Circuito RC

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CIRCUITO RC
Alexandre Augusto Leal Martins
Bryan Robson Damasceno de Azevedo
BELO HORIZONTE 
2021
1.INTRODUÇÃO
1.1 CAPACITORES
Sabemos que é possível armazenar energia sob forma de energia potencial de
diversas maneiras. Podemos estender uma mola, comprimir um gás ou até elevar um
objeto com uma determinada massa. Uma outra forma de armazenar energia na forma
de energia potencial é através de um campo elétrico, e podemos fazer isso com o uso de
um dispositivo chamado capacitor.
O capacitor (ou condensador) e um dispositivo formado por duas placas
condutoras, contendo um material dielétrico entre elas, cuja característica principal é o
fato que quando aplicamos uma dada diferença de potencial entre esta placas, há o
acúmulo de uma quantidade de cargas elétricas nelas, positivas (+q) em uma e negativas
(−q) na outra. A quantidade de carga elétrica acumulada q e proporcional a diferença de
potencial aplicada. A constante de proporcionalidade entre a carga adquirida e a
diferença de potencial aplicada e chamada de capacitância e depende das dimensões do
capacitor (como a área das placas condutoras e a separação entre elas) e da
permissividade elétrica do isolante.
Figura 1- Representação de um capacitor. Fonte: Google Imagens.
1.2 EQUAÇÕES
Podemos então escrever a equação característica do capacitor como:
q=CVC 
Essa definição pode ser considerada como estática ou instantânea, relacionando
a voltagem no capacitor em um dado momento e o módulo da carga acumulada em cada
uma de suas placas. Como, em geral, medimos voltagens e correntes podemos
reescrever a equação acima em da corrente que passa no circuito do capacitor. Basta
lembrar que:
 i=dq
dt
 
Substituindo temos:
 i=C
dV C
dt
A equação nos mostra que somente teremos corrente no circuito se houver uma
variação da voltagem no capacitor V, ou seja, se o capacitor estiver se carregando ou
descarregando teremos corrente circulando.
A unidade de capacitância no SI é o Farad, representado pela letra F,
(1F=1C/1V). O farad é uma unidade muito grande e por isso os dispositivos disponíveis
comercialmente são designados por submúltiplos como, por exemplo o picofarad
(1pF=10-12).
2.1CIRCUITOS RC
Como mencionado anteriormente, se conectarmos uma fonte de tensão aos
terminais de um capacitor, aparecerá uma corrente elétrica no circuito enquanto a
diferença de potencial aplicada ao capacitor estiver variando no tempo, ou seja,
enquanto o capacitor estiver se carregando. Isso ocorrerá durante um breve intervalo de
tempo em que a fonte estiver sendo conectada. Esse tempo é chamado de transiente e
após ele a voltagem torna-se constante e a correte será nula.
Figura 2.1 - Circuito que contém uma fonte de tensão, um resistor e um capacitor. Fonte:
https://virtual.ufmg.br/20202/pluginfile.php/463196/mod_resource/content/1/Circuito_RC.pdf.
Se conectarmos a chave S na posição A, o capacitor se carregará. Pela lei de
malhas, que é equivalente à lei de conservação de energia no circuito, teremos:
V0= VR+VC
Qualitativamente o que vai ocorrer é: se o capacitor estiver completamente
descarregado no instante inicial (momento em que a chave é virada para a posição A),
VC=0V e, portanto, V0= VR=Ri, onde i é a corrente no circuito no instante t=0s. À
medida que o tempo passa VC vai aumentando (capacitor está se carregando), e VR
consequentemente vai diminuindo. Isso significa que em t=0s o valor de VC é mínimo
(VC=0V) e o valor de VR é máximo (VR=V0).
Se a chave ficar ligada na posição A por um tempo relativamente longo (o
significado de “relativamente longo” logo ficara claro), ao final desse tempo o capacitor
estará totalmente carregado e teremos VC = V0, VR = 0 V e a corrente não passará. Se
nesse momento passarmos a chave para a posição B, haverá um refluxo das cargas
acumuladas no capacitor, a corrente inverterá o sentido e o capacitor se descarregará.
Nesse caso, ´ como não existe bateria ligada no circuito, V0 = 0V e, pela lei das malhas,
VR + VC = 0, ou VR = − VC. A voltagem no capacitor, no caso, variara de V0 até zero.
