Apostila Teoria Eletro I

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PROF. PROF. PROF. PROF. EDSON EDSON EDSON EDSON G. PEREIRAG. PEREIRAG. PEREIRAG. PEREIRA 
PROFPROFPROFPROFaaaa. TANIA G. PEREIRA. TANIA G. PEREIRA. TANIA G. PEREIRA. TANIA G. PEREIRA 
 
 
 
 
 
 
ELETRICIDADE APLICADA IELETRICIDADE APLICADA IELETRICIDADE APLICADA IELETRICIDADE APLICADA I 
 
 
 
Revisão TécnicaRevisão TécnicaRevisão TécnicaRevisão Técnica 
Prof. Armando Lapa Júnior 
ColaboradoresColaboradoresColaboradoresColaboradores 
Prof. Norberto Nery 
Prof. Nelson Kanashiro 
Prof. Salvador Sampaio 
2013 
 
São Paulo 
Fatec 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
1 
 
1. CONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMA__________________________________ 3 
1.1 Estrutura do Átomo ______________________________________________________________________ 3 
1.2 Carga Elétrica _____________________________________________________________________________ 4 
1.3 Materiais Condutores ____________________________________________________________________ 5 
1.4 Materiais Isolantes _______________________________________________________________________ 5 
1.5 Lei de Coulomb ___________________________________________________________________________ 6 
1.6 Campo Elétrico ___________________________________________________________________________ 7 
1.7 Potencial Elétrico (Vp) ___________________________________________________________________ 8 
1.8 Diferença de potencial (d.d.p.) ou Tensão elétrica (V) ________________________________ 9 
1.9 Corrente Elétrica _________________________________________________________________________ 9 
1.9.1 Sentido da Corrente elétrica _______________________________________________________10 
1.9.2 Intensidade da corrente elétrica (I) _______________________________________________10 
1.10 Leis de Ohm ____________________________________________________________________________11 
1.10.1 Resistência Elétrica e a Primeira Lei de Ohm ___________________________________11 
1.10.2 Segunda Lei de Ohm ______________________________________________________________14 
1.11 Variação da Resistividade com a Temperatura ______________________________________17 
1.12 Variação da Resistência com a temperatura _________________________________________17 
1.13 Energia Consumida no Deslocamento de Cargas Elétricas _________________________17 
1.14 Potência Elétrica _______________________________________________________________________19 
1.15 Rendimento – > ________________________________________________________________________20 
2. CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE CONTÍNUA _____________________________________22 
2.1 Definições fundamentais _______________________________________________________________22 
2.1.1 Bipolo elétrico_______________________________________________________________________22 
2.1.1.1 Bipolo ativo _____________________________________________________________________22 
2.1.1.2 Bipolo passivo __________________________________________________________________22 
2.2 Circuito elétrico _________________________________________________________________________23 
2.2.1 Ponto elétrico _______________________________________________________________________23 
2.2.2 Nó ____________________________________________________________________________________23 
2.2.3 Ramo _________________________________________________________________________________24 
2.2.4 Malha ________________________________________________________________________________24 
2.3 Leis de Kirchhoff ________________________________________________________________________24 
2.3.1 Lei dos Nós (1ª Lei de Kirchhoff) __________________________________________________24 
2.3.2 Lei das Malhas ( 2ª Lei de Kirchhoff) _____________________________________________25 
2.4 Associação de Resistores _______________________________________________________________27 
2.4.1 Resistor Equivalente - REQ __________________________________________________________27 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
2 
 
2.4.2 Associação Série de Resistores ____________________________________________________27 
2.4.3 Associação Paralelo de Resistores _________________________________________________29 
2.5 Técnicas de Resolução de Circuitos ____________________________________________________31 
2.5.1 Resolução por Associação de Bipolos _____________________________________________31 
2.6 Verificações ______________________________________________________________________________39 
3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (CA) ___________________________________________42 
3.1. Tensão Alternada _______________________________________________________________________42 
3.2. Tensão Alternada Senoidal (ou simplesmente tensão alternada) __________________43 
3.4. Gerador de Tensão Alternada __________________________________________________________45 
3.4.1 Geração de uma tensão alternada _________________________________________________46 
3.5. Corrente Alternada _____________________________________________________________________47 
3.6. Representação de uma Grandeza Alternada por um Fasor __________________________47 
3.7 Forma Fasorial da Lei de Ohm em Corrente Alternada ______________________________48 
3.7.1 Introdução _____________________________________________________________________________48 
3.7.2 Impedância - ______________________________________________________________________48 
3.7.3 Forma fasorial da Lei de Ohm para o resistor ____________________________________49 
3.7.4 Indutor _______________________________________________________________________________50 
3.7.4.1 Forma fasorial da Lei de Ohm para o indutor ________________________________52 
3.7.5 Capacitor ____________________________________________________________________________53 
3. 7.5.1 Forma fasorial da Lei de Ohm para o capacitor _____________________________56 
3.8 Forma Fasorial das Leis de Kirchhoff __________________________________________________58 
3.9 Associação de Impedâncias _____________________________________________________________59 
3.9.1 Associação série ____________________________________________________________________59 
3.9.2 Associação paralelo _________________________________________________________________59 
4. Resolução de Circuito C.A por Associação de Bipolos ____________________________________60 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
3 
 
1. 1. 1. 1. CONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMACONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMACONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMACONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMA 
 
1.11.11.11.1 Estrutura do ÁtomoEstrutura do ÁtomoEstrutura do ÁtomoEstrutura do Átomo 
A matéria é algo que possui massa e ocupa lugar no espaço. A matéria é constituída por 
partículas muito pequenas chamadas de átomos. Toda a matéria pode ser classificada 
em qualquer um desses dois grupos: elementos ou compostos. Num elemento, todos os 
átomos são iguais. São exemplos de elementos o alumínio, o cobre, o carbono, o 
germânio e o silício. Um composto é formado por uma combinação de elementos. A água, 
por exemplo, é um composto constituído pelos elementos hidrogênio e oxigênio. A 
menor partícula de qualquer composto que ainda contenha as características originais 
daquele composto é chamada de molécula. 
 
 
 
 
 
 
 
Os átomos são constituídos por partículas subatômicas: elétrons, prótons e neutros, 
combinados de várias formas. O elétron é a carga negativa (-) fundamental da 
eletricidade. Os elétrons giram em torno do núcleo, ou centro do átomo, em trajetórias 
de “camadas”concêntricas, ou órbitas. O próton é a carga positiva (+) fundamental da 
eletricidade. Os prótons são encontrados no núcleo. O número de prótons, dentro de 
qualquer átomo especifico, determina o número atômico daquele átomo. Por exemplo, o 
átomo de silício tem 14 prótons no seu núcleo e, portanto, o número atômico de silício é 
14. O neutro, que é a carga neutra fundamental da eletricidade, também é encontrado no 
núcleo. 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os átomos de elementos diferentes diferem entre si pelo número de elétrons e de 
prótons que contêm. No seu estado natural, um átomo de qualquer elemento contém um 
número igual de elétrons e de prótons. Como a carga negativa (-) de cada elétron tem o 
mesmo valor absoluto que a carga positiva (+), as duas cargas opostas se cancelam. Um 
átomo nestas condições é eletricamente neutroeletricamente neutroeletricamente neutroeletricamente neutro, ou está em equilíbrio. 
 
1.2 1.2 1.2 1.2 CCCCarga arga arga arga EEEElétricalétricalétricalétrica 
Como certos átomos são capazes de ceder elétrons e outros capazes de receber elétrons, 
é possível produzir uma transferência de elétrons de um corpo para outro. Quando isto 
ocorre, a distribuição igual das cargas positivas e negativas em cada corpo deixa de 
existir. Portanto, um corpo conterá um excesso de elétrons e a sua carga terá uma 
polaridade elétrica negativa, ou menos (-). O outro corpo conterá um excesso de prótons 
e a sua carga terá uma polaridade positiva, ou mais (+). 
Quando um par de corpos contém a mesma carga, isto é, ambas positivas (+) ou ambas 
negativas (-), diz-se que os corpos têm cargas iguais. Quando um par de corpos contém 
cargas diferentes, isto é, um corpo é positivo (+) enquanto o outro é negativo (-), diz-se 
que eles apresentam cargas desiguais ou opostas. A lei elétrica pode ser enunciada da 
seguinte forma: 
Cargas iguais se repelem, cargas opostas se atraemCargas iguais se repelem, cargas opostas se atraemCargas iguais se repelem, cargas opostas se atraemCargas iguais se repelem, cargas opostas se atraem. 
Se uma carga negativa (-) for colocada próxima a uma carga negativa (-), as cargas se 
repelirão. Se uma carga positiva (+) se aproximar de uma carga negativa (-), elas se 
atrairão. 
 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
5 
 
 
1.3 1.3 1.3 1.3 Materiais Materiais Materiais Materiais CondutoresCondutoresCondutoresCondutores 
A classificação dos materiais sólidos em condutores e isolantes é feita com base no fato 
dos elétrons da camada de valência (os mais afastados do núcleo) se movimentarem de 
átomo para átomo ao longo do material quando sujeito a um campo elétrico. 
 
