Geometria espacial

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MÓDULO II – PARTE 9 
 
Geometria Espacial 
MATEMÁTICA 
 
 2011 
 1
Prof. Bruno Vianna 
Projeto 
Vestibular 
Poliedros 
 
É o sólido limitado unicamente por superfície plana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos: 
 
Faces – São as superfícies planas que limitam o sólidos. 
(ABCD, EFGH, CBFG, ...) 
 
Arestas – são as interseções das faces, duas a duas. 
...) ,BF ,CD ,BC ,AB( 
 
Vértices – São os pontos comuns a três ou mais arestas. 
(A, B, C, D, E. ...) 
 
Diagonais – São os segmentos de reta que unem dois 
vértices, não pertencentes a uma mesma face. 
...) ,BH ,AG( 
 
- Poliedro Convexo. 
 
Um poliedro é convexo quando fica inteiramente situado 
num mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suas 
faces. Caso contrário, é chamado de poliedro não convexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Teorema de Euler: 
 
Em todo poliedro convexo, número de arestas A 
aumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices V 
aumentado do número de faces F. 
 
 
V + F = A + 2 
 
 
Obs.: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo 
poliedro euleriano é convexo. 
 
- Cálculo do número de arestas 
 
O número de arestas de um poliedro é dado por: 
 
A = 
2
F.n∑
 
Onde: 
 
F – é número de faces 
n - é o número de lados de cada face 
 
- Poliedros regulares ou poliedros de Platão. 
 
São aqueles em que todas as faces são polígonos 
regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são 
congruentes. 
Só existem cinco poliedros regulares, são eles: 
 
Tetraedro – as faces são triângulos equiláteros. 
Hexaedro – as faces são quadrados. 
Octaedro – as faces são triângulos equiláteros. 
Dodecaedro - as faces são pentágonos regulares. 
Icosaedro – a faces são triângulos equiláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tetraedro regular Hexaedro regular 
 
 
 
 
 
 
 
Octaedro Regular Dodecaedro regular 
 
 
 
 
 
 
 
 Icosaedro regular 
 
 
 
 
H G
C
B
FE
A
D
Convexo Não Convexo
 
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EXERCÍCIOS 
 
01) Um poliedro convexo é formado por 6 faces 
quadrangulares e oito faces triangulares. Determine o 
número de arestas e o número de vértices desse poliedro. 
 
02) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces. Qual o 
número de arestas desse poliedro ? 
 
03) Um poliedro convexo que só tem faces triangulares e 
quadrangulares tem 20 vértices. Calcule o número de faces 
do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o 
dobro do número de faces quadrangulares. 
 
04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a 
partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As 
medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 
3
1
 da 
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado 
na fabricação de bolas. Observe as figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa 
esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao 
costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele 
gasta 7 cm de linha. 
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um 
comprimento de linha igual a: 
 
(A) 7,0m (B) 6,3m (C) 4,9m (D) 2,1m 
 
05) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a 
descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na 
qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo 
cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, 
como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto 
norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi 
denominada fulereno. Determine o número de átomos de 
carbono (vértices) nessa molécula e o número de ligações 
entre eles (arestas). 
 
 
(A) 65 átomos e 40 ligações 
(B) 60 átomos e 90 ligações 
(C) 60 átomos e 45 ligações 
(D) 80 átomos e 90 ligações 
(E) 60 átomos e 30 ligações 
 
06) (uerj-2005-2f) 
 
 
O poliedro acima, com exatamente trinta faces 
quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um 
dado, em um jogo. 
Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, 
ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de 
ser sorteada. 
Calcule: 
 
a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 
5, ao lançar esse dado uma única vez; 
 
b) o número de vértices do poliedro. 
 
Prismas 
 
1. Superfície Prismática: 
 
É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se 
desloca paralelamente a uma direção dada (d) e apoiando-se 
numa linha poligonal plana (diretriz). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A superfície prismática pode ser aberta ou fechada, se a 
linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente. 
 
As geratrizes que passam pelos vértices da diretriz 
chamam-se arestas da superfície. 
 
2. Prisma: 
 
É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada 
e por dois planos paralelos que interceptam todas as 
geratrizes. 
g
d
B C
D
A
 
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As faces ABCD e EFGH são polígonos congruentes 
chamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de 
faces laterais, são paralelogramos. 
 
3. Elementos dos prisma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arestas da base: 
EH AD ,GH CD ,FG BC ,EF AB ==== 
 
Arestas laterais: DH CG BF AE === 
 
Altura: h (distância entre as duas a bases). 
 
4. Classificação dos Prismas: 
 
1º)Quanto aos Polígonos das bases: 
 
Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 
 
2º) Quanto as arestas laterais: 
 
Podem ser: reto ou oblíquo. 
 
Prisma reto – As arestas laterais são perpendiculares às 
bases. 
 
