EE_R_09_10_Res

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Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de 
Computadores 
 
CIRCUITOS 1º ano – 2009/2010 20 de Julho de 2010 
RECURSO - Duração 2h 30m - sem consulta 
0.2Ω 0.4Ω 
0.1Ω 0.1Ω 
A 
B 
 
1. O seguinte circuito representa a ligação em paralelo de duas baterias com as suas 
resistências internas e as resistências dos 
cabos de ligação: 
 
a) Determine o equivalente de Thevenin visto 
dos terminais A e B. [2 valores] 
 
 
 
Como o circuito só tem fontes independentes, podemos obter o circuito equivalente de 
Thevenin calculando a resistência equivalente vista dos terminais A e B (RTH) e a tensão em 
circuito aberto nos pontos A e B (VTH). 
Cálculo de RTH: anulando as fontes de tensão (i.e. trocando-as por curto-circuitos) ficamos 
com o circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RTH = 0.4 + ( 0.1 || ( 0.2 + 0.1 ) ) = 0.4 + ( 0.1 x 0.3) / ( 0.1 + 0.3 ) = 0.475 Ω 
 
A tensão em circuito aberto pode ser calculada facilmente aplicando o princípio da 
sobreposição. Anulando a fonte da direita, a tensão entre A e B é determinada pelo divisor 
de tensão: 
 
 
 
 
 
 
 
 VAB1 = 12 x 0.1 / (0.1 + 0.2 + 0.1) = 3V 
0.2Ω 0.4Ω 
0.1Ω 
0.1Ω 
A 
B 
12 V 
+ 
- 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 2/10 
0.2Ω 0.4Ω 
0.1Ω 
0.1Ω 
A 
B 
12 V 
+ 
- 
0.2Ω 0.4Ω 
0.1Ω 
12 V 
+ 
- 
2Ω 
 
12 V 
+ 
- 
Anulando a fonte da esquerda: 
 
 
 
 
 
 VAB2 = 12 x ( 0.1 + 0.2) / (0.1 + 0.2 + 0.1) = 9 V 
 
A tensão equivalente de Thevenin é a soma das duas: VTH = 12 V 
 
b) Calcule a corrente em cada uma das fontes de tensão, supondo uma carga de 2 Ω 
ligada entre os terminais A e B. [2 valores] 
 
Ligando a resistência de 2 entre A e B ficamos com um circuito que pode ser resolvido 
facilmente com análise nodal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (V1-12) / 0.3 + (V1-12) / 0.1 + V1 / 2.4 = 0 (equação de correntes no nó indicado) 
 V1/0.3 - 40 + 10 V1 - 120 + V1 / 2.4 = 0 
 V1 = 160 / ( 1/0.3 + 10 + 1/2.4 ) = 11.64 V 
 
Conhecendo a tensão V1, a corrente em cada fonte pode ser calculada pela lei de Ohm (com 
os sentidos indicados na figura): 
fonte da esquerda: I1 = (12 - 11.64) / ( 0.1 + 0.2 ) = 1.2 A 
fonte da direita: I2 = (12 - 11.64) / 0.1 = 3.6 A 
 
2. A figura mostra um circuito com 2 interruptores, I1 e I2. O circuito foi construído 
em 1 de Janeiro de 2000, com o interruptor I1 na posição A e o interruptor I2 na 
posição A (situação mostrada na figura). Hoje, 20 de Julho de 2010, aconteceu o 
seguinte: 
+ 
 vc(t) 
- 
20µF 
100Ω 
10 V 
I1 
 
100Ω 
100Ω 
+ 
- 
A 
B 
R 
A 
B 
I2 
 
0.1A 
V1 
I2 I1 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 3/10 
+ 
 vc(t) 
- 
20µF 
100Ω I1 
 
100Ω 
 + 
- 
B 
a) Exactamente às 12h o interruptor I1 trocou da posição A para a posição B, 
mantendo-se o interruptor I2 na posição A. Determine os valores da tensão vc(t) 
passados 8 ms e passado 1 minuto (i.e. às 12h 01m). [2 valores] 
 
Estando os interruptores nas posições indicadas desde Janeiro de 2000, e sabendo que a 
constante de tempo desse circuito é 20 x 300 µs = 6 ms, podemos afirmar que a tensão no 
condensador já atingiu o valor final igual a 0V (ou descarregou completamente). 
Assim, o valor inicial da tensão no condensador no instante t=0 (ou às 12h do dia 20 de 
Julho de 2010...) será igual a 0V. 
 
