Curso_TOPO_Topografia_I_Rev2018-2

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Notas de Aula de Topografia I 
 
Prof. Carolina Vieira 
2018-2 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
Topografia I 
 
 
1 
Sumário 
1. Introdução à Topografia .......................................................................................................... 6 
1.1. . Definição de Topografia ......................................................................................................... 6 
Utilização da Topografia.............................................................................................................. 6 
1.2. Evolução Histórica .................................................................................................................... 6 
1.3. Geodésia................................................................................................................................... 7 
1.4. Divisões da Topografia ............................................................................................................. 7 
Planimetria .................................................................................................................................. 7 
Altimetria..................................................................................................................................... 7 
1.5. Erros em Topografia................................................................................................................. 8 
Sistemáticos ou Naturais............................................................................................................. 8 
Acidentais ou Instrumentais ....................................................................................................... 8 
Grosseiros ou Pessoais ................................................................................................................ 8 
Exercícios ..................................................................................................................................... 8 
2. Equipamentos Topográficos .................................................................................................. 10 
2.1. Instrumentos Topográficos .................................................................................................... 10 
Teodolito ................................................................................................................................... 10 
Nível........................................................................................................................................... 11 
Estação Total ou Taqueômetro Eletrônico................................................................................ 11 
Receptor GNSS – Global Navigation Satellite System ............................................................... 11 
Trena & Fita de Topografia........................................................................................................ 12 
Tripé e bipé................................................................................................................................ 12 
Fio de prumo ............................................................................................................................. 13 
Bastão ou baliza ........................................................................................................................ 13 
Mira, Estádia ou Régua Graduada............................................................................................. 14 
Nível de Cantoneira ................................................................................................................... 14 
Distanciômetro .......................................................................................................................... 15 
Prisma ........................................................................................................................................ 15 
Exercícios ................................................................................................................................... 16 
3. Revisão Matemática............................................................................................................... 17 
3.1. Ângulos e Arcos...................................................................................................................... 17 
O Grau ....................................................................................................................................... 17 
Conversão entre os sistemas Sexagesimal e o Decimal ........................................................ 17 
De Sexagesimal para Decimal ............................................................................................... 17 
De Decimal para Sexagesimal ............................................................................................... 17 
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Topografia I 
 
 
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O Grado ..................................................................................................................................... 18 
O Radiano .................................................................................................................................. 19 
Conversão de Radianos para Graus ...................................................................................... 19 
3.2. Triângulos ............................................................................................................................... 19 
Trigonometria Básica no Triângulo Retângulo .......................................................................... 19 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .................................................................. 20 
Relações Trigonométricas em um Triângulo Qualquer ............................................................ 20 
Lei dos senos ......................................................................................................................... 20 
Lei dos cossenos .................................................................................................................... 20 
Exercícios ................................................................................................................................... 21 
3.3. Retas e Ângulos ...................................................................................................................... 23 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal ........................................... 23 
Ângulos colaterais internos ................................................................................................... 23 
Ângulos colaterais externos .................................................................................................. 23 
Ângulos alternos internos ..................................................................................................... 24 
Ângulos alternos externos .................................................................................................... 24 
Ângulos correspondentes ..................................................................................................... 24 
Ângulos opostos pelo vértice ................................................................................................ 24 
Exercícios ................................................................................................................................... 25 
3.4. Geometria Plana .................................................................................................................... 27 
Áreas.......................................................................................................................................... 27 
Exercícios ................................................................................................................................... 28 
Ângulos em um polígono ..........................................................................................................29 
Soma dos ângulos internos de qualquer polígono ............................................................... 29 
Soma dos ângulos externos de qualquer polígono ............................................................... 29 
Exercícios ................................................................................................................................... 30 
Plano Cartesiano ....................................................................................................................... 30 
Distância entre dois pontos .................................................................................................. 31 
Exercícios ................................................................................................................................... 31 
Ponto médio de um segmento no plano .............................................................................. 32 
Exercícios ................................................................................................................................... 32 
4. Escalas .................................................................................................................................... 34 
4.1. Definição de Escala ................................................................................................................ 34 
EXEMPLO ................................................................................................................................... 35 
Exercícios ................................................................................................................................... 36 
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5. Rumos e Azimutes.................................................................................................................. 38 
Rumo ............................................................................................................................................. 38 
Azimute ......................................................................................................................................... 38 
Conversão de Azimute para Rumo............................................................................................ 39 
Conversão de Rumo para Azimute............................................................................................ 39 
Exercícios ................................................................................................................................... 40 
6. Levantamento planimétrico................................................................................................... 43 
Poligonação ................................................................................................................................... 44 
Classificação de poligonais .................................................................................................... 45 
Tipos de poligonais ................................................................................................................ 45 
Levantamento da poligonal....................................................................................................... 47 
Coleta de ângulos .................................................................................................................. 48 
Coleta de Distâncias .............................................................................................................. 49 
Coleta de detalhes................................................................................................................. 50 
Croqui .................................................................................................................................... 50 
Coleta de dados em campo....................................................................................................... 51 
Instalação do equipamento .................................................................................................. 51 
Instalando o tripé .................................................................................................................. 51 
Centragem e nivelamento..................................................................................................... 54 
Cuidados ................................................................................................................................ 57 
Organização dos dados de campo ............................................................................................ 57 
Procedimento pós-levantamento ............................................................................................. 58 
Exercícios ................................................................................................................................... 59 
7. Estadimetria ........................................................................................................................... 62 
7.1. A Mira ..................................................................................................................................... 62 
Determinação das distâncias (Taqueometria ou Estadimetria).................................................... 63 
Visada Horizontal ...................................................................................................................... 64 
Visada Inclinada......................................................................................................................... 65 
Organização dos dados de campo ............................................................................................ 67 
Exercícios ................................................................................................................................... 67 
8. Cálculo Planimétrico .............................................................................................................. 72 
8.1. Sequência de Cálculo ............................................................................................................. 72 
8.2. Levantamento Planimétrico................................................................................................... 72 
Erro angular ............................................................................................................................... 72 
Exemplo ..................................................................................................................................... 73 
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Avaliação do Erro Angular ..................................................................................................... 74 
Exemplo ..................................................................................................................................... 74 
Exercício .................................................................................................................................... 74 
Distribuição do Erro Angular ................................................................................................. 75 
Exemplo ..................................................................................................................................... 75 
Cálculo de Azimute.................................................................................................................... 76 
Exemplo ..................................................................................................................................... 78 
Cálculo das Coordenas Parciais ................................................................................................. 79 
E & N ................................................................................................................................. 79 
Exemplo ..................................................................................................................................... 80 
Erro Linear............................................................................................................................. 81 
Avaliação do Erro Linear........................................................................................................ 82 
Exercício .................................................................................................................................... 82 
Correção e distribuição do Erro linear .................................................................................. 82 
Exemplo ..................................................................................................................................... 83 
Cálculo das Coordenadas Finais ................................................................................................ 84 
Exemplo ..................................................................................................................................... 84 
Exemplo – Ângulos Externos ..................................................................................................... 85 
Determinação do Erro Angular ................................................................................................. 85 
Avaliação do Erro Angular ......................................................................................................... 85 
Distribuição do Erro Angular ..................................................................................................... 86 
Cálculo de Azimutes .................................................................................................................. 87 
Cálculo das Coordenadas Parciais ............................................................................................. 88 
Avaliação e Distribuição do Erro Linear .................................................................................... 89 
Cálculo das Coordenadas Finais (Coordenadas Totais)............................................................. 90 
Exercício .................................................................................................................................... 91 
9. Cálculo Planimétrico: Detalhes .............................................................................................. 92 
9.1. Irradiação ............................................................................................................................... 92 
9.2. Cálculos .................................................................................................................................. 93 
Cálculo dos Azimutes ................................................................................................................ 93 
Cálculo das Coordenadas Parciais ............................................................................................. 94 
Cálculo das Coordenadas Finais ................................................................................................ 94 
Exercícios ................................................................................................................................... 95 
10. Referência Bibliográfica ......................................................................................................... 96 
 
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Topografia I 
 
 
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 Esse material foi elaborado com a finalidade 
de auxiliar os alunos da Disciplina de 
Topografia I. Uma parte desse material é 
compilação de outros materiais disponíveis na 
internet, uma parte é de autoria da prof. 
Carolina Vieira. 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
Topografia I 
 
 
6 
 
1. Introdução à Topografia 
 
1.1. . Definição de Topografia 
Etimologicamente, a palavra “Topografia” deriva das palavras gregas: topos que significa lugar e 
graphen que significa descrever. Portanto, topografia quer dizer descrição de um lugar. 
Em outras palavras, topografia é a arte de representar no papel a configuração de uma extensão 
de terra com a posição de todos os seus acidentes naturais ou artificiais. 
Segundo Veiga, Zanetti e Faggion (2012), o objetivo principal é efetuar o levantamento (executar 
medições de ângulos, distâncias e desníveis) que permita representar uma porção da superfície 
terrestre em uma escala adequada. Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar 
dados para a posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico. 
Geomática é um termo relativamente novo, bastante aplicado na atualidade para abranger áreas 
antes identificadas como agrimensura ou topografia. O motivo dessa alteração é função do 
desenvolvimento de novas tecnologias que forneceram aos topógrafos novas ferramentas para 
medição e/ou coleta de informações. 
Utilização da Topografia 
Ao se projetar qualquer obra de Engenharia, Arquitetura ou Agronomia, se impõe a necessidade 
do prévio levantamento topográfico do lugar onde o projeto será implantado. Assim, como 
exemplos de utilização da Topografia, podem ser citados: 
 Projetos e execução de estradas; 
 Grandes obras de engenharia como: pontes, portos, viadutos, túneis, etc. 
 Locação de obras; 
 Trabalhos de terraplenagem; 
 Monitoramento de estruturas; 
 Planejamento urbano; 
 Irrigação e drenagem; 
 Reflorestamentos; 
 Outros... 
 
