LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - CAPACITÂNCIA

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - CAPACITÂNCIA
1. Os dois objetos de metal da �gura abaixo possuem cargas de +70 pC
e -70 pC, que resultam em uma diferença de potencial de 20 V entre
eles. (a) Qual é a capacitância do sistema? (b) se as cargas mudam
para +200 pC e -200 pC, qual é o novo valor da capacitância? (c) Qual
é o novo valor da diferença de potencial?
a) A capacitância do sistema é
C =
q
∆V
=
70 pC
20 V
= 3, 5 µF.
b) Como a capacitância não depende da carga, o valor é o mesmo do
item 1a: C = 3, 5 µ F.
c) O novo valor da diferença de potencial é
∆V =
q
C
=
200 pC
3, 5 µF
= 57 V.
2. O capacitor da �gura abaixo possui uma capacitância de 25 µF e está
inicialmente descarregado. A batria produz uma diferneça de potencial
de 120 V. Quando a chave S é fechada, qual é a carga total que passa
por ela?
A corrente no circuito persiste até que a diferença de potencial entre
os terminais do capacitor seja igual à força eletromotriz da bateria.
Quando isso acontece, a carga do capacitor é q = CV e é igual à carga
total que passou pela bateria. Assim,
q = 25× 10−6 F · 120 V = 3, 0× 10−3 C = 3, 0 mC.
1
3. Se um capacitor de placas paralelas inicialmente descarregado, de ca-
pacitância C, é ligado a uma bateria, uma das placas, de área A, se
torna negativa quando muitos elétrons migram para sua superfície. Na
�gura abaixo, a profundidade d até a qual os elétrons migram para a
superfície em um certo capacitor está plotada em função da tensão V
da bateria. A escala vertical é de�nida por dS = 1, 00 pm e a escala
horizontal por VS = 20, 0V. Quanto vale a razão C/A?
Para uma dada diferença de potencial V, a carga na superfície da placa
é q = ne = (NAd)e na qual d é a profundidade da qual os elétrons
migram para a superfície e n é a densidade dos elétrons de condução.
De acordo com a equação q = CV, a carga acumulada na placa está
relacionada à capacitância e à diferença de potencial através da equação
q = CV. Combinando as duas expressões, obtemos
C
A
= ne
d
V
.
Para d/V = ds/Vs = 5, 0× 10−14 m/V e n = 8,49×1028 /m3, obtemos
C
A
= (8, 49× 1018/m3)(1, 6× 10−19 C)(5, 4× 10−14 m/V)
C
A
= 6, 79× 10−4F/m2.
4. Pretende-se usar duas placas de metal com 1, 00 m2 de área para cons-
truir um capacitor de placas paralelas. (a) Qual deve ser a distância
entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja 1, 00 F: (b)
O dispositivo é �sicamente viável?
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por
C = ε0A/d, na qual A é a área das placas e d é a distância entre
2
as placas. Como as placas são circulares, a área das placas é
A = πR2, em que R é o raio das placas. Assim,
C =
ε0πR
2
d
=
8, 85× 10−12 F/mπ(8, 2× 10−2 m)2
1, 3× 10−3 m
C = 1, 44× 10−10 F = 144 pF.
(b) Como d é menor que o diâmetro de um átomo (≈ 10−10 m), este
capacitor não é �sicamente viável.
5. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares com um raio
de 8, 20 cm, separadas por uma distância de 1,30 mm. (a) Calcule
a capacitância. (b) Qual é a carga das placas de um capacitor de
placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre
as placas?
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por C
= ε0A/d, na qual A é a área das placas e d é a distância entre as
placas. Como as placas são circulares, a área das placas é A =
πR2, em que R é o raio das placas. Assim,
C =
ε0πR
2
d
=
8, 85 pF/mπ(8, 20× 102 m)2
1, 30× 10−3 m
= 144 pF.
(b) A carga da placa positiva é dada por q = CV , na qual V é a
diferença de potencial entre as placas. Assim,
q = 144× 10−12 F120 V = 1, 73× 10−8 C = 17, 3 nC.
6. As placas de um capacitor esférico têm 38,0 mm e 40,0 mm de raio. (a)
Calcule a capacitância. (b) Qual é a área das placas de um capacitor de
placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre
as placas?
(a) De acordo com a equação C = 4πε0 aba−b ,
C =
1
8, 99× 109 N ·m2/C2
40, 0 mm · 40, 0 mm
40, 0 mm− 38, 0 mm
= 84, 5 pF.
