L
2222
lc =−++++= 
 
 
 
 88
- Décimo sexto caminho de fissura 
 
 
 
 
60 
 
 
80 
 
 
 
120 
 
 
80 
 
 
60 
 100 100 100 80 mm 
Figura 9.52 – Conjunto de catorze parafusos. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
 
cm74,4635,2x6
6x4
10
6x4
10
4x4
10
4x4
1040L
2222
lc =−++++= 
 
 
 
 
 89
d) Cálculo da área bruta 
 
Ag = bg x t = 40 x 2,2 = 88 cm2
 
e) Cálculo da área líquida nominal 
 
An = Llc x t = 30,6 x 2,2 = 67,32 cm2 
 
f) Cálculo da área efetiva 
 
Como a transmissão dos esforços de tração é igual para todos os parafusos 
o Ct = 1. 
 
Ae = Ct x An = 1 x 67,32 = 67,32 cm2 
 
g) Escoamento da seção bruta 
 
kN2000
10x10,1
250x88fAN
1a
yg
Rd,t ==γ
= 
 
h) Ruptura da seção líquida 
 
kN1995
10x35,1
400x32,67fAN
2a
ue
Rd,t ==γ
= 
 
Então Nt,Rd = 1995 kN 
 90
 
9.9 Exercício 3 Ligação pela alma 
 
Determinar o coeficiente de redução Ct para a ligação aparafusada 
entre as chapas e a alma do perfil. Determinar a resistência à tração do 
conjunto. 
 
 
 19 22 19 mm 
22 
 
20 
 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
60 
 
 
20 
 
22 
 
mm 200 mm
 400 mm
Figura 9.53 – Seção transversal do perfil I ligado por chapas e parafusos 
através da alma. 
 
Aço dos perfis e chapas AR 415 
Parafusos M 24 d0 = 24 mm 
 91
 
 
 
22 
 
20 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
 
 
60 
20 
 
22 mm 
 120 100 80 mm 
Figura 9.54 – Vista longitudinal do perfil I ligado por chapas e parafusos 
através da alma. 
 
Cálculo do coeficiente de redução Ct. 
 
 A (mm2) x(mm) A.x (mm3) 
 
1 22x200 = 4400 100 440000 
2 11x360 = 3960 5,5 21780 
3 22x200 = 4400 100 440000 
 Σ = 12760 Σ = 901780 
 
 
 92
 
mm67,70
12760
901780x == 
ec = 70,67 – 11 = 59,67 mm 
lc = 220 mm 
c
c
t l
e1C −= 
73,0
220
67,591Ct =−= 
 
 
Figura 9.55 – Seção transversal do perfil I fictício. 
 
 
 200 mm
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70,67mm
360 
 
 
 
 
59,67mm 
 
 
 
 
22 
mm 11 189 
 93
 
Cálculo da largura líquida crítica 
Primeiro caminho de fissura 
 
 
22 
 
20 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
 
 
60
20 
 
22 mm 
 120 100 80 mm 
Figura 9.56 – Primeiro caminho de fissura. 
 
Como a chapa mais fina é a de 19 mm, então o comprimento bg é 320 mm. 
 
Llc = bg – 3d´ 
 
Llc = 320 - 3 x 27,5 = 237,5 mm 
 
Se a mais fina fosse a alma do perfil, então bg seria hw. 
 
 
 94
 
Segundo caminho de fissura 
 
 
22 
 
20 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
 
 
60
20 
 
22 mm 
 120 100 80 mm 
Figura 9.57 – Segundo caminho de fissura. 
 
Llc = bg + ∑ ∑− d́g4
s2 
 
Llc = 320 + 100x4
100x2 2 - 3x27,5 = 287,5 mm 
 
 
 
 
 
 95
 
Terceiro caminho de fissura 
 
 
22 
 
20 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
 
 
60
20 
 
22 mm 
 120 100 80 mm 
Figura 9.58 – Terceiro caminho de fissura. 
 
Llc = bg + ∑ ∑− d́g4
s2 
 
Llc = 320 + =−+ 5,27x3100x4
120
100x4
100 22 298,5 mm 
 
 
 
 
 
 96
 
Quarto caminho de fissura 
 
 
22 
 
20 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
 
 
60
20 
 
22 mm 
 120 100 80 mm 
Figura 9.59 – Quarto caminho de fissura. 
 