 
 
 
 
 
Quando o interruptor I1 troca para a posição B, passamos a ter o circuito seguinte: 
 
 
 
 
 
 
O valor final da tensão no condensador, quando t→→→→∞∞∞∞ é igual ao valor da fonte de tensão 
(10V) e a constante de tempo é igual 200 x 20 µs = 4 ms 
A expressão para Vc(t) é: 
 Vc(t) = Vf + ( Vi - Vf ) e -t/ττττ Vc(t) = 10 + ( 0 - 10 ) e -t/4 (com t em ms) 
Para t=8 ms: 
 Vc(8ms) = 10 - 10 e -2 = 8.65 V 
Para t=1 min podemos afirmar que vc(t) é praticamente igual ao valor final, uma vez que 
já decorreu um tempo igual a 60000 / 4 = 15000 constantes de tempo! 
(e-15000 = 3.8 x 10 - 6515...) 
 
+ 
 vc(t) 
- 
20µF 
100Ω I1 
 
100Ω 
100Ω 
A 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 4/10 
+ 
 vc(t) 
- 
20µF 
100Ω 
 
b) A seguir, às 12h 01m, o interruptor I2 troca para a posição B (e o I1 continua na 
posição B). Apresente, justificando devidamente, a expressão que representa a 
tensão vc(t) a partir desse instante [2 valores] 
 
No instante de tempo referido a tensão no condensador é igual a 10V (valor inicial). 
Quando o interruptor I2 troca para a posição B é inserida a fonte de corrente no circuito: 
 
 
 
 
 
 
Quando o tempo tende para infinito o condensador comporta-se como um circuito aberto e 
por isso a tensão final nos terminais do condensador coincide com a tensão nos terminais 
da fonte de corrente (ignorando a resistência de 100Ω do lado direito). Como a fonte de 
corrente impõe uma corrente de 0.1A na única malha do circuito (com o sentido indicado), 
a tensão pretendida é a soma da tensão na resistência de 100 (0.1A x 100 Ω) com a tensão 
da fonte ideal de tensão (10V), ou seja, 20V. 
A constante de tempo é a mesma calculada para a), 4 ms 
A expressão final para vc(t) é: vc(t) = 20 + ( 10 - 20 ) e -t/4 (com t em ms) 
c) Depois, às 12h 30m, o interruptor I1 avariou tendo ficado desligado de ambas as 
posições, não dando por isso continuidade do circuito a partir desse ponto. Diga, 
justificando, de que forma varia a tensão vc(t) a partir desse instante. [1 valor] 
Nas condições referidas o circuito fica transformado no seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
A fonte de corrente ideal produz 0.1A sempre (por isso é que é ideal!) e essa corrente vai 
"entrar" no condensador, carregando-o. Note que neste caso não é possível utilizar a 
expressão geral que representa a tensão nos terminais do condensador num circuito RC 
porque essa expressão apenas é válida para circuitos RC quando submetidos a uma 
transição brusca (ou degrau) da tensão que é aplicada à série RC. 
+ 
 vc(t) 
- 
20µF 
100Ω I1 
 
100Ω 
10 V 
+ 
- 
B 
0.1A 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 5/10 
Neste caso é necessário que recorrer à relação diferencial entre a tensão e corrente num 
condensador: 
 i(t) = C d/dt vc(t) ou vc(t) = 1/C ∫ i(t) dt + vc(0) 
Se i(t) é constante, então como vc(t) é proporcional ao integral de i(t) será uma recta com 
declive positivo igual a 1/C, partindo do valor inicial de vc(t) igual a 10V, já determinado 
em b): 
 vc(t) = 1 / 20x10-6 x 0.1 t + 10 = 5000 t + 10 
 
3. Considere o circuito representado pela figura seguinte. As fontes de tensão 
independentes são sinusoidais e de igual valor: 230cos(2π50t+π/4) Vef. 
 
 
 