1.2. Evolução Histórica 
A curiosidade do homem levou-o a observar os fenômenos naturais em torno de si, ao longo dos 
séculos o estudo da forma da Terra norteou o homem na busca pelo conhecimento da superfície 
terrestre. Alguns estudiosos se destacaram, são eles: 
Thales de Mileto (625-547 a.C.) fundador da trigonometria, considerava aTerra com a forma de 
um disco que flutuava no infinito. 
Anaximandro de Mileto (611-545 a.C.) considerava a Terra como um cilindro com eixo orientado 
na direção leste-oeste. 
A escola de Pitágoras (580-500 a.C.) foi a primeira a acreditar na esfericidade da Terra, essa ideia 
prevaleceu por mais de dois milênios. 
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Topografia I 
 
 
7 
Erastótenes (276-104 a.C.) é considerado o percursor da Geodésia, foi o primeiro trabalho 
científico que determinou as dimensões da Terra. 
Sir Isaac Newton (1642-1727) considerou a forma da Terra como uma figura geométrica gerada 
pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor. 
Gauss (1777-1855) caracterizou o Geóide como uma superfície equipotencial do campo de 
gravidade que coincide com o nível médio não perturbado dos mares. 
 
1.3. Geodésia 
A Geodésia se ocupa dos processos de medida e especificação para o levantamento e 
representação de uma GRANDE extensão da superfície terrestre projetada numa superfície de 
referência. 
A forma da Terra é representada pelo geoide, forma obtida pelo prolongamento do nível médio 
dos mares, em repouso, pelos continentes, e este não oferece representação matemática. 
Assim, o geoide é simplificado para um elipsoide de revolução, formado por uma elipse girante 
em torno de seu eixo menor. Pode-se ainda simplificar o geoide para uma esfera ou um plano 
em função da área que se deseja representar e da precisão necessária. Na Figura 1 podemos ver 
o geoide e suas simplificações. 
 
 
 
 
Figura 1 - Geoide, elipsoide de revolução, esfera e plano respectivamente. 
 
A topografia supõe a Terra plana, portanto, resulta em plantas e não em cartas. Áreas de 25 a 30 
km² podem ter os efeitos de curvatura da Terra desprezados. 
 
1.4. Divisões da Topografia 
Sucintamente, a topografia pode ser subdivida em topometria que abrange a planimetria e 
altimetria. Na literatura existem outras subdivisões que não serão objeto de nossos estudos. 
Citando-as apenas, tem-se ainda a topologia, taqueometria e fotogrametria. 
Planimetria 
Determinação das distâncias horizontais de um local que será representado sobre um plano de 
referência horizontal através de suas coordenadas X e Y. 
Altimetria 
Determinação das distânciasverticais em relação a um plano de referência vertical. É 
representada através de curvas de nível ou pontos cotados. 
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1.5. Erros em Topografia 
Em geral, os erros de observação são divididos em três grupos: erros grosseiros ou equívocos, 
erros sistemáticos e erros acidentais. 
Sistemáticos ou Naturais 
São aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento e pressão 
atmosférica. Dificilmente podem ser evitados, no entanto, alguns deles podem ser corrigidos. 
Acidentais ou Instrumentais 
São aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados 
nas medições. Podem ser evitados a partir da aferição e calibragem dos equipamentos. 
Grosseiros ou Pessoais 
São aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. Devem ser evitados pois não são 
passiveis de correção. 
 
IMPORTANTE 
Ao trabalharmos com qualquer tipo de grandezas que são medidas (dis tâncias, áreas, volumes 
etc.), devemos renunciar a pretensão de chegar ao valor verdadeiro destas grandezas. 
As observações realizadas, mesmo que repetidas em condições supostamente idênticas, 
sempre vão apresentar os inevitáveis erros de medida. Tais erros de medida são atribuídos à 
falibilidade humana; à imperfeição do equipamento e a influência das condições atmosféricas. 
 
Exercícios 
1) “Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao executar um 
levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros.” 
A respeito do enfoque dado acima, assinale a alternativa que apresenta a definição correta 
de erro natural. 
A ( ) São aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos 
utilizados nas medições. Alguns destes erros são classificados como erros acidentais e 
ocorrem ocasionalmente, podendo ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e 
calibragem constante dos aparelhos. 
B ( ) São aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração, 
pressão atmosférica, ação da gravidade, etc.. Alguns destes erros são classificados como 
erros sistemáticos e dificilmente podem ser evitados. Devem ser tomadas as devidas 
precauções durante a medição para que sejam minimizados. 
C ( ) São aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. Os mais comuns são: erro 
na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do número de 
trenadas, ponto visado errado, aparelho fora de prumo, aparelho fora de nível, etc. 
D ( ) São aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições do operador somado com a falta 
da experiência do mesmo. 
E ( ) São erros ocasionados quando o operador não teve a intenção de errar, também 
chamado de erro culposo. 
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2) Podemos afirmar que a topografia é aplicada em todos os trabalhos de engenharia civil, em 
menor ou maior escala. Por exemplo, na construção de uma estrada, o topógrafo participa 
do anteprojeto, executa a linha de ensaio, controla a execução da pavimentação, corrige 
curvas mal elaboradas, colabora na sinalização, etc.” 
O texto acima ressalta a importância da topografia, cujas divisões têm características 
próprias. Indique se é falso (F) ou verdadeiro(V) o que se afirma abaixo. A seguir assinale a 
alternativa que contém a sequência correta. 
( ) Na planimetria são medidas as grandezas sobre um plano vertical. 
( ) Através da altimetria fazemos medições das distâncias e dos ângulos horizontais. 
( ) Os detalhes da planimetria são representados sobre um plano vertical. 
 
A ( ) F – F – F 
B ( ) F – V – V 
C ( ) V – F – F 
D ( ) V – V – V 
E ( ) F – V – F 
 
3) A topografia pode ser dividida de forma simplificada em duas partes. Quais são elas e o que 
as diferencia? A utilização da topografia na engenharia é vasta, cite duas delas. Escreva um 
parágrafo discorrendo sobre o assunto. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Quais erros podem ocorrer em um levantamento topográfico? Como são causados e como 
podemos eliminá-los? Escreva um parágrafo discorrendo sobre o assunto. 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Equipamentos Topográficos 
O objetivo é apresentar, descrever e identificar os principais instrumentos utilizados na 
topografia. 
2.1. Instrumentos Topográficos 
 
Teodolito 
Instrumento destinado a medir ângulos horizontais e verticais. Podem ser mecânicos ou 
eletrônicos. 
 
Figura 2 – Teodolito Eletrônico Leica 
 
 
Figura 3 – Teodolito Eletrônico Nikon NE-101 
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Nível 
Instrumento destinado a gerar um plano horizontal de referência visando calcular os desníveis 
entre pontos. 
 
 
Figura 4 - Exemplos de Nível Óptico 
Estação Total ou Taqueômetro Eletrônico 
A evolução dos instrumentos de medida de ângulos e distâncias trouxe como consequência o 
surgimento destes novos instrumentos, que nada mais são do que teodolitos eletrônicos digitais 
com distanciômetros eletrônicos incorporados e montados num só bloco. Trazem muita 
vantagem para a automação de dados, podendo inclusive armazenar os dados coletados e 
executar alguns cálculos mesmo em campo. 
 
