Texto de apoio II Mecanica Teorica

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1 
 
 
Aceleração do Ponto no Movimento Curvilíneo 
Aceleração Tangencial e Normal do Ponto 
 
A aceleração w

 tem duas componentes perpendiculares 
uma tangente à trajectória e tem como intensidade a 
derivada da intensidade da velocidade – é a aceleração 
tangencial ta

 a outra componente, é normal a trajectória, 
dirigida segundo a normal principal e sempre voltada para o 
centro da curvatura, tendo a intensidade 2v - é a 
aceleração normal ou aceleração centrípeta na

. 
A componente tangencial da aceleração, caracteriza a variação da velocidade do ponto 
em módulo e a aceleração normal caracteriza a variação da velocidade em direcção. 
 
Resumindo temos, portanto: 
nt aaa

 ou N
v
dt
dv
a

..
2

  
Onde: 

 é o vector unitário tangente e N

é o vector unitário normal. 
Assim, 
2
2
dt
sd
dt
dv
at  e 

2v
an  
Consequentemente, o módulo da aceleração total também pode ser calculado por: 
22
nt aaa  ou ainda 
2
22














v
dt
dv
a 
 
Exemplos: 
1. Um móvel percorreu um circulo de 20m de raio, segundo a lei 32ts  , partindo do 
ponto A, como mostra a figura. 
2 
 
 
a) Encontre as componentes cartesianas do movimento 
b) Escreva a equação vectorial do movimento. 
c) Determinar, utilizando as componentes cartesianas, as componentes da 
velocidade e da aceleração e, a aceleração do móvel, no instante t=2,4s. 
d) Determinar com ajuda das componentes intrínsecas da aceleração, a 
aceleração do móvel no instante t=2,4s. 
 
a) Dados 
Temos a equação horária 32ts  
E como o móvel descreve uma trajectória circular a equação da trajectória será:
222 Ryx  , como mR 20 , teremos 40022  yx 
Donde: 
22
2 .6
dydxds
dttds


 comparando estas expressões vem dttdydx .6 222  
Diferenciando a equação da trajectória tiramos: 
dx
y
x
dy  , então, dttdx
y
x
dx .6. 2
2
2 





 ou ainda dtt
y
x
dx .61 2
2
2
2 





 
 
3 
 
dttdx
y
yx
.6. 2
2
22


; dttdx
x
.6.
400
400 2
2


; dttdx
x
.6.
20
20 2
22


; 
dtt
x
dx
.
10
3
20
2
22


 integrando, C
tx
arcsen 
1020
3
; 





 C
t
sen
x
1020
3
; 






 C
t
senx
10
.20
3
; para determinar o C consideramos as a condições iniciais 
mRxt 20,0  , logo 
2

C 
Então as equações cartesianas do movimento serão: 
 
10
cos20
210
.20
33 tt
senx 







 e 
10
20
210
cos.20
33 t
sem
t
y 







 
 
 
b) A equação vectorial será: 
j
t
seni
t
r

10
20.
10
cos20
33
 
 
c) As componentes cartesianas já foram determinadas: 
10
cos20
3t
x  e 
10
20
3t
semy  então, 
Por simples derivação: 
10
cos.6
10
.6
3
2
3
2 tt
dt
dy
ve
t
sent
dt
dx
v yx  , componentes da velocidade 
 
1010
18
10
cos..12
10
cos
10
18
10
.12
3
4
3
3
4
3
t
sent
t
t
dt
dv
w
e
t
t
t
sent
dt
dv
w
y
y
x
x


 
4 
 
Para t=2,4s º2,7938.1
10
3
 rad
t
 e em seguida, efectuamos os cálculos obtemos: 
2
2
/54
/38
smw
esmw
y
x


 
Donde: 
222 /664360 smwww yx  
 
d) As componentes intrínsecas da aceleração são: 
 
dt
dv
wt  e 

2v
wn  
Temos: 
26t
dt
ds
v  ; para t=2,4s ; smv /6,34 
 
2/8,2812 smt
dt
dv
wt  finalmente, 
 
sm
vv
wn /8,59
20
22


 e então 
22
nt www  
2
22














v
dt
dv
w 
 
    222 /6644058,598,28 smw  
 
 
MRU e MRUV como casos particulares 
 
0. Movimento rectilíneo 
5 
 
Quando a trajectória do ponto é uma recta,  . Então, 0
2


v
wn e a aceleração 
do ponto reduz-se à aceleração tangencial: 
dt
dv
ww t  
Neste caso a velocidade só varia em grandeza, aceleração tangencial, caracteriza a 
variação da velocidade do ponto em módulo ( em valor numérico). 
 