Prisma oblíquo – as arestas laterais são oblíquas às bases 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Prisma Oblíquo) 
 
5. Prisma Regular: 
 
É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares. 
 
6. Áreas do Prisma: 
 
1º) Área lateral (Al) 
 
É a soma das áreas das face laterais 
 
2º) Área total. (At). 
 
É a soma da área lateral (Al) com a área das bases (Ab). 
 
At = Al + 2Ab 
 
7. Volume: 
 
Pelo princípio de CAVALIÉRE, o volume de um prisma 
qualquer é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura 
h. 
 
V = Ab . h 
 
 
Exercícios 
 
07) Dadas as figuras dos prismas abaixo: 
 
a) Paralelepípedo Retângulo b) Cubo ou Hexaedro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a área total, o volume e as diagonais de ambos em 
função de suas arestas. 
 
H G
FE
D C
A B
α
β
H
FE
D C
A B
G
h
h
(Prisma Reto)
h
c
a
b
d
D
Da
a
a
d
 
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14 cm 
10 cm 
13 cm 
08) Quantos litros de água cabem em um reservatório em 
forma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m 
de base e 1,2 m de altura? 
 
(A) 800 (B) 1.200 (C) 1.600 (D) 4.800 (E) 5.200 
 
09) (PM-00) O perímetro do polígono formado pelos 
segmentos que unem os centros das quatro faces laterais de 
um cubo de aresta medindo 4 cm é: 
(A) 22 (B) 28 (C) 24 (D) 26 (E) 16 
 
10) (PM-04) Seis blocos de concreto, em forma de 
paralelepípedo retângulo, foram utilizados na construção da 
escada representada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
Se esses blocos são congruentes, a expressão algébrica que 
corresponde ao volume de concreto necessário para a 
construção da escada é: 
 
(A) 18 x
2
y (B) 18 xy
2 
(C) 12 xy
2 
(D) 12 x
2
y 
 
11) (UERJ-UENF-2001-2ªF) Na construção de um hangar, com 
a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar 
um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas 
abaixo. 
 
 
Calcule o volume mínimo desse hangar. 
12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de 
suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm. A terceira 
dimensão mede aproximadamente: 
 
(A) 6,0 cm (B) 6,5 cm (C) 7,0 cm (D) 7,6 cm 
 
13) (ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz 
diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial de 
peça feita nessa companhia tem o formato de um 
paralelepípedo retangular, de acordo com asdimensões 
indicadas na figura que segue. 
 
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na 
medida da grandeza: 
 
(A) massa. (B) volume. (C) superfície. 
(D) capacidade. (E) comprimento. 
 
14) (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, 
cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m. 
A quantidade necessária de litros de água para que o nível 
de água da piscina suba 10 cm é: 
(A) 0,15 L (B) 1,5 L (C) 150 L (D)1.500 L (E) 15.000 L 
 
15) (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates 
no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo 
volume. As arestas da barra de chocolate no formato de 
paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de 
comprimento e 4 cm de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas 
descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o 
formato de cubo é igual a: 
 
(A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm 
16) (UFF) Uma caixa de papelão, na forma de um 
paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde 
abaixo nas linhas tracejadas. 
 
O volume da caixa, em cm
3
, é: 
 
 
(A)120 
(B) 180 
(C) 240 
(D) 480 
(E) 540 
 
 
3y 
3x 
2y 
 
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17) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material 
que custa R$ 5,00 o cm
3
, deve-se gastar a quantia de: 
 
(A) R$ 400,00 (B) R$ 380,00 (C) R$ 360,00 
(D) R$ 340,00 (E) R$ 320,00 
 
18) (UERJ-2004-1ª fase) As esferas da figura abaixo 
representam os íons formadores de um cristal de cloreto de 
sódio. 
 
Considere que o íon com maior número de camadas 
eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que a 
distância entre os núcleos dos íons X e Y vale 310 
unidades de comprimento. 
O símbolo do elemento formador do íon de menor tamanho 
e a menor distância, na mesma unidade de comprimento, 
entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion, são: 
 
(A)Cℓ, 3 (B) Na, 3 (C) Cℓ, 5 (D) Na, 5 
 
19) (PUC) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a 
altura aumenta 20%, o seu volume: 
 
(A) aumenta de 8% (B) aumenta de 15% 
(C) aumenta de 108% (D) diminui de 8% 
(E) não se altera. 
 
20) (UFF – 98) Em um cubo de aresta l , a distância entre o 
ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de 
suas arestas é: 
(A) l 3 (B) l 2 (C)
l 3
2
 (D)
l 2
2
 (E)
l
2
 
 
21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma 
de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um 
quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra 
pedra, do mesmo material, que tem a forma de um 
paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura 
e 3 cm de espessura? 
 
