Matemática Comercial & Financeira_ fundamentos e aplicações

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Matemática Comercial 
& Financeira
F U N D A M E N T O S E A P L I C A Ç Õ E S
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Editor-Chefe da Eduem: Prof. Dr. Alessandro de Lucca e Braccini. 
Nelson Martins Garcia
Matemática Comercial 
& Financeira
F U N D A M E N T O S E A P L I C A Ç Õ E S
Prefácio 
Doherty Andrade
Maringá
2011
Copyright © 2011 para Nelson Martins Garcia
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo mecânico, eletrônico, 
reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor.
Todos os direitos reservados desta edição 2011 para Eduem.
Revisão textual e gramatical: João Bacellar de Siqueira
Projeto gráfico/diagramação: Marcos Kazuyoshi Sassaka
Imagens: fornecidas pelo autor
Capa - arte final: Jaime Luis L. Pereira
Ficha catalográfica: Edilson Damasio (CRB 9-1123)
Tiragem - versão impressa: 500 exemplares
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) 
(Eduem - UEM, Maringá – PR., Brasil)
G216m Garcia, Nelson Martins 
Matemática comercial & financeira : fundamentos e aplicações ; prefácio Doherty Andrade / 
Nelson Martins Garcia. -- Maringá : Eduem, 2011.
323 p. : il. 
 
ISBN 978-85-7628-368-3
1. Matemática financeira. 2. Análise de investimentos. 3. Engenharia econômica. 4. Dinheiro - 
Valor no tempo. 5. Taxa de juros. 6. Tabela Price. 7. Financiamento e capitalização. I. Título.
CDD 21. ed. 650.01513
513.93
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SUMÁRIO
Apresentação ......................................................................................... 7
Prefácio .................................................................................................. 8
1. Introdução ........................................................................................ 9
2. Razões e Proporções ........................................................................ 12
3. Divisão Proporcional de um Número .............................................. 17
4. Regra de Sociedade .......................................................................... 19
5. Taxa de Porcentagem e Porcentagem .............................................. 22
6. Acréscimo e Decréscimos ................................................................ 27
7. Acréscimos e Decréscimos Sucessivos ............................................ 30
8. Operações Comerciais de Compra e Venda ..................................... 35
9. Descontos e Descontos Sucessivos .................................................. 39
10. Imposto de Renda, Retido na Fonte de Pessoa Física ...................... 42
11. Cálculo do INSS na Folha de Pagamento ........................................ 47
12. Cálculo do ICMS nas Contas de Luz e Telefone ............................. 49
13. Atualização Monetária e Correção Monetária ................................. 53
14. Mudanças do Padrão Monetário Brasileiro...................................... 61
15. Valores Monetários na História do Brasil ........................................ 66
16. Inflação e Atualização Monetária ..................................................... 69
17. O Dinheiro Brasileiro ....................................................................... 74
18. Capital em Matemática Financeira .................................................. 79
19. Correção Monetária ......................................................................... 81
20. Origem da Palavra Juro .................................................................... 85
21. Juro Remuneratório e Moratório ...................................................... 87
22. Cálculo de Juro Simples sobre Capital Nominal ............................. 90
23. Cálculo de Juro Simples sobre Capital Atualizado .......................... 95
24. Cálculo do Montante Simples – Nominal e Atualizado ................... 99
25. O Método Hamburguês nos Juros Bancários ................................... 102
26. A Inconsistência de Taxas sem Limitações ...................................... 105
27. Teoria do Crédito Rotativo – Cheque Especial ................................ 107
28. Desconto Simples............................................................................. 112
29. Taxa Efetiva de Juro ......................................................................... 116
30. Equivalência de Capitais por Capitalização Simples ....................... 118
31. Equivalência de Conjuntos de Capitais – Simples ........................... 124
32. Modelo de Financiamento com Prestações Constantes – Transporte 
Comercial Simples ........................................................................... 128
33. Cálculo de Juro Simples pelo Prazo Médio ..................................... 131
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
6
34. Cálculo de Juro Simples pela Taxa Média ....................................... 133
35. Fracionamento do Tempo em Capitalização Simples ...................... 135
36. Regime de Capitalização Composta ................................................ 139
37. Montante e Juros Compostos – Capital Atualizado ......................... 146
38. Taxas de Juro – Efetivas e Nominais ............................................... 150
39. Equivalência entre Taxas de Juro ..................................................... 154
40. Relação entre Taxa de Juro Simples e Composto ............................ 157
41. Desconto Composto ......................................................................... 160
42. Equivalência entre Capitais – Regime Composto ............................ 166
43. Consistência da Equivalência entre Capitais – Regime Composto . 169
44. Equivalência entre Conjuntos de Capitais ....................................... 172
45. Depreciação Sucessiva ou Composta............................................... 176
46. Modelo Básico de Financiamento .................................................... 180
47. Modelo Básico de Capitalização ...................................................... 195
48. Planos de Amortização de Empréstimos .......................................... 206
49. Sobre o Anatocismo nos Planos de Financiamento ......................... 221
50. Regime de Capitalização Contínua .................................................. 229
51. Perpetuidade – Infinidade de Prestações ou Parcelas ...................... 236
52. ValorPresente e Futuro por Capitalização Contínua ....................... 239
53. Sistema Price com Prestações Corrigidas........................................ 246
54. Valor Atual de um Fluxo Uniforme de Capitais............................... 250
55. Valor Futuro de um Fluxo Uniforme de Capitais............................. 254
56. Noções de Análise de Investimentos................................................ 258
57. Cálculos Práticos na Internet ........................................................... 264
Apêndice ................................................................................................ 270
1. A eternidade da dívida externa brasileira ......................................... 271
2. Como nascem as riquezas no mundo à custa dos países emergentes 
– O oráculo de Omaha ou o calvário dos miseráveis? ..................... 275
3. O suplício da classe média brasileira ............................................... 278
4. Aposentadoria do professor universitário ........................................ 282
5. Plano de Demissão Voluntária da Aposentadoria – PDVA – ou 
Carrapato da Sociedade? .................................................................. 292
6. Polícia rodoviária pública e pedágios .............................................. 297
7. Professores universitários – salários calamitosos ............................ 300
8. Como zerar o IR da pessoa física ..................................................... 302
9. Professor universitário – profissão filantrópica................................ 304
10. Sacrifício antes do prazer ou o contrário? ........................................ 310
11. Previdência deficitária: a grande farsa ............................................. 313
12. Tabelas financeiras ........................................................................... 315
13. Respostas dos exercícios .................................................................. 317
14. Sugestões metodológicas de ensino ................................................. 322
Referências ............................................................................................ 323
7
Apresentação
As altas e distorcidas taxas de juros incorporam riquezas aos patrimônios 
individuais e no futuro nada conseguirá equacionar essa concentração 
absurda de riquezas.
