Apostila_Geodesia_2_1

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Prof. Dr. Haroldo Antonio Marques 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE GEODÉSIA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agosto de 2017 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 5 
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ................................................................................................ 7 
2.1 Introdução à Sistema Geodésico de Referência ................................................................. 7 
2.2 Sistema Geodésico de Referência Clássico ....................................................................... 9 
2.3 Sistema Geodésico de Referência Moderno ....................................................................... 9 
2.4 Introdução ao Sistema Geodésico Brasileiro .................................................................... 10 
2.5 Datum Geodésico e as equações de Laplace ................................................................... 12 
2.6 Método Astrogeodésico .................................................................................................... 17 
3. REDES GEODÉSICAS ............................................................................................................ 18 
3.1 Redes de controle horizontal ............................................................................................ 20 
3.1.1 Triangulação .............................................................................................................. 21 
3.1.2 Trilateração ............................................................................................................... 23 
3.1.3 Poligonação ............................................................................................................... 23 
3.1.4 Ponto datum ou ponto origem .................................................................................... 24 
3.1.5 Considerações finais sobre redes de controle horizontal ........................................... 25 
4. MEDIÇÃO ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA ............................................................................... 28 
4.1 Histórico ........................................................................................................................... 28 
4.2 Método de pulso ............................................................................................................... 29 
4.3 Método de comparação de fase ....................................................................................... 29 
4.4 Correções a serem aplicadas nas medidas ...................................................................... 31 
4.4.1 Processo de calibração ............................................................................................. 31 
4.4.2 Correção do índice e do coeficiente de refração ........................................................ 32 
5. Reduções para o Elipsóide ...................................................................................................... 35 
5.1 Redução de distância ....................................................................................................... 35 
5.2 Redução de azimute ......................................................................................................... 37 
5.3 Exercício ........................................................................................................................... 39 
6. Transporte de coordenadas Geodésicas ................................................................................. 40 
6.1 PROBLEMA DIRETO E INVERSO ................................................................................... 40 
6.2 Solução pela série de Legendre (Problema Direto) .......................................................... 43 
6.3 Fórmulas de Puissant ....................................................................................................... 44 
6.3.1 Problema Direto ......................................................................................................... 45 
4 
 
 
6.3.2 Problema Inverso ...................................................................................................... 46 
6.4 Outras fórmulas para a solução dos Problemas Direto e Inverso...................................... 47 
6.5 Experimentos .................................................................................................................... 48 
7. Ajustamento de Redes Topográficas/Geodésicas.................................................................... 50 
7.1 Ajustamento de Redes no plano ....................................................................................... 51 
7.1.1 Equações de Observação ......................................................................................... 51 
7.1.2 Exemplo de Ajustamento de uma poligonal no plano................................................. 56 
7.1.3 Ajustamento de uma Trilateração .............................................................................. 61 
7.2 Ajustamento de redes geodésicas .................................................................................... 61 
7.2.1 Equações de observação para coordenadas elipsóidicas .......................................... 61 
8. Redes altimétricas ................................................................................................................... 66 
8.1 Breve histórico do ajustamento da rede altimétrica do Brasil ............................................ 66 
8.2 Determinação das altitudes .............................................................................................. 69 
8.3 Trabalho: .......................................................................................................................... 72 
Bibliográfia ...................................................................................................................................... 74 
 
 
5 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A definição de Geodésia e seu espectro de atividades podem ser 
facilmente encontrados na literatura clássica, podendo-se citar Vanicek, Krawvisk, 1986; 
Gemael, 1999; Torge, 2001; Seeber, 2003, entre outros. Friedrich Robert Helmert definiu a 
Geodésia em 1880 como: 
 
“Ciência de medidas e mapeamento da superfície da Terra” 
 
 A superfície terrestre em sua grande extensão está moldada pelo 
campo de gravidade da Terra. Desta forma, as observações geodésicas estão 
referenciadas a este campo de gravidade. Logo houve a necessidade de incluir na 
definição de Geodésia o campo de gravidade externo da Terra. Além disto, a Geodésia em 
colaboração com outras disciplinas inclui a determinação do fundo e superfície dos 
oceanos, o campo de gravidade de outros corpos celestes, tais como a lua e planetas, 
determinação de sistema de referencia terrestre e celeste, determinação de órbitas de 
planetas e satélites artificiais, etc. Comparecem ainda as variações temporais dos 
parâmetros geodésicos em função do movimento de placas tectônicas e de efeitos 
geodinâmicos da Terra. Desta maneira, a definição de Geodésia é dada por (GEMAEL, 
1999; TORGE, 2001; SEEBER, 2003): 
 
“Geodésia é a ciência que tem por objetivo determinar a forma e dimensão da 
Terra, bem como seu campo gravitacional e variações temporais”. 
 
 A Geodésia sempre atuou em colaboração com diversas ciências, 
tais como a Geofísica, Meteorologia e outras. Hoje em dia, esta colaboração se tornou 
mais evidente, principalmente com o desenvolvimento da Geodésia por satélites. A 
Geodésia se divide basicamente em Geodésia Geométrica, Física e CelestE. Contudo, 
existem outras definições tais como Geodésia Marinha e outras. Uma breve definição das 
divisões adotadas neste trabalho é apresentada a seguir: 
 
 Geodésia Geométrica: Estudo da geometria do elipsoide e operações 
geométricas sobre a superfícieterrestre envolvendo medidas angulares e 
de distância associadas com determinações astronômicas; 
 Geodésia Física: Estudo do campo da gravidade da Terra, definições 
da superfície geoidal envolvendo medidas gravimétricas que conduzem 
ao conhecimento detalhado do campo da gravidade; 
 Geodésia Celeste: Estuda as definições de sistemas de referencia 
celeste e terrestre, determinação de órbitas de satélites artificiais e 
planetas e o desenvolvimento e aplicação de técnicas espaciais de 
posicionamento, incluindo o GNSS (Global Navigation Satellite System), 
VLBI (Very Long Baseline Interferometry), SLR (Satellite Laser Ranging), 
6 
 
 
LLR (Lunar Laser Ranging) e DORIS (Doppler Orbitography and 
Radiopositioning Integrated by Satellite). 
 
O objetivo desta disciplina é tratar sobre os conceitos envolvidos com a 
Geodésia Geométrica, mais especificamente a definição e materialização de sistemas de 
referencia geodésico clássico, envolvendo conceitos do datum, determinação de redes 
geodésicas denominadas horizontais e verticais, transporte de coordenadas geodésicas 
entre outros conceitos fundamentais da geodésia geométrica. 
É importante ressaltar que após o surgimento da era espacial em meados da 
década de 80 e o aparecimento de tecnologias, como por exemplo, o GNSS (Global 
Navigation Satellite System), os Sistemas Geodésicos de Referência (SGR) que eram 
determinados por métodos clássicos (teodolitos e estações totais), passaram a ser 
determinados exclusivamente pelos métodos de posicionamento espacial. Neste caso, o 
SGR clássico que tinha como característica ser não geocêntrico e com a rede 
materializada vinculada a um ponto datum na superfície física da Terra passa a ser de 
origem geocêntrica para compatibilizar os levantamentos geodésicos realizados com o 
sistema utilizado pela tecnologia de posicionamento espacial. 
Em termos de posicionamento geodésico e aplicação de produtos cartográficos 
comparece o problema de transformação e modelagem de distorções entre os sistemas 
clássicos e modernos. As redes geodésicas que eram determinadas por métodos clássicos 
eram classificadas como redes horizontais, haja vista, serem estimadas a latitude e 
longitude de cada vértice. No caso das redes modernas, as coordenadas obtidas são 
cartesianas geodésicas (X, Y e Z) de forma que são denominadas redes tridimensionais. 
Acrescenta-se ainda a componente variação temporal das coordenadas da rede 
geodésica, onde conhecidas as velocidades da estação e uma época de referencia as 
coordenadas podem ser transportadas para outra época desejada, seja no passado, no 
presente ou no futuro, o que proporcionou o aparecimento do termo Geodésia tetra-
dimensional. 
Apesar de atualmente o SGR de referencia não ser mais determinado de forma 
clássica, a determinação de redes geodésicas utilizando equipamentos clássicos ainda é 
fundamental e aplica-se em diversos trabalhos de engenharia como por exemplo, o 
monitoramento e controle de barragens hidrelétricas, construção de rodovias, ferrovias, 
viadutos, etc. Dessa forma, o posicionamento geodésico de forma clássica, a qual requer o 
rigor e correções necessárias da Geodésia são de fundamental importância para diversas 
aplicações. 
 
 
7 
 
 
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
2.1 Introdução à Sistema Geodésico de Referência 
 
Em qualquer atividade de posicionamento geodésico é de fundamental 
importância a definição e a realização/materialização do Sistema Geodésico de 
Referência (SGR), seja o sistema terrestre ou o celeste. A definição é caracterizada pela 
ideia conceitual do próprio sistema (Reference System) e envolve os seguintes aspectos: 
 Adoção de um elipsoide de revolução; 
 Parâmetros e propriedades do sistema; 
 Todos os modelos, constantes numéricas e algoritmos são claramente 
especificados; 
 
Geralmente o sistema é baseado no CTRS (Conventional Terrestrial Reference 
System) para o caso de sistemas geodésico terrestre e no CCRS (Conventional Celestial 
Reference System) para o caso de Sistema celeste. 
 
A materialização do SGR envolve a determinação de coordenadas de pontos 
(vértices) que se relacionam a definição do sistema (Reference Frame). No caso do 
sistema terrestre a materialização é caracterizada por: 
 Coleta de observações a partir de pontos sobre a superfície terrestre 
(rede geodésica), ou próximos a ela, devidamente monumentalizados; 
 Processamento e a análise, bem como a divulgação dos resultados que 
para o caso do sistema terrestre e celeste consiste essencialmente em: 
o Terrestre: um catálogo de coordenadas associadas a uma época 
particular, podendo vir acompanhadas das velocidades e precisão 
para o caso de sistemas modernos; 
o Celeste: lista de coordenadas de ascensão reta e declinação de 
objetos extragalácticos. 
 