 
Llc = bg + ∑ ∑− d́g4
s2 
 
Llc= 320 + =− 5,27x3100x4
1002 262,5 mm 
 
 
 
 
 97
 
Quinto caminho de fissura 
 
 
22 
 
20 
60 
 
 
100 
 
 
 
100 
 
 
 
60
20 
 
22 mm 
 120 100 80 mm 
Figura 9.60 – Quinto caminho de fissura. 
 
Llc = bg + ∑ ∑− d́g4
s2 
 
Llc = 320 + =− 5,27x3100x4
1002 262,5 mm 
 
A largura líquida crítica será a menor dentre todas as pesquisadas. 
 
Llc = 237,5 mm 
 
 98
 
Determinação da resistência interna 
 
a) Pelo escoamento da seção bruta 
 
1a
yg
tRd
f.A
N
γ
= 
 
kN82,2293
10.1,1
415.)9,1x32(NtRd == 
 
b) Pela ruptura da seção líquida 
 
An = Llc x t = 23,75 x 1,9 = 45,125 cm2
 
Ae = An x Ct = 45,125 x 0,73 = 32,94 cm2
 
2a
ue
tRd
f.AN
γ
= 
 
kN84,1268
10.35,1
520.)73,0x9,1x75,23(NtRd == 
 
Deve-se considerar a menor das resistências. 
 
A resistência interna será NtRd = 1268,84 kN 
 
 
 
 
 99
 
9.10 Exercício 4 Ligação por solda 
 
Determinar o coeficiente de redução Ct para a ligação soldada entre 
as chapas. Determinar a resistência à tração do conjunto. Aços AR 415. 
 
 
 
 
80 
120 
Sd Sd 
80 
 
 
mm 
 100 200 mm 
Figura 9.61 – Chapas ligadas por solda. 
 
 
 
 
 
 100
 
 
 
Figura 9.62 – Chapas ligadas por solda. 
 
 
lw = 200 mm 
b = 120 mm 
 
2b = 240 mm 
1,5b = 180 mm 
 
1,5b ≤ lw ≤ 2b 
180 ≤ 200 ≤ 240 mm → Ct = 0,87 
 
 
 
 
200 mm 
12 
 
12 
26 mm 
120 mm 
280mm 
 101
 
a) Pelo escoamento da seção bruta 
 
1a
yg
tRd
f.A
N
γ
= 
 
kN55,1086
10.1,1
415.)4,2x12(NtRd == 
 
 
b) Pela ruptura da seção líquida 
 
 
An = Ag
 
Ae = An x Ct = 12x2,4 x 0,87 = 25,06 cm2
 
 
2a
ue
tRd
f.AN
γ
= 
 
kN12,965
10.35,1
520.)06,25(NtRd == 
 
Deve-se considerar a menor das resistências. 
 
A resistência interna será NtRd = 965,12 kN 
 
 
 
 102
 
9.11 Exercício 5 Ligação pela mesa 
 
Determinar o coeficiente de redução Ct para a ligação aparafusada 
entre as chapas e a alma do perfil. Determinar a resistência à tração do 
conjunto. Aço AR 415 e parafuso M24. 
 
 
Corte longitudinal 
 
22 
24 
472 
 
380 
24 
22 
mm 120 120
Figura 9.63 – Chapas ligadas pelas mesas. 
 
 
 
 
 
 
 
 103
 
 
 
Vista superior 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
480 
90 
120 120
mm 
Figura 9.64 – Chapas ligadas pelas mesas e conjunto de doze parafusos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 104
Seção transversal 
 
Figura 9.65 – Corte transversal das chapas ligadas pelas mesas. 
 
Figura 9.66 – Perfil T fictício. 
 