22) (UFRJ) Os pontos J e I são os pontos médios das arestas 
do cubo sugerido na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule, em função da medida a da aresta do cubo, a 
distância de I e J. 
 
b) Determine a medida θθθθ do ângulo JK̂I . 
 
 
23) (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de 
leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de 
dimensões internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm. 
Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal 
de modo que apenas uma das menores arestas fique em 
contato com o plano, como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule o volume do leite derramado. 
 
24) (UERJ-2004-2F) Dois prismas regulares retos P1 e P2 , o 
primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm 
a mesma área da base e a mesma área lateral. 
A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a: 
 
(A) 
3
2
 (B) 
3
6
 
(C) 
2
3
 (D) 1 
 
 
θ
J
I
60º
b
a
c
 
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25) (UFRJ-04-PNE) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com 
forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo 
plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na 
figura 1. O sólido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez, 
pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, 
respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e 
DF, como ilustrado na figura 2. 
 
 
Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ 
resultante deste segundo corte (ilustrado na figura 3) e o 
volume da barra de sabão original. 
 
26) (UFRJ-06-PE) A figura abaixo corresponde à planificação 
de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da 
base igual a 3a. 
 
Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma. 
 
27) (UERJ-03-2ªF)Para uma demonstração prática, um 
professor utiliza um tanque com a forma de um 
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas 
correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e 
50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode 
enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos, 
e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente 
cheio, em 18 minutos. 
 
O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita 
que um aluno registre o tempo decorrido 
até que o tanque fique totalmente cheio. 
 
Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno. 
28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prisma 
reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que 
seu volume tenha valor a
3
? 
 
(A) 
a 3
4
 (B) 
3 3
4
a
 (C) 
a 3
3
 (D) 
4 3
3
a
 
 
29) Uma caixa d\'água tem o espaço interno na forma de 
cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da 
mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De 
quanto baixa esse nível? 
 
(A) depende de quanta água havia (B) 1 metro 
(C) 10 centímetros (D) 10 milímetros 
(E) 1 milímetro 
 
30) (UERJ – 2011 -1º ex) A embalagem de papelão de um 
determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a 
forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. 
 
Em relação ao prisma, considere: 
- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 
120º; 
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. 
 
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a 
embalagem custa R$10,00 por m
2
 e que 3 = 1,73. 
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, 
em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente 
igual a: 
 
(A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,85 
 
31) (ENEM – 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído 
no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O 
cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm 
e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. 
 
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi 
de: 
 
(A) 12 cm
3
 
(B) 64 cm
3
 
(C) 96 cm
3
 
(D) 1 216 cm
3
 
(E) 1 728 cm
3
 
 
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32) (UERJ-2010-1ºEX) A figura abaixo representa uma piscina 
completamente cheia de água, cuja forma é um prisma 
hexagonal regular. 
 
Admita que: 
– A, B, C e D representam vértices desse prisma; 
– o volume da piscina é igual a 450 m
3
 e 
 
– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto 
médio da aresta CD,utilizando apenas glicose como fonte de 
energia para seus músculos. 
 
A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 
1,0 m/s. 
 
O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso 
equivale a cerca de: 
 
(A) 12,2 (B) 14,4 
(C) 16,2 (D) 18,1 
 
Cilindros 
 
1. Superfície Cilíndrica: 
 
É a superfície gerada por uma reta móvel g (geratriz) 
que se desloca paralelamente a uma direção (∆) e apoiando-
se numa linha curva dada d (diretriz). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conforme 
a natureza da diretriz ela pode ser circular, elíptica, 
parabólica, etc. No nosso caso estudaremos somente as 
circulares. 
 
2. Cilindro: 
 
É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por 
dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 
 
 
0 e 0’ → centros das bases. 
g → geratriz 
h → altura3. Classificação dos cilindros: 
 
São classificados de acordo com o ângulo formado pela 
geratriz com os planos das bases. 
 
•••• Cilindro reto; 
A geratriz (g) é perpendicular às bases. 
Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação 
completa de um retângulo em torno de um dos seus lados. 
Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução. 
 
 
 
 
−'00 é o eixo de rotação. 
 
 
 
 
•••• Cilindro oblíquo: 
 
A geratriz (g) é oblíqua às bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g
d
∆
r
r
0
0’
g
h
h
0’
0
g
r
r
0
0’
g h
0’
0
h = g
r
r
 
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4. Secções 
 
•••• Secção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um 
plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à 
base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
•••• Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por um 
plano que contém o seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um 
retângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso, 
dizemos que o cilindro é equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Áreas e volume de um cilindro: 
 
Planificando o cilindro (Fig. 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teremos: 
 
• Área lateral (Al) • Área da Base (Ab) 
 
Al= 2πrh Ab = πr2 
 
 
• Área Total (At) 
 
 At = Al + 2Ab At = 2πr (h + r) 
 
 
•••• Volume (V) 
 
V = Ab . h V = πr2 . h 
 
 
Exercícios 
 
33) (UFF) - Um reservatório, na forma de um cilindro circular 
reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se 
construir outro reservatório que tenha, também, a forma de 
um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igual 
a 
2
r
 e altura H. A relação entre as alturas desses 
reservatórios é dada por: 
(A) H = 4h (B) H = 2h (C) H = 
2
h
 
(D) H = 
4
h
 (E) H = h 
 
34) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro 
de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm 
de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm 
de raio ? 
 
