Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Rômulo de Oliveira

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Analise de Circuitos em
Corrente Alternada Romulo
Oliveira Albuquerque
Circuitos Elétricos
Universidade Politécnica (A POLITÉCNICA)
168 pag.
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CIRCUITOS EM CORRENTE 
ALTERNADA 
 
Para voce que esta começando o estudo de circuitos em CA 
usando simuladores, congratulações. Este é o caminho. Quero 
lembrar que as introduções teóricas estão resumidas e que você 
pode encontrar mais na bibliografia citada abaixo. Cada aula tem 
uma ou mais experiências virtuais usando o simulador 
MultiSIM2001 e MicroCap8. 
 Para que você compreenda melhor todos os itens sugerimos que 
instale no seu computador esse software. As aulas são 
seqüenciais, não "pule" aulas. Para compreender a aula 
subseqüente é importante entender a anterior. Faça os exercícios 
propostos, resolva os testes, use o simulador, mas acima de tudo 
estude com afinco todas as aulas . Além do material aqui disponível 
procure adquirir um dos livros das bibliografia citada. Boa sorte !! 
Rômulo Oliveira Albuquerque 
Autor 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Rômulo Oliveira 
Albuquerque - Editora Erica 
 Índice de Aulas 
 
Aula01 Tensão Alternada - Tensão Senoidal - Circuito Resistivo em CA 
Aula02 Transformador de Tensão 
Aula03 Capacitor- Capacitor em Corrente Continua 
Aula04 Capacitor em Corrente Alternada - Circuito Puramente Capacitivo 
Aula05 Capacitor em Corrente Alternada -Circuito RC Serie 
Aula06 Capacitor em Corrente Alternada - Circuito RC Paralelo 
Aula07 Indutor em Corrente Alternada - Indutor 
Aula08 Indutor em Corrente Alternada - Circuito RL Serie 
Aula09 Indutor em Corrente Alternada - Circuito RL Paralelo 
Aula10 Circuito RLC Serie - Ressonância 
Aula11 Circuito RLC Paralelo - Ressonância 
Aula12 Filtros Passivos - Filtro Passa Altas 
Aula13 Filtros Passivos - Filtro Passa Baixas 
Aula14 Aplicações de Filtros - Diferenciador 
Aula15 Aplicações de Filtros - Integrador 
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Aula16 Aplicações de Filtros - Filtro Como Separador de Sinais 
Aula17 Correção do Fator de Potência 
Aula18 Circuitos Mistos 
Aula19 Circuitos Trifásicos - Ligação Estrela 
Aula20 Circuitos Trifásicos - Ligação Triangulo 
Exercicios Lista e Provas 
Testes1 Testes com múltiplas alternativas 
Respostas Respostas passo a passo do livro A.C.C.A 
Testes2 Exercícios de eletricidade básica em CA - osciloscópio 
 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula01: Tensão Alternada - Tensão Senoidal - Circuito Resistivo 
em CA 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
1. Tensão Continua. 
 
Como você bem sabe, uma tensão é chamada de continua ou constante 
pois o seu valor não se altera com o tempo. Exemplo de geradores que 
geram tensão continua são as pilhas e as baterias. A Fig01 mostra o 
aspecto físico, símbolo e curva da tensão em função do tempo deste tipo 
de gerador. 
 
 ( a) ( b ) ( c ) 
Fig01: Gerador de tensão continua - ( a ) Aspecto físico ( b ) Símbolo e 
( c ) gráfico da tensão em função do tempo 
 O gráfico da figura 1 mostra o comportamento da tensão nos terminais da 
bateria ao longo do tempo: A tensão não muda, permanece constante. 
2. Tensão Alternada 
 É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do 
tempo. Conforme o comportamento da tensão então temos os 
diferentes tipos de 
tensão: Senoidal,quadrada, triangular, pulsante, etc. 
De todas essas, a senoidal é a que tem um maior interesse pois é 
a tensão que é gerada nas usinas e que alimenta as industrias e 
residências. Antes de estudarmos mais a fundo a tensão senoidal, 
vamos procurar conceituar melhor a tensão alternada. Seja o circuito 
da Fig02, no qual temos duas baterias e uma chave que ora conecta 
a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor. Vamos 
supor que cada bateria fica conectada ao resistor durante 1s. Como 
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seria o gráfico da tensão em função do tempo nos terminais da 
bateria ? 
 
 ( a ) 
 ( b ) 
Fig02: Gerando uma tensão alternada quadrada - ( a ) Circuito ( b ) 
Tensão em função do tempo 
Observe 
que: 
 
O valor negativo significa que a polaridade da tensão mudou. O tempo 
que leva para repetir uma mesma situação é 2s, sendo chamado de 
período (T). O valor máximo da tensão é 12V (com qualquer polaridade, 
sendo chamado de valor de pico ou valor máximo VM). A seguir 
estudaremos mais em detalhes a tensão senoidal. 
3. Tensão Senoidal 
É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal, 
portanto nesse caso temos uma expressão matemática para expressar a 
tensão. A expressão matemática é : 
 
ou em função do angulo 
 
 Onde VM (em V) é o valor de pico (valor maximo que a tensão pode ter) 
e 
w em (rd/s) é a freqüência angular 
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 q0 em (rd ou graus) é o angulo de fase inicial, q é o ângulo num 
determinado instante t. 
Observe que a relação entre ângulo e tempo é dada por : 
 q = q0 + w.t 
Esta equação é análoga à equação que rege o movimento uniforme de um 
móvel: 
 S= S0+ v.t 
 
A Fig03 mostra a sua representação gráfica em função do tempo e 
a Fig04 o gráfico em função do angulo. 
Veja este vídeo sobre tensão alternada (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/29.html 
3.1. Representação gráfica de uma Tensão Senoidal 
Uma tensão senoidal varia em função do tempo de acordo com uma lei 
senoidal, portanto a sua representação será como na Fig03, mas a mesma 
tensão pode ser representada em função do angulo, Fig04, (não esqueça 
que a função seno tem período de 360 graus ou de 2p rd), sendo a relação 
entre angulo e tempo dada por : 
 
 q =q0 +w.t 
A figura a seguir mostra o gráfico da tensão em função do tempo. 
v(t)=10.sen(w.t) 
Fig03: Representação gráfica de uma tensão senoidal em função do tempo 
 O gráfico a seguir mostra a mesma tensão em função do angulo. 
v(q)=10.sen(q ) existindo uma relação entre angulo e tempo dada 
por: q=w.t 
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Fig04: Representação gráfica de uma tensão senoidal em função do angulo 
Na Fig03 e Fig04, VPP (em V) é chamado de tensão de pico a pico, T (em 
s) é o período (tempo que o fenômeno leva para se repetir). 
Pelos gráficos da Fig03 e Fig04 tiramos as seguintes conclusões: 
 como q =w.t se q =2 p 
então o tempo será chamado de periodo (T) t = T logo: 
 2.p=w.T ou w = 2 p/T 
O numero de ciclos completados segundos chamamos de freqüência (f). A 
freqüência está relacionada com o periodo por: 
f =1/T (Hz) logo podemos tambémescrever que: 
 w=2 .p.f 
3.2. Tensão Eficaz 
 Para uma senoidal definimos o seu valor eficaz (VRMS ou VEF) como sendo 
igual ao valor de uma tensão contínua que produzirá a mesma dissipação 
de potência que a tensão alternada em questão. No caso de uma tensão 
senoidal o seu valor eficaz é calculado por: 
 
 
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Obs: considerar para efeito de calculo 
Por exemplo uma tensão senoidal de 155V de pico é aplicada a uma 
resistência de 100 Ohms. Se ao mesmo resistor for aplicado uma tensão 
de 110V contínuos, a dissipação de potência será a mesma. 
 