Figura 5 - Exemplos de Estação Total 
Receptor GNSS – Global Navigation Satellite System 
Instrumento destinado para medição de coordenadas geodésicas utilizando satélites disponíveis 
na órbita. Podem utilizar o sistema de posicionamento norte americano GPS, o russo GLONASS, 
o europeu GALILEU e o chinês BEIDOU. 
 
 
Figura 6 – Exemplo de Receptores GNSS 
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Trena & Fita de Topografia 
São usadas para medir distâncias de forma direta. 
As trenas podem ser de fibra de vidro, aço ou ínvar1. As de vidro devem ser manuseadas com 
cuidado por serem quebradiças. As de aço devem ser utilizadas levando em consideração a 
dilatação térmica, aplicando o fator de correção de temperatura. 
As fitas de topografia encontradas hoje em dia são revestidas de nylon ou epoxy e, portanto, são 
resistentes à umidade, produtos químicos, produtos oleosos e a temperaturas altas. O 
comprimento das fitas utilizadas em levantamentos topográficos são geralmente de 20, 50 e 100 
m. 
 
 
 
 
Figura 7 – Tipos de Trenas e fita de topografia 
 
Tripé e bipé 
Tripé é utilizado para a sustentação de outros instrumentos como teodolitos, estações totais, 
níveis, bastão, baliza, etc. Por sua vez, o Bipé é um suporte para apoio da baliza ou do bastão. 
 
Figura 8 – Exemplos de Tripé 
 
 
1 As l igas ínvar têm teor de níquel na faixa de 30 a 36%, sendo o restante de ferro, podendo ser acrescentados outros elementos . 
A l iga mais usada tem 36%Ni e 64%Fe, sendo conhecida como Invar-36, cujo coeficiente de dilatação é inferior a 1,5x10-6/°C, 
entre 0°C e 100°C. 
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Figura 9 – Exemplos de Bipé 
 
Fio de prumo 
Instrumento para detectar a vertical do lugar e elevar o ponto. Pode ser adaptado num prisma 
ortogonal ou em um tripé. 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Exemplos de Prumos 
 
Bastão ou baliza 
Instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com o objetivo de torná-lo visível. Possui 
encaixe ou rosca para adaptação de antena GPS ou prisma. 
 
 
Figura 11 – Balizas 
 
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Figura 12 - Exemplo de Bastões 
 
Mira, Estádia ou Régua Graduada 
Miras nada mais são do que réguas graduadas. Existem no mercado diversos modelos de miras, 
geralmente com comprimento entre 2 e 4 m. Apresentam articulação do tipo telescópica ou 
dobradiça. Quanto ao material, podem ser de madeira, fibra de vidro, alumínio ou ínvar. 
 
Figura 13 – Exemplos de miras 
 
Nível de Cantoneira 
Instrumento utilizado para detectar a vertical de outro instrumento. Pode ser adaptado numa 
baliza ou numa mira.Figura 14 - Nível de Cantoneira 
 
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Distanciômetro 
Instrumento destinado a medir distâncias inclinadas. Deve ser acoplado a um teodolito para 
possibilitar a medição do ângulo vertical para calcular a distância horizontal e a distância vertical. 
 
 
Figura 15 - Distanciômetros 
 
 Prisma 
Instrumento destinado à reflexão do sinal emitido por um distanciômetro ou uma estação total. 
 
Figura 16 - Modelos de prismas 
 
 
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Exercícios 
5) Dadas as figuras abaixo, marque a alternativa CORRETA quanto ao nome dos equipamentos 
usados em topografia. 
 
 
 
A ( ) Fio de prumo / Nível de cantoneira / Prisma 
B ( ) Bastão / Teodolito / Baliza 
C ( ) Nível de cantoneira / Baliza / Estação total 
D ( ) Fio de prumo / Prisma / Nível 
E ( ) Nível / Prisma / Fio de prumo 
 
6) Em topografia utilizamos vários equipamentos para o cadastramento de áreas (planimetria). 
Sabendo disso e conhecendo esses equipamentos, cite pelo menos três equipamentos 
utilizados, descreva para que servem e como devem ser usados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Revisão Matemática 
Nesse capítulo serão abordados alguns conceitos básicos de matemática afim de facilitar a 
compreensão e a aprendizagem ao longo do curso. 
3.1. Ângulos e Arcos 
Ângulo é o espaço contido entre dois segmentos de reta orientados (ou duas semirretas 
orientadas) a partir de um ponto comum. 
 
O Grau 
A unidade de medida grau, denotada por 1°, é definida como o arco equivalente a 
1
360
 da 
circunferência, isto é, em uma circunferência cabem 360°. 
Usualmente o grau é subdividido utilizando o sistema sexagesimal, assim, o grau é dividido em 
sessenta (60) partes chamadas minutos, denotados por ('). 
1° = 60′ 
Os minutos também são divididos em sessenta partes chamadas de segundos, denotados por ("). 
1′ = 60′′ 
No entanto, um ângulo também pode ser expresso usando o sistema decimal. Desta forma um 
ângulo pode ter uma medida de 35,75 graus. Isto é, o tamanho do ângulo, neste caso, seria de 
trinta e cinco graus completos mais setenta e cinco centésimos de grau. 
Conversão entre os sistemas Sexagesimal e o Decimal 
Na existência de dois sistemas de representação, é importante saber como trabalhar com ambos 
e, caso necessário, converter de um sistema para o outro. 
De Sexagesimal para Decimal 
Como poderia ser indicado o ângulo 40°20′50′′usando a notação decimal comum? 
Neste caso, tem-se 40 graus completos, 20 minutos (cada minuto equivale à 
1
60
 de um grau), e 50 
segundos (cada segundo equivale à 
1
60
 de minuto, ou ainda, cada segundo equivale à 
1
60
 de 
1
60
 de 
um grau). 
Ou seja: 
40°20′50′′ = 40 + (20 ∙ 
1
60
) + (50 ∙ 
1
60
 ∙ 
1
60
) = 40,347222 ⋯ 
 
De Decimal para Sexagesimal 
Suponha que comecemos com 40,34722 graus decimais. Como expressar em unidades de graus, 
minutos e segundos? 
Em primeiro lugar, observe que há 40 graus completos. Isso deixa 0,34722 graus. Então, 0,34722 
graus correspondem a quantos minutos? 
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Topografia I 
 
 
18 
Bem, sabemos que 1° = 60′, então basta multiplicar 0,34722 por 60. Ou seja, 
1° = 60′ 
0,34722° = 𝓍′ 
𝓍 = 20,83320 
Então, há 20 minutos completos, com 0,83320 de um minuto sobrando. 
Da mesma forma, 0,83320 minutos correspondem a quantos segundos? Bem, sabemos que 1′ =
60′′, então basta multiplicar 0,83320 por 60. Assim temos, 
1′ = 60′′ 
0,83320′ = y′′ 
y = 49,99200 
O resultado é 49,99200 ou quase 50 segundos. 
Então, conclui-se que 40,34722 graus é aproximadamente igual a 40°20′50′′. 
 
OBSERVAÇÃO 
A razão pela qual não se obteve 50 segundos é que foi utilizado um ângulo ligeiramente menor 
na explicação deste cálculo. No ângulo original, têm-se 40,3472222222... graus, o último dígito 
repete infinitamente, assim, o ângulo original é um pouco maior que 40,34722. 
Por isso, neste curso recomenda-se que seja utilizado no mínimo 5 casas decimais depois da 
vírgula! 
 
O Grado 
Grado é uma unidade de medida de ângulos planos equivalente a 
𝜋
200
 radianos ou 0,9 graus. O 
símbolo internacional para esta unidade é "gon". Outros símbolos usados no passado incluíam 
"gr", "grd", e "g". 
O termo "grado" tem origem no francês, grade, e foi proposto junto com o sistema métrico, 
embora não faça parte do sistema internacional de unidades. A unidade para ângulos planos no 
sistema internacional é o radiano. 
Uma vantagem desta unidade é que ângulos retos são fáceis de somar e subtrair na aritmética 
mental. 
Uma desvantagem é que os ângulos comuns de 30° e 60° têm valores fracionários em grados, 
33,333...gon e 66,666...gon, respectivamente, dificultando as operações trigonométricas. 
 
CURIOSIDADE 
A definição original do metro, de 1889, estabelecia que 1 metro era o comprimento 
equivalente a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. Portanto, 1 
grado em longitude ou latitude (ou em relação a qualquer círculo máximo terrestre) equivale 
a aproximadamente 100 km sobre a superfície da Terra. 
 
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19 
O Radiano 
Define-se 1 radiano como o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde tal arco 
foi determinado. 
 
