MAT 1101 - CD 5

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DETERMINANTES DE ORDEM 1
A = [a11] ⇒ det(A) = a11
DETERMINANTES DE ORDEM 2
a21 ⋅ a12 (produto dos elementos da diagonal secundária)
A = ⇒ = a11 ⋅ a22 – a21 ⋅ a12
a11 ⋅ a22 (produto dos elementos da diagonal principal)
Exemplo:
= 1 ⋅ 4 – 3 ⋅ 2 = –2
DETERMINANTES DE ORDEM 3
=
= a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 +
– a11 ⋅ a23 ⋅ a32 – a12 ⋅ a21 ⋅ a33 – a13 ⋅ a22 ⋅ a31
Os determinantes podem ser definidos a partir de permuta-
ções dos índices das colunas no produto a11 ⋅ a22 ⋅ a33 ... ⋅ ann.
No entanto, para obtê-los, usaremos métodos mais prá-
ticos que serão apresentados nesta e nas próximas aulas.
REGRA PRÁTICA DE SARRUS
(apenas para determinantes de ordem 3):
na direção da diagonal secundária:
– a31 ⋅ a22 ⋅ a13 – a32 ⋅ a23 ⋅ a11 – a33 ⋅ a21 ⋅ a12
na direção da diagonal principal:
+ a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32
Exemplo:
–0 –4 –10
+10 +12 +0
= 8
Exercícios
1. Calcule:
a) = 1 ⋅ 9 – 3 ⋅ 1 Resposta: 6
b) =
= sen2x + cos2x Resposta: 1
c) =
= 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72
Resposta: 0





1 2 3
4 5 6
7 8 9








senx –cosx
cosx senx






1 1
3 9








1 2 0
1 2 2
3 2 5





1 2
1 2
3 2 





1 2 0
1 2 2
3 2 5





a11 a12
a21 a22
a31 a32





a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33










a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33








1 2
3 4






a11 a12
a21 a22






a11 a12
a21 a22



A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um
único número, chamado de determinante de A e denotado,
indiferentemente, por det(A) ou por |A|.
Aula 39
DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3)
setor 1101
ALFA-5 85015058 5 ANGLO VESTIBULARES
11010508
2. Mostre que a equação
= 0
admite raízes reais, para qualquer constante real m.
x2 + 0 + m – mx – x – 0 = 0
x2 – (m + 1)x + m = 0
∆ = [– (m + 1)]2 – 4m
∆ = (m + 1)2 – 4m
∆ = m2 + 2m + 1 – 4m
∆ = (m – 1)2
Para todo real m, temos ∆ � 0
(c.q.d)
• Leia o item 1, cap. 2.
• Leia os exemplos 1 a 5, cap. 2.
• Resolva os exercícios 1 a 3, série 2.
• Resolva os exercícios 4 a 7, série 2.
• Resolva o exercício 10, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO





x 0 m
1 x 1
1 1 1





ALFA-5 85015058 6 ANGLO VESTIBULARES
MENOR COMPLEMENTAR
Exemplo:
Considerando a matriz A = e os menores com-
plementares dos elementos da sua primeira linha, temos
D11 = , D12 = , D13 = e, portanto,
D11 = 6, D12 = –1 e D13 = –4.
COFATOR
Exemplo:
Considerando os cofatores dos elementos da 1ª linha, no
exemplo acima, temos:
A11 = (–1)1 + 1 ⋅ D11 = (+1)(6) = 6
A12 = (–1)1 + 2 ⋅ D12 = (–1)(–1) = 1
A13 = (–1)1 + 3 ⋅ D13 = (+1)(–4) = –4
TEOREMA DE LAPLACE
Exemplo:
Escolhendo a 1ª- linha no exemplo anterior, temos:
det (A) = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13
det (A) = 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ (–4)
det (A) = 8
Exercícios
1. O valor do determinante é
a) 5
b) –5
c) 4
d) –4
e) 1






211 012 – 213 114
0 1 3 1
2 1 0 3
1 1 1 0












2 0 –2 1
0 1 3 1
2 1 0 3
1 1 1 0






O determinante de uma matriz de ordem n, n � 2, é a
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha
ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Sendo aij um elemento qualquer de uma matriz A de
ordem n, n � 2, chamamos de cofator (ou complemento
algébrico) de aij ao produto Aij = (–1)i + j ⋅ Dij.