 
 
 
Se os átomos constituintes do material em sua camada de valência tiver elétrons que 
podem ter um movimento ordenado pela ação de um campo elétrico, mesmo que este 
seja de pequena intensidade, o material é dito condutorcondutorcondutorcondutor. A energia elétrica é transferida 
através dos materiais por meio de elétrons livres que se deslocam de átomo para átomo 
no interior do condutor. Cada elétron percorre uma distância muito curta até um átomo 
vizinho, onde substitui um ou mais dos seus elétrons, desalojando-os de sua órbita 
externa. Os elétrons substituídos repetem o processo em outros átomos próximos, até 
que o movimento de elétrons tenha sido transmitido através de todo o condutor. Quanto 
maior o número de elétrons que podem ser deslocados em um material, para uma dada 
força aplicada, melhor é o condutor. Os metais em geral, são bons condutores. 
 
1.4 1.4 1.4 1.4 Materiais Materiais Materiais Materiais IsIsIsIsolantesolantesolantesolantes 
Se os elétrons da camada de valência estiverem fortemente ligados ao núcleo de tal 
modo que para movimentá-los se faz necessário aplicar um campo elétrico muito 
intenso, o material é chamado de isolanteisolanteisolanteisolante. A borracha, vidros, cerâmica e os plásticos são 
exemplos de isolantes. 
 
Cargas iguais negativas 
se repelem 
Cargas iguais positivas 
se repelem 
Cargas diferentes se 
atraem 
----
-
- 
----
-
- ----
-
- 
----
-
- 
----
-
- ----
-
- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
6 
 
1.1.1.1.5555 Lei de CoulombLei de CoulombLei de CoulombLei de Coulomb 
Charles Coulomb ( físico francês 1736 Charles Coulomb ( físico francês 1736 Charles Coulomb ( físico francês 1736 Charles Coulomb ( físico francês 1736 ---- 1806)1806)1806)1806) 
Para estabelecer a Lei de Coulomb (força entre as cargas), devemos inicialmente 
estabelecer o conceito de carga elétrica puntiforme, já que a lei de Coulomb se refere a 
este tipo de carga elétrica. Um corpo eletrizado, de dimensões desprezíveis comparadas 
com as demais envolvidas na análise de uma questão, é denominado carga elétrica 
puntiforme. 
Charles A. Coulomb foi quem primeiro verificou experimentalmente que a intensidade 
da força de atração ou de repulsão entre duas cargas puntiformes Q1 e Q2, é diretamente 
proporcional ao produto destas cargas, isto é: 
F=QF=QF=QF=Q1111 x Qx Qx Qx Q2222 (1) 
Utilizando uma balança de torção, após repetidas verificações, Coulomb concluiu que a 
intensidade da força de atração ou de repulsão entre duas cargas puntiformes Q1 e Q2, 
distantes d entre si, é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as 
separa, isto é: 
 
 
Reunindo as conclusões (1) e (2), temos: 
 
 
A constante de proporcionalidade, que representa o meio material onde o experimento 
se realiza, usualmente simbolizada por K. Introduzindo esta constante, resulta a 
expressão da intensidade de força que interage entre duas cargas puntiformes, 
conhecida como Lei de Coulomb. 
 
 Newton (N) 
 
Utilizando-se unidades do Sistema Internacional (SI), o valor da constante de 
proporcionalidade K. Quando as duas cargas se encontram no vácuo K = 9 x 109 
 
FFFF ==== 
 
1111 
 
dddd2222 
(2) 
 
FFFF ==== 
 
QQQQ1111 x Qx Qx Qx Q2222 
 
dddd2222 
 
FFFF ==== 
 
KKKK 
QQQQ1111 x Qx Qx Qx Q2222 
 
dddd2222 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
7 
 
N m2/C2. 
 
1.6 C1.6 C1.6 C1.6 Campo ampo ampo ampo EEEElétricolétricolétricolétrico 
Propriedade adquirida pelos pontos de uma região do espaço, quando da presença de 
uma carga elétrica, onde qualquer carga de prova colocada nesta região ficará sujeita a 
ação de uma força de atração ou de repulsão dependendo dos sinais do campo e da 
carga. Se os sinais forem contrários a força será de atração, caso sejam iguais a força será 
de repulsão. 
 
 
 
 
 
A característica fundamental de uma carga elétrica é a sua capacidade de exercer uma 
força. Esta força está presente no campo que envolve cada corpo carregado. Quando dois 
corpos de polaridades opostas são colocados próximos um do outro, o campo 
eletrostático se concentra na região compreendida entre eles. O campo elétrico é 
representado por linhas de forças desenhadas entre os dois corpos. Se um elétron for 
abandonado no ponto A nesse campo, ele será repelido pela carga negativa e será 
atraído pela positiva. Assim, as duas cargas tenderão a deslocar o elétron na direção do 
movimento adquirido pelo elétron se ele estivesse em posição diferente do campo 
eletrostático. 
 
 
 
 
 
 
 
Linhasde força 
Corpo negativo Corpo positivo 
 
Q
FFFF1111 
FFFF2222 
FFFF 
Campo Elétrico 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
8 
 
Quando duas cargas idênticas são colocadas próximas uma da outra, as linhas de força 
repelem-se mutuamente como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Um corpo carregado manter-se-á carregado temporariamente, se não houver 
transferência imediata de elétrons para o do corpo. Neste caso, diz-se que a carga em 
repouso. A eletricidade em repouso é chamada de eletricidade estática. 
 
1.7 1.7 1.7 1.7 Potencial ElétricoPotencial ElétricoPotencial ElétricoPotencial Elétrico (Vp)(Vp)(Vp)(Vp) 
Propriedade adquirida por um corpo qualquer quando imerso em um campo elétrico. 
 
 
 
 
 
Podemos determinar o potencial do ponto A da seguinte forma: 
 
 
Onde: 
VpA – Potencial elétrico do ponto A dado em volt (V); 
ε – Constante de permissividade do meio dada em (C2/Nm2); 
Q – Carga elétrica dada em Coulomb (C); 
d – distancia da ponto até a carga dada em metros (m). 
 
 
Q
d 
A 
QQQQ 
VpVpVpVpAAAA = 
4 πε 4 πε 4 πε 4 πε 
1 
dddd 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
9 
 
1.8 1.8 1.8 1.8 Diferença de potencial (d.d.p.)Diferença de potencial (d.d.p.)Diferença de potencial (d.d.p.)Diferença de potencial (d.d.p.) ou Tensão elétricaou Tensão elétricaou Tensão elétricaou Tensão elétrica (V)(V)(V)(V) 
Define-se tensão elétrica como sendo a diferença de potencial entre dois pontos 
quaisquer que podem ou não estarem no mesmo campo. 
 
V = VpV = VpV = VpV = VpA A A A [ [ [ [ VpVpVpVpBBBB 
Onde: 
VpA ---- potencial do ponto A dado em volt (V); 
VpB – potencial do ponto B dado em volt (V); 
V – diferença de potencial ou tensão (V). 
Convencionou-se indicar uma diferença de potencial por uma seta que aponta sempre 
para o maior potencial, 
 
 
 
 
 
 
1.9 1.9 1.9 1.9 CCCCorrente orrente orrente orrente EEEElétrica létrica létrica létrica 
A corrente elétrica é o fluxo ordenado de partículas portadoras de carga elétrica 
promovido pela aplicação de uma diferença de potencial em um material condutor 
qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q
VpVpVpVpAAAA 
VpVpVpVpBBBB 
VVVV 
Material condutor Elétrons livres em movimento 
+ [ 
VVVV 
[ + 
----
-
- 
----
-
- 
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-
- 
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-
- 
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-
- 
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-
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- 
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-
- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
10 
 
1.9.1 1.9.1 1.9.1 1.9.1 Sentido da Corrente elétricaSentido da Corrente elétricaSentido da Corrente elétricaSentido da Corrente elétrica 
No início da história da eletricidade definiu-se o sentido da corrente elétrica como sendo 
o sentido do fluxo de cargas positivas, ou seja, as cargas que se movimentam do pólo 
positivo para o pólo negativo. Naquele tempo nada se conhecia sobre a estrutura dos 
átomos. Não se imaginava que em condutores sólidos as cargas positivas estão 
fortemente ligadas aos núcleosnúcleosnúcleosnúcleos dos átomos e, portanto, não pode haver fluxo 
macroscópico de cargas positivas em condutores sólidos. No entanto, quando a física 
subatômica estabeleceu esse fato, o conceito anterior já estava arraigado e era 
amplamente utilizado em cálculos e representações para análise de circuitos. Esse 
sentido continua a ser utilizado até os dias de hoje e é chamado sentido convencional da convencional da convencional da convencional da 
correntecorrentecorrentecorrente. Em qualquer tipo de condutor, este é o sentido contrário ao fluxo líquido das 
cargas negativas ou o sentido do campo elétrico estabelecido no condutor. Na prática 
qualquer corrente elétrica pode ser representada por um fluxo de portadores positivos 
sem que disso decorram erros de cálculo ou quaisquer problemas práticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9.2 1.9.2 1.9.2 1.9.2 Intensidade da corrente elétrica (I)Intensidade da corrente elétrica (I)Intensidade da corrente elétrica (I)Intensidade da corrente elétrica (I) 
Consideremos um material condutor onde se estabeleceu o fenômeno da corrente 
elétrica, podemos definir a intensidade dessa corrente como sendo a quantidade de 
cargas elétricas que atravessam a seção transversal do condutor por unidade de tempo. 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
Fluxo de elétrons 
Fluxo convencional 
Material condutor Elétrons livres em movimento 
+ [ 
VVVV 
[ + 
----
-
- 
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-
- 
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-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim temos: 
 