1. Movimento curvilíneo uniforme 
Um movimento curvilíneo é uniforme quando o módulo da velocidade é constante: 
v=const. Então, 0
dt
dv
w e a aceleração do ponto reduz-se à aceleração normal: 

2v
ww n  . 
Neste caso, o vector aceleração w, tem constantemente a direcção da normal à 
trajectória do ponto. Como neste caso a aceleração é devida à variação da direcção da 
velocidade, conclui-se que a aceleração normal caracteriza a variação da velocidade em 
direcção. 
Calculemos a lei do movimento curvilíneo uniforme. Admitamos que no instante t=0, o 
ponto está a uma distância 0s da origem. Da expressão vdtds  , vem : 
,0
00
vtssouvdtds
ts
s
  porque v=const. Finalmente a lei de movimento apresenta o 
aspecto: vtss  0 
2. Movimento rectilíneo uniforme 
Neste caso, 0 wwn e, portanto 0w . O único movimento em que a aceleração 
do ponto é constantemente nula. 
3. Movimento curvilíneo uniformemente variado 
A aceleração tangencial tem um valor constante: .constw  procuremos a lei deste 
movimento, admitindo que, quando 00,0 vvesst  , sendo 0v a velocidade 
inicial do ponto. Da expressão dtwdv  vem : twvv  0 
6 
 
Ou dttwdtvdstwv
dt
ds
  00 , finalmente temos a lei do movimento curvilíneo 
uniformemente variado do ponto: 
2
2
00
t
wtvss  
 
Breve referência à coordenadas generalizadas: coeficientes de Lame 
Grandezas cinemáticas em coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas e 
esféricas 
 
Coordenadas Generalizadas  321 ,, qqqr

 
 
dt
qqqrd
dt
rd
v
32,1 ,


 
t
q
q
r
t
q
q
r
t
q
q
r
v














 3
3
2
2
1
1
...


 ; i
i q
t
q



, 
Coeficientes de Lame - ih 
Os coeficientes de Lame são determinados por: 
222


































iiii
i
q
z
q
y
q
x
q
r
h

 o que nos permite encontrar a velocidade e a 
aceleração do ponto através das expressões, 
iii qhv . e 











iii
i
q
T
q
T
dt
d
h
a

.
1
 onde 
2
2
1
vT  , 
 
Coordenadas Cilíndricas 
 
Velocidade em coordenadas cilíndricas 
A velocidade em coordenadas cilíndricas é dada pela expressão: 
zz evevevv

...   
As componentes zvevv  , são encontradas a partir de iii qhv . , deste modo, 
7 
 
zhv
hv
hv
zz



.
.
.







 
Determinemos agora os coeficientes de Lame zhehh  , 
Já vimos que 
222































iii
i
q
z
q
y
q
x
h e as equações de transição são 
zz
seny
x





.
cos.
então: 
 

































2
2222
222
0cos
h
senh
zyx
h
 
11
100 222
222



























z
z
z
h
h
z
z
z
y
z
x
h
 
substituindo vem: 
zhv
hv
hv
zz



.
.
.







zv
v
v
z



.1
.
.1







zv
v
v
z










. são as componentes da velocidade em 
coordenadas cilíndricas 
O vector velocidade será: 
zezeev







....    
E o módulo da velocidade será 
     2222 . zv    
     222 . zv    
 
Aceleração em coordenadas cilíndricas 












iii
i
q
T
q
T
dt
d
h
a

.
1
 onde 2
2
1
vT  ,       222 .
2
1
zT    
11
022
222
































h
senscoh
zyx
h
8 
 
A aceleração em coordenadas cilíndricas é dada pela expressão: 
zz eaeaeaa

...   
Determinemos então as componentes da aceleração  zaeaa  , 













TT
dt
d
h
a

.
1
 













 T
dt
dT
. e 2.