a) Determine o valor da tensão V aos terminais do condensador recorrendo a análise 
nodal. [2 valores] 
Tomando o nó B como nó de referência e chamando Vs à tensão das duas fontes 
independentes (que são iguais), a equação de correntes no nó A é: 
 (V - Vs) / (1+j6) + V / (-j10) -j0.1V + (V - Vs)/(1+j6) = 0 
 (V - Vs) / (1+j6) + jV /10 -j0.1V + (V - Vs)/(1+j6) = 0 
 (V - Vs) / (1+j6) + (V - Vs)/(1+j6) = 0 
 V = Vs 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 6/10 
b) Assuma V=230 /0º Vef. Nesta condição, determine a potência complexa absorvida 
pelo condensador de –j10 Ω. [1 valor] 
A potência complexa pode ser calculada como (sendo V e I valores eficazes): 
 S = V x I* = V x V* / Z* = |V|2 / Z* 
Com os dados disponíveis (conhece-se V e Z) é mais conveniente usar a terceira expressão: 
 S = 2302 / (j10) = -j5290 = 5290 /-90º 
c) Imagine que substitui a fonte de corrente dependente, entre os nós A e B, por uma 
impedância Z e que V mantém o valor 230 /0º Vef. Determine o valor da 
impedância Z, sabendo que a potência activa absorvida e o factor de potência, no 
total de carga correspondente ao paralelo de Z com o condensador de –j10 Ω, é 
300W e 0,9 indutivo, respectivamente. [2 valores] 
Conhendo a potênciaactiva e o factor potência podemos determinar a potência complexa S 
e a potência reactiva Q absorvida pelo conjunto: 
 S = P + jQ com P = |S| cosϕϕϕϕ e Q = |S| senϕϕϕϕ (ϕϕϕϕ = arccos(0.9) = +25.84º) 
 |S| = 300 / 0.9 = 333.33 VA 
 Q = 333.33 sen(25.84º) = 145.30 VAR 
Como se sabe que o condensador absorve -5290 VAR de potência reactiva e o paralelo 
absorve 145.30 VAR, então a impedância Z terá que absorver 145.30 + 5290 = 5435.3 VAR 
Assim, a potência complexa absorvida pela impedância Z é Sz = 300 + j 5435.3 
Como conhecemos a tensão eficaz aplicada à impedância Z, pode-se obter Z aplicando a 
expressão usada na b) (|V| representa o módulo do valor eficaz da tensão, 230 V) 
 S =|V|2 / Z* ou Z* =|V|2 / S = 2302 / ( 300 + j5435.3) = 0.536 - j 9.70 Ω 
 
4. Para caracterizar o quadripolo efectuaram-se as ligações ilustradas na figura. 
Nestas condições fez-se a medição da tensão Vr nos terminais da resistência de 1 kΩ 
e da corrente I2 tendo-se obtido os valores de 1V e -50 mA respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
200Ω 
 + 
3V 
 - 
 
I2 
 
I1 
1kΩ 
 + 
V1 
 - 
 + 
 V2 
 - 
quadripolo 
+ Vr - 
 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 7/10 
a) Calcule o valor da impedância de entrada do quadripolo. [1 valor] 
 
A impedância de entrada é dada por Zin = V1 / I1. 
Conhecendo a tensão na resistência de 1 kΩ podemos escrever a equação de tensões na 
malha do lado esquerdo para calcular V1: 
 - 3 +1 +V1 = 0 V1 = 2V 
Com o valor da tensão Vr podemos calcular I1 pela lei de Ohm: 
 I1 = Vr / 1k = 1 / 1k = 1 mA 
(Erro frequente: calcular I1 como se fosse igual a 3V / 1 kΩ. Não é!) 
A impedância de entrada é: 
 Zin = 2V / 1mA = 2 kΩ 
b) Calcule o valor do ganho em tensão V2/V1. [1,5 valores] 
 
Conhecendo o valor de I2 podemos determinar V2. Note que como a corrente I2 entra pelo 
terminal "-" da resistência, o valor de V2 é - I2 x R2: 
 V2 = - (-50) x 0.2 = 10V 
O ganho em tensão é V2 / V1 = 10 / 2 = 5 (note que o ganho em tensão não tem unidades!) 
 
Problema extra (Para os alunos do Grupo A) 
5A. O seguinte oscilograma representa o sinal de saída de um gerador de sinal, onda 
sinusoidal, (Ch 1), que é a entrada do circuito passa-alto representado na figura. O 
sinal de tensão na resistência é representado também no oscilograma (Ch 2). 
 
 
Escala temporal: 250 µs/div 
Escala vertical: 0.5 V/div 
 
 
 
 
VR(Ch 2) 
 
 
 
 - 
 
+ 
 R 
C 
- 
 
Visin(wt) 
(Ch 1) 
 
+ 
 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 8/10 
 
 
 
 
 
a) Relativamente ao oscilograma mostrado diga qual é o valor de: [2 valores] 
i. Amplitude pico-a-pico do sinal de entrada (Ch1). 
(a azul): 4 divisões = 2V 
ii. Amplitude pico-a-pico do sinal de saída (Ch2). 
(a laranja): 2.8 divisões = 1.4V 
iii. Período e frequência dos sinais. 
Os dois sinais têm o mesmo período e frequência: 
(a verde) período T: 8 divisões = 2 ms, frequência = 1/T = 500 Hz 
iv. Desfasamento entre ondas, considerando o canal 1 (Ch1) como referência. 
(a violeta): o sinal do canal 2 está avançado de 1 divisão = 0.25 ms em relação ao sinal 
do canal 1; isto corresponde a 1/8 do período ou 45º de fase. 
b) Continuando a considerar a tensão Vi como referência determine a amplitude e 
fase da tensão no condensador e esboce um oscilograma em que sejam visíveis os 
três sinais (Vi, VC e VR). [1,5 valores] 
A tensão no condensador, com o sentido indicado na figura, é dada por Vi - VR. Para 
representar graficamente esse sinal basta obter alguns pontos "fáceis" de calcular (p. ex 
Vi=VR, Vi=0 ou VR=0, indicados a vermelho) e esboçar uma sinusóide que passe por esses 
pontos: 
 
