EM_V06_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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Livro do Professor
Volume 6
Livro de 
atividades
Matemática
Saymon Michel Sanches
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : livro do professor / Saymon 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo, 2017.
v. 6 : il.
ISBN 978-85-467-1569-5
1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
14
Geometria de 
posição
Noções primitivas
Ponto: é adimensional e é indicado por uma letra maiúscula do 
nosso alfabeto.
Reta: é unidimensional e ilimitada em ambos os sentidos. É indica-
da por uma letra minúscula do nosso alfabeto.
Plano: É bidimensional e ilimitado em todas as direções. É indicado 
por uma letra grega minúscula.
E
C
s
r
D
P
B
A
α
Ponto e reta
A∈ ∉ ∈ ∉ ∈r B r C r E r E s
Ponto e plano
P B E∈ ∉ ∉α α α
Reta e plano
r s⊂ ⊄α α
Proposições primitivas
Postulado 1 
Existem pontos que pertencem a uma reta qualquer do espaço e 
outros que não pertencem a ela.
Postulado 2
Por dois pontos do espaço, passa uma única reta.
Postulado 3 
Existem pontos que pertencem a um plano qualquer do espaço e 
outros que não pertencem a ele.
Postulado 4
Por três pontos não colineares do espaço, passa um único plano.
Postulado 5
Uma reta que tem dois de seus pontos em um plano está contida 
nesse plano.
Teorema
Existe um único plano que contém uma reta e um ponto não per-
tencente a ela.
Consequências dos postulados e do teorema:
 • três pontos não colineares determinam um plano;
 • uma reta e um ponto que não pertence a ela determinam um 
plano.
Teorema
Existe um único plano que contém duas retas concorrentes.
Posições relativas
Posições relativas entre duas retas 
Dadas duas retas quaisquer do espaço, temos:
Posição 
relativa
Nº. de pontos 
em comum
Coplanares?
Concorrentes 1 Sim
Paralelas 0 Sim
Reversas 0 Não
Postulado 6
Por um ponto não pertencente a uma reta r do espaço, passa uma 
única reta s paralela à r.
Dados uma reta e um plano quaisquer do espaço, temos:
Posição relativa Intersecção
Reta contida no plano A reta
Reta secante ao plano Um ponto
Reta paralela ao plano Vazia
Dados dois planos quaisquer do espaço, temos:
Posição relativa Intersecção
Planos secantes Uma reta
Planos paralelos Vazia
Distâncias
Distância é o comprimento do menor segmento com extremidades 
em duas figuras consideradas. Esse menor segmento é obtido forman-
do ângulos de 90°.
2 Volume 6
Distância entre os pontos A e B é a medida do segmento AB. 
Indicamos essa distância por d(A, B) ou por AB.
A
B
Distância de um ponto a uma reta é a distância entre P e P'. 
Indicamos por d(P, r). 
P
P’
r
s
Distância de um ponto a um plano é a distância entre P e sua 
projeção ortogonal P' sobre esse plano. Indicamos por d(P, α).
P
P’
α
Distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto 
qualquer de uma delas à outra.
s
P
r
Distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância de um 
ponto qualquer da reta ao plano.
α
P
r
Distância entre dois planos paralelos é a distância de um ponto 
qualquer de um deles ao outro. 
α
π
P
Atividades
Noções primitivas
1. Ponto, reta e plano são noções primitivas da geometria. Complete com os números 1, 2 e 3 cada uma das lacunas 
abaixo, conforme a ideia que cada situação sugerir.
1 – Ideia de ponto.
2 – Ideia de reta.
3 – Ideia de plano.
a) ( 1 ) A cabeça de um alfinete.
b) ( 2 ) Um fio bem esticado.
c) ( 1 ) Estrelas no céu.
d) ( 3 ) O piso de uma quadra de basquete.
e) ( 3 ) Um campo de futebol. 
f) ( 1 ) Um grão de areia.
Matemática 3
2. Em cada item, assinale V caso a afirmação seja 
verdadeira e F caso seja falsa.
a) ( F ) Três pontos distintos determinam um único 
plano. 
b) ( V ) Duas retas paralelas distintas determinam um 
único plano.
c) ( V ) Por uma reta, passam infinitos planos.
d) ( F ) Duas retas concorrentes determinam infinitos 
planos. 
e) ( F ) Três pontos quaisquer determinam infinitos 
planos. 
f) ( V ) Uma reta e um ponto fora dela determinam um 
único plano.
g) ( F ) Três pontos determinam infinitas retas. 
a) Os três pontos precisam ser não colineares.
d) Duas retas concorrentes determinam um único plano.
e) Determinam infinitos planos apenas se forem colineares.
g) Se forem colineares, determinam somente uma reta. Se 
forem não colineares, determinam 3 retas.
3. Indique quatro planos determinados tomando 3 vérti-
ces do paralelepípedo da figura.
H
E
F
D
A B
G
C
Sugestão de resposta: Como 3 pontos não colineares determinam 
um plano, então podemos determinar os planos AED, BDH, CEH 
e ABE. Existem também outras possibilidades.
4. Considerando as retas e os planos determinados pelos 
vértices do cubo a seguir, assinale V caso a afirmação 
seja verdadeira e F caso a afirmação seja falsa.
A
D
F
B
C
GH
E
a) ( V ) A reta que contém os pontos A e B está contida 
no plano determinado pelos pontos A, B e C.
b) ( F ) A reta que contém os pontos A e H está contida 
no plano determinado pelos pontos A, B e F. 
c) ( V ) A reta que contém os pontos C e G é a intersecção 
dos planos que contêm as faces BCGF e CDHG.
d) ( V ) O plano determinado pelos pontos A, C e E 
contém a reta que passa pelos pontos E e G.
e) ( V ) Os segmentos de reta AG e DF determinam um 
único plano. 
b) A reta que contém os pontos A e H intersecta o plano 
determinado pelos pontos A, B e F.
5. Na construção abaixo, A é o ponto de origem das semir-
retas AB, AC e AD, todas coplanares. Os ângulos CAE 
e DAE são retos, AB = 3 cm, BE = 5 cm, CA = 4 cm 
e DA = 8 cm. Se o triângulo ECD é retângulo em C, 
determine o seu perímetro.
E
C
D
A B
3 cm
5 cm
8 cm
4 cm
Para determinar o perímetro do triângulo ECD, precisamos 
calcular a medida dos seus lados (EC, ED e CD).
I. Determinando a medida dos segmentos EC e ED:
EB B AE
AE
AE AE cm
2 2 2
2 2 2
2
5 3
16 4
= +
= +
= ⇒ =
A
EC AC AE
EC
EC EC cm
2 2
2 2 2
2
2
4 4
32 4 2
= +
= +
= ⇒ =
DE AD AE
DE
DE DE cm
2 2 2
2 2 2
2
8 4
80 4 5
= +
= +
= ⇒ =
II. Determinando a medida do segmento CD:
DE EC CD
CD
CD
CD CD cm
2 2 2
2 2
2
2
2
4 5 4 2
80 32
48 4 3
= +
( ) = ( ) +
= +
= ⇒ =
Portanto, o perímetro do triângulo ECD é igual a
4 2 4 5 4 3 4 2 3 5+ +( ) = + +( )c cmm .
4 Volume 6
Posições relativas
6. Assinale V caso a afirmação seja verdadeira e F caso 
seja falsa.
a) ( V ) Dois planos que têm uma única reta em comum 
são secantes. 
b) ( F ) Duas retas concorrentes que formam um ângulo 
de 90° são chamadas ortogonais. 
c) ( F ) Se uma reta é perpendicular a duas retas de um 
plano, então ela é perpendicular ao plano. 
d) ( V ) Duas retas são reversas quando não existe pla-
no que contenha ambas as retas. 
e) ( F ) Duas retas reversas sempre são ortogonais. 
f) ( V ) Se um plano contém duas retas concorrentes 
paralelas a um outro plano, então os planos são 
paralelos.
g) ( V ) Quando dois planos são paralelos, qualquer reta 
de um é paralela ao outro.
h) ( F ) Uma reta perpendicular a um plano é perpendi-
cular a todas as retas do plano. 
i) ( V ) Se uma reta é perpendicular a um plano, qual-
quer reta paralela a ela é também perpendicular 
ao plano. 
j) ( V ) Dois planos simultaneamente perpendiculares a 
uma reta são paralelos.
k) ( F ) Quando uma reta está contida num plano, ela 
tem somente um ponto em comum com esse 
plano. 
l) ( F ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são 
perpendiculares entre si. 
m) ( F ) Duas retas ortogonais a uma terceira são para-
lelas entre si. 
b) São chamadas perpendiculares.
c) Ela pode estar contida no plano também.
e) Podem ser ortogonais, mas não necessariamente, 
pois o ângulo da projeção de uma reta no plano da 
outrapode não ser um ângulo reto.
h) Pode ser perpendicular ou ortogonal.
k) Se a reta está contida no plano, então os dois têm em 
comum todos os infinitos pontos da reta.
l) Podem formar qualquer ângulo entre si.
m) Podem ser reversas entre si.
7. Tomando como base o cubo ABCDEFGH indique:
A
D
F
B
C
GH
E
a) dois pares de retas concorrentes;
Resposta possível: AB e BF; AE e EG.
b) dois pares de retas paralelas.
Resposta possível: AE e CG; DC e EF.
c) dois pares de retas coplanares.
Resposta possível: DH e BF; DH e AE. 
d) dois pares de retas reversas.
Resposta possível: EH e CG; AD e GH.
e) um par de retas perpendiculares.
Resposta possível: EG e CG.
f) um par de retas ortogonais.
Resposta possível: DH e BC.
8. Um pote de açúcar com o formato da figura abaixo tem 
um furo em um de seus vértices. Uma formiga à pro-
cura de açúcar percorreu o seguinte trajeto no pote: 
partindo do vértice A, percorreu inteiramente a aresta 
perpendicular à base DEF. Em seguida, percorreu to-
talmente a diagonal da face ACFD e, finalmente, en-
controu o furo depois de percorrer totalmente a aresta 
reversa à aresta AD.
F
D
A
E
B
C
Matemática 5
a) Trace, na figura, o caminho percorrido pela formiga 
e indique o vértice no qual está o furo.
O furo está no vértice B.
b) Qual seria o menor trajeto a ser percorrido pela for-
miga, partindo do vértice A e chegando ao vértice 
onde está o furo?
O menor caminho seria percorrendo a aresta AB.
c) Descreva mais dois caminhos que a formiga poderia 
ter percorrido.
9. Determine quantos e quais são os pares de arestas re-
versas do tetraedro a seguir.
São 3 pares de arestas reversas: 
AD e BC, BD e AC, AB e DC.
 