Maringá, dezembro de 2005.
Este livro tem como horizonte um Curso de Licenciatura em Matemática à 
distância, após ser utilizado intensamente na disciplina presencial de Matemática 
Financeira da UEM há mais de dez anos, com sensível sucesso.
Optamos por lições em capítulos para facilitar os estudos sem a presença 
de um professor, mas também poderão ser aplicados em aulas presenciais.
Os conceitos atinentes estão apresentados, com um rigor desejável em 
Matemática e para uma boa compreensão do conteúdo. O desenvolvimento 
requer apenas máquina simples científica que, apesar de dificultar o 
desenvolvimento de cálculos mecânicos, julgamos que os conceitos ficam 
mais explícitos e assimiláveis para a compreensão da construção das fórmulas 
ou equações. A vantagem é que as fórmulas são explicadas de forma que cada 
um consiga montar planilhas eletrônicas pessoais, na forma mais conveniente 
para seu trabalho de cálculos financeiros.
O conjunto de todos os fascículos pode ser exposto e compreendido, com 
aulas ou orientações em 60 horas de estudos.
O apêndice é composto de artigos e sugestões para leituras extras, onde se 
exploram as contradições consideradas “tabus” para a maioria da população 
que não domina a Matemática Financeira. Por vezes optamos pela “ironia 
construtiva” para atingir objetivos e recados subjacentes.
8
Prefácio
No mundo capitalista em que vivemos, saber utilizar a sua principal ferramenta, 
a moeda, é questão fundamental. Os conceitos envolvidos na matemática 
financeira incluem desde as mais simples operações de adição e multiplicação até 
exponenciais, logaritmos, limites e cálculo diferencial e integral.
Essas ferramentas matemáticas tanto servem para estabelecer com precisão 
as relações matemáticas entre os diversos entes financeiros quanto para afastar 
o inocente usuário, pois o vocabulário não é acessível a todos. Só para citar um 
exemplo simples, quantas vezes já tivemos a necessidade de investigar a taxa 
absurda de juros que foi embutida em uma prestação? Todos os segredos da 
matemática financeira estão desvendados aqui nesse excelente livro. Além disso, 
o livro possui rigor de linguagem e de matemática elogiáveis.
O Prof. Nelson Martins Garcia teve a paciência de explicar assuntos pouco 
apresentados nos livros de matemática financeira: análise de vantagens e 
desvantagens, e os fatores considerados “imponderáveis” ou “irredutíveis”. Como 
exemplos de fatores imponderáveis, citamos valor de estima, prestígio, imagem 
pessoal e da empresa, satisfação por parte dos empregados e receptividade de 
clientes. A credibilidade, pessoal ou empresarial, é tratada nos dias de hoje 
como um fator mensurável, embora possamos dizer que se trata de um fator 
imponderável. 
Um texto instigante como esse não seria completo se nele não contivesse 
alguma crítica ao sistema financeiro nacional. De acordo com o Professor Nelson, 
as “altas e distorcidas taxas de juros, incorporam riquezas aos patrimônios 
individuais e no futuro nada conseguirá equacionar essa concentração absurda de 
riquezas”. 
Outras questões, também importantes, como poupança e previdência são 
abordadas nesse livro. Essas questões são de fundamental importância para a 
educação fiscal do cidadão comum e, principalmente, do futuro professor. O livro, 
em seus 57 capítulos objetivos e bem distribuídos, contém inúmeros exercícios, 
exemplos com dados reais e informações oficiais. O livro também traz um apêndice 
com diversos artigos relacionados ao assunto que vão desde a dívida externa do 
Brasil e dos países subdesenvolvidos, exploração dos pobres pelos países ricos, 
fundos de pensão, planos de demissão voluntária, entre outros.
Doherty Andrade 
Professor Associado - Departamento de Matemática da UEM
9
1
Introdução
Abordaremos, neste texto, alguns fundamentos e aplicações de Matemática 
Financeira. Daremos ênfase às construções das fórmulas e menos prioridade 
aos cálculos, posto que estes envolvem apenas manipulação de máquinas 
programáveis.