Conversão de Radianos para Graus 
 
Existem 2𝜋 radianos em um círculo completo, portanto, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360°. 
Mais genericamente, podemos dizer: 
𝑥 𝑟𝑎𝑑 = 𝑥 ∙
180°
𝜋
 
3.2. Triângulos 
 
Trigonometria Básica no Triângulo Retângulo 
Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares (aqueles que formam um ângulo de 90°), são 
denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90° recebe o nome de hipotenusa. 
 
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20 
O Teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é 
igual à soma do quadrado dos catetos. 
Teorema de Pitágoras - 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 
Tomando por referência o triângulo acima, tem-se que o seno de um ângulo α em um triângulo 
retângulo é definido por: 
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑎
 
Por sua vez, o cosseno de um ângulo α em um triângulo retângulo é definido por: 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑎
 
E a tangente de um ângulo α em um triângulo retângulo é definido por: 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 
𝑐
𝑏
 
 
Relações Trigonométricas em um Triângulo Qualquer 
Dada a figura abaixo, temos as seguintes relações: 
 
Lei dos senos 
Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b e c e se α for o ângulo entre os lados b e 
c, β entre os lados c e a, γ entre os lados a e b então vale a relação: 
𝑎
sin 𝛼
=
𝑏
sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
 
Usa-se a lei dos senos quando são conhecidos dois ângulos e um lado ou dois lados e um ângulo. 
Lei dos cossenos 
Ainda em relação ao triangulo da figura acima, valem as relações: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝛾 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝛽 
𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝛼 
Usa-se a lei dos cossenos quando são conhecidos dois lados e o ângulo formado por eles . 
 
OBSERVAÇÃO 
É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais, ou seja, para 
qualquer unidade que esteja sendo utilizadas, elas sempre se simplificarão. 
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21 
Exercícios 
7) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um 
ângulo de 56° 00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre 
segundo um ângulo de 35°00’00”. Calcule a largura “d” do rio. 
 
 
 
 
8) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu a partir de uma base de 20,00m 
(a + b) de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valorde h. 
 
 
 
 
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22 
9) Sabendo que a haste tem 4m de altura, determine a altura da colina. 
 
 
10) Calcule a altura do prédio. 
 
11) Estando a 20m de um edifício, enxergo seu topo conforme um ângulo de 75°. Sabendo que 
minha altura é de 1,70m, calcule a altura do edifício. 
 
 
 
 
 
12) A que altura de uma parede uma escada de 12m se apoia, se a escada e a parede formam 
um ângulo de 32°? 
 
 
 
 
 
13) Um topógrafo quer determinar a largura de um rio. Para isso localiza um ponto fixo do outro 
lado do rio(uma árvore), perpendicular ao ponto em que está. Neste ponto fixa uma marco 
e caminha pela margem, em um ângulo reto com a linha imaginária traçada da árvore ao 
marco colocado. Depois de 100m ele pára, olha a árvore e vê que formou com seu trajeto 
um ângulo de 34°. Qual a largura do rio? (Faça o desenho) 
 
 
 
 
 
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23 
3.3. Retas e Ângulos 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
 
 
Observando a figura acima podemos definir o seguinte: 
 
Ângulos colaterais internos 
 
A soma dos ângulos colaterais internos é igual a 180°. 
 
Ângulos colaterais externos 
 
A soma dos ângulos colaterais externos é igual a 180°. 
 
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24 
Ângulos alternos internos 
 
 
Os ângulos alternos internos são congruentes (iguais). 
 
Ângulos alternos externos 
 
 
Os ângulos alternos externos são congruentes (iguais). 
 
Ângulos correspondentes 
 
São ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na região interna e o 
outro na região externa. 
Ângulos correspondentes são congruentes (iguais). 
 
Ângulos opostos pelo vértice 
 
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes (iguais). 
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25 
Exercícios 
14) Sendo as retas r e s paralelas, determine x 
 
 
 
15) Determine x 
 
 
 
 
 
 
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26 
 
16) Determine x e 𝑦 nos triângulos retângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Determine x 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
3.4. Geometria Plana 
 
Áreas 
 
Quadrado Triângulo 
 
𝐴 = 𝑙2 
 
𝐴 =
𝐵 ∙ ℎ
2
 
Retângulo Trapézio 
 
𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏 
 
𝐴 =
𝐵 + 𝑏
2
∙ ℎ 
Losango Círculo 
 
𝐴 =
𝐷 ∙ 𝑑
2
 
 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 
Paralelogramo Polígono Regular 
 
𝐴 = 𝐵 ∙ ℎ 
 
𝐴 =
𝑃 ∙ 𝑎
2
 
 
𝑃 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 
 
 
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28 
Exercícios 
18) Calcule as áreas das figuras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Calcule as áreas sombreadas das figuras 
 
 
 
 
 
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29 
Ângulos em um polígono 
 
Soma dos ângulos internos de qualquer polígono 
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados, sendo usada 
a seguinte expressão para o cálculo: 
𝑆 = (𝑛 – 2) ∙ 180 
Onde 𝑛 o número de lados. 
 
Soma dos ângulos externos de qualquer polígono 
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono depende do número de lados, sendo usada 
a seguinte expressão para o cálculo: 
𝑆 = (𝑛 + 2) ∙ 180 
Onde 𝑛 o número de lados. 
 
OBSERVAÇÃO 
Não confundir as equações da soma dos ângulos internos com os externos! 
Dica: Para você não esquecer qual é qual, faça o teste com o triangulo, onde 𝑛 = 3 e 𝑆 = 180° 
 
 
CURIOSIDADE 
Os polígonos recebem seus nomes de acordo com seu número de lados. 
 
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30 
Exercícios 
20) Qual é a soma dos ângulos internos de um heptágono regular? 
 
 
 
21) Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)? 
 
 
 
22) Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2340°? 
 
 
 
23) Qual é a soma dos ângulos internos de um dodecágono regular? 
 
 
 
24) Quanto mede o ângulo externo do hexágono? 
 
 
 
 
Plano Cartesiano 
O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num 
determinado espaço. É composto por duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizontal e 
outra vertical. 
Dá-se o nome de eixo 𝑥 ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical denominamos de eixo 
𝑦 ou eixo das ordenadas. 
No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o 
ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x e posteriormente em 
relação ao eixo vertical y. 
 
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31 
Distância entre dois pontos 
No sistema de coordenadas cartesiano podemos demarcar dois pontos e determinar a distância 
entre eles. 
 
Observe a figura acima. O triângulo formado é um triângulo retângulo de catetos AC e BC e 
hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, determinando a medida 
da hipotenusa, estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. 
Assim, aplicando o teorema, temos a expressão matemática responsável pela determinação da 
distância entre dois pontos em função de suas coordenadas. 
𝐷𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 
 
Exercícios 
25) Qual a distância do ponto A ( -1, 2 ) ao ponto B ( 2, 6 )? 
 
 
 
26) Qual a distância do ponto A ( a, a ) ao ponto B ( 6 a, 13 a )? 
 
 
 
27) Qual o valor de y, para qual e distância do ponto A ( 1, 0 ) ao ponto B ( 5, y ) seja 5? 
 
 
 
28) Num sistema cartesiano, os pontos A ( -2 , -3 ) e C ( 5 , 4 ) são vértices de um quadrado ABCD 
a) Determine as coordenadas dos outros dois vértices ( B e D ) 
b) Calcule o perímetro do quadrado ABCD 
c) Calcule a área do quadrado ABCD 
 
 
 
 
 
 
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32 
29) Dadas as coordenadas X1=35,5 , Y1=25,25; X2=100,65 , Y2=11,5; X3=33,45 , Y3=82,25, 
determine o comprimento dos lados e os ângulos internos desse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto médio de um segmento no plano 
O ponto que divide um segmento de reta em duas partes de mesmo tamanho é chamado de 
ponto médio. 
Assim, o ponto médio possui as coordenadas conforme a figura abaixo. 
 
Exercícios 
30) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(2,9) e B(7,3). 
 
 
 
 
31) O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas M(6,6). Sabendo que o ponto P tem 
coordenadas P(2, 4), quais são as coordenadas do ponto Q? 
 
 
 
 
 
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33 
 
CURIOSIDADE 
Aprenda a usar sua Calculadora! 
 
 
 
 
 
 
 
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34 
4. Escalas 
Escala é relação entre as dimensões de um desenho e o objeto por ele representado. Podem ser 
de ampliação ou redução. 
Para cada tipo de aplicação em engenharia, uma determinada escala se mostra mais conveniente 
que outra, contudo a escolha da escala dependerá da forma de apresentação do desenho ou 
projeto e a área a ser representada. Assim, como orientação, a tabela mostra as escalas usuais 
para as aplicações mais corriqueiras em engenharia. 
 