D
A
B
C
10. Sabe-se que duas retas s e t concorrem em um ponto 
P. Toma-se um ponto A qualquer, fora do plano que 
contém as duas retas.
a) Faça um esboço da situação descrita.
A
P
s
t
b) Qual é a posição relativa entre o plano que contém 
A e s e o plano que contém A e t?
11. (IFPR) Analise as afirmativas a seguir. 
1) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorren-
tes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 
Respostas possíveis: 
I. Percorrer inteiramente a aresta AD, depois percorrer intei-
ramente a aresta DF e finalmente percorrer inteiramente a 
diagonal da face BCFE.
II. Percorrer inteiramente a diagonal AE da face ABED e de-
pois percorrer a aresta EB.
Os dois planos são secantes e a intersecção deles é a reta 
que contém os pontos A e P. Caso as duas retas sejam per-
pendiculares, os dois planos também serão perpendiculares.
2) A intersecção entre dois planos resulta em um 
ponto. 
3) Se dois planos são perpendiculares e uma reta 
contida em um deles é perpendicular à intersecção 
dos planos, então ela é paralela ao outro plano. 
4) Se um plano contém duas retas concorrentes, am-
bas paralelas a um outro plano, então esses planos 
são paralelos. 
 Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
X b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. 
d) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
A afirmativa 1 é verdadeira. 
A afirmativa 2 é falsa. A intersecção de dois planos resulta 
em uma reta.
A afirmativa 3 é falsa. Ela é perpendicular ao outro plano.
A afirmativa 4 é verdadeira.
12. (UFRR) No espaço tridimensional, considere duas 
retas r e s distintas e um plano β, que não contém r 
nem s. Dentre as afirmações a seguir, qual é a única 
verdadeira?
X a) Se r intercepta β e s é paralela a r, então s intercepta 
β. 
b) Se r e s não se interceptam, então r e s são paralelas. 
c) Se r e s não são paralelas, então r e s se interceptam. 
d) Se r e s são ambas paralelas a β, então r e s são 
paralelas. 
e) Se ambas r e s interceptam β, então r e s são 
paralelas. 
b) r e s podem ser reversas.
c) r e s podem ser reversas.
d) r e s podem ser reversas ou concorrentes.
e) r e s podem ser reversas ou concorrentes.
6 Volume 6
13. (FGV – SP) Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura 
plana abaixo. Se o montarmos novamente, a face opos-
ta à face B será a face:
a) A
b) C
X c) D
d) E
e) F
A face oposta de A é a face C.
A face oposta de B é a face D.
A face oposta de E é a face F.
14. (FGV – SP) Duas retas distintas que são perpendicula-
res a uma terceira podem ser:
 I. concorrentes entre si. Verdadeira.
 II. perpendiculares entre si. Verdadeira.
 III. paralelas. Verdadeira.
 IV. reversas e não ortogonais. Verdadeira.
 V. ortogonais. Verdadeira.
 Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja 
verdadeira ou falsa, tem-se:
X a) V, V, V, V, V
b) F, V, F, F, F
c) F, F, F, V, F
d) V, F, V, F, V
e) V, V, V, V, F
15. (UEM – PR) Considere duas retas r e s concorrentes em 
um ponto P. Com relação a essa informação, assinale a 
alternativa correta.
a) Se t é uma reta perpendicular a r em P, então t não 
pode ser perpendicular a s em P. 
b) Qualquer plano contendo r intercepta s em um único 
ponto. 
c) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então toda 
reta passando por P será reversa a u. 
X d) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então existe 
uma única reta passando por P paralela a u. 
e) Se m é uma reta paralela a r, então m intercepta s. 
a) A reta t pode ser perpendicular a ambas se estiver 
contida em um plano perpendicular ao plano que r e 
s determinam.
b) Não necessariamente. O plano pode conter r e s.
c) Não necessariamente, a reta u pode ser reversa, con-
corrente ou paralela a uma reta que passa por P.
e) A reta m pode ser reversa a s.
16. (UFJF – MG) O plano π1 é perpendicular ao plano π2, 
o plano π2 é perpendicular ao plano π3, e os planos 
π1 e π3 se interceptam segundo uma reta ℓ. É correto 
afirmar que: 
a) os planos π1 e π3 são perpendiculares. 
b) os planos π1 e π3 são paralelos. 
c) o plano π2 também contém a reta ℓ.
X d) a reta ℓ é perpendicular a π2. 
e) a reta ℓ é paralela a π2. 
a) O ângulo formado entre os planos pode não ser reto.
b) Não, pois segundo o enunciado eles têm uma reta em 
comum.
c) O plano π2 é perpendicular à reta.
e) A reta é perpendicular a π2.
17. (UEPG – PR) A respeito de um plano α, um ponto P ∈ α 
e uma reta r não contida em α, assinale o que for 
correto. 
(01) Toda reta contida em α é paralela a r. Incorreto.
X (02) Se Q é um ponto pertencente a α, então a reta 
PQ está contida em α. Correto.
X (04) Se r é paralela a alguma reta contida em α, então 
ela é paralela a α. Correto.
(08) Toda reta que passa por P intercepta r. Incorreto.
Somatório: 06 (02 + 04). 
(01) A reta r pode ser secante a α e ser concorrente a uma 
reta contida em α, por exemplo.
Matemática 7
Projeção ortogonal e distância
18. Quais são as três possibilidades para a projeção orto-
gonal de um quadrado sobre um plano? 
I. Se o quadrado estiver num plano paralelo ao plano da 
projeção, a projeção ortogonal será igual ao quadrado.
II. Se o quadrado estiver contido num plano secante, mas não 
perpendicular ao plano da projeção, a projeção ortogonal será 
um paralelogramo.
III. Se o quadrado estiver contido num plano perpendicular ao 
plano da projeção, a projeção será um segmento de reta.
19. Considere um plano β, uma reta u fora do plano e 
um ponto Q não pertencente ao plano. A respeito das 
possibilidades para a projeção ortogonal da reta e do 
ponto sobre o plano, assinale V caso a afirmação seja 
verdadeira e F caso seja falsa.
a) ( V ) Ela pode ser representada por um único 
ponto.
b) ( F ) Ela pode ser representada por duas retas.
c) ( V ) Ela pode ser representada por uma única 
reta.
d) ( V ) Ela pode ser representada por dois pontos.
e) ( V ) Ela pode ser representada por uma reta e um 
ponto fora dela.
20. Seja um ponto A contido num plano β e um ponto B 
fora do plano, como mostra a figura a seguir.
B
A
6 cm
P
60º
 Sabe-se que: 
• a medida do segmento AB é 6 cm;
• o ângulo formado entreo segmento AB e sua proje-
ção ortogonal sobre o plano β mede 60°.
 Determine:
a) a medida da projeção ortogonal do segmento AB 
sobre o plano β;
cos 60
6
1
2 6
3
° =
= ⇒ =
AP
AP
AP cm
b) a distância entre o ponto B e o plano β.
sen
BP
BP
BP cm
60
6
3
2 6
3 3
° =
=
=
É possível encontrar essa resposta usando o Teorema de 
Pitágoras:
6 3
36 9
27
3 3
2 2 2
2
2
= +
− =
=
=
BP
BP
BP
BP cm
 
21. A interseção do plano α com o plano β é a reta r. Con-
sidere um ponto A pertencente a r, B pertencente a α 
e C pertencente a β com B ∉ r e C ∉ r. Sabendo que 
BC = 5 cm, AB = 4 cm e que o ângulo ABC mede 30°, 
faça o que se pede. 
a) Faça uma figura que represente a situação descrita.
C
A B4 cm
5 cm
30º
r
8 Volume 6
 
sen x
d
d
sen x
x
=
=
= °
2
1
2
30
O ângulo formado 
entre o segmento 
AB e o plano α mede 
30°.
A
B
2d
d
x
23. (ENEM) Assim como na relação entre o perfil de um 
corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revo-
lução resultam da rotação de figuras planas em torno 
de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da 
haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que 
estão na coluna da direita.
1 A
B
C
D
2
3
4
5 E
 A correspondência correta entre as figuras planas e os 
sólidos de revolução obtidos é:
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
X d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. 
e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 
b) Determine o perímetro do triângulo ABC. (Use 
3 17 7 2 65, ,e )
Para obtermos o perímetro do triângulo, precisamos obter 
a medida do lado AC.
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC:
AC AB BC AB BC
AC
AC
2
2
2 2
2 2 2
2 30
4 5 2 4 5
3
2
16 25 20 3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅
cos
AAC
AC
AC cm
2
2
16 25 34
7
7 2 65
= + −
=
= ,
Portanto, o perímetro do triângulo ABC é igual a
5 + 4 + 2,65 = 11,65 cm.
22. Dois pontos A e B e o plano α apresentam as seguintes 
características:
 – o ponto A pertence a α;
 – o ponto B está fora do plano α;
 – a distância de A até B é o dobro da distância de B a α. 
 Determine a medida do ângulo agudo formado entre o 
segmento AB e α.
Matemática 9
Poliedros
Relação de Euler 
Em todo poliedro convexo com V vértices, F 
faces e A arestas, é verdadeira a seguinte relação:
V + F – A = 2
Em um poliedro, o número total de lados dos 
polígonos (N) é igual ao dobro do número de 
arestas.
N = 2A
A soma das medidas dos ângulos internos das 
faces de um poliedro convexo é dada por:
S = 360° · (V – 2)
Nessa relação, V é o número de vértices do 
poliedro.
Prisma
Prismas são poliedros com as seguintes características:
 • duas bases formadas por regiões poligonais convexas e paralelas 
entre si;
 • superfície lateral delimitada por paralelogramos.
Área da superfície: AT = AL + 2 ⋅ AB 
Atividades
Poliedros
1. A respeito do poliedro ao lado, assinale V se a afirmação for verdadeira e F se ela for falsa.
a) ( V ) Tem 9 vértices.
b) ( F ) O número de faces é 10. 9 faces
c) ( V ) A relação de Euler é válida.
d) ( F ) O número de arestas é 12. 16 arestas
e) ( V ) A soma dos ângulos internos das faces é 2 520°.
Geometria espacial
 I 15
Princípio de Cavalieri: dois sólidos de mesma altura, apoiados em 
um mesmo plano, terão mesmo volume se qualquer plano paralelo 
a esse plano fornecer seções de áreas iguais para ambos os sólidos. 
Volume: Vprisma = AB . h 
Cilindro 
Cilindros retos têm duas bases circulares paralelas entre si. Uma su-
perfície retangular circunda essas bases formando a superfície lateral.
Área da superfície: AT = AL + 2 ⋅ πr
2 
Volume: Vcilindro = π
 ⋅ r2 ⋅ h 
Pirâmide
Pirâmides são sólidos geométricos que têm as seguintes 
características:
 • uma base em formato poligonal oposta a um vértice V;
 • superfície lateral fechada por faces triangulares que se juntam no 
vértice V.
Área da superfície: AT = AL + AB
Volume: ⋅ ⋅pirâmide B
1
V = A h
3
Cone
Cones retos são sólidos que têm como base um círculo e cuja 
superfície lateral é formada por um setor circular que circunda essa 
base.
Área da superfície: AT = AL + πr
2
Volume: V r hcone =
1
3
2⋅ ⋅π
10 Volume 6
2. Um poliedro convexo tem 8 vértices e 12 arestas. De-
termine:
a) o número de faces desse poliedro;
V + F – A = 2
8 + F – 12 = 2
F = 2 + 12 – 8
F = 6
b) a soma dos ângulos internos de todas as faces des-
se poliedro.
S V
S
S
S
i
i
i
i
= °⋅ −( )
= °⋅ −( )
= °⋅
= °
360 2
360 8 2
360 6
2 160
3. Num poliedro convexo, a quantidade de vértices é 6 
unidades menor que a quantidade de arestas. Determi-
ne quantas faces tem esse poliedro.
V = A – 6 (I) e V + F – A = 2 (II) 
Substituindo I em II, temos:
A – 6 + F – A = 2
F = 8
4. Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e 
duas faces pentagonais. Determine:
a) o seu número de arestas;
F e F
N F F
A
A
A
4 5
4
5 2
4 5
2 5 4 2 5
2 30
15
5
= =
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
=
=
b) o seu número de vértices;
V + F – A = 2
V + 7 – 15 = 2
V = 2 – 7 + 15
V = 10
c) a soma dos ângulos internos de todas as faces des-
se poliedro.
S V
S
S
S
i
i
i
i
= ° ⋅ −( )
= ° ⋅ −( )
= ° ⋅
= °
360 2
360 10 2
360 8
2 880
5. Um poliedro convexo tem 4 faces pentagonais, 5 faces 
hexagonais e 4 faces triangulares. Determine:
a) seu número de arestas;
F F e F
N F F F
A
A
A
5 6
5 6 3
4 4
5 6 3
2 4 5 5 6 4 3
2 20 30 12
2
3= = =
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= + +
=
, 5
662
31A =
b) a soma dos ângulos internos de todas as faces.
Para calcular a soma dos ângulos internos de todas as 
faces, precisamos do número de vértices do poliedro, 
então:
V + F – A = 2
V + 13 – 31 = 2
V = 2 – 13 + 31
V = 20
S V
S
S
S
i
i
i
i
= °⋅ −( )
= °⋅ −( )
= °⋅
= °
360 2
360 20 2
360 18
6 480
6. Uma bola de futebol é composta de 12 peças pentago-
nais e 20 peças hexagonais, com todas as arestas de 
mesmo comprimento. Suponha que, para o processo 
de costura de uma bola de futebol, sejam gastos 17 cm 
de linha para cada aresta da bola. Determine quantos 
metros de linha serão necessários para costurar intei-
ramente 16 bolas com as características descritas.
F e F
N F F
A
A
A
A
5
5 6
12 20
5 6
2 12 5 20 6
2 60 120
2 180
90
6= =
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= +
=
=
Como são gastos 17 cm de linha para cada aresta da bola, então 
para uma bola são gastos 17 ∙ 90 = 1 530 cm de linha. Assim, 
para 16 bolas, são gastos 1 530 ∙ 16 = 24 480 cm = 244,8 m 
de linha.
Matemática 11
7. Considere a planificação a seguir, de um pentaedro 
convexo.
 Determine:
a) o número de vértices do pentaedro;
O pentaedro tem 5 vértices.
b) o número de arestas do pentaedro;
F e F
N F F
A
A
A
3 4 1
3
2 4 3 1 4
2 12 4
8
4
3 4
= =
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= +
=
4
c) a soma dos ângulos internos de todas as faces des-
se poliedro.
S V
S
S
S
i
i
i
i
= ° ⋅ −( )
= ° ⋅ −( )
= ° ⋅
= °
360 2
360 5 2
360 3
1080
8. De cada um dos 14 vértices de um poliedro convexo, 
partem 3 arestas. Determine o total de arestas e o total 
de faces desse poliedro.
Em 14 vértices, concorrem 3 arestas. Como cada aresta é co-
mum a exatamente dois vértices do poliedro, temos: 
2A = 14 · 3 ⇒ 2A = 42 ⇒ A = 21 
V + F – A = 2 ⇒ 14 + F – 21 = 2 ⇒ F = 2 – 14 + 21 ⇒ F = 9 
Portanto, o poliedro tem 21 arestas e 9 faces.
9. Um poliedro convexo tem 29 vértices, de forma que:
 – em 8 deles, concorrem 6 arestas;
 – em 9 deles, concorrem 5 arestas;
 – em 7 deles, concorrem 4 arestas;
 – nos demais, concorrem 3 arestas.
 Determine o número de faces e o número de arestas 
desse poliedro.
Como cada aresta é comum a exatamente dois vértices do 
poliedro, temos que: em 8 vértices, concorrem 6 arestas; em 
9 vértices, concorrem 5 arestas; em 7 vértices, concorrem 4 
arestas; e em 5 vértices, concorrem 3 arestas.
2A = 8 ∙ 6 + 9 ∙ 5 + 7 ∙ 4 + 5 ∙ 3 ⇒ 2A = 48 + 45 + 28 + 15 ⇒ 
2A = 136 ⇒ A = 68 
V + F – A = 2 ⇒ 29 + F – 68 = 2 ⇒ F = 2 – 29 + 68 ⇒ F = 41 
Portanto, o poliedro tem 68 arestas e 41 faces.
10. (UFAL) A Brazuca, a bola oficialda Copa é um cubo. Um 
cubo tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices 
(...). A Brazuca é constituída por 6 peças, cos-
turadas ao longo de 12 arestas e tem também 
 8 vértices. A única diferença em relação a um 
cubo de verdade é que as arestas não são retas, mas 
curvas. Um cubo esférico! 
GHYS, Ethienne. In: Veja, 28 mai. 2014. 
 Quais são os inteiros que, respectivamente, preenchem 
corretamente as lacunas do texto acima? 
a) 6, 8, 12, 6, 8, 12 
X b) 6, 12, 8, 6, 12, 8 
c) 8, 12, 6, 8, 12, 6 
d) 12, 6, 8, 12, 6, 8 
e) 12, 8, 6, 12, 8, 6
11. Um poliedro convexo composto somente de faces 
quadrangulares e triangulares tem 15 faces e 3 600° 
como soma dos ângulos internos de todas as faces. 
Determine quantas faces de cada tipo esse poliedro 
apresenta.
Sendo x e y os respectivos números de faces triangulares e 
quadrangulares e F = 15, temos:
I. F = x + y ⇒ x + y = 15.
II. S V V
V V
i = °⋅ −( ) ⇒ ° = °⋅ −( ) ⇒
⇒ = − ⇒ =
360 2 3600 360 2
10 2 12.
III. V + F – A = 2 ⇒ 12 + 15 – A = 2 ⇒ A = 12 + 15 – 2 ⇒ 
⇒ A = 25.
IV. N F F A x y x y
x y
= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒
⇒ + =
3 3 4 2 3 4 2 25 3 4
3 4 50
4
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e IV, 
determinamos o número de faces quadrangulares:
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
15
3 4 50
 