T
 logo, 
 2.
1
1
  a 
 
 














TT
dt
d
h
a

.
1
 








..2... 22 




 T
dt
dT
 e 0



T
 
 


 ..2.
1 2 a 
 
 
 












z
T
z
T
dt
d
h
a
z
z 
.
1
 
z
z
T
dt
d
z
z
T










. e 0


z
T
 
 
 
 
 
Então o vector aceleração em coordenadas cilíndricas será: 
    zezeea







...2... 2    
O seu módulo é 
2.  a 
  .2. a 
  zzaz   0
1
1
 
9 
 
    22222 .2.. za    
    2222 .2.. za    
 
Coordenadas Esféricas 
Velocidade em coordenadas esféricas 
Já vimos que: 



cos.
..
cos..
rz
sensenry
senrx



, onde  er, são coordenadas esféricas. 
O vector velocidade em coordenadas esféricas terá o seguinte aspecto: 
 evevevv rr

...  
 vevvr , são as componentes da velocidade determinadas da mesma forma como se 
procedeu em coordenadas cilíndricas. Deste modo, 







.
.
.
hv
hv
rhv rr



 Determinando os coeficientes de Lame vem; 
 
rrh
senrsenrrh
zyx
h



























2
22222222
222
.coscos.cos.





 






senrsenrh
senrsensenrh
zyx
h
..
0cos..
22
222222
222



























 então as componentes da velocidade serão: 




senrhv
rhv
rrhv rr
...
..
.






 
11
cos.. 22222
222



























r
r
r
h
sensenscosenh
r
z
r
y
r
x
h

10 
 
Por substituição em  evevevv rr

...  encontramos o vector velocidade em 
coordenadas esféricas 
 
 
O seu módulo é dado por : 
 222222
2
... senrrrv 

 donde 
 
 
Aceleração em coordenadas esféricas 












iii
i
q
T
q
T
dt
d
h
a

.
1
 onde 2
2
1
vT  ,   222222 ...
2
1
senrrrT   
A aceleração em coordenadas esféricas é dada pela expressão: 
 eaeaeaa rr

...  
Determinemos então as componentes da aceleração   aeaar , 












r
T
r
T
dt
d
h
a
r
r 
.
1
 
r
r
T
dt
d
r
r
T










. e  222 ... senrr
r
T
 


 logo, 
  222 ..
1
1
senrrrar 
  
 
 
 














TT
dt
d
h
a

.
1
   222222 ...
2
1
senrrrT   








...2.. 22 rrr
T
dt
d
r
T






 e 

senr
T
.cos.. 22 


 logo, 
  senrrrr
r
a .cos.....2
1 222   
  esenrererv r




......  
 222222 ... senrrrv   
 222 ... senrrrar 
  
11 
 
 
 
 
 
 














TT
dt
d
h
a

.
1
   222222 ...
2
1
senrrrT   




cos...2.....2... 222222 



rsenrsenrr
T
dt
d
senr
T






 e 0



T
 logo, 
 0.cos...2.....2
.
1 2222  

 senrsenrsenrr
senr
a  
 
 
 
substituindo as componentes da aceleração em  eaeaeaa rr

...  encontramos o 
vector aceleração em coordenadas esféricas e o módulo da aceleração será: 
 
 
 
 
 
Movimentos Mais Simples do Sólido (corpo rígido) 
 
Um sólido (ou corpo rígido) é um sistema constituído por um conjunto de pontos materiais 
que mantêm as suas posições relativas invariáveis durante o seu movimento. Os 
movimentos mais simples do corpo rígido são a translação e a rotação. 
 