Tabela 1 - Escalas Usuais 
Aplicação Escala 
Detalhes de terrenos urbanos 1:50 
Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1.000 
Planta de propriedades rurais 1:1.000, 1:2.000 e 1:5.000 
Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou 
industriais 
1:5.000, 1:10.000 e 1:25.000 
Cartas de municípios 1:50.000 e 1:100.000 
Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200.000 a 1:10.000.000 
 
4.1. Definição de Escala 
A escala de um desenho é definida pela seguinte relação: 
𝐸 =
𝑑
𝐷
= 
1
𝑀
 
Em que: 
𝐷 = Representa qualquer comprimento linear real, medido sobre o terreno. 
𝑑 = Representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o papel, e que é 
correspondente ao comprimento medido sobre o terreno. 
𝑀 = É denominadomódulo da escala e representa o inverso de 
𝑑
𝐷
. 
 
 
 
IMPORTANTE 
Escalas são classificadas em maiores ou menores. Essa relação só pode ser definida através da 
comparação entre duas escalas. Uma escala é maior quando o denominador é menor em 
relação ao denominador de outra escala. 
 
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35 
EXEMPLO 
Imagine um simples terreno de 10𝑚 𝑥 20𝑚; teríamos que ter, no mínimo, 20 𝑚² de papel para 
representa-lo. Ou seja, inviável! Portanto, para desenhar, devemos utilizar as escalas. 
Vamos adotar o papel no formato A4, que tem dimensões de 210𝑚𝑚 de largura por 297𝑚𝑚 de 
altura. Determine uma escala que seja adequada à representação desse terreno util izando a folha 
A4. 
 
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36 
Exercícios 
32) Qual das escalas é maior 1:1. 000.000 ou 1:1.000? 
 
 
 
33) Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1.000? 
 
 
 
34) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de 1:18.000 e o rio foi 
representado por uma linha com 17,5 cm de comprimento. 
𝐸 = 1: 18.000 
𝑑 = 17,5 𝑐𝑚 
 
 
35) Determinar qual a escala de uma carta sabendo que distâncias homólogas na carta e no 
terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 km. 
 
 
 
 
36) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m será representada na escala 1:10.000? 
 
 
 
 
 
37) Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que o seu comprimento é duas vezes 
maior que a sua altura e sua área é de 16.722,54 m². Calcular os comprimentos dos lados se 
esta área fosse representada na escala 1:10.560. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
38) Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalas 
abaixo. 
Escala Comprimento 
1:100 
1:200 
1:250 
1:500 
1:1.000 
 
39) As dimensões de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram: 
250mm de comprimento por 175mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho é de 
1:2000, qual é a área do terreno em m² ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
40) Se a avaliação de uma área na planta resultou em 2575 cm² para uma escala de 1:500, a 
quantos metros quadrados corresponderá a área no terreno? 
 
 
 
 
 
 
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38 
5. Rumos e Azimutes 
 
Rumo 
Rumo é o ângulo formado entre o alinhamento Norte/Sul e a direção considerada, no sentido 
horário ou anti-horário. Varia de 0° a 90°, sendo contado do Norte ou Sul, a Leste ou Oeste. 
 
Figura 17 - Exemplo de indicações de RUMOS 
Azimute 
Azimute de uma direção é o ângulo formado entre o alinhamento Norte-Sul e a direção 
considerada. 
É medido a partir do Norte ou do Sul, no sentido horário ou anti-horário e varia de 0° a 360°. 
 
Figura 18 - Exemplo de indicações de AZIMUTES 
 
IMPORTANTE 
No hemisfério sul, usa-se sempre medir o azimute a partir do norte, sendo ainda mais comum 
no sentido horário, ou seja, à direita. 
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39 
Conversão de Azimute para Rumo 
 
Figura 19 - Conversão de Azimute para Rumo 
Primeiro Quadrante 𝑅1 = 𝐴𝑧1 
Segundo Quadrante 𝑅2 = 180° − 𝐴𝑧2 
Terceiro Quadrante 𝑅3 = 𝐴𝑧3 − 180° 
Quarto Quadrante 𝑅4 = 360° − 𝐴𝑧4 
 
Conversão de Rumo para Azimute 
 
Figura 20 - Conversão de Rumo para Azimute 
Primeiro Quadrante - NE 𝐴𝑧1 = 𝑅1 
Segundo Quadrante - SE 𝐴𝑧2 = 180° − 𝑅2 
Terceiro Quadrante - SW 𝐴𝑧3 = 180° + 𝑅3 
Quarto Quadrante - NW 𝐴𝑧4 = 360° − 𝑅4 
 
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40 
Exercícios 
41) Transforme os Rumos em Azimutes. 
 
Alinhamento Rumo Azimute 
1-2 40°20’NW 
2-3 0°50’SW 
3-4 60°40’SE 
4-5 10°30’SE 
5-6 70°10’NE 
6-7 50°40’NE 
7-8 20°50’NW 
 
42) Transforme os Azimutes em Rumos. 
 
Alinhamento Azimute Rumo 
1-2 300°20’ 
2-3 190°40’ 
3-4 90°50’ 
4-5 170°10’ 
5-6 100°30’ 
6-7 30°10’ 
7-8 350°00’ 
 
43) Dados os rumos a vante dos alinhamentos, encontre os azimutes de acordo com a tabela. 
 
Alinhamento Rumos Azimutes Alinhamento Azimutes 
A-B 31°00’NW B-A 
B-C 12°50’SW C-B 
C-D 0°15’SE D-C 
D-E 88°50’NE E-D 
E-F 0°10’NE F-E 
 
 
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41 
44) O azimute do alinhamento CD é 203°16’12” e o rumo do alinhamento ED é de 43°43’12”SE. 
Calcule o ângulo CD̂E, medido no sentido horário. 
 
 
45) O rumo do alinhamento 6-7 é 81°02’24”SW, o rumo do alinhamento 7-8 é 82°13’12”NW. 
Calcular o ângulo 678 no sentido horário na estaca 7. 
 
 
 
 
 
46) De acordo com a figura abaixo, considerando que são 18 horas, se a bola for chutada do 
centro em direção aos pontos A, B e C respectivamente, determine o que se pede. 
PS: O sol se põe na direção oeste. 
 
B
C
A
20°
 
 
Determine o rumo e o azimute de cada um dos três segmentos. 
 
 
 
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42 
47) Dadas as coordenadas de três vértices de um polígono (X1=35,50; Y1=25,25) (X2=100,65; 
Y2=11,5 (X3=33,45; Y3=82,25). O limite quadriculado abaixo deverá ser usado para posicionar 
os pontos no sistema de coordenadas 
 
Calcule: 
 
a. O comprimento dos alinhamentos 12, 23 e 31. 
b. O rumo e o azimute dos alinhamentos 12, 23, 31, 32, 21 e 13. 
c. O valor dos ângulos internos do polígono. 
 
 
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43 
6. Levantamento planimétrico 
 
Durante um levantamento topográfico, normalmente são determinados pontos de apoio ao 
levantamento (pontos planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos), e a partir destes, são 
levantados os demais pontos que permitem representar a área cadastrada. A primeira etapa 
pode ser chamada de estabelecimento do apoio topográfico e a segunda de levantamento de 
detalhes. 
De acordo com a ABNT NBR 13133:1994 os pontos de apoio são definidos por: “pontos, 
convenientemente distribuídos, que amarram ao terreno o levantamento topográfico e, por isso, 
devem ser materializados por estacas, piquetes, marcos de concreto, pinos de metal ou tinta, 
dependendo da sua importância e permanência”. 
 
 
 
 
Figura 21 – Exemplos de Pontos de Apoio Topográfico 
Já o levantamento de detalhes é definido na ABNT NBR 13133:1994 como: “conjunto de 
operações topográficas clássicas (poligonais, irradiações, interseções ou por ordenadas sobre 
uma linha-base), destinadas à determinação das posições planimétricas e/ou altimétricas dos 
pontos, que vão permitir a representação do terreno a ser levantado topograficamente a partir 
do apoio topográfico. Estas operações podem conduzir, simultaneamente, à obtenção da 
planimetria e da altimetria, ou então, separadamente, se as condições especiais do terreno ou 
exigências do levantamento obrigarem à separação”. 
 
Dois conceitos importantes na Topografia são os conceitos de estação ré e estação vante. 
No sentido de caminhamento da poligonal, a estação anterior à estação ocupada denomina-se 
de estação RÉ e a estação seguinte de VANTE. 
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44 
 
Figura 22 - Estação Ré e Vante. 
Poligonação 
A poligonação é um dos métodos mais empregados para a determinação de coordenadas de 
pontos em Topografia, principalmente para a definição de pontos de apoio planimétrico. Uma 
poligonal consiste em uma série de linhas consecutivas onde são conhecidos os comprimentos e 
direções, obtidos através de medições em campo. 
O levantamento de uma poligonal é realizado através do método de caminhamento, 
percorrendo-se o contorno de um itinerário definido por uma série de pontos, medindo-se todos 
os ângulos, lados e uma orientação inicial (Figura 23). A partir destes dados e de uma coordenada 
de partida, é possível calcular as coordenadas de todos os pontos que formam esta poligonal. 
 