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
3 3 45
3 4 50
5 10
x y
x y
y x
O poliedro tem 10 faces triangulares e 5 quadrangulares.
12 Volume 6
12. Um poliedro convexo tem somente faces octogonais e 
quadrangulares e a soma total dos ângulos internos de 
suas faces é 7 920°. Obtenha o número de faces de 
cada tipo sabendo que o número de arestas supera o 
de vértices em 8 unidades.
Sejam x e y os respectivos números de faces quadrangulares 
e octogonais, ou seja, F4 = x e F8 = y.
Assim:
I. F = x + y.
II. S V V
V V
i = =
= =
360 2 7920 360 2
22 2 24
° ⋅ ( ) ⇒ ° ° ⋅ ( ) ⇒
⇒ ⇒
– –
– .
III. A = V + 8 ⇒ A = 24 + 8 ⇒ A = 32.
IV. V + F – A = 2 ⇒ 24 + x + y – 32 = 2 ⇒
 ⇒ x + y = 2 – 24 + 32 ⇒ x + y = 10.
V. N F F A x y
x y x y
= + = +
= + + =
4 84 8 2 4 8
2 32 4 8 4 8 64
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ ⋅ ⇒ .
Agora, resolvendo o sistema formado pelas equações IV e V, 
determinamos o número de faces octogonais:
x y
x y
+ =
+ =
10
4 8 64
⎧
⎨
⎩
– – –4 4 40
4 8 64
4 24
6
x y
x y
y
y
=
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
O total de faces é 10, então o poliedro tem 6 faces octogonais 
e 4 faces quadrangulares.
13. Determine o número de faces de cada tipo que tem um 
poliedro convexo com 20 arestas e 10 vértices, sabendo 
que elas são somente triangulares e quadrangulares.
Sejam x e y os respectivos números de faces triangulares e 
quadrangulares, ou seja, F3 = x e F4 = y.
Assim:
I. V + F – A = 2 ⇒ 10 + F – 20 = 2 ⇒ F = 2 – 10 + 20 ⇒ 
⇒ F = 12.
II. F = x + y ⇒ x + y = 12.
III. N F F A x y
x y x y
= + = +
= + + =
3 3 4 2 3 4
2 20 3 4 3 4 40
4⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ ⋅ ⇒ .
Agora, resolvendo o sistema formado pelas equações 
obtidas em II e III, temos:
x y
x y
+ =
+ =
12
3 4 40
⎧
⎨
⎩
Multiplicando a primeira equação por –3 e somando com 
a segunda, determinamos o número de faces quadrangu-
lares:
– – –3 3 36
3 4 40
4
x y
x y
y
=
+ =
=
⎧
⎨
⎩
⊕
O total de faces é 12, então o poliedro tem 4 faces 
quadrangulares e 8 faces triangulares.
14. As figuras abaixo representam o cuboctaedro truncado 
e a sua planificação.
 Determine a soma dos ângulos internos das faces des-
se poliedro.
I. F F e F
N F F F
A
A
4 6 8
6 8
12 8 6
4 6 8
2 12 4 8 6 6 8
2 48 48 48
2
4
= = =
= + +
= + +
= + +
,
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
AA A= =144 72⇒
II. V + F – A = 2
V + 26 – 72= 2
V = 2 – 26 + 72
V = 48
III. S V
S
S
S
i
i
i
i
=
=
=
=
360 2
360 48 2
360 46
16560
° ⋅ ( )
°⋅( )
° ⋅
°
–
–
15. Um icosaedro regular tem 150 cm como soma total 
das medidas de suas arestas. Encontre o perímetro e a 
área de cada uma de suas faces.
O icosaedro regular é um poliedro que tem 20 faces em for-
ma de triângulo equilátero, assim:
I. N F A A A= = = =3 3 2 20 3 2 60 30⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒ .
II. Como a soma total das medidas de todas as arestas do 
poliedro é igual a 150 cm, com base em I, sabemos que 
cada aresta mede 
150
30
5= cm .
Assim, o perímetro de cada face é igual a 5 ∙ 3 = 15 cm. 
Para o cálculo da área de cada face, precisamos da altura 
do triângulo:
5
5
2
5 3
2
2
2
2= + =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒h h . A área, portanto, é igual a
5
5 3
2
2
25 3
4
2= cm .
Matemática 13
16. Determine a medida da altura de cada uma das faces 
do octaedro regular. A medida da diagonal está assina-
lada na figura abaixo.
8 cm
L
L
8
64 2
32
32
4 2
2 2 2
2
2
= +
=
=
=
=
L L
L
L
L
L cm
Com a medida da aresta, podemos determinar a altura de 
cada uma das faces:
h
L
h h cm
=
= =
3
2
4 2 3
2
2 6
⋅
⇒
Portanto, a altura de cada uma das faces é 2 6 cm .
17. (ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um 
poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um 
cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do 
cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas 
menores do que metade da aresta do cubo. Cada face 
do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta 
das demais faces. Com base nas informações, qual é 
a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura 
das faces do troféu? 
a) 6
b) 8
X c) 14
d) 24
e) 30
As figuras abaixo mostram o sólido obtido após os cortes 
efetuados em cada um dos cantos do cubo e sua plani-
ficação.
O cubo, originalmente, tem 6 faces e, após os cortes efe-
tuados, ele passa a ter 14 faces. Portanto, a quantidade 
de cores necessárias para que cada uma das faces da 
nova figura seja pintada de uma cor diferente é 14.
18. (UFC – CE) O número de faces de um poliedro convexo 
com 20 vértices e com todas as faces triangulares é 
igual a: 
a) 28
b) 30
c) 32
d) 34
X e) 36
F x
N F
A x
A x
A
x
3
3 3
2 3
2 3
3
2
=
= ⋅
= ⋅
=
=
Portanto, o número de faces do poliedro é 36.
V F A
x
x
x x
x x
x
x
+ − =
+ − =
+ −
=
+ − =
− = −
=
2
20
3
2
2
40 2 3
2
4
2
40 2 3 4
36
36
19. (UFMS) Um poliedro convexo, com 32 arestas, tem 
quantidades iguais de faces triangulares e pentago-
nais regulares, e 6 faces quadradas. Considerando as 
informações fornecidas, assinale a(s) proposição(ões) 
verdadeira(s). 
F (01) A quantidade total de faces triangulares do refe-
rido poliedro é de 3. 
V (02) A quantidade total de faces do referido poliedro é 
de 16. 
V (04) A quantidade total de vértices do referido poliedro 
é de 18. 
V (08) A soma dos ângulos internos das faces do referi-
do poliedro é igual a 5 760°. 
F (16) O referido poliedro é um icosaedro.
14 (02 + 04 + 08).
(01) Sejam x e y os respectivos números de faces triangu-
lares e pentagonais, ou seja, F x F y e F3 5 4 6= = =, .
Como o número de faces triangulares e pentagonais 
é o mesmo, temos:
F x F x e F3 5 4 6= = =,
Assim:
N F F F
A F F F
x x
x x
= + +
= + +
= + +
= + +
3 5 4
5 4
3 5 4
2 3 5 4
2 32 3 5 6 4
64 3 5
3
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
224
8 40
5
x
x
=
=
 