A definição de um SGR requer especificação de sua origem e sua orientação 
com relação à Terra. A origem do sistema pode ser geocêntrica (centro de massa da 
Terra) ou não geocêntrica. No último caso, a materialização do sistema é vinculada a um 
vértice geodésico na superfície da Terra conhecido como ponto datum ou Ponto 
Fundamental (PF) e, por esta razão, o sistema é dito ser de origem topocêntrica. Os 
sistemas de origem topocêntrica são denominados sistemas clássicos visto que foram 
muito empregados até meados de 1990 onde se aplicavam métodos de levantamento 
clássicos (envolve uso de teodolitos, estações totais e outros) da Geodésia para a 
materialização do sistema. 
Frequentemente encontra-se na literatura a denominação de ponto datum para 
referenciar o vértice origem da rede geodésica clássica. Comparece também a 
denominação datum gedésico, o qual segundo Jekeli (2002) é um conjunto de parâmetros 
e constantes que define um sistema de coordenadas, incluindo sua origem, sua orientação 
8 
 
 
e escala, de tal forma, que este sistema se torne acessível para aplicações geodésicas 
(JEKELI, 2002). 
As redes geodésicas clássicas, geralmente, eram determinadas por métodos de 
triangulação, trilateração e poligonação onde se estimavam as coordenadas latitude e 
longitude dando origem as chamadas redes geodésicas horizontais. A componente 
altimétrica era determinada de maneira separada, seja a partir do nivelamento 
trigonométrico ou mais rigorosamente pelo nivelamento geométrico (GEMAEL, 1987). 
Com o surgimento da era espacial e a utilização de técnicas modernas da 
Geodésia Espacial na determinação de coordenadas geodésicas, tal como o GNSS, surge 
a necessidade da aplicação de SGR com origem geocêntrica, visto que os satélites orbitam 
ao redor do centro de massa da Terra e sua órbita é determinada com relação a um 
sistema geocêntrico. A partir dai passa-se a utilizar o SGR geocêntrico cujas redes 
geodésicas são denominadas de redes tridimensionais, visto que são determinadas 
coordenadas geodésicas cartesianas (X, Y e Z), as quais são vinculadas a uma 
determinada época. Ainda com o processo de determinação de velocidades das estações 
e consequente atualização de coordenadas, seja para o presente, futuro ou passado em 
relação à época de referencia, comparece o termo redes geodésicas tetra-dimensionais. 
Cabe aqui apresentar o IERS (International Earth Rotation and Reference 
Systems Service – Serviço Internacional de Rotação da Terra e Sistemas de Referência) o 
qual é um serviço especial responsável pela definição e materialização do CTRS e CCRS. 
O IERS foi criado em 1987, tendo iniciado seu funcionamento em 1º de janeiro de 1988 e 
substituiu o IPMS (International Polar Motion Service - Serviço Internacional de Movimento 
do Pólo) e a sessão de rotação da Terra do BIH (Bureau International de L´Heure). O IERS 
é responsável pelas seguintes funções: 
 
 A definição e a manutenção de um sistema de referência terrestre 
convencional baseado em técnicas de observações de alta precisão da 
geodésia espacial; 
 A definição e a manutenção de um sistemade referência celeste 
convencional baseado em fontes de rádio extragalácticas e a relação do 
mesmo com outros sistemas de referência celeste; 
 A determinação dos parâmetros de orientação da Terra (EOP - Earth 
Orientation Parameters) que juntamente com um modelo convencional da 
precessão e nutação servem para transformações entre sistema terrestre 
e celeste entre outras funcionalidades; 
 A organização de atividades operacionais para a observação e a análise 
de dados, coletando e arquivando dados e resultados apropriados, e 
disseminando os resultados para atendimento às necessidades dos 
usuários. 
 
 
 
9 
 
 
2.2 Sistema Geodésico de Referência Clássico 
 
O SGR clássico também é conhecido como sistema geodésico de referência 
local/topocêntrico e é dividido em referencial horizontal e referencial altimétrico. No sistema 
de referência clássico o elipsoide é escolhido de forma a garantir uma boa adaptação ao 
geoide na região. Os parâmetros definidores do sistema, normalmente estão vinculados a 
um ponto na superfície terrestre, denominado ponto origem ou ponto datum. O centro do 
elipsoide não coincide com o centro de massa da Terra (geocentro) devido ao requisito de 
boa adaptação na região de interesse. 
 
 
Figura 2.1 – Representação do SGR clássico em relação ao geocêntrico 
 
As metodologias de levantamentos utilizadas na materialização de um SGR 
clássico horizontal foram a triangulação, a trilateração e a poligonação. No caso do Brasil 
os métodos clássicos foram aplicados até meados de 1990. A partir de então se passou a 
utilizar o sistema GPS. 
 
2.3 Sistema Geodésico de Referência Moderno 
 
A definição do Sistema Geodésico de Referência (SGR) Moderno pressupõe a 
adoção de um elipsoide de revolução cuja origem coincide com o centro de massa da 
Terra e com eixo de revolução coincidente com o eixo de rotação da Terra. A rede 
geodésica é estabelecida utilizando-se métodos geodésicos por satélites e, geralmente, as 
coordenadas são amarradas (vinculadas) ao ITRF (International Terrestrial Reference 
Frame). 
 
10 
 
 
 
Figura 2.2 – Representação do SGR moderno 
 
A materialização do SGR moderno se dá mediante o estabelecimento de uma 
rede de estações geodésicas com coordenadas tridimensionais. Estas coordenadas, por 
sua vez, são estabelecidas através de técnicas de posicionamento espacial de alta 
precisão, tais como: 
 VLBI (Very Long Baseline Interferometry), 
 SLR (Satellite Laser Ranging) e 
 GNSS (Global Navigation Satellite System) - composto por: GPS, 
GLONASS, Galileo e outros. 
 DORIS (Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by 
Satellite ) 
 
Sendo assim, as medidas estão relacionadas a um sistema cartesiano 
tridimensional com origem no geocentro. Apesar do sistema de referência moderno ser um 
referencial tridimensional, em muitos casos, o referencial altimétrico é materializado 
separadamente. 
 
2.4 Introdução ao Sistema Geodésico Brasileiro 
 
O Sistema Geodésico Brasileiro SGB é de responsabilidade do IBGE (Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística) e é composto pelas redes altimétrica, planimétrica e 
gravimétrica. O SGB pode ser dividido em duas fases distintas: uma anterior e outra 
posterior ao advento da tecnologia de observação de satélites artificiais com fins de 
posicionamento. 
O referencial horizontal clássico do SGB é definido sob a condição de 
paralelismo entre seu sistema de coordenadas cartesianas e o do CTRS (Conventional 
Terrestrial Reference System). A figura geométrica da Terra é definida pelo elipsoide South 
11 
 
 
American 1969 (SAD69), cujo semi-eixo menor do elipsóide é paralelo ao eixo de rotação 
da Terra e o plano do meridiano de origem é paralelo ao plano do meridiano de Greenwich, 
como definido pelo BIH. O referencial altimétrico é materializado pela superfície 
equipotencial que coincide com o nível médio do mar, o qual foi definido pelas 
observações maregráficas tomadas na baía de imbituba, no litoral de Santa Catarina no 
período de 1949 a 1975 
Em 1939 ocorreram os primeiros levantamentos geodésicos no Brasil pelo então 
Conselho Nacional de Geografia (CNG) com o objetivo de determinar coordenadas 
astronômicas em cidades e vilas para a atualização da Carta do Brasil ao Milionésimo de 
1922. No ano de 1944 foi implanatada a primeira base geodésica nas proximidades de 
Goiânia e partir dai iniciava-se o estabelecimento sistemático do Sistema Geodésico 
Brasileiro (SGB) em sua componente planimétrica, a qual envolvia a estimativa de latitudes 
e longitudes a partir dos métodos clássicos da Geodésia. 
Concomitantemente, na década de 70, iniciaram-se as operações de rastreio de 
satélites artificiais do sistema Navy Navigation Satellite System (NNSS) da Marinha 
Americana, também conhecido por sistema TRANSIT. Tal metodologia foi inicialmente 
aplicada no estabelecimento de estações geodésicas na Amazônia, onde os métodos 
clássicos eram impraticáveis devido às dificuldades impostas pelas características da 
região. 
Historicamente, no Brasil já foram oficialmente adotados quatro sistemas de 
referenciais geodésicos: 
◦ Córrego Alegre na década de 50, o qual tinha como Ponto Fundamental (PF) 
o vértice Córrego Alegre e o elipsóide de referencia era o Internacional de 
Hayford de 1924; 
◦ Astro Datum chuá, o qual foi estabelecido pelo IBGE em caráter provisório, 
como um ensaio para a implantação do SAD69; 
◦ O sistema geodésico SAD69 que foi oficialmente adotado no Brasil em 1979. 
Possui o elipsóide de Referência Internacional de 1967 (GRS67). Em 1996 foi 
concluído pelo IBGE o reajustamento da rede geodésica brasileira, utilizando-
se das novas técnicas de posicionamento por satélites GPS culminando no 
SAD69/96. 
 
Os métodos clássicos de triangulação e poligonação geodésica foram utilizados 
até 1990. Em 1991 o IBGE adquiriu quatro receptores GPS e começou a empregar 
exclusivamente medidas GPS na densificação dos marcos planimétricos do SGB. Esta 
tecnologia é utilizada até os dias atuais e o Sistema Geodésico em vigência no país 
atualmente é o SIRGAS2000 (Sistema de Referencia Geocêntrico para as Américas). 
Informações detalhadas sobre o SGB podem ser obtidas na página do IBGE 
(<http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/default_sgb_int.shtm:>. Acesso em 
2014) 
 
 
12 
 
 
2.5 Datum Geodésico e as equações de Laplace 
 
O datum geodésico descreve a orientação de um sistema geodésico com 
relação ao sistema geocêntrico global. Hoje em dia, as redes são estabelecidas utilizando-
se de métodos geodésicos por satélites e vinculadas (“amarradas”) ao International 
Terrestrial Reference Frame (ITRF) sendo, portanto, de origem geocêntrica (TORGE, 
2001). 
No geral, um sistema não geocêntrico com coordenadas (�̅�, �̅� e �̅�) é 
transformado para o sistema global com coordenadas (𝑋, 𝑌 e 𝑍) através da transformação 
de similaridade no espaço, a qual envolve três translações, três rotações e um fator de 
escala como pode ser visto na Equação 2.1 e 
Figura 2.3: 
 
�⃗� = �⃗�0 + (1 +𝑚)𝑅(𝜀𝑥, 𝜀𝑦, 𝜀𝑧)�⃗̅� , ( 2.1 ) 
em que, �⃗� = (𝑋, 𝑌, 𝑍)𝑇 e �⃗̅� = (�̅�, �̅�, �̅�)𝑇 são os vetores posição dos dois sistemas e 
�⃗�0 = (𝑋0, 𝑌0, 𝑍0)
𝑇 contêm as coordenadas origem do sistema �⃗̅� com relação ao geocentro 
O. 
 
 
Figura 2.3: Transformação entre sistema não geocêntrico e o sistema global 
 
Assume-se que a escala do sistema �⃗̅� difere muito pouco do sistema global de 
referência �⃗� e, que os eixos dos dois sistemas são aproximadamente paralelos. 
Consequentemente, 𝑚 é um fator de escala pequeno e a matriz de rotação 𝑅 é composta 
pelos três pequenos ângulos Eulerianos: 
 
13 
 
 
𝑅(𝜀𝑥, 𝜀𝑦, 𝜀𝑧) = [
1 𝜀�̅� −𝜀�̅�
−𝜀�̅� 1 𝜀�̅�
𝜀�̅� −𝜀�̅� 1
] . ( 2.2 ) 
 
Nesse caso, são necessários no mínimo três pontos de coordenadas 
conhecidas em ambos os sistemas para que se possam determinar os sete parâmetrosde 
transformação. As redes geodésicas clássicas foram orientadas pelas coordenadas 
elipsóidicas de um ponto inicial (Ponto Fundamental – PF ou Ponto Datum) e pela 
condição de paralelismo dos eixos com relação ao sistema geocêntrico. A relação da rede 
de controle horizontal com o geoide pode ser feita com base no conhecimento das 
coordenadas geodésicas e astronômicas no Ponto Fundamental (datum) como mostra a 
Figura 2.4 e a Equação 2.3. 
 