( a ) ( b )
( d )
enoidal aplicada a um resistor de 100 Ohms; ( b ) Tensão continua de valor igual ao valor eficaz da tensão senoidal aplicada a um res
Veja este vídeo sobre tensão alternada (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/30.html 
 http:
//www.allaboutcircuits.com/videos/31.html 
Para a tensão senoidal representada na Fig05 os seus parâmetros 
serão: VP=VM=155V VPP =310V 
VRMS =155/1,41=110V 
T=0,01666s=16,66ms portanto f= 1/0,0166 = 60 ciclos/s = 
60Hz 
 w=2.p.60=377 rd/s q0=0 
Um resistor de 100 Ohms ao ser conectado a essa tensão senoidal, 
dissipará a mesma potência se for conectado a uma tensão CC de 110V 
 
 
 
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Exercício1: Para as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) pedem-se: 
a) freqüência angular (w) freqüência (f) período (T) b) angulo de fase 
inicial c) representar as tensões no Diagrama Fasorial, d) obter a soma das 
duas tensões. 
 v1(t) = 15.sen(2.pi.103.t ) ( V ). 
 v2(t) = 20.sen(2.pi.103.t + pi/2 )( V ). 
 Solução: 
a) Da expressão de v1 obtemos que w1=2.p.103 rd/s e como w=2.pi.f, 
obtemos 
 f1=1000Hz=1KHz, 
e T1=1ms=0,001s. 
O valor de pico desta tensão é VM =15V, angulo de fase inicial q0=0º 
VRMS1 =15/1,41=10,6V 
Para v2 temos que w=2.p.103 rd/s e portanto 
f2=1000Hz=1KHz, e T2=1ms=0,001s 
o valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial q0=90º=p/2. 
VRMS2 =20/1,41=14,2V 
A defasagem entre os dois sinais é de 90º 
Obtenha o arquivo Microcap que tem as duas tensões, V1 e V2, 
e que apos uma analise transiente mostra as duas tensões 
Exercício Resolvido 2: Representar as seguintes tensões senoidais 
 
 
Solução: 
Da expressão de v1 obtemos que w=pi.104 rd/s e portanto 
f1=5000Hz=5KHz, e T1=0,2ms=200ms . 
O valor de pico desta tensão é VM =5V, angulo de fase inicial 
 
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 q0=90º=pi/2. 
VRMS1 =5/1,41=3,54V 
 
Para v2 temos que w=2.pi.103 rd/s e portanto f2=1000Hz=1KHz , e 
T2=1ms=0,001s 
o valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial =90º=pi/2.. 
VRMS1 =5/1,41=3,54V 
A seguir os gráficos, sendo que o gráfico em violeta representa V2. 
Obs: - pi/2 = 3 pi/2 ( -90º = 
270º) 
Observe que as duas tensões estão defasadas entre si de 180º. 
Exercício3: 
Representar as seguintes tensões senoidais 
 
 
Solução: 
Tensão v1: VM =155V , w1=120.pi rd/s , f1=w1/2.pi = 60Hz logo 
T1=1/f1 =1/60=16,66ms, angulo de fase inicial q0= -45º= -p/4 
VRMS1 =155/1,41=110V 
Tensão v2: VM =155V, w2=120.pi rd/s , f2=w2/2.pi=60Hz logo 
T2=1/f2 =1/60=16,66ms , angulo de fase inicial q0=0º. 
VRMS2 =155/1,41=110V 
 
A seguir os gráficos, sendo que o gráfico em violeta representa V1 e V2 
preta 
 
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3.3. Diagrama Fasorial 
 É uma outra forma de representar uma tensão senoidal. A Fig03 mostra 
como é construído o diagrama fasorial. Cada vetor (neste caso chamado 
de fasor), representa a tensão num determinado instante. Observe que o 
ângulo que o fasor faz com o eixo horizontal representa o ângulo da 
tensão naquele instante. 
No exemplo da figura 6 a tensão representada tem a expressão: 
 v(t)=10.sen(w.t) (V) 
 
Figura 6: Diagrama fasorial e forma de onda de tensão senoidal associada 
Referencia Livros : Analise de Circuitos em CA e Circuitos em CA ; Editora Érica; Rômulo 
Oliveira Albuquerque 
 O diagrama da Fig06a representa a tensão da Fig06b que no caso, no 
instante t=0 vale zero e portanto a expressão da tensão em função do 
tempo é: 
v(t) =VM.sen(wt) pois q0 (angulo de fase inicial) vale zero. Caso a tensão 
tivesse um angulo inicial, a expressão seria dada por: 
v(t) =VM.sen(wt+q0) se a tensão estiver adiantada ou 
 v(t) =VM.sen(wt - q0) se atrasada. 
SINAL ADIANTADO Ex: v(t)=10.sen(w.t + q0) q0=90
0
 
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 ( a ) 
SINAL ATRASADO Ex: v(t)=10.sen(w.t + q0) q0= - 90
0 ou q0= 270
0 
 
 
 ( b ) 
Figura 7: Diagrama fasorial com angulo de fase inicial ( a ) Positivo (tensão adiantada) 
( b ) Negativo (tensão atrasada) 
Veja este vídeo sobre diagrama fasorial (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/32.html 
 http:/
/www.allaboutcircuits.com/videos/33.html 
4. Circuitos Resistivos em CA 
Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com 
uma tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a 
relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é : 
U =R.I ou I = U/R sendo que usamos valores eficazes para I e U 
Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da 
tensão e da corrente estão em fase. A Fig08 mostra o diagrama fasorial da 
tensão e da corrente e o circuito. 
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Figura 8: Circuito puramente resistivo - Diagrama fasorial de um circuito puramente 
resistivo 
Exercício 4: Representar graficamente a tensão aplicada no circuito da 
Fig09, e a corrente que o percorre se é alimentado por uma 
tensão alternada 12V/60Hz 
Solução: 
No circuito da Fig09 os valores calculados são : I = 3mA U1 = 3V U2 = 
9V eficazes !!! 
 
 Figura 9: Circuito serie puramente resistivo em CA - medida de 
tensão e corrente 
5. Potencia em CA em Circuito Resistivo 
A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela 
corrente instantanea, isto é: 
p(t)=v(t).i(t) 
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Fig10: Circuito puramente resistivo em CA - Potencia em CA 
Se v(t)=VP.senwt (V), a corrente estará em fase com a tensão e será dada por 
i(t)=IP.senwt (A), onde 
 
Por exemplo,seja Vp=17V o que significa um valor eficaz de VRMS=12V 
se a carga for R=4 Ohms, a corrente terá valor de pico de Ip= 4,25A e valor 
eficaz de IRMS=3A. 
 
 A figura a seguir mostra os gráficos da tensão e da corrente em função do 
tempo e da potencia instantânea (observe que o valor da potencia é sempre 
positivo). 
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Figura 11: Circuito puramente resistivo em CA - Potencia em CA - Gráficos da tensão, 
corrente e potencia instantanea 
A potência dissipada no resistor será igual ao valor medio da potencia 
instantanea, e pode ser calculado por: 
P=VRMS.IRMS que no exemplo valem P=12V.3A=36W 
Veja este vídeo sobre circuito resistivo em CA (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/34.html 
6. Experiência 01- Circuito Resistivo em CA 
6.1. Abra o arquivo ExpCA01 (MicroCap) ou ExpCA01 (Multisim) e 
identifique um dos circuitos da Figura 12. Inicie a simulação em seguida 
meça todas a s tensões e a corrente. Anote os valores na tabela I se 
Vg=17Vpico senoidal/60Hz. 
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Curso MicroCap 
( a ) ( b ) 
Figura 12: Circuito puramente resistivo - medida de corrente, tensão e potencia ( a ) MicroCap ( 
b ) Multisim
 
Tabela 1: Circuito resistivo em CA corrente, tensão e potencia - valores calculados e 
medidos 
Valores Calculados Valores Medidos 
Valor eficaz 
da tensão 
Valor eficaz 
da corrente 
Potencia 
dissipada no 
resistor 
Valor eficaz 
da tensão 
Valor eficaz 
da corrente 
Potencia 
dissipada no 
resistor 
 
 
6.2. Escreva as suas conclusões 
Veja esse vídeo sobre aplicações de tensão alternada (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/35.html 
Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de Circuitos em 
Corrente Alternada Capitulo2 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula02: Transformador de Tensão 
Bibliografia 
Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
 
1. O Transformador 
 O transformador de tensão é um dispositivo que funciona baseado na 
indução eletromagnética (consultar Circuitos em Corrente 
Alternada ou Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Érica 
para maiores detalhes da teoria) e consiste basicamente de 
dois enrolamentos, um chamado de enrolamento primário no qual será 
aplicado uma tensão UP, e o enrolamento secundário no qual será 
induzida a tensão secundária US. 
 
