Conjuntos Numéricos e Teoria de Conjuntos

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Prof.: Ruy Alexandre Generoso
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TEORIA DE CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
O conceito de número foi 
evoluindo ao longo dos 
tempos, tendo-se criado 
novos números para 
responder a problemas 
entretanto surgidos.
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURAIS
RACIONAIS
REAIS
INTEIROS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS
Estes números foram criados pela 
necessidade prática de contar as coisas 
da natureza, por isso são chamados de 
números naturais.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS
A representação matemática deste conjunto é:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS INTEIROS
• Os números naturais não permitiam a resolução 
de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era 
impossível.
• A idéia do número negativo, aparece na Índia, 
associada a problemas comerciais que 
envolviam dívidas.
• A idéia do número zero surgiu também nesta 
altura, para representar o nada.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS INTEIROS
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Entretanto... surgiu outro tipo de problema:
“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “
Para resolver este tipo de problemas foram 
criados os números fracionários. Estes 
números juntamente com os números inteiros 
formam os racionais.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS RACIONAIS
Q = Z ∪ { números fracionários }
A representação matemática deste conjunto é:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os pitagóricos ao aplicarem o 
Teorema de Pitágoras para 
determinar a medida do 
comprimento da diagonal de um 
quadrado de lado unitário, não 
conseguiram encontrar um 
número racional para essa 
medida. Então surgem:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
R = Q ∪ { números irracionais }
NÚMEROS REAIS
A representação matemática deste conjunto é:
SIMBOLOGIA
∈∈∈∈→ Pertence
∉∉∉∉→ Não pertence
∃ x → existe pelo menos um x
∃| x → existe um único x
⊃ → contém
⊃ → não contém
⊄ → não está contido
⊂ → está contido
∩ → intercessão
∪ → união
∅→ conjunto vazio
∀∀∀∀x → para todo x ou qualquer que seja x
⇒→ implica
⇔⇔⇔⇔ → equivalente
| → Tal que
SIMBOLOGIA
Conjunto. Elemento. Pertinência.
Conjunto (agrupamento, coleção):
Exemplo:
Conjunto das vogais
Elemento(membro, objeto):
Exemplo:
a, e, i, o, u
NOÇÕES PRIMITIVAS:
Conjunto. Elemento. Pertinência.
Pertinência (pertencer, não pertencer):
Exemplo:
Os elementos a, e, i, o, u são vogais, 
portanto pertencem ao Conjunto das vogais
Simbologia (∈∈∈∈ ou ∉∉∉∉):
a, e, i, o, u ∈∈∈∈ ao Conjunto das vogais
b, c, d, f ∉∉∉∉ ao Conjunto das vogais
NOÇÕES PRIMITIVAS:
Descrição de um Conjunto.
Por extensão:
Enumeram-se os elementos, escrevendo-os entre 
chaves e separando-os por vírgula.
Exemplos:
Conjunto das vogais {a, e, i, o, u}
Conjunto dos números ímpares positivos 
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}
Descrição de um Conjunto.
Por compreensão:
O conjunto será descrito por uma propriedade 
que caracteriza os seus elementos.
Exemplo:
A = {x | x é uma vogal}
Lê-se: “A é o conjunto dos elementos x tal 
que x é uma vogal”
Em geral, indicamos um conjunto com Em geral, indicamos um conjunto com 
letra mailetra maiúúscula A, B, C,... e um scula A, B, C,... e um 
elemento com letra minelemento com letra minúúscula a, b, c,...scula a, b, c,...
Representação de um Conjunto.
É habitual representar um conjunto pelos pontos 
interiores a uma linha fechada e não entrelaçada.
Exemplo:
A .a
.e.i .o
.u
.b
Observe que:
A = {a, e, i, o, u}
a ∈ A (é um ponto interno)
b ∉ A (é um ponto externo)
Representação de um Conjunto.