 
Figura 2.4: Sistemas de coordenadas geodésicas e astronômicas 
 
𝑥 = 𝑅(𝜉, 𝜂, 𝜓)�̅� , ( 2.3 ) 
com a matriz de rotação dada por: 
 
𝑅(𝜉, 𝜂, 𝜓) = [
1 𝜓 −𝜉
−𝜓 1 𝜂
𝜉 −𝜂 1
] . ( 2.4 ) 
 
Os ângulos Eulerianos são as componentes do desvio da vertical, sendo 𝜉 a 
componente meridiana, 𝜂 a componente primeiro-vertical e 𝜓 (psi)o ângulo no plano 
horizontal. A 
 mostra as componentes do desvio da vertical: 
 
 
14 
 
 
 
 
 
Figura 2.5: Componentes do desvio da vertical 
 
Considerando um observador na Terra com latitude geodésica (  ) e 
astronômica ( 𝜙 ) e a projeção da Vertical e Normal na esfera celeste, verifica-se que o 
ângulo desvio da vertical (i), exagerado por motivos de visualização, fica compreendido 
entre os pontos ZN como mostrado na 
. 
A “componente meridiana” 𝜉 (Ksi) é formada pelo ângulo compreendido entre ZA 
(𝜉 = 𝑍𝐴) e a “componente primeiro vertical” 𝜂 (Eta) fica compreendido entre NA (𝜂 = 𝑁𝐴). 
 A partir da 
 têm-se as seguintes definições: 
 
 Latitude geodésica (𝝋): ângulo entre a normal no ponto considerado e 
o plano equatorial do elipsoide, contado no plano meridiano geodésico. 
Positivo no hemisfério Norte e negativo no Sul. 
 Longitude geodésica (𝝀): ângulo diedro entre o meridiano do ponto 
considerado e o meridiano origem (Greenwich), contado no plano 
equatorial do elipsoide. Positivo a Leste por convenção. 
 Latitude astronômica (𝝓): ângulo que a vertical do ponto forma com 
sua projeção equatorial. Positiva no hemisfério Norte por convenção. 
 Longitude astronômica (𝚲): ângulo diedro formado pelo meridiano 
origem e pelo meridiano astronômico do ponto. 
 Azimute astronômico (𝑨𝒂): de uma direção AB é o ângulo que o 
meridiano astronômico do ponto A forma com a direção. Em Astronomia, 
o azimute, geralmente, é contado do Sul por Oeste e em Geodésia 
(azimute geodésico - 𝐴𝑔), do Norte por Oeste. 
15 
 
 
 Desvio da vertical (𝒊): ângulo formado pela vertical e pela normal de 
um ponto (Figura 2.6) 
 
A Figura 2.6 mostra as superfícies do elipsoide, geóide e física com as linhas 
normal, vertical e o desvio da vertical. 
 
 
Figura 2.6: Desvio da vertical 
 
Considerando a condição de não paralelismo entre os sistemas �⃗� e �⃗̅� (Equação 
2.1) e com base na relação entre o sistema de controle horizontal e o geoide (Equação 2.3) 
demonstra-se que (TORGE, 2001): 
 
𝜉 = 𝜙 − 𝜑 + sen 𝜆 𝜀�̅� − cos 𝜆 𝜀�̅� , ( 2.5 ) 
𝜂 = (Λ − 𝜆) cos𝜑 − sen𝜑 ( cos 𝜆 𝜀�̅� + sen 𝜆 𝜀�̅�) + cos𝜑 𝜀�̅� , ( 2.6 ) 
𝜓 = (Λ − 𝜆) sen𝜑 − cos𝜑 ( cos 𝜆 𝜀�̅� + sen 𝜆 𝜀�̅�) + sen𝜑 𝜀�̅� . ( 2.7 ) 
 
Obtêm-se também as equações de azimute e de ângulo zenital (Equações 2.8 e 
2.9) dados no sistema astronômico e no sistema elipsoidal (veja 
). 
 
𝐴𝑎 − 𝐴𝑔 = (Λ − 𝜆) sen𝜑 + ( (𝜙 − 𝜑) sen𝐴𝑔 − cos𝜑 (Λ − 𝜆) cos 𝐴𝑔) cotg 𝜁 
 + cos𝜑 (cos 𝜆 𝜀�̅� + sen 𝜆 𝜀�̅�) + sen𝜑 𝜀�̅� , ( 2.8 ) 
 
𝑍 − 𝜁 = −( (𝜙 − 𝜑) cos 𝐴𝑔 + cos𝜑 (Λ − 𝜆) sen𝐴𝑔) − 
(cos 𝐴𝑔 sen 𝜆 − sen𝐴𝑔 sen𝜑 cos 𝜆)𝜀�̅� + 
 (cos 𝐴𝑔 cos 𝜆 + sen𝐴𝑔 sen𝜑 sen 𝜆) 𝜀�̅� − cos𝜑 sen𝐴𝑔 𝜀�̅� , ( 2.9 ) 
 
em que, Z e 𝜁 (Zeta) são os ângulos zenital astronômico e geodésico, respectivamente. 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7: Sistema astronômico local 
 
 No caso em que se considera a condição de paralelismo entre os eixos, tem-se: 
 
𝜀�̅� = 𝜀�̅� = 𝜀�̅� = 0 . ( 2.10 ) 
 
 Logo: 
 
𝜉 = 𝜙 − 𝜑 , ( 2.11 ) 
𝜂 = (Λ − 𝜆) cos𝜑 , ( 2.12 ) 
𝜓 = (Λ − 𝜆) sen𝜑 . ( 2.13 ) 
 
 Inserindo as Equações 2.11, 2,12 e 2.13 nas Equações 2.8 e 2.9, tem-se: 
 
𝐴𝑎 − 𝐴𝑔 = 𝜂 tan𝜑 + (𝜉 sen𝐴𝑔 − 𝜂 cos 𝐴𝑔) cotg 𝜁 , ( 2.14 ) 
 
Fica a cargo do leitor demonstrar que 𝜓 = 𝜂 tan𝜑. com base em 2.12 e 2.13 
tem-se: 
 
𝑧 − 𝜁 = −𝜉 cos 𝐴𝑔 + 𝜂 sen𝐴𝑔 . ( 2.15 ) 
 
A Equação 2.14 é conhecida como equação rigorosa de Laplace e a Equação 
2.15 conhecida como equação de orientação de Laplace. O cálculo do desvio da vertical 
17 
 
 
(𝑖) é realizado através de suas componentes 𝜉 e 𝜂, ou seja, da componente meridiana e da 
componente primeiro vertical. Existem vários métodos para a determinação do desvio da 
vertical, sendo o mais conhecido o método astrogeodésico, o qual será apresentado na 
próxima seção. 
2.6 Método Astrogeodésico 
 
 As componentes do desvio da vertical podem ser determinadas através de 
coordenadas astronômicas e geodésicas do ponto. Considerando que (GEMAEL, 1999), 
 
𝜂 = (Λ − 𝜆) cos𝜑 e ( 2.16 ) 
𝜂 = (A𝑎 − 𝐴𝑔) cotg𝜑 , ( 2.17 ) 
 
Igualando 2.16 e 2.17, tem-se: 
 
(Λ − 𝜆) cos𝜑 = (A𝑎 − 𝐴𝑔) cotg𝜑 
⇒ 𝐴𝑔 = A𝑎 − (Λ − 𝜆) sen𝜑. ( 2.18 ) 
 
A Equação 2.18 é conhecida como equação simplificada de Laplace, a qual 
permite transformar um azimute astronômico em azimute geodésico. O desvio da vertical 
pode ser calculado de forma simplificada a partir de: 
 
𝑖2 = 𝜂2 + 𝜉2 . ( 2.19 ) 
 
Outra forma de calcular o desvio da vertical é partir da determinação de um lado 
do triângulo geodésico formado pelas componentes do desvio da vertical (Figura 2.5). Os 
vértices geodésicos em que são efetuadas as determinações astronômicas de azimute e 
longitude recebem o nome de pontos de Laplace. 
A equação de Laplace era utilizada nos vértices de uma rede geodésica de 
triangulação para controlar a sua orientação, com o objetivo de efetuar a compensação 
astronômico-geodésica. 
Os cálculos geodésicos para obtenção das coordenadas dos vértices são 
efetuados sobre o elipsoide. Porém, no método clássico da Geodésia, as observações são 
executadas com equipamentos terrestres (teodolito ou estação total) centrado e nivelado 
sobre a estação cujo alinhamento vertical se refere à direção da vertical astronômica e não 
à normal ao elipsoide. 
 
 
18 
 
 
3. REDES GEODÉSICAS 
 
As redes geodésicas consistem de pontos de controle (estações) 
monumentados que proporcionam a realização/ materialização ou densificação de 
Sistemas Geodésicos de Referência. As redes geodésicas proporcionam o suporte e 
controle geodésico para diversas aplicações, tais como Trabalhos de Geodésia; Geração 
de Cartas e Mapas; SIG (Sistema de Informação Geográfica), Fotogrametria e 
Sensoriamento Remoto; Projetos de engenharia; Hidrografia; Monitoramento de 
deformações; Georreferenciamento de imóveis, etc. 
 
As redes geodésicas podem ser classificadas em (TORGE, 2001): 
 Redes Globais (Internacionais): permitem a realização de sistemas de 
referência definidos por convenções internacionais. Exemplo: ITRFs, 
IGS. 
 Redes Regionais: formam a base fundamental para levantamentos 
geodésicos nacionais, continentais ou inter-continentais. Exemplo: 
RBMC, SIRGAS. 
 Redes Locais: são tipicamente estabelecidas para projetos de 
engenharia e investigações científicas. Ex.: Redes Estaduais e 
municipais. 
 
Temos ainda os conceitos de redes passivas, ativas e temporais: 
 Redes Passivas: É necessária a ocupação do vértice para 
levantamentos geodésicos. Ex.: Redes estaduais e municipais. 
 Redes Ativas: As estações são monitoradas continuamente – estações 
GNSS, como por exemplo, a RBMC (Rede Brasileira de Monitoramento 
Contínuo). Não há necessidade de ocupação da estação, ou seja, as 
dados GNSS coletados são fornecidos via internet. 
 Redes temporais:São monitoradas continuamente. Fornecem 
soluções semanais e anuais. Séries temporais de coordenadas e de 
velocidades. Ex.: Rede SIRGAS-CON. 
 
As redes geodésicas podem ser de três tipos: 
 Redes de Controle Horizontal (Planimétricas): utilizam-se os métodos 
clássicos (poligonação, triangulação e trilateração); 
 Redes de Controle Vertical (Altimétricas): são realizadas através de 
métodos de nivelamentos (trigonométrico ou geométrico) e podem ser 
associados com medidas gravimétricas. 
 Redes Tridimensionais: utilizam-se métodos baseados em Geodésia 
Espacial (ex. GNSS). A altitude obtida em redes tridimensionais é a 
geométrica (com relação ao elipsoide) e para a maioria das aplicações 
necessita-se da altitude ortométrica (com relação ao geoide). Necessita-
19 
 
 
se então do conhecimento da ondulação geoidal (N) ou da realização de 
levantamentos altimétricos por outros métodos. Veja Figura 3.1. 
 
