Números Reais e Intervalos

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Análise Matemática - 2009/2010 
 1ª aula teórica. pág. 1 
 I - Funções reais de variável real 
 
 
1. Números Reais. 
 
1.1 - Números naturais, números relativos, números racionais 
e números reais. 
 
De uma forma muito simples vamos recordar os números: 
 
• Números Naturais ℕ - 1, 1+1=2, 2+1,... 
 
• Números Relativos ℤ - são os números naturais, os seus 
simétricos e o 0. …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… 
 
• Números Racionais ℚ - são todos os números que possam 
representar-se na forma 
y
x , com x e y 0e y∈ ≠ℤ 
 
• Números Reais ℝ - Além dos números racionais englobam também 
os irracionais (exemplos: 2 , π ,…) 
 
 
Obviamente ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ 
 
 
1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos 
números reais. 
 
Vamos admitir o conjunto ℝ , cujos elementos são os números reais, e no 
qual supomos definidas duas operações: adição (+) e multiplicação (×). 
 
Na axiomática dos números reais os axiomas estão divididos em três 
grupos: 
 
• Axiomas de Corpo 
• Axiomas de Ordem 
• Axioma de Supremo 
 
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Axiomas são propriedades/preposições que não se demonstram, pois 
admitem-se (definem-se) como verdadeiras. 
 
Axiomas de um Corpo 
 
Axioma 1 - A adição e a multiplicação são operações comutativas no 
conjunto dos reais. 
 
x y y x+ = + e xy yx= 
 
Axioma 2 - A adição e a multiplicação são operações associativas no 
conjunto dos reais. 
( ) ( )x y z x y z+ + = + + e ( ) ( )xy z x yz= 
 
Axioma 3 - A multiplicação é distributiva em relação à adição 
 
( )x y z xy xz+ = + 
Quaisquer que sejam, ,x y z ∈ℝ 
 
 
Axioma 4 - A adição e a multiplicação são operações com elemento 
neutro: Os elementos neutros das duas operações são números reais 
distintos. 
 
Tem-se para todo o x∈ℝ , 0 0x x x+ = + = e 1 1. .x x x= = 
 
Axioma 5 - Todo o número real tem um simétrico (isto é, qualquer que 
seja o real x existe pelo menos um y ∈ℝ tal que 0x y+ = ; todo real 
distinto de zero tem inverso (quer dizer, qualquer que seja o real 0x ≠ , 
existe pelo menos um y ∈ℝ tal que ( 1)xy = . 
 
 
Axiomas de Ordem 
 
Axioma 6 - O conjunto dos números positivos, +ℝ , é um subconjunto de 
ℝ fechado para as operações de adição e de multiplicação (esta última 
afirmação significa que, se x e y são números positivos, a sua soma e o seu 
produto também o são). 
 
Nota: um número real diz-se negativo sse o seu simétrico é positivo. 
 
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Axioma 7- Qualquer número real ou é positivo, ou é negativo ou é nulo. 
 
 
Axioma do Supremo 
 
Axioma 8 - Qualquer subconjunto de ℝ majorado e não vazio tem 
supremo. 
 
 
1.2 Intervalos. Conjuntos ilimitados. Máximo, mínimo, supremo e 
ínfimo de um conjunto. 
 
Sendo ,a b∈ℝ e a b≤ é costume designar-se por 
[ ] [ [ ] ] ] [, , , , , ,a b a b a b e a b respectivamente, os conjuntos dos reais, x que 
verificam as condições: a x b≤ ≤ , a x b≤ < , a x b< ≤ e a x b< < . 
 
Repare que: 
• [ ],a b é um intervalo fechado de extremos a e b 
• ] [,a b é um intervalo aberto de extremos a e b 
• [ [,a b e ] ],a b são intervalos semi-fechados ou semi-abertos 
 
 
Conjuntos ilimitados. 
 
Sendo a ∈ℝ existem dois tipos de intervalo de origem em a ilimitados à 
direita: 
 
• O conjunto fechado [ [,a +∞ 
• O conjunto aberto ] [,a +∞ 
• O próprio conjunto ℝ é também considerado um intervalo ilimitado 
e designado às vezes por ] [,−∞ +∞ 
 
 
Majorante e minorante. 
 
Seja K um subconjunto de ℝ e a e b números reais: 
 
• Diremos que b é majorante do conjunto K sse qualquer elemento de 
K for menor ou igual a b. 
 