Figura 23 – Exemplo de Poligonal 
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45 
Classificação de poligonais 
A ABNT NBR 13133:1994 classifica as poligonais em principal,secundária e auxiliar. 
 Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de primeira 
ordem; 
 Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina 
os pontos de apoio topográfico de segunda ordem; 
 Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio topográfico planimétrico, 
tem seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja 
possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou ordenadas sobre 
uma linha de base, os pontos de detalhes julgados importantes, que devem ser 
estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do levantamento. 
Tipos de poligonais 
As poligonais levantadas em campo poderão ser fechadas, enquadradas ou abertas. 
 Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e retorna ao mesmo 
ponto. Sua principal vantagem é permitir a verificação de erro de fechamento angular e 
linear 
 
 
Figura 24 – Poligonal Fechada 
 Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas conhecidas e termina em 
outros dois pontos com coordenadas conhecidas. Permite a verificação do erro de 
fechamento angular e linear. 
 
Figura 25 - Poligonal Enquadrada 
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46 
 
Figura 26 - Levantamento de uma poligonal enquadrada em campo 
 
 Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e acaba em um ponto 
cujas coordenadas deseja-se determinar. Não é possível determinar erros de fechamento, 
portanto deve-se tomar todos os cuidados necessários durante o levantamento de campo 
para evitá-los. 
 
 
Figura 27 - Poligonal Aberta 
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Topografia I 
 
 
47 
 
Figura 28 – Tipos de Poligonais 
Levantamento da poligonal 
Os elementos necessários para a definição de uma poligonal são os ângulos formados por seus 
lados e as distâncias entre os vértices desse polígono, ou seja, o próprio lado. 
A medição destes ângulos pode ser feita utilizando quaisquer técnicas conhecidas. Normalmente 
são determinados os ângulos externos ou internos da poligonal. 
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48 
 
Figura 29 – Ângulos externos e internos de uma poligonal 
Coleta de ângulos 
Tomemos por exemplo o sentido de caminhamento horário, neste caso os ângulos determinados 
são chamados de ângulos horizontais horários (externos) e são obtidos estac ionando-se o 
equipamento na estação onde serão efetuadas as medições, faz-se a visada na estação de ré e 
depois, na estação de vante. 
O ângulo horizontal será dado por: ângulo (∡) = leitura de vante – leitura de ré 
 
 
Figura 30 – Leitura do ângulo horizontal 
Uma simplificação muito usada em levantamentos é a de zerar o equipamento quando se faz a 
visada de Ré (Leitura angular de 000’00”). 
 
 
 
Figura 31 – Simplificação da leitura angular 
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49 
Coleta de Distâncias 
Quando fazemos o cadastramento de uma área e coletamos distâncias, desejamos conhecer a 
distancia entre o ponto de estação e o local onde se encontra a baliza, podendo ser um ponto de 
ré, vante ou detalhe. 
Na coleta da distância entre os pontos A e B, procura-se, na realidade, medir a projeção de AB 
no plano horizontal, resultando na medição de A’B’. A essa medida chamamos de distância 
horizontal (Dh ou DH) ou distância reduzida, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
Figura 32 - Medida de distância horizontal entre dois pontos 
Os métodos existentes de coletas de distâncias são variados. Pode-se utilizar trenas, 
taqueometria (medida de distância utilizando os fios estadimétricos do teodolito ou nível), 
distanciômetros ou ainda, a estação total. Hoje em dia, o método mais comum é a coleta através 
da estação total. 
 
Figura 33 – Exemplo de medida de distância com trena 
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50 
Coleta de detalhes 
A ABNT NBR 13133:1994 define detalhes como “Pontos importantes dos acidentes naturais e/ou 
artificiais, definidores da forma do detalhe e/ou do relevo, indispensáveis à sua representação 
gráfica”. 
Em outras palavras, os detalhes são todos os pontos necessários para representação da área 
cadastrada. 
Os detalhes devem ser bem escolhidos, pois um excesso deles pode sobrecarregar o serviço de 
campo sem acrescentar melhorias significativas ao serviço. 
Por outro lado, a ausência de detalhes pode prejudicar a qualidade do serviço, não 
representando fielmente a área cadastrada. 
Croqui 
De acordo com a ABNT NBR 13133:1994 o croqui pode ser definido como: “Esboço gráfico sem 
escala, em breves traços, que facilite a identificação de detalhes”. 
O croqui representa o local cadastrado, facilitando assim o desenho da planta no momento de 
sua confecção. 
Cada ponto cadastrado deve ser representado por uma letra, numero ou ambos. Quando se 
utiliza uma Estação Total com capacidade de armazenamento de dados, é usual a utilização de 
números pela facilidade de entrada de dados. 
 
Figura 34 – Croqui do levantamento realizado na Av. Cel. Teodolino Pereira de Araújo, Araguari / MG com a representação 
dos pontos da poligonal e dos detalhes. 
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51 
O croqui deve ser feito de forma organizada e legível, devendo representar o mais fielmente a 
área cadastrada, um croqui mal feito pode ser motivo de erros na planta. 
Coleta de dados em campo 
De forma sucinta, para a realização do levantamento no campo, seguimos os passos listados 
abaixo: 
 Inspeção do local para conhecimento da área; 
 Definição das referências, ou seja, determinam-se os pontos de apoio topográfico e os 
detalhes a serem levantados; 
 Desenho do croqui na caderneta de campo com os pontos a serem levantados; 
 Realização das medições. 
Instalação do equipamento 
Para que equipamentos como teodolito, estação total e níveis possam ser utilizados, estes devem 
estar corretamente “estacionados” sobre um determinado ponto. 
 
IMPORTANTE 
Estacionar um equipamento significa que o mesmo deverá estar nivelado e centrado sobre o 
ponto topográfico. 
As medições somente poderão iniciar após estas condições serem verificadas! 
 
Com tempo e prática, os profissionais acabam por desenvolver sua própria forma de estacionar 
o equipamento, contudo, com algumas regras simples, qualquer iniciante pode efetuá-lo de 
forma rápida e precisa. 
Sendo assim, são demonstrados a seguir os procedimentos gerais para o estacionamento de 
quaisquer equipamentos que possuam prumos ópticos ou laser. 
 
IMPORTANTE 
Enquanto os equipamentos não estiverem sendo utilizados, evite deixá-los apoiados em pé 
para que não caiam e sofram alguma avaria. O ideal é deixa-los na caixa até o momento de sua 
utilização. 
 
Instalando o tripé 
O tripé possui parafusos ou travas que permitem o ajuste das alturas das pernas. Assim, com o 
tripé fechado, estenda as pernas do tripé até a altura do ombro, em seguida aperte as 
travas/parafusos de extensão e, finalmente, fixe-o adequadamente no piso/solo, próximo do 
marco topográfico. 
 
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52 
 
 
Figura 35 – Tripé e suas partes constituintes 
 
Para estacionar o equipamento sobre um determinado ponto topográfico, o primeiro passo é 
instalar o tripé sobre o ponto de modo a deixar a sua base o mais próximo da horizontal. É 
fundamental cravar bem as pontas das pernas do tripé para evitar que o mesmo se mova 
posteriormente durante as medições 
 
 
 
Figura 36 – Posicionar e cravar o tripé 
 
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53 
 
IMPORTANTE 
Para facilitar a posterior instalação do equipamento a base (ou prato) do tripé deve estar o 
mais horizontal possível 
 
Figura 37 – Ajuste da base do tripé 
 
Em seguida, retire com cuidado o equipamento de seu estojo e coloque-o sobre o tripé, fixando-
o com o parafuso de fixação central. 
 
Figura 38 – Instalação do equipamento no tripéFIQUE ATENTO! 
 Enquanto o equipamento não estiver preso ao tripé, deve-se sempre segurá-lo com uma 
das mãos para evitar que caia. 
 Após retirar o equipamento, é importante deixar o estojo fechado em campo para evitar 
problemas com umidade e sujeira, além de dificultar a perda de acessórios que ficam 
guardados no estojo. 
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54 
Centragem e nivelamento 
Após o equipamento estar fixo sobre o tripé é necessário realizar a centragem e o nivelamento. 
Posicione o conjunto tripé/instrumento de modo a deixar o eixo principal (vertical) sobre o marco 
topográfico, em uma primeira aproximação. Utilize o fio de prumo, prumo ótico ou prumo laser 
para garantir esse posicionamento. 
 