 
Figura 3.1: Superfícies de referência. Fonte: IBGE 
 
Os levantamentos geodésicos requerem o conhecimento de três superfícies: 
Superfície Física da Terra onde são realizadas as operações geodésicas; Superfície 
Geométrica ou Modelo Geométrico caracterizada pelo elipsoide de revolução e o 
Geóide. 
 
 Geóide: Superfície equipotencial do campo de gravidade terrestre que 
mais se aproxima do nível médio dos mares não perturbados. Nos 
continentes e ilhas (25% da superfície terrestre), o Geóide encontra-se no 
interior da crosta terrestre (GEMAEL, 1999). 
 
 Altitude Ortométrica: (H): É a distância de um ponto na superfície terrestre 
até o Geóide, contada ao longo da linha vertical. 
 
 Altitude geométrica (h): distância do ponto na superfície física até o 
elipsoide, contada sobre a Normal. 
 
 Ondulação do Geóide (N): Também conhecida como Ondulação Geoidal, 
é a distância do elipsoide de referência ao geóide, contada ao longo da 
Normal. 
 
A altitude ortométrica (H) é utilizada nas obras de engenharia porque possui 
significado físico, diferentemente da altitude geométrica (h), a qual é associada ao 
elipsoide. A altitude ortométrica pode ser determinada por nivelamento geométrico 
associado à gravimetria. 
20 
 
 
Após o advento da tecnologia GNSS, a determinação da altitude geométrica (h) 
se tornou mais fácil e o conhecimento do geóide ou ondulações geoidais (N) é de 
fundamental importância. Se a ondulação geoidal for conhecida pode-se obter a altitude 
ortométrica (H). A Figura 3.2 mostra a projeção de P via linha vertical e normal, 
respectivamente no geóide e elipsóide. 
 
 
Figura 3.2 - Projeção de P no elipsóide e geóide 
 
A ondulação geoidal pode ser obtida de forma aproximada por: 
 
𝐍 = 𝐡 – 𝐇 ( 3.1 ) 
 
=> 𝐇 = 𝐡 − 𝐍 ( 3.2 ) 
 
A partir de medidas GNSS pode-se estimar a altitude geométrica (h). se está for 
estimada, por exemplo, sobre um vértice com altitude ortométrica (H) conhecida (via 
nivelamento geométrico) obtém-se a ondulação geoidal a partir da Equação 3.1. Se a 
ondulação geoidal (N) for conhecida, por exemplo, a partir de modelos geoidais ou 
determinações gravimétricas, pode-se calcular a altitude ortomérica utilizando N e a 
altitude geométrica determinada via GNSS. 
 
3.1 Redes de controle horizontal 
 
As redes de controle horizontal são realizadas, por exemplo, por pontos 
trigonométricos, através do método de triangulação. Ao conjunto de pontos que constituem 
a rede geodésica dá-se o nome genérico de triangulação e aos pontos em si de vértices 
geodésicos. 
21 
 
 
Diferentes ordens de triangulação podem ser distinguidas: primeira ordem ou 
primária (separação de 30 a 60 km entre as estações); segunda ordem 
(aproximadamente 10 km) chegando até a quarta ou quinta ordem (separação abaixo de 
1 ou 2 km entre as estações). A descrição dos métodos clássicos de triangulação, 
trilateração e poligonação é realizada a seguir. 
 
3.1.1 Triangulação 
 
Uma rede de triangulação geodésica consiste num conjunto de vértices 
𝐴, 𝐵, 𝐶, …, materializados no terreno e formando uma série de quadriláteros, como mostra a 
Figura 3.3: 
 
 
Figura 3.3: Rede de triangulação geodésica 
 
Na Figura 3.3 tem-se que: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é a base geodésica (medida), 𝐴, 𝐵, 𝐶, … são os 
vértices (materializados) e 1, 2, 3, … são os ângulos medidos. 
Na triangulação, todos os ângulos do triângulo são observados com um 
teodolito. Alguns lados dos triângulos são observados para se ter o controle de escala. 
A medição angular, segundo a Resolução PR nº 22 de 1983 do IBGE, deve ser 
feita pelo método das direções com 16 pontarias direta (PD) e 16 pontarias inversa (PI) 
por série. 
O espaçamento entre os vértices deve ser entre 15 e 25 km (caso geral) ou no 
máximo 25 km em regiões mais desenvolvidas. A projeção de uma rede de triangulação no 
elipsoide requer o conhecimento de alguns parâmetros iniciais: 
 Translação: coordenadas de um ponto (ponto datum); 
 Rotação: azimute de uma direção; 
 Escala: comprimento medido de um lado. 
 
Desta forma, quatro injunções iniciais são necessárias, ou seja, duas 
coordenadas (latitude e longitude) do ponto datum, um azimute e uma direção. O 
comprimento medido de no mínimo um dos lados do triângulo fornece a escala. As 
observações astronômicas providenciam a orientação da rede, onde a determinação de um 
22 
 
 
azimute astronômico é necessária para a orientação horizontal de acordo com a equação 
de Laplace (Equação 2.14). 
Em redes de grandes extensões, são estabelecidos os pontos de Laplace para 
controle dos erros propagados na rede com relação à escala e à orientação. 
Nas triangulações era comum a utilização de torres geodésicas em geral treliças 
metálicas em forma de seção triangular de fácil montagem. No Brasil usava-se a torre 
Bilby, que foi desenvolvida por Jasper S. Bilby in 1926 e chegava a alcançar até 38 metros. 
 
 
Figura 3.4 - Torre de Bilby. 
Fonte: http://celebrating200years.noaa.gov/magazine/bilby/welcome.html 
 
 A utilização de torres tinha como objetivo permitir a visada do teodolito/estação 
total entre os vértices da rede geodésica que podia atingir dezenas de quilômetros. 
Verifica-se facilmente que o transporte dos equipamentos, a montagem das estruturas 
demandava tempo e as vezes grandes equipes. Além disto, as coordenadas estimadas 
estavam sujeitas a diversos erros de ordem sistemática, seja em função das grandes 
distâncias ou de fenômenos atmosféricos envolvidos com o processo de medidas. 
 Com o surgimento do GNSS, a determinação da rede se torna mais rápida e 
fácil visto que os receptores da rede não requerem intervisibilidade, não há demanda de 
grandes equipes e o transporte é fácil e rápido. Além disto, a estimativa das coordenadas a 
partir da Geodésia Espacial é mais acurada que as aquelas advindas dos métodos 
clássicos em função das deficiências supracitadas em relação a estes métodos. 
 
 
 
23 
 
 
3.1.2 Trilateração 
 
 Processo de levantamento semelhante à triangulação, sendo que em lugar da 
formação dos triângulos a partir da medida dos ângulos, o levantamento é efetuado a partir 
da medida dos lados. A vantagem é que há uma maior rapidez na execução das medições. 
A Figura 3.5 mostra o esquema de uma rede de trilateração. 
 
 
Figura 3.5: Rede de trilateração geodésica 
 
 São realizadas medidas de distâncias (𝑑1, 𝑑2,…) entre os vértices geodésicos 
com um distanciômetro, por exemplo. 
 
3.1.3 Poligonação 
 
 Na poligonação medem-se os ângulos e as distâncias entre os vértices 
adjacentes que formam as linhas poligonais ou polígonos. A medida dos ângulos é 
semelhante à da triangulação e a medida de distâncias à da trilateração. Um exemplo de 
uma poligonal é mostrada na Figura 3.6: 
 
 
Figura 3.6: Poligonação geodésica 
 
A poligonação geodésica se assemelha à poligonação realizada na Topografiacom a grande diferença que no caso da Topografia, o transporte é realizado no plano 
topográfico e no caso da Geodésia, além da aplicação de ajustamento das observações, é 
24 
 
 
preciso levar em consideração as reduções para o elipsoide e rigor nas correções 
atmosféricas afetando as medidas de ângulos e distâncias, o que torna o problema mais 
complexo do ponto de vista matemático. 
 
3.1.4 Ponto datum ou ponto origem 
 
 Na maioria das triangulações geodésicas, o ponto datum (origem) caracterizava-
se pela seguinte imposição arbitrária: 
 
𝜉0 = 𝜂0 = 𝑁0 = 0 . ( 3.3 ) 
 
 Considerando as Equações 2.11 e 2.12 verifica-se que: 
 
 Componente meridiana (𝜉) 
𝜉 = 𝜙 − 𝜑 
se 𝜉 = 0 ⇒ 𝜑 = 𝜙 , ( 3.4 ) 
ou seja, se a latitude geodésica é igual a astronômica. 
 
 Componente primeiro vertical (𝜂) 
𝜂 = (Λ − 𝜆) cos𝜑 
se 𝜂 = 0 ⇒ 𝜆 = Λ. ( 3.5 ) 
 
 Se 𝜆 = Λ significa que na Equação 2.18, temos: 
 
𝐴𝑔 = A𝑎 . ( 3.6 ) 
 
Quando 𝜉0 = 𝜂0 significa que a vertical coincide com a normal e 𝑁0 = 0 significa 
que a ondulação geoidal (𝑁) é nula, ou seja, o geoide é coincidente com o elipsoide. 
 Considerando as quatro injunções iniciais da triangulação (2 coordenadas, 1 
azimute e 1 direção), três delas ficam solucionadas com esta imposição arbitrária 
(Equação 3.3). As medições astronômicas no ponto datum proporcionarão duas 
coordenadas (𝜑 e 𝜆) (ver equação 3.4) e um azimute (𝐴𝑔) (ver Equação 3.6). 
Um conjunto de cadeias de triangulação pode ser utilizado na realização de um Sistema 
Geodésico Nacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
Tabela 3.1: Exemplo de Sistema Geodésico de Referência Brasileiro 
 Córrego Alegre SAD69 
Figura geométrica 
Elipsoide de Hayford 
(1924): 
𝑎=6378388,00 𝑚 e 
𝑓=1/297,0 
Elipsoide South American 1969 (difere do 
elipsoide de referência 1967 (UGGI67) no que 
se refere o achatamento): 
𝑎=6378160,00 𝑚 e 𝑓=1/297,25 
Ponto 
datum 
Vértice Córrego Alegre 
𝜙 = 𝜑 = -19° 50′ 14,91”; 
Λ = 𝜆 = -48° 57′ 41,98” 
Vértice Chuá 
 Coordenadas astronômicas: 
𝜙= -19° 45′ 41,34”; 
Λ= -48° 06′ 07,80”; 
𝐴𝑎= 271° 30′ 05,42” 
 Coordenadas geodésicas: 
𝜑= -19° 45′ 41,6527”; 
𝜆= -48° 06′ 04,0639”; 
𝐴𝑔= 271° 30′ 04,05” 
Orientação 
elipsoide-geoide 
no ponto datum 
𝜉 = 𝜂 = 0"; 𝑁 = 0 𝑚 𝜉 = 0,31"; 𝜂 = − 3,52"; 𝑁 = 0 𝑚 
 
 Para o sistema geodésico nacional não há problemas ou inconvenientes na 
adoção de 𝜉0 = 𝜂0 = 0. Porém, do ponto de vista internacional, as coordenadas 
geodésicas de dois países, por exemplo, se tornam incompatíveis. 
 