2.2PERGUNTA
Mostre que, a carga q varia no tempo de acordo com uma função do tipo 
q ( t )=V 0C ¿
2.3 RESOLUÇÃO
Pela LTK temos:
V 0=¿Ri (t )+V C (t )¿ 
Então a chave estando ligada em A e o capacitor carregado chegamos à equação:
V 0=Ri ( t )+
q
C
Como i=dq/dt, essa equação pode ser escrita na forma:
V 0=
dq
dt
R+ q
C
 ou V 0−
dq
dt
R− q
C
=0
Nesse caso, temos um termo derivado em relação ao tempo e outro termo em sua
forma normal. Para resolver vamos separar os termos dq/dt e q/C. Assim,
conseguiremos resolver aplicando a função logarítmica:
−dq
dt
=
q−V 0C
RC
 →−dq
¿¿
Agora vamos integrar em dq e dt:
−∫
0
q
dq
(q−V 0C )
=∫
0
t
dt
RC
 → [−ln ⁡(q−V 0C) ]=[ tRC ]
ln (q−V 0C )−ln (0−V 0C )=
−t
RC
−(−0)
q (t )−V 0C=−V 0C e
−t
RC
Assim teremos que a carga q(t) varia com o tempo de acordo com a função:
q(t )=V 0C (1−e
−t
RC
)
2.4PERGUNTA
Mostre que, no processo de descarga, a variação da tensão nos terminais do capacitor
pode ser escrita como:
VC (t )=V 0e
−t
RC
2.5 RESOLUÇÃO
No processo de descarga sabemos que VR + VC = 0, ou VR = − VC. E a voltagem
no capacitor varia de V0 até zero. Substituindo as expressões para VR e VC por suas
equações características:
V 0=RC
dV C
dt
+V C
Integrando ficamos com:
VC (t )=V C (∞ )+[V C (0)−V C (∞) ]e
−t
RC
Onde VC (∞) é a voltagem no capacitor quando t→∞(capacitor completamente
carregado) e VC (0) é a voltagem no capacitor quando t→0 (capacitor descarregado).
Então VC (∞ )=V 0, assumindo que a voltagem das placas do capacitor é nula em t=0,
assim achamos:
VC (t )=V 0(1−e
−t
RC
)
A partir da equação vemos que o tempo necessário para o capacitor se carregar
depende de τ=RC. Esse produto é conhecido como constante de tempo do circuito. 
Usando a LKT obtemos VR: V R (t )=V 0−V C=V 0e− t /RC
Para descarga do capacitor temos que resolver:
V 0=R
dq
dt
+
q
C
Para V0=0, assumindo que o capacitor está completamente carregado no instante t=0.
Encontramos:
VC (t )=V 0e
−t /RC
2.6 PERGUNTA
Mostre que, num processo de descarga, em relação ao tempo, a tensão do
capacitor cai para 0,37 de seu valor inicial.
2.7 RESOLUÇÃO
As constantes de tempo que caracterizam o circuito podem ser obtidas da
definição: “é o tempo necessário para o argumento da exponencial se tornar -1.”
Assim:
VC (τ )=V 0 (1−e
−1 )→V 0 (1−0.37 )=0.63V 0
Ou seja, τ é o tempo necessário para que a voltagem em um capacitor,
inicialmente descarregado, atinja 63% do seu valor final da tensão da fonte.
Já para a descarga temos:
VC (τ )=V 0e
−1
=0,37 V 0
Isto significa que na descarga τ é o tempo necessário para o capacitor
atingir 37% do seu valor inicial da voltagem em t=0.
Podemos, também, obter o τ por um processo chamado meia-vida que
ocorre em funções exponenciais. Ele é o tempo necessário para a grandeza cair à metade
de seu valor inicial. Nesse caso, para a voltagem do capacitor atingir, na carga e
descarga, a metade do valor de V0.
Na carga:
VC (t 12 )
=
V 0
2
=V 0 [1−e
−t 1
2
RC
] → 1
2
=e
−t1/2
RC
Aplicando ln nos dois lados da equação:
t1 /2=RCln2
Na descarga:
VC (t 12 )
=
V 0
2
=V 0 e
−t 1
2
RC
t1 /2=RCln2
τ=
t1 /2
ln2
2.8 PERGUNTA
Mostre que τ tem unidade de tempo.
2.9 RESOLUÇÃO
τ=RC
Onde R é a resistência medida em ohms e C é a capacitância medida em Farad.
Sabemos que 1Frad equivale a 1Culomb/1Volt
Pela lei de Ohm:
V=Ri
R=V
i
=
1V
1 A
Sabemos que 1 ampere equivale a 1Culomb/1 segundo
Substituindo na fórmula:
τ=RC=
1V
1A
∗1C
1V
Fazendo as devidas simplificações ficamos com:
1C
1A
=
1C
1C /1 s
=1segundo
2.10 PERGUNTA
Um flash de uma máquina fotográfica tem basicamente como componentes um
capacitor e umresistor (a lâmpada). Considerando que a luz do flash deve ser intensa e
de curta duração, indique as características que devem ter esses dois componentes. 