Figura 39 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto 
O nivelamento pode ser dividido em duas etapas, uma inicial ou grosseira, utilizando-se o nível 
esférico, que em alguns equipamentos está associado à base, e a outra de precisão ou "fina", 
utilizando-se níveis tubulares, ou mais recentemente, níveis digitais. 
 
 
Figura 40 – Níveis esférico, tubular e digital. 
 
Assim, para fazer o nivelamento grosseiro, movimente a extensão das pernas do tripé até calar a 
bolha do nível esférico. Certifique-se que o instrumento esteja nivelado para qualquer posição e 
que o eixo principal esteja posicionado sobre o marco topográfico 
 
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55 
 
Figura 41 - Ajuste do nível de bolha utilizando os movimentos de extensão do tripé. 
 
Em seguida, o nivelamento de precisão é realizado com auxílio dos parafusos calantes e níveis 
tubulares ou os digitais. 
Inicialmente coloque o nível tubular paralelo aos parafusos calantes A e B. Em seguida, gire o 
instrumento 90° e efetue a calagem do nível tubular movimentando apenas o parafuso calante 
C. 
 
Figura 42 – Calagem do nível tubular 
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56 
Para equipamentos com níveis digitais não é necessário rotacionar o equipamento, basta atuar 
diretamente no parafuso C. 
 
 
Figura 43 – Exemplo de calagem de equipamento com nível digital. 
Repete-se o procedimento até que, ao girar o equipamento, este esteja sempre calado em 
qualquer posição. 
Ao terminar este procedimento, verifica-se a posição do prumo. Caso não esteja sobre o ponto, 
deve-se afrouxar o parafuso de fixação do equipamento e deslocar a base com cuidado até que 
o prumo esteja coincidindo com o ponto. 
Feito isto, deve-se verificar se o instrumento ainda está calado, caso contrário, realiza-se 
novamente o nivelamento fino. Este procedimento deve ser repetido até que o equipamento 
esteja perfeitamente calado e centrado. Ao final desta etapa, o equipamento estará pronto para 
a realização das medições. 
 
As etapas para instalação do equipamento podem ser resumidas em: 
 
 Posicionar o tripé sobre o ponto tomando o cuidado de deixar o prato o mais horizontal 
possível sendo possível enxergar o ponto através do orifício existente na base do tripé; 
 Fixar o equipamento sobre o tripé; 
 Nivelar a bolha esférica com o auxílio do movimento de extensão das pernas do tripé; 
 Realizar o nivelamento fino utilizando o nível tubular ou digital; 
 Verificar se o prumo sai do ponto. Caso isto ocorra, soltar o equipamento e deslocar o 
mesmo até que o prumo esteja posicionado sobre o ponto; 
 Repetir os dois últimos procedimentos até que o equipamento esteja perfeitamente 
nivelado e centrado. 
 
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57 
Cuidados 
Ao transportar o equipamento para o campo, certifique-se de carregar o instrumento em seu 
estojo, ou para distâncias pequenas, carregar o tripé com as pernas abertas sobre os ombros, 
mantendo o equipamento na posição vertical. 
 
 
Figura 44 - Cuidados no transporte 
Nunca transporte o instrumento solto dentro de veículos. O instrumento pode ser danificado 
por choques e vibrações. Ele deve ser acondicionado e transportado sempre no seu estojo. 
 
Organização dos dados de campo 
É comum organizarmos os dados em uma tabela onde são registrados os dados coletados em 
campo para, posteriormente, serem efetuados os demais cálculos. 
 
Os campos usuais desta tabela são : 
 
Est PV ∢h orizontal ∢vertical FS FM FI Dist. 
MP 01 0°00’00” 0°25’30” 440 300 160 - 
MP 02 174°03’20” - - - - 63,978 
 
Onde Est: é a estação (ponto) no qual o equipamento encontra-se estacionado; 
 PV: é o ponto visado a partir da estação; 
 ∢horizontal: é o ângulo horizontal lido no equipamento; 
 ∢v ertical: é o ângulo vertical lido no equipamento; 
 FS: é o fio superior lido na mira; 
 FM: é o fio médio lido na mira; 
 FI: é o fio inferior lido na mira; 
 Dist.: é a distância horizontal coletada entre a estação e o ponto visado. 
 
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58 
A seguir, a Figura 45 mostra uma tabela de coleta preenchida e calculada. 
 
 
Figura 45 – Exemplo de Tabela de Dados Calculada. Em vermelho, dados da poligonal e em preto, dados dos detalhes 
Procedimento pós-levantamento 
Para completar o levantamento realizado em campo, o profissional de topografia deverá realizar 
o Cálculo da Poligonal levantada. Este será o tema do próximo capítulo. 
A sequência de cálculo e ajuste de uma poligonal fechada pode ser resumida em: 
 Determinação das coordenadas do ponto de partida; 
 Determinação da orientação da poligonal; 
 Cálculo do erro de fechamento angular pelo somatório dos ângulos internos ou externos 
(em função do sentido horário ou anti-horário); 
 Avaliação do erro angular em relação à tolerância angular; 
 Distribuição do erro de fechamento angular; 
 Cálculo dos Azimutes; 
 Cálculo das coordenadas parciais (ΔX, ΔY) ou (ΔE, ΔN); 
 Cálculo do erro de fechamento linear; 
 Avaliação do erro linear em relação à tolerância linear; 
 Distribuição do erro de fechamento linear; 
 Cálculo das coordenadas definitivas (X, Y) ou (E, N). 
 Desenho e finalização da planta. 
 
 
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59 
Exercícios 
48) Leia o parágrafo abaixo e em seguida responda às questões que seguem: 
 
“Durante um levantamento topográfico, normalmente são determinados pontos de apoio ao 
levantamento (pontos planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos), e a partir destes, são 
levantados os demais pontos que permitem representar a área cadastrada. A primeira etapa 
pode ser chamada de estabelecimento do apoio topográfico e a segunda de levantamento de 
detalhes.” 
 
Com suas palavras defina pontos de apoio topográfico e pontos de detalhes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49) De acordo com a figura abaixo, responda as questões: 
 
a. Dado o sentido de caminhamento, marque na figura os ângulos que serão 
coletados, indique o sentido. 
 
b. Numere os vértices na figura acima e complete a tabela. 
 
 
Estação 
Visada 
de Ré 
Visada 
de Vante 
 
 
 
 
 
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60 
50) Relacione cada uma das poligonais da figura abaixo, poligonais 1, 2 e 3, aos tipos de poligonal 
(Poligonal Fechada, Poligonal Aberta e Poligonal Enquadrada) em seguida, com s uas 
palavras, defina cada uma delas. O que as diferencia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51) Descreva o procedimento usado para o cadastramento de uma área levando em 
consideração seus conhecimentos em topografia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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61 
52) Discorra sobre os dados que são anotados na caderneta de campo, quais são esses dados e 
como serão usados depois? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53) Um cliente procurou você para que efetuasse o cadastramento de uma área que ele possui. 
A área está situada em área urbana e possui cerca de 10.000m². Utilizando equipamentos 
topográficos, descreva como você faria esse cadastramento (etapas a serem realizadas em 
campo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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62 
7. Estadimetria 
Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo são observadas outras grandezas 
(no nosso caso ângulos) e através delas podemos calcular a distância desejada. 
Sendo assim, são necessários alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para se 
obter indiretamente o valor da distância. Esse procedimento é chamado de Taqueometria ou 
Estadimetria. 
Estádias, ou miras estadimétricas são as réguas graduadas centimetricamente que conhecemos 
simplesmente por Miras. Na estádia são efetuadas as leituras dos fios estadimétricos (superior, 
inferior e médio). Por sua vez, os fios estadimétricos são as marcações encontradas no retículo 
dos equipamentos (teodolito, nível, estação total). 
 
Figura 46 – Exemplo de Estádia (ou Mira) e dos fios estadimétricos 
7.1. A Mira 
Conforme mencionado acima, Miras nada mais são do que réguas graduadas. Existem no 
mercado diversos modelos de miras, geralmente com comprimento entre 2 e 4 m. Possuem 
articulação do tipo telescópica ou dobradiça. Quanto ao material de fabricação, as miras podem 
ser de madeira, fibra de vidro, alumínio ou ínvar. 
 