35) (UERJ – 2001 -2º EXAME) Um recipiente cilíndrico de 60 
cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma 
superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 
cm, conforme indicado na figura. 
 
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o 
nível da água sobe 25%. 
Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do 
cubo colocado na água é igual a: 
 
(A) 210 (B) 3 210 (C) 1210 (D) 3 1210 
r r
h
0’
0
h = 2r
r r
0’
0
r
h
0’
0
hSl
r
0
2 rπ
0’
(Fig. 1)
 
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45º 
36) (UFF)- Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, é 
inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu 
conteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de 
sua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de 
água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no 
tonel é: 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 3/4 (E) 
2
2
 
 
37) (UERJ-2006-1ºEX) Para a obtenção do índice 
pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da 
chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado 
pluviômetro. 
A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de 
captação de 0,5 m
2
 e raio interno do cilindro de depósito de 
10 cm. 
 
 
Considere que cada milímetro de água da chuva depositado 
no cilindro equivale a 1 L/m
2
. 
No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 
mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, 
aproximadamente: 
 
(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45 
 
38) (ENEM-08) A figura ao lado mostra um reservatório de 
água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de 
altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é 
suficiente para abastecer, por um dia, 900 
casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. 
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de 
conscientização do uso da água, os moradores das 
900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito 
economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, 
 
(A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3. 
 
(B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, 
no final do dia, foi igual a 60 cm. 
 
(C) a quantidade de água economizada seria suficiente 
para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo 
diário fosse de 450 litros. 
 
(D) os moradores dessas casas economizariam mais de 
R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o 
consumidor fosse igual a R$ 2,50. 
 
(E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com 
raio da base 10% menor que o representado, teria 
água suficiente para abastecer todas as casas. 
 
39) (ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família 
Teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se 
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona 
Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, 
também cilíndricos. 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja 
colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher 
os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona 
Maria deverá: 
 
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo. 
 
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 
vezes maior que o volume do copo. 
 
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 
vezes maior que o volume do copo. 
 
(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 
vezes maior que o volume do copo. 
 
(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 
vezes maior que o volume do copo. 
 
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40) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um 
cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura 
desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma 
camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. 
 
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e 
tomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preço 
dessa manilha é igual a: 
 
(A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00. 
 
(C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56. 
 
(E) R$ 49,60 
 
41) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda 
para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o 
formato de um prisma reto com base triangular, cujas 
dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 
cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração 
na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas 
faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
O raio da perfuração da peça é igual a: 
 
(A) 1 cm. (B) 2 cm. (C) 3 cm. 
 
(D) 4 cm. (E) 5 cm. 
 
42) Determine o volume do sólido abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43) (UFRJ-2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida a 
partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo 
ABCD indicado a seguir. 
 
 
Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a 
superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q. 
 
Determine o comprimento desse caminho. 
 
Cone 
1. Superfície Cônica: 
 
É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca 
passando sempre por um ponto fixo V(vértice) e apoiando-se 
numa linha curva plana dada d (diretriz). 
 
 V 
 
 
 
 
 
 
 
 A superfície cônica pode ser aberta ou fechada e 
conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou 
elíptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares. 
 
2. Cone: 
 
É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por 
um plano que interpreta todas as geratrizes. 
 
 
0 → centro da base 
g → geratriz 
h → altura 
V0 → eixo 
V → vértice 
r → raio 
 
 
10
6
22 0
d
g
g
V
r r0
h
 
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3. Classificação dos cones: 
São classificados de acordo com a inclinação de seu eixo. 
•••• Cone Reto: 
 
O eixo é perpendicular à base. Neste caso, a medida do eixo é 
igual a altura. 
 