Movimento de translação do sólido 
Translação: 
Chamamos translação do sólido o movimento durante o qual toda a recta arbitráriamente 
escolhida neste corpo se movimenta paralelamente a si mesma. 
 senrrra .cos.....2
2  
 cos...2.....2
 rsenrsenra  
2222
 aaaa r  ; 
222
 aaaa r  
12 
 
As posições do segmento MN nos instantes tett , são mostradas na figura abaixo. 
Assim quando o corpo realiza translação, temos, por definição 
NMMN  
É óbvio que o quadrilátero MNMN  é um paralelograma, e que por conseguinte, 
NNMM  
Estas igualidades devem ser válidas para todos os pontos do sólido e para quaisquer 
instante tet  do movimento. 
 
O movimento de um corpo rígido está cinematicamente definido, se for 
possível determinar o movimento de qualquer dos seus pontos. Torna-se então 
necessário conhecer a trajectória, a velocidade e a aceleração de qualquer ponto desse 
corpo. 
 
Teorema sobre as trajectórias, velocidades e acelerações dos pontos do corpo no 
caso de translação 
 
Durante a translação do corpo todos os pontos deste descrevem trajectórias 
congruentes, segundo uma mesma lei do movimento e possuem velocidades e 
acelerações geometricamente iguais. 
 
Na figura, considerando os raios vectores Mr

 e Nr

, a igualdade 
crrMN MN

 
13 
 
Onde c é um vector livre constante, será justa para quaisquer dois pontos do corpo 
durante todo o período da translação. Por consequência, a posição do ponto N pode ser 
determinada em quaisquer instante de tempo a partir da igualdade 
    ctrtr MN

 
Portanto, durante a translação, as trajectórias dos pontos do sólido são iguis e localizam-
se de modos iguais, ou seja, podem ser sobrepostas umas às outras mediante o 
transporte paralelo. 
Diferenciando a expressão anterior, obtemos: 
 
   tvtv MN

    tvtv MN  
 
O que significa que as velocidades de todos os pontos do sólido em qualquer instante da 
translação são de módulos e direcções idênticas. 
Multiplicando a igualdade    tvtv MN  por dt e integrando de 0 a t: 
   dttvdttv
t
M
t
N ..
00
  ou    tsts MN  
ou seja, os pontos descrevem trajectórias congruentes segundo uma mesma lei do 
movimento. 
Quando diferenciamos a expressão    tvtv MN  , com respeito ao tempo, obtemos 
   tata MN  
E chegamos a conclusão de que as acelerações de todos os pontos do sólido em 
qualquer instante da translação são idênticas segundo o módulo e direcção. Assim 
sendo, podemos adoptar a aceleração de qualquer ponto do sólido por aceleração da 
translação deste. 
Se o vector da velocidade da translação não varia segundo o módulo e a direcção 
durante todo o tempo do movimento, a aceleração será igual a zero e todos os pontos 
do sólido movimentam-se rectilínea e uniformemente. A congruência significa, neste 
caso, o paralelismo das trajectórias rectilíneas ao longo das quais os pontos do corpo 
avançam a velocidades iguais. Semelhante movimento pode ser denominado translação 
rectilínea uniforme do corpo. 
14 
 
Concluindo podemos afirmar que a translação do sólido é individualizada totalmente 
mediante o movimento de um ponto qualquer dele. Toda a cinemática do sólido em 
translação reduz-se à cinemática do ponto. 
Como já foi referido, no movimento de translação de um sistema rígido, 
qualquer segmento de recta definido por dois quaisquer pontos A e B mantém a 
mesma direcção durante o movimento. Esse facto permite concluir as seguintes 
afirmações: 
-as trajectórias de todos os pontos do sistema são iguais ou paralelas. Se as 
trajectórias dos pontos A e B fossem diferentes, o segmento de recta por 
eles definido não se manteria com a mesma direcção, enquanto eram 
descritas as trajectórias. 
-as velocidades de todos os pontos do sistema são iguais em cada instante, 
pois se o não fossem, isso implicaria que uns pontos se atrasavam em 
relação a outros, contrariando acondição de paralelismo do segmento de 
recta atrás definido. 
-as acelerações de todos os pontos do sistema são iguais em cada instante, que 
é uma consequência imediata da afirmação anterior. 
Pode então concluir-se que o estudo da cinemática do movimento de 
translação de um sistema rígido se reduz ao da cinemática do ponto material . 
 