Exercício: 
 
1) Dadas as coordenadas astronômicas e as respectivas geodésicas conforme a 
seguir, calcule os valores de 𝜉 , 𝜂 e 𝐴𝑔. 
 
Coordenadas astronômicas: 
𝜙= -19° 45′ 14,34”; 
Λ= -48° 06′ 07,80”; 
 
Coordenadas geodésicas: 
𝜑= -19° 45′ 41,6527”; 
𝜆= -48° 06′ 04,0639”; 
𝐴𝑔= 271° 30′ 04,05” 
 
3.1.5 Considerações finais sobre redes de controle horizontal 
 
 Nos métodos de triangulação, trilateração e poligonação as 
medidas/observações são realizadas utilizando teodolito ou estação total. As medidas são 
realizadas na superfície terrestre necessitando posteriormente serem reduzidas ao 
26 
 
 
elipsoide. Os métodos de triangulação foram aplicados no Brasil no século passado. A 
Figura 3.7 mostra o cartograma das estações de poligonação e triangulação no Brasil. 
 
 
Figura 3.7 – Rede planimétrica clássica. Fonte: IBGE 
 
Os cálculos são efetuados considerando os requisitos geodésicos e aplicam-se 
as equações para o transporte de coordenas no elipsoide (seção 6). 
 
Observações: ângulos e distâncias ⇒ reduções ao elipsoide 
 
 Os ângulos medidos não são suficientes para projetarem os vértices sobre a 
superfície do elipsoide, ou seja, somente ângulos não determinam o triângulo 
(indeterminação!). 
27 
 
 
 Para resolver essa indeterminação são necessárias quatro injunções iniciais, 
sendo que primeiramente admite-se que um dos vértices é o ponto origem (datum) da 
triangulação: 
 
2 coordenadas geodésicas (𝜑 e 𝜆) conhecidas ⇒ impede a translação 
1 azimute geodésico (𝐴𝑔)de uma direção ⇒ assegura a orientação da triangulação 
1 comprimento inicial de uma base (base geodésica) ⇒ assegura que o triângulo seja 
projetado no elipsoide com escala 
 
 O transporte de coordenadas (cálculo de coordenadas geodésicas de um ponto) 
é realizado a partir da solução do problema direto como será apresentado na seção 6. 
 Realizada a redução das medidas ao elipsoide, posteriormente, pode ser feito o 
ajustamento da rede geodésica através, por exemplo, do método de equações de condição 
ou do método paramétrico (GEMAEL, 1999). 
 
 
28 
 
 
4. MEDIÇÃO ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA 
 
Uma distância estabelece a escala de uma rede geodésica e as relações 
geométricas entre as estações (TORGE, 2001). As medidas podem ser realizadas a partir 
de taqueometria que envolve observações à miras graduadas e com o desenvolvimento de 
instrumentos eletrônicos para medir distâncias surgem então os Medidores Eletrônicos de 
Distância (MED). 
As medições eletrônicas de distância se iniciaram no final da década de 1940. 
Utilizavam-se a luz visível (  = 0,4 até 0,8 µm) e o infravermelho próximo (até  = 1 µm) ou 
micro-ondas ( = 1 até 10 cm). Microondas são dificilmente absorvidas pela atmosfera e 
permite realizar medida de grandes distâncias (50 km ou mais). Contudo, os efeitos de 
umidade na refração da onda são grandes, o que pode deteriorar os resultados. 
 
4.1 Histórico 
 
O primeiro MED foi desenvolvido pelo físico sueco Erick Bergstrand em 1948 e 
foi denominado geodímetro (geodetic distance meter) (TORGE, 2001). Resultou das 
tentativas de melhorar os métodos para medir a velocidade da luz. Ele transmite laser com 
modulação de frequência entre 15 e 50 MHz. Esse equipamento foi capaz de medir 
distâncias de até 60 km em dias claros com acurácia de ±(10...15 mm + 2x10-6 s). 
Em 1956, o telurômetro foi construído pelo sul africano T. L. Wadley (TORGE, 
2001). Este medidor de distância era baseado em microondas. A estação emitia uma onda 
portadora ( = 8 mm até 10 cm) modulada (modulação de frequências entre 7,5 e 150 
MHz), a qual era retransmitida pelo transponder ativo (receptor e transmissor). Com esse 
equipamento foram obtidas medidas de distâncias de até 70 km ou mais com acurácia de 
±(10...15 mm + 3x10-6 s). 
Os medidores geodímetro e telurômetro eram caros e não portáteis (pesados) 
para operações de campo o que requeria longos procedimentos de medição. Além disto, 
as reduções matemáticas para obter distâncias consumiam muito tempo. Medidores de 
distância eletro-óptico de longa distância e micro-ondas foram extensivamente utilizados 
entre os anos de 1950 e 1970. 
 Conforme as pesquisas avançaram e as dificuldades foram sendo superadas 
surge dos Medidores Eletrônico de Distância (MEDs). A combinação do MED com teodolito 
digital e microprocessadores resultou no instrumento denominado estação total, a partir 
da qual se pode observar simultaneamente e automaticamente ângulos (horizontais e 
verticais) e distâncias. O tempo de viagem do sinal é utilizado para a medição de distância 
e a medição do tempo pode ser realizada pelos métodos de pulso ou de comparação de 
fase. 
 
 
 
 
29 
 
 
4.2 Método de pulso 
 
O transmissor emite um pulso que é refletido no ponto e observado no receptor. 
Um medidor eletrônico de tempo mede o tempo ∆𝑡 que o sinal leva para percorrer a 
distância medida (𝑠). 
 
𝑠 = 
𝑐
2
 ∆𝑡 , ( 4.1 ) 
em que, 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo e assume-se que os efeitos de refração tenham 
sido levados em consideração. 
 
Verifica-se a partir da Equação 4.1 que para medir uma distância com acurácia 
de 5 mm, o tempo deve ser observado com erro menor que 3 ns (nano segundos). A 
demanda por medição de tempo com alta acurácia pode ser supridapelo uso de um 
oscilador de alta frequência, por exemplo, relógio atômico. Tal processo é utilizado, por 
exemplo, no SLR (Satellite Laser Ranging) (TORGE, 2001). 
 
4.3 Método de comparação de fase 
 
No método de comparação de fase uma onda portadora de alta frequência é 
enviada pelo transmissor e modulada continuamente (modulação de amplitude ou de 
frequência) com modulação de frequência de aproximadamente 10 e 100 MHz e 
comprimento de onda (𝜆 = 𝑐 𝑓⁄ ) da ordem do metro (1 a 10 m). A diferença de fase 
encontrada entre o sinal transmitido e o recebido representa a parte residual da distância 
(Figura 4.1). 
 
 
Figura 4.1: Método de comparação de fase. Fonte: Torge (2001) 
 
O tempo de viagem ∆𝑡 e a diferença de fase ∆𝜑 são relacionados da seguinte 
forma: 
 
∆𝑡 = 
𝑁+∆𝜑/2𝜋
𝑓
 , ( 4.2 ) 
30 
 
 
em que, 𝑁 é o número completo de períodos e 𝑓 é a frequência de modulação que é dada 
por: 
 
𝑓 =
𝑣
𝜆
=
𝑐
𝑛𝜆
 , ( 4.3 ) 
sendo 𝑛 o índice de refratividade do meio. 
 
 Substituindo as Equações 4.2 e 4.3 em 4.1 e assumindo que a refração foi 
corrigida separadamente, tem-se (demonstração a cargo do leitor): 
 
𝑠 =
𝜆
2
(𝑁 +
𝛥𝜑
2𝜋
) . ( 4.4 ) 
 
 A parte residual do comprimento de onda é dado por: 
 
𝛥𝜆 =
𝛥𝜑
2𝜋
𝜆 ⇒ 𝛥𝜑 =
𝛥𝜆2𝜋
𝜆
 , ( 4.5 ) 
 
 Substituindo a 4.5 em 4.4, tem-se: 
 
𝑠 = 𝑁 
𝜆
2
+
𝛥𝜆
2
 . ( 4.6 ) 
 
 Atualmente, com os detectores digitais e medidas com base em comparação de 
fase, o processo de medida é totalmente automatizado com resolução da ordem de 10-3 
até 10-1 o que corresponde a uma precisão milimétrica. 
 O valor de 𝑁 na Equação 4.6 é determinado automaticamente aplicando 
diferentes modulações de frequência gerada pela divisão de frequência. Assim, 𝑁 e 𝜆 são 
obtidos eletronicamente pelos MEDs. 
 Uma unidade de medidor de distância consiste basicamente de um oscilador e 
um transmissor, de um receptor, de um modulador e de um microprocessador. Os 
elementos básicos de um MED podem ser vistos na Figura 4.2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
Figura 4.2: Elementos básicos de um MED. Fonte: Adaptado de Torge (2001) 
 
4.4 Correções a serem aplicadas nas medidas 
 
4.4.1 Processo de calibração 
O processo de calibração de um MED inclui o controle da frequência modulada e a 
determinação de constantes instrumentais conhecidas como “erro zero” e “erro cíclico”. 
A descrição de cada um destes erros é dada por: 
 
 Fator de escala (kf): Variação na frequência da onda 
 Erro zero (K0): Representa a não coincidência entre o centro mecânico e o 
eletrônico do MED. 
 Erro Cíclico: representa o erro em amplitude e fase 
 
Para o caso de MED, geralmente, a frequência de modulação é altamente 
estável e conhecida com precisão. Contudo, precisa ser averiguada periodicamente. Se a 
frequência (f) não corresponde ao valor de projeto, ou seja, à frequência padrão (f0) 
estabelecida em condições padrões determina-se então a sua correção (kf) para a 
distância si: 
 
𝑘𝑓 =
𝑠𝑖(𝑓0−𝑓)
𝑓0
 . ( 4.7 ) 
 
A correção K0 (erro zero) considera a diferença entre os centros eletrônico e 
mecânico do instrumento além da separação entre os centros de reflexão e físico do 
32 
 
 
refletor. A determinação de K0 pode ser feita com base em medidas numa base de 
calibração composta por dois ou mais vértices geodésicos conforme ilustrado a seguir: 
 
 
Figura 4.3 – Esquema da base de calibração 
 
A base de calibração com os vértices separados por distâncias curtas (até 
aproximadamente 1 km) deve ter as distâncias entre os vértices conhecidas com boa 
precisão, o que geralmente é obtido via interferometria laser ou medidor de curta distância 
(distanciômetro). 
Considere, por exemplo, as distâncias medidas entre os vértices P1 e P2 (s1) e P2 
e P3 (s2), além da distância entre P1 e P3 (s4) (ver Figura 4.2). Desta forma, o valor de K0 
poderia ser obtido a partir de 
 
𝑘0 = 𝑠4 − (𝑠1 + 𝑠2) . ( 4.8 ) 
 
Ao considerar as medidas S1, S4 e S, pode-se escrever o modelo funcional do 
ajustamento e aplicar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para estimar o valor de K0. 
Com base nas correções apresentadas nesta seção uma distância medida si será 
corrigida a partir de: 
 
𝑑 = 𝑠𝑖 + 𝑘0 + 𝑘𝑓 . ( 4.9 ) 
em que d representa a distância corrigida dos parâmetros de calibração. 
 