 
 
 
Relação Métrica: 
 
g
2
 = h
2
 + r
2
 
 
 
Obs. Todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa 
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 
Por isso ele também é chamado de cone de revolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•••• Cone Oblíquo 
 
O eixo é oblíquo à base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Secções: 
 
•••• Secção transversal: É obtida seccionando o cone por um 
plano paralelo à base. Essa secção é um círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•••• Secção Meridiana: É obtida seccionando o cone por um 
plano que contém o seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: 
A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo 
isósceles. Quando esse triângulo é equilátero (g = 2r), o 
cone é chamado cone equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Áreas e volume de um cone: 
 
Planificando o cone (Fig. 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•••• Área lateral (Al): 
 
É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g, 
através de uma regra de três simples, ou seja: 
 
 
Área Comprimento do Arco 
πg2 2πg 
Al 2πr 
 
r r0
h g
r 0
hg
V
r0
V
h
r r0
g g
V
r r0
g = 2r
V
C = 2 rπ
Sb
0
r
Sl
g
g
g
0 r
(Fig 1)
V
 
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lA
g2π
=
r2
g2
π
π
, simplificando: 
 
Al = πrg 
 
 
•••• Área da base (Ab): Ab = πr2 
 
•••• Área total (At): At = Al + Ab = πrg + πr2 
 
At = πr (g + r) 
 
•••• Volume: 
 
O volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro 
V = 
3
1
 . Ab . h 
 
V = 
3
hr 2 ⋅π
 
 
Exercícios 
 
44) A figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro 
apontado: Use π=3 
 
 
 
 
 
 
Determine o volume deste lápis. 
 
45) (AFA-97) A razão entre os volumes de dois cones 
eqüiláteros de alturas h e 2h é 
 
(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 
 
46) Calcule o raio do cone da figura abaixo, sabendo que 
inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio 
e na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio 
da base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm . 
 
47) (UFRJ-01-PNE) Um recipiente em forma de cone circular 
reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo 
na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a 
borda, comporta 400 ml. 
 
 
Determine o volume de líquido quando o nível está em 
2
h
. 
48) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Um sólido com a forma de um 
cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua 
em um líquido, conforme a ilustração abaixo. 
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio 
pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o 
volume do sólido será igual a: 
 
(A) ½ (B) ¾ (C) 5/6 (D) 7/8 
 
49) (UFF) Considere um cone equilátero de raio r e volume V. 
Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por 
um plano paralelo a sua base; 
obteve-se, assim, um novo cone de volume 
2
V
. 
Expresse h em termos de r. 
 
50) (UFRJ-01-PE) Dois cones circulares retos têm bases 
tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. 
Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que 
suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do 
outro. 
 
Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e 
s
r
x = , determine x. 
8 mm
12 cm 2 cm
 
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51) (AFA-01) A área total do sólido gerado pela rotação do 
polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o lado AE, é, 
em m
2
, igual a 
 
(A) 144π 
(B) 150π 
(C) 168π 
(D) 170π 
 
 
 
 
 
52) (UERJ-2010-2ºEX) A figura abaixo representa um 
recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio 
a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. A figura 
abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa 
de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 
cm de altura. 
 
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial 
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução 
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. 
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a : 
 
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 
 
Pirâmides 
 
1. Superfície Piramidal: 
 
É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se 
desloca passando sempre por um ponto fixo V (vértice) e 
apoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A superfície piramidal pode ser aberta ou fechada, 
respectivamente. 
 
2. Pirâmide: 
 
 É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada 
e por um plano que intercepta todas as geratrizes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O polígono ABCD é a base da pirâmide. 
 
AD ,CD ,BC ,AB . São as arestas da base da pirâmide. 
 
VD ,VC ,VB ,VA são as arestas laterais da pirâmide. 
 
AVB, BVC, CVD, AVD são as faces laterais da pirâmide. 
 
A distância h do ponto V ao plano da base é a altura da 
pirâmide. 
 
Quanto ao polígono da base a pirâmide é triangular 
(tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc. 
 
3. Pirâmide Regular: 
 
É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do 
vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABCD é o polígono da base, nesse caso é um quadrado. 
 
O é o centro da base. 
 
V é o vértice da pirâmide. 
 
hVO = é a altura da pirâmide. 
 
m3CD
m6BC
m6AB
m2AE
=
=
=
=
 
Dados: 
A B 
D C 
y 
E 
A
B C
D
V
g
D
V
A B
C
h
D
V
A B
C
h
O
 
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4. Elementos de uma pirâmide regular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M 
 
 a 
 
Apótema da pirâmide (Ap) – é a altura em relação em 
relação à base, de uma de suas faces laterais, que são 
triângulos isósceles. 
 
Ap = VM 
 
Apótema da base da pirâmide OM = An. 
 
Raio do círculo circunscrito à base 
==== ODOCOBOA R. 
 
Arestas da base ==== ADCDBCAB A. 
 
Arestas laterais ==== VDVCVBVA A 
 
 
5. Tronco de Pirâmide: 
 
É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma 
seção plana que intercepta todas as arestas laterais. 
Quando a seção for paralela à base, temos um tronco de 
pirâmide de bases paralelas. 
A distância entre as bases é a altura do tronco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H é a altura do tronco. 
 