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• Diremos que a é minorante de K sse a x≤ , x K∀ ∈ 
 
Exemplos: 
 
• [ ]1 6,K = 
1 é minorante, mas também o -2 é um minorante 
6 é majorante mas também o 7 é majorante 
 
• ] [0,K = +∞ 
Neste caso qualquer número negativo é minorante (o 0 também é um 
minorante). Este conjunto não tem majorantes. 
 
• ℝnão tem majorantes nem minorantes 
 
Definições: 
Seja K ⊂ ℝ . 
 
• K diz-se majorado (ou limitado superiormente, ou limitado à 
direita ) sse tiver majorantes. 
 
• K diz-se minorado (ou limitado inferiormente , ou limitado à 
esquerda) sse tiver minorantes. 
 
• K diz-se limitado se for majorado e minorado. 
 Exemplos: { }2 10,− ;{ }0 ;{ }1 2 3 200, , , e ] [1 4, 
 
• K diz-se ilimitado se não for limitado. 
 Exemplos: ] [,−∞ +∞ ; ] ]4,−∞ e [ [3,− +∞ 
 
 
Seja K ⊂ ℝ . 
Pode existir ou não em K um elemento maior de que todos os outros, isto é 
pode existir ou não um número real c que verifique conjuntamente as 
condições: c K∈ e c é majorante de K. Se existir chama-se máximo do 
conjunto. 
 
Analogamente, o mínimo de K, se existe, é o minorante de K que pertence a 
K. 
 
Nota: O máximo ou mínimo a existir é único. 
 
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Exemplos 
 
• { }0 1, tem máximo 1 e mínimo 0 
• [ ]0 1, tem máximo 1 e mínimo 0 
• ] ]2 9,− tem máximo 9 e não tem mínimo (-2 é minorante mas não 
pertence ao conjunto) 
• Os conjuntos ℝ e ∅ não têm mínimo nem máximo 
 
Supremo e ínfimo 
 
Seja K ⊂ ℝ , designemos por V o conjunto de todos os seus majorantes 
(ter-se-á que V = ∅ sse k não for majorado). Chama-se supremo de K (e 
designa-se por sup K o elemento mínimo do conjunto V (no caso de V não 
ter mínimo dir-se-á que K não tem supremo). 
 
Nota: Quando o supremo de k existe, é único e pode pertencer ou não ao 
conjunto K; pertence certamente ao conjunto V, isto é, é um majorante de K 
(precisamente o menor de tais majorantes). 
 
Raciocínio idêntico pode ser feito para o ínfimo de K ou inf K, ou seja 
representa o maior dos minorantes. 
 
É óbvio que qualquer conjunto K que tenha máximo tem supremo, sendo 
sup K = max K; Assim como qualquer conjunto com mínimo tem ínfimo 
igual ao mínimo inf K = min K. 
 
 
Exemplos: 
 
sup[ ]0 1, =max[ ]0 1 1, = ; inf[ ]0 1, =min[ ]0 1 0, = 
 
 sup ] [0 1 1, = ; inf ] [0 1 0, = 
 
Nota: No intervalo aberto ] [0 1, não existe máximo nem mínimo. 
 
 
 
 
 
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2 . Noções topológicas no conjunto dos reais. 
 
2. 1- Módulo, distância, vizinhança. 
 
Def.1.1 Seja x∈ℝ , designa-se módulo ou valor absoluto ao 
real positivo (ou nulo), 
 



<−
≥
=
0 xsex 
0 xse x 
x 
 
Prop.1.2* Sejam x e y, dois números reais, então: 
 
(1) 0≥x 
(2) xx ≤ 
(3) xx =− 
(4) yxxy ×= 
(5) se y≠ 0,
y
x
y
x = 
(6) yxyx +≤+ 
(7) yxyx −≥− 
(8) se n∈ℕ , nn xx = 
 
 
Equações com módulos 
 
00 =⇔= xx 
axaxax −=∨=⇔= 
abxabxabx −=−∨=−⇔=− 
 
 
 
* A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira 
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Inequações com módulos 
Supondo a +∈ℝ e b −∈ℝ 
 
] [aaxaxaaxaxax ,−∈⇔<<−⇔−>∧<⇔< 
[ ]aaxaxaaxaxax ,−∈⇔≤≤−⇔−≥∧≤⇔≤ 
] [ ] [+∞∪−∞−∈⇔−<∨>⇔> ,, aaxaxaxax 
] ] [ [+∞∪−∞−∈⇔−≤∨≥⇔≥ ,, aaxaxaxax 
∅∈⇔< xx 0 
00 =⇔≤ xx 
∅∈⇔< xbx 
 