 
 
190 
24 
 230 230 
x 
mm 20
22 
 
 
24 
190 
 
 
 
 
 20 mm 
24 
 
 
22 
 90 90 120 90 90 mm 
190 
 105
 
Área (mm2) x (mm) A.x (mm3) 
 
1 – 24 x 230 = 5520 12 66240 
2 - 20 x 214 = 4280 107 457960 
3 - 24 x 230 = 5520 12 66240 
 Σ A = 15320 mm2 ΣA.x = 590440 mm3
 
mm54,38
15320
590440X == 
 
ec = 38,54 mm 
lc = 120 + 120 = 240 mm 
 
839,0
240
54,381
l
e1C
c
c
t =−=−= 
 
 
Diâmetro nominal do furo d 
 
d0 = 24 mm 
d = d0 + ε 
d = 24 + 1,5 = 25,5 mm 
 
Largura do furo 
 
d´ = d + 2mm = 25,5 + 2 = 27,5 mm 
d´ = 2,75 cm 
 
 
 106
 
 
Cálculo da largura líquida crítica 
 
Primeiro caminho de fissura 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.67 – Primeiro caminho de fissura. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
Llc = 48 - 4 x 2,75 = 37 cm 
 
 
 
 
 
 107
 
 
Segundo caminho de fissura 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.68 – Segundo caminho de fissura. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4175,2x4
9x4
1248L
2
lc =−+= 
 
 
 
 
 
 
 108
 
 
Terceiro caminho de fissura 
 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.69 – Terceiro caminho de fissura. 
 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4475,2x4
12x4
12
9x4
1248L
22
lc =−++= 
 
 
 
 
 
 109
 
 
Quarto caminho de fissura 
 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.70 – Quarto caminho de fissura. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4875,2x4
12x4
12
9x4
12x248L
22
lc =−++= 
 
 
 
 
 
 
 110
 
 
Quinto caminho de fissura 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.71 – Quinto caminho de fissura. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4075,2x4
12x4
1248L
2
lc =−+= 
 
 
 
 
 
 
 
 111
 
 
Sexto caminho de fissura 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.72 – Sexto caminho de fissura. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4475,2x4
9x4
12
12x4
1248L
22
lc =−++= 
 
 
 
 
 
 
 
 112
 
 
Sétimo caminho de fissura 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.72 – Sétimo caminho de fissura. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4175,2x4
9x4
1248L
2
lc =−+= 
 
 
 
 
 
 
 
 113
 
 
Oitavo caminho de fissura 
 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.73 – Oitavo caminho de fissura. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4875,2x4
12x4
12
9x4
12x248L
22
lc =−++= 
 
 
 
 
 
 
 114
 
 
Nono caminho de fissura 
 
 
 
90 
90 
 
 
120 
 
 
90 
90 
120 120
480 
mm 
Figura 9.74 – Nono caminho de fissura. 
 
∑ ∑−+= d́g4
sbL
2
glc 
 
cm4475,2x4
12x4
12
9x4
1248L
22
lc =−++= 
 
 
 
A largura líquida crítica será Llc = 37 cm 
 
 
 115
 
 
Determinação da resistência de cálculo 
 
a) Pelo escoamento da seção bruta 
 
1a
yg
tRd
f.A
N
γ
= 
 
kN3984
10.1,1
415.)2,2x48(NtRd == 
 
b) Pela ruptura da seção líquida 
 
An = Llc x t = 37 x 2,2 = 81,4 cm2
 
Ae = An x Ct = 81,4 x 0,839 = 68,33 cm2
 
2a
ue
tRd
f.AN
γ
= 
 
kN2632
10.35,1
520.)33,68(NtRd == 
 
Deve-se considerar a menor das resistências. 
 
A resistência interna será NtRd = 2632 kN 
 
 116
10 BARRAS PRISMÁTICAS SUBMETIDAS À FORÇA AXIAL DE 
COMPRESSÃO 
 
10.1 Generalidades 
 
A presente subseção aplica-se a barras prismáticas 
submetidas à força axial de compressão. No dimensionamento 
dessas barras, deve ser atendida a condição: 
 
Nc,Sd ≤ Nc,Rd (10.1) 
Nc,Sd é a força axial de compressão solicitante de cálculo; 
Nc,Rd é a força axial de compressão resistente de cálculo. 
 
Devem ainda ser observadas as condições relacionadas à limitação da 
esbeltez. 
 