Seria interessante que o leitor acompanhasse o texto, resolvendo os 
exercícios com uma máquina científica “simples”. Pois, além de ser mais 
acessível em termos do preço, é possível perceber como funcionam as 
construções algébricas.
A Engenharia Econômica pode ser entendida como um conjunto de 
conhecimentos necessários à tomada de decisão, em investimentos em 
geral. O estudo de Engenharia Econômica se aplica às diversas áreas, tais 
como, em problemas de transporte de materiais e avaliação de alternativas de 
investimentos.
Na análise de vantagens e desvantagens, questões mais complexas 
de Engenharia Econômica, são fatores considerados “imponderáveis” ou 
“irredutíveis”. Como exemplos de fatores imponderáveis, podemos citar: valor 
de estima, prestígio, imagem pessoal e da empresa, satisfação por parte dos 
empregados e receptividade de clientes. A credibilidade, pessoal ou empresarial, 
é tratada nos dias de hoje como um fator mensurável, embora possamos dizer que 
se trata de um fator imponderável.
Geralmente, a unidade de medida usual na análise de alternativas e em 
negócios é a unidade monetária, ou seja, o dinheiro.
No transcorrer dos capítulos, desenvolveremos conceitos da Matemática 
Financeira e serão aplicados em contextos atuais.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
10
Um corolário geral deste trabalho é que as taxas de juros praticadas 
no Brasil, desde o início do Plano Real, deixaram marcas negativas para 
muitas gerações, independentemente de medidas atenuadoras que venham 
a ser tomadas. As “altas e distorcidas” taxas de juros incorporam riquezas 
aos patrimônios individuais que, no futuro, nadaconseguirá equacionar 
essa concentração absurda de riquezas. Certamente, as futuras gerações 
de brasileiros receberão monstruosas dívidas públicas, matematicamente 
impagáveis.
A matemática financeira é a ciência que estuda o “valor do dinheiro no tempo”, 
pois um capital não é um valor estático. Ao contrário, é dinâmico e constitui um 
fluxo no tempo, uma vez que sempre estará submetido à influência de alguma taxa 
de juro ou atualização.
O valor real de um capital é seu “poder de compra” em relação a bens e 
serviços. Imagine uma pessoa que tenha um capital monetário aplicado na bolsa 
de valores. A cada dia seu capital tem um valor nominal diferente, maior ou menor, 
dependendo das variações dos valores das ações.
Os capítulos iniciais se referem à Matemática Básica e poderão ser dispensados, 
dependendo do nível de conhecimento dos alunos. Suas inclusões possibilitam 
consultas, quando necessárias, e apresentam os conceitos de forma mais rigorosa 
que em muitos textos existentes nessa área.
A verbalização de situações políticas e jurídicas alertará às pessoas que a 
Matemática é antecedida de decisões que podem modificar as interpretações 
de fenômenos financeiros. Na frieza dos números tudo pode ser explicado e a 
culpa dos erros e acertos certamente não está na Matemática Financeira e sim nas 
decisões e ambições erráticas.
Desenvolvemos os tópicos sempre baseados em problemas práticos e com 
exemplos do cotidiano das pessoas. Logo, o leitor encontrará noções e problemas 
ausentes na maioria dos livros de Matemática Financeira. Citamos, por exemplo, 
juros sobre capitais atualizados. Incluímos informações jurídico-financeiras, 
focando principalmente o anatocismo e a consistência da equivalência de capitais 
por transportes no regime de juros compostos.
Não se encontra neste texto nenhuma originalidade em termos de conceitos 
e resultados de Matemática Financeira, mas, certamente, apresenta interpretações 
peculiares em vários assuntos. 
11
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Último recado: um livro de Matemática Financeira não é para ser apenas 
lido. A leitura deve ser acompanhada do refazer dos exemplos e resolvendo 
os exercícios com atenção. Isso possibilitará ao leitor uma melhor fixação dos 
conceitos e situações.
12
2
Razões e Proporções
•	 Razão
Uma razão é o quociente entre dois números reais. Mais especificamente, 
dados a e b com 0b ≠ números reais, a razão de a para b é o quociente 
a
b
. Frequentemente se chama o número a de antecedente e b de consequente. 
Dizemos também que duas razões são razões inversas, quando o antecedente de 
uma é igual ao consequente da outra, e vice-versa.
Exemplos 2.1
•	 A razão de 5 para 10 é: 
5
10
 e as razões 
5
10
 e 
10
5
 são razões inversas;
•	 É comum na linguagem cotidiana ser enunciadas razões. Por exemplo, se 
temos dois jornais A e B , com 1.000 e 2.000 leitores respectivamente, 
então dizemos que as razões 
1000
2000
 e 
2000
1000
 indicam as razões de leitores 
de um jornal para o outro.
•	 Proporção
Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Dadas duas razões 
a
b
 e 
c
d
, temos uma proporção se, 
a c
b d
 e leia-se: “ a está para b assim como c 
está para ”. Os números a e d são chamados os extremos, e b e c os meios 
da proporção.
13
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Propriedade fundamental das proporções: em uma proporção o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos:
a c a d b c
b d
= ⇔ × = × .
Exemplo 2.2
Como no exemplo anterior, temos que 
1000 1
2000 2
A
B
= = , pois, 
2 1000 1 2000× = × . Portanto, há um leitor do jornal A para cada dois leitores 
do jornal B .
Analogamente, tem-se que 
2000 2
1000 1
= = , ou pode-se dizer que o jornal B 
tem o dobro de leitores do jornal A .