Sendo A’B’C’D’ paralelo a ABCD a razão entre as áreas é 
dada por: 
 
2
h
d
ABCD área
D'C'B'A' de área





= 
 
 
6. Volume da Pirâmide: 
 
Todo prisma triangular pode ser decomposto em três 
pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja o prisma triangular ABCVXZ. 
 
Se cortarmos esse prisma pelos planos ACV e CVZ, as 
pirâmides são equivalentes, por terem bases congruentes e a 
mesma altura (bases e altura do prisma). 
As pirâmides VACZ e VCXZ também são equivalentes, por 
terem a mesma altura, distância de V à face ACXZ do prisma, 
e bases equivalentes, ACZ e CZX, como metades do 
paralelogramo ACXZ. 
Portanto as três pirâmides VABC, VCXZ e VACZ são 
equivalentes. Como as três pirâmides têm o mesmo volume, 
cada uma delas terá um terço do volume do prisma, ou seja: 
 
V pirâmide = ⋅
3
1
 V prisma 
 
3
 
hAb
pirâmideV
⋅= , onde: 
 
Ab – é a área da base. 
h – é a altura. 
 
Obs: Tal fórmula é válida para qualquer pirâmide, pois 
sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases 
triangulares. 
 
Área Total At = Al + Ab 
 
 
C
V
D A
B
OAp
R
Al
An
D’
A’
C’
B’O’
D
A B
C
O
V
d
H
h
Z X
V
C
B
A
 
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Al – Somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais 
Ab – Área do polígono da base 
Tetraedro Regular 
 
Quando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros. 
 
 
 
 
 
 
V – Vértice 
G – Baricentro da base 
VG – Altura do tetraedro → 
3
6a
h = 
AM – Altura da base 
12
2
3
3
2 aVaAT == 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
53) (uff-2005-1f) A grande pirâmide de Quéops, antiga 
construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de 
base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa 
pirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base 
mede 179 m. 
 A área da base dessa pirâmide, em m
2
, é: 
 
(A) 13.272 (B) 26.544 (C) 39.816 
(D) 53.088 (E) 79.432 
 
54) (UERJ – 2002 -1º EXAME) 
 
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-
mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado 
na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta 
a um paralelepípedo retângulo. 
 
Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em 
cada ano de trabalho é, em dm
3 
, igual a: 
 
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 
 
55) (UFF–00) No tetraedro regular representado na 
figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e 
OM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão 
MN
RS
 é igual a: 
(A) 3 (B) 
2
3
 (C) 2 (D)
2
2
 (E) 3 2 
 
56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirâmide regular tem base quadrada 
de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de 
modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base 
superior de área 1. 
 
Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide. 
 
 
57) (UERJ-93-2ª FASE) ABCD é um tetraedro regular de aresta 
a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da 
aresta CD é N. Calcule: 
 
 
a) MN 
 
b) seno do ângulo NMD$ . 
 
 
 
 
 
M 
G 
C 
B 
V 
A 
.
.
P
R
O
MN
S
 
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58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vértices nos pontos 
médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular 
regular, e os outros quatro na base da pirâmide, como 
mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é: 
 
(A) 
4
3
 (B) 
2
1
 (C) 
8
3
 (D) 
8
1
 
 
59) (UFRJ-2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD 
e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. 
Considere o cubo de volume máximo 
contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, 
como ilustra a figura ao lado. 
 
Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 
 
60) (UERJ-2001-2ªF) 
 
A figura acima representa uma chapa de metal com a forma 
de um triângulo retângulo isósceles em que 
cmCDBCAB 2=== . 
 
Dobrando-a nas linhas CEBE = ,constrói-se um objeto que 
tem a forma de uma pirâmide. 
 
 
 
Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do 
ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC. 
 
61) (UNICAMP – 2003) Considere um cubo cuja aresta mede 
10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do 
cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos 
eqüiláteros congruentes. 
 
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. 
 
b) Calcule o volume do mesmo octaedro. 
 
ESFERAS 
 
1. Definição: 
É o sólido gerado pela rotação completa de um semi-círculo 
em torno de seu diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Superfície esférica – é a superfície gerada pela semi-
circunferência 
 
2. Secções : 
Toda secção plana de uma esfera é um círculo. 
Quando o plano da secção passa pelo centro da esfera, temos 
um círculo máximo. 
 
R – raio da esfera 
0 – centro da esfera 
0’ – centro da secção 
d – distância do centro 
da esfera à secção. 
 
Da figura temos: 
 
R
2
 = d
2
 + r
2
 
 
R R
0’ r
d
0
R
 
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3. Pólos: 
 
 Denominamos pólos de um círculo da esfera as 
extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa 
secção. 
O pólo de um círculo da esfera é eqüidistante de todos os 
pontos da circunferência desse círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• P1 e P2 são os pólos. 
 
• AP1 e AP2 são as distâncias polares. 
 