Lembrando que ∆ Q = nQ = nQ = nQ = n .... qqqqeeee 
Onde: 
I – intensidade da corrente elétrica dada em Ampère (A); 
∆ Q – quantidade de cargas elétricas que atravessam a seção transversal do condutor 
dada em Coulomb (C); 
∆ t – unidade de tempo (s); 
n - é o número de elétrons; e 
qe - é a carga de 1 elétron (qe = -1,6 x 10 -19 C) 
 
1.10 1.10 1.10 1.10 Leis de OhmLeis de OhmLeis de OhmLeis de Ohm 
George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 –––– 1854)1854)1854)1854) 
 
1.10.1.10.1.10.1.10.1 1 1 1 Resistência Elétrica e a Resistência Elétrica e a Resistência Elétrica e a Resistência Elétrica e a PrimeiraPrimeiraPrimeiraPrimeira Lei de OhmLei de OhmLei de OhmLei de Ohm 
O que significa resistência elétrica? 
A corrente elétrica é o movimento ordenado de elétrons livres em um condutor, mas 
isso não ocorre espontaneamente, pois necessitamos de uma fonte de força elétrica 
(d.d.p.) para movimentar os elétrons livres através do condutor. Se removermos a fonte 
de energia elétrica a corrente deixa de existir. Analisando os fatos acima, podemos 
VVVV 
Elétrons livres em movimento 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
Material condutor 
+ [ 
[ + ----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
12 
 
deduzir que existe alguma coisa no condutor que resiste à corrente elétrica e que segura 
os elétrons livres até que uma força suficiente seja aplicada. Baseado nesse fato Ohm 
iniciou seus estudos. 
Vamos imaginar suas experiências e tentar analisar os problemas que ele enfrentou e o 
que concluiu, Lembre-se que alguns fatos que vamos descrever a seguir são apenas 
suposições. 
O seu objetivo era escrever algo inédito, e ele resolveu focar suas experiências nos 
conceitos conhecidos sobre a eletricidade. Podemos dizer que naquela época não se 
conhecia muito a esse respeito. Ele tinha a sua disposição as fontes de tensão, o 
conhecimento dos condutores e aparelhos que mediam tensão e corrente. Sendo assim, 
montou o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com este circuito era possível medir a tensão (V) e a corrente (I) variando os tipos de 
condutores. 
Quantos tipos de condutores existiam ou eram conhecidos? 
Podemos concluir, conhecendo o resultado dessa experiência, que existiam vários tipos 
de condutores, mas Ohm observou que alguns em particular, resultavam em valores de 
tensão e corrente que, plotados em um gráfico, resultavam numa reta passando pelo 
zero e todos os pontos estavam alinhados. 
Condutor 
AV 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
13 
 
Curva característica 
 
 
 
 
 
 
 
 
A conclusão não era válida para qualquer bipolo (dispositivo elétrico com dois 
terminais: os condutores são bipolos elétricos) somente alguns bipolos particulares 
apresentavam estas características. Pela observação do gráfico pode-se concluir que: 
 
Ou seja: neste bipolo o quociente da tensão pela corrente é uma constante, isto é, se a 
tensão aplicada for mudada, muda como consequência a corrente, de tal forma que o 
quociente permanece constante. 
Nestas condições concluímos que esta constante é uma característica própria do bipolo 
(condutor) já que não depende da tensão aplicada ou da corrente que o percorre. 
Com estas considerações Ohm enunciou a seguinte Lei, válida para bipolos que possuem 
o comportamento acima descrito: 
 
Ou seja, a constante (tg α), foi denominada de Resistência Elétrica do bipolo, 
simbolizada por R e medida em Ohms (Ω) no sistema internacional de medidas SI e aos 
condutores, isto é, aos materiais cuja curva característica é uma reta, ele denominou-os 
de Resistores. 
Simbologia elétrica: 
 
V (V)V (V)V (V)V (V) 
VVVV1111 
VVVV2222 
VVVVN 
IIII1111 IIII2222 IIIINNNN IIII (A)(A)(A)(A) 
αααα 
R 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
14 
 
1.10.21.10.21.10.21.10.2 SegundaSegundaSegundaSegunda Lei de OhmLei de OhmLei de OhmLei de Ohm 
Dando continuidade a nossa “viagem” ao laboratório de Ohm, podemos imaginar que 
como físico e bem provável uma pessoa extremamente investigativa, nas diversas 
variações nos materiais utilizados e as repetitivas vezes que deve ter feito os 
levantamento dos dados, ele deve ter notado algumas diferenças, por exemplo, em 
relação à temperatura ambiente e do material, que o resultado variava também de 
acordo com o tamanho da amostra do material. 
Todas essas observações levou Ohm a descrever, ou melhor, a desenvolver uma equação 
que relacionava todas essas variáveis no valor da resistência dos então denominados 
resistores. 
Afirmamos anteriormente que a resistência elétrica é uma característica própria do 
resistor, independendo da tensão ou da corrente, entretanto, verifica-se que a 
resistência elétrica de um bipolo varia com outros parâmetros, a saber: 
 
a) a) a) a) Comprimento do resistorComprimento do resistorComprimento do resistorComprimento do resistor 
Imaginemos dois condutores filiformes (conforme esquema abaixo), submetidos à 
mesma tensão (V), com o mesmo valor de seção transversal, feitos de mesmo material, 
porém de comprimento diferente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VVVV 
+ [ 
SSSS 
LLLL 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que para uma mesma tensão aplicada as cargas elétricas do condutor de 
comprimento L1 deverão percorrer um caminho mais longo do que o de comprimento L, 
sendo assim podemos concluir que quanto maior o comprimento do resistor, maior a 
dificuldade de passagem da corrente elétrica, portanto maior a resistência elétrica. A A A A 
resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor.resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor.resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor.resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor. 
 
b) b) b) b) Área da seção transversalÁrea da seção transversalÁrea da seção transversalÁrea da seção transversal 
Imaginemos agora dois condutores de mesmo comprimento, feitos de mesmo material, 
submetidos à mesma tensão (V), entretanto de seções diferentes S e S1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
+ 
SSSS 
LLLL1111 
VVVV 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
----
-
- 
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VVVV 
+ [ 
SSSS 
LLLL 
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SSSS1111 
LLLL 
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VVVV 
+ [ 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
16 
 
Podemos notar que para a mesma tensão aplicada (V), as cargas da seção S1 que 
possuem um caminho mais livre e também que nessa seção teremos um número maior 
de cargas elétricas livres que na seção S, então podemos concluir que quanto maior a 
seção menor é a resistência. A resistência elétrica é inversamente proporcional A resistência elétrica é inversamente proporcional A resistência elétrica é inversamente proporcional A resistência elétrica é inversamente proporcional a a a a área da área da área da área da 
seção transversalseção transversalseção transversalseção transversal.... 
 
c) c) c) c) Resistividade do materialResistividade do materialResistividade do materialResistividade do material 
Dentro dos materiais caracterizados como condutores se pode notar diversas diferenças 
intrínsecas relativas à sua densidade, número atômico, distância dos elétrons ao núcleo, 
isto é cada material difere do outro, como se cada um possuísse um “DNA” diferente. 
Sendo assim é quase que obvio concluir que dependendo do material a resistência deve 
variar. Essas características são classificadas de forma a nos fornecer um valor chamado 
de resistividade do materialresistividade do materialresistividade do materialresistividade do material. A resistividade do material é representada pela letra grega 
(rô) ρ. 
A resistência elétrica é diretamente proporcional à resistA resistência elétrica é diretamente proporcional à resistA resistência elétrica é diretamente proporcional à resistA resistência elétrica é diretamente proporcional à resistividade do material.ividade do material.ividade do material.ividade do material. 
Os valores de resistividade são fornecidos, normalmente através de tabelas, pois são 
constantes para cada material, com isso sua unidade é sempre fixa, não devendo nunca 
ser alterada. 
 
Enunciado da 2Enunciado da 2Enunciado da 2Enunciado da 2aaaa Lei de OhmLei de OhmLei de OhmLei de Ohm 
Com as três considerações anteriores somos capazes de entender a expressão abaixo, 
conhecida como 2ª Lei de Ohm: 
 
Onde: 
R - resistência elétrica do condutor; dada em (Ω); 
l - comprimento do condutor, dado em metros (m); 
S - seção transversal do condutor, dada em m2.; 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
17 
 
ρ - resistividade do material, no SI dada (Ω.m) , também pode ser usualmente expressa 
em Ω.mm2/m , nesse caso devemos ter a área da seção transversal dada em mm2 e o 
comprimento em m sendo a resistência expressa em Ω. 
 