Em outras palavras, dizemos que os leitores do jornal A estão para os leitores 
do jornal B , assim como 1 está para 2.
•		 Transformação de proporção
Em resolução de problemas é útil transformar uma proporção em outra mais 
conveniente. Esse processo se dá por meio de operações algébricas adequadas, a 
partir de uma proporção fixa.
Dada uma proporção 
a c
b d
= , obtemos novas proporções.
(2.1) a c a
b d b
+
=
+
, para tanto fazemos:
a c a d b c a d a b b c a b a b d
b d
( )= ⇒ × = × ⇒ × + × = × + × ⇒ × + =
a a cb a c
b b d
( ) +× + ⇒ =
+
 .
De forma semelhante, ficando como exercício, pode-se deduzir outras 
transformações:
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
14
(2.2) a c a
b d b
−
=
−
; (2.3) a c c
b d d
−
=
−
; (2.4) a c c
b d d
+
=
+
;
(2.5) a b c d
a c
+ +
= ; (2.6) a b c d
b d
+ +
= ; (2.7) a b c d
a c
− −
=
(2.8) − −=a b c d
b d
.
Os resultados citados sobre transformações de proporções se estendem para 
uma sequência arbitrária de razões. Por exemplo,
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
+ +
= = ⇒ = = =
+ +
.
•	 Proporcionalidade – simples e composta
Dadas as sequências numéricas 1 2 3A a a a( , , , )= ⋅⋅ ⋅ , 1 2 3B b b b( , , , )= ⋅⋅ ⋅ e 
1 2 3C c c c( , , , )= ⋅⋅ ⋅ , podemos formular os conceitos de proporcionalidade direta, 
inversa e composta.
a) A sequência A é diretamente proporcional à sequência B , com coeficiente 
de proporcionalidade k se:
31 2
1 2 3
aa a k
b b b
= = = ⋅⋅ ⋅ = .
b) A sequência A é inversamente proporcional à sequência B , com 
coeficiente de proporcionalidade k se:
31 2
1 1 2 2
1 2 3
1 1 1
aa a k a b a b k
b b b
= = = ⋅⋅ ⋅ = ⇔ × = × = = .
c) A sequência A é diretamente proporcional a B e C , de forma composta, 
com coeficiente de proporcionalidade k se:
31 2
1 1 2 2 3 3
aa a k
b c b c b c
= = = ⋅⋅ ⋅ =
× × ×
.
15
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
d) A sequência A é inversamente proporcional a B e C , 
de forma composta, com coeficiente de proporcionalidade k , se: 
31 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1
aa a k
b c b c b c
= = = ⋅⋅ ⋅ = ⇔
× × × 
1 1 1 2 2 2 3 3 3a b c a b c a b c k× × = × × = × × = ⋅⋅ ⋅ = .
e) A sequência A é proporcional a B e C , de forma composta, direta a B 
e inversa a C , com coeficiente de proporcionalidade k se:
31 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1
aa a k
b b b
c c c
= = = ⋅⋅ ⋅ =
× × ×
.
Exemplo 2.3
Encontrar x e y na proporção dada por 
3 5
x y
= e supondo que 
80x y+ = .
A solução logicamente pode ser obtida por um sistema 2 2× , mas podemos 
utilizar as transformações (2.1) e (2.2) dadas antes:
80 30
8 3
803 5 3 5 3 5 50
8 5
x x
x y x y x y
y y
 = ⇒ =+ = ⇒ = = ⇒ 
+  = ⇒ =

Exercícios
2 1E . – Deduzir as transformações de proporções: (2.2); (2.3); (2.4); (2.5); (2.6) 
e (2.7).
2 2E . – Utilize a noção de razão e proporção para construir exemplos e definir o 
conceito de escala.
2 3E . – Utilize a noção de razão e proporção para construir exemplos e definir o 
conceito de densidade demográfica.
2 4E . – Encontre dois números positivos, com razão entre eles de 4 5: e o 
produto entre os mesmo sendo 64.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
16
2 5E . – As torcidas do Santos e do Corinthians compareceram ao estádio na 
razão de 3 para 4. Se 77.000 é o número de torcedores presentes, quantos 
eram os santistas?
17
3
Divisão Proporcional de um Número
A divisão de um número real a em partes proporcionais é uma n-upla 
de números reais 1 2 nA a a a( , , , )= ⋅⋅ ⋅ que se enquadra em uma das situações de 
proporcionalidade dos itens anteriores e satisfaça:
1 2 na a a a= + + ⋅⋅⋅+ .
Exemplo 3.1
Suponha que duas cidades limítrofes decidem dividir o custo de 
10 000 000 00$ . . ,R (dez milhões de reais) da construção de uma ponte. 
Como critério de divisão foi acordado que o custo seria dividido em partes 
de proporcionalidade composta, sendo direta às suas populações e inversa às 
distâncias que as separam da ponte.
Com base no quadro de dados abaixo, encontre quanto caberá a cada cidade.
Cidade População Distância da ponte
A 150.000 30 km
B 220.000 11 km
Para resolver esta questão,devemos modelar o critério pelo conceito (e) do 
parágrafo anterior. Assim, temos que:
(3.1) 10 000 000A B . .+ = e (3.2) 
1 1150 000 220 000
30 11
A B
. .
=
× ×
. Esta 
última proporção, simplificando os denominadores, equivale à proporção: 
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
18
5 20 1 4
A B A B
= ⇔ = .