• No triângulo retângulo P1AP2, temos: 
 
)dR(R2AP
)dR(R2AP
2
2
2
1
+=
−=
 
 
4. Considerando a superfície esférica de eixo e: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teremos: 
 
• Meridiano (M) – é a secção determinada por um plano que 
contém o eixo e. 
• Equador (E) – é a secção determinada por um plano 
perpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera. 
• Paralelos (P) – são as secções obtidas por planos 
perpendiculares ao eixo e, e que não passam pelo centro da 
esfera. 
 
 
 
 
5. Zona esférica: 
 
É a porção da superfície esférica compreendida entre dois 
planos paralelos. 
Os círculos determinados pelos dois planos paralelos são as 
bases da zona e a distância entre eles é a altura (h). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Se um dos planos for tangente à esfera, uma das bases 
reduzirá a um ponto, teremos a zona de uma só base, que se 
denomina Calota Esférica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Fuso esférico 
 
É a porção da superfície esférica compreendida entre duas 
semi-circunferências máximas de mesmo diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os semi-planos e os semi-círculos formam um diedro, cujo 
ângulo plano θ é o ângulo do fuso. 
 
P1
P2
d
2R
A
0
P1
P2
0
P
E
M
e
0
R
R
θ
Fuso Esférico
0
h Zona esférica
0
h
Calota Esférica
 
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7. Área e volume: 
 
 Demonstra-se que a área da superfície esférica de raio R é 
dada por: 
At= 4πR2 
 
O volume é dado por: 
 
 
V = 3R
3
4 π 
 
 
Exercícios 
 
62) (UFF – 97) Na figura estão representados três sólidos de 
mesma altura h — um cilindro, uma semi-esfera e um prisma 
— cujos volumes são , respectivamente. 
 
A relação entre é: 
 
(A) V3 < V2 < V1 
(B) V2 < V3 < V1 
(C) V1 < V2 < V3 
(D) V3 < V1 < V2 
(E) V2 < V1 < V3 
 
63) (UERJ – 2001 -1º EXAME) O modelo astronômico 
heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi 
construido a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em 
esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do 
diâmetro da esfera a ele circunscrita, é: 
 
(A) 3 (B) 
2
3
 (C) 
3
3
 (D) 
4
3
 
 
64) (UFRJ-2003-PNE) Considere um retângulo, de altura y e 
base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados 
do retângulo, como na figura abaixo. 
 
 
 
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região 
sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros 
dos semicírculos. 
 
65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 
10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas, 
de raio 1 cm. 
 Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, 
indique qual das opções a seguir é verdadeira: 
 
Opção I : n > 125 
Opção II : n = 125 
Opção III : n < 125 
 
Justifique a sua resposta. 
 
 
66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E1 , inscrita, e outra 
esfera E2 circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. 
Calcule a razão entre o volume de E2 e o volume de E1 . 
 
67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m
3
 de neve para 
construir um grande boneco de 3m de altura, em 
comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. 
 
 O boneco será composto por uma cabeça e um 
corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo 
maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. 
 
 Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping 
Oin aproximou π por 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcule, usando a aproximação considerada, os 
raios das duas esferas. 
 
 
 
 
MÓDULO II – PARTE 9 
 
Geometria Espacial 
MATEMÁTICA 
 
 2011 
 19
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68) (UFF-1ªfase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola 
de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa 
garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido 
em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética 
desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a 
variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” 
da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. 
Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da 
Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%. 
 
 
 
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu 
volume aumenta x %. 
 
Dessa forma, é correto afirmar que 
 
69) (UFRJ-2008-PE) Um cone circular reto de altura H 
circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a 
seguir. 
 
A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o 
volume da menor. 
 
 
Determine H. 
 
 
 
 
 
70) A escultura sólida abaixo foi feita toda em bronze pelo 
escultor Zé Roscof, sendo ABCD a base quadrada (da 
pirâmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ; 
totalmente inscrita no círculo máximo da semi-esfera. 
Calcule: 
a) o volume de bronze utilizado. 
b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado 
em todo o sólido, sabendo que 300 ml de 
impermeabilizante, impermeabiliza uma área de 1 m
2
 (use 
7,134,12;3 === eπ ) 
 
GABARITOS 
 
01) A=24 e V=12 02) A=12 03) F=27 
 
04) B 05) B 06) a) ½ b) V=32 
 
07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D = 222 cba ++ 
 b) At = 6a
2 
 ; V = a
3
 ; D = 3a 
 
08) D 09) B 10) C 
 
11)140392,14 12) D 13) B 
 
14) E 15) B 16) C 
 
17) B 18) D 19) A 
 
20) D 21) 60 kg 
 
22) a) 
2
6a b) 