 . 
Consultar o livro da bibliografia para saber o porque o transformador só 
funciona em CA. 
 
A relação entre as duas tensões depende do número de espiras do 
secundário (NS) e do primário (NP) , sendo dada por: 
 n = Ns/Np = Relação de transformação 
 Se considerarmos as perdas no transformador desprezíveis então a 
potência primaria(Pp) será igual à secundaria(Ps) isto é : 
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Símbolos
Comum 
Com 
center 
Tape 
 
Fig01: Transformador de tensão - aspectos físicos e simbologia 
Veja esse vídeo sobre transformador (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/39.html 
 http://w
ww.allaboutcircuits.com/videos/40.html 
Exercício Resolvido 
 No circuito, a relação de transformação é 0.1( Ns=0.1Np ). Calcule a indicação dos 
instrumentos . 
 
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Solução : Us=Up.n = 100V.0,1 =10V portanto a corrente no secundário 
será de 10V/100 Ohms = 100mA 
 
2. Experiência 02 - Transformador de Tensão - Parte 
1 
 2.1. Abra o arquivo ExpCA02 (MicroCap) ou ExpCA02 (Multisim) e 
identifique o circuito da Figura abaixo. Execute uma analise transiente e 
meça as tensões e as correntes indicadas. 
Curso MicroCap 
( a ) 
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Fi
on
. 
T
on
 
2
re
2
 
3.
2 
 3
ar
igura 02: Tra
nda 
Tabela I: T
nda 
RL=100 O
 Vp 
xxxxx 
RL=1000
 Vp 
 
.2. Mude 
esultados
.3. Concl
. Experiên
 
3.1. Abra o
rquivo Ex
ansformador 
Transforma
Ohms 
 Vs1 
 
0 Ohms 
Vs1 
 
a carga p
s na tabela
usões: 
ncia 03 - 
 
o 
pCA03 (M
com center 
ador - med
 Vs2 
 
Vs2 
 
para 1000
a I 
 Transfo
 
MicroCap) 
( b ) 
tap - medida
dida das te
 Vs 
 
 Vs 
 
0 Ohms e
rmador d
 
ou ExpCA
a das tensões
ensões e co
 Ip 
 
 Ip 
 
e repita ite
de Tensã
 
A03 (Multis
s e correntes
orrentes - f
 Is 
 
 Is 
 
em 2.1 an
ão - Parte
sim) e ide
s - formas de
formas de 
note 
e 
ntifique o 
e 
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ci
o 
C
 
 T
 
ircuito da F
resultado 
Curso Mic
 Figu
Tabela II: Tra
Figura 3. In
na tabela 
roCap 
ura 03: Cir
ansformador
nicie a sim
II. 
rcuito para 
r - medida de
ulação. Me
( a ) 
( b ) 
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RL=100 Ohms RL=1000 Ohms 
Vp Vs Ip Is Vp Vs Ip Is 
 
3.2.Troque a resistência de carga 100 por 1000 Ohms e repita o 
item 3.1. Anote na tabela II 
 
3.2. Conclusão: 
Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de 
Circuitos em Corrente Alternada Capitulo 3.4 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula03: Capacitor em Corrente Continua 
Bibliografia 
Analise de circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
1.Capacitores 
 1.1. Introdução 
 Um capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia 
elétrica na forma de campo elétrico. Ë constituído de duas placas 
metálicas planas de áreas S separadas por um isolante 
(dielétrico) de espessura d. 
 
 ( a ) ( b )
Figura 01: Capacitor ( a ) aspectos construtivo ( b ) Símbolo 
 
Um capacitor é caracterizado por uma grandeza chamada de 
capacitância (C) a qual está associada à capacidade que tem o 
capacitor de armazenar cargas. Quanto maior a capacitância 
maior a capacidade de armazenar cargas. A capacitância 
depende da área das placas e da espessura do dielétrico. No 
caso de um capacitor de placas planas e paralelas a capacitância 
é dada por: 
 
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onde é a permissividade dielétrica do vácuo e K é a constante 
dielétrica do material, S a área da placas e da distanciaentre uma placa 
e d a espessura do dielétrico. Em função do tipo de dielétrico temos os 
diversos tipos de capacitores. 
 
 K=1 no caso do vacuo e por exemplo K=4,5 no caso do vidro 
 
Capacitor Ligado a uma Tensão CC 
 Ao ser ligado a uma tensão CC, devido à tensão aplicada 
elétrons se deslocarão de uma placa para a outra enquanto 
houver d.d.p, Fig02. Quando a tensão entre as placas for igual à 
tensão da fonte cessará o movimento de elétrons. Nessas 
condições dizemos que o capacitor estará carregado o capacitor 
ficará carregado com uma carga Q cujo valor é função da tensão 
aplicada e de uma característica do capacitor chamada de 
capacitância (C) sendo dada por: 
Q = U. C 
onde Q é especificado em Coulombs (C) U em Volts (V) e C é a 
capacitância especificada em Farads (F). 
Desta forma se for aplicado uma tensão de 1V a um capacitor de 
capacitância de 1F a carga adquirida será de 1C. 
 
'
 ( a ) ( b ) 
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' O sentido da corrente I é o convencional 
!! 
 
( c ) 
Figura 02: ( a ) Capacitor inicialmente descarregado, Vc=0 ( b ) Começa o fluxo de 
elétrons (corrente) de uma placa para a outra ( c ) Cessa o fluxo de eletrons pois a 
tensão em C é igual à tensão da fonte.
 
 Devido à DDP aplicada entre as placas os elétrons se deslocam da 
placa superior em direção da placa inferior e passando pela fonte. 
Quando a tensão entre as duas placas for igual à tensão da fonte cessa o 
fluxo de elétrons. Na prática indicamos o sentido da corrente no sentido 
contrário (corrente convencional). 
Observe que não existe corrente através do capacitor, mas pelo circuito 
externo. 
1.2. Carga do Capacitor 
 Se for colocado uma resistência em série com o 
capacitor, o tempo para carregar o capacitor aumenta, sendo 
proporcional à essa resistência. A Fig03a mostra o circuito e a Fig03b o 
gráfico da tensão em função do tempo. A tensão varia em função do 
tempo de acordo com uma função chamada de exponencial. 
Constante de Tempo 
 Uma medida da velocidade de carga (ou de descarga) é dada 
pela constante de tempo do circuito definida como sendo: 
t(tau ) = R. C sendo  em segundos, R em ohms e C e faradas 
Fisicamente, uma constante de tempo é definido como sendo o 
tempo que a tensão leva para ir de zero até 63% da tensão da 
fonte (0,63.VCC). 
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Observe na figura3b que a segunda lei de Kirchhoff é verificada em 
qualquer instante, isto é: 
 
 
( a ) 
( b ) 
Figura 03: ( a ) Circuito de carga do capacitor ( b ) em vermelho tensão no capacitor, em azul 
tensão no resistor
 
A equação que descreve matematicamente a carga de um 
capacitor é: 
 
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e a expressão da tensão na resistencia é 
 
onde = R.C é a constante de tempo 
Por exemplo se t=0 se substituirmos na equação da tensão em C 
resultará zero e na equação da tensão na resistencia resultará VCC 
Teoricamente, de acordo com a equação, a carga total só 
acontecerá após um tempo infinito, mas na prática bastam 4 
constantes de tempo para considerarmos o capacitor totalmente 
carregado (Para 4 constantes de tempo a tensão atingirá 
aproximadamente 0,98.Vcc ). 
A figura a seguir mostra o comportamento da corrente no circuito, cuja 
equação é 
 
Onde IMax é Vcc/R (0,6mA no exemplo) 
 Figura 04:Gráfico da corrente em função do tempo do circuito da figura 3a 
Observe que a corrente é máxima quando a chave é fechada, isso é 
muito importante pois mostra que um capacitor que está inicialmente 
descarregado se comporta como um "curto circuito". 
1.3. Descarga 
do Capacitor 
 
 Se um capacitor, inicialmente carregado com uma 
tensão Vcc tiver as suas placas colocadas em curto circuito, 
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imediatamente o mesmo se descarregará. Se houver uma 
resistência em série com o capacitor o tempo para descarregar 
aumentará, dependendo da constante de tempo do circuito (฀ ). 
Após um tempo igual à uma constante de tempo a tensão em C 
cairá de 63% da tensão inicial, portanto cairá para 0,37.E . 
A Fig05a mostra o circuito e a Fig05b o gráfico da descarga. 
 