IMPORTANTE 
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro algarismos que 
corresponderão aos valores do metro, decímetro, centímetro e milímetro, sendo que este 
último é obtido por uma estimativa e os demais por leitura direta dos valores indicados na 
mira. 
Para evitar erros, a leitura deve ser verificada da seguinte forma: O fio inferior mais o superior 
dividido por dois, deve ser igual ao valor lido do fio médio. A tolerância é de ± 2,0𝑚𝑚. 
𝐹𝐼 + 𝐹𝑆
2
= 𝐹𝑀; 𝐸𝑟𝑟𝑜 ≤ ± 2,0𝑚𝑚 
 
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63 
 
Figura 47 – Exemplos de leitura na Mira 
Determinação das distâncias (Taqueometria ou Estadimetria) 
As observações em campo são realizadas com o auxílio, ou de teodolitos ou de níveis. 
Devido a sua forma construtiva, com o nível só é possível efetuar visadas horizontais (lembre-se 
que o nível não tem variação angular vertical). 
Já com o teodolito, é possível realizar visadas inclinadas, e o equipamento nos fornece o ângulo 
vertical ou o ângulo zenital (varia de acordo com o fabricante e o modelo do equipamento). 
 
 
Figura 48 – Nível e Teodolito 
A seguir são apresentadas as formulações para cada tipo de visada mencionada. 
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64 
Visada Horizontal 
Com os fios estadimétricos da luneta é possível efetuar leituras sobre uma mira graduada e 
relacioná-las com os valores constantes do instrumento. Mediante as considerações geométricas 
determina-se com facilidade a distância horizontal aparelho-mira. 
Na Figura 49, Ln é a luneta; 𝒅 é a distância entre os planos dos fios do retículo e o foco 𝑭 da 
objetiva; 𝒈 é a distância vertical entre os fios estadimétricos; 𝑫𝒉 é a distância aparelho-mira; 
𝐴𝐵 = 𝐺 é o número gerador obtido através da diferença de leituras sobre a mira dos fios 
superior 𝐹𝑆 e inferior 𝐹𝐼. 
 
Figura 49 - Determinação da distância com visadas horizontal 
Da semelhança entre os triângulos 𝑎𝑏𝐹 e 𝐴𝐵𝐹, extrai-se a seguinte relação: 
𝐷ℎ
𝑑
 = 
𝐴𝐵
𝑎𝑏
 
Conforme dito acima, 
𝐴𝐵 = 𝐺 = 𝐹𝑆 − 𝐹𝐼 
𝑎𝑏 = 𝑔 
Substituindo na primeira equação, pode-se escrever: 
𝐷ℎ
𝑑
 = 
𝐺
𝑔
 ⇒ 𝐷ℎ =
𝑑
𝑔
∙ 𝐺 
Os valores 𝒅 e 𝒈 são invariáveis, isto é, são constantes para cada instrumento. Logo, a relação 
𝑑
𝑔
= 𝑘, é conhecida como a constante estadimétrica do instrumento. Para facilidade de 
operação, os fabricantes costumam fazer 𝑘 = 100. Assim, a determinação da distância 𝑫𝒉 
depende única e exclusivamente do número gerador 𝐺 que, como já se sabe, é obtido pela 
diferença de leituras sobre a mira, dos fios estadimétricos superior e inferior. 
Com isso, a equação anterior apresenta-se da seguinte forma: 
𝐷ℎ = 𝑘 ∙ 𝐺 
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65 
 
ATENÇÃO! 
 
A fórmula 𝑫𝒉 = 𝒌 ∙ 𝑮 é válida SOMENTE para medidas efetuadas com NÍVEIS ou teodolitos 
com a luneta a 90°! (Visadas HORIZONTAIS) 
 
 
Visada Inclinada 
Na dedução da fórmula para o cálculo da distância utilizando uma visada inclinada, tome por 
base a figura a seguir. 
 
Figura 50 - Determinação da distância com visadas inclinadas 
Adotaremos as seguintes convenções: 
Ângulo Zenital: 𝑍; 
Ângulo Vertical: 𝑉; 
Distância Horizontal: 𝐷ℎ; 
Distância Inclinada: 𝐷𝑖; 
Número Gerador da Mira Real: 𝑮 (𝐺 = 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐵 − 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴); 
Número Gerador da Mira Fictícia: 𝑮′ (𝐺′ = 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐵′ − 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴′). 
 
Sabemos que o seno de um ângulo é dado por: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
Da Figura 50 obtém-se: 
𝑠𝑒𝑛 𝑍 =
𝐺’
2
𝐺
2
= 
𝐺′
𝐺
 ⇒ 𝐺’ = 𝐺 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 
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66 
𝑠𝑒𝑛 𝑍 = 
𝐷ℎ
𝐷𝑖
 ⇒ 𝐷ℎ = 𝐷𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 
Sabendo-se que para obter a distância utiliza-se a fórmula: 
𝐷𝑖 = 𝐺’ ∙ 𝑘 ⇒ 𝐷𝑖 = 𝐺 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 ∙ 𝑘 
Onde 𝑘 é a constante estadimétrica do instrumento, definida pelo fabricante e geralmente igual 
a 100. 
Substituindo 𝐷𝑖 em 𝐷ℎ temos 
𝐷ℎ = 𝐺 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 ∙ 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 ⇒ 𝐷ℎ = 𝐺 ∙ 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑍 
Seguindo o mesmo raciocínio para o ângulo vertical, chega-se a: 
𝐷ℎ = 𝐺 ∙ 𝐾 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝑉 
 
 
CURIOSIDADE 
Com as leituras dos fios estadimétricos e com o valor da distância horizontal ou da inclinada, é 
possível calcularmos o desnível entre dois pontos A e B. 
 
𝛥ℎ𝐴𝐵 : Desnível entre A e B; 
ℎ𝑖 : Altura do instrumento; 
ℎ𝑠 : Altura lida (fio médio); 
𝐷𝑖 : Distância inclinada; 
𝐷ℎ : Distância horizontal; 
𝐷𝑉 : Distância vertical; 
𝑍 : Ângulo zenital. 
Observando a figura, pode-se escrever que o desnível 𝛥ℎ𝐴𝐵 será: 
𝐷𝑉 + ℎ𝑖 = ℎ𝑠 + 𝛥ℎ𝐴𝐵 ⇒ 𝛥ℎ𝐴𝐵 = ℎ𝑖 − ℎ𝑠 + 𝐷𝑉 
Calculando a distância vertical 𝐷𝑉 teremos: 
𝑡𝑎𝑛(𝑍) =
𝐷ℎ
𝐷𝑉
 ⇒ 𝐷𝑉 =
𝐷ℎ
𝑡𝑎𝑛(𝑍)
= 𝐷ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍) ∴ 𝐷𝑉 = 𝐷ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍) 
Ou então, simplesmente: 
𝐷𝑉 = 𝐷𝑖 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 
 
Substituindo as equações de 𝐷𝑉 na de 𝛥ℎ𝐴𝐵 obtém-se: 
𝛥ℎ𝐴𝐵 = ℎ𝑖 – ℎ𝑠 + 𝐷ℎ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍) 
ou 
𝛥ℎ𝐴𝐵 = ℎ𝑖 – ℎ𝑠 + 𝐷𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 
 
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67 
Organização dos dados de campo 
Para organizarmos os dados de campo, usamos a mesma tabela apresentada no capítulo anterior 
com algumas alterações para acomodar os novos dados coletados. 
Os campos usuais desta tabela são : 
 
E PV ∢h ∢v FS FM FI Dist. 
MP 01 0°00’00” - 10°47’20” 495 430 368 12,254 
MP 02 174°03’20” 00°39’20” 461 398 335 12,598 
 
Onde E : é a estação (ponto) na qual o equipamento encontra-se estacionado; 
 PV: é o ponto visado a partir da estação; 
 ∢h: é o ângulo horizontal lido no equipamento; 
 ∢v : é o ângulo vertical lido no equipamento; 
 FS é o fio estadimétrico superior; 
 FM é o fio estadimétrico médio; 
 FI é o fio estadimétrico inferior; 
 Dist.: é a distância horizontal coletada entre a estação e o ponto visado. 
 
Exercícios 
54) Com os elementos dados na planilha abaixo, calcule as distâncias horizontais. 
 
Ponto 
de 
Estação 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Vertical 
Fio 
Superior 
Fio 
Médio 
Fio 
Inferior 
(FS-FI) 
Ângulo 
Zenital 
Distância 
Horizontal 
A 
1 
- 
03°16’00” 
990 960 920 
2 
- 
10°47’20” 
495 430 368 
3 00°39’20” 461 398 335 
4 00°42’00” 128 119 112 
5 
- 
04°24’40” 
880 800 718 
6 03°52’10” 1940 1850 1762 
 
 
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68 
55) Faça a leitura dos fios estadimétricos. 
a. 
 
b. 
 
FI:______________________________________ FI:______________________________________ 
FM:_____________________________________ FM:_____________________________________ 
FS:______________________________________ FS:______________________________________ 
VERIFICAÇÃO:_____________________________