Pelo Diagrama de Euler-Venn(*):
(*) John Venn, 1834 – 1923 e Euler, 1707 – 1783.
O conjunto será representado pelos pontos 
interiores a um círculo.
Exemplo:
C
.1 .2
.3 .4
.5
.8 Observe que:
C = {1, 2, 3, 4, 5}
4 ∈ C (é um ponto interno)
8 ∉ C (é um ponto externo)
Conjunto Unitário.
Chama-se conjunto unitário aquele que possui 
um único elemento.
Exemplos:
Conjunto dos estados brasileiros que fazem 
fronteira com o Uruguai
{Rio Grande do Sul}
Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10
{3}
A
.a
Conjunto Vazio.
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui 
elemento algum.
Exemplos:
A = {x / x é inteiro e solução da equação 2x = 1}
∅∅∅∅
B = {x / x > 0 e x < O}
{ }
Simbologia: ∅∅∅∅ ou { }
A
Conjunto Universo.
É o conjunto ao qual pertencem todos os 
elementos utilizados em um determinado assunto.
Exemplos:
População humana:
U = todos os habitantes da terra
Soluções reais de uma equação:
U = R
Simbologia: U
Conjunto Universo.
Quando vamos descrever um conjunto A através de 
uma propriedade P, é essencial fixarmos o 
conjunto-universo U em que estamos trabalhando, 
escrevendo:
A = {x ∈∈∈∈ U / x tem propriedade P}
Exemplos:
1) A = {y ∈∈∈∈ R / 2y + 3 = 0} 
U = R
2) A = {y ∈∈∈∈ Z / 2y + 3 = 0}
U = Z
Conjuntos Iguais.
Dois conjuntos são considerados iguais quando 
possuem os mesmos elementos.
Em símbolos:
A = B ⇔⇔⇔⇔ (∀∀∀∀ x) (x ∈∈∈∈ A ⇔⇔⇔⇔ x ∈∈∈∈ B)
Exemplos:
1) A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 1, 2}
∴ A = B (A igual a B)
2) C = {a, b, c, d} e D = {a, b, d}
∴ C ≠ D (C diferente de D) 
Subconjunto.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, 
e somente se, todo elemento de A pertencer também 
a B.
Em símbolos:
A ⊂⊂⊂⊂ B ⇔⇔⇔⇔ (∀∀∀∀ x) (x ∈∈∈∈ A ⇒⇒⇒⇒ x ∈∈∈∈ B)
Exemplo: 
A = {1, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
B
A
B
A
A ⊂⊂⊂⊂ B
Lê-se:“A é subconjunto de 
B” ou “A está contido em B”
Quando A ⊂⊂⊂⊂ B, também podemos escrever B ⊃⊃⊃⊃ A
Lê-se:“B contém A”
Com a notação A ⊄⊄⊄⊄ B negamos que A ⊂⊂⊂⊂ B
Lê-se:“A não está contido em B”
A B A B
A ⊄⊄⊄⊄ B
Notações:
1ª) ∅∅∅∅ ⊂⊂⊂⊂ A
2ª) A ⊂⊂⊂⊂ A (reflexiva)
3ª) (A ⊂⊂⊂⊂ B e B ⊂⊂⊂⊂ A) ⇒⇒⇒⇒ A = B (anti-simétrica)
4ª) (A ⊂⊂⊂⊂ B e B ⊂⊂⊂⊂ C) ⇒⇒⇒⇒ A ⊂⊂⊂⊂ C (transitiva)
Sendo A, B ,C três 
conjuntos arbitrários, 
valem as seguintes 
propriedades:
B
A
C
Propriedades da inclusão:
Conjunto das Partes.
O conjunto das partes de A é aquele que é formado 
por todos os subconjuntos de A.
Em símbolos:
P (A) = {x / x ⊂⊂⊂⊂ A}
Exemplos: 
1) A = {a}
P (A) = {∅∅∅∅, {a}}
2) A = {1, 3, 5}
P (A) = {∅∅∅∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}
Se o Conjunto A é
finito com n 
elementos, então P(A) 
terá 2n elementos.