Usando a transformação (2.1), temos que: 
1 4 1 4
A B A B+
= =
+
.
Portanto, substituindo o resultado da equação (3.1) nestas duas últimas 
proporções, concluímos que,
000 000 00$ 2. . ,A R= e 8 000 000 00$ . . ,B R= .
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
3 1E . – Divida um número N em três partes ,x y e z , diretamente proporcionais 
a ,p q e r e mostre que: N px
p q r
×
=
+ +
. Similarmente encontre os 
valores de x e y
3 2E . – Divida o capital de 200 000 00$ . ,R para duas pessoas, em partes 
inversamente proporcionais a 
1
3
 e 
1
5
.
3 3E . – Divida o capital de 990 000 00$ . ,R em partes de proporcionalidade 
composta, direta a ( )2 2 3, , e inversa a ( )5 4 4, , .
3 4E . – Dois números reais satisfazem 
3
4
x
y
= e 21 000x y .+ = . Determine 
esses números.
3 5E . – Um capital de 38 000 00$ . ,R foi divido em partes inversamente 
proporcionais a ( )2 5 4, , . Qual o valor da maior parte?
19
4
Regra de Sociedade
Em geral, se duas ou mais pessoas se unem para formar uma sociedade com 
fins lucrativos de qualquer natureza, no final de um período ou no fechamento 
da empresa os sócios precisam dividir os lucros ou prejuízos auferidos. É 
frequente ser acordado que a divisão seja proporcional à composição do 
capital e o tempo de participação de cada um, na participação na empresa. 
Por mais complexa que seja uma empresa, pequena, média ou grande, temos 
somente três casos a caracterizar:
1º Caso
Os sócios com capitais diferentes e tempos de participação iguais. Neste 
caso, os lucros ou prejuízos serão divididos proporcionalmente aos capitais 
investidos.
2º Caso
Os sócios com capitais iguais e tempos de participação diferentes. Neste 
caso, os lucros ou prejuízos serão divididos proporcionalmente aos tempos de 
investimentos.
3º Caso
Os sócios com capitais diferentes e tempos diferentes de participações. 
Neste caso, os lucros ou prejuízos serão divididos proporcionalmente, de forma 
composta, aos capitais e tempos de investimentos.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
20
Exemplo 4.1
Um empreendedor A iniciou uma empresa com um capital de 
2 000 000 00$ . . ,US . No final do décimo mês de funcionamento admitiu um 
novo sócio B , o qual ingressou com um capital de 4 000 000 00$ . . ,US . 
Passados 24 meses, desde o início da empresa, o negócio gerou um lucro de 
2 000 000 00$ . . ,US . Calcule a parte do lucro que coube a cada sócio.
A questão dada envolve apenas os capitais e os tempos investidos, pois o 
trabalho de cada sócio, por exemplo, é outra questão de análise não abordada 
aqui. Para visualizar melhor a situação proposta, colocamos:
Sócio Capital Tempo aplicado
A 2 000 000 00$ . . ,US 24 meses
B 4 000 000 00$ . . ,US 14 meses
Se identificarmos AL como o lucro do sócio A e BL o lucro do sócio 
B , então temos:
2 000 000A BL L . .+ = e 2 000 000 24 4 000 000 14
A BL L
. . . .
=
× ×
.
Fazendo as devidas simplificações obtemos,
2 000 000A BL L . .+ = e 6 7 6 7 6 7
A B A B A BL L L L L L+= ⇒ = =
+
. O que nos 
fornece:
2 000 000 923 076 92
13 6
2 000 000 1 076 923 08
13 7
. . $ . ,
. . $ . . ,
A
A
B
B
L L US 
L L US 
 = ⇒ ≈

 = ⇒ ≈

Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
21
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
4 1E . – Em uma sociedade um sócio entrou com 2 5 do capital durante 3 4 
do tempo, e o outro sócio entrou com o resto do capital durante 2 3 do 
tempo. Ocorrendo um prejuízo de 49 210 00$ . ,R , calcule o prejuízo 
que coube a cada sócio.
4 2E . – Duas pessoas fundaram uma sociedade. Três meses depois admitiram 
um sócio e, sete meses depois da entrada do terceiro, aceitam um quarto 
sócio. Sabendo-se que todos entraram com capitais nominalmente iguais, 
calcular a parte do quarto sócio no lucro de 227 835 00$ . ,R , verificados 
dois anos após a fundação da sociedade.
4 3E . – Considere uma sociedade com dois sócios A e B , com capital social 
de 210 000 00$ . ,R . A metade do capital investido por A é igual a 1 5 
do capital investido por B . Qual o capital investido por cada sócio?
4 4E . – Um pai deixou um capital de 500 000 00$ . ,R a seus dois únicos 
herdeiros, 1H com 30 anos e 2H com 20 anos , com a condição de 
que o capital fosse dividido inversamente proporcional às idades dos 
herdeiros. Qual é o valor que coube a cada um?
4 5E . – Resolva o exercício anterior, com a condição de que a divisão seja 
diretamente proporcional às idades.
22
5
Taxa de Porcentagem e Porcentagem
•	 Taxa de porcentagem
Uma razão centesimal é uma razão com denominador igual a 100 e taxa 
de porcentagem é toda razão centesimal. Para representar as razões centesimais 
usamos o símbolo %, que se lê: “por cento”.
Temos as seguintes representações para taxa de porcentagem: centesimal, 
decimal e fracionária. Por exemplo:
10 110 0 1
100 10
% ,= = = e 6161 0 61
100
% ,= =
Os símbolos acima representam taxas de porcentagens e não porcentagens. 