(02) F = x + x + 6 ⇒ F = 2x + 6 ⇒ F = 2 ∙ 5 + 6 ⇒ 
⇒ F = 16.
(04) V + F – A = 2 ⇒ V + 16 – 32 = 2 ⇒
⇒ V = 2 – 16 + 32 ⇒ V = 18.
(08) S V S
S S
i i
i i
= =
= =
360 2 360 18 2
360 16 5760
° ⋅ ( ) ⇒ ° ⋅( ) ⇒
⇒ ° ⋅ ⇒ °
– –
.
14 Volume 6
a) 
2 cm
2 cm
5 cm
Área lateral:
A
A cm
L
L
= ⋅ ⋅
=
4 2 5
40 2
Área total:
A
A cm
B
B
2
4
2
2
 
A A A
A
A
A cm
T L B
T
T
T
= +
= + ⋅
= +
=
2
40 2 4
40 8
48 2
Volume:
V A H
V
V cm
B= ⋅
= ⋅
=
4 5
20 3
b) 
12 cm
13 cm
20 cm
x
Área lateral e área da base:
13 12
169 144
25
5
2 2
2
2
2
= +
= +
=
=
x
x
x
x
 
A
A
A cm
L
L
L
= + +( )⋅
= ⋅
=
12 13 5 20
30 20
600 2
 
A
A cm
A cm
B
B
B
=
⋅
=
=
12 5
2
60
2
30
2
2
Área total e volume:
A A A
A
A
A cm
T L B
T
T
T
= +
= + ⋅
= +
=
2
600 2 30
600 60
660 2
 
V A H
V
V cm
B= ⋅
= ⋅
=
30 20
600 3
20.(UFPEL – RS) No país do México, há mais de mil anos, 
o povo asteca resolveu o problema da armazenagem 
da pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma 
de uma bola colocado sobre uma base circular de 
alvenaria. 
 A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexago-
nais e mais 12 placas pentagonais. 
 Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem:
X a) 90 arestas e 60 vértices. 
b) 86 arestas e 56 vértices. 
c) 90 arestas e 56 vértices. 
d) 86 arestas e 60 vértices. 
e) 110 arestas e 60 vértices. 
f) I.R.
I. Número de arestas:
F e F
N F F
A
A
A
A
6 5
6
20 12
5 6
2 12 5 20 6
2 60 120
2 180
90
5
= =
= +
= +
= +
=
=
II. Número de vértices:
V + F – A = 2
V + 32 – 90 = 2
V = 2 + 90 – 32
V = 60
Prisma
21. Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada 
um dos prismas a seguir. As medidas estão indicadas 
nas figuras.
Matemática 15
c) 
4 cm 4 cm
4 cm
6 cm H
45º
Área lateral e área da base:
sen
H
H
H
H cm
45
6
2
2 6
2 6 2
3 2
º
 
A
A cm
L
L
= ⋅ ⋅
=
3 4 3 2
36 2 2
 
A
A cm
B
B
=
=
4 3
4
4 3
2
2
Área total e volume:
 
A A A
B
A
A cm
T L
T
T
= +
= + ⋅
= +
2
36 2 2 4 3
36 2 8 3 2
 
V A H
V
V cm
B= ⋅
= ⋅
=
4 3 3 2
12 6 3
22. Um prisma hexagonal regular tem 24 cm como períme-
tro de uma de suas bases e a medida da altura é igual 
a 
7
2
 da medida do apótema da base. Obtenha:
a) a medida da altura do prisma;
O prisma é hexagonal e tem 24 cm como medida do pe-
rímetro de uma de suas bases. Assim, cada aresta mede 
24 ÷ 6 = 4 cm. 
A altura é 
7
2
 da medida do apótema da base, assim:
L 3 4 3
Apótema da base 2 3 cm
2 2
= = =
Assim, a altura é 
7
2
2 3 7 3⋅ = cm.
b) a área total do prisma;
Área lateral:
A
A cm
L
L
= ⋅ ⋅
=
6 4 7 3
168 3 2
Área da base:
⋅
= ⋅
⋅ ⋅=
=
6
hexágono 6
B
2
B
6
A a
2
6 4
A 2 3
2
A 24 3 cm
Área total:
A A A
A
A
A cm
T L B
T
T
T
= +
= + ⋅
= +
=
2
168 3 2 24 3
168 3 48 3
216 3 2ℓ
c) o volume.
V A H
V
V cm
B= ⋅
= ⋅
=
24 3 7 3
504 3
23. Dois blocos de metal, com formato cúbico, têm arestas 
medindo 10 cm e 8 cm e são levados juntos à fusão.
10 cm
8 cm
 Em seguida, o metal líquido é moldado formando um 
paralelepípedo com 6 cm de largura, 7 cm de altura e 
k cm de comprimento. 
6 cm
k cm
7 cmD
 Determine:
a) o valor do comprimento k do paralelepípedo;
Após a fusão, o paralelepípedo apresenta o mesmo volu-
me dos dois cubos juntos, assim:
2paralelepípedo cubo 1 cubo
3 3
V V V
6 7 k 10 8
42k 1000 512
42k 1512
k 36 cm
= +
⋅ ⋅ = +
= +
=
=
b) a medida da diagonal do paralelepípedo.
D a b c
D
D
D cm
= + +
= + +
= + +
=
2 2
2 2 2
2
6 7 36
36 49 1296
1381
24. Um fabricante de embalagens para medicamentos pre-
tende produzir embalagens em forma de prisma quadran-
gular regular cuja planificação está representada abaixo.
10 cm
3 cm
3 cm16 Volume 6
 Sabe-se que, para a confecção, além da área total da 
embalagem, são necessários 5% a mais de papelão para 
as abas de colagem e fechamento. Um farmacêutico 
encomendou 200 embalagens. Considerando que o 
fabricante cobra R$ 0,03 por centímetro quadrado 
de embalagem finalizada, determine o valor total da 
encomenda.
Para determinar a quantidade de material gasto na produção 
de uma embalagem, precisamos calcular a área total do pris-
ma que a representa. Assim, temos:
Área lateral:
A
A cm
L
L
= ⋅ ⋅
=
4 3 10
120 2
Como são necessários 5% a mais de papelão para a 
confecção de cada embalagem, temos que o total gasto na 
confecção de uma é:
138 + 0,05 ⋅ 138 = 138 + 6,9 = 144,9 cm2.
Assim, o valor total da encomenda é 
200 ∙ 144,9 ∙ 0,03 = R$ 869,40.
Área total:
A A A
A
A cm
T L B
T
T
= +
= + ⋅
=
2
120 2 9
138 2
Área da base:
A
A cm
B
B
3
9
2
2
25. A água de uma piscina com o formato de paralelepí-
pedo retângulo atingia 80% da altura total. Após certo 
tempo, 600 m3 de água se evaporaram. Qual a altura 
atingida pela água que restou? As dimensões da pisci-
na estão indicadas na figura.
40 m
15 m
5 m
Altura inicial da água: 0,8 ⋅ 5 = 4 m 
Volume inicial de água na piscina:
V = 40 ∙ 15 ∙ 4
V = 2 400 m3 
Após a evaporação, sobraram na piscina
2 400 – 600 = 1 800 m3 de água.
Assim, a nova altura atingida pela água restante pode 
ser calculada novamente pela relação do volume do 
paralelepípedo:
1 800 = 40 ∙ 15 ∙ H
1 800 = 600H
H = 3 m
A nova altura atingida pela água é de 3 m.
26. Dois prismas regulares retos S e T, um de base hexa-
gonal e o outro de base triangular, têm áreas da base 
iguais, e a altura de S é o quádruplo da altura de T. 
Determine a razão entre os volumes de S e T.
Do enunciado, temos:
 I. A ABS BT
II. H HS T= ⋅4
Assim, a razão entre os volumes de S e T é 
V
V
A H
A H
A H
A H
S
T
BS S
T
BT T
BT TBT
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
=
4
4.
27. A medida y de todas as arestas de um cubo é aumen-
tada em 30%. Determine:
a) a medida da aresta do cubo após o aumento;
Como a medida da aresta é y, com o aumento de 30%, 
temos as arestas medindo y + 30% de y = y + 0,3y = 1,3y.
b) a porcentagem de aumento no volume após a modi-
ficação na medida da aresta.
O volume do cubo inicialmente era y3. Com o aumento de
30% na medida das arestas, o volume passou a ser 
(1,3y)3 = 2,197 y3. Portanto, um aumento de 119,7%.
28. Em um tanque de água com formato de paralelepípedo 
retângulo no qual a base mede 15 cm por 20 cm, foi 
mergulhada uma peça de metal, fazendo com que o 
nível da água aumentasse em 0,45 cm. 
a) Determine o volume da peça colocada no tanque. 
O volume da peça é representado pelo acréscimo no 
volume ocupado no tanque. Assim:
V = 15 ∙ 20 ∙ 0,45
V = 135 cm3 
0,45 cm
Matemática 17
b) A quantidade de metal dessa peça é suficiente para 
moldar um cubo maciço de 5 cm de aresta e um bloco 
maciço no formato de prisma triangular regular com 
aresta ℓ da base igual a 2 cm e altura H de 4 cm?
Volume do cubo:
53 = 125 cm3
Volume do prisma triangular: 
Altura da base: h cm=
⋅
= =
3
2
2 3
2
3
ℓ
Área da base: 
ℓ
A
h
cmb =
⋅
= =
2
2 3
2
3 2
V A H
V cm
b= ⋅
= ⋅3 4 6 92 3,
 
125 + 6,92 = 131,92 cm3, portanto o metal é suficiente 
para moldar as duas peças.
29. Um bloco retangular tem volume igual a 336 cm3. 
Sabendo que as áreas de duas de suas faces são 
iguais a 42 cm2 e 48 cm2, obtenha a área total desse 
paralelepípedo. 
Vamos nomear as arestas do paralelepípedo por a, b e c.
I. Podemos afirmar, com base no enunciado, que a ∙ b = 42 
e que a ∙ c = 48 (poderia ser utilizado b ∙ c para uma das 
duas áreas).
II. Volume: a ∙ b ∙ c = 336 ⇒ como sabemos que a ∙ b = 42, 
então 42 ∙ c = 336 ⇒ c = 8 cm.
III. Como c = 8 cm, de acordo com I, temos que a ⋅ 8 = 48 ⇒ 
⇒ a = 6 cm e b = 7 cm.
IV. Área total:
A a b a c b c
A
A
A
T
T
T
T
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅( )
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅( )
= ⋅ + +( )
= ⋅
2
2 6 7 6 8 7 8
2 42 48 56
2 1466
292 2A cmT =
30. (ACAFE – SC) Num reservatório com a forma de um 
paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, 
2 metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um 
bloco de concreto. O nível da água que estava com 60% 
da altura do reservatório eleva-se até 
3
4
 da altura. O 
volume de água deslocado (em litros) foi de:
a) 4 500. X b) 1 500. c) 5 500. d) 6 000.
I. De acordo com o enunciado, o reservatório subiu de 
60% da altura para 
3
4
0 75 75, %, ou seja, uma 
elevação de 15% da altura total.
II. A quantidade de água que se elevou corresponde 
ao volume do bloco de concreto assim:
15% de 5 m = 0,75 m
V = 1 ∙ 2 ∙ 0,75
V = 1,5 m3 
Como 1 m3 = 1 000 L, então o volume deslocado é 
igual a 1 500 litros.
31. (IFPE) Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar 
um aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja 
especializada e compraram os equipamentos neces-
sários. As dimensões do aquário eram: 1,2 metros de 
largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de 
altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. 
Paulopercebeu que tinha esquecido de colocar um 
castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colo-
cou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível 
da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de 
Matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. 
Depois de efetuados os cálculos, ele percebeu que o 
volume do castelo era, em dm3: 
a) 1,08 
b) 10,8 
X c) 108 
d) 1 080
e) 10 800
O aumento no volume ocupado no aquário corresponde 
ao volume do castelo de pedra. Assim:
15 cm = 0,15 m.
V = 1,2 ∙ 0,6 ∙ 0,15
V = 0,108 m3 
Como 1 m3 = 1 000 dm3, então o volume do castelo, em 
dm3, é igual a 108.
32. (IFPE) Cláudio decidiu reformar a piscina da sua casa. 
A nova piscina tem agora o formato do sólido mostrado 
na figura abaixo e todas as medidas estão em metros. 
Ele foi instruído a usar um produto químico para manter 
a água limpa. A quantidade desse produto a ser usado 
depende do volume de água contida na piscina. Qual o 
volume de água, em metros cúbicos, que acumulará a 
piscina de Cláudio quando ela estiver totalmente cheia?
12,0
1,8
10
0,9
6,0
5,0
2,0
0,9
X a) 105,3
b) 110,5
c) 115,6
d) 118,2
e) 122,7
A figura pode ser dividida em dois sólidos, como indicado no 
gabarito. Então, o volume total da piscina é dado pela soma 
do volume do paralelepípedo com o do prisma trapezoidal.
I. Volume do paralelepípedo:
V = 12 ∙ 6 ∙ 0,9 = 64,8 m3 
II. Volume do prisma trapezoidal:
V A H
V
V V m
B= ⋅
=
+( ) ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⇒ =
10 5 0 9
2
6
15 0 9 3 40 5 3
,
, ,
 