1 2
3 2






1 2
3 5






2 2
2 5








1 2 0
1 2 2
3 2 5





Seja A uma matriz de ordem n, n � 2 e seja aij um ele-
mento qualquer de A.
Eliminando a linha i e a coluna j de aij obtemos uma ma-
triz de ordem n – 1, cujo determinante Dij é chamado de me-
nor complementar de aij.
Aula 40
DETERMINANTES: TEOREMA DE LAPLACE
= 2 ⋅ (– 1)1 + 1 ⋅ + 0 +
+ (– 2) ⋅ (– 1)1 + 3 ⋅ +
+ 1 ⋅ (– 1)1 + 4 ⋅ =
= 2(9 + 1 – 3) – 2 (3 + 2 – 1) – 1(6 – 3 – 2) =
= 14 – 8 – 1 = 5
2. O determinante igual a:
a) 1
b) –1
c) 0
d) 2
e) –2
= 2 ⋅ (– 1)1 + 2 ⋅ +
+ 1 ⋅ (– 1)4 + 2 ⋅ =
= – 2 (2 + 2 – 1 – 3) + 1 (2 + 3 – 1 – 4) =
= 0 + 0 = 0
• Leia os itens 2 e 3, cap. 2.
• Leia os exemplos 6 a 10, cap. 2.
• Resolva os exercícios 16 e 17(d), série 2.
• Resolva o exercício 17(a, b, c), série 2.
• Resolva o exercício 18, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO




1 1 0
2 1 1
3 1 2








2 1 1
3 1 2
1 0 1










1 212 1 0
2 0 1 1
3 0 1 2
1 142 0 1












1 2 1 0
2 0 1 1
3 0 1 2
1 1 0 1










0 1 3
2 1 0
1 1 1








0 1 1
2 1 3
1 1 0








1 3 1
1 0 3
1 1 0




ALFA-5 85015058 7 ANGLO VESTIBULARES
Sendo A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e k uma constante, temos as seguintes propriedades:
ALFA-5 85015058 8 ANGLO VESTIBULARES
Aula 41
DETERMINANTES: PROPRIEDADES
condição propriedade exemplo
B = At (transposta de A)
P1:
det (B) = det (A) A = e B = At = ⇒
det (B) = det (A) = –2
B é obtida de A, P2:
multiplicando-se uma det (B) = k ⋅ det (A) A = e B = ⇒
fila de A por um det(A) = –2 e det (B) = 10 ⋅ det (A) = –20
número k.
B = k ⋅ A
P3:
det (B) = kn ⋅ det (A) A = e B = ⇒
det (A) = –2 e det (B) = 102 ⋅ det (A) = –200
B é obtida de A, P4:
permutando-se duas det (B) = –det (A) A = e B = ⇒
fila paralelas. det (A) = –2 e det (B) = – det (A) = 2
Há, em A, duas filas
P5:
det (A) = 0 A = ⇒ det (A) = 0
paralelas iguais.
P6: (teorema de Binet):
det (A ⋅ B) = det (A) ⋅ det (B) A = , B = e AB = 
det (A) = –2, det (B) = 3 e det (AB) = –6
c1: A, B e C diferem em, P7:
no máximo, uma fila k.
c2: nesta fila k, cada det (C) = det (A) + det (B) A = , B = , C = 
elemento cij é igual a (diferem apenas na 2ª coluna)
aij + bij. det (C) = det (A) + det (B) = 6 + 2 = 8
Todos os elementos de P8:
A situados abaixo ou acima det (A) = a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 = 45 e = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 = 45
da diagonal principal é o produto dos elementos da
são nulos. diagonal principal.