( a )
( b )
Figura 05: ( a ) Capacitor se descarregando( b ) Curva de descarga do capacitor 
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Veja esse video (em ingles) sobre 
capacitores: http://www.allaboutcircuits.com/videos/41.html 
1.4. Associação de Capacitores 
Paralelo 
Quando capacitores são associados em paralelo, a capacitância 
aumenta, figura6. 
Clique na figura06 para obter o arquivo de simulação 
MicroCap8 
CE=C1 + C2 
+C3 
Figura 06: Capacitores associados em paralelo
 
Serie 
Quando capacitores são associados em serie, a capacitância 
diminui, figura7. 
Clique na figura06 para obter o arquivo de simulação 
MicroCap8 
 
Fig07: Capacitores associados em serie 
Clique aqui para ver os diferentes tipos de capacitores 
 
Clique aqui para ver como ler a capacitância de um capacitor 
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Exercício 
Resolvido 
 
1) Dois capacitores C1=0.1F e C2=0.4F são ligados em 
paralelo. Calcule o valor do capacitor equivalente. 
Solução: Como é uma associação paralelo então CE = C1 + C2 = 
0,1 + 0,4 =0,5F 
2) Para um circuito RC é dada a curva de VcxT. Sabendo-se que 
a fonte vale 10V e que R=2K qual o valor de C ? 
 
Figura 08: Gráfico da tensão no capacitor na carga considerando o capacitor inicialmente 
descarregado. 
Solução: 
Como a constante de tempo pode ser determinada a partir da 
curva ( é o tempo necessário para que a tensão no capacitor 
atinja 6,3V ) então tendo R poderemos determinar C. 
Do gráfico obtemos que = R.C = 8ms (aproximadamente ) então 
C=8ms/2K = 4.10-6 F = 4F 
2. Calculando a Constante de Tempo de um Circuito RC 
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Use o quadro a seguir para calcular qualquer uma das 4 
quantidade (tensão instantânea, resistência, capacitância, 
tempo) conhecidas 3. 
 
 
Por exemplo: 
 
 Se C=100uF e R = 200K ligado em uma bateria de 10V. Ligado o circuito 
após 200.10
3
.100.10
-6
 = 20s a tensão em C será aproximadamente igual a 6,3V. O 
calculador permite determinar a tensão em C se especificados os valores de Vcc, 
C, R e o tempo. Para os valores especificados acima, da esquerda para a direita 
entramos com: 10, 200, 100 e 20.000. Clicando em Calcular deveremos obter 
aproximadamente Vc=6,3V. 
 
 Vcc 
(V) 
 
Resistên
cia 
R(KOhm
s) 
Capacitânc
ia 
C(microFar
ads) 
Temp
o 
t(ms) 
Tensão 
Instantâ
nea 
 Vc(V) 
0
 
0
 
0
 
0
 
0Zere o calculador antes de qualquer cálculo 
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3
C
3.
ar
an
a 
C
. Experiê
Capacitor
.1. Abra o
rquivo Exp
nalise tran
corrente n
Curso Micr
Figura 09: C
ência 04 
r 
 
pCA04 (M
siente e an
no circuito. 
roCap 
Circuito para
- Carga e
 
icroCap)
note os grá
Meça a co
a analise da c
 
e Descar
 
 ou ExpC
áficos da te
onstante d
( a )
( b )
carga do cap
 
 
 
 
 
rga do 
 
CA04 (Mult
ensão no c
e tempo d
pacitor *( a )
 
tisim) e e
capacitor, 
o circuito. 
) MicroCap ( 
execute um
no resistor
 
b ) Multisim 
ma 
r e 
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Tabela I : Constante de tempo - calculada e medida 
Valor Teórico da constante de 
Tempo 
Valor Medido da constante de 
Tempo
 
 
3.2. Usando o cursor, determine o tempo necessário para que o capacitor 
se carregue até 0,63.Vcc. Anote esse tempo que é a constante de tempo, 
compare com o valor teórico. 
 Constante de tempo medida =____________ 
 
 Constante de tempo teorica =____________ 
3.3. Usando o cursor verifique quanto tempo leva para que a 
tensão no capacitor atinja 98% da tensão da fonte (capacitor 
praticamente carregado). Verifique se está de acordo com a 
equação da carga do capacitor. 
 
 
 Tempo para 98% de Vcc=___________ 
3.4. Repita os itens 3.1, 3.2 e 3.3 para C=200uF e C=50uF. O que 
muda? Obs: não esqueça de manter IC=0V 
3.5. Abra o arquivo ExpCA04b (microCap) ou ExpCA04 (Multisim) e 
execute uma analise transiente e anote os gráficos da tensão no 
capacitor e a corrente no circuito.constante de tempo. Observe que o 
capacitor tem uma condição inicial (IC=12V). 
Multisim: Após carregar totalmente coloque a chave para baixo 
(descarga) na Figura 9b 
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Fig10: Circuito para analise da descarga do capacitor 
 
3.6. Repita os itens anteriores para C=200uF e C=50uF. O que muda? 
Obs: não esqueça de manter IC=12V (MicroCap) 
 Escreva as suas conclusões: 
Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de 
Circuitos em Corrente Alternada 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula04: Capacitor em Corrente Alternada - Circuito Puramente 
Capacitivo 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
1. Introdução 
 Como vimos, quando ligamos um capacitor em um circuito CC, 
inicialmente a corrente é máxima com tensão nula no capacitor, isto é, 
existe uma defasagem entre a corrente e a tensão. Se um capacitor ideal 
(não tem resistência de perdas) for ligado à uma tensão alternadas 
senoidal, a corrente estará 90º adiantada em relação à tensão. A Fig01 
mostra o circuito, o diagrama fasorial e as formas de onda. 
Experimente esse link para compreender melhor o 
DF http://www.walter-fendt.de/ph14s/accircuit_s.htm 
 
 ( a ) 
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( b ) 
Figura 01: Circuito Capacitivo puro em CA - (a) Circuito; (b) Diagrama fasorial ( o fasor 
em vermelho representa a corrente adiantada de 90º em relação à tensão, fasor preto ); 
(c) Formas de onda 
 2 . Reatância Capacitiva 
 É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da 
corrente alternada é calculada por: 
 IMPORTANTE !!! 
com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em O
hms () 
Para calcularmos o módulo da corrente no circuito poderemos usar 
a lei de Ohm, isto é : 
 
 
Exercício1: Calcule a intensidade da corrente no circuito em 
seguida desenhe o 
diagrama fasorial. 
 
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Figura 02: Circuito do exercício 1
Solução: Como são dados C e a freqüência, podemos 
calcular a reatância capacitiva (Xc) : 
 
 
Resposta simulada 
Fig03: Circuito com a resposta do exercício 1
 
3. Potencia em Circuito Puramente Capacitivo 
A potencia em um circuito puramente capacitivo é obtida 
determinando-se o valor medio da potencia instantanea. 
p(t)=v(t).i(t) 
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Observe que o valor médio da potencia nesse caso é zero, isto é, 
não existe potencia dissipada. No primeiro quarto de ciclo a 
potencia é negativa (o capacitor está consumindo energia e a 
armazena no campo elétrico), no segundo quarto de ciclo a 
potencia é positiva (o capacitor está devolvendo ao circuito a 
energia armazenada) 
O gráfico da figura a seguir mostra as formas de onda da tensão 
no capacitor, corrente no capacitor e a potencia instantânea. 
 