O volume total da piscina é 64,8 + 40,5 = 105,3 m3 
18 Volume 6
33. (ENEM) Uma editora pretende despachar um 
lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 
20 cm × 20 cm × 30 cm. A transportadora 
acondicionará esses pacotes em caixas com formato 
de bloco retangular de 40 cm × 40 cm × 60 cm. A 
quantidade mínima necessária de caixas para esse 
envio é:
a) 9 b) 11 X c) 13 d) 15 e) 17 
Cada caixa pode acondicionar 8 pacotes, como pode-
mos observar na figura abaixo.
Assim, o número de caixas necessárias para o transporte 
dos pacotes é 100 ÷ 8 = 12,5 caixas. Precisamos de, no 
mínimo, 13 caixas. 
40 cm
60 cm
40 cm
20 cm 20 cm
20 cm
20 cm
30 cm
30 cm
34. (ENEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca, 
um agricultor pretende construir um reservatório 
fechado, que acumule toda a água proveniente da 
chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de 
um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir 
apresentam as dimensões da casa, a quantidade 
média mensal de chuva na região, em milímetros, e a 
forma do reservatório a ser construído.
 Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície pla-
na horizontal de um metro quadrado, a profundidade 
(p) do reservatório deverá medir: 
a) 4 m b) 5 m c) 6 m X d) 7 m e) 8 m
Sabemos que chove 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 
+ 50 = 700 mm por ano. Sendo assim, há o acúmulo de 
700 litros de água por metro quadrado. A área ocupada 
pelo telhado representa uma superfície plana horizontal de 
10 ∙ 8 = 80 m2 e recebe 80 ⋅ 700 L = 56 000 L = 56 m3 . 
Assim, p ∙ 4 ∙ 2 = 56 ⇒ 8p = 56 ⇒ p = 7 m.
35. (ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas 
de um rio com grande desnível, possibilita a navegabili-
dade, subida ou descida de embarcações. No esquema 
abaixo, está representada a descida de uma embarca-
ção, pela eclusa do Porto Primavera, do nível mais alto 
do Rio Paraná até o nível da jusante. 
 A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado 
de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da 
água durante o esvaziamento da câmara é de 4 200 m3 
por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o 
nível da jusante, uma embarcação leva cerca de: 
a) 2 minutos. 
b) 5 minutos. 
c) 11 minutos. 
X d) 16 minutos. 
e) 21 minutos.
I. A câmara da eclusa é um paralelepípedo retângulo 
de dimensões 200 m, 17 m e 20 m (distância do nível 
mais alto até o nível da jusante), assim, o volume de 
água total é:
V = 200 ∙ 17 ∙ 20
V = 68 000 m3 
II. Como a vazão da câmara é de 4 200 m3 por minuto, ela 
levará 68 000 ÷ 4 200 = 16,19 16 minutos.
36. (IFTO) Uma piscina de 3 metros de profundidade tem 
forma de prisma reto. A base tem forma de um hexágo-
no regular de 2 m de lado. A piscina estava totalmente 
vazia quando, após um período de chuva, acumulou-se 
dentro dessa piscina um volume de água de 500 litros.
Matemática 19
 Podemos afirmar que a altura h do filete de água for-
mado dentro da piscina é de:
a) 
3
18
m c) 5 cm e) 6
6
m 
X b) 
3
36
m d) 
6
5
m
O volume de água contido na piscina após a chuva é de 
500 litros, o que corresponde a 0,5 m3. Assim, utilizando 
a fórmula que calcula o volume de um prisma, podemos 
determinar a medida h:
A
A cm
B
B
=
⋅
=
6 2 3
4
6 3
2
2
V A H
h
h
h h m
B= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⇒ =
0 5 6 3
1 12 3
1
12 3
3
36
,
37. (MACKENZIE – SP)
 A peça da figura, de volume a2, é o resultado de um 
corte feito em um paralelepípedo reto retângulo, re-
tirando-se um outro paralelepípedo reto retângulo. O 
valor de a é: 
a) 
2
3
b) 5 c) 6 X d) 4 e) 
4
5
O volume da peça da figura pode ser indicado como o 
volume total do paralelepípedo subtraído o volume do 
prisma quadrangular recortado dele, ou seja:
V a a
a a
V
a a
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
−
3
2 2
3
4
3
3
a a
a
a a a
a a a
3
2
3 2
2
4
3
3 4 0
3 4 0
−
=
− − =
⋅ − −( ) =
Portanto, a = 0 ou a a2 3 4 0− − = . Resolvendo a equação:
a a2
2
3 4 0
3 4 1 4
25
− − =
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
=
Δ
Δ 
a
a
a
a
=
±
⋅
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
3 25
2 1
3 5
2
3 5
2
8
2
4
3 5
2
2
2
1
 
O valor de a é 4.
38. (UEL – PR) Um arquiteto fez um projeto para construir 
colunas de concreto que vão sustentar um viaduto. Cál-
culos mostram que 10 colunas com a forma de um 
prisma triangular regular de aresta de 1 metro por 10 
metros de altura são suficientes para sustentar o via-
duto. Se 1 metro cúbico de concreto custa R$ 200,00, 
qual será o custo total das colunas? 
a) R$ 1.000,00 
b) Aproximadamente R$ 4.320,00 
c) R$ 5.000,00 
X d) Aproximadamente R$ 8.650,00 
e) Aproximadamente R$ 17.300,00
I. O volume de uma das colunas é dado por:
A
A m
B
B
1 3
4
3
4
2
2
 
V A H
V
V V m
B= ⋅
= ⋅
= ⇒ =
3
4
10
10 3
4
5 3
2
3
II. Vamos usar a aproximação 3 173, para calcular 
o valor aproximado gasto na produção de 10 colunas:
5 173
2
10 200 5 173 1000 8650
⋅
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
,
,
O valor gasto na produção de 10 colunas é de, aproxi-
madamente, R$ 8.650,00.
39. (ENEM) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens 
plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. 
Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e 
base de 20 cm por 10 cm. No processo de confecção 
do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no 
estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu 
volume aumentado em 25%, ficando com consistência 
cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma 
mistura sabor chocolate com volume de 1 000 cm3 
e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada 
uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do 
processo de congelamento, a embalagem fique com-
pletamente preenchida com sorvete, sem transbordar. 
O volume máximo, em cm3, da mistura sabor morango 
que deverá ser colocado na embalagem é: 
20 Volume 6
41. (ENEM) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao 
modelo apresentado na figura 1, deverá ser descar-
regada no porto de uma cidade. Para isso, uma área 
retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empi-
lhamento desses contêineres (figura 2).
6,4 m
2,5 m
2,5 m 32 m
Figura 1 Figura 2
Área para 
armazenar 
contêineres
10 m
 De acordo com as normas desse porto, os contêine-
res deverão ser empilhados de forma a não sobrarem 
espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o 
empilhamento total da carga e atendendo à norma do 
porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de 
contêineres é: 
X a) 12,5 m. 
b)17,5 m. 
c) 25,0 m. 
d) 22,5 m. 
e) 32,5 m.
I. Inicialmente, precisamos determinar quantos contêine-
res cabem na figura 2.
Comprimento: 32 ÷ 6,4 = 5 contêineres.
Largura: 10 ÷ 2,5 = 4 contêineres.
Portanto, cabem 4 x 5 = 20 contêineres na superfície 
disponível.
II. Como precisam ser armazenados 100 contêineres, pre-
cisamos de 5 camadas, pois 100 ÷ 20 = 5.
III. Após o empilhamento total da carga, a altura mínima a 
ser atingida será:
5 (camadas) ∙ 2,5 m (altura de cada contêiner) = 12,5 m.
42. (FGV – SP) Um cubo de aresta de 10 cm de compri-
mento deve ser seccionado como mostra a figura, de 
modo que se obtenha uma pirâmide cuja base APB é 
triangular isósceles e cujo volume é 0,375% do volume 
do cubo.
a) 450. 
b) 500.
X c) 600.
d) 750.
e) 1 000.
I. O volume total do recipiente é V = 10 ∙ 10 ∙ 20 = 2 000 cm3.
II. A mistura de chocolate, depois de congelada, aumen-
tará em 25%. Portanto, aplicando uma regra de três 
simples, temos:
Volume (cm3) %
 1 000 100
 x 125
100 ∙ x = 1000 ∙ 125
100x = 125 000
x = 1 250 cm3 
III. Será colocado um volume V da mistura de moran-
go para que, após o congelamento, ocupe o restante 
do recipiente, que é de 750 cm3. Portanto, aplicando 
uma regra de três simples, temos:
Volume (cm3) %
 750 125
 y 100
125 ∙ y = 750 ∙ 100
125y = 75 000
y = 600 cm3 
Assim, o volume máximo da mistura sabor morango 
que deverá ser colocado na embalagem é 600 cm3.
40. (ENEM) Para economizar em suas contas mensais 
de água, uma família de 10 pessoas deseja construir 
um reservatório para armazenar a água captada 
das chuvas, que tenha capacidade suficiente para 
abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família 
consome, diariamente, 0,08 m3 de água. Para que 
os objetivos da família sejam atingidos, a capacidade 
mínima, em litros, do reservatório a ser construído deve 
ser:
a) 16. 
b) 800.
c) 1 600. 
d) 8 000. 
X e) 16 000. 
 O reservatório deverá ter capacidade para abastecer de 
água 10 pessoas por 20 dias, com consumo de 0,08 m3 por 
pessoa, por dia. Portanto, em 20 dias, serão consumidos 
pela família 10 ∙ 20 ∙ 0,08 = 16 m3 de água.
Como 1 m3 = 1 000 L, são necessários 
16 ∙ 1 000 = 16 000L.
Matemática 21
 Cada um dos pontos A e B dista de P:
a) 5,75 cm.
b) 4,25 cm.
c) 3,75 cm.
X d) 1,5 cm.
e) 0,75 cm.
A
B
P
10
10
x
x
I. O volume do cubo, em centímetros cúbicos, é:
V a cmV V= ⇒ = ⇒ =3 3 310 1000
II. Nomeando de x a distância, em centímetros, dos pontos 
A e B até o ponto P, temos que o volume da pirâmide é:
V V VA H
x x x
cmb= = =⋅ ⋅ ⇒ ⋅
⋅
⋅ ⇒
1
3
1
3 2
10
5
3
2
3
III. Como o volume da pirâmide equivale a 0,375% do vo-
lume do cubo, aplicando uma regra de três simples 
temos:
Volume (cm3) %
 1000 100
 