4.4.2 Correção do índice e do coeficiente de refração 
 
 O sinal modulado é enviado e retransmitido/refletido para a estação de origem e 
analisado. A distância no instrumento (si) entre dois pontos pode ser expressa por: 
 
2𝑠𝑖 = 𝑚𝜆 + 𝜇𝜆 , ( 4.10 ) 
 
em que, 𝜆 é o comprimento de onda modulada, 𝑚 é o número inteiro de comprimento de 
onda e 𝜇 é o número fracionário do comprimento de onda. O instrumento obtém 𝑚 e 𝜇 
eletronicamente. 
 
 O comprimento de onda (𝜆) depende da velocidade de propagação das ondas 
eletromagnéticas (V) e da frequência de modulação (f): 
33 
 
 
 
𝜆 = 𝑉 𝑐⁄ . ( 4.11 ) 
 
 No vácuo 𝑉 é igual à velocidade da luz (𝑐 = 299792458 m/s) (ver IERS 
conventions 2010). Na atmosfera 𝑉 é sempre menor que 𝑐: 
 
𝑣 = 𝑐 𝑛⁄ , ( 4.12 ) 
em que 𝑛 é o índice de refração do ar. 
 
 O valor de 𝑛 pode ser determinado com base em medidas climatológicas: 
temperatura, pressão e umidade do ar. Os parâmetros climatológicos, geralmente, são 
medidos em cada vértice da rede geodésica e uma média aritmética é introduzida com a 
redução de refração. 
 As correções de refração tem que ser aplicadas para as distâncias observadas 
antes do processamento e podem ser divididas em três partes. A distância �̅�0 lida no 
instrumento é baseada no valor padrão do índice de refração 𝑛0 calculado a partir dos 
valores padrão de temperatura e pressão do ar. Se um valor �̅� mais realístico é disponível 
a parir de medidas meteorológicas locais, pode-se escrever a seguinte relação (TORGE, 
2001): 
 
�̅��̅� = �̅�0𝑛0 
=> �̅� =
�̅�0𝑛0
�̅�
 . ( 4.13 ) 
 
 A Equação 4.13 proporciona a primeira correção de velocidade, a qual é dada 
por: 
 
𝑘𝑛 = �̅�(𝑛0 − �̅�) . ( 4.14 ) 
 
 Considerando uma média geral das condições diárias com céu claro e para 
alturas entre 40 e 100 km acima do solo, tem-se que o raio de curvatura da luz (𝑟) difere do 
raio da Terra 𝑅 (𝑟 ≈ 8𝑅) sendo R o raio de curvatura de uma seção Normal. A luz passa 
através das camadas atmosféricas com um índice de refratividade muito maior do que o 
valor médio estimado �̅� (TORGE, 2001). 
O coeficiente de refração, geralmente é adotado como: 𝑘 = 0,13. Este 
coeficiente pode ser calculado pela razão entre o raio da Terra e o raio de curvatura: 
 
𝑘 =
𝑅
𝑟
= −𝑅
𝑑𝑛
𝑑ℎ
 ( 4.15 ) 
 
Em que h é a altura. Assim, tem-se que: 
𝑑𝑛
𝑑ℎ
= −
𝑘
𝑅
 ( 4.16 ) 
 
34 
 
 
 Considerando k=0,13 e R=6371 km, tem-se: 
 
𝑑𝑛
𝑑ℎ
=
𝑘
𝑅
= −
0,13
6371
 = −20 × 10−6 𝑘𝑚⁄ , ( 4.17 ) 
que pode ser usado para calcular a segunda correção de velocidade: 
 
𝑘Δ𝑛 = −(𝑘 − 𝑘
2) 
𝑠̅3
12𝑅3
 . ( 4.18 ) 
 
 Esta correção é menor que 1 mm para distâncias acima até 15 km e, 
geralmente, pode ser negligenciada (TORGE, 2001, p. 205). Aplicando as correções da 
seção 4.4.1 e as apresentadas nesta seção, a distância medida si será corrigida por: 
 
𝑑 = 𝑠𝑖 + 𝑘0⏟
𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑧𝑒𝑟𝑜
+ 𝑘𝑓⏟
𝑐𝑜𝑟𝑟.
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
+ 𝑘𝑛⏟
1ª 𝑐𝑜𝑟𝑟.
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
+ 𝑘Δ𝑛⏟
2ª 𝑐𝑜𝑟𝑟.
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 . ( 4.19 ) 
sendo d a distância corrigida dos efeitos atmosféricos e da calibração instrumental. 
 
35 
 
 
5. REDUÇÕES PARA O ELIPSÓIDE 
 
O transporte de coordenadas geodésicas é realizado sobre o elipsoide, o que 
requer a redução das medidas (distância e ângulos) na superfície física da Terra para a 
superfície geométrica. A redução de distância se caracteriza como um problema totalmente 
geométrico, visto que não depende do campo gravitacional daTerra. As reduções de 
distância e azimute são apresentadas nas seções a seguir. 
 
5.1 Redução de distância 
 
 Para cálculos tri-dimensional é necessário reduzir a distância na corda ( 𝑠𝑐 ) 
para o elipsoide. A Figura 5.1 apresenta as seções do elipsoide envolvidas no processo de 
redução da distância espacial ao elipsoide (KRAKIWSKY; THOMSON, 1974; VANICEK e 
KRAKIWSKY, 1982; TORGE, 2001). 
 
 
Figura 5.1 – Redução da distância espacial ao elipsoide. Adaptado de Torge (2001) 
 
Considere a distância ‘d’ corrigida dos efeitos atmosféricos (ver seção 4.4.1 e 
4.4.2) e assumindo um arco esférico com raio 𝑟, tem-se: 
 
𝑠𝑐 = 2𝑟sen (
𝑑
2𝑟
), ( 5.1 ) 
ou após uma expansão em série: 
 
𝑠 = 2𝑟 (
𝑑
2𝑟
−
1
6
(
𝑑
2𝑟
)
3
+⋯). ( 5.2 ) 
 
36 
 
 
 Fazendo uso do coeficiente de refração 𝑘 = 𝑅/𝑟 (ver equação 4.15) e inserindo 
na equação 5.2, obtém-se a redução de curvatura: 
 
𝑘𝑟 = −𝑘
2 𝑑
3
24𝑅2
. ( 5.3 ) 
sendo k o coeficiente de refração (k=0,13), d a distância medida sob efeitos da atmosfera 
terrestre e R é o raio de curvatura de uma seção Normal com azimute  (alfa), a qual é 
dada por: 
 
1
𝑅𝛼
=
𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑀
+
𝑠𝑒𝑛2𝛼
𝑁
 ( 5.4 ) 
onde M é o raio de curvatura da seção Meridiana e N é o raio de curvatura da seção 
Normal. 
 A redução 𝑘𝑟 em 5.3 é menor que 0,1 mm para uma distância de 15 km e pode 
ser negligenciada (TORGE, 2001). A distância d (observada) é reduzida à corda sc com a 
aplicação de 𝑘𝑟 e a adição da correção de primeira velocidade (Equação 4.14): 
 
𝑠 − �̅�0⏟ 
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎
= 𝑑(𝑛0 − �̅�) −
2𝑘−𝑘2
24𝑅2
𝑑3 ( 5.5 ) 
 
 A partir da Figura 5.1 verifica-se facilmente (aplicando a lei dos cossenos para 
) que a distância na corda pode ser representada por: 
 
𝑠𝑐
2 = (𝑅 + ℎ1)
2 + (𝑅 + ℎ2)
2 − 2(𝑅 + ℎ1)(𝑅 + ℎ2)𝑐𝑜𝑠Ψ ( 5.6 ) 
 
 A expressão para so é dada por: 
 
𝑠0 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛
Ψ
2
 ( 5.7 ) 
 
A seção normal pode ser obtida por: 
 
𝑆𝑛 = 𝑅Ψ ( 5.8 ) 
 
Isolando  na equação 5.7 e inserindo na equação 5.8 obtém-se a fórmula de 
redução para a seção normal: 
 
𝑆𝑛 = 2𝑅𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑠0
2𝑅
 ( 5.9 ) 
Onde 𝑠0 é calculado por: 
 
37 
 
 
𝑠0 = √
𝑠𝑐
2−(ℎ2−ℎ1)
2
(1+
ℎ1
𝑅
)/(1+
ℎ2
𝑅
)
 ( 5.10 ) 
Após expansão em série, diferentes contribuições ao processo de redução 
podem ser observados: 
 
𝑆𝑛 − 𝑠𝑐 = −
ℎ1+ℎ2
2𝑅
𝑠𝑐 −
(ℎ2−ℎ1)
2
2𝑠𝑐
+
𝑠0
3
24𝑅2
 ( 5.11 ) 
 
Na equação 5.11, o primeiro termo corresponde a redução a partir da altura 
média para o elipsoide e pode alcançar a magnitude do metro em regiões montanhosas e 
em longas distâncias. O segundo termo leva a inclinação da distância em consideração e 
atinge valores abaixo do metro para regiões de planície podendo atingir grandes valores 
para regiões montanhosas. O último termo fornece a transição da corda para a seção 
normal e alcança a ordem de centímetr4os a grandes distâncias (TORGE, 2001). 
 
A redução da seção normal para a geodésica 𝑆𝑔
 é dada por: 
 
Δ𝑆𝑔 − 𝑆𝑛 = −
𝑒4
360𝑎4
𝑐𝑜𝑠4𝜑 𝑠𝑒𝑛2(2𝐴𝑔)𝑆𝑛
5
 ( 5.12 ) 
 
 A magnitude desta redução atinge valores d ordem do metro para distância 
acima de 1000 km e pode ser negligenciada para o caso do cálculo de redes geodésicas 
clássicas (TORGE, 2001). 
 
5.2 Redução de azimute 
 
Os azimutes observados na rede geodésica por equipamentos clássicos se 
referem à linha da vertical (Azimute astronômico) e devem ser reduzidos para o elipsoide. 
A redução de azimute astronômico Aa é composta de três partes: 
 Equação de Laplace; 
 Redução para a seção normal; 
 Redução para a geodésica. 
 
A equação de Laplace leva em consideração os efeitos do desvio da vertical 
(ver equação 2.14 da seção 2.5) 
 
𝐴𝑔 − 𝐴𝑎⏟ 
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
= −[𝜂 tan𝜑 + (𝜉 sen 𝐴𝑔 − 𝜂 cos 𝐴𝑔) cotg 𝜁] , ( 5.13 ) 
onde: 
 𝐴𝑔 – azimute geodésico; 
38 
 
 
 𝐴𝑎 – azimute astronômico; 
 𝜂 – primeiro vertical; 
 𝜉 – componente meridiana; 
 𝜁 – zenital astronômico; 
 𝜑 – latitude geodésica. 
Se um ponto P2 não está localizado no elipsoide, mas na altura h2, como 
exemplificado na Figura 5.2, outra redução deve ser aplicada. 
 