1.11 1.11 1.11 1.11 Variação da Variação da Variação da Variação da RRRResistividade com a esistividade com a esistividade com a esistividade com a TTTTemperatuemperatuemperatuemperaturararara 
Como salientamos, a resistência elétrica de um condutor depende da temperatura do seu 
corpo. Especificamente, quem depende da temperatura é a resistividadedo material. 
Para variações de temperatura não excessivas, pode-se admitir como linear a variação ρ 
com θ. Nestas condições, a resistividade ρ a uma temperatura θ é dada por: 
ρρρρ = = = = ρρρρ0 . 0 . 0 . 0 . [ 1 + [ 1 + [ 1 + [ 1 + αααα ((((θθθθ ---- θθθθoooo) ]) ]) ]) ] 
Onde: 
ρ - é a resistividade à temperatura final, em Ω.m ou Ω.mm2/m; 
ρ0 - é a resistividade do material na temperatura inicial, Ω.m ou Ω.mm2/m; 
α - é um coeficiente que depende da natureza do material, denominado coeficiente de 
variação da resistividade com a temperatura, com unidade SI, grau Célsius elevado a 
menos um( oC-1); 
θ - θo = Δ θ - Variação da temperatura, em (oC). 
 
1.12 1.12 1.12 1.12 Variação da Resistência com a temperaturaVariação da Resistência com a temperaturaVariação da Resistência com a temperaturaVariação da Resistência com a temperatura 
Com esse conceito, a resistência (R) de um condutor na temperatura θ, conhecido sua 
resistência (R0) na temperatura θ0 e seu coeficiente de temperatura α, pode ser 
calculada mediante: 
R = RR = RR = RR = R0 . 0 . 0 . 0 . [ 1 + [ 1 + [ 1 + [ 1 + αααα ((((θθθθ ---- θθθθoooo) ]) ]) ]) ] 
 
1.13 1.13 1.13 1.13 Energia Energia Energia Energia CCCConsumida no onsumida no onsumida no onsumida no DDDDeslocamento de eslocamento de eslocamento de eslocamento de CCCCargas argas argas argas EEEElétricaslétricaslétricaslétricas 
Para um melhor entendimento desse tópico lançaremos mão de uma analogia com o 
sistema gravitacional. 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
18 
 
Calculemos a energia consumida (τab) no deslocamento de uma massa m de uma altura 
ha para uma altura hb. Como o campo é conservativo esse trabalho independe da 
trajetória. 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura podemos concluir que: 
τab = Epa [ Epb 
τab = mgha [ mghb 
τab = m(gha [ ghb) 
Fazendo uma comparação com o sistema elétrico temos a massa que queremos deslocar 
é um conjunto de cargas elétricas de potencial menor para um potencial maior, desta 
forma temos: 
 
 
 
 
τab = ΔQ . (Va –Vb) 
Considerando (Va –Vb) = V (ddp) temos: 
ττττabababab = V . ΔQ= V . ΔQ= V . ΔQ= V . ΔQ (1) 
mas pela definição de corrente ΔQ = I . Δt (2) 
Substituindo (2) em (1) temos: 
ττττabababab = V . I . Δt= V . I . Δt= V . I . Δt= V . I . Δt (3) 
Pela Lei de Ohm temos que: V= R . I (4) 
Epa Epb 
hb 
ha m 
m τab 
SSSS 
+Va+Va+Va+Va [[[[VbVbVbVb 
ΔQΔQΔQΔQ ----
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- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
19 
 
Substituindo (4) em (3) temos: 
ττττabababab = R . I= R . I= R . I= R . I2222 . Δt. Δt. Δt. Δt (5) 
ou ainda I = V/R (6) 
Substituindo (6) em (5) temos: 
ττττab ab ab ab = (V= (V= (V= (V2222/R) . Δt/R) . Δt/R) . Δt/R) . Δt 
 
Unidades de energia elétrica 
Da equação (3): 
[τ] = V . A . s = Joule (J) 
Por ser o Joule (J) uma unidade muito pequena adotou-se para medida de consumo de 
energia elétrica o kWh (quilowatt hora) onde: 
1 kWh equivale a 3,6 x 106 Joule 
 
1.14 1.14 1.14 1.14 Potência Potência Potência Potência EEEElétricalétricalétricalétrica 
Define-se potência como sendo a capacidade de realização de trabalho em uma unidade 
de tempo. 
P = ΔP = ΔP = ΔP = Δττττ //// ΔtΔtΔtΔt 
Não devemos confundir potencia com energia, pois a energia depende do tempo em que 
esta sendo consumida e a potencia é calculada para um dado intervalo de tempo, razão 
pela qual podemos ter motores de diferentes potências consumindo a mesma 
quantidade de energia. Tudo depende do tempo em que ficam ligados. 
Por outro lado, utilizando as expressões definidas para energia temos: 
P= V . I . Δt / Δt 
P = V . IP = V . IP = V . IP = V . I 
ou 
P = R . I2 . Δt / Δt 
P = R . IP = R . IP = R . IP = R . I2222 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
20 
 
ou ainda 
P = [(V2/R) . Δt/ Δt 
P = VP = VP = VP = V2222/ R/ R/ R/ R 
 
Unidade de Potência elétrica 
Tomando P= V. I temos: 
[P] = V . A = watt (W) 
 
Outras unidades de Potência 
É comum expressar, principalmente nos motores elétricos, a potência em HP ou CV, 
porém estas unidades são relacionadas à potência mecânica que é medida no eixo do 
motor, já excluindo todas as perdas. São os seguintes os fatores de conversão: 
1 HP =746 W 
1 CV =735 W 
Normalmente um motor recebe potência elétrica e fornece potência mecânica. Nestas 
condições, é razoavelmente fácil de entender que se possuirmos um motor ideal 
(rendimento 100%) e a este motor fornecemos a potência elétrica de 746 W, o mesmo 
será capaz de nos dar a potência de 1HP, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
1.15 1.15 1.15 1.15 Rendimento Rendimento Rendimento Rendimento –––– >>>> 
Em qualquer sistema real, elétrico ou não, a energia fornecida é maior do que o trabalho 
útil por ele realizado, devido as indesejáveis e existentes perdas das mais diversas 
origens a depender do sistema, tais como atrito e efeito joule. 
((((Energia Energia Energia Energia mecânica)mecânica)mecânica)mecânica) 
PPPPFFFF=746 W=746 W=746 W=746 W 
Motor idealMotor idealMotor idealMotor ideal 
>>>> = 100%= 100%= 100%= 100% PPPPUUUU = 1 HP= 1 HP= 1 HP= 1 HP 
((((Energia elétricaEnergia elétricaEnergia elétricaEnergia elétrica)))) 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no exposto define-se rendimento como: 
>>>> = = = = ττττu /u /u /u / ττττFFFF 
Para um Δt constante podemos reescrever 
>>>> = P= P= P= Pu u u u //// PPPPFFFF 
Podemos também expressar o rendimento em porcentagem, isto é: 
>>>> %= (%= (%= (%= (ττττu /u /u /u / ττττFFFF) .) .) .) . 100%100%100%100% 
>>>>% =( P% =( P% =( P% =( Pu u u u //// PPPPFFFF)))) .... 100 %100 %100 %100 % 
Energia útil Energia fornecida 
τd 
ττττuuuu τFFFF SistemaSistemaSistemaSistema 
Energia dissipada 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
22 
 
2222. . . . CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE CONEM CORRENTE CONEM CORRENTE CONEM CORRENTE CONTÍNUA TÍNUA TÍNUA TÍNUA 
 
2.1 2.1 2.1 2.1 Definições fundamentaisDefinições fundamentaisDefinições fundamentaisDefinições fundamentais 
 
2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 Bipolo elétricoBipolo elétricoBipolo elétricoBipolo elétrico 
Qualquer dispositivo elétrico que possua dois terminais acessíveis. Dependendo de sua 
função no circuito pode ser classificado em Ativo ou Passivo. 
 
2.1.1.1 2.1.1.1 2.1.1.1 2.1.1.1 Bipolo ativoBipolo ativoBipolo ativoBipolo ativo 
Um bipolo elétrico será dito ativo, quando estiver fornecendo energia. Por convenção, os 
seus sentidos de tensão e corrente são concordantes. Ex: bateria, gerador, pilha etc. 
Simbologia: 
 
 
 
 
 
2.1.1.2 2.1.1.2 2.1.1.2 2.1.1.2 Bipolo passivoBipolo passivoBipolo passivoBipolo passivo 
Um bipolo elétrico será dito passivo, quando estiver recebendo energia, ou ainda, 
quando chegarmos à conclusão que os seus sentidos de tensão e de corrente são 
discordantes. 
Ex: bateria do celular quando colocada para recarregar, resistores, etc. 
Simbologia: 
 
 
 
 
 
+ 
[ 
VVVV IIII 
+ 
[ 
VVVV IIII VVVV IIII 
EletricidadeAplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
23 
 
2.2 2.2 2.2 2.2 Circuito elétricoCircuito elétricoCircuito elétricoCircuito elétrico 
Define-se como circuito elétrico qualquer conjunto de bipolos interligados de tal forma a 
permitir a passagem de uma corrente elétrica. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.1 2.2.1 2.2.1 2.2.1 Ponto elétricoPonto elétricoPonto elétricoPonto elétrico 
Define-se como ponto elétrico qualquer conjunto de condutores ideais que possuam o 
mesmo potencial. Podemos ainda entender, como sendo ponto elétrico qualquer 
caminho que possa ser realizado tomando-se somente condutores ideais interligados 
entre si em um circuito. 
No exemplo temos os seguintes pontos elétricos: A, C, E e G 
 
2.2.2 2.2.2 2.2.2 2.2.2 NóNóNóNó 
Definimos como nó qualquer conexão existente entre três ou mais condutores ideais em 
um circuito. 
No exemplo temos os seguintes nós: B, D, F, H e I 
 
 
 
AAAA 
FFFF 
CCCC 
DDDD 
GGGG 
HHHH 
EEEE 
BBBB IIII 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
24 
 
2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 RamoRamoRamoRamo 
Definimos como ramo qualquer trecho com ou sem bipolo compreendido entre dois nós 
consecutivos de um circuito. 
No exemplo temos os seguintes ramos: HAB, BCD, DEF, FGH, HI e ID 
 
2.2.4 2.2.4 2.2.4 2.2.4 MalhaMalhaMalhaMalha 
Definimos como malha qualquer contorno fechado, de cada região em que fica dividido 
um plano, quando neste plano, colocamos um circuito elétrico. 
No exemplo temos as seguintes malhas internas: ABIHA, BCDIB, IDEFI, IHGFI e a malha 
externa ABCDEFGHA. 
 