1 0 0
4 5 0
7 8 9










1 2 3
0 5 6
0 0 9










1 2 0
1 2 2
3 2 5










1 1 0
1 1 2
3 2 5










1 1 0
1 1 2
3 0 5








7 2
17 4






3 0
2 1






1 2
3 4








1 2 1
4 5 4
7 8 7








3 4
1 2






1 2
3 4






10 20
30 40






1 2
3 4






10 20
3 4






1 2
3 4






1 3
2 4






1 2
3 4



Exercícios
1. Sabendo que = 2
Calcule: 
= 2 ⋅ 3 (–1) ⋅ =
= (– 6) ⋅ 2 = – 12
2. O determinante vale:
a) 0
b) 1
c) a + b
d) a + b + c
e) n.r.a.
= + = 0 + 0 = 0
3. Sendo A uma matriz de ordem 3 e detA = 4, calcule:
a) det (A2)
b) det (2A)
a) det (A2) = det (A ⋅ A)
= det A ⋅ det A
= (det A)2
= 42 = 16
b) det(2A)
↓
ordem 3
2A: as 3 linhas de A ficam multiplicadas por 2.
det (2A): de cada uma das 3 linhas sai um 2 em evi-
dência.
Assim: det (2A) = 23 ⋅ det A
det (2A) = 8 ⋅ 4
det (2A) = 32
• Leia o item 4, cap. 2.
• Resolva os exercícios 25, 27 e 20, série 2.
• Resolva os exercícios 21, 24, 28 e 29, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO




a d d
b e e
c f f








a d 2a
b e2b
c f 2c








a d 2a + d
b e 2b + e
c f 2c + f








a d g
b e h
c f i








2a 3d – g
2b 3e – h
2c 3f – i





2a 3d –g
2b 3e –h
2c 3f – i 





a d g
b e h
c f i 




ALFA-5 85015058 9 ANGLO VESTIBULARES
TEOREMA DE JACOBI
Exemplo 1:
⋅ (–1)
= 
Exemplo 2:
⋅ (–2) = 
e
⋅ (+1) 
= 
NOTA
Assim, por exemplo, temos
= 0, pois
(7, 8, 9) = 2 ⋅ (4, 5, 6) + (–1) ⋅ (1, 2, 3)
Exercícios
1. Calcule o determinante:
= = 
= 1 ⋅ ( 1)1 + 1 ⋅ =
= 1 ⋅ (– 4 + 21 – 12 – 21) = – 16
2. Resolvendo a equação na incógnita x, temos:
= 0
a) {0}
b) {0, –a}
c) {0, a}
d) {a}
e) {0, a, –a}
= 0
x ⋅ (– 1)1 + 1 ⋅ = 0
x ⋅ (x – a)3 = 0
x = 0
ou
x = a
S = {0, a}




x – a 0 0
x – a x – a 0
x – a x – a x – a





x11 a a a
0 x – a 0 0
0 x – a x – a 0
0 x – a x – a x – a

(– 1)
+
= 0 + 
+






x a a a
x x a a
x x x a
x x x x













x a a a
x x a a
x x x a
x x x x








0 1 3 
7 2 – 2
2 1 3


111 2 1 – 1
0 0 1 3
0 7 2 – 2
0 2 1 3

(– 2) (1) (– 3)
+
+ =
+






1 2 1 – 1
2 4 3 1
– 1 5 1 – 1
3 8 4 0













1 2 1 –1
2 4 3 1
–1 5 1 –1
3 8 4 0












1 2 3
4 5 6
7 8 9





Se, numa matriz quadrada, uma fila for igual a uma so-
ma de ‘múltiplos’ de outras filas paralelas, então seu determi-
nante é nulo.





1 2 3
4 5 6
0 0 0










1 2 3
4 5 6
–1 –2 –3










1 2 3
4 5 6
–1 –2 –3










1 2 3
4 5 6
7 8 9










1 2 0
0 0 2
3 2 5










1 2 0
1 2 2
3 2 5





Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se somarmos a
uma fila qualquer de A um ‘múltiplo’ de uma outra fila
paralela, obtemos uma matriz B, cujo determinante é igual ao
de A, isto é, det(B) = det(A).
ALFA-5 85015058 10 ANGLO VESTIBULARES
Aula 42
DETERMINANTES: TEOREMA DE JACOBI
• Leia o item 5, cap. 2.
• Resolva os exercícios 30 e 33, série 2.
• Resolva os exercícios 34 e 35, série 2.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
ALFA-5 85015058 11 ANGLO VESTIBULARES
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou
não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indi-
camos por A–1, tal que:
A ⋅ A–1 = A–1 ⋅ A = In
onde In é a matriz identidade de ordem n.
OBSERVAÇÃO
Pode-se provar que:
1º-) Se A ⋅ A–1 = I, então A–1 ⋅ A = I.
2º-) A é invertível se, e somente se, detA ≠ 0.
3º-) det A–1 = 
Exercícios
1. Determinar x de modo que a matriz
A = seja invertível.
Devemos ter det A ≠ 0
≠ 0
12 – 2x – 3 ≠ 0
2x ≠ 9
x ≠
2. Obtenha a matriz inversa da matriz:
A = 
I — det A = 2 → ( ∃ A– 1)
II — seja A–1 = 
A ⋅ A–1 = I → ⋅ = 
= 
a – c = 1 b – d = 0
2c = 0 ∴ c = 0 2d = 1 ∴ d = 
a – 0 = 1 ∴ a = 1 b – = 0 ∴ b = 
Resposta: A–1 =
1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2