Com isso, a princípio não podemos operar com esses símbolos e erroneamente 
pensar que: 10 61 71% % %+ = . Esta notação somente faz sentido quando as 
porcentagens se referem ao mesmo valor ou objeto. As expressões com o símbolo 
de porcentagem são relativas e não têm sentido dizer: “18% ”, pois a taxa de 
percentagem sempre deve ser seguida de alguma coisa. Por exemplo: “18% de 
tal valor” ou “18% de tal objeto”. É uma forma de se referir a uma parte bem 
definida de um todo.
•	 Porcentagem
Porcentagem é a fração centesimal de um todo, ou o resultado obtido quando 
aplicamos uma taxa de porcentagem a um valor. Podemos dizer x% de um valor 
dado, ou de um objeto de natureza diversa da numérica.
Por exemplo: 30% de uma pizza.
23
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
3 0 %
3 0 %
4 0 %
Recordando como se calcula 
2
3
 do valor 120? Calculamos por multiplicação: 
2 240120 80
3 3
× = = .
Para calcular uma porcentagem procedemos de duas maneiras:
•	 Na forma de fração centesimal,
20% de 120 é 20 2400120 24
100 200
× = = ;
•	 Na forma decimal ou direta,
20% de 120 é 0 20 120 24, × = .
Em geral, a porcentagem de um principal é dada por:
(5.1) P p i= × ,
onde P é a porcentagem procurada, p é o principal dado e i é a taxa de 
porcentagem dada.
Observe que na equação (5.1) temos 3 variáveis e qualquer uma delas pode 
ser determinada a partir de valores conhecidos das outras duas.
A porcentagem é largamente utilizada nos noticiários, relatórios ou análises, 
quando se quer avaliar a magnitude de uma quantidade ou o valor relativo de um 
número dado. Um número, por maior que seja, pode ser insignificante se comparado 
com outro. Assim, a porcentagem passa a ser uma medida de comparação.
Exemplo 5.2
Os ativos da PARANAPREVIDÊNCIA ultrapassaram 3 7$ ,R bilhões no 
início de 2005. Este é o patrimônio que deverá garantir no futuro o pagamento 
mensal de 88 mil beneficiários, entre inativos e pensionistas, vinculados atualmente 
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
24
à previdência pública do Estado do Paraná. Parece-nos um número estrondoso: 
três bilhões e setecentos milhões, mas esse valor, embora seja um valor financeiro 
muito grande se olhado isoladamente, é uma quantia ínfima se comparado, por 
exemplo, ao Produto Interno Bruto - PIB Brasileiro.
Para situar a magnitude desse número em relação ao PIB/2004 – Brasil veja 
o quadro a seguir:
A - PIB BRASILEIRO – 2004. 1 769 000 000 000 00$ . . . . ,R
B - ATIVOS DA PRPREVIDÊNCIA.3 700 000 000 00$ . . . ,R
A razão B
A
 fornece um PERCENTUAL de 0 21, %
Notem que o percentual de 0 21, % é menor que a CPMF - Contribuição 
Provisória de Movimentação Financeira de 0 38, % , extinta em 31/12/2007.
Exemplo 5.3
Quanto por cento de 1500 representa 525 ?
Para resolver, temos neste caso 1500p = e 525P = .
A taxa de porcentagem é dada por:
525 0 35 35
1500
Pi
p
, %= = = = .
•	 Taxa sobre Taxa
O que é usualmente chamada de taxa sobre taxa, na verdade é a determinação 
da porcentagem de um valor que já é a porcentagem de algo.
Exemplo 5.4
Quanto é 50% de 60% , de um valor p ? A resposta é 30% deste valor p , 
pois:
50 60 0 50 0 60 0 30
100 100
P p p p( , , ) , = × × = × × = × 
 
.
25
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
O que significa 30% do valor p . Também, podemos simplesmente 
multiplicar as duas taxas de porcentagem nas representações decimais.
Isso é válido para um número qualquer de porcentagens.
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
5 1E . – Temos as seguintes regras para determinar o número de deputados 
estaduais.
 Câmara Federal: O número de vagas que cada unidade da federação 
ocupa na Câmara Federal é proporcional à sua população, não podendo 
ser menor que 8 nem maior que 70.
 Assembléias Estaduais/Distrital: O número de vagas nas Assembléias 
Estaduais/Distrital (DF) é proporcional à população de cada UF e está 
relacionado ao número de vagas da UF na Câmara Federal.
 Cada deputado federal corresponde a três deputados estaduais e distritais, 
até que o número destes se iguale a 36, quando então, para cada deputado 
federal acima de 12, corresponderá igual número de deputados estaduais/
distrital.
 Determine o nº de deputados estaduais dos seguintes estados:
UF Senadores Dep. Federal Dep. Estadual
Paraná 3 30 ?
Santa Catarina 3 16 ?
Rio G. do Sul 3 31 ?
Rio de Janeiro 3 46 ?
São Paulo 3 70 ?
5 2E . – O Brasil investe atualmente em ciência e tecnologia um percentual do 
PIB de 0 75, % . Se decidisse investir 2 25, % do PIB em ciência e 
tecnologia, de quanto seria o aumento percentual aproximado sobre a 
aplicação?