10.2 Força axial resistente de cálculo 
 
A força axial de compressão resistente de cálculo, Nc,Rd, de uma barra, 
associada aos estados limites últimos de instabilidade por flexão, por torção 
ou flexo-torção e de flambagem local, deve ser determinada pela expressão: 
 
1a
yg
Rd,c
f.A.Q.X
N
γ
= (10.2) 
 
onde: 
χ é o fator de redução associado à resistência à compressão; 
Q é o fator de redução total associado à flambagem local; 
Ag é a área bruta da seção transversal da barra. 
 117
 
10.3 Fator de redução X 
 
O fator de redução associado à resistência à compressão, χ, depende 
da curva de dimensionamento à compressão (a, b, c ou d), a qual é função 
do tipo de seção transversal, do modo de instabilidade e do eixo em relaçãoao qual a instabilidade ocorre. Seu valor é expresso por: 
 
 (10.3) 
onde: 
 
 (10.4) 
 
α = é um coeficiente relacionado à curva de dimensionamento à 
compressão; 
λ0 = é o índice de esbeltez reduzido. 
 
 O valor de χ pode ser também obtido da Figura 10.1 ou de Tabelas 
para os casos em que λ0 é, no máximo, igual a 3,0. 
 
O coeficiente α, nos casos de instabilidade por flexão, é igual a 0,21, 
0,34, 0,49 e 0,76, respectivamente para as curvas a, b, c e d de 
dimensionamento à compressão. 
 
Nos casos de instabilidade por torção ou por flexo-torção, α deve ser 
tomado igual ao da curva relacionada à instabilidade por flexão em relação 
ao eixo y. 
 118
 
O índice de esbeltez reduzido, λ0, para barras comprimidas é expresso 
por: 
 
 (10.5) 
 
onde Ne é a força axial de flambagem elástica. 
 
 
Figura 10.1 — Curvas de dimensionamento à compressão (ver Tabela 4) 
 
Curva a .................... α = 0,21 
Curva b .................... α = 0,34 
Curva c .................... α = 0,49 
Curva d ................... α = 0,76 
 119
 
Tabela 10.1 — Curvas de dimensionamento à compressão para instabilidade por 
flexão 
 
 
 
 120
 O índice de esbeltez reduzido, λ0, para barras comprimidas é dado por: 
 
 (10.6) 
 
onde Ne é a força axial de flambagem elástica. 
 
a) Flambagem por flexão em relação ao eixo x 
 
( )2xx
x
2
xe LK
IEN π= (10.7) 
 
b) Flambagem por flexão em relação ao eixo y 
 
( )2yy
y
2
ye LK
IE
N
π
= (10.8) 
 
c) Flambagem por torção em relação ao eixo z 
 
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
π
= t2
zz
w
2
2
0
ze IGLK
CE
r
1N (10.9) 
 
Kx.Lx = comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo x; 
Ky.Ly = comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo y; 
Ix = momento de inércia à flexão da seção transversal do perfil em relação ao 
eixo x; 
Iy = momento de inércia à flexão da seção transversal do perfil em relação ao 
eixo y; 
 121
E = módulo de elasticidade longitudinal do aço. E = 200.000 MPa; 
Cw = momento setorial de inércia; 
G = módulo de elasticidade do aço; 
ro = raio de giração polar. 
 
 O raio de giração polar é expresso por: 
 
2
0
2
0
2
y
2
x0 yxrrr +++= (10.10) 
 
x0 e y0 = coordenadas do centro de cisalhamento. 
 
10.4 Valores de coeficientes de flambagem por flexão Kx ou Ky 
 
São expressos em função das condições de extremidade da barra. 
 
- Extremidades com rotação e translação impedidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10.2 – Rotação e translação impedidas. 
 
 
 
Kx ou Ky = 0,65 
 
 122
 
- Extremidade com rotação livre e translação impedida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10.3 - Rotação livre e translação impedida. 
 
Kx ou Ky = 0,80 
 
 
- Extremidade com rotação impedida e translação livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10.4 - Rotação impedida e translação livre. 
 
Kx ou Ky = 1,20 
 
 123
 
- Ambas extremidades com rotação livre e translação impedida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10.5 - Rotação livre e translação impedida. 
 
 
Kx ou Ky = 1,0 
 
- Extremidade com translação e rotação livres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10.6 - Translação e rotação livres. 
 