Figura 04: Graficos da tensão, corrente e potencia instantanea em um circuito puramente 
capacitivo. 
Clique aqui para obter o arquivo Microcap do circuito puramente 
capacitivo - Potencia elétrica instantânea (p(t)=V(t).i(t) e potencia media 
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Calculado a Reatância Capacitiva 
Use o quadro a seguir para calcular a reatancia capacitiva, para tal 
entre com a frequencia (em Hz) e a capacitancia (em uF) 
 
 
 
 Freqüência: 
 
 Hz 
Capacitância: uF 
 
 
 
Zerar
 
Reatãncia Capacitiva (Xc) Ohms 
 
 
x 
 
 
4. Experiência 05 - Capacitor em 
CA 
4.1. Calcule a intensidade da corrente no circuito abaixo para cada valor de 
C. Anote na tabela 
Abra o arquivo ExpCA05 ou ExpCA05 (Multisim)identifique o circuito da 
figura abaixo. Execute uma analise transiente medindo a corrente em cada 
caso. Anote o valor da corrente do circuito na tabela I. 
Para o Multisim ligue o circuito em seguida meça a corrente para os dois 
valores de capacitores (use a chave para mudar de posição) 
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Ta
 
4
1
Ta
. 
4
d
se
e
te
fo
 Figura 0
abela I: med
Valor 
C=0,1u
 
.3. Repita
80Hz. O q
abela II: med
Valor 
C=0,1u
 
.4. Para m
e um artif
ensor de 
m serie c
ensão em
orma de o
05: Circuito p
indo a corre
Calculado
uF 
 
a o item a
que muda
dindo a corre
Calculado
uF 
 
medir a d
fício. Com
valor bem
com o mes
m um resis
onda da te
para a exper
ente em um c
o da Corre
C=10u
anterior m
a em rela
ente em um 
o da Corre
C=10u
efasagem
mo o oscil
m menor q
smo, Figu
stor está e
ensão ne
riência 05 - m
capacitor - 6
ente
uF 
mudando a
ação ao ite
 
capacitor - 
ente
uF 
m entre a 
loscópio s
que a rea
ura 06. Co
em fase c
sse resistmedindo a co
60Hz 
Valor
C=0,1u
 
a frequen
em com f
180Hz 
Valor
C=0,1u
 
corrente 
so mede t
atância do
omo a for
com a cor
tor senso
orrente em um
 
r Medido d
uF 
 
cia do ge
f=60Hz? 
 
r Medido d
uF 
 
e a tensã
tensão, u
o capacito
rma de on
rrente, é a
or (26 Ohm
 
m capacitor 
da Corren
C=10u
 
erador par
da Corren
C=10u
 
ão é usad
um rfesisto
or é ligado
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anotada a
ms). Essa
nte
uF 
ra 
nte
uF 
o 
or 
o 
a 
a 
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fo
d
d
 Fig
4
P
C
 
orma de o
efasagem
efasagem
gura 06: Med
.5. Concl
Para maio
Circuitos 
onda é a 
m no temp
m em grau
dindo a defsa
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usões: 
ores escl
em Corre
 mesma 
po e em s
us. 
agem entre te
ormas de on
arecimen
ente Alte
 
da corren
seguida, p
( a ) 
( b ) 
ensão e corr
da e defasag
ntos cons
ernada Ca
nte. É det
por regra 
rente em um
gem no temp
sultar o L
apitulo 5
erminada
de tres, é
 capacitor 
po
Livro Ana
.2 
a a 
é obtida a
( a ) circuito 
alise de 
a 
( b ) 
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula05: Capacitor em Corrente Alternada - Circuito RC Série 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
1. Circuito RC Série 
 Como visto em aula anterior, em um circuito puramente resistivo a 
tensão e a corrente estão em fase, e num circuito puramente capacitivo a 
corrente esta 90º adiantada em relação à tensão. Num circuito como o da 
Fig01 a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor 
do que 90º. O diagrama fasorial resultante está representado na Fig02. 
 
Figura 1: Circuito RC série 
Definimos a impedância (Z) do circuito como sendo: Z =V/ I 
 A impedância é a soma dos efeitos da resistência (R = VR / I e 
da reatância capacitiva (XC = VC / I) na oposição à passagem da 
corrente. 
2. Diagrama Fasorial (DF) 
Para construir o DF vamos considerar que a fase da corrente no 
circuito é 00 . Todos os outros fasores estarão atrelados a isso. Por 
exemplo, o fasor da tensão no capacitor estará atrasado de 900 em 
relação à corrente no circuito (que é a corrente no capacitor). E 
assim por diante. A figura a seguir mostra o DF construído. 
 
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Figura 2: Diagrama fasorial do circuito RC série. 
Obs: 
O angulo de de defasagem entre a corrente (I) e a tensão aplicada 
(V) é . 
O angulo de fase inicial da tensão total, é o angulo formado entre o 
fasor da tensão V e o eixo horizontal. 
Com relação ao diagrama fasorial da Fig2 devemos frisar o seguinte: 
 é o angulo de defasagem entre a tensão total (V) e a corrente 
consumida pelo circuito (I). 
A corrente no capacitor continua adiantada em relação 
à tensão no capacitor (VC) . 
 A corrente na resistência (I) está em fase com a tensão na 
resistência(VR) e defasada de 90º em relação à tensão no 
capacitor(VC). 
 Observe que para obter a tensão total do 
circuito somamos VR com VC mas não algebricamente e 
sim vetorialmente. 
Do diagrama fasorial obtemos as relações básicas deste circuito: 
 
 
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 se dividirmos por I2 a primeira igualdade, obteremos a 
expressão que calcula a impedância do circuito 
 
O angulo de defasagem, , também pode ser calculado a partir do 
diagrama fasorial sendo dado por: 
Cos = R / 
Z 
logo = arccos(R/Z) 
 
Exercício: 
Para o circuito da Fig03 calcule : 
a) Impedância (Z) 
 b) Corrente (I) 
c) tensão em C e em R 
d) Defasagem entre I e V. 
 
 Figura 3: Circuito para o exercício 
1 
Solução: 
a) Primeiramente deveremos calcular a reatância XC = 1 / ( 2. 
 .60.0,1.10-6 ) =26.525 
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Agora poderemos calcular a impedância : 
 
 
b) I = U / Z = 120V / 48K = 2,5 mA 
c) VC = XC.I = 26,5K.2,5mA = 66,25V e VR = R.I = 40K.2,5mA 
= 100V 
d) cos= R/ Z cos ฀ = 40K / 48K = 0,83 logo 
  = 33º 
 3. CALCULANDO A IMPEDÂNCIA 
Use o quadro a seguir para calcular a impedância, angulo de 
defasagem, reatância capacitiva, reatância indutiva, e impedância 
na forma retangular. 
Ex: Use os mesmos valores do exemplo acima. Entre com R=40K 
C=0.1uF e f=60Hz em seguida clique em Calcular. 
 
 
 Serie 
 
 Freqüência: Hz 
 Resistência: Ohms
 Indutância: mH 
 Capacitância: uF 
 
Zerar
 
Impedância (Z) Ohms 
Angulo de Defasagem 
Graus Radianos
Forma Retangular 
Parte Real Parte Imaginaria 
 Ohms Ohms
 Reatância Indutiva Reatância 
Capacitiva 
Ohms Ohms 
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O circuito é 
 
 
 Veja aqui um vídeo sobre circuitos RC (em 
inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/44.html 
4. Experiência 06 - Circuito RC 
Série 
4.1. Abra o arquivo ExpCA06 ou ExpCA06 (Multisim) e identifique o 
circuito abaixo. execute uma analise transiente e meça a corrente 
e as tensões no circuito. No Multisim, meça a corrente e as 
tensãoes usando o multimetro em AC. 
 