5 3E . – Um jogador de futebol foi contratado legalmente com um salário fixo de 
350 000 00$ . ,R . Utilize somente os dados deste capítulo para encontrar 
o salário líquido deste jogador, caso tenha um desconto total de 27,42% 
do salário para a Previdência e IRRF.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
26
5 4E . – O Sr. João comprou um apartamento por 100 000 00$ . ,R e para 
escriturar o imóvel, sobre esse valor ele pagou mais 12% de imposto e 
3% para o corretor. Qual foi total desembolsado pelo Sr. João?
27
6
Acréscimos e Decréscimos
Dado um valor ou um objeto qualquer, um acréscimo é um valor ou um objeto 
de mesma espécie, que se adiciona ao valor ou objeto inicial. Por exemplo, quando 
adicionamos a metade de uma pizza em uma mesa que já tem uma, teremos uma 
pizza e meia.
Em finanças, comércio e investimentos, as grandezas envolvidas são 
sempre valores monetários ou mesmo numéricos que representam quantidades 
monetárias.
Quando é acrescido um valor negativo, dizemos que houve um decréscimo.
Para facilitar o entendimento e comparações é muito comum expressar um 
acréscimo ou decréscimo, em termos de um percentual do valor inicial.
Assim, dado um valor inicial p , um acréscimo com taxa i sobre p é dado 
por i p∆ = × e um decréscimo por i p( )∆ = − × .
A letra i representa a taxa de acréscimo ou taxa de decréscimo.
Exemplo 6.1
Certo funcionário Felisberto tem um salário mensal 480 00$ ,S R= e 
conseguiu um acréscimo 120 00$ ,R∆ = ao seu salário. Logo, seu novo salário 
será: 600 00$ ,SN R= .
Na linguagem financeira é importante referir-se ao acréscimo em termos de 
uma porcentagem do salário anterior.
O novo salário de Felisberto é dado por:
480 00 120 00 600 00$ , $ , $ ,SN S R R R= + ∆ = + = .
Como 120 0 25 480,∆ = = × , podemos também escrever:
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
28
( )0 25 1 0 25 480 00SN S S S, , ,= + ∆ = + × = + × .
De forma mais direta, podemos concluir:
600 1 25 1 0 25 25
480
i i, , %= = = + ⇒ = = .
Que é o percentual de acréscimo sobre o salário anterior.
Em geral, se temos um valor principal p , então ao se propiciar um acréscimo 
i p∆ = × neste principal, teremos um valor acrescido, determinado por:
1A p p i p i p( )= + ∆ = + × = + × .
Analogamente podemos ter um valor decrescido, determinado por:
1A p p i p i p( ) ( )= − ∆ = − × = − ×
O coeficiente 1( )i+ é chamado de fator de acréscimo, sendo i a taxa de 
acréscimo. De forma semelhante o coeficiente 1 i( )− é chamado de fator de 
decréscimo com i a taxa de decréscimo.
Na situação de fator de acréscimo ou decréscimo, usando a mesma notação 
1 i( )+ , temos três possibilidades:
•	 Caso 0i = , então não haverá acréscimo e A p= ;
•	 Caso 0i > , então haverá um acréscimo e A p> , pois o fator de acréscimo 
é 1 1i( )+ > ;
•	 Caso 0i < , taxa de acréscimo negativa, então temos um acréscimo 
negativo que é um decréscimo, pois o fator de acréscimo neste caso é 
1 1i( )+ < . Assim podemos dispensar o uso da notação 1 i( )− para o 
fator de decréscimo. Quando dissermos que i é uma taxa de decréscimo, 
podemos dizer que é uma taxa de acréscimo negativo.
Exemplo 6.2
Se as taxas de acréscimo são: 12%− ; 8%− ;12% ;89% ; 98% ; 115% e 
138% , então os fatores de acréscimos são respectivamente: 0 88, ; 0 92, ; 1 12, ; 
1 89, ; 1 98, % ; 2 15, e 2 38, .
Observe que os fatores menores que um significam decréscimos.
29
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
6 1E . – O salário mínimo passou de 300 00$ ,R para 420 00$ ,R . Qual foi o 
percentual de aumento nominal ocorrido?
6 2E . – Comprei uma bicicleta por 200 00$ ,R e a vendi em seguida por 
260 00$ ,R . De quantos por cento foi o meu lucro?
6 3E . – A multa pelo atraso do pagamento do condomínio de 2% foi de 
11 00$ ,R . Qual era o valor do condomínio sem a multa?
6 4E . – Um representante comercial, a título de comissão, retém 20 00$ ,R de 
cada 100 00$ ,R do total das vendas. Qual é o percentual que recebe 
sobre o valor repassado ao distribuidor dos produtos vendidos?
6 5E . – Um veículo está sendo vendido na promoção à vista, de 30 000 00$ . ,R 
por 25 000 00$ . ,R . Quais os percentuais de descontos sobre o preço 
promocional e sobre o preço inicial?
30
7
Acréscimos e Decréscimos Sucessivos
De forma análoga ao tópico de taxa sobre taxas, temos o fator de acréscimo 
aplicado seguidas vezes, que são chamados de fatores de acréscimos sucessivos.
Dado um valor inicial ou principal p , simbolicamente podemos montar os 
acréscimos sucessivos como segue:
•	 Como primeiro estágio, obtemos um acréscimo,
1 11A i p( )= + × ;
•	 No segundo estágio, obtemos o acréscimo,
2 2 1 2 21 1 1A i A i i p( ) ( ) ( )= + × = + × + × ,
 por substituição do valor 1A da equação anterior;
•	 Após n estágios, obtemos o acréscimo geral com fator de acréscimos 
sucessivos,
1 21 1 1 1ni i i i( ) ( ) ( )+ × + ×⋅⋅ ⋅× + = + .