1 0
0 1


a – c b – d
2c 2d


1 0
0 1


a b
c d


1 – 1
0 2


a b
c d


1 –1
0 2

9
2




1 0 2
2 x 1
1 3 0









1 0 2
2 x 1
1 3 0





1
det A
Aula 43
MATRIZ INVERSA


























3. Seja A = . O valor de x tal que det
é:
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
det A–1 = ⇒ det A = x – 1
det A = = 15 – 3 x
Assim:
x – 1 = 15 – 3x
4x = 16 ∴ x = 4
• Leia os itens 1 a 5, cap. 3.
• Resolva os exercícios 2 a 5, série 3.
• Resolva os exercícios 1, 6 e 8, série 3.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO

5 x
3 3

1
x – 1
A
x
–
–
1 1
1
=
5 x
3 3

ALFA-5 85015058 12 ANGLO VESTIBULARES
SISTEMA LINEAR
Tratemos, agora, dos sistemas de m equações a n incóg-
nitas x1, x2, ... xn, da forma
em que aij, 1 � i � m, 1 � j � n são constantes chamadas
de coeficientes e bi são constantes chamadas de termos inde-
pendentes.
Nestas aulas, consideraremos que incógnitas e constantes
sejam números reais, embora toda a teoria a ser vista também
seja válida com números complexos. Consideraremos, tam-
bém, que as incógnitas estejam numa mesma ordem nas
equações.
Exemplo:
Da reação química dada por xH2 + yO2 → zH2O, temos
2x = 2z e 2y = z. Temos o sistema linear de duas equações e
três incógnitas
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
exemplo:
Note que (0, 0, 0) e (2, 1, 2) são soluções de 
.
Na verdade, esse sistema admite infinitas soluções e todas
elas são da forma (2α, α, 2α). Podemos afirmar que o con-
junto solução desse sistema é {(2α, α, 2α)}, em que α ∈ IR.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
Levando em conta o número de soluções, temos a seguinte
classificação de sistemas:
determinado
possível
sistema indeterminado
impossível
• um sistema possível e determinado (spd) admite uma única
solução
2x + 0y – 2z = 0
0x + 2y – 1z = 0
1
2
3
Um conjunto ordenado de números (k1, k2, ... kn) será
uma solução do sistema se, e somente se, substituindo x1 por
k1, x2 por k2, ... e xn por kn, nas m equações, obtivermos
todas as igualdades verificadas.
2x + 0y – 2z = 0
0x + 2y – 1z = 0
1
2
3
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
1
4
4
2
4
4
3
Aula 44
SISTEMAS LINEARES: APRESENTAÇÃO E REGRA DE CRAMER
• um sistema possível e indeterminado (spi) admite mais que
uma solução
• um sistema impossível (si) não admite solução
Exemplos:
a) O sistema é possível e determinado; seu
conjunto solução é {(5, –1, 1)}.
b) O sistema é possível e determinado; seu
conjunto solução é ((0, 0, 0)).
c) O sistema é possível e indeterminado; seu
conjunto solução é {(5, α, –α)}.
d) O sistema é impossível, seu conjunto solu-
ção é ∅ .
SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL
Todo sistema linear de m equações a n incógnitas pode
ser expresso na forma Am ×× n ⋅⋅ Xn ×× 1 = Bm ×× 1, em que A é a
matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é
matriz dos termos independentes.
Exemplo:
O sistema pode ser representado por
= 
TEOREMA
Um sistema linear de n equações a n incógnitas é possível
e determinado se, e somente se, o determinante da matriz A
(dos seus coeficientes) é diferente de zero.
Note que, nesse caso, temos:
A ⋅ X = B
A–1 ⋅ (A ⋅ X) = A–1 ⋅ B
(A–1 ⋅ A) ⋅ X = A–1 ⋅ B
I ⋅ X = A–1 ⋅ B ∴ X = A–1 ⋅ B
Obs.: Se o determinante de A for igual a zero, haverá neces-
sidade de mais um estudo, pois teremos dois casos possíveis:
1º: o sistema é possível e indeterminado;
2º: o sistema é impossível.
A REGRA DE CRAMER (Caso Particular)
Considere o sistema , a coluna e os de-
terminantes:
D = = ad – bc
Dx = = rd – sb (a coluna de x foi substituída)
Dy = = sa – rc (a coluna de y foi substituída)
Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado, e
Justificativa:
Multiplicando, membro a membro, a primeira equação por d e
a segunda por b, temos
Subtraindo membro a membro resulta a equação
(ad – bc)x = rd – sb, isto é, D ⋅ x = Dx.
Sendo D ≠ 0, temos 
Do sistema dado, temos, multiplicando, membro a membro, a
primeira equação por c e a segunda por a,
Subtraindo membro a membro, resulta a equação 
(ad – bc)y = sa – rc, isto é, D ⋅ y = Dy.
Sendo D ≠ 0, temos 
REGRA DE CRAMER
y
D
D
y= .
acx + bcy = rc
acx + ady = sa
x
D
D
x= .
adx + bdy = rd
bcx + bdy = sb