(b) Vamos chamar de A a área das placas. Nesse caso, C = ε0A/(b−a)
e
A =
C(b− a)
ε0
=
84, 5× 10−12 F(40, 0 mm− 38, 0 mm)
8, 85× 10−12 C2/N ·m2
3
7. Qual é a capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas
esféricas de mercúrio com 2,00 mm de raio?
Se R é o raio de uma das gotas, quando as gotas se fundem, o volume
passa a ser V = 2(4π/3)R3 e o raio da nova gota, R
′
, é dado por
4π
3
(R
′
)3 = 2
4π
3
R3 ⇒ R′ = 21/3R.
A nova capacitância é
C
′
= 4πε0R
′
= 4πε02
1/3R = 5, 04πε0R.
Para R = 2,00 mm, obtemos
q = CeqV = 3CV = 3 · 25, 0 µF · 4.200 V = 0, 315 C = 315 mC.
8. Determine a capacitância equivalente do circuito da �gura abaixo para
C1 = 10, 0 µF, C2 = 5, 00 µF e C3 = 4, 00 µF.
A capacitância equivalente é
1
Ceq12
=
1
C1
+
1
C2
=
1
10, 0 µF
+
1
5, 00 µF
⇒ Ctextrmeq12 =
10, 0
3, 00
µF.
Ctextrmeq = Ctextrmeq12 + C3 =
10, 0
3, 00
µF + 4, 00 µF = 7, 33 µF.
9. Determine a capacitância equivalente do circuito da �gura abaixo para
C1 = 10, 0 µF, C2 = 5, 00 µF e C3 = 4, 00 µF.
4
A capacitância equivalente é
Ceq12 = C1 + C2 = 10, 0 µF + 5, 00 µF = 15, 0 µF.
1
Ctextrmeq
=
1
Ctextrmeq12
+
1
C3
=
1
15, 0 µF
+
1
4, 00 µF
⇒ Ceq = 3, 16 µF.
10. Quantos capacitores de 1, 00 µF devem ser ligados em parapelo para
armazenar uma carga de 1,00 C com uma diferença de potencial de 110
V entre as placas dos capacitores?
A capacitância equivalente é dada por Ceq = q/V , na qual q é a carga
total dos capacitores e V é a diferença de potencial entre os terminais
dos capacitores. No caso de N capacitores iguais em paralelo, Ceq =
NC, na qual C é a capacitância de um dos capacitores. Assim, NC =
q/V e
N =
q
V C
=
1, 00 C
110 V · 1, 00× 10−6F
= 9.09× 103.
11. Os três capacitores da �gura abaixo estão inicialmente descarregados
e têm uma capacitância de 25, 0 µF. Uma diferença de potencial V =
4200 V entre as placas dos capacitores é estabelecida quando a chave é
fechada. Qual é a carga total que atravessa o medidor A?
A carga que atravessa o medidor A é
q = CeqV = 3CV = 3 · 25, 0 µ F · 4.200 V = 0, 315 C = 315 mC.
12. Um capacitor de 2, 0 µF e um capacitor de 4, 0 µF são ligados em
paralelo a uma fonte com uma diferença de potencial de 300 V. Calcule
a energia total armazenada nos capacitores.
A energia total é a soma das energias armazenadas nos dois capacitores.
Como os capacitores estão ligados em paralelo, a diferença de potencial
entre os terminais dos capacitores é a mesma e a energia total é
U =
1
2
(C1+C2)V
2 =
1
2
(2, 0×10−6 F+4, 0×10−6 F)(300 V)2 = 0, 27 J.
5
13. Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com
uma diferença de potencial de 600 V. A área das placas é 40 cm2 e a
distância entre as placas é 1,00 mm. Determine (a) a capacitância, (b) o
valor absoluto da carga em uma da splacas, (c) a energia armazenada,
(d) o campo elétrico na região entre as placas e (e) a densidade de
energia na região entre as placas.
a) A capacitância é
C =
ε0A
d
=
8, 85 pF/m · 40× 10−4m2
1, 0× 10−3 m
= 35 pF.
b) q = CV = 35 pF · 600 V = 21 nC.
c) U = CV 2/2 = 35 pF · (600 V)2 = 6, 3 µJ.
d) E = V/d = (600 V)/(1, 0× 10−3 m) = 6, 0× 105 V/m.
e) A densidade de energia (energia por unidade de volume) é
u =
U
Ad
=
6, 3× 10−6 J
40× 10−4 m2 · 1, 0× 10−3 m
= 1, 6 J/m3.
14. Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 kW ·
h com uma diferença de potencial de 1000 V?
A energia armazenada por um capacitor é dada por U = CV 2/2, na qual
V é a diferença de potencial entre os terminais do capacitor. Vamos
converter para joules o valor da energia dado no enunciado. Como 1
joule equivale a 1 watt por segundo, multiplicamos a energia em kW ·
por (103 W/kW)(3600 s/h) para obter 10 kW·h = 3,6 × 107 J. Assim,
C =
2U
V 2
=
2 · 3, 6× 107 J
(1.000 V)2
= 72 F.
15. Qual é a energia armazenada em 1, 00 m3 de ar devido ao campo elétrico
em um dia de "tempo bom", que tem um módulo da ordem de 150
V/m?
Se V é o volume de ar, a energia armazenada, de acordo com as equações
U = UAd
= CV
2
2Ad
e u = 1
2
ε0E
2, é dada por
U = uV =
1
2
ε0E
2V =
1
2
8, 85× 10−12 F/m · (150 V/m)2 · 1, 00 m3
U = 99, 6 nJ.
6
16. Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma ca-
pacitância de 50 pF. (a) Se a área das placas é de 0,35 m2, qual é a
distância entre as placas? (b) Se a região entre as placas é preenchida
por um material com κ = 5, 6, qual é a nova capacitância?
a) Como C = ε0A/d, temos
d =
ε0A
C
=
8, 85 pF/m · 0, 35 m2
50 pF
= 6, 2 cm.
b) A nova capacitância é
C1 = κC = 5, 6 · 50 pF = 0, 28 nF.
17. Dado um capacitor de 7,4 pF cujo dielétrico é o ar, você recebe a
missão de convertê-lo em um capacitor capaz de armazenar até 7,4 µJ
com uma diferença de potencial máxima de 652 V. Que dielétrico da
tabela anexa você usaria para preencher o espaço entre as placas se não
fosse permitida nenhuma margem de erro?
A capacitância com o dielétrico no lugar é dada por C = κC0, na qual
C0 é a capacitância sem o dielétrico. Como a energia armazenada é
dada por U = CV 2/2 = κC0V 2/2, temos
κ =
2U
C0V 2
=
2 · 7, 4× 10−6 J
7, 4× 10−12 F · (652 V)2
= 4, 7.
De acordo com a Tabela anexa, você deveria usar pirex.
18. Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capaci-
tância de 1,3 pF. A distância entre as placas é mutiplicada por dois e o
espaço entre as placas é preenchido com cera, o que faz a capacitância
aumentar para 2,6 pF. Determine a constante dielétrica da cera.
Se a capacitância original é dada por C = ε0A/d, a nova capacitância é
C
′
= κε0A/2d, na qual κ é a constante dielétrica da cera. Assim, C
′
/C
= κ/2, o que nos dá
κ =
2C
′
C
=
2 · 2, 6 pF
1, 3× pF
= 4, 0.
19. Um cabo coaxial usado em uma linha de transmissão tem um raio
interno de 0,10 mm e um raio externo de 0,60 mm. Calcule a capaci-
tância por metro do cabo, supondo que o espaço entre os condutores
seja preenchico com poliestireno.
7
De acordo com a equação C = 2πε0 Lln(b/a) , a capacitância de um capa-
citor cilíndrico é dada por
C = κC0 = 2πκε0
L
ln(b/a)
,
na qual κ é a constante dielétrica, C0 é a capacitância sem o dielétrico, L
é o comprimento, a é o raio interno e b é o raio externo. A capacitância
por unidade de comprimento do cabo é
C
L
= 2πκε0
1
ln(b/a)
= 2π8, 85 pF
1
ln(0,60 mm
0,10 mm)
= 81 pF/m.
Propriedades de alguns dielétricos
Material Constante Rigidez
Dielétrica κ Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm) 1,00054 3
Poliestireno 2,6 24
Papel 3,5 16
Óleo de transformador 4,5
Pirex 4,7 14
Mica rubi 5,4
Porcelana 6,5
Silício 12
Germânio 16
Etanol 25
Água (20 ◦C) 80,4
Água (25 ◦C) 78,5
Titânia 130
Titanato de estrôncio 310 8
Para o váculo, κ = 1.
8