2.3 2.3 2.3 2.3 Leis de KirchhoffLeis de KirchhoffLeis de KirchhoffLeis de Kirchhoff 
Gus tav Kirchhof Gus tav Kirchhof Gus tav Kirchhof Gus tav Kirchhof f f f f (físico alemão 18(físico alemão 18(físico alemão 18(físico alemão 1824 24 24 24 –––– 1887)1887)1887)1887) 
 
2.3.1 2.3.1 2.3.1 2.3.1 Lei dos Lei dos Lei dos Lei dos NNNNósósósós (1ª Lei de Kirchhoff)(1ª Lei de Kirchhoff)(1ª Lei de Kirchhoff)(1ª Lei de Kirchhoff) 
Esta Lei se aplica exclusivamente aos nós de um circuito elétrico. Ela afirma que em um 
nó a somatória das intensidades de corrente que chegam deve ser igual à somatória das 
intensidades de corrente que saem deste nó. 
Matematicamente teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 IIII8888 
IIII7777 
IIII6666 
IIII5555 
IIII4444 
IIII3333 IIII2222 
IIII1111 
FFFF 
DDDD 
HHHH 
BBBB IIII 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
25 
 
No exemplo teremos: 
Nó B →I3 + I8 = I4 
Nó D→I6 + I8 = I5 
Nó F→I1 + I5 = I7 
Nó H→I2 + I3 = I1 
Nó I→I2 + I4 + I6 = I7 
Note que para cada condutor ligado, que faz parte do nó existe uma corrente. Sendo 
assim a equação para o nó terá o numero de correntes igual ao número de condutores. 
No exemplo o nó B tem três condutores interligados, portanto teremos três correntes 
diferentes na equação, já no nó I temos quatro condutores e, portanto na equação temos 
quatro correntes diferentes. 
 
2.3.2 2.3.2 2.3.2 2.3.2 Lei das MalhasLei das MalhasLei das MalhasLei das Malhas ( 2ª Lei de Kirchhoff)( 2ª Lei de Kirchhoff)( 2ª Lei de Kirchhoff)( 2ª Lei de Kirchhoff) 
Esta Lei, unicamente aplicável às malhas afirma que a soma algébrica das tensões ao 
longo de uma malha qualquer do circuito é igual à zero. Para montarmos essa equação 
devemos levar em consideração o sentido das tensões. Podemos definir, por convenção, 
para cada malha um sentido de percurso e a partir dele considerar positivo ou negativo 
os sentidos encontrados das tensões ao longo desse percurso. 
Exemplo 
No trecho de circuito selecionado abaixo foram determinados anteriormente os sentidos 
reais das tensões e indicados no desenho. O sentido no entorno é adotado e é o do 
percurso que iremos fazer. Esse sentido de percurso deve ser a base para analise dos 
sinais (+ ou -) das tensões já desenhadas no circuito. Assim se o sentido da tensão for 
concordante com o do percurso colocaremos a sinal de (+) se o sentido for discordante 
colocaremos o sinal de (-). No exemplo a seguir teremos a seguinte equação: 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
V2 + V6 + V5 + V4 + V3 - V1 -V7 = 0 
O que acabamos de executar também é conhecido como: circuitação das malhascircuitação das malhascircuitação das malhascircuitação das malhas. 
No exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos também montar a equação da malha observando o sentido das tensões e 
comparando com o sentido horário ou anti-horário. Usando esse principio no exemplo, 
assim teremos: 
 
Malha 1: V2 + V10 + V7 + V6 + V5 = V1 
Malha 2: V9+V8 = V10 
VVVV15151515 
VVVV14141414 VVVV13131313 
VVVV12121212 
VVVV11111111 
VVVV10101010 
VVVV5555 
VVVV9999 VVVV8888 VVVV7777 VVVV6666 
VVVV4444 
VVVV3333 
VVVV2222 VVVV1111 
AAAA 
CCCC 
GGGG 
IIII8888 
IIII7777 
IIII6666 
IIII5555 
IIII4444 
IIII3333 IIII2222 
IIII1111 
FFFF 
DDDD 
HHHH 
BBBB IIII 
EEEE 
1 2 
3 4 
VVVV7777 
VVVV6666 
VVVV3333 
VVVV5555 VVVV4444 
VVVV2222 VVVV1111 
Percurso 
adotado 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
27 
 
Malha 3: V11 + V4 = V13 +V14 
Malha 4: V2 + V3 +V4 + V11+V12+V15 = 0 
Malha externa: V5 + V6 + V7 + V8 + V9 = V1 + V3 + V13 + V14 + V15 
 
2.4 2.4 2.4 2.4 Associação de Associação de Associação de Associação de RRRResistoresesistoresesistoresesistores 
 
2.4.1 2.4.1 2.4.1 2.4.1 Resistor Resistor Resistor Resistor EEEEquivalentequivalentequivalentequivalente ---- RRRREQEQEQEQ 
Sendo dada uma associação qualquer com n resistores ligados entre si, poderemos 
calcular o resistor equivalente a todos os demais e substituí-lo por este, de tal forma que 
o equivalente quando submetido à mesma tensão V aplicada na associação original será 
percorrido pela mesma corrente I total da associação. 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
2.4.2 2.4.2 2.4.2 2.4.2 Associação Associação Associação Associação SSSSérie de érie de érie de érie de RRRResistoresesistoresesistoresesistores 
Conceito de resistor em série: nnnn resistores serão ditos associados em série quando a 
corrente que percorrer qualquer um deles também percorrer todos os demais: ou seja: nnnn 
resistores serão ditos em série quando forem percorridos pela mesma corrente Resistor Resistor Resistor Resistor 
equivalente equivalente equivalente equivalente de uma associação sériede uma associação sériede uma associação sériede uma associação série: 
Consideremos uma associação de nnnn resistores em série: 
 
 
 
RRRRNNNN RRRR5555 
RRRR3333 
RRRR4444 
RRRR2222 
RRRR1111 
V I 
V RRRREQEQEQEQ I 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos também o resistor equivalente desta associação, REQ a partir do conceito 
inicialmente exposto de equivalência, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Notemos que: 
A corrente que percorre R1, R2, R3,....,Rn é a mesmamesmamesmamesma (definição de série) e ainda igual á 
corrente que percorre o resistor equivalente REQ. 
Analisando a associação verificamos que: (Lei das malhas)V = V1 + V2 + V3 + ...+ VN 
Entretanto, considerando que pela Lei de Ohm teremos: 
V1 = R1 x I 
V2 = R2 x I 
V3 = R3 x I 
VN = RN x I 
e ainda, no resistor equivalente REQ: 
V = REQ x I 
RRRR1111 RRRR2222 RRRR3333 RRRRNNNN 
VVVV 
IIII 
VVVV1111 VVVV2222 VVVV3333 VVVVNNNN 
VVVV 
RRRREQEQEQEQ 
IIII 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
29 
 
teremos: 
REQ x I = R1 x I + R2 x. I + R3 x I + ... + RN x I 
ou ainda: 
REQ x I = I x (R1 + R2 + R3 + ...+ RN ) 
Portanto podemos concluir que o resistor equivalente de uma associação série de nnnn 
resistores é dado por: 
RRRREQEQEQEQ = R= R= R= R1111 + R+ R+ R+ R2222 + R+ R+ R+ R3333 + ...+ R+ ...+ R+ ...+ R+ ...+ RNNNN 
Caso particular: 
n resistores de mesma resistência R, teremos: 
RRRRSSSS = n. R= n. R= n. R= n. R 
 
2.4.3 2.4.3 2.4.3 2.4.3 Associação Associação Associação Associação PPPParalelo de aralelo de aralelo de aralelo de RRRResistoresesistoresesistoresesistores 
Conceito de resistor em paralelo: nnnn resistores serão ditos associados em paralelo, 
quando a tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em 
todos os demais:todos os demais:todos os demais:todos os demais: ou ainda: nnnn resistores serão ditos associados em paralelo quando 
estiverem ligados entre os mesmos pontos. 
Resistor equivalente de uma associação paralelo: 
Consideremos uma associação de nnnn resistores em paralelo: 
 
 
 
 
 
Consideremos também o resistor equivalente desta associação REQ, a partir do mesmo 
conceito inicialmente exposto de equivalência, ou seja: 
 
 
RRRR1111 RRRR2222 RRRRNNNN VVVV 
IIII1111 
RRRR3333 VVVV VVVV VVVV VVVV 
IIII2222 IIII3333 IIIINNNN 
IIII 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
30 
 