 
Kx ou Ky = 2,1 
 
 
 124
10.5 Valores de coeficientes de flambagem por torção Kz
 
- apoio em garfo com rotação impedida e empenamento livre – Kz = 1,0 
 
 
Figura 10.7 - Apoio em garfo com rotação impedida e empenamento livre. 
 
- extremidade superior com rotação livre e empenamento livre mas com a 
extremidade inferior de rotação impedida e empenamento impedido - Kz = 
2,0 
 
Figura 10.8 - Extremidade inferior de rotação impedida e empenamento 
impedido. 
 
 125
10.6 Valores limites das relações largura e espessura em elementos 
comprimidos dos perfis de aço 
 
 Se as almas e as mesas satisfizerem às relações limites, então o fator 
Q de redução associado à flambagem local será Q = 1. 
 
a) Elemento AA Grupo 2 (Elemento AA possui duas bordas 
longitudinais vinculadas seja perfil soldado ou laminado) 
 
 Almas de perfis I, U e H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b 
 b 
 tw 
 tw
 
 
 
 
 
 
Figura 10.9 – Perfis I laminado e U soldado. 
 
 
ylim f
E,
t
b 491≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
 (10.11) 
E = módulo de elasticidade do aço sendo igual a 200.000 MPa. 
fy = tensão de escoamento do aço. 
 
 126
Para aço MR 250 .................... fy = 250 MPa 
Para aço AR 350 .................... fy = 350 MPa 
Para aço AR 350 COR ........... fy = 350 MPa 
Para aço AR 415 .................... fy = 415 MPa 
 
Os perfis H apresentam a altura de mesmo comprimento de mesa. 
 
b) Elemento AL Grupo 4 (elemento que possui uma borda longitudinal 
vinculada) PERFIS LAMINADOS 
 
 Mesas das seções I, H, T ou U laminadas ( apresentam curvas nas 
junções entre as almas e mesas ). 
 b b 
 
 t 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.10 – Perfis I e T laminados da CSN e AçoMinas. 
 
ylim f
E,
t
b 560≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
 (10.12)
 
E = módulo de elasticidade do aço sendo igual a 200.000 MPa. 
fy = tensão de escoamento do aço. 
 127
c) Elemento AL Grupo 5 PERFIS SOLDADOS 
 
 Mesas das seções I, H, T ou U soldadas ( não apresentam curvas 
nas junções entre as almas e mesas ). 
 
 b b 
 
 t 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.11 – Perfis I e T soldados. 
 
c
ylim
k
f
E,
t
b 640≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
 (10.13) 
 O valor de kc é expresso por: 
 
w
c
t
h
k 4=
 (10.14)
 
 
sendo 0,35 ≤ kc ≤ 0,76; 
 tw = espessura da alma e h = altura do perfil. 
 128
Exemplo de perfil laminado 
 
Figura 10.12 – Perfil I laminado . 
 
Exemplo de perfil soldado 
 
Figura 10.13 – Perfil I soldado. 
 129
10.7 Limitação do índice de esbeltez 
nda-se que o índice de esbeltez, agora dado por KL/r, 
ão supere 200. 
0.8 Exemplo 1 
são é Sd = 368,2 kN. Determinar a 
 
4 – Perfil IP de abas paralelas laminado. 
 
 O índice de esbeltez das barras comprimidas, tomado como a 
maior relação entre o comprimento destravado e o raio de giração 
correspondente ( L/ r ), não deve ser superior a 200. Em elementos 
isolados, recome
n
 
1
 
 Seja o perfil IP 240 de aço ASTM A572, laminado, com tensão nominal 
de escoamento fy = 290 MPa e tensão de ruptura fu = 415 MPa. A 
solicitação de cálculo de compres
resistência de cálculo deste perfil. 
19 
0,98 
22 
0,98 
cm 
0,62 
 12 
Figura 10.1
 130
Dados do perfil IP 240 
a = 20.000 kN/cm2
 Ag = 39,1 cm2
 = 415 MPa 
 – Valores limites das relações largura/espessura 
.1 – Mesas dos perfil laminados (Elemento AL caso 4) 
 
 
Figura 10.15 – Perfil IP de abas paralelas laminado.