Exemplos: 
a) ( )
 1 se 1 0
1
1 se 1 0
x x
x
x x
+ + ≥+ = − + + <
 
 
b) 15323232 =∨−=⇔=+∨−=+⇔=+ xxxxx 
 
c) 1532332 <<−⇔<+<−⇔<+ xxx 
 
d) 15323232 >∨−<⇔>+∨−<+⇔>+ xxxxx 
 
Def.1.3 Distância entre dois números reais 
Seja x, y∈ℝ , define-se distância entre x e y, yxyxd −=),( 
 
Prop.1.4* Sejam x, y, e z ∈ℝ e d a distância definida 
anteriormente então, são válidas as três propriedades: 
 
(1) 0 e 0 sse ( , ) ( , )d x y d x y x y≥ = = 
 
(2) ( , ) ( , )d x y d y x= (simetria da distância) 
 
(3) ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z≤ + (desigualdade triangular) 
 
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Def.1.5 Vizinhança 
Seja a um n.º real, dado um n.º ε > 0, designa-se por vizinhança 
de a, de raio ε , ao conjunto { }( ) : ( , )V a x d x aε ε= ∈ <ℝ = { }:x x a ε∈ − <ℝ 
 
Exemplo: 
=)5(1V { }5 1:x x∈ − <ℝ ={ }4 6:x x∈ < <ℝ 
 
2.2- Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um 
conjunto. 
 
Prop.1.6 Seja A um subconjunto de números reais, A ⊂ ℝ , e b um 
número real. Diz-se que: 
 
 (i) b é um ponto interior ao conjunto A se existir uma 
vizinhança de b contida em A, (isto é se existir ε >0 Tal que 
AbV ⊂)(ε ). 
 
 (ii) b é um ponto exterior ao conjunto A se existir uma 
vizinhança de b disjunta de A isto é se existir ε >0 tal que 
∅=AbV ∩)(ε . 
 
(iii) b é um ponto fronteiro de A se b não for ponto 
interior nem ponto exterior de A . 
 
(iv) b é um ponto aderente de A se φε ≠∩∀ AbV )( 
 
(v) b é um ponto de acumulação de A se 
 { }( ) φε ≠∩∀ bAbV |)( 
 
 
 
Faça a aplicação dos conhecimentos anteriores ao conjunto A 
] ] { }104,1 ∪=A 
 
 
 
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Def.1.7 Dado um conjunto A⊂ℝ , designa-se: 
(1) Interior de A, int(A) (ou 
o
A ), o conjunto das pontos interiores 
de A. 
 
(2) Exterior de A, ext(A), o conjunto dos pontos exteriores de A. 
 
(3) Fronteira de A, fr(A), o conjunto dos pontos fronteiros a A. 
 
(4) Aderência de A, ou fecho de A, o conjunto int(A)∪ fr(A) e 
denota-se por A , ( A =
�
A∪ )(Afr ) 
 
(5) Derivado de A, A´, é o conjunto dos pontos de acumulação. 
 
 
Exemplos: 
(1) [ ]1,0=B 
] [1,0)int( =B fr(B)={ }1,0 B =[ ]1,0 [ ]1,0=′B 
] [ ] [+∞∪∞−= ,10,)(Bext 
 
 
(2) X = ∅ 
int ( )X =∅ fr(X)=∅ X =∅ X ′ =∅ 
ext(X)=ℝ 
 
 
(3) X = ℝ 
 
int(X)=ℝ fr(X)=∅ X =ℝ X ′ = ℝ 
ext (X)= ∅ 
 
 
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Obs.: 
Sendo cX o complementar do conjunto X ( cX =ℝ \X) 
Qualquer que seja X⊂ℝ e cX : 
(i) int( cX )=ext(X) 
(ii) fr( cX )=fr(X) 
(iii) int(X) X X X′⊂ ⊂ ⊂ 
 
2.3- Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos 
limitados. 
 
Def.1.8 Um conjunto A⊂ℝ diz-se aberto se coincide com o 
interior (A=
�
A) e A⊂ℝ diz-se fechado se coincidir com o fecho 
−
= AA( ). 
 
Exemplos: 
 
A= ] [5,0 A é aberto 
B=[ ]3,0 B é fechado 
C=] ]5,0 C não é aberto nem fechado 
 
Def.1.9 Conjunto limitado 
Um conjunto A⊂ ℝ diz-se limitado se, dado um elemento Ab ∈ , 
existe ε +∈ℝ tal que )(bVA ε⊂ . Caso contrário diz-se que A é 
ilimitado. 
 
Exemplos: 
 
(1) B=[ [ ] [ { }410,100,103,5 π∪∪− 
 
B é limitado 
 
(2) C= ] ]π,∞− 
C não é limitado, diz-se então que é ilimitado.