Rotação do Sólido em Torno de um Eixo Fixo 
 
Movimento de Rotação 
 
Dizemos que um corpo está em movimento de rotação em torno de um eixo, quando 
todos os pontos do sólido, que coincidem com o eixo ficam imóveis durante o 
deslocamento. 
De acordo com a definição de rotação de um corpo rígido, podemos concluir 
imediatamente que: 
15 
 
 
I Quaisquer dois dos seus pontos distintos do eixo de 
rotação descrevem trajectórias circulares em planos 
paralelos com a mesma velocidade angular em cada 
instante e com centro na intercepção do plano das 
trajectórias com o eixo de rotação. 
 
II todos os pontos apresentam num mesmo instante a 
mesma velocidade angular  . 
O ângulo polar que define a posição do ponto M, é  e 
portanto a velocidade angular de M é 
dt
d
; o ângulo polar 
que define a posição de um outro ponto P é  e portanto a velocidade angular do ponto 
P é 
dt
d
. A p artir da figura podemos escrever: 
  
E portanto, 
dt
d
dt
d
dt
d 
 
Como o ângulo  se mantém constante durante a rotação teremos 0
dt
d
 donde se 
conclui que 


dt
d
dt
d
 donde se pode constatar que avelocidade angular de cada 
ponto do ólido é a mesma, portanto, todo sólido se desloca com a mesma velocidade 
angular. 
III Um movimento de rotação fica bem determinado quando conhecemos: 
 t  denominado equação de movimento de rotação do sólid em torno de um eixo 
fixo. 
Pois conhecida afunção acima, saberemos determinar a velocidade angular  e a 
aceleração angular  : 
 
Velocidade angular e aceleração angular do corpo 
16 
 
 
Seja M a posição do ponto no instante t fazendo ângulo  com o eixo Ox e M  a posição 
do ponto no instante tt  com o ângulo   . A razão entre 
t

 é denominada 
velocidade angular média do corpo no intervalo de t a tt  e o limite desta razão 
quando t tende para zero, chama-se velocidade angular instantânea do corpo no 
instante t . Deste modo, 
 
t
m




 e 
dt
d
tt

 




lim
0
 então 
dt
d
  
A derivada da velocidade angular com respeito a t chama se aceleração angular do 
corpo e escreve-se: 
 
2
2
dt
d
dt
d 
  Unidades no S.I. 21 ..  sradesrad respectivamente. 
 
Rotação Uniforme e Rotação Uniformemente Variável 
a) Rotação Uniforme 
Se a velocidade angular for constante, então teremos: 
dt
d
  donde dtd .  , integrando com repeito t, de 0 a t e com respeito a  de 0 a 
 , vamos ter: 
 
t
dtd
0
.
0



 donde t.0   ou ainda t.0   . 
b) Rotação Uniformemente Variável 
Quando a aceleração angular é constante, e baseando na definição da velocidade 
angular do corpo temos o seguinte: 
 
dt
d
  donde dtd .  e integrando temos  
t
dtd
0
.
0



 vem t.0   ou ainda, 
t.0   que nos dá a velocidade de rotação do corpo. 
 
17 
 
Da definição da velocidade 
dt
d
  e tendo em conta que t.0   , podemos 
escrever dtd .  e substituindo  vem  dttd ..0   e integrando vem 
  
t
dttd
0
0 ..
0



 achamos finalmente que 200 .
2
1
. tt   . 
As equações t.0   e 
2
00 .
2
1
. tt   descrevem o movimento de rotação 
uniformemente variável. 
 
Velocidade e aceleração do ponto no caso do movimento de rotação do corpo 
 
Passemos agora a determinar a velocidade e a aceleração de um ponto arbitrário M do 
sólido que gira em torno de um eixo fixo. 
Vamos contar a coordenada em forma de s a partir da 
posição inicial 0M do ponto M conservando a mesma 
direcção positiva que é usada para a contagem do 
ângulo  . Neste caso, 
.Rs  
E o valor da velocidade do ponto M é dado por 
 


.. R
dt
d
R
dt
Rd
dt
ds
v  logo, .Rv  
Na forma vectorial este vector será escrito de forma 


..Rv  , sendo 

 o vector unitário tangente à S indicando a direcção de v

. 
Ja vimos que a aceleração normal e tangencial podiam ser definidas pelas equações: 
dt
dv
ae
R
v
a tn 
2
 com .Rv  podemos escrever: 
2
222
.
.