 
Figura 5.2 – Redução normal de azimute. Adaptado de Torge (2001) 
 
O plano vertical formado pela normal elipsoidal nos pontos P1 e P2, em geral, 
não contém a normal elipsoidal em P2. Assim, a seção normal não contém o ponto Q2, 
mas passa por Q2’, o que requer uma redução pelo ângulo Q2’P1Q2 (Figura 5.2): 
 
𝐴𝑛 − 𝐴ℎ2⏟ 
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
=
𝑒2
2𝑏
𝑐𝑜𝑠2(𝜑)𝑠𝑒𝑛(2𝐴𝑔)ℎ2 ( 5.14 ) 
em que e é a primeira excentricidade e b o semi-eixo menor do elipsoide. Como exemplo, 
para a latitude geodésica 𝜑 = 0º e azimute geodésico (Ag=45º), a redução é da ordem de 
0,11 segundos para uma altura h2 =1000 m. 
Por fim, o azimute deve ser reduzido da seção normal para a geodésica (Ag) 
 
𝐴𝑔 − 𝐴𝑛 = −
𝑒2
12𝑎
𝑐𝑜𝑠2(𝜑)𝑠𝑒𝑛(2𝐴𝑔)𝑆
2 ( 5.15 ) 
39 
 
 
onde a é o semi-eixo maior do elipsoide e S é a distância (ver seção 5.1). Para a latitude 
geodésica 𝜑 = 0º e azimute geodésico (Ag=45º), a redução é da ordem de 0,028” 
segundos para uma distância S =100 km. 
 
5.3 Exercício 
 
1) Atividade prática: Utilizar a base de calibração e fazer medidas com um MED para obter a 
correção de erro zero. 
 
2) Considerando que n0 = 1,0003 e que foi observado em campo n = 1,000276 obtenha a 
correção de primeira velocidade (kn). 
 
3) Adotando k=0,20 e raio de curvatura de uma seção normal igual a 6370 km, calcule a 
correção de segunda velocidade para uma distância de 20 km. 
 
4) Obtenha o valor da redução à corda e aplique na distância corrigida do exercício anterior. 
 
 
40 
 
 
6. TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS 
 
Em trabalhos geodésicos, geralmente as observações angulares e lineares 
coletadas na superfície física da Terra são reduzidas a uma superfície de referência 
adotada para os cálculos e, esse processo é conhecido como reduções angulares e 
lineares, assunto que já foi apresentado na seção 5. 
Ao se executar os cálculos de coordenadas, a partir de direções e distâncias 
sobre um elipsóide particular, comparecem dois problemas essenciais da Geodésia, 
denominados de Problema Direto e Problema Inverso. O primeiro caso consiste em obter 
as coordenadas de um ponto P2, onde são conhecidas as coordenadas de um ponto P1, a 
distância geodésica (considerando a linha geodésica) entre esses pontos e o azimute 
geodésico (azimute a vante) de P1 para P2. No Problema Inverso são conhecidas as 
coordenadas de P1 e P2 e o que se deseja é obter o azimute a vante, o azimute de P2 
para P1 (contra-azimute) e a distância entre os pontos P1 e P2. 
Atualmente com o desenvolvimento da Geodésia por Satélite o Problema Direto, 
como era tradicionalmente utilizado, se tornou muito pouco relevante para a Geodésia 
(JEKELI, 2002). Porém, existem outros problemas que requerem o uso dessa técnica, 
como por exemplo, o cálculo de áreas sobre o elipsóide como pode ser visto em Galo; 
Monico e Oliveira (2003). No que concerne ao Problema Inverso, este ganhou realce nos 
dias atuais, entretanto, com as “trilaterações de lados longos”, com o posicionamento por 
satélites artificiais e também por razões de ordem militar (GEMAEL, 1988). 
 
6.1 PROBLEMA DIRETO E INVERSO 
 
 Definição: 
 
Problema Direto: Conhecidas as coordenadas geodésicas de um ponto sobre o 
elipsóide, o azimute para um segundo ponto e a distância entre eles, encontrar as 
coordenadas geodésicas do segundo ponto, bem como o contra-azimute (azimute do 
segundo ponto para primeiro ponto), onde os azimutes são geodésicos. Logo, têm-se: 
 
Dados: ;S,,, 121211  Encontrar: ;,, 2122  
 
 Note que  nesta seção se refere ao azimute geodésico (Ag) reduzido para a 
geodésica, como apresentado na seção anterior. A Figura 1 ilustra os elementosenvolvidos no Problema Direto 
 
41 
 
 
 
Figura 6.1: Elementos envolvidos no problema Direto. 
Adaptado de Aguirre et al., 2000. 
 
Problema Inverso: Conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos 
sobre o elipsóide encontrar o azimute a vante e a ré, bem como a distância geodésica 
entre os pontos, onde, têm-se: 
 
Dados: ;,,, 2211  Encontrar: ;S,, 122112  
 
A Figura 2, ilustra os elementos envolvidos no Problema Inverso. 
 
 
Figura 6.2: Elementos envolvidos no Problema Inverso. 
Adaptado de Aguirre et al., 2000. 
 
Na resolução dos Problemas Direto e Inverso podem ser consideradas duas 
hipóteses. Na primeira, a distância que separa os vértices envolvidos no problema é 
“pequena”, algo em torno de 50 km como ocorre nas triangulações geodésicas. Na 
segunda hipótese a distância citada é “grande”, como ocorre em posicionamento por 
42 
 
 
satélites artificiais. As fórmulas existentes são equivalentes em termos de precisão para a 
primeira hipótese, porém no caso da segunda, algumas fórmulas vão degradando a 
acurácia dos resultados à medida que aumenta a distância entre os pontos, sendo que 
algumas fórmulas podem ser utilizadas somente até certo limite (GEMAEL, 1988). 
A solução desses problemas forma a base para a solução geral de triângulos 
elipsóidicos, análogo a solução relativamente simples de um triângulo esférico. De fato, 
uma solução para o problema é desenvolvida por aproximações de um elipsóide local por 
uma esfera. Há muitas outras soluções válidas para linhas curtas e são baseadas em 
algum tipo de aproximação. Nenhum desses desenvolvimentos é muito simples e nem 
exato, no geral, são resolvidos por séries ou soluções iterativas (JEKELI, 2002, p.34). 
Na próxima seção, serão mostradas algumas fórmulas encontradas na literatura 
especializada, porém antes de entrar efetivamente no desenvolvimento das equações 
segue a definição de linha geodésica, ou simplesmente geodésica. 
 
 
Figura 6.3 – Representação da linha geodésica 
 
Segundo Gemael (1988), a geodésica é uma linha jacente numa superfície e tal 
que em todos os seus pontos a sua normal principal coincide com a normal à superfície. A 
geodésica representa o menor caminho entre dois pontos sobre a superfície considerada, 
algo que no plano corresponde a um segmento de reta e na esfera a um arco de 
circunferência máxima. Já no elipsóide de revolução a geodésica é uma curva reversa 
excetuando-se apenas os casos de dois pontos sobre o mesmo meridiano ou sobre o 
equador quando então a geodésica é plana (arco elítico e circular respectivamente). 
 
 
 
43 
 
 
6.2 Solução pela série de Legendre (Problema Direto) 
 
 Para a solução pela série de Legendre, assume-se que a geodésica é 
parametrizada por um arco de comprimento s, logo, têm-se: 
 
 )s( , )s( , )s( (6.1) 
 
 é o azimute a vante para um ponto qualquer na geodésica e considerando que  
denota o contra-azimute, têm-se que  . Então, a expansão em série de Taylor fica 
da seguinte forma (JEKELI, 2002): 
 
...s
ds
d
!2
1
s
ds
d 2
12
1
2
2
12
1
12 



 , (6.2) 
 
...s
ds
d
!2
1
s
ds
d 2
12
1
2
2
12
1
12 



 , (6.3) 
 
...s
ds
d
!2
1
s
ds
d 2
12
1
2
2
12
1
12 



 . (6.4) 
 
 A derivada em cada caso é obtida a partir de elementos diferenciais da 
geodésica e avaliada no ponto P1. A convergência da série não é garantida para todo s12, 
mas é esperada para s12 << R (raio médio da Terra), apesar de que a convergência pode 
ser lenta. 
 Nas expressões de (6.2) a (6.4), ds é um elemento diferencial de arco de uma 
curva arbitrária e em termos de latitude e longitude é dado por: 
 
22222 dcosNdMds  , (6.5) 
onde N representa o comprimento da seção normal e M é o raio de curvatura da seção 
meridiana. Considerando  como o azimute geodésico no ponto, então o elemento de 
arco nesse ponto pode ser decomposto de acordo com os elementos latitudinal e 
longitudinal (JEKELI, 2002): 
 
 Md)(cosds , (6.6) 
 
 dcosN)sen(ds . (6.7) 
 
 A partir da equação de Bessel, tem-se que (JEKELI, 2002): 
 
 dsend . (6.8) 
44 
 
 
 
Considerando as fórmulas 6.6 e 6.7 para uma geodésica, derivam-se as 
seguintes equações: 
 
1
1
1 M
cos
ds
d 


, (6.9) 
 
11
1
1 Ncos
sen
ds
d




. (6.10) 
 
 Aplicando o mesmo procedimento para (6.8), tem-se: 
 
1
1
1
1
tan
N
sen
ds
d




. (6.11) 
 
 As equações (6.9), (6.10) e (6.11) representam a primeira derivada da latitude, 
longitude e azimute a vante, respectivamente, em relação à distância. A segunda derivada 
para cada uma dessas componentes é dada por: 
 
2
1
2
11
2
1
22
1
1
11
1
1
2
2
Ma
cossenecosN3
tan
NM
sen
ds
d 




, (6.12) 
 
.tan
cosN
cossen2
ds
d
1
11
11
1
2





, (6.13) 
 
  12212
1
11
1
2
cos'etan21
N
cossen
ds
d




. (6.14) 
 
 A partir das expressões acima, verifica-se que o desenvolvimento em séries de 
alta ordem se tornaria o problema bastante complicado. A solução inversa pode ser obtida 
a partir dessas séries por iterações, algo que pode ser encontrado em Jekeli (2002 p. 2-
38). 
 
6.3 Fórmulas de Puissant 
 
 O nome dessa fórmula se deve ao geodesista francês Louis Puissant que a 
desenvolveu, sendo estas muito utilizadas nas redes geodésicas do Brasil. Essas fórmulas 
são adequadas somente para linhas não superiores a 80 km, o que não constitui maiores 
problemas em triangulações ordinárias, cujos lados não ultrapassam 40 km (GEMAEL, 
1988). O Problema Direto e Inverso usando as equações de Puissant é descrito em seus 
45 
 
 
pormenores em Gemael (1988, p 8.7), porém nesse trabalho optou-se por apresentar as 
fórmulas finais para o cálculo. 
 