 
 
 
 
 
Notemos então que: 
A tensão que é aplicada em R1, R2, R3, ..., RN é a mesma (definição de paralelo), e ainda 
igual á tensão que é aplicada no resistor equivalente REQ. 
Analisando a associação pode-se verificar que (Lei dos nós): 
I = I1 + I2 + I3 +... + IN; 
mas considerando que pela Lei de Ohm, teremos: 
 
E ainda, no resistor equivalente REQ: 
 
teremos: 
 
 
 
Portanto concluímos que o resistor equivalente de uma associação em paralelo de nnnn 
resistores será dado por: 
 
Associação de dois resistores em paralelo: 
Consideremos uma associação de apenas dois resistores em paralelo: 
 
RRRREQEQEQEQ VVVV IIII 
 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
Caso particular: n resistores de mesma resistência R: 
RRRREQEQEQEQ = R / n = R / n = R / n = R / n 
 
2.2.2.2.5555 Técnicas de Técnicas de Técnicas de Técnicas de RRRResolução de esolução de esolução de esolução de CCCCircuitosircuitosircuitosircuitos 
Devemos inicialmente compreender que “resolver” um circuito elétrico, significa a 
determinação de todas as suas tensões e todas as suas correntes. Para tanto, qualquer 
que seja o método utilizado, torna-se fundamental o domínio da 1º Lei de Ohm e das Leis 
de Kirchhoff. Veremos a seguir o principal método de resolução de circuitos elétricos. 
Existem vários métodos, porém para este curso veremos apenas o baseado nas leis 
acima mencionadas. 
 
2.2.2.2.5555.1 .1 .1 .1 Resolução por Resolução por Resolução por Resolução por AAAAssociação ssociação ssociação ssociação de de de de BBBBipolosipolosipolosipolos 
Este método poderá somente ser aplicado a circuitos que por associação de bipolos 
podem ser reduzidos a uma única malha e um único gerador. 
Com o objetivo de demonstrar esse método vamos resolver passo a passo, um exemplo 
de um circuito elétrico. 
Exemplo: 
 
AAAA 
RRRR1111 RRRR2222 
BBBB 
AAAA 
RRRREQEQEQEQ 
BBBB 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
32 
 
 
Para podermos resolver este circuito, devemos calcular seu resistor equivalente total 
REQT. Para isso vamos simplificar o circuito. 
A simplificação deve ser feita por partes e para melhor entendimento e visualização de 
todos os passos, a cada associação feita redesenha-se o circuito substituindo a 
associação por seu REQ. 
Observando o circuito devemos visualizar as primeiras associações que poderão ser 
feitas. Neste exemplo podemos efetuar as seguintes associações série: 
REQ1 é igual a 6Ω em série com 6Ω , isto é: 
REQ1 = 6 + 6 
REQ1 = 12Ω 
REQ2 é igual a 5Ω em série com 5Ω, isto é: 
REQ2 = 5 + 5 
REQ2 = 10Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
12121212 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
5555 Ω 
 
5555 Ω 
 
30303030 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
12121212 Ω 
 
12121212 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
10101010 Ω 
 
30303030 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
33 
 
Substituindo as associações por seus equivalentes e redesenhando o circuito teremos: 
Agora as próximas associações serão paralelo: 
12Ω em paralelo com 12Ω, isto é, 
REQ3 = 
1212
1212
+
x
 
REQ3 = 6Ω 
Ainda podemos fazer conjuntamente, 
30Ω em paralelo com 10Ω, isto é, 
REQ4 = 
1030
1030
+
x
 
REQ4 = 7,5Ω 
As demais resistências permanecem, e devem ser redesenhadas conforme mostramos 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Observando novamente o circuito encontramos duas associações que podem ser 
efetuadas: 
REQ5 é igual a 6Ω em série com 6Ω , isto é: 
REQ5 = 6 + 6 
REQ5 = 12Ω 
E ainda: 
REQ6 é igual a 10,5Ω em série com 7,5Ω , isto é: 
 
6666 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
7,57,57,57,5 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
34 
 
REQ6 = 10,5 + 7,5 
REQ6 = 18Ω 
As demais resistências permanecem, e devem ser redesenhadas conforme mostramos 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Agora, o correto será fazer REQ7, que é 12Ω em paralelo com 18Ω. 
CUIDADO é muito comum, e errado fazer 1,8Ω em paralelo com 18Ω ou 12Ω, não 
podemos fazer essa simplificação, pois esses resistores não estão em paralelo. Somente 
os resistores de 18Ω e 12Ω estão ligados nos mesmos dois pontos A e B. Entre o resistor 
de 1,8Ω e o ponto B temos uma fonte de 180V. 
 
 
 
 
 
 
 
Após esta observação, vamos retomar a resolução do circuito exemplo, calculando REQ8. 
REQ8= 
1812
1812
+
x
 
REQ8 = 7,2Ω 
 
12121212 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
18181818 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
12121212 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
18181818 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
AAAA 
BBBB 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
E por ultimo faremos REQT que é iguala associação série de 1,8Ω com 7,2Ω, 
REQT = 1,8 + 7,2 
REQT = 9Ω 
 
 
 
 
 
 
A partir do conhecimento do valor do resistor equivalente, devemos calcular as tensões 
e correntes, neste circuito simplificado. 
NOTA: 
É muito importante termos bem fixado os conceitos de série e paralelo, isto é: 
Série Série Série Série –––– mesma correntemesma correntemesma correntemesma corrente 
Paralelo Paralelo Paralelo Paralelo –––– mesma tensãomesma tensãomesma tensãomesma tensão 
Agora iremos voltar nos circuitos a partir do REQT: 
Neste circuito iremos calcular I: 
 
 
9999 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
7,27,27,27,2 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
Como o resistor de 9Ω é resultado da associação série de 7,2Ω e 1,8Ω e numa associação 
série temos a mesma corrente, podemos então calcular as tensões nos referidos 
resistores. 
V = R x I 
V= 7,2 x 20 = 144 V 
V = 1,8 x 20 = 36 V 
Observe que V1 + V2 = V fonte 
144 + 36 = 180 (OK) 
 
 
 
 
 
 
Seguindo a mesma ideia, o resistor de 7,2Ω é resultado da associação paralelo entre 12Ω 
e 18Ω, como na associação paralelo teremos a mesma tensão, então vamos calcular as 
correntes que percorrem os respectivos resistores. 
 
 
Pela lei dos nós teremos: 
9999 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
7,27,27,27,2 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
144 V144 V144 V144 V 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
37 
 
I = I1 + I2 
12 + 8 = 20 (OK) 
 
 
 
 
 
 
Para os próximos cálculos, observamos que a associação em série de 6Ω e 6Ω deu 
origem ao resistor de 12Ω·, sendo assim teremos nos resistores de 6Ω a corrente de 
12A, poderemos calcular suas tensões 
V = R x I 
V= 6 x 12 
V = 72V 
Como as resistências são iguais e a corrente é e mesma consequentemente suas tensões 
serão iguais. 
Podemos verificar, fazendo: 
V1 = V3 + V6 
144 = 72 + 72 (OK) 
O mesmo raciocínio deverá ser usado para os resistores de 10,5Ω e 7,5Ω. 
V = 10,5 x 8 
V = 84V 
V = 7,5 x 8 
V = 60V 
Verificando: 144 = 60 + 84 (OK) 
 
144 V144 V144 V144 V 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
144 V144 V144 V144 V 
 
12121212 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
18181818 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
12 A12 A12 A12 A 
 
8 A8 A8 A8 A 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
Neste ponto iremos calcular as correntes em cada um dos resistores de 12Ω. Como a 
tensão sobre eles é a mesma, suas correntes serão iguais 
 
Verificando pela Lei dos nós: 
12 = 6 + 6 
O mesmo raciocínio deve ser aplicado aos resistores de 30Ω e de 10Ω. 
 
 
Verificando: 
8 = 2 + 6 (OK) 
 
 
 
 
 
 
 
E para finalizar a resolução, devemos calcular as tensões nos resistores de 6Ω e de 5Ω. 
V = R x I 
12 12 12 12 AAAA 
 
8 A8 A8 A8 A 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
60 V60 V60 V60 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
6666 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
7,57,57,57,5 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
84 V84 V84 V84 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
60 V60 V60 V60 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
84 V84 V84 V84 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
60 V60 V60 V60 V 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
8 A8 A8 A8 A 
 
12 A12 A12 A12 A 
 
12121212 Ω 
 
12121212 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
10101010 Ω 
 
30303030 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
2 A2 A2 A2 A 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
39 
 
V= 6 x 6 
V = 36V 
Como a série e composta por dois resistores iguais suas tensões também serão iguais 
Verificando: 
72 = 36 + 36 (OK) 
O mesmo raciocínio deve ser aplicado na serie composta pelos dois resistores de 5Ω. 
V = R x I 
V= 5 x 6 
V = 30V 
Verificando: 
V = V + V 
60 = 30 + 30 (OK) 
 
2.2.2.2.6666 VerificaçõesVerificaçõesVerificaçõesVerificações 
Agora temos os valores de tensões e correntes em todos os bipolos do circuito. Lembre-
se que este é um exemplo de resolução e, portanto alguns passos aqui apresentados 
podem ser suprimidos. Ao longo do exemplo foram feitas varias verificações que 
poderiam ter sido feitas apenas ao término da resolução, porém caso houvesse algum 
erro você só iria descobrir ao final do exercício o que poderia complicar seu 
desempenho e dificultar a determinação do erro. Esse método de verificação dos 
6 6 6 6 Ω 
 
5555 Ω 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
30 V30 V30 V30 V 
 
84 V84 V84 V84 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
60 V60 V60 V60 V 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
8 A8 A8 A8 A 
 
12 A12 A12 A12 A 
 
12121212 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
5555 Ω 
 
30303030 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
2 A2 A2 A2 A 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
30 V30 V30 V30 V 
 
6 6 6 6 Ω 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
40 
 
resultados, que utiliza as 2ª Lei de Kirchhoff, demonstrado durante a resolução do 
exercício é conhecido como “CircuitaçãoCircuitaçãoCircuitaçãoCircuitação””””. 
Tomaremos agora nosso circuito resolvido e analisaremos cada uma de suas malhas 
para verificar se os resultados obedecem a Lei das Malhas, caso isso não aconteça com 
certeza existe algum erro no circuito. 
 