5
3
2x
 0,375
5
3
100 1000 0 375
500
3
375
500 1125
2 25
15
2
2
2
2
x
x
x
x
x cm
⋅ = ⋅
=
=
=
=
,
,
,
Assim, a distância dos pontos A e B até o ponto P é 
de 1,5 cm. 
43. (UNIOESTE – PR) Uma barra de ouro na forma de para-
lelepípedo reto de dimensões 70 cm, 50 cm e 5 cm é 
derretida. Ao ouro é acrescentado 20% do seu volume, 
em prata. Com essa mistura são feitas outras barras 
na forma de prismas triangulares retos, cujas bases 
são triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm e 
cuja aresta lateral mede 10 cm. O número de barras 
fabricadas é:
X a) 350.
b) 342.
c) 240.
d) 548.
e) 750.
I. Volume da barra original = 70 ∙ 50 ∙ 5 = 17 500 cm3.
II. Como, após o derretimento do ouro, foram acrescidos 
20% do volume inicial em prata, aplicando uma regra 
de três simples, temos:
Volume (cm3) %
 17 500 100
 x 120
100 ∙ x = 17 500 ∙ 120
x = 21 000 cm3 
III. Volume do prisma triangular:
V A H V V cm
b
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =3 4
2
10 60 3
II. Como o prisma triangular tem 60 cm3 e a barra, após o 
derretimento e o acréscimo da prata, tem 21 000 cm3, 
aplicando uma regra de três simples, temos:
Volume (cm3) Número de barras
 60 1
21 000 x
60 ∙ x = 21 000 ∙ 1
x = 350
44. (UTFPR) A matriz M, quadrada de ordem 3, é construída 
a partir de dados obtidos de um cubo de aresta 3 uni-
dades de comprimento.
 a11 = aresta
 a13 = volume
 a21 = área total
 a22 = diagonal do cubo
 a31 = diagonal da face.
 Os demais elementos são todos nulos. Assim sendo, 
pode-se afirmar que:
X a) M é quadrada e seu determinante é 243 6 . 
b) M é cúbica e seu determinante é 27.
c) M tem fila nula e seu determinante é zero.
d) M é triangular e seu determinante é 27 6
2
.
e) M é matriz diagonal e seu determinante é 846.
Portanto, a matriz obtida é:
A
a a a
a a a
a a a
A=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒ =
⎡
⎣
⎢11 12 1
21 22 23
31 32 33
3
3 0 27
54 3 3 0
3 2 0 0
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 0 27
54 3 3 0
3 2 0 0
3 0
54 3 3
3 2 0
27 3 3 3 2 243 6= − ⋅ ⋅ = −
11 11
3
13 13
2
21 21
22 22
31 31
aresta 3
volume 3 27
área total 6 3 54
diagonal do cubo 3 3
diagonal da face 3 2
a a
a a
a a
a a
a a
= ⇒ =
= ⇒ = =
= ⇒ = ⋅ =
= ⇒ =
= ⇒ =
II.
III.
IV.
V.
I.
22 Volume 6
45. (UFPE) Uma transportadora de volumes só aceita 
caixas na forma de paralelepípedos retângulos quando 
a soma do perímetro da base e da altura é no máximo 
2 m. Suponha que se pretenda transportar uma 
caixa, com maior volume possível, no formato de um 
paralelepípedo com base quadrada, de lado x metros, 
e altura h metros, como ilustrado na figura abaixo. 
h
x
x
 Para obtermos volume máximo, os valores de x e h 
devem satisfazer 4x + h = 2.
 Analise as afirmações abaixo, considerando esses 
dados. 
X (0) O volume da caixa, em m3, é dado por 2 1 2
2x x⋅ −( ).
(1) Quando o lado da base mede 
1
3
 de metro, o volu-
me da caixa é 
1
9
3m .
(2) A área total da caixa é − +8 14 2x x , em m2.
X (3) A área total da caixa será máxima quando a altura 
for 
6
7
 de metro.
X (4) Quando a área total da caixa é máxima, seu volume 
é 
24
343
3m .
(0) Verdadeira. O volume da caixa é dado por 
V = x ∙ x ∙ h = x h2 . Como qualquer caixa a 
ser enviada por essa empresa deve satisfazer 
4x + h = 2, h = 2 – 4x, o volume da caixa é 
V x x x x= ⋅ −( ) = ⋅ −( )2 22 4 2 1 2 .
(1) Falsa. ( )= = ⋅ − =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ =
2
2
3
1
Como x , então: V 2x 1 2x
3
1 1 1 2
2 1 2 2 1
3 3 9 3
1 1 2
2 m
9 3 27
(2) Falsa. A área total da caixa é dada por 
V = 2 ∙ x ∙ x + 4 ∙ x ∙ h = 2 42x xh+ . 
Como h = 2 – 4x, a área total da caixa é 
A x xh x x x
x x x x x
t = + = + ⋅ −( ) =
= + − = −
2 4 2 4 2 4
2 8 16 8 14
2 2
2 2 2.
(3) Verdadeira. Medida da altura para que a área seja 
máxima: x
b
a
mv =
−
⋅
=
−
⋅ −
=
−
−
=
2
8
2 14
8
28
2
7( )
.
h x
h h
= −
= − ⋅ ⇒ =
2 4
2 4
2
7
6
7
 
(4) Verdadeira. 
( )= = ⋅ − =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ =
2
v
2
3
2
Como x , então: V 2x 1 2x
7
2 2 4 4
2 1 2 2 1
7 7 49 7
4 3 24
2 m .
49 7 343
46. (UFPE) Uma calha tem a forma de um prisma reto de 
base triangular. A altura do prisma é 1 m, e sua base é 
um triângulo isósceles com lados congruentes medin-
do 0,4 m e formando entre si um ângulo α.
 Fazendo a escolha apropriada, qual o maior volume, 
em litros, que a calha pode ter?
I. A área da base da calha é dada por:
S x x sen
S sen
S sen
S sen m
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅( )
1
2
1
2
0 4 0 4
1
2
0 16
0 08
α
α
α
α
, ,
,
, 33
II. O volume da calha é dado por:
V
V
V
A H
sen
sen m
b=
=
=
⋅
⋅ ⋅
⋅( )
0 08 1
0 08 3
,
,
α
α
III. O volume da calha será máximo quando α = 90°:
V
V
V
sen
m L
=
=
=
⋅ °
⋅
=
0 08 90
0 08 1
0 08 803
,
,
,
Portanto, o maior volume que a calha pode ter é de 
80 litros.
Matemática 23
48. (UNIOESTE – PR) A figura a seguir representa um pa-
ralelepípedo reto retângulo. O ângulo β mede 30°, o 
ângulo α mede 45° e o lado AB mede 5 cm.
α
β
A B
C
D
E
30º
45º
 A partir destas informações, é correto afirmar que o 
volume do prisma é 
X a) 125 3
3cm .
b) 225 cm3. 
c)625 3 3cm .
d) 325 cm3.
e) 25 3 cm .
3
I. No triângulo ABC, podemos determinar a altura do 
paralelepípedo:
tg
AC
AB
AC
AC cm45 1
5
5° = ⇒ = ⇒ =
A altura do paralelepípedo é 5 cm.
II. No triângulo BDE, sabemos que DE = 5 (altura do 
paralelepípedo) e podemos obter a medida BE da 
profundidade do sólido.
tg
DE
BE BE
BE
BE BE BE
30
3
3
5
3 3 5
15
3
3
3
15 3
3
5 3
° = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
Assim, o volume do prisma é 5 5 3 5 125 3 3⋅ ⋅ = cm
.
49. (UTFPR) As dimensões de um paralelepípedo retângulo 
estão em progressão aritmética crescente e têm como 
soma 24 m. Se a área desse paralelepípedo é igual a 
366 m2, podemos afirmar que a razão dessa progres-
são aritmética é: 
47. (UFRN) Quando se diz que, numa região, caiu uma chu-
va com precipitação de 10 mm de água, isso significa 
que cada metro quadrado dessa região recebeu 10 li-
tros de água da chuva. Uma caixa d’água de 1,5 m de 
altura, 0,8 m de largura e 1,4 m de comprimento, com 
uma abertura na face superior, na forma de um qua-
drado com 40 cm de lado, recebeu água diretamente 
de uma chuva de 70 mm.
1,5
0,8
1,4
 Admitindo-se que a caixa só tenha recebido água da 
chuva, pode-se afirmar que o nível da água nessa caixa 
aumentou: 
a) 0,8 cm
X b) 1 cm
c) 1,2 cm
d) 2 cm
I. Área da base da caixa:
0,8 ∙ 1,4 = 1,12 m2 
II. Área da abertura superior da caixa:
0,4 ∙ 0,4 = 0,16 m2 
III. Quantidade de chuva recebida nessa área:
Chuva (mm) área (m2)
 70 1
 x 0,16
1 ∙ x = 70 ∙ 0,16
x = 11,2 mm
IV. Volume de chuva recebido:
Chuva (mm) Volume (m3)
10 0,01
11,2 y
10 ∙ y = 0,01 ∙ 11,2
10y = 0,112
y = 0,0112 m3
Portanto, o nível de água na caixa é:
V A H
H
H m cm
b= ⋅
= ⋅
= =
0 0112 112
0 01 1
, ,
,
 