R
R
R
R
v
an  e 
 


 .
.
R
dt
Rd
dt
dv
a  logo 
 
2.Ran  e  .Ra  
O vector da aceleração será dado por: 
18 
 
nt aaa

 


.... 2 RnRa  
E o módulo da aceleração será: 
   222 ..  RRa  ou ainda 24.   Ra 
A direcção do vector da aceleração do ponto M pode ser determinado através do ângulo 
 , donde usando o triângulo rectângulo, temos: 
2

  
na
a
tg 
 
Em resumo, um movimento de rotação é 
cinematicamente definido pela função  t  , que 
caracteriza o ângulo de rotação, a cada instante. 
 
A velocidade v

de um ponto qualquer de um sólido, em 
movimento de rotação, é sempre perpendicular a z e ao 
vector posição r

 traçado de um ponto O qualquer, do 
eixo de rotação, e sua intensidade é dada por: 
 senrRv ...  
Isso leva nos a considerar 

 como um vector deslizante 
sobre o eixo de rotação, de tal sorte, que o seu momento 
em relação ao ponto M, é precisamente igual a velocidade do ponto M, visto que, 
 senr.. representa o modulo do produto vectorial de r

 com 

: 
rxOMxxMOv

  
O vector velocidade de qualquer ponto de um sólido que gira em torno de um eixo fixo é 
geometricamente igual ao produto vectorial do vector da velocidade angular do sólido 
pelo raio vector deste ponto traçado desde um ponto arbitrário do eixo de rotação. 
A expressão do vector aceleração do ponto M é obtida mediante a diferenciação da 
expressão de v

 com respeito a t segundo a regra de diferenciação do produto. Assim, 
19 
 
 
dt
rd
xrx
dt
d
dt
rxd
dt
vd
a






 , visto que temos 
 


dt
d
 e v
dt
rd 

 , a expressão da 
aceleração toma o seguinte aspecto: 
vxrxa

  
 
Movimento Composto (Complexo) 
Cinemática do movimento relativo 
(Aceleração de coriolis. Movimento absoluto, relativo e de transporte) 
Considerações gerais 
Um ponto em repouso em relação a um sistema de pontos, parecerá em movimento, se 
referirmos suas posições a um outro sistema de pontos , em relação aos quais os 
primeiros são móveis. Assim, por exemplo, um viajante sentado no banco de um trem , 
está em repouso em relação ao trem, mas em movimento em relação a estrada; e este 
movimento será ainda, completamente diferente se for reparado de um outro trem, 
também em movimento na estrada. É comum após uma parada na estação, ficarmos em 
dúvida se nosso trem que retomou a marcha, ou se foi o outro, com o qual crusamos. 
Os fenómenos mecânicos são relativos: tanto a trajectória , como a velocidade e a 
aceleração dependem, fundamentalmente, do sistema de referência. 
Suponnhamos que para além do sistema fixo de coordenadas Oxyz , examinamos o 
sistema de coordenadas zyxO  , preso num corpo S . deste modo, o movimento do 
triedro zyxO  repete o movimento do corpo . 
 