Malha 1: 36 + 36 = 72 (OK) 
Malha 2: 72 + 72 + 36 = 180 (OK) 
Malha 3: 180 = 60 + 84 + 36 (OK) 
Malha 4: 60 = 30 + 30 (OK) 
Malha Externa: 36 + 36 + 72 = 30 + 30 + 84 (OK) 
Podemos ainda utilizar um outro método de verificação, chamada de “Balanço “Balanço “Balanço “Balanço 
energético”.energético”.energético”.energético”. Esse método baseia-se no princípio da Conservação de Energia: Assim. a 
somatória das potencias fornecido ao circuito pelos bipolos ativos, devem ser igual 
somatória das potencias consumidas pelos bipolos passivos. 
 
Potencia gerada (bipolo ativo) 
Pg = 180 V x 20 A = 3.600 W 
Potencia consumida (bipolo passivo) 
PC = V x I 
6 6 6 6 Ω 
 
5555 Ω 
 
20 A20 A20 A20 A 
 
30 V30 V30 V30 V 
 
84 V84 V84 V84 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
72 V72 V72 V72 V 
 
60 V60 V60 V60 V 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
8 A8 A8 A8 A 
 
12 A12 A12 A12 A 
 
12121212 Ω 
 
6 6 6 6 Ω 
 
1,81,81,81,8 Ω 
 
10,510,510,510,5 Ω 
 
5555 Ω 
 
30303030 Ω 
 
180 V180 V180 V180 V 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
2 A2 A2 A2 A 
 
6 A6 A6 A6 A 
 
6 A6 A6 A6 A30 V30 V30 V30 V 
 
6 6 6 6 Ω 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
36 V36 V36 V36 V 
 
1 2 3 4 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
41 
 
36 x 6 = 216 W 
36 x 6 = 216 W 
72 x 6 = 432 W 
72 x 12 = 864 W 
36 x 20 = 720 W 
84 x 8 = 672 W 
60 x 2 = 120 W 
30 x 6 = 180 W 
30 x 6 = 180 W 
∑= 3600 W 
Pg = Pc 
3600 = 3600 (OK) 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
42 
 
3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (CA)(CA)(CA)(CA) 
 
3.3.3.3.1. 1. 1. 1. Tensão AlternadaTensão AlternadaTensão AlternadaTensão Alternada 
É uma tensão cujo valor e polaridades se modificam ao longo do tempo. Conforme o 
comportamento da tensão tem-se diferentes tipos de tensão alternada: quadrada, 
triangular, senoidal, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De todas essas, a senoidal é a que tem um maior interesse, pois a quase totalidade dos 
sistemas de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica trabalha com tensões 
e correntes variáveis senoidalmente no tempo. Isso se deve ao fato de: 
• A elevação e o abaixamento de tensão são mais simples 
Para reduzir as perdas energéticas no transporte de energia elétrica é necessário elevar 
o valor da tensão. Posteriormente, a distribuição dessa energia elétrica aos 
consumidores, é necessário voltar a baixar essa tensão. Para isso utilizam-se 
transformadores elevadores e abaixadores de tensão, de construção bastante simples e 
com um bom rendimento. O processo de reduzir e aumentar a tensão em CC é bastante 
mais complexo, embora, hoje em dia, existem sistemas de eletrônica de potência capazes 
de executar essa tarefa (embora com limitações de potência). 
• Os alternadores (geradores de CA) são mais simples e têm melhor rendimento que os 
dínamos (geradores de CC). 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
43 
 
• Os motores de CA, particularmente os motores de indução são mais simples e têm 
melhor rendimento que os motores de CC. 
• A corrente alternada pode transformar-se facilmente em CC por intermédio de 
sistemas retificadores. 
 
3.3.3.3.2. 2. 2. 2. Tensão Alternada Senoidal Tensão Alternada Senoidal Tensão Alternada Senoidal Tensão Alternada Senoidal (ou simple(ou simple(ou simple(ou simplesmente tensão alternadasmente tensão alternadasmente tensão alternadasmente tensão alternada)))) 
É uma tensão variável no tempo conforme expressão matemática e gráfico 
representativo descritos a seguir. 
Expressão matemática representativa: 
 
vvvv (t) = (t) = (t) = (t) = Vmax Vmax Vmax Vmax sensensensen ((((ωωωωt + t + t + t + ∝)∝)∝)∝) 
 
Nota: a expressão matemática que descreve as grandezas em regime CA pode ser 
descritas segundo a função seno ou segundo a função cosseno. Adotaremos em nosso 
curso a função seno. 
 
Gráfico representativo 
 
 
 
 
 
 
T 
∝ 
3π/2 π/2 π 0 2π 
v (t) 
ωtωtωtωt (rd)(rd)(rd)(rd) 
+Vmax 
-Vmax 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
44 
 
Onde: 
 
Valor Instantâneo Valor Instantâneo Valor Instantâneo Valor Instantâneo ---- v(tv(tv(tv(t) 
O valor instantâneo de uma grandeza alternada senoidal. Este valor depende 
diretamente do instante considerado. Dado em volt (V) 
 
Valor Máximo Valor Máximo Valor Máximo Valor Máximo ---- Vmax Vmax Vmax Vmax 
Também designada por valor de pico, é o valor instantâneo mais elevado atingido pela 
grandeza (tensão, corrente, f.e.m., etc.). Para as grandezas tensão e corrente, este valor 
pode ser representado pelos símbolos Vmax e Imax. Podem considerar-se valores máximos 
positivos e negativos. Dado em volt (V) 
 
Ângulo ou fase inicial Ângulo ou fase inicial Ângulo ou fase inicial Ângulo ou fase inicial ---- ∝∝∝∝ (referencial)(referencial)(referencial)(referencial) 
∝ é o ângulo de fase inicial. É evidente que em na figura apresentada anteriormente ∝ é 
igual a zero. Convém notar que ao variar o eixo dos tempos fisicamente estará se 
variando o ângulo inicial. Dado em graus (°) ou radianos (rad). 
 
Velocidade ou frequência angularVelocidade ou frequência angularVelocidade ou frequência angularVelocidade ou frequência angular –––– ωωωω 
Espaço angular percorrido dividido pelo intervalo de tempo. Dado em rd/s 
Lembrando que a todo fenômeno cíclico ωωωω está associado um período e uma frequência 
relacionados da seguinte forma: 
ω ω ω ω = 2= 2= 2= 2ππππ.f = 2.f = 2.f = 2.f = 2π π π π / T/ T/ T/ T 
 
Período Período Período Período ---- T T T T 
Tempo necessário para descrever um ciclo completo. Dado em segundo (s) 
 
Frequência Frequência Frequência Frequência ---- ffff 
Esta relacionada ao número de ciclos que ocorre dentro de um intervalo de tempo. Dada 
em Hertz – Hz (ciclos/segundo). 
A relação entre a frequência e o período é então: 
ffff = 1/T= 1/T= 1/T= 1/T 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
45 
 
 
Exemplo: 
No Brasil, a tensão (e a corrente) da rede pública tem uma frequência f = 60 Hz, 
correspondendo a um período T = 16,66 ms e a uma velocidade angular ω = 377 rd/s. 
Quer isto dizer que a tensão de que dispomos nas tomadas de nossas casas descreve 60 
ciclos num segundo, mudando de sentido 120 vezes por segundo. 
Convém ressaltar que outros países adotam sua frequência em 50 Hz. 
Note-se que o período e a frequência são características comuns a todos os sinais 
periódicos isto é, não se utilizam apenas em corrente alternada senoidal, mas também 
em sinais de outras formas (quadrada, triangular, etc.). 
 