24 Volume 6
a) 2.
b) 4.
c) 5.
X d) 3.
e) 6.
Nomeando as dimensões da piscina por a, b e c, temos:
 a
b
c
a + b + c = 24
2∙(ab + ac + bc) = 366
As medidas estão em PA, portanto, podemos escrever a, 
b e c como x – r, x e x + r. Assim:
a + b + c = 24
(x – r) + x + (x + r) = 24
3x = 24 ⇒ x = 8
2∙(ab + ac + bc) = 366
ab + ac + bc = 183
(x – r) ∙ x + (x – r) ∙ (x + r) + x ∙ (x + r) = 183
(8 – r) ∙ 8 + (8 – r) ∙ (8 + r) + 8 ∙ (8 + r) = 183
64 8 64 64 8 183
192 183
9 3
2
2
2
– –
–
– –
r r r
r
r r
+ + + =
+ =
= = ±
Como a PA é crescente, r = 3.
Cilindro
50. Considere um cilindro com diâmetro da base medindo 
12 cm e altura igual a 9 cm. Calcule:
a) a área da base;
2r = 12 ⇒ r = 6 cm
A r
A
A cm
B
B
B
= ⋅
= ⋅
=
π
π
π
2
26
36 2
b) a área da seção meridiana; 
2
seção meridiana
seção meridiana
seção meridiana
A 2 r h
A 2 6 9
A 108 cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
c) a área lateral;
A r h
A
A cm
L
L
L
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
2
2 6 9
108 2
π
π
π
d) a área total;
A A A
A r h r
A
A
A
T
T L
T
T
T
B= + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= +
=
2
2 2
2 6 9 2 6
108 72
2
2
π π
π π
π π
1180 2π cm
e) o volume. 
V r h
V
V cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π
π
π
2
26 9
324 3
51. Com relação a um cilindro equilátero cujo raio da base 
mede 3,5 cm, determine: 
a) a área da base;
A r
A
A cm
B
B
B
= ⋅
= ⋅
=
π
π
π
2
23 5
12 25 2
,
,
b) a área da seção meridiana; 
Como o cilindro é equilátero, temos h = 2r ⇒ h = 7 cm.
2
seção meridiana
seção meridiana
seção meridiana
A 2 r h
A 2 3,5 7
A 49 cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
c) a área lateral;
A r h
A
A cm
L
L
L
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
2
2 3 5 7
49 2
π
π
π
,
d) a área total;
A A A
A r h r
A
A
T L B
T
T
T
= + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= +
2
2 2
2 3 5 7 2 3 5
49 24
2
2
π π
π π
π
, ,
,55
73 5 2
π
πA cmT = ,
e) o volume.
V r h
V
V cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π
π
π
2
3
3 5 7
85 75
2,
,
Matemática 25
52. Considerando um cilindro circular reto com raio da 
base medindo r cm e altura medindo h cm. Obtenha os 
valores de r e h quando:
a) o volume do cilindro é 81π cm3 e a medida da altura 
é igual ao triplo da medida do raio da base.
h = 3r
V r h
r r
r
r r cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
= ⇒ =
π
π π
2
81 3
3 81
27 3
2
3
3
Portanto, r = 3 cm e h = 3r ⇒ h = 9 cm.
b) a área da superfície lateral do cilindro é 150π cm2 e 
o raio da base mede 10 cm a menos que a altura.
r = h – 10 
A r h
h h
h h
h h
h h
L = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ −( )⋅
= −
− − =
− −
2
150 2 10
150 2 20
2 20 150 0
10
2
2
2
π
π π
775 0=
Assim:
h h
a b c
b a c
2
2
2
10 75 0
1 10 75
4
10 4 1 75
40
− − =
= = − = −
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
=
; ;
Δ
Δ
Δ 00
h
b
a
h
h
h
= − ±
⋅
⇒ = ±
= + = =
= − = − = −
Δ
2
10 20
2
10 20
2
30
2
15
10 20
2
10
2
5
1
2
Portanto, como a altura não pode ser negativa, h = 15 cm e 
r = h – 10 ⇒ r = 5 cm. 
53. Considere uma peça fabricada em ferro no formato 
de um prisma hexagonal regular com aresta da base 
medindo 4 cm e altura medindo 1 cm. No centro da 
peça, há um furo cilíndrico com diâmetro da base 
medindo 4 cm. 
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/N
in
el
l_
A
rt
 Determine:
a) o volume total de ferro utilizado na confecção da 
peça. Use 3 173= , e π = 3,14.
O volume total da peça é igual ao volume do prisma 
subtraído o volume do furo.
2r = 4 ⇒ r = 2 cm 
A altura do cilindro é igual à altura H do prisma. 
H = 1 cm.
⋅ π ⋅ ⋅
⋅ ⋅ π ⋅ ⋅
b
3
peça prisma furo
2
peça
2
2
peça
peça
=peça
V = V – V
V = A H – r H
6 4 3
V = 1– 2 1
4
V = 41,52 – 12,56
V 28,96 cm
b) a massa de ferro utilizada na confecção da peça, 
sabendo que a densidade do ferro é 7,86 g/cm3 e 
que a densidade é a razão entre a massa, em gramas, 
e o volume, em cm3, do objeto.
d
m
V
m
m g
=
=
=
7 86
28 96
227 62
,
,
,
54. Uma lata de doce de leite em formato de cilindro circu-
lar reto, com as dimensões indicadas na figura abaixo, 
custa R$ 4,20.
12 cm
10 cm
 A respeito da situação descrita, assinale V para as afir-
mações verdadeiras e F para as afirmações falsas. 
a) ( F ) A área total de material utilizado na confecção 
da lata é de 408π cm2.
b) ( V ) O rótulo da embalagem envolve toda a super-
fície lateral da lata, então a área ocupada pelo 
rótulo mede 120π cm2.
c) ( F ) O volume de doce de leite contido na lata, 
quando ela está completamente cheia é igual a 
720 π cm3.
26 Volume 6
d) ( V ) Mantendo o preço e a proporcionalidade, uma 
lata que contiver meio litro de doce de leite deve 
custar R$ 1,85. 
a) 2r = 12 ⇒ r = 6 cm
A A A
A r h r
A
A
A
T L
T
T
T
T
B= + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= +
2
2 2
2 6 10 2 6
120 72
2
2
π π
π π
π π
== 192 2π cm
b) A r h
A
A cm
L
L
L
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
2
2 6 10
120 2
π
π
π
 
c) V r h
V
V cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π
π
π
2
26 10
360 3
 
d) Em 360π cm3 de leite condensado, há, aproxima-
damente, 1,13 litro de leite condensado (usando 
a aproximação de π = 3,14). Com uma regra de 
três simples, determinamos o preço proporcional 
a 0,5 litro.
Preço Volume
4 20 113
0 5
113 2 1
185
, ,
,
, ,
,
x
x
x
55. Um recipiente em forma de cilindro circular reto contém 
água até determinada altura. Nele, são colocados dois 
cubos de mesmo volume, que afundam totalmente, 
ficando submersos sem, no entanto, transbordar a 
água. Sabe-se que o nível da água no recipiente subiu 
4 cm e que a medida do raio da base do cilindro é 6 cm. 
Calcule a medida da aresta dos cubos. 
 Use π = 3.
O volume de água deslocado no cilindro é igual ao volu-
me dos dois cubos.
I. Volume deslocado
V r h
V
V cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π 2
3 6 4
432
2
3
II. Volume de cada cubo
Como os dois cubos têm o mesmo volume, temos que 
cada cubo tem 216 cm3.
V a
a
a cm
3
216
6
3
Portanto, a aresta dos cubos mede 6 cm.
56. Um cilindro maciço foi inscrito em um cubo cuja aresta 
mede 12 cm, conforme mostra a figura. Determine:
a) a razão entre a área total do cubo e a do cilindro;
Para o cilindro, temos r = 6 cm e h = 12 cm.
A
A
a
r h r
Tcubo
Tcilindro
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
=
6
2 2
6 12
2 6 12 2 6
2
2 2
2
π π π π
8864
144 72
864
216
4
π π π π+
= =
b) o volume do cubo que nãofoi ocupado pelo cilindro. 
Use π = 3,14.
I. Volume do cubo:
V a
V
V cm
3
312
1728 3
II. Volume do cilindro:
V r h
V
V cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π 2
23 14 6 12
1356 48 3
,
,
 