 
 
20 
 
Partindo da figura, obtemos para o ponto M o seguinte: 
rrr

 0 
Onde rer

 são os raios vectores absuluto, e relativo do ponto M. 
Para o sistema movel de coordenadas obtemos 
kzjyixr

 ... e por conseguinte, 
 kzjyixrr

 ...0 
Visto que o vector velocidade absuluta do ponto e 
dt
rd
va


 
Diferenciamos r

com repeito ao tempo 



















 






 k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
va



......0 
Devido ao deslocamento do sistema zyxO  , demodo geral, com o correr do tempo, os 
vectores unitarios keji

, , variam segundo a direcção. É por isso que as derivadas dos 
vectores unitários com respeito ao tempo fazem parte do primeiro parêntese. 
A velocidade de transporte po ponto M coincide com a velocidade absoluta deste, se o 
ponto M não se desloca com respeito ao corpo S, ou seja, se zeyx , não variam com 
o correr do tempo. Neste caso as três últimas parcelas de expressão acima são anuladas 
e chegamos ao vector da velocidade de transporte do ponto 
 
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
ve

 






 ...0 
A velocidade relativa do ponto é a velocidade do ponto no espaço do sistema móvel de 
coordenadas zyxO  . Por conseguinte, ela é determinada pela fórmula: 
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
vr







 ... 
 
Então podemos escrever que: 
 
21 
 
rea vvv

 
 
Que exprime o teorema da combinação das velocidades no movimento complexo do 
ponto. 
 
Sobre os eixo fixos das coordenadas OzeOyOx, a expressão acima toma o aspecto 
seguinte: 
 
 
r
x
e
x
a
x vvv  , 
r
y
e
y
a
y vvv  e 
r
z
e
z
a
z vvv  
 
Quando o corpo S realiza o movimento de translação, o triedro zyxO  desloca-se de 
modo paralelo a si mesmo, o que quer dizer que os vectores unitarios keji

, são 
contantes. Neste caso as últimas três parcelas da expressão de ev

 
são anuladas, o vector da velocidade do movimento de transporte do ponto M será: 
 
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
ve

 






 ...0 
0
0 v
dt
rd
ve





 Neste caso a velocidade de transporte do ponto M é igual à velocidade do 
movimento de translação do corpo S. 
 
Suponhamos que o corpo S gira em torno de um eixo fixo que cruza o ponto O . Neste 
caso, a primeira parcela da formula 
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
ve

 






 ...0 é anulada e nós 
obtemos a segunte fórmula para para o vector velocidade de transporte do ponto M: 
 
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
xve

 




 ... . 
 
 
 
22 
 
Velocidade de um ponto em coordenadas polares 
 
Já vimos que em geral as equações do movimento de um ponto em coordenadas polares 
são dadas por: 
   tetrr   
Resolvamos este problema como um exemplo de movimento complexo. 
Tratemos o r como uma haste S, 
enquanto o M será imaginado como um 
pequeno anel que se movimenta pela 
haste que gira. A equação de rotação da haste é  t  . 
Achamos a velocidade de transporte ev quando fixamos o anel M na haste que gira, 
sendo que a velocidade angular de rotação é 
dt
d
  , daí achamos o módulo da 
velocidade de transporte: 
dt
d
rrve

 ..  
O movimento relativo do anel é o movimento rectilíneo do anel ao longo da haste e o seu 
módulo será: 
dt
dr
vr  
Como os vectores das velocidades de transporte e relativa do ponto M são 
perpendiculares, o módulo da velocidade absoluta é achado como a diagonal do 
rectângulo que é constituido a partir dos vectores re vev

, veja a figura: 
 
 
 
 
 
rea vvv

 
22
rea vvv  
23 
 
22
2













dt
dr
dt
d
rva

 
O percurso do ponto M é achado mediante a fórmula: 
dt
dt
dr
dt
d
rdtvS
t
a
t
a .
0
22
2
0
 













 donde 



d
d
dr
rS .
0
2
2
 





 
Expressão que se obtém transformando a expressão que se encontra no interior da 
integral introduzindo dt na raíz e excluindo da raíz d . Substitituindo a variável de 
integração t por  na integral definida. 
 
Aceleração do ponto no Movimento Complexo 
Teorema de Coriolis sobre o movimento complexo. 
 