( a ) 
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F
 O
F
re
V
 I 
 
A
re
fa
no
re
on
no
si
Figura 4: med
Os valores 
aça as me
esistência e
VG= VR + 
= _______
Anote as fo
esistência (
ase, então 
o circuito, 
esistência. 
nda, use o
o tempo (
imples. 
dindo a corre
teóricos já
edidas da c
e anote. V
VC ? 
_______ V
rmas de on
(VR), como
você pode
medindo a
Para med
os dois curs
t) calcule 
ente e as ten
á foram ca
corrente n
Verifique qu
VC = ______
nda da ten
o a corrent
e medir a d
a defasage
ir a defasa
sores no o
a defasag
( b ) 
nsões em um
Multisim
 
 
lculados, s
o circuito e
ual a relaç
_________ 
nsão de en
te e a tensã
defasagem
em entre a 
agem no te
osciloscópio
gem em gra
m circuito RC
são os mes
e das tensõ
ção entre V
 VR = ____
trada (120
ão em uma
m entre a te
tensão tot
empo entre
o expandid
aus atravé
C serie ( a ) M
smos do ex
ões no cap
VC, VR e Vg
__________
0V) e da te
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tal e a tens
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és de uma
MicroCap ( b
xercício. 
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g. 
___ 
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cia estão e
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são na 
formas de 
a defasag
 regra de t
b ) 
em 
nte 
em 
três 
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Figura 5: Circuito para a experiência 06 
Obs: Experimente outros valores de R e C, faça a simulação mas não 
salve com o mesmo nome. Use Salvar Como (Save As) do 
menu Arquivo (File). 
4.2. Preencha a tabela a seguir. 
Tabela I:Circuito RC serie - valores medidos 
Valores Medidos 
 I VR VC VG Z=VG/I 
 
4.3. Compare os valores medidos com os calculados anteriormente. 
4.4. Conclusões: 
Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de Circuitos 
em Corrente Alternada Capitulo 5.3 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula06: Capacitor em Corrente Alternada - Circuito RC Paralelo 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
 1-Circuito RC Paralelo 
No circuito da Fig01 continuam válidas algumas considerações já feitas 
nos circuitos anteriores, tais como a defasagem entre tensão e corrente em 
um capacitor é 90º, e etc. 
Admitindo que a fase da corrente na resistencia é zero, todos os outros 
fasores estarão amarrados a essa condição. 
 
 
(a) (b) 
Figura 1: (a) Circuito RC paralelo e (b) diagrama fasorial 
 Calculando a Impedancia 
Para este circuito valem as expressões : 
 
 
 
IMPORTANTE 
!!!! 
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Exercicio: Para o circuito da Figura 1 calcular : 
a) Impedância b) Valor de todas as correntes c) Angulo de 
defasagem entre a tensão total e a corrente total. 
Solução: 
Como XC=1 /(2 . ฀.0,1.10-6) = 26.500฀hms=26,5Khms 
 
 
b) I=IT=120V/21,8฀hms = 5,5mA e IR = 120V / 40K = 
3mA =4,23Ap 
 
IC=6,48mAP 
 
2. Experiência 07 - Circuito RC Paralelo - Parte1 
 2.1. Abra o arquivo ExpCA07 ou ExpCA07 (Multisim) e identifique 
um dos circuitos da figura 2. Inicie a simulação, e anote os valores das 
correntes no capacitor (IC) na resistência (IR) e a corrente total (IT) que sai 
do gerador, anote na tabela I. 
 
 
( a ) 
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O
n
m
2
3
 
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M
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M
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Figura
Obs:Exper
ão salve 
menu Arq
.2. Conclus
. Experiê
3.1. Abr
dentifique
MicroCap 
nda da co
Multisim us
e entrada
a 2: Circuito p
Tabela I: C
Valores C
I IC 
 
rimente o
 com o m
uivo ( Fil
sões: 
ência 08 -
ra o arquiv
 um dos c
execute u
orrente to
se o oscil
a (Vg) e d
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Calculados
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- Circuito
vo ExpCA
circuitos d
uma anali
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loscopio p
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( b ) 
riência 07 M
 
 
aralelo - valo
 
Z I 
 
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o RC Para
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Medida das co
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Valores M
IC IR
 
R e C, faça
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 ExpCA08
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ente para
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tor sensor
orrentes no c
s e calculado
Medidos 
Z=VG
 
a a simula
Como ( S
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8 (Multisim
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d
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e onda da
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F
a corrente
em graus.
Figura 3: Circ
e. Meça a
 
cuito para a e
a defasag
( a ) 
( b ) 
experiência 0
 
gem no te
08. Medida d
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m 
a 
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3.2. Anote as formas de onda da corrente e da tensão do gerador e meça 
a defasagem no tempo (t). Em seguida calcule a defasagem em graus (
). Para medir a defasagem no tempo use os cursores existente. 
t=____________ =_____________ 
 
 
Obs:Experimente outros valores de R e C ,faça a simulação mas não salve 
com o mesmo nome. Use Salvar Como (Save As) do 
menu Arquivo (File). 
3.3. Conclusões: 
Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de Circuitos 
em Corrente Alternada Capitulo 5.4 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula07: Indutor em Corrente Alternada - INDUTOR 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
1. Indutor 
1.1. Introdução 
 Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em 
cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A 
Fig01 mostra o símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e 
de ferrite. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 1: Símbolo de indutor - (a) Núcleo de ar; (b) de ferro e (c) ferrite. 
1.2. Indutor em Corrente 
Contínua 
 O que acontece quando no circuito da Fig02 fechamos a chave no 
instante t=0? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo 
tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução 
(para maiores detalhes veja o livro Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada ou o livro Circuitos Em Corrente Alternada) que faz 
aparecer uma tensão e que se oporá ao crescimento da corrente. 
 Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai 
atuar na bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente, 
fazendo aparecer uma tensão e com a polaridade tal que se opôe à 
diminuição da corrente. Observe que isso faz aparecer uma tensão nos 
terminais da chave que é igual a E + e, que pode causar uma arco de 
corrente. 
Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente 
alternada (se opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está 
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atrasada em relação à tensão (a tensão já está aplicada e a corrente 
começa a aumentar). 
 Caso o núcleo fosse de ferro ou ferrite a corrente demoraria mais 
para aumenta (ou diminuir), isto porque a indutância da bobina seria 
diferente em cada caso. A indutância (L) de um indutor é um parâmetro 
que dá a medida da capacidade que tem o indutor 
de armazenar energia no campo magnético, a sua unidade se 
chama Henry (H). 
 
 ( a ) ( b ) 
 
 ( c ) 
Figura 2: Indutor em CC ( a ) Instante que a chave é fechada ( b ) Corrente em regime 
 ( c ) Instante que a chave é aberta 
Quanto maior a indutância ( L ) mais tempo levará para que a corrente no 
gráfico da Fig 02 atinja o seu valor máximo. O valor da indutância 
depende do numero de espiras e do material usado no núcleo. 
 Clique aqui para obter o arquivo do comportamento de um indutor em CC 
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à tensão e
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(a) (b) 
Figura 4: Indutor em CA - (a) circuito; (b) diagrama fasorial (fasor em vermelho: corrente; 
fasor preto: tensão)
 
1.4. Reatância Indutiva 
 
Como vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida 
desta oposição é dada pela sua reatância indutiva (XL), sendo calculada 
por: 
 
 
 
Com L especificado em Henries (H), f em hertz ( Hz ), XL em ohms ( ). 
Exercício1: Uma bobina tem 0,1 H de indutância, sendo ligada a uma 
tensão de 110V, 60Hz. Determinar: 
a) Reatância da bobina (XL) b ) Valor da corrente no circuito ( I ) 
Solução: 
a) XL = 2. .60.0,1 = 37,7 
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b) I = V / XL = 110 / 37,7 = 2,9A 
 
Figura 5: Indutor em corrente alternada - exercício 1
 
 
Calculando a Reatancia Indutiva 
 
 Freqüência: 
 
 
0
 Hz 
 
*
 
 Indutância: 
0
 mH
 
 
Zerar
 
Reatância Indutiva (XL) 
0
Ohms 
Entre com a frequencia (em Hz) com a indutância
em mH, em seguida clique em Calcular
 
 
2. Experiência 09 - Indutor em Corrente Alternada - Parte 1 
2.1. Abra o arquivo ExpCA09 (MicroCap) ou ExpCA09 (Multisim) e 
identifique o circuito da Figura 6. Execute uma analise transiente, no caso 
do MicroCap, e meça o valor da corrente. no caso do Multisim meça a 
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co
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2
co
 O
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24
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2
..
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O
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2
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2 
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M
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60Hz) = __
Figura 6: In
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orrente 
Obs: Para 
mesmo. Na 
40Hz. 
240Hz) = _
.3. Comple
.............(nã
.................
Obs: Expe
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menu Arq
.4. Concl
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.1. Abra o 
os circuitos
MicroCap, 
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_________
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a freqüênc
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_________
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da/dividiu p
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- Indutor 
xpCA10 o
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a corrente p
indutancia
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2/dobra) po
por 2/multip
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rente Alte
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meça o no
o clique no
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e freqüência 
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Parte 
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U
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m angulo .
o para que
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( a ) 
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Multisim
 
 
dir a defasa
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corrente ( a 
tempo em 
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de 
( b ) 
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Tabela I: Circuito RL serie - medida da defasagem tensões e corrente 
Defasagem: Valores Calculados Defasagem: Valores Medidos 
t (Graus) t (Graus) 
 
