Revisão Equação de Bernoulli

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A	Equação	de	Bernoulli
A	Fig.	14-19	mostra	um	tubo	pelo	qual	um	fluido	ideal	escoa	com	vazão	constante.	Suponha	que,	em	um
intervalo	de	 tempo	Δt,	 um	volume	ΔV	 do	 fluido,	de	cor	violeta	na	Fig.	14-19,	 entre	 pela	 extremidade
esquerda	(entrada)	do	tubo,	e	um	volume	igual,	de	cor	verde	na	Fig.	14-19,	saia	pela	extremidade	direita
(saída)	do	tubo.	Como	o	fluido	é	incompressível,	com	massa	específica	constante	ρ,	o	volume	que	sai	é
igual	ao	volume	que	entra.
Figura	14-19 	Um	fluido	escoa	com	vazão	constante	por	um	trecho	de	um	tubo	de	comprimento	L,	da	extremidade	de	entrada,	à
esquerda,	 à	 extremidade	 de	 saída,	 à	 direita.	 Do	 instante	 t	 em	 (a)	 ao	 instante	 t	 +	 Δt	 em	 (b),	 uma	 quantidade	 de	 fluido,
representada	 na	 cor	 violeta,	 entra	 pela	 extremidade	 esquerda	 e	 uma	 quantidade	 igual,	 representada	 na	 cor	 verde,	 sai	 pela
extremidade	direita.
Sejam	y1,	v1	e	p1	a	altura,	a	velocidade	e	a	pressão	do	fluido	que	entra	do	lado	esquerdo,	e	y2,	v2	e	p2	os
valores	correspondentes	do	fluido	que	sai	do	lado	direito.	Aplicando	ao	fluido	a	lei	de	conservação	da
energia	mecânica,	vamos	mostrar	que	esses	valores	estão	relacionados	por	meio	da	equação
em	que	o	termo	 	é	chamado	de	energia	cinética	específica	(energia	cinética	por	unidade	de	volume)
do	fluido.	A	Eq.	14-28	também	pode	ser	escrita	na	forma
As	Eqs.	14-28	e	14-29	 são	 formas	equivalentes	da	equação	de	Bernoulli,	 que	 tem	 esse	 nome	por
causa	de	Daniel	Bernoulli,	que	estudou	o	escoamento	de	fluidos	no	século	XVIII.*	Como	a	equação	de
continuidade	 (Eq.	 14-24),	 a	 equação	 de	 Bernoulli	 não	 é	 um	 princípio	 novo,	 mas	 simplesmente	 uma
reformulação	de	um	princípio	conhecido	para	uma	forma	mais	adequada	à	mecânica	dos	fluidos.	Como
um	teste,	vamos	aplicar	a	equação	de	Bernoulli	a	um	fluido	em	repouso,	fazendo	v1	=	v2	=	0	na	Eq.	14-28.
O	resultado	é
p2	=	p1	+	ρg(y1	–	y2).
que	é	a	Eq.	14-7.
Uma	previsão	importante	da	equação	de	Bernoulli	surge	quando	supomos	que	y	é	constante	 (y	=	0,
digamos),	ou	seja,	que	a	altura	do	fluido	não	varia.	Nesse	caso,	a	Eq.	14-28	se	torna
ou,	em	palavras,
Se	a	velocidade	de	um	fluido	aumenta	enquanto	o	fluido	se	move	horizontalmente	ao	longo	de	uma	linha	de	fluxo,	a	pressão	do
fluido	diminui,	e	vice-versa.
Isso	significa	que,	nas	regiões	em	que	as	linhas	de	fluxo	estão	mais	concentradas	(o	que	significa	que	a
velocidade	é	maior),	a	pressão	é	menor,	e	vice-versa.
A	 relação	 entre	 uma	 mudança	 de	 velocidade	 e	 uma	 mudança	 de	 pressão	 faz	 sentido	 quando
consideramos	um	elemento	do	fluido.	Quando	o	elemento	se	aproxima	de	uma	região	estreita,	a	pressão
mais	 elevada	 atrás	do	 elemento	o	 acelera,	 de	modo	que	 ele	 adquire	uma	velocidade	maior.	Quando	o
elemento	se	aproxima	de	uma	região	mais	larga,	a	pressão	maior	à	frente	o	desacelera,	de	modo	que	ele
adquire	uma	velocidade	menor.
A	 equação	 de	 Bernoulli	 é	 estritamente	 válida	 apenas	 para	 fluidos	 ideais;	 quando	 forças	 viscosas
estão	presentes,	a	energia	mecânica	não	é	conservada,	 já	que	parte	da	energia	é	convertida	em	energia
térmica.	Na	demonstração	que	se	segue,	vamos	supor	que	o	fluido	é	ideal.
Demonstração	da	Equação	de	Bernoulli
Vamos	considerar,	como	nosso	sistema,	o	volume	inteiro	do	fluido	(ideal)	da	Fig.	14-19.	Vamos	aplicar	a
lei	de	conservação	da	energia	mecânica	a	esse	sistema	na	passagem	do	estado	inicial	(Fig.	14-19a)	para
o	 estado	 final	 (Fig.	 1419b).	 No	 processo,	 as	 propriedades	 do	 fluido	 que	 está	 entre	 os	 dois	 planos
verticais	separados	por	uma	distância	L	na	Fig.	14-19	permanecem	as	mesmas;	precisamos	nos	preocupar
apenas	com	as	mudanças	que	ocorrem	nas	extremidades	de	entrada	e	saída.
Para	começar,	aplicamos	a	lei	de	conservação	da	energia	mecânica	na	forma	do	teorema	do	trabalho
e	energia	cinética,
que	 nos	 diz	 que	 a	 variação	 da	 energia	 cinética	 do	 sistema	 é	 igual	 ao	 trabalho	 total	 realizado	 sobre	 o
sistema.	A	variação	da	energia	cinética	é	uma	consequência	da	variação	da	velocidade	do	fluido	entre	as
extremidades	do	tubo	e	é	dada	por
em	que	Δm	 (=	ρΔV)	 é	 a	massa	 do	 fluido	 que	 entra	 por	 uma	 extremidade	 e	 sai	 pela	 outra	 durante	 um
pequeno	intervalo	de	tempo	Δt.
O	 trabalho	 realizado	 sobre	 o	 sistema	 tem	 duas	 origens.	 O	 trabalho	 Wg	 realizado	 pela	 força
gravitacional	(Δm )	sobre	uma	massa	Δm	do	fluido	durante	a	subida	da	massa	do	nível	da	entrada	até	o
nível	da	saída	é	dado	por
Esse	 trabalho	 é	 negativo	 porque	 o	 deslocamento	 para	 cima	 e	 a	 força	 gravitacional	 para	 baixo	 têm
sentidos	opostos.
Algum	trabalho	também	precisa	ser	realizado	sobre	o	sistema	(no	lado	da	entrada)	para	empurrar	o
fluido	para	dentro	do	tubo	e	pelo	sistema	(no	lado	da	saída)	para	empurrar	o	fluido	que	está	mais	adiante
no	tubo.	O	trabalho	realizado	por	uma	força	de	módulo	F	agindo	sobre	o	fluido	contido	em	um	tubo	de
área	A	para	fazer	com	que	o	fluido	percorra	uma	distância	Δx	é
F	Δx	=	(pA)(Δx)	=	p(A	Δx)	=	p	ΔV.
O	trabalho	realizado	sobre	o	sistema	é,	portanto,	p1	ΔV,	e	o	trabalho	realizado	pelo	sistema	é	–p2	ΔV.	A
soma	dos	dois	trabalhos,	Wp,	é
Assim,	a	Eq.	14-31	se	torna
W	=	Wg	+	Wp	=	ΔK.
Combinando	as	Eqs.	14-32,	14-33	e	14-34,	obtemos
Cancelando	ΔV	e	reagrupando	os	termos,	obtemos	a	Eq.	14-28,	que	queríamos	demonstrar.