O vector aceleração absoluta aa

 do ponto M é igual a: 
dt
vd
a aa


 ; como 


















 






 k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
va



......0 ao diferenciar 
teremos: 
 







 

























 







dt
kd
dt
zd
dt
jd
dt
yd
dt
id
dt
xd
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
aa




....2
...
...
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
 
Se o ponto M for preso ao diedro zyxO  as duas ultimas parcelas entre parenteses 
são nulas e restarão as primeiras quatro parcelas da expressão obtida da diferenciação, 
que exprimem o vector aceleração de transporte ea

 do ponto: 
2
2
2
2
2
2
2
0
2
...
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
ae










 
 
24 
 
A aceleração relativa do ponto é a aceleração do ponto no espaço do sistema móvel de 
coordenadas zyxO  . Seu vector é determinado mediante a expressão: 
 
 
porém, a última parcela da formula do vector aa

denomina-se aceleração de Coriolis do 
ponto: 







 





dt
kd
dt
zd
dt
jd
dt
yd
dt
id
dt
xd
ac


....2 
 
Chegamos ao teorema de Coriolis sobre a combinação das acelerações: a aceleração 
do movimento absoluto do ponto, é a soma geométrica de três acelerações; a de 
transporte, a relativa e a de Coriolis, ou seja: 
crea aaaa

 
 
Projectando este vector sobre os eixo de coordenadas Oxyz, obtemos: 
 
Ox: 
c
x
r
x
e
x
a
x aaaa  Oy: 
c
y
r
y
e
y
a
y aaaa  Oz: 
c
z
r
z
e
z
a
z aaaa  
 
Vector aceleração de coriolis do ponto 
 
Passemos à análise da expressão 





 





dt
kd
dt
zd
dt
jd
dt
yd
dt
id
dt
xd
ac


....2 do vector da 
aceleração de coriolis. 
 
A grandeza 
dt
id 

pode ser interpretada como a velocidade do fim do vector unitário i 

 
que foi levado a um ponto fixo, ao ponto O por exemplo. Neste caso podemos escrever: 
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
ar







 ...
2
2
2
2
2
2
25 
 
ix
dt
id 



 onde 

 é o vector velocidade angular instantânea do triedro zyxO  do corpo 
S , da mesma forma escreve-se: 
jx
dt
jd 



 e kx
dt
kd 



 . 
Substituindo na expressão da aceleração de Coriolis podemos escrever: 
     











 kx
dt
zd
jx
dt
yd
ix
dt
xd
ac

 ....2 


















 k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
xac

...2  como k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
vr







 ... , é a velocidade 
relativa, podemos escrever: 
 rc vxa

2 
No movimento do ponto, a celeração de Coriolis deste é geometricamente igual ao dobro 
do produto vectorial da velocidade angular instantânea do triedro zyxO  pela velocidade 
relativa do ponto. 
O módulo da aceleração de Coriolis é dado por: 
 








rrc vsenva ,..2  
 
Aceleração do ponto em coordenadas polares 
Determinaremos a aceleração em cooordenadas polares como um exemplo do 
movimento complexo do ponto. Achamos a aceleração de transporte ea quando fixamos 
o anel M na haste em rotação cujas velocidade e aceleraçào angulares são: 
 
dt
d
  e 
2
2
dt
d
dt
d 
  
A componente tangencial da aceleração de transporte ea , é igual, segundo o módulo, a: 
26 
 
2
2
..
dt
d
rrae

  e é de sentido perpendicular ao raio polar, apontando para o 
lado determinado pelo sinal de 22 dtd  . A componente normal ena é de módulo igual a 
2
2 .. 






dt
d
rraen

 e é orientado segundo o raio polar, apontando para o centro O. 
Veja a figura 
 
 
 
 
 
 
 
O movimento relativo do ponto M é o movimento rectilíneo do anel pela haste, o módulo 
da aceleração relativa será dado por: 
 
2
2
dt
rd
ar  
O módulo da aceleração de Coriolis é igual a 
dt
dr
dt
d
senva rc ..290..2
0   , pois rve

 são perpendiculares. 
O vector da aceleraçãoabsoluta do ponto é determinado a partir da formula: 
cr
e
n
e
a aaaaa

  
em coordenadas polares as componentes da aceleração são dadas pelas expressões: 
2. rra ar  e   .2. rra
a  
logo o módulo da aceleração absoluta é achado como a diagonal do rectângulo 
construído a partir das componentes radial e transversal 
   22 aara aaa  
   222 .2..   rrrraa 