=
15
54
arccosθ 23) 3
3
3350
cmV = 
 
24) B 25) 1/8 26) 2a 
 
27) 22 min 30s 28) D 29) E 
 
30) B 31) D 32) D 
 
33) A 34) 50g 35) D 
 
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36) B 37) 38) B 
 
39) A 40) D 41) B 
 
42) 8π 43) 23 44) V=6,08 cm3 
 
45) D 46) r = 3dm 47) 50 ml 
 
48) D 49) rh
2
43 3⋅= 
50) 
2
51+−=x 51) C 52) B 
53) D 54) D 55) D 
 
56) 
2
23=l 57) a) 
2
2a b) 
3
3 
 
58) D 59) a/3 60) 
3
6 
61) a) CD = 25 cm b) 
3
500
cm
3 
62) E 
 
63) C 64) 
( )
12
232 yxy
V
−= π 
65) opção III 66) 33 67) ½ e 1 
 
68) D 69) h=10 e H = 40 
 
70) em aula. 
 
 
Questão 4) 
 
Cada um dos 12 vértices serão arrancados do icosaedro, por 
isso teremos 12 pirâmides. Não é difícil visualizar que cada 
uma dessas pirâmides tem base pentagonal, ou seja, o 
polígono resultante terá 12 faces pentagonais (gomos 
pretos), e as demais faces serão hexagonais uma para cada 
face do antigo icosaedro, logo 20 faces hexagonais (gomos 
brancos). Daí teremos: 
 
12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas 
20 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas 
 
Daí o poliedro resultante terá: 
 
90
2
180
2
12060 ==+=A 
Como o poliedro que irá gerar a bola terá 90 arestas e estas 
serão costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7 
x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B). 
Questão 6 
a) 
Múltiplos de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 
P(AUB) = 
2
1==−+
30
15
30
1
30
6
30
10
 
b) 
60A2A4F
 faces nº F
arestas nº A 
=⇒=



=
=
 
V = nº de vértices 
32=⇒+=+ V2AFV 
Questão 50) 
 
Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio 
menor r e do cone de raio maior 
s. Por semelhança de triângulos temos: 
 
Como os cones têm o mesmo volume, 
Hr
2
 = hs
2
. Logo, 
 
 
Daí, obtemos: 
 
Dividindo ambos os lados da equação em por s
3
, obtemos: 
 
 
Como x = r/s, podemos expressar a equação ) na forma: 
 
x
3
 + 2x
2
 − 1 = 0 
 
Obtemos: 
2
51
2
51
21
−−=+−= xex 
Como x é positivo temos: 
2
51+−=x 
 
 
 
 
 
Questão 56) 
Primos ⇒ A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} 
 
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Sejam A, B, C e D os vértices da base da pirâmide, A’, B’, C’ e 
D’ os respectivos vértices da base superior do tronco de 
pirâmide ( como na figura) e l o valor da aresta AA’. 
 
Considerando-se o triângulo com vértices em AA’P, onde P é 
a projeção ortogonal do vértice A sobre a base da pirâmide, 
temos: 
 
A´P = 2. Como 2´´22 == CAeAC , concluímos que: 
 
2
2=AP , pelo teorema de Pitágoras : 
4
182 =l 
 
2
23=l 
 
Questão 61) 
Do enunciado temos a figura, onde os pontos A, B, C, D, E e F 
são os vértices do octaedro regular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 
CMD, temos: 
(CD)
2
 = (CM)
2
 + (MD)
2
 
(CD)
2
 = 5
2
 + 5
2
 ∴ CD = 25 cm 
B) b) O volume do octaedro regular é igual a ( ) 525
3
1
2
2
⋅⋅⋅ , 
ou seja, 
3
500
cm
3
. 
 
Questão 64) 
 
 
Questão 65) 
Opção III, já que o volume interno do recipiente é de 
125.
3
4π cm
3 
e o volume de cada bola de gude é π
3
4
 cm
3
, 
mas há espaços vazios. 
 
Questão 66) 
A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os 
diâmetros. 
A medida do diâmetro de E1(d1) é igual à medida da aresta do 
cubo (1cm). 
A medida do diâmetro de E2(d2) igual à medida da hipotenusa 
do triângulo retângulo cujos catetos são a aresta e a diagonal 
da face (a), como mostra a figura ao lado. 
 
 
 
Questão 69) 
 
Sejam e Rr respectivamente os raios das esferas maior e 
menor. Então podemos escrever H = 2R + 2r + h, sendo h 
a distância entre o vértice do cone e a esfera menor. Por 
hipótese, 
 
C 
E 
F 
B 
M 
▪ 
5 
D 
A 10 
5 
10 
5 
5 
cotada em cm 
 
MÓDULO II – PARTE 9 
 
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Para determinar h, consideremos os triângulos retângulos e 
ABCADE. Por semelhança, temos: 
 
 
Portanto, h=10 e H = 40