3.3.3.3.3333 Valor Eficaz Valor Eficaz Valor Eficaz Valor Eficaz (V)(V)(V)(V) 
O valor eficaz de uma grandeza alternada é o valor da grandeza contínua que, para uma 
dada resistência, produz num dado intervalo de tempo, o mesmo Efeito de Joule 
(calorífico) que a grandeza alternada considerada. Dado em volt (V) 
No caso de grandezas alternadas senoidais, o valor eficaz é vez menor que o valor 
máximo, independentemente da frequência, ou seja: 
V= VV= VV= VV= Vmaxmaxmaxmax/ / / / = 0,707 V= 0,707 V= 0,707 V= 0,707 Vmaxmaxmaxmax 
Tomando as expressões da tensão alternada e do valor eficaz temos: 
v (t) = Vmax sen (ωt + ∝) (1) 
V= Vmax/ (2) 
Substituindo (2) em (1) temos: 
vvvv (t) = (t) = (t) = (t) = V V V V sensensensen ((((ωωωωt + t + t + t + ∝)∝)∝)∝) 
 
3.43.43.43.4. . . . Gerador Gerador Gerador Gerador dddde Tense Tense Tense Tensão Alternadaão Alternadaão Alternadaão Alternada 
É um dispositivo que impõe entre seus terminais de saída, uma tensão alternada de 
valor constante quaisquer que sejam suas condições de funcionamento. 
 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
46 
 
Símbolo 
 
 
 
 
 
3.3.3.3.4.1 4.1 4.1 4.1 Geração de uma tensão alternadaGeração de uma tensão alternadaGeração de uma tensão alternadaGeração de uma tensão alternada 
No gerador simplificado que aparece na figura abaixo, a espira de material condutor gira 
através de um campo magnético uniforme e intercepta suas linhas de força para gerar 
uma tensão CA induzida através de seus terminais (Lei de Faraday). Uma rotação 
completa da espira é chamada de ciclo. Analise a posição da espira em cada quarto de 
volta durante um ciclo completo conforme figura abaixo. Na posição A, a espira gira 
paralelamente ao fluxo magnéticoe consequentemente não intercepta nenhuma linha de 
força. A tensão induzida é igual a zero. Na posição B, a espira intercepta o campo num 
ângulo de 90°, produzindo uma tensão máxima. Quando ela atinge C, o condutor está se 
deslocando novamente paralelamente ao campo e não pode interceptar o fluxo. A onda 
de A até C constitui meio ciclo de rotação. Em D, a espira intercepta o fluxo novamente 
gerando uma tensão máxima, mas aqui o fluxo é interceptado no sentido oposto. Assim a 
polaridade de D é negativa. A espira completa um quarto de volta retornando à posição 
A, ponto de partida do ciclo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vvvv (t)(t)(t)(t) 
+ 
- 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.3.3.5. 5. 5. 5. Corrente AlternadaCorrente AlternadaCorrente AlternadaCorrente Alternada 
Definição análoga à de tensão. 
i (t) = Imax sen (ωt T ∝) 
I= Imax/ , onde I é o valor eficaz da corrente dada em A . 
i (t) = i (t) = i (t) = i (t) = I I I I sensensensen ((((ωωωωt T t T t T t T ∝)∝)∝)∝) 
 
3.3.3.3.6.6.6.6. Representação Representação Representação Representação dddde e e e uuuuma Grandeza Alternada ma Grandeza Alternada ma Grandeza Alternada ma Grandeza Alternada pppporororor uuuum Fasorm Fasorm Fasorm Fasor 
Denomina-se fasor de uma função senoidal, ao número complexo cujo Módulo é igual ao 
valor eficaz da função é cujo argumento é igual a sua fase inicial, assim temos: 
 ccccomomomomo fasor de f(t) = A o fasor de f(t) = A o fasor de f(t) = A o fasor de f(t) = A sensensensen (ωt T ∝)(ωt T ∝)(ωt T ∝)(ωt T ∝) 
Deste modo podemos representar as grandezas alternas da seguinte forma: 
v (t) = V sen (ωt T ∝) 
v (t) = Vmax sen (ωt T ∝) 
i (t) = I sen (ωt T ∝) 
i (t) = Imax sen (ωt T ∝) 
A A 
B 
C 
D 
3π/2 
π 0 
π/2 
3π/2 π/2 π 0 2π ωωωωtttt 
1 ciclo 
 = AAAA ∝∝∝∝ 
 = VVVV 
AAAA
∝∝∝∝ 
 = VVVVmaxmaxmaxmax //// 
AAAA
∝∝∝∝ 
 ==== IIIImaxmaxmaxmax //// 
AAAA
∝∝∝∝ 
 ==== IIII 
AAAA
∝∝∝∝ 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
48 
 
Convém notar que o fasor não caracteriza por completo a função correspondente, pois 
embora ele forneça o valor eficaz da função e sua fase inicial ele não fornece nenhuma 
informação a respeito da frequência. 
 
3.7 Forma Fasorial da Lei de Ohm em Corrente Alternada3.7 Forma Fasorial da Lei de Ohm em Corrente Alternada3.7 Forma Fasorial da Lei de Ohm em Corrente Alternada3.7 Forma Fasorial da Lei de Ohm em Corrente Alternada 
 
3.3.3.3.7.1 7.1 7.1 7.1 IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução 
Em corrente contínua foi apresentado o bipolo passivo (receptor) como sendo um 
dispositivo que pode transformar energia elétrica em outra forma de energia e tivemos 
como receptor apenas o elemento resistor. 
Em corrente alternada denomina-se como bipolo passivo (receptor) como sendo um 
dispositivo que transforma energia elétrica em outra forma de energia ou quando 
armazena energia, a ele cedida, por um intervalo de tempo. Dada essa nova classificação 
dos receptores para corrente alternada, passam a ser classificados como bipolos 
passivos os resistores, capacitores e indutores. 
Como bipolos alimentados por uma tensão alternada tem comportamentos diferentes, a 
exceção do resistor, faz-se necessário um estudo particularizado para cada um deles 
utilizando a forma fasorial da Lei de Ohm. 
 
3.3.3.3.7.2 7.2 7.2 7.2 ImpedânciaImpedânciaImpedânciaImpedância ---- 
Por definição, denomina-se impedância o número complexo que exprime o quociente 
razão entre o fasor de uma tensão e o da corrente . 
 = = = = //// ((((Ω)Ω)Ω)Ω) ((((Forma fasorial da Lei de Ohm) 
Fisicamente a impedância representa a oposiçãooposiçãooposiçãooposição que um receptor exerce à passagem de 
corrente elétrica alternada, assim como o resistência de um resistor representa a 
oposição à passagem de uma corrente constante (CC). 
Convém frisar que, embora os fasores da tensão e correntes são representativos de 
funções senoidais, a impedância é um número complexo que não representa nenhuma 
função senoidal , é simplesmente a razão entre esses fasores. 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
49 
 
A impedância do bipolo, excetuando-se o resistor, depende apenas da frequência 
angular da tensão a ele aplicada. 
Como a impedância é apenas um número complexo podemos representá-la também na 
sua forma cartesiana (ou retangular), onde a parte real RRRR é denominada resistência ou resistência ou resistência ou resistência ou 
(parcela resistiva)(parcela resistiva)(parcela resistiva)(parcela resistiva), enquanto que o coeficiente da parte imaginária XXXX é denominada de 
reatânciareatânciareatânciareatância ou (parcela reativa)ou (parcela reativa)ou (parcela reativa)ou (parcela reativa).... 
 = R + j= R + j= R + j= R + j XXXX ((((Ω)Ω)Ω)Ω) 
 
3.3.3.3.7.3 7.3 7.3 7.3 Forma fasorial da Forma fasorial da Forma fasorial da Forma fasorial da LLLLei de ei de ei de ei de OOOOhm para o resistorhm para o resistorhm para o resistorhm para o resistor 
Consideremos um resistor R qualquer ao qual aplicamos uma tensão alternada v (t) = 
V sen (ωt + ∝) sua corrente será dada por: 
vR (t) = V sen (ωt + ∝) (1) 
vR (t) = R . iR(t) 
Portanto iR(t) = 1/R . vR(t) (2) 
Substituindo (2) em (1) temos: 
iR(t)= 1/R . V sen (ωt + ∝) 
Obtendo os fasores representativos de vR(t) e iR(t), teremos: 
 
De posse desses valores podemos calcular a impedância resistiva 
 = = = = //// 
 
 
 
 
 
Onde R (módulo da impedância) é a resistência dada em Ω. 
Podemos concluir que o resistor se comporta da mesma forma quando alimentado em 
corrente alternada como em corrente contínua. 
= V/R ∝ 
 
= 
 
 
 
 ∝ V 
 ∝ 
R 
V 
 = R = R= R = R= R = R= R = R ((((Ω)Ω)Ω)Ω) 0000°°°° 
= V ∝ 
Forma polar 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
50 
 
Observando seus fasores representativos verificamos que as fases são iguais, ou seja: 
““““NNNNoooo resistresistresistresistoooorrrr a tensão e a corrente estão sempre em fase”.a tensão e a corrente estão sempre em fase”.a tensão e a corrente estão sempre em fase”.a tensão e a corrente estão sempre em fase”. 
Fase 0° caracteriza sempre um resistor puro 
Representando graficamente (diagrama fasorial) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.3.3.7.4 7.4 7.4 7.4 Indutor Indutor Indutor Indutor 
Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que 
pode ser de ar ou de outro material. A figura a seguir mostra o símbolo para indutor com 
núcleo de ar, de ferro e de ferrite. 
 
 
 
Símbolo de indutor - (a) Núcleo de ar; (b) de ferro e (c) ferrite. B 
 
 
a b c 
ωωωω 
 
∝ 
 
ωt 
T
en
sã
o/
C
or
re
n
te
 
 Tensão v(t) 
Corrente i(t) 
Eletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade AplicadaEletricidade Aplicada I 
 
51 
 
Indutor em Indutor em Indutor em Indutor em ccccorrente orrente orrente