Reunião de Conjuntos.
A ∪∪∪∪ B = {x / x ∈∈∈∈A ou x ∈∈∈∈B}
Exemplos:
a) A = {0,1,2,3,4}
B = {1,3,5,7}
A ∪ B = {0,1,2,3,4,5,7}
.1
.3
.0
.2
.4
.5
.7
A B
A B
.0 .1
.2
.3
.4
A B
.0 .2 .1 .3
.5
b) A = {0,1,2}
B = {0,1,2,3,4}
A ∪ B = {0,1,2,3,4} = B
c) A = {0,2}
B = {1,3,5}
A ∪ B = {0,1,2,3,5}
1ª) A ∪∪∪∪ A = A (idempotente)
2ª) A ∪∪∪∪ ∅∅∅∅ = A (elemento neutro)
3ª) A ∪∪∪∪ B = B ∪∪∪∪ A (comutativa)
4ª) (A ∪∪∪∪ B) ∪∪∪∪ C = A ∪∪∪∪ (B ∪∪∪∪ C) (associativa)
Sendo A, B ,C 
conjuntos quaisquer, 
valem as seguintes 
propriedades:
B A
C
Propriedades da reunião:
Interseção de Conjuntos.
A ∩∩∩∩ B = {x / x ∈∈∈∈ A e x ∈∈∈∈ B}
Exemplos:
a) A = {0,1,2,3,4}
B = {1,3,5,7}
A ∩ B = {1,3}
.1
.3
.0
.2
.4
.5
.7
A B
A B
.0 .1
.2
.3
.4
A B
.0 .2 .1 .3
.5
Con
j . di
sjun
tos
b) A = {0,1,2}
B = {0,1,2,3,4}
A ∩ B = {0,1,2} = A
c) A = {0,2}
B = {1,3,5}
A ∩ B = ∅
1ª) A ∩∩∩∩ A = A (idempotente)
2ª) A ∩∩∩∩ U = A (elemento neutro)
3ª) A ∩∩∩∩ B = B ∩∩∩∩ A (comutativa)
4ª) A ∩∩∩∩ (B ∩∩∩∩ C) = (A ∩∩∩∩ B) ∩∩∩∩ C (associativa)
Sendo A, B ,C 
conjuntos quaisquer, 
valem as seguintes 
propriedades:
B A
C
Propriedades da intersecção:
1ª) A ∪∪∪∪ (A ∩∩∩∩ B) = A
2ª) A ∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪ B) = A 
3ª) A ∪∪∪∪ (B ∩∩∩∩ C) = (A ∪∪∪∪ B) ∩∩∩∩ (A ∪∪∪∪ C)
(distributiva da reunião em relação à intersecção)
4ª) A ∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C) = (A ∩∩∩∩ B) ∪∪∪∪ (A ∩∩∩∩ C) 
(distributiva da intersecção em relação à reunião)
Sendo A, B ,C conjuntos quaisquer, valem as 
seguintes propriedades que inter-relacionam a 
reunião e a intersecção de conjuntos:
Propriedades:
Diferença de Conjuntos.
A – B = {x / x ∈∈∈∈ A e x ∉∉∉∉ B}
A
B
A B
A B
a) A = {0,1,2,3,4}
B = {1,3,5,7}
A – B = {0,2,4}
.1
.3
.0
.2
.4
.5
.7
A B
D C
.0 .1
.2
.3
.4
Diferença de Conjuntos.
b) C = {0,1,2,3,4}
D = {0,1,2}C – D = {3,4}
Exemplos:
E F
.0 .2 .1.3
.5
Diferença de Conjuntos.
G H
.1
.2.3
.4
d) G = {1,2}
H = {1,2,3,4}
G – H = ∅
c) E = {0,2}
F = {1,3,5}
E – F = {0,2} = E
Exemplos: