Breve Historial de Lagrange e William Rowan Hamilton

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Malique Alfane
Historial de Joseph-Louis Lagrange e William Rowan Hamilton
(Curso de Licenciatura em Ensino de Física)
Universidade Rovuma
Nampula
2021
Malique Alfanei
Historial de Joseph-Louis Lagrange e William Rowan Hamilton
Universidade Rovuma
Nampula
2021
Índice
1.	Introdução	4
2.	Breve Historial de Joseph Louis Lagrange e William Rowan Hamilton	5
2.1.	Joseph Louis Lagrange	5
2.2.	Mecânica de Lagrange	6
3.	William Rowan Hamilton	6
3.1.	Mecânica Hamiltoniana	8
3.2.	Cálculo Hamiltoniana	8
3.3.	Função de Hamilton	9
4.	Conclusão	10
Bibliografia	11
1. Introdução 
O presente trabalho da cadeira de Mecânica Teórica, aborda sobre um breve historial de Joseph-Louis Lagrange e William Rowan Hamilton, Lagrange foi um dos fundadores do cálculo variacional, do qual as equações Euler-Lagrange foram deduzidas. Ele também desenvolveu o método conhecido como multiplicadores de Lagrange como uma maneira de encontrar máximos e mínimos locais de uma função sujeita a restrições. Outra contribuição importante de Lagrange foi o método para resolver equações diferenciais, conhecido como método de variação de parâmetros. 
Quanto a metodologia do trabalho baseou-se em consultas bibliográficas, em alguns pontos da internet para se obter as informações. 
2. Breve Historial de Joseph Louis Lagrange e William Rowan Hamilton
2.1. Joseph Louis Lagrange
Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) nasceu cidade italiana de Turim, em 1736. Atraído para matemática e astronomia após a leitura de uma memória do astrónomo Halley, aos 16 anos de idade, começou a estudar a matemática por conta própria e por volta dos 19 anos foi marcado a uma disciplina cursada na Escola de Artilharia Real na Turim. No ano seguinte, Lagrange enviou para Leonhard Euler (1707 – 1783) uma solução de sua autoria, e mais eficaz, para a obtenção da equação central no cálculo de variações. Neste contexto, as soluções e aplicações de Lagrange para a Mecânica Celestial foram tão expressivas que a idade de 25 anos, ele já era considerado por seus contemporâneos um dos mais respeitáveis matemáticos daquele período.
Em 1776, por recomendação de Euler, Lagrange foi escolhido para sucedê-lo como o director da Academia de Berlim. Durante a sua estadia em Berlim, distinguiu-se não só na Mecânica Celestial, mas também em Equações Algébricas e a Teoria de Números. Após vinte anos, mudou-se para Paris a convite do rei Louis XVI (1754 – 1793). Napoleão Bonaparte (1769 – 1821) foi um grande admirador do matemático, cobrindo-lhe de honrarias.
Em 1794, durante o primeiro concurso para eleição dos Livres Élémentaires a serem adoptados pelas escolas, de Ensino Fundamental, Médio e Superior, francês, Lagrange em conjunto com os matemáticos Gaspard Monge (1746 – 1818) e Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796), compunham o júri responsável pela análise crítica das obras da disciplina de Matemática, em busca daqueles que seriam adoptados e impressos à custa da República. Ainda no ano de 1794, Joseph Louis Lagrange ajudou Monge a estabelecer a École Polytechnique, onde foi seu primeiro professor de análise. No ano seguinte iniciou sua prática docente, ao lado de Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827), na École Normale, que foi fundada com o objectivo de formar professores que leccionariam em diversas localidades da França. Todavia a existência efêmera das Escolas Normais lhe deu apenas o tempo de expor suas ideias acerca da Aritmética e Álgebra aplicada à geometria (cf. OLIVEIRA, 2012).
2.2. Mecânica de Lagrange 
A formulação da mecânica clássica postulada por Joseph-Louis de Lagrange relaciona a conservação de energia mecânica com a conservação do momento linear de um sistema dinâmico. É antecessora às formulações das mecânicas hamiltoniana e newtoniana, sendo assim, considerada de fundamental importância a estas.
A função de Lagrange pode ser definida por: L = T - U
Assim, Lagrangeana (uma função de coordenadas) é igual à diferença entre as energias cinética (T) e potencial (U) de uma partícula em movimento, levando-se em consideração a taxa de variação das coordenadas generalizadas, das velocidades generalizadas da partícula e do tempo: apenas a energia potencial é unidimensional, sendo esta baseada nas coordenadas de posição da partícula.
A equação de Euler-Lagrange é definida por:
3. William Rowan Hamilton 
William Rowan Hamilton, nasceu em Dublin, Irlanda, em 1805. Ficou órfão cedo e sua educação fora confiada a um tio que o educou severamente e ecleticamente dando forte ênfase a linguística. Aos quinze anos de idade encontrou-se com Zerah Colburn, jovem americano que realizava cálculos mentais instantaneamente, despertando seu interesse pela matemática. Leu os Principia de Newton e Mécanique Celeste de Laplace onde descobriu um erro matemático e escreveu em artigo a respeito. CARL BOYER 1974
Em 1824 ingressou em Trinity College, Dublin e aos 22 anos de idade, ainda aluno de graduação, foi nomeado Royal Astronomer da Irlanda, director do Observatório de Dunsik e professor de astronomia da universidade. Pouco depois, baseado em considerações teóricas, prognosticou a refracção cónica em cristais biaxiais, o que veio a ser confirmado experimentalmente pelos físicos. Em 1833 comunicou a Academia Irlandesa significativo artigo em que a álgebra dos números complexos era definida como uma álgebra de pares ordenados de números reais, definição que usamos até hoje. Do ponto de vista físico, o sistema dos números complexos é extremamente conveniente para o estudo dos vetores e das rotações do plano. HOWARD EVES 1997
 Hamilton vislumbrou a possibilidade de um sistema de números análogo para o estudo dos vetores e das rotações do espaço tridimensional. Em suas pesquisas considerou quádruplos ordenados (a, b, c, d) de números reais, tendo imersos neles tanto os números reais como os números complexos. Chamando esses elementos de quatérnios (reais). Hamilton definiu a adição e a multiplicação dos quatérnios, podendo verificar as propriedades associativas e comutativa da adição e que a multiplicação é associativa e distributiva em relação à adição, mas não vale a lei comutativa da multiplicação. Este é, historicamente, o primeiro exemplo de uma álgebra não-comutativa. CARL BOYER 1974
Hamilton contava a história de que a ideia de abandonar a lei comutativa da multiplicação ocorreu enquanto caminhava com a esposa ao longo do Royal Canal perto de Dublin, pouco antes de escurecer. Ele pegou seu canivete e com ele gravou a parte fundamental da tábua de multiplicação dos quaterniões numa das pedras da Ponte Brougham.
Assim, a álgebra dos quaterniões, a primeira álgebra não-comutativa, subitamente nasceu e abriu as portas da álgebra abstracta.
Sua obra Suas Lectures on Quaternions foi publicada em 1853, e depois disso dedicou-se à preparação da obra ampliada, Elements of Quaternions. Esta não estava terminada quando ele morreu em 1865 mas foi editada e publicada por seu filho no ano seguinte. Hamilton definiu conceitos hoje muito utilizados como versor, gradiente, divergência. HOWARD EVES 1997
Os métodos dos quaterniões motivaram, tempo depois, a introdução de análise vectorial, Hamilton escreveu também sobre óptica, dinâmica, a solução das equações de quinto grau, o hodógrafo de uma partícula em movimento e soluções numéricas de equações diferencias.
3.1. Mecânica Hamiltoniana
A mecânica de William Rowan Hamilton é uma reformulação da mecânica clássica cuja origem é proveniente da mecânica Lagrangeana. Porém, a mecânica hamiltoniana pode ser explicada isoladamente através do estudo matemático de variedades simpléticas (exclusivas dessa mecânica).
Assim como a Lagrangeana, a mecânica Hamiltoniana é capaz de estudar e analisar sistemas mais complexos (incapacidade inerente à mecânica de Newton), mesmo que não seja indicada para casos particulares.
3.2. Cálculo Hamiltoniana
As equações diferenciais de Hamilton para um sistema conservativo são utilizadas, geralmente, para aqueles nos quais há alternância periódica entre energia cinética e energiapotencial: uma bola quicando ou um pêndulo. Mas também são utilizadas em sistemas mais complexos, tais como: órbitas planetárias e mecânica quântica.
As duas equações básicas da mecânica hamiltoniana são, na maioria das vezes, escritas dessas formas:
Observe que a função Hamiltoniana H é, assim como a função de Lagrange, baseada em coordenadas: taxa de variação do momento linear em relação ao tempo, das coordenadas generalizadas em relação ao tempo (velocidades generalizadas) e do tempo, respectivamente.
O sinal negativo da primeira equação mostra que a força Newtoniana (variação do momento linear no tempo) torna-se igualitária ao gradiente negativo da energia potencial.
Na segunda equação, a variação das coordenadas no tempo (velocidade) é igual à variação da energia cinética com relação ao seu momento linear.
3.3. Função de Hamilton
O Hamilton (ou função Hamiltoniana) é dado pela diferença entre a somatória dos produtos do momento linear da partícula e das velocidades generalizadas, e a Lagrangeana do sistema, ou seja:
Sendo o Lagrangiano desse sistema dado pela diferença entre as energias potencial e cinética da partícula, obedecendo aos critérios da mecânica de Lagrange.
Em outras palavras, o Hamiltoniano de um sistema dinâmico é dado pela soma T + U, onde T = energia cinética e U = energia potencial. E, como a energia potencial depende apenas da coordenada generalizada (ou posição da partícula) – U(q) = U(x), a energia cinética pode ser dada em função da quantidade de movimento da partícula e da sua massa:
Recorrendo a definição de quantidade de movimento: relação entre a velocidade v de uma partícula e sua massa m, sendo p = mv. E, sendo energia cinética igual à metade do produto mv², tem-se: 
4. Conclusão 
Chegado a este ponto conclui –se que a formulação da mecânica clássica postulada por Joseph-Louis de Lagrange relaciona a conservação de energia mecânica com a conservação do momento linear de um sistema dinâmico. É antecessora às formulações das mecânicas hamiltoniana e newtoniana e a mecânica de William Rowan Hamilton é uma reformulação da mecânica clássica cuja origem é proveniente da mecânica Lagrangeana. Porém, a mecânica hamiltoniana pode ser explicada isoladamente através do estudo matemático de variedades simpléticas (exclusivas dessa mecânica).
	
Bibliografia 
ARBOGAST, Louis-François-Antoine. Rapport et projet de décret sur la composition des livres élémentaires destinés à l'instruction publique, présentés à la Convention nationale, au nom du Comité d'instruction publique, par L. F. A. Arbogast, Député du Departement du Bas-Rhin. Paris: Imprimerie nationale, 1790.
D’ALEMBERT, Jean le Rond. Élémens des sciences. in: Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers. Paris: Briasson, 1755. t. V, pp. 492-497.
LAGRANGE, Joseph Louis. Lições sobre matemática elementares ministradas por Joseph Louis Lagrange na Escola Normal Francesa em 1795. Tradução, comentário e notas de Jefferson Leandro Ramos de Oliveira e Iran Abreu Mendes. São Paulo: Livraria da Física, 2013. 
LAGRANGE, Joseph Louis. Œuvres de Lagrange. Tomo I ao XIV. Paris: Gauthier-Villars, 1867. 
OLIVEIRA, J. L. R. ; MENDES, I. A. . O uso de História da Matemática por Lagrange na obra Leçons Élémentaires sur les Mathématiques données a l'École Normale en 1795. In: 3º Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2012, Fortaleza. Anais do 3º SIPEMAT (ISBN: 978-85-65865-00-5). Fortaleza: SIPEMAT, 2012. 
SCHUBRING, Gert. Análise histórica de livros de matemática. Campinas: Autores Associados, 2003.
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Mecânica_hamiltoniana (acesso em 02/04/2010)
http://200.145.134.134/twiki/pub/Main/DisciplinaClassica/hamilton.pdf (acesso em 02/04/2010)
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Malique Alfane
 
Dionísio Maurício Maliua
 
Momade Alfredo
 
Mbanzé 
Sebastião Macoro
 
Inácio de Jesus
 
Irene Gomes
 
 
 
 
 
 
 
 
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-
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Dionísio Maurício Maliua 
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Mbanzé Sebastião Macoro 
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