2.11 RESOLUÇÃO
O capacitor armazena energia, como uma pilha, mas é capaz de liberar sua
energia de forma instantânea, muito rapidamente. Então, quando você liga o flash, a
primeira coisa que ele faz é carregar o capacitor, utilizando um pouco da energia das
baterias. Depois disso, fica aguardando o comando da câmera para disparar. Quando
acionado o botão de disparo, o flash vai até o capacitor, pega sua carga e manda para a
lâmpada, que se acende e apaga rapidamente. Em seguida, o flash pega novamente mais
um pouco da carga da pilha e recarrega o capacitor.
3. EXPERIMENTO
O experimento dessa semana consiste em obter as curvas de descarga de
um circuito RC e analisar as constantes de tempo capacitivas do mesmo circuito, porém
com dois resistores diferentes. O circuito a ser analisado é o da figura 2.1 que consiste
em um circuito série RC com uma fonte de tensão, um resistor (usaremos 2 para o
experimento) e um capacitor, com suas funcionalidades já discutidas anteriormente.
4. OBJETIVOS
 Obter curvas de descarga de um capacitor em um circuito RC
 Determinar as constantes de tempo capacitivas do circuito analisado.
5. MATERIAIS E MÉTODOS UTILIZADOS
5.1 MATERIAIS: 
 Computador com interface para aquisição de dados
 Sensor de tensão 
 Fios 
 Capacitor (C~2,2mF) 
 Dois resistores (~300W e ~10kW) 
 Fonte de tensão (~7VCC) 
5.2 MÉTODOS:
Através dos códigos de cores para resistores, foi determinado os valores
de R1 e R2. Foi montado o circuito da Figura 1 com qualquer um dos resistores. A
fonte foi colocada na posição de tensão mínima e a chave S foi posta na posição A
(processo de carga do capacitor). Após a familiarização com programa de
gerenciamento do sistema automático de aquisição de dados, foi estimada uma
frequência de medida para o sistema, de acordo com a equação: 
E foi considerado 200 pontos. O sensor de tensão (medidos) foi
conectado nos terminais a e b do capacitor e, a saída da fonte, foi ajustada para uma
tensão de cerca de 7 V. O processo de descarga foi iniciado desconectando a fonte
do circuito e ligando o capacitor diretamente ao resistor — chave S na posição B. A
aquisição dos dados foi iniciada, de forma a registrar, no computador, a queda da
tensão no capacitor em função do tempo. O procedimento foi repetido com o
segundo resistor, alterando a frequência para o novo valor de R.
6. RESULTADOS
Através do código de cores foram determinados os seguintes valores de
resistência para R1 e R2:
 R1 = (azul, cinza, marrom, ouro) −→ RI = 680Ω ± 5%
 R2 = (cinza, vermelho, vermelho, prata) −→ R2 = 8.2kΩ ± 10%
Através dos dados obtidos no experimento e usando um programa de construção
e análise de gráficos, foi gerados um gráfico (para os dois valores de R) com a curva de
descarga V x t para o circuito.
 Figura 5.1 – Gráfico de R1. Fonte: https://virtual.ufmg.br/20202/pluginfile.php/
 Figura 5.2 – Gráfico de R2. Fonte: https://virtual.ufmg.br/20202/pluginfile.php/
Calculando a constante de tempo capacitiva pela fórmula: τC = RC e
considerando sua incerteza por 7, temos seu valor teórico. Calculando a constante de
tempo capacitiva pelo o gráfico a partir da equação de ajuste da curva:
 
 Com a equação 
 
observamos que 
 C’ = 1/τ c
o que nos permite determinar os valores das constantes de tempo capacitivas de acordo
com cada resistor. Os resultados obtidos estão descritos abaixo.
Através da fórmula da incertezas:
Os resultados e a incerteza: 
 Tc - Calculado Tc – Gráfico 
 R1 (0.068 ± 0.25) (0.060 ± 0.16)
 R2 (0.82 ± 0.08) (0.74 ± 0.01)
7. CONCLUSÕES
Pode se observar a partir dos resultados obtidos pelo software, que em um
circuito que possui uma resistência elétrica mais elevada terá um intervalo de tempo
maior para descarregar completamente o capacitor. Confirmamos isso quando
calculamos os valores da constante de tempo capacitiva por meio da τc = RC, em que o
tempo e a resistência são diretamente proporcionais. E por fim, pode se observar que
comparando os valores de τc obtidos empiricamente aos valores calculados
teoricamente, alcançamos resultados semelhantes.