18 11 calculo II - LISTA DE EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS-convertido (1)

Prévia do material em texto

LISTA DE EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON : afirma que a taxa de variação, no tempo, da temperatura 
de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio circundante. 
Sejam 𝑇 a temperatura do corpo e 𝑇𝑚 a temperatura do meio circundante. 
𝒅𝑻
𝒅𝒕
= 𝒌(𝑻 − 𝑻𝒎) → 𝑻′(𝒕) − 𝒌𝑻(𝒕) = −𝒌𝑻𝒎 
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO RESFRIAMENTO DE NEWTON 
 
ℒ[𝑇′(𝑡)] − 𝑘ℒ[𝑇(𝑡)] = −𝑘𝑇𝑚ℒ[1] 
 
𝑠. 𝑇(𝑠) − 𝑐0⏟ 
ℒ[𝑇′(𝑡)]
− 𝑘 𝑇(𝑠)⏟
ℒ[𝑇(𝑡)]
= −𝑘𝑇𝑚.
1
𝑠
 
 
(𝑠 − 𝑘). 𝑇(𝑠) = +𝑐0 − 
𝑘𝑇𝑚
𝑠
 
 
𝑇(𝑠) =
𝑐0
(𝑠 − 𝑘)
−
𝑘𝑇𝑚
𝑠. (𝑠 − 𝑘)
 
 
 
ℒ−1[𝑇(𝑠)] = 𝑐0ℒ
−1 [
1
(𝑠 − 𝑘)
] − 𝑘𝑇𝑚ℒ
−1 [
1
𝑠. (𝑠 − 𝑘)
] 
 
𝓛−𝟏 [
𝟏
(𝒔 − 𝒌)
] = 𝒆𝒌𝒕 𝒆 𝓛−𝟏 [
𝟏
𝒔(𝒔 − 𝒌)
] =
𝒆𝒌𝒕 − 𝟏
𝒌
 
 
𝑇(𝑡)⏟
ℒ−1[𝑇(𝑠)]
= 𝑐0. 𝑒
𝑘𝑡⏟
ℒ−1[
1
(𝑠−𝑘)]
− 𝑘𝑇𝑚
𝑒𝑘𝑡 − 1
𝑘⏟ 
ℒ−1[
1
𝑠.(𝑠−𝑘)]
 
 
𝑇(𝑡) = 𝑐0. 𝑒
𝑘𝑡 − 𝑇𝑚. 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑚 
 
𝑇(𝑡) = (𝑐0 − 𝑇𝑚). 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – Uma barra de metal à temperatura de 100oF é colocada em um quarto à temperatura 
constante de 0oF. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50oF, determine: 
a) A função de resfriamento da barra. 
DADOS DO EXERCÍCIO 
 
𝑇(0) = 𝑐0 = 100
𝑜𝐹 ; 𝑇(20) = 50𝑜𝐹 ; 𝑇𝑚 = 0
𝑜𝐹 
 
APLICAR OS DADOS NA FUNÇÃO DE RESFRIAMENTO DE NEWTON 
 
𝑇(𝑡) = (𝑐0 − 𝑇𝑚). 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑚 
 
𝑇(𝑡) = (100 − 0). 𝑒𝑘𝑡 + 0 → 𝑇(𝑡) = 100. 𝑒𝑘𝑡 
 
𝒌 = ? 
 
𝑇(𝑡 = 20) = 50 
 
𝑇(20) = 100. 𝑒𝑘20 
 
50 = 100. 𝑒20𝑘 → 
50
100
= 𝑒20𝑘 → 0,5 = 𝑒20𝑘 
 
ln(0,5) = 𝑙𝑛(𝑒20𝑘) → ln(0,5) = 20𝑘 
 
𝑘 =
ln (0,5)
20
≃ −0,0346 
 
𝑻(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟎𝟑𝟒𝟔𝒕 (𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒇𝒓𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂) 
 
 
b) A temperatura da barra após 10 minutos. 
𝑻(𝟏𝟎) = ? 
 
𝑇(10) = 100. 𝑒−0,0346×10 ≃ 70,75𝑜𝐹 
 
c) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25oF. 
𝑻(𝒕 =? ) = 𝟐𝟓 
 
𝑇(𝑡) = 100. 𝑒−0,0346𝑡 → 25 = 100. 𝑒−0,0346𝑡 → 
25
100
= 𝑒−0,0346𝑡 
 
0,25 = 𝑒−0,0346𝑡 → ln(0,25) = ln(𝑒−0,0346𝑡) → ln(0,25) = −0,0346𝑡 
 
𝑡 =
ln (0,25)
−0,0346
≃ 40,06 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
2 – Um corpo à temperatura de 50oF é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100oF. Se 
após 5 minutos, a temperatura do corpo é de 60oF, determine: 
a) A função de resfriamento do corpo. 
DADOS DO EXERCÍCIO 
 
𝑇(0) = 𝑐0 = 50
𝑜𝐹 ; 𝑇(5) = 60𝑜𝐹 ; 𝑇𝑚 = 100
𝑜𝐹 
 
APLICAR OS DADOS NA FUNÇÃO DE RESFRIAMENTO DE NEWTON 
 
𝑇(𝑡) = (𝑐0 − 𝑇𝑚). 𝑒
𝑘𝑡 + 𝑇𝑚 
 
𝑇(𝑡) = (50 − 100). 𝑒𝑘𝑡 + 100 → 𝑇(𝑡) = −50. 𝑒𝑘𝑡 + 100 
 
𝒌 = ? 
 
𝑇(𝑡 = 5) = 60 
 
𝑇(5) = −50. 𝑒𝑘5 + 100 
 
60 = −50. 𝑒5𝑘 + 100 → +50. 𝑒5𝑘 = 100 − 60 → 𝑒5𝑘 =
40
50
 
 
𝑙𝑛(𝑒5𝑘) = ln (0,8) → 5k = ln (0,8) 
 
𝑘 =
ln (0,8)
5
≃ −0,0446 
 
𝑻(𝒕) = −𝟓𝟎. 𝒆−𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟔𝒕 + 𝟏𝟎𝟎 (𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒇𝒓𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐) 
 
 
b) A temperatura do corpo após 20 minutos. 
𝑻(𝟐𝟎) = ? 
 
𝑇(20) = −50. 𝑒−0,0446×20 + 100 ≃ 79,51𝑜𝐹 
 
c) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75oF. 
𝑻(𝒕 =? ) = 𝟕𝟓 
 
𝑇(𝑡) = −50. 𝑒−0,0446𝑡 + 100 → 75 = −50. 𝑒−0,0446𝑡 + 100 
 
 +50. 𝑒−0,0446𝑡 = 100 − 75 → 𝑒−0,0446𝑡 =
25
50
 
 
𝑒−0,0346𝑡 = 0,5 → ln(𝑒−0,0446𝑡) = ln (0,5) → −0,0446𝑡 = ln (0,5) 
 
𝑡 =
ln (0,5)
−0,0446
≃ 15,54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
3 – Uma barra de ferro, previamente aquecida a 1.200oC, é resfriada em um tanque de água 
mantida a temperatura constante de 50oC. A barra resfria 200oC no primeiro minuto. Determine 
: 
a) A função de resfriamento da barra. 
DADOS DO EXERCÍCIO 
 
𝑇(0) = 𝑐0 = 1.200
𝑜𝐶 ; 𝑇(1) = 1.000𝑜𝐶 ; 𝑇𝑚 = 50
𝑜𝐶 
 
 
b) O tempo que levará até que a barra resfrie outros 200oC.