 
Obs: Experimente outros valores de L, faça a simulação mas não 
salve com o mesmo nome. Use Salvar Como (Save As) do 
menu Arquivo (File). 
3.2) Conclusões: 
Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de Circuitos 
em Corrente Alternada Capitulo 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula08: Indutor em Corrente Alternada - Circuito RL Série 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
 1. Circuito RL Série 
 
Na prática um indutor apresenta uma resistência, e além 
disso podemos ter resistores em série com o indutor, neste caso a 
corrente continuará atrasada em relação à tensão mas de um 
angulo menor do que 90º. A Fig01 mostra o circuito e o diagrama 
fasorial. 
Observe que a fase da corrente foi considerada arbitrariamente igual a 
zero. Todos os outros fasores estarão "amarrados" a isso 
(a) (b) 
Figura 1: (a) Circuito RL série e (b) diagrama fasorial
 
Para este circuito temos as seguintes expressões obtidas do DF 
 
 
 e 
 
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Exercício 1: Para o circuito pede-se determinar: 
a) Impedância 
b) Corrente, tensão em R e em L 
c) cos 
d) Formas de onda da tensão total e da corrente. 
 
Figura 2: Circuito RL série - exercício e experiência 11
 
Solução: 
 
a) XL=2..f.L =6,28.212.0,1 = 133,1 logo 
 
 
UR = 100 .0,06A = 6V UL =133,1 .0,006A = 8V 
c) cos =100 / 166 = 0,6  =53º 
d) Formas de onda 
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Figura 3: Formas de onda do circuito do exercício e da experiência 11 (corrente vermelha) 
 Obs: No gráfico acima a defasagem no tempo é 0,68ms 
(680us) desta forma com uma simples regra de três podemos 
determinar a defasagem em graus. 
 O período das oscilações é T=1 /212 =4,71ms que corresponde a 
360º. Quantos graus correspondem a 0,68ms ?= (0,68x360)/4,71=52º a diferença se deve a erros de leitura e 
arredondamento 
CALCULANDO A IMPEDÂNCIA 
Use o quadro a seguir para calcular a impedância, angulo de 
defasagem, reatância capacitiva, reatância indutiva, e impedância na 
forma retangular. 
Ex: Use os mesmos valores do exemplo acima. Entre com R=100 
Ohms L=0.1H=100mH e f=212Hz em seguida clique em Calcular. 
 
 
 Serie 
 
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 Freqüência: Hz 
 Resistência: Ohms
 Indutância: mH
 Capacitância: uF 
 
Zerar
 
Impedância (Z) Ohms 
Angulo de Defasagem 
Graus Radianos
Forma Retangular 
Parte Real Parte Imaginaria 
 Ohms Ohms
 Reatância Indutiva Reatância 
Capacitiva 
Ohms Ohms 
 
O circuito é 
 
 
 
2. Experiência 11 - Circuito RL Série 
 
2.1. Abra o arquivo ExpCA11 ou ExpCA11 (Multisim) e identifique um dos 
circuitos da Figura 4. Inicie a simulação. No caso do MicroCap execute 
uma analise transiente. No caso do Multisim anotes as formas de onda 
e os valores das tensões e da corrente no circuito. Anote as formas 
de onda e meça a defasagem no tempo, calculando em seguida a 
defasagem em graus. Meça o FP (fator de potencia) e a potencia ativa 
usando o Wattimetro. Anote os valores na tabela I. 
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Va
V) VR(V
 
Tab
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V) VL(V)
 
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2.2. 
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4.7 Analis
4.8 Analis
 
edida da defa
 
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de R e L ,fa
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se de Cir
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G(V) VR(V
 
 
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m Corren
m Corren
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V) VL(V)
 
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Para maiores esclarecimentos consultar o Livro Analise de Circuitos em 
Corrente Alternada Capitulo 4.3 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula09: Circuito RL Paralelo 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica 
 1. Circuito RL Paralelo 
No circuito da Fig01 temos o circuito e o diagrama fasorial de 
um circuito RL paralelo. A corrente total se divide entre o indutor e 
o resistor e continuam válidas as características do indutor ideal 
(corrente atrasada de 90º em relação à tensão). Não esqueça 
que num circuito paralelo a tensão em todos os elementos em 
paralelo é a mesma, é a partir dessas características que 
construímos o diagrama fasorial. 
Consideraremos que a fase da tensão é arbitrariamente 900, 
Todos os outros fasores serão desenhados a partir dessa 
consideração. 
Diagrama Fasorial 
(a) (b) 
 Figura 1: (a) Circuito RL paralelo e (b) diagrama 
fasorial 
Na Fig01 o fasor vermelho representa a corrente e o preto a 
tensão. É importante notar que a fase inicial da tensão do gerador 
é ARBITRÁRIA, no caso da Fig01 é 90º só para simplificar a 
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construção do diagrama.Caso tivéssemos considerado a fase 
inicial de V igual a 0º, todo desenho deveria ser deslocado de 90º 
no sentido horário, Fig02. 
Figura 2: Diagrama fasorial considerando que a fase inicial da tensão é 0º 
 Cálculo da Impedância 
Do ponto de vista de análise, não interessa saber qual a fase inicial da 
tensão da rede. O que importa realmente é a defasagem entre a tensão 
total (tensão da rede) e a corrente total (corrente fornecida pela rede), e o 
que determinará essa defasagem será a carga ( R e L ). 
Para este circuito valem as seguintes expressões (ver dedução na 
bibliografia citada). I 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício1 : Para o circuito da Fig01 determinar : a) 
Impedância b) Correntes ( total, no indutor e no resistor ) 
 c) angulo de defasagem. 
Solução: 
a) Calculemos primeiramente a reatância do indutor 
 XL=2. .f.L=377.0,212 = 80 Ohms 
Como R = 60 Ohms 
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b
I=
IR
IL
 
2
C
2
id
ex
ca
A
 
I 
 
) O valor d
=U/Z=110
R=U /R=1
L=110V/80
c) Cos฀
. Experiê
Correntes
. 1. Abra 
dentifique
xecutand
aso de us
Anote os v
= ______
da corrente
0V/48 Ohm
10V 60Oh
0Ohms =
 =48 / 60 
ência 12 -
s 
 o arquivo
 um dos 
o uma an
sar Multis
valores da
________
 
e total será
ms= 2,3A
hms=1,83
1,37A = 1
= 0,8฀
- Circuito
o ExpCA1
 circuitos
nalise tran
sim use o 
as corrent
__ IR = __
á portanto
A=3,24Ap
3=2,58Ap
1,9317Ap
฀ = 37
o RL Para
12 ( Micro
s da Figu
nsiente no
multimet
tes do cir
________
( a ) 
p 
7º 
alelo - Pa
oCap) ou E
ra 03. Inic
o caso de
ro para m
rcuito na t
____ IL =
 
arte 1 - M
ExpCA12 (
cie a simu
e usar Mic
medir as c
tabela I. 
= _______
Medidas d
Multisim) 
ulação, 
croCap. N
correntes 
________ 
de 
 e 
No 
 
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( b ) 
Figura 3: Circuito RL paralelo. Medida das correntes ( a ) MicroCap ( b ) Multisim 
Tabela I: Circuito RL paralelo - medida e calculo das correntes 
Valores Calculados Valores Medidos 
Z I IR IL Z=VG/I I IR IL 
 
Obs:Experimente outros valores de R e L, faça a simulação mas 
não salve com o mesmo nome. Use Salvar Como (Save As) do 
menu Arquivo (File). 
2.2. Conclusões: 
 3. Experiência 13 - Circuito RL Paralelo - Parte 2 - Medida da 
Defasagem 
3.1. Abra o arquivo ExpCA13 e identifique o circuito da Fig04 
(Abaixo). Ative-o. Abra o osciloscópio use os cursores para medir 
a defasagem no tempo (Dt). Em seguida por regra de 
três calcule a defasagem em graus, como foi feito na experiência 
11. Compare com o valor obtido teoricamente. Preencha a tabela 
2. 
 