x
D
D
e y
D
D
x y= = .
a r
c s

r b
s d


a b
c d

r
s

ax + by = r
cx + dy = s




5
0




x
y
z




1 1 1
0 1 1



x + y + z = 5
y + z = 0

Um sistema linear em que os termos independentes bi
são todos nulos é chamado de sistema linear homogêneo.
Note que estes sistemas são, em todos os casos, possíveis,
pois admitem a solução (0, 0, ..., 0).
x + y + z = 5
y + z = 0
y + z = 2

x + y + z = 5
y + z = 0

x + y + z = 0
y + z = 0
2z = 0

x + y + z = 5
y + z = 0
2z = 2

ALFA-5 85015058 13 ANGLO VESTIBULARES
Seja D o determinante da matriz A dos coeficientes de
um sistema linear de n equações a n incógnitas x1, x2, ... xn.
O sistema será possível e determinado se, e somente se, 
D ≠ 0 e, nesse caso, cada incógnita é dada por , em 
que Di é o determinante da matriz obtida de A pela subs-
tituição da ia coluna pela coluna dos termos independentes.
x D
D
i=
Exercícios
1. Resolver, aplicando a regra de Cramer:
D = = 2
Dx = = – 2
Dy = = 4
Dz = = 4
Logo, x = = – 1
y = = 2
z = = 2
S = {(– 1, 2, 2)}
2. Para que valores de m o sistema:
é possível e determinado?
a) m ≠ 3 d) m = 6
b) m ≠ –3 e) ∀ m, m ∈ IR
c) m ≠ 6
Devemos ter: D ≠ 0
≠ 0 ∴ 2m – 12 ≠ 0
∴ m ≠ 6
3. Resolver pela Regra de Cramer:
D = = a – b
Dx = = b – a = – (a – b)
Dy = = a2 – b2 = (a + b)(a – b)
x = = = – 1
y = = = a + b
S = {(– 1, a + b)}
• Leia os itens 1, 2, 3, 5 e 6, cap. 4.
• Resolva os exercícios 1, 2 e 11(a), série 4.
• Resolva os exercícios 11(c, d) e 12, série 4.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
(a + b) (a – b)
a – b
Dy
D
– (a – b)
a – b
Dx
D

a b
b a


b 1
a 1


a 1
b 1

ax + y = b
(a ≠ b)
bx + y = a

m 3
4 2

mx + 3y = 7
4x + 2y = 9

Dz
D
Dy
D
Dx
D




1 1 1
–2 3 2
1 0 1








1 1 0
–2 2 – 3
1 1 1








1 1 0
2 3 – 3
1 0 1








1 1 0
–2 3 – 3
1 0 1




x + y = 1
–2x + 3y – 3z = 2
x + z = 1

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2
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