 
 
Pelo gráfico desenhado, pode medir-se 1.3 divisões de amplitude (0.65V ou 1.3V pico-a-
pico) com um atraso de 1 divisão (45º) em relação ao canal 1. 
Podemos confirmar estes resultados com a resolução analítica do circuito dado, tendo por 
base os valores medidos no gráfico dado: 
 Vi = 1 /0º 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 9/10 
 VR = 0.7 /45º 
 Vc = Vi - VR = 1 - (0.495 + j 0.495) = 0.505 - j0.495 = 0.707 /-44.4º 
 
Problema extra (Para os alunos do Grupo B) 
5B. No circuito representado na figura a seguir, a corrente fornecida pela fonte de 
tensão independente é If = 0,12 - j0,16 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a impedância equivalente do circuito que está ligado aos terminais da 
fonte de tensão independente. [1,5 valores] 
 
A impedância equivalente do circuito que está ligado aos terminais da fonte de tensão 
independente, isto é a impedância equivalente vista dos terminais da fonte, pode ser 
calculada dividindo o valor da tensão da fonte pela corrente que ela fornece. Assim: 
 Zeq = 1 /0º / (0.12 -j0.16) = 3 + 4j = 5 /53.13º 
 
b) Calcule a reactância do condensador a colocar em paralelo com a fonte de 
tensão independente para que o factor de potência a que a fonte está a trabalhar 
seja 0,8 indutivo. [2 valores] 
 
O factor de potência a que a fonte estava a trabalhar pode ser calculado como o co-seno 
do ângulo de fase da impedância equivalente calculada na alínea anterior, isto é 
cos(53,13º) = 0,6 indutivo. 
O novo circuito que se obtém depois de acrescentar o condensador está representado no 
esquema a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
O novo factor de potência pode ser obtido de forma análoga, considerando agora a 
impedância equivalente do paralelo do condensador com a impedância 3+j4 ΩΩΩΩ. Para que o 
−j4 ΩΩΩΩ 
If 
1/0
o
 V 
j2 ΩΩΩΩ 
0,5If 
2 ΩΩΩΩ 
+ 
−−−− 
 
+ 
−−−−
 
jXC 
If 
1/0
o
 V 3+j4 ΩΩΩΩ 
 
Circuitos 2009/2010 - Resolução da prova de recurso de 20 de Julho de 2010 10/10 
valor deste factor de potência seja agora 0,8 indutivo, a fase da nova impedância 
equivalente do paralelo deve ser igual a arcos(0,8)=36,87º. 
Para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com a admitância equivalente, que, 
tratando-se de um paralelo, é a simplesmente a soma das duas admitâncias. Assim: 
( )
( )
C in
C
C
C
C
C
C
1 1
Y Y Y Y 36,87º S
3 4 jX
1
0,16
X1
Y 0,12 0,16 j Y 36,87º Y
X 0,12
1
0,16
X
36,87º 0,75
0,12
1 7
0,75 0,12 0,16 0,07
X 100
100
X
7
eq eq
eq eq eq
j
j arctg
tg
S
= + = + = ∠ −
+
  
− +  
  = − − = ∠ − = ∠
 
  
 
+
− = − = −
= × − = − = −
= − Ω
 
 
 
Outra forma (de interpretar a resolução, os cálculos são praticamente os mesmos!) 
Conhecendo a corrente que a fonte fornece, o factor potência é o co-seno do ângulo de fase 
entre a tensão e a corrente, ϕϕϕϕ = θθθθv-θθθθi. Como a fase da tensão é zero (valor dado), então ϕϕϕϕ 
será o simétrico do ângulo de fase da corrente. 
A corrente If é conhecida e é a que passa na impedância 3 + j4. Ao colocar um condensador 
com reactância X em paralelo com essa impedância, vai somar-se a If uma corrente dada 
por: 
 Ic = 1/0º / (jXc) = - j/Xc 
Assim, a corrente If1 que a fonte passa a fornecer é a soma das duas: 
 If1 = (0.12 - j0.16) - j/Xc = 0.12 - j(0.16 + 1/Xc) 
Como queremos que o factor potência passe a ser igual a 0.8 indutivo, o ângulo de fase da 
corrente If1 tem de ser igual a -acos(0.8) = -36.87º: 
 
 atan( -(0.16 + 1/Xc) / 0.12 ) = -36.87º 
 
 Xc = -100/7 Ω