 
Tabela 2: Circuito RL paralelo - medida da defasagem 
Valores Calculados Valores Medidos 
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t (Graus) t (Graus) 
 
 
 
 
correspondente 
defasagem em 
graus 
 
 
 Figura 4: Circuito RL paralelo com resistor sensor para medir a defasagem entre tensão e 
corrente 
O que acontece com a defasagem se R aumentar ? 
 
Obs:Experimente outros valores de R e L ,faça a simulação mas 
não salve com o mesmo nome. Use Salvar Como (Save As) do 
menu Arquivo (File). 
3.2. Conclusões: 
Para maiores esclarecimentosconsultar o Livro Analise de 
Circuitos em Corrente Alternada Capitulo 4.4 
   
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Analise de Circuitos em Corrente 
Alternada 
Aula10: Circuito RLC Serie - Ressonância 
Bibliografia 
Analise de Circuitos em Corrente Alternada 
1. Circuito RLC Serie 
Para analisar o circuito abaixo deveremos lembrar que a tensão total 
aplicada é a soma vetorial das tensões VC, VR e VL. No diagrama fasorial a 
tensão na resistência está em fase com a corrente, a tensão na 
indutância está adiantada de 90º enquanto a tensão no capacitor 
está atrasada de 90º. Consideremos que a fase da corrente é nula 
(arbitrariamente), consequentemente todos os outros fasores estarão 
atrelados a isso. Por exemplo a fase de VR será zero tambem. 
 
 ( a ) ( b ) 
Figura 1: ( a ) Circuito RLC série e ( b ) diagrama fasorial 
 No diagrama da Figura 1 estamos considerando, arbitrariamente, que o 
circuito é indutivo, e portanto 
 VL > VC, e desta forma a corrente estará atrasada em 
relação à tensão. Para obter a expressão da tensão total e da 
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impedância devemos fazer a soma vetorial das três tensões, 
como indicado na Figura 2. 
 
Figura 2: Diagrama fasorial com a soma fasorial das três tensões 
 Ainda na Figura 2, observe que VL e VC tem mesma direção mas 
sentidos oposto, logo a resultante da operação VL - VC terá o 
sentido de VL. 
 A tensão total (V) será obtida somando-se a tensão em R com a 
diferença entre VL e VC. 
2. Impedância - Ressonância 
 
Para o circuito da Figura 1 valem as seguintes expressões: 
 
( 
1
 
) 
e
( 
2
 
) 
IMPORTA
NTE 
!!! 
 
Da equação ( 2 ) que dá o calculo da impedância observamos que 
se XL=XC a impedância será igual a R, isto é, o circuito será 
puramente resistivo e a corrente estará em fase com a tensão. 
Esta situação é conhecida como ressonância, e ocorre numa 
freqüência f0 calculada por : 
 
 ( 3 ) IMPORTANTE !!! 
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 sendo L dado em Henries (H) C em Farads (F) e f0 em Hertz 
(Hz) 
O circuito da Figura 1 tem as seguintes características: 
 Na freqüência de ressonância f0, o circuito é puramente resistivo, 
sendo que a corrente terá valor máximo e igual a V/R, estando em 
fase com a tensão. 
 Abaixo da freqüência de ressonância a impedância 
será capacitiva (XC > XL), estando a corrente adiantada em 
relação à tensão. 
 Acima da freqüência de ressonância a impedância será 
indutiva (XC < XL), estando a corrente atrasada em relação à 
tensão. 
 O gráfico da corrente (que é o grafico da tensão na resistencia) em 
função da freqüência será dado pelo gráfico da Figura 3. 
 
 Figura 3: Curva de resposta em freqüência 
Do gráfico da Figura 3 concluímos que a corrente será máxima na 
ressonância, diminuindo acima e abaixo da freqüência de 
ressonância, existindo duas frquencias para as quais a corrente 
diminui para 70% do valor maximo. Essas correntes são 
chamadas de freqüências de corte, fci=freqencia de corte 
inferior e fcs= frequencia de corte superior. Pode-se dizer que o 
circuito se comporta como um filtro passa faixa (FPF). 
 
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Calculador de Reatância Indutiva e Capacitiva na Ressonancia 
No quadro abaixo,entre com quaisquer dos 2 (dois) valores de variáveis 
(C, L, XL =XC, fo) para calcular os outros. Em seguida pressione 
" Calcular" 
Antes de qualquer cálculo zere o calculador. O Valor de X (Ohms) será 
a reatância capacitiva (Xc) e indutiva (XL), que é a mesma na 
freqüência de ressonancia. 
Por exemplo, se desejarmos que a ressonância seja 
em fo=1000Hz com um capacitor de C=0.1uF, em resposta 
obteremos do calculador um indutor de 253.303mH com reatância de 
1591.55 Ohms, que será também a reatância do capacitor. 
Outro exemplo: entrando com C=0,01uF (no calculador deve ser 0.01) 
e L=0.1mH, obteremos como resposta Xc=XL=100 Ohms e fo= 
159.155 Hz 
Reatância Indutiva (XL): 
 
Reatância Capacitiva (Xc) 
 
Freqüência de Ressonância (fo): 
 
C 
(uF) 
 
L 
(mH) 
XL=XC
(Ohms) 
fo 
(Hz) 
 
 
 1.1. Largura de Faixa 
 
 Em relação à Figura 3 definimos Largura de Faixa (LF) como sendo: 
 LF =fCS - fCI ( 4 ) (IMPORTANTE 
!!! ) onde 
 
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fCS=freqüência de corte superior é a freqüência na qual a corrente cai 
para um valor igual a 70,7% do valor da corrente máxima. 
 
fCI=freqüência de corte inferior é a freqüência na qual a corrente cai para 
um valor igual a 70,7% do valor da corrente máxima. 
Exercício1: 
 Para o circuito da Figura 4 (Abaixo) pede-se determinar : 
 a) freqüência de ressonância (f0) 
 b) Valor da corrente na freqüência de ressonância 
b) Defasagem do circuito na ressonância 
c) Se f = 20KHz, calcular a corrente e a defasagem 
d) Se f = 10KHz , calcular a corrente e a defasagem. 
d Considerar ve(t)=15.senw.t(V) 
 Obs: este exercício se encontra no livro Analise de Circuitos em 
Corrente Alternada 
 
Figura 4: Circuito RLC série - Exercicio1 
Solução 
 
 
b) Na ressonância XL = 2. .15923.10
-3 =100฀฀e XC=1 /( 2 . 0,1.10-6 ) 
=100฀ portanto de acordo com ( 2 ) a impedância do circuito será igual 
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a Z =150฀= R a corrente será máxima e valerá IMáx = 15V / 
150฀ = 100mA 
 c) Como na ressonância o circuito é puramente resistivo 
a defasagem entre a corrente e a tensão será zero. 
 
d) Se f=20KHz XL=2. 20.103.1.10-3=125,6฀Ohms฀ e 
XC=1 / (2. .20.10
3.0,1.10-6 )=79,6฀฀Ohms฀ ฀ desta forma a 
impedância será dada por: 
 
 I=15V /157=95,5mA defasagem cos ฀(fi) = R / Z = 
0,955 
 
 (fi)=17º 
e) Se f= 1KHz XL=2..10.103.1.10-3 = 
62,8฀ e XC=1/(2.10.103.0,1.10-6)=159,2฀ desta forma a 
impedância será igual a: 
 
 
e a corrente 
I = 15V/178=84mA 
A defasagem entre a corrente e a tensão será: ฀(fi) = 32º 
2. Experiência 14 - Circuito RLC Série - Medidas de Tensões e 
Corrente 
2.1. Abra o arquivo ExpCA14 ou ExpCA14 (Multisim) e identifique um 
dos circuitos da Figura 5. 
Obs: Observe que é o mesmo circuito do exercício resolvido 
anteriormente. 
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Figura 5: Circuito RLC para medida de corrente e tensões na experiência 14 
2.2. Ajuste a freqüência do gerador