6.3.1 Problema Direto 
 
 O Problema Direto requer que sejam conhecidas: 
 
 1 e 1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1) 
 12 e s12 (azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 e distância entre os dois 
pontos) 
 
 Objetiva-se calcular: 
 
 2 e 2 (latitude e longitude geodésicas do ponto 2) 
 21 (azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1) 
 
 As fórmulas aplicadas na solução do Problema Direto pelo método de Puissant 
são: (GEMAEL, 1988): 
 
Latitude: 
 
k
12  , (6.15) 
ou generalizando: 
 
k
ij  . (6.16) 
 
 A solução rigorosa de k pode ser obtida iterativamente, onde a princípio 
pode-se adotar um valor para essa componente (KRAKIWSKY e THOMSON, 1974, p.47): 
 
            
   
   

























 






i
22
k
ii
2
2
ii
i
2
ij
2
ij
3
ij
ii
ij
2
1
2
ij
i
ijij1k
sene12
cossene3
1
NM6
tan31sencoss
NM2
sentans
M
coss
 (6.17) 
 
 O critério de convergência pode ser dado por: 
rad10 9k1k   . (6.18) 
 
 
 
46 
 
 
Longitude 
 
 Diferentemente do cálculo da Latitude, o da Longitude não é iterativo e é dado 
por: 
 
 ij , (6.19) 
onde,  é dado por (KRAKIWSKY e THOMSON, 1974;GEMAEL, 1988): 
 






















j
2
ij
2
2
j
2
ij
jj
ijij
cos
sen1
N6
s
1
cosN
sens
. (6.20) 
 
Contra-azimute 
 
 O contra-azimute geodésico ( j i ) pode ser calculado por: 
 
 ijji . (6.21) 
 
 Na expressão (6.21),  representa a convergência meridiana (GEMAEL, 1988). 
A convergência meridiana aplica uma “correção” ao contra-azimute geodésico em função 
dos meridianos convergirem para os pólos terrestres. Essa componente pode ser calculada 
da seguinte maneira: 
 

















 







 







 


2
cos
sen
2
cos
sen
12
2
cos
sen
3
m
3
m
3
m , (6.22) 
onde, m é a latitude média, o qual é dada por: 
 
2)( jim  (6.23) 
 
6.3.2Problema Inverso 
 
 No Problema Inverso têm-se conhecidas: 
 1 e 1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1) 
 2 e 2 (latitude e longitude geodésicas do ponto 2) 
 
 Neste caso, pretende-se calcular: 
 12 e s12 (azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 e distância entre 
os dois pontos) 
47 
 
 
 21 (azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1) 
 
 O contra-azimute ( 21 ), é determinado pela equação (6.21). 
 
O azimute a vante é dado por: 
 
 
 
  



















i
22
i
2
i
jj
ij
sene14
2sene3
1
M
cosN
arctg (6.24) 
 
 Na expressão (624), e é a primeira excentricidade. 
 
Distância geodésica 
 
 
 









i
22
i
2
ij
i
ij
sene14
2sene3
1cos
M
s (6.25) 
 
 A solução de Puissant apresenta uma exatidão de 1 ppm para uma linha de até 
100 km, mas deteriora-se para mais de 40 ppm para uma linha de 250 km e latitude 
geodésica igual a 60 graus (CHAVES, 2003). 
 
6.4 Outras fórmulas para a solução dos Problemas Direto e Inverso 
 
 Existem diversas fórmulas para o cálculo dos Problemas Direto e Inverso da 
Geodésia, o que confirma a importância desse tema. A Tabela 2 mostra algumas fórmulas, 
além do alcance e precisão esperada para cada. 
 
Tabela 2: Fórmulas diversas, alcance e precisão. 
Fórmula Alcance (km) Precisão ppm 
Clarke 800 1/25 
Rudoe Qualquer distância Fração de milímetros 
Robbins 1600 1/180 
Rainsford (extensão das 
fórmulas de Clarke) 
800 _____ 
T. Vicenty (Nested 
Equations) (VICENTY, 1975) 
18000 
Erro menor que 0,01 mm 
 
 
 Um aplicativo, bem como algumas sub-rotinas desenvolvidas em linguagem de 
programação Fortran, estão disponíveis no site do NGS 
http://www.ngs.noaa.gov/PC_PROD/Inv_Fwd/ (acessado em Maio de 2006). A partir desse 
aplicativo o usuário pode resolver os problemas Direto e Inverso usando as fórmulas de T. 
Vicenty (VICENTY, 1975), no qual o alcance e a precisão são mostrados na Tabela 2. Uma 
48 
 
 
descrição das fórmulas apresentadas na Tabela 2, além de outras, pode ser encontrada em 
Gemael (1988), com exceção da Fórmula de T. Vicenty, a qual está descrita em 
(VICENTY, 1975). 
 
6.5 Experimentos 
 
 Foi implementado um software em linguagem de programação C++ Builder para 
a resolução do Problema Direto. Primeiramente, foi desenvolvida a rotina para o cálculo 
usando as equações de Puissant e em seguida foi adaptada a sub-rotina disponível no 
NGS a partir do uso de DLLs (Dynamic Link Libraries). 
O usuário pode criar um arquivo contendo as coordenadas geodésicas 
decimalizadas, distância e azimute, ou entrar com os dados diretamente em uma tabela 
como mostrado na Figura 6.5. A implementação envolve a divisão da linha geodésica em n 
partes iguais com aplicação de Puissant para cada trecho da divisão. 
 
Figura 6.4 – Software para solução do problema direto e inverso por Puissant 
 
 
 Ao clicar no menu Cálculos, o usuário tem a opção de calcular usando a fórmula 
de Puissant com um número definido de divisões para a linha geodésica (Figura 6.5) ou 
efetuar o cálculo diretamente a partir das equações do NGS 
 
Figura 6.5 – Puissant com a opção de divisões da linha geodésica. 
 
 
 Para a realização dos experimentos, foram escolhidas as seguintes 
coordenadas geodésicas, além de azimute e distância para o ponto P1: 
 
 1 = 22 07’ 26,24”S; 
 1 = 51 23’12,55”O; 
49 
 
 
 12 = 95 30’14,41” 
 S12 = 350 km. 
 
 Os cálculos foram realizados a partir da fórmula de Puissant com a linha dividida 
em dez partes iguais e, logo em seguida, considerando a linha geodésica inteira. Depois 
de efetuados os cálculos, o aplicativo criado permite exportar as coordenadas de maneira 
que os dados tenham o formato de entrada dos softwares MicroStation e Matlab, o que 
possibilita a plotagem das linhas geodésicas. 
 As coordenadas do ponto P2 também foram calculadas num sistema plano 
(Cálculo no Plano). Para isso, basta considerar as coordenadas UTM do ponto P1, o 
azimute e a distância e em seguida efetuar o transporte da mesma maneira que se faz na 
Topografia. 
 Esses cálculos foram efetuados com o intuito de verificar as diferenças que 
ocorrem nos valores das coordenadas do ponto P2 com relação aos valores obtidos pelas 
fórmulas do NGS, visto que essa permite obter melhor precisão nos cálculos (Tabela 2). A 
Figura 5 ilustra as linhas geodésicas calculadas. 
 
Figura 6.6 - Linhas geodésicas calculadas. 
 
 
 As coordenadas do ponto P2 calculadas (Puissant c/ divisões, Puissant Direto e 
Cálculo Plano), foram comparadas com as calculadas a partir das equações 
-51.5 -51 -50.5 -50 -49.5 -49 -48.5 -48
-22.4
-22.35
-22.3
-22.25
-22.2
-22.15
-22.1
-22.05
TRANSPORTE DIRETO
Latitude (m)
L
o
n
g
it
u
d
e
 (
m
)
Puissant c/ Divisoes
Puissant Direto
Calculo no Plano
T Vicentiny (NGS)
50 
 
 
implementadas pelo NGS (T. Vicenty), considerando que essas últimas foram adotadas 
como valores verdadeiros. As discrepâncias em coordenadas UTM são mostradas na 
Tabela 3. 
 
Tabela 3: Discrepâncias das coordenadas UTM calculadas, com relação ao cálculo 
usando as equações do NGS 
Fórmula E (m) N (m) Resultante (m) Erro em ppm 
Puissant c/ 10 divisões -0,0001 0,0005 0,0005 0,0014 
Puissant Direto 0,0336 -1,2737 1,2742 3,6405 
Cálculo Plano 65,0285 876,8843 879,2922 2512,2634 
 
 A partir da Tabela 3 fica evidente que o cálculo efetuado no plano não é 
adequado para esse tipo de trabalho, o que já era de se esperar, visto que nesse não se 
considera o efeito da esfericidade da Terra. 
 No caso do transporte pela fórmula de Puissant, sem efetuar divisões, ocorreu 
um erro de 1,2742 m com relação ao transporte pela fórmula de T. Vicenty, o que 
corresponde a um erro de 3,6405 ppm, estando em conformidade com o valor de 1 ppm a 
cada 100 km como foi dito na seção anterior. 
 O melhor resultado a partir da fórmula de Puissant ocorreu quando se efetuou a 
divisão da linha geodésica em dez partes iguais. Nesse caso, o resultado final apresentou 
um erro de 0,0005 m, correspondendo a 0,0014 ppm. 
 
Trabalho Prático 
 
 Obter as coordenadas (latitude e longitude) de duas estações da RBMC. 
Desenvolver o algoritmo em uma linguagem de programação qualquer para: 
a) Aplicar o problema inverso pelo método de Puissant 
b) Utilizar os dados do item (a) e aplicar o problema direto 
 
 
7. AJUSTAMENTO DE REDES TOPOGRÁFICAS/GEODÉSICAS 
 
As redes geodésicas atualmente são realizadas por métodos de posicionamento 
espacial e as coordenadas estimadas são tridimensionais, haja vista, que a posição dos 
satélites (geralmente fixa no processamento de linhas de base) são dadas em 
coordenadas cartesianas e no sistema geocêntrico. Os levantamentos clássicos da 
Geodésia no caso do Brasil foram aplicados para determinação de redes clássicas até 
meados de 1990. Contudo, ainda hoje aplica-se a determinação de redes 
topográficas/geodésicas para diversas aplicações de engenharia, como por exemplo, o 
monitoramento de barragens hidrelétricas, determinação do alinhamento de rodovias e 
linhas férreas, determinação de vértices de grandes propriedades. 
Um exemplo atual de aplicação dos métodos clássicos se refere ao 
georreferenciamento de imóveis rurais no Brasil, o qual é vinculado à norma técnica do 
51 
 
 
INCRA dentro da lei 10.267/200. A norma indica que os vértices da propriedade devem 
estar georreferenciados ao sistema geodésico brasileiro e permite a aplicação dos 
métodos de levantamento clássicos e via GNSS. 
A precisão posicional dos vértices limites da propriedade deve ser melhor que 
0,50 m. Neste caso, é necessário aplicar ajustamento das observações para obtenção da 
estimativa das coordenadas, bem como de sua MVC (Matriz de Variância e Covariância). 
Neste sentido, este capítulo apresenta a aplicação do ajustamento por MMQ (Método dos 
Minimos Quadrados) às poligonais topográficas