O volume do cubo não ocupado pelo cilindro é igual 
a 1 728 – 1 356,48 = 371,52 cm3.
57. (ACAFE – SC) Um posto de combustíveis abastece 
mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, 
cujas medidas estão indicadas no esquema a seguir.
 Considerando que o reservatório esteja vazio e que 
será abastecido com 80% de sua capacidade por um 
caminhão-tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, 
em aproximadamente quantos minutos o reservatório 
será abastecido? 
Matemática 27
a) 59 min.
b) 51 min.
X c) 47 min. 
d) 48 min.
I. Capacidade total do reservatório:
2r = 3 ⇒ r = 1,5 m e adotando π = 3,14
V r h
V
V m
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π 2
3
3 14 15 5
35 325
2, ,
,
1 m3 = 1 000 L, então a capacidade do reservatório é 
de 35 325 litros.
II. O reservatório será abastecido com 80% de sua ca-
pacidade: 80% de 35 325 = 28 260 litros.
III. Como a vazão do tanque é de 10 L por segundo, então 
o reservatório levará 28 260 ÷ 10 = 2 826 segundos 
para ser abastecido. Isso representa 2 826 ÷ 60 = 47,1 
minutos.
Portanto, o reservatório levará aproximadamente 
47 minutos para ser abastecido. 
58. (FGV – SP) A atual moeda de 1 real é composta de 
aço inox no círculo central e de aço inox revestido de 
bronze na coroa circular. Essa moeda possui diâme-
tro e espessura aproximados de 26 e 2 milímetros, 
respectivamente. Uma corda no círculo dessa moeda 
que seja tangente ao círculo central de aço inox mede, 
aproximadamente, 18 milímetros.
 Nas condições dadas, o volume de aço inox contido 
apenas no círculo central dessa moeda, em mm3, é 
aproximadamente igual a 
X a) 176π
b) 182π
c) 194π
d) 198π
e) 204π
I. A figura ilustra as medidas da moeda citadas no 
enunciado. A medida r do raio do círculo de aço inox 
da moeda pode ser obtida aplicando-se o Teorema de 
Pitágoras ao triângulo retângulo mostrado na figura:
9 mm
9 mm
13 mm
r
13 9
169 81
88
88
2 22
2 2 2
2
2
= +
= +
=
=
=
r
r
r
r
r mm
II. Volume do cilindro de aço inox:
V r h
V
V mm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π
π
π
2
88 2
176 3
59. (IFBA) Um reservatório cúbico está totalmente cheio 
com 8 000 L de água. Toda essa água foi transferida 
para outro tanque cilíndrico reto de 2 m de diâmetro. 
Usando a aproximação π = 3,1, é correto afirmar que a 
altura atingida pela água, em metros, no tanque recep-
tor foi igual a:
X a) 2,58
b) 2,40
c) 2,38
d) 2,20
e) 2,10
2r = 2 ⇒ r = 1 e o volume de 8 000 L = 8 m3.
V r h
h
h
h m
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ =
π 2
8 3 1 1
3 1 8
2 58
,
,
,
60. (IFSC) Uma indústria de alimentos utiliza tanques na 
forma cilíndrica de dimensão 12 m de altura e 10 m de 
diâmetro, para armazenar água. Considerando π = 3,14 
e com base nessas informações é correto afirmar:
(01) se com uma lata de tinta pintam-se 15 m2 da 
superfície, então a quantidade mínima de latas 
que será necessária para a pintura da superfície 
lateral externa de um tanque é 25 latas. 
(02) devido à escassez de água, a indústria precisa 
armazenar 3,14 · 106 litros de água e para isso 
ela necessita de pelo menos três tanques. 
X (04) se fosse usar um tanque na forma de um 
paralelepípedo reto com área da base de 157 m2 
para armazenar a mesma quantidade de água de 
cada tanque cilíndrico, sua altura seria de 6 m. 
28 Volume 6
(08) um dos tanques da indústria ficou aberto durante 
alguns dias e com isso houve a evaporação da 
água, permanecendo um terço do volume. Para 
repor a quantidade de água evaporada serão ne-
cessários 628 litros de água. 
X (16) periodicamente é feita a manutenção desses 
tanques, pintando-se sua superfície lateral externa. 
Em um dia dessas manutenções, pintaram-se 
30% do total e no dia seguinte pintaram-se 60% 
do que sobrou. A porcentagem do que falta pintar 
é 28% da superfície lateral externa. 
X (32) a indústria utiliza cloro para o tratamento da 
água armazenada nos tanques na proporção de 
um pacote para cada 15 700 litros; então, serão 
necessários 60 pacotes para tratar a água de cada 
tanque. 
52 (04 + 16 + 32).
(01) Área lateral do tanque:
2r = 10 ⇒ r = 5 cm
A r h
A
A m
L
L
L
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
2
2 3 14 5 12
376 8 2
π
,
,
Como 1 lata pinta 15 m2, então serão necessárias 
376,8 ÷ 15 = 25,12 latas, portanto 25 latas não 
são suficientes.
(02) Volume de um tanque:
V r h
V
V m
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π 2
23 14 5 12
942 3
,
Esse valor corresponde a 942 000 L ou 9 42 105, 
e, para obter 3 14 106, L de água, seriam neces-
sários 
3 14 10
9 42 10
3 33
6
5
,
,
, tanques. Portanto, 3 tan-
ques não são suficientes.
(04) A área da base do tanque é de 157 m2, então:
V r h
h
h m
= ⋅ ⋅
= ⋅
=
π 2
942 157
6
(08) Um terço do volume total equivale a 
942 ÷ 3 = 314 m3. Então, para enchê-lo 
novamente, serão necessários 628 m3 de água, 
que correspondem a 628 000 litros de água.
(16) 0,3 + 0,6 ⋅ 0,7 = 0,3 + 0,42 = 0,72. Foram pin-
tados 72%. Assim, faltam 28% do total para fina-
lizar a pintura.
(32) Como 1 pacote de cloro trata 15 700 L, então, para o 
tratamento da água contida no tanque quando este 
estiver completamente cheio, serão necessários 
942 000 : 15 700 = 60 pacotes.
61. (UFSCAR) Uma tela retangular com 3,6 m2 de área e 
40 cm de altura será utilizada para cercar um canteiro 
circular, conforme mostram as figuras.
 Sabendo que 1 m2 = 10 000 cm2 e utilizando π = 3, 
então, a área do canteiro, em m2, é: 
a) 4,75.
b) 5,25.
c) 5,85.
d) 6,25.
X e) 6,75.
I. Raio do canteiro:
3,6 m2 = 36 000 cm2 
A r h
r
r
r cm ou m
L = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
=
2
36000 2 3 40
36000 240
150 15
π
,
II. Área do canteiro:
A r
A
A m
canteiro
canteiro
canteiro
= ⋅
= ⋅
=
π 2
23 15
6 75 2
,
,
62. (UFPR) O serviço de encomendas da Empresa de 
Correios impõe limites quanto ao tamanho dos objetos 
a serem postados. Considere que somente sejam 
permitidos para postagem objetos dentro dos limites 
descritos abaixo.
DIMENSÕES DA EMBALAGEM
CAIXA
A soma (comprimento + largura + altura) 
não deve ser superior a 150 cm. A face 
de endereçamento não deve ter medidas 
inferiores a 11 x 16 cm. Altura mínima: 2 cm
EMBALAGEM 
EM FORMA 
DE ROLO
A soma (comprimento + dobro do diâmetro) 
não deve ser superior a 104 cm.
O comprimento do rolo não deve ser maior que 
90 cm.
Matemática 29
 Com base nessas informações, considere as afirmativas 
abaixo a respeito da postagem de uma barra cilíndrica 
rígida de 95 centímetros de comprimento e um 
centímetro de diâmetro. 
1. Não é possível postar essa barra embrulhada em 
forma de rolo. 
2. É possível postar essa barra dentro de uma caixa de 
papelão em forma de paralelepípedo retangular reto, 
com 80 cm de comprimento, 60 cm de largura e 
7 cm de altura.
3. É possível postar essa barra dentro de uma caixa 
de papelão em forma de prisma reto com 90 cm de 
altura e base quadrada com 20 cm de lado.
Assinale a alternativa correta. 
X a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
b) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
c) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
d) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
1. Verdadeira. A barra tem mais de 90 cm de compri-
mento.
2. Verdadeira. A diagonal da caixa é igual a 
D = + + = + + =80 60 7 6400 3600 49 100492 2 2 .
Essa raiz é certamente maior do que 100. Assim, a 
diagonal da caixa mede mais de 100 cm e a barra pode 
ser colocada em posição inclinada na caixa.
3. Falsa. A diagonal da caixa é igual a 
D = + + = + + =20 20 90 400 400 8 100 89002 2 2 .
Sendo 952 = 9025, essa diagonal mede menos do que 
95 cm. Assim, a barra não pode ser postada nessa caixa.
63. (ENEM) O índice pluviométrico é utilizado para mensurar 
a precipitação da água da chuva, em milímetros, em 
determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de 
acordo como nível de água da chuva acumulada em 
1 m2, ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que 
a altura do nível da água acumulada em um tanque 
aberto, em formato de um cubo com 1 m2 de área 
de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte 
temporal, verificou-se que a quantidade de chuva 
acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 
300 mm e altura 1 200 mm, era de um terço da sua 
capacidade. 
 Utilize 3,0 como aproximação para π. 
 O índice pluviométrico da região, durante o período do 
temporal, em milímetros, é de:
a) 10,8.
b) 12,0.
c) 32,4.
X d) 108,0.
e) 324,0. 
I. Volume do cilindro:
r = 300 mm ⇒ r = 0,3 m 
h = 1 200 mm ⇒ h = 1,2 m.
V r h
V
V
V m
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
π 2
23 0 3 12
3 0 09 12
0 324 3
, ,
, ,
,
II. Como o volume de água da chuva alcançou um terço 
da capacidade do reservatório cilíndrico, ele foi de: 
0,324 ÷ 3 = 0,108 m3.
III. O cubo tem 1 m2 de área da base, então a medida de 
sua aresta é 1 m. 
V h
h
h m mm
= ⋅ ⋅
= ⋅
= =
1 1
0 108 1
0 108 108
,
,
O índice pluviométrico é de 108 mm.
64. (ENEM) Para resolver o problema de abastecimento 
de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a 
construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem 
formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâme-
tro, e estimou-se que a nova cisterna deverá compor-
tar 81 m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a 
altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a 
antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação 
para π. 
30 Volume 6
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cister-
na para atingir o volume desejado? 
a) 0,5
b) 1,0
X c) 2,0
d) 3,5
e) 8,0
I. Raio da base da cisterna antiga:
2r = 2 ⇒ r = 1 m.
II. Raio da base da cisterna nova:
h = 3 m e V = 81 m3 
V r h
r
r r r m
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
π 2
2
2
81 3 3
81 9 9 32
O aumento do raio é de 2 m.
65. (UNICURITIBA – PR) Os aprendizes 
O professor Esperto Injustus dividiu uma turma de alu-
nos em duas equipes para uma competição. 
Cada equipe deveria confeccionar uma caixa para 
guardar tranqueiras, com capacidade mínima de 1 litro. 
As regras para a competição foram as seguintes: 
a) ganharia a competição a equipe que produzisse a 
caixa com menor custo de produção; 
b) a caixa deveria possuir uma tampa feita com o mes-
mo material usado para construir a própria caixa. 
A Equipe Alpha produziu uma caixa utilizando um ma-
terial que custava R$ 0,02 por cm2. 
A Equipe Beta produziu uma caixa utilizando um mate-
rial que custava R$ 0,01 por cm2. 
Observe as caixas produzidas pelas equipes.
Observações 
As figuras estão fora de escala. 
1 000 cm3 é equivalente a 1 litro.
Diante do exposto, avalie as afirmativas. 
a) ( F ) A Equipe Alpha foi a vencedora. 
b) ( F ) A caixa da Equipe Alpha custou o dobro em 
relação à caixa produzida pela Equipe Beta. 
c) ( V ) A caixa da Equipe Beta atende à capacidade 
mínima estabelecida. 
d) ( V ) A caixa produzida pela Equipe Beta custou mais 
de R$ 9,00 para ser produzida. 
e) ( V ) A caixa da Equipe Alpha não atende à capacida-
de mínima estabelecida. 
I. Caixa da Equipe Alpha
Área total:
A
A
A
A cm
T
T
T
T
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + +
= ⋅
=
2 8 10 12 10 8 12
2 80 120 96
2 296
592 2
( )
( )
Gasto com material: 592 ∙ 0,02 = R$ 11,84.
Volume:
V A H
V
V cm L
B= ⋅
= ⋅ ⋅
= =
12 8 10
960 0 963 ,
II. Caixa da Equipe Beta
Área total:
A A A
A r h r
A
A
T L B
T
T
T
= + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= +
2
2 2
2 10 5 2 10
100 200
2
2
π π
π π
π π
AA cm cmT = =300 942
2 2π
Gasto com material: 942 ∙ 0,01 = R$ 9,42.
Volume:
V r h
V
V cm cm L
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= = =
π
π
π
2
2
3
10 5
500 1570 1573 ,
a) Falsa. A caixa dessa equipe não atende à capacidade 
mínima necessária.
b) Falsa. Por litro, a caixa da Equipe Alpha custou 
R$ 12,33, enquanto a caixa da Equipe Beta custou 
R$ 6,00. Assim, o gasto foi maior que o dobro.
Matemática 31
67. (UFSCAR – SP) Retirando-se um semicilindro de um 
paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um sólido 
cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão 
indicadas nas figuras.
 Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, 
o volume do sólido fotografado, em m3, é igual a:
a) 2 ∙ (14 + 2π).
b) 2 ∙ (14 + π).
c) 2 ∙ (14 – π).
d) 2 ∙ (21 – π).
X e) 2 ∙ (21 – 2π).
O volume V do sólido é dado pela diferença entre o 
volume do paralelepípedo de dimensões 7 m, 3 m e 2 m 
e metade do volume do cilindro, cujo raio da base é 2 m e 
a altura é 2 m. Assim:
( ) 3
sólido paralelepípedo semicilindro
2
sólido
sólido
sólido
V V V
2 2
V 7 3 2
2
V 42 4
V 2 21 2 m
= −
π⋅ ⋅= ⋅ ⋅ −
= − π
= ⋅ − π
68. (UNICAMP – SP) Um pluviômetro é um aparelho utiliza-
do para medir a quantidade de chuva precipitada em 
determinada região. A figura de um pluviômetro padrão 
é exibida a seguir. 
 Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular 
existente no topo é de 20 cm. A água que cai sobre 
a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo 
cilíndrico interno.
66. (FUVEST – SP) Um castelo está cercado por uma vala 
cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios 41 m 
e 45 m. A profundidade da vala é constante e igual a 
3 m.
Seção transversal da vala
3 m
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este 
fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são 
cilindros circulares retos com raio da base de 1,5 m e 
altura igual a 8 m.
Determine o número mínimo de caminhões-pipa ne-
cessário para encher completamente a vala.
41 m
45 m
3 m
I. O volume de água que cabe na vala é dado pela diferença 
entre o volume do cilindro de raio da base igual a 45 m 
e o volume do cilindro cujo raio da base mede 41 m.
( )
( )
água
água 45 41
2 2
água
2 2
água
água
3
água
V V V
V 45 3 41 3
V 3 45 41
V 3 2025 1681
V 3 344
V 1032 m
= −
= π⋅ ⋅ −π⋅ ⋅
= π⋅ −
= π⋅ −
= π⋅
= π
II. Volume do caminhão-pipa:
= π⋅ ⋅
= π ⋅ ⋅
= πcaminhão pipa
2
caminhão pipa
caminhão pipa
3
V 1,5 8
V 2,25 8
V 18 m
-
-
-
III. Portanto, aplicando uma regra de três simples temos:
Volume (m3) Número de caminhões
 18π 1
 1 032π x
18π ∙ x = 1 032π ∙ 1
x 57,3 caminhões
Portanto, o número mínimo de caminhões-pipa neces-
sário para encher completamente a vala é 58.
32 Volume 6
Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de altura e sua base 
tem 1/10 da área da abertura superior do pluviômetro. 
(Obs.: a figura ao lado não está em escala). 
a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.
A base do tubo cilíndrico tem 
1
10
 da área da abertura 
superior, então:
V
A
h
V
r
h
V
V
tubo
abertura
tubo
abertura
tubo
= ⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
10
10
10
10
60
2
2
π
π
ttubo
cm= 600 3π
Portanto, o volume do tubo cilíndrico interno é 600 3π cm .
b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no 
cilindro interno subiu 2 cm, calcule o volume de água 
precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular 
com 500 m de comprimento por 300 m de largura.
I. Como o volume no cilindro interno subiu 2 cm, o volume 
de chuva no tubo interno é:
V
A
V
r
V
chuva
abertura
chuva
abertura
chuva
h
h
=
= ⋅
= ⋅
⋅
⋅
⋅
10
10
10
2
210
π
π
22
20 3V mchuva c= π
II. Assim, o volume de água captado pelo terreno é:
Área de captação (m2) Volume de chuva (cm3)
 π⋅0 12, 20π
 300 ∙ 500 x
0,01π ∙ x = 150 000 ∙ 20π
0,01πx = 3 000 000π
x = 300 000 000 cm3 = 300 m3.
Portanto, o volume de água precipitado por essa chuva 
sobre um terreno retangular é 300 m3.
69. (UEP – PE) Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. 
Um produto químico deve ser misturado à água, na ra-
zão de 25 g por 500 litros de água. Se a piscina tem 
1,6 m de profundidade e está totalmente cheia, quanto 
do produto deve ser misturado à água? (Use: π = 3,1)
a) 1,45 kg
X b) 1,55 kg
c) 1,65 kg
d) 1,75 kg
e) 1,85 kg
I. Volume da piscina:
2r = 5 ⇒ r = 2,5 m.
V r h
V
V m L
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=