A taxa resultante i é chamada de taxa total de acréscimo.
Observação
Se todas as taxas são iguais, isto é: 1 2 ni i i i= = = = , então o fator total de 
acréscimo é dado por:
1 21 1 1 1
n
ni i i i( ) ( ) ( ) ( )+ × + ×⋅⋅ ⋅× + = + .
É muito utilizado também o fator médio de acréscimo, que é obtido pela 
medida geométrica dos n -acréscimos dados:
1 21 1 1 1n ni i i i( ) ( ) ( )+ = + × + ×⋅⋅ ⋅× + .
31
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Exemplo 7.1 – Aumento Salarial
Foi acordado que o salário que certo empregado receberá durante 
no ano, terá três reajustes salariais de: 12% , 5% e 10% . Assim, o 
seu salário, ao terminar o ano, estará acrescido pelo fator multiplicativo: 
1 0 12 1 0 05 1 01 1 2936( , ) ( , ) ( , ) ,+ × + × + = .
O que se conclui é que o seu salário receberá um reajuste acumulado de 
29 36, % sobre o atual salário.
Por exemplo, se o salário desse empregado é de 1 000 00$ . ,R , então o seu 
novo salário, após os 3 reajustes, será de:
1 000 00 1 2936 1 293 60$ . , , $ . ,R R× = .
Exemplo 7.2 – Variação do Dólar
O quadro seguinte mostra a variação do valor do dólar americano, cotação 
para venda em relação ao real, no início de maio de 2005. Selecionamos esse 
histórico por questão de espaço, mas contas semelhantes podem ser feitas para 
qualquer período.
A título de informação e compreensão, esses são os valores pagos por 
importadores, para realizarem importações. É chamado de dólar comercial, preço 
de venda pelo Banco Central.
Pense um pouco: o que é venda para um é compra para outro. Aqui o 
referencial é o Banco Central do Brasil por ser oficialmente o responsável pela 
compra e venda de dólares.
Um exportador quando recebe o pagamento de suas vendas, ele troca 
(vende) os dólares por reais no Banco Central, e um importador, para realizar 
um pagamento das mercadorias compradas, deve comprar os dólares do 
Banco Central. Em todo caso o Banco Central é sempre o vendedor de 
dólares.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
32
Dólar Comercial Venda
Data Valor em R$ Decréscimo % Fatores
1/5/2005 2,531 1,0000
2/5/2005 2,515 0,6322% 0,9937
3/5/2005 2,501 0,5567% 0,9944
4/5/2005 2,477 0,9596% 0,9904
5/5/2005 2,469 0,3230% 0,9968
6/5/2005 2,459 0,4050% 0,9959
7/5/2005 2,459 0,0000% 1,0000
8/5/2005 2,459 0,0000% 1,0000
Fonte: www.debit.com.br e Folha de São Paulo
Como se observa na 2ª coluna do quadro, todos os dias houve decréscimos 
dos valores. Começando no dia 01/05/05, referencial inicial, os demais dias com 
taxas de decréscimos iguais a: 1 0 6322= , %i ; 2 0 5567= , %i ; 3 0 9596= , %i
; 4 0 3230= , %i ; 5 0 4050= , %i ; 6 0 0000= , %i e 7 0 0000= , %i . Assim, 
fazendo 1 i( )− para as taxas absolutas acima descritas, obtemos os fatores de 
decréscimos na 4ª coluna. Note que, multiplicando todos os fatores de decréscimos, 
teremos:
0 9937 0 9944 0 9904 0 9968 0 9959( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )× × × × ×
2 4591 0000 1 0000 0 9716
2 531
,( , ) ( , ) ,
,
× = = .
Fazendo as contas na máquina, nota-se uma pequena diferença no produto 
0 9716, em virtude de arredondamentos. Mais adiante voltaremos a falar de 
truncamentos e arredondamentos e quais as necessidades de aproximações 
decimais em finanças.
Convém mencionar que um decréscimo de 0% é igual a um acréscimo 
também nulo e o seu fator de acréscimo é igual ao fator de decréscimo que é 1, 
fica constante sem variação.
Exemplo 7.3 – Crescimento do PIB Brasil
No inicio de março de 2005, diversos meios de comunicação veicularam a 
seguinte notícia: O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil somou 1 769, bilhões de 
33
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
reais no ano de 2004, segundo dados do IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística. Em 2003, a soma de todas as riquezas produzidas no país, que é o PIB, 
havia ficado em 1 556, bilhões de reais. Portanto, o crescimento do PIB de 2004 
foi de 5,2% em relação a 2003.
Como se chega nessas contas, pelo quadro abaixo?
PIB – 2004 1 769 000 000 000 00$ . . . . ,R
PIB – 2003. 1 556 000 000 000 00$ . . . . ,R
FATOR DE CRESCIMENTO 1 1369,
O fator de crescimento, na tabela anterior, fornece uma taxa de crescimento 
de 13,69%. Por que razão então a notícia se refere a 5,2%? A resposta é que o 
cálculo do PIB em valores nominais leva em consideração uma inflação de 8,1%, 
calculada pelo IBGE. Este índice mede a variação média dos preços de toda a 
economia, incluindo as variações para o consumidor (IPCA) e no atacado (IPA).
Sobre o índice real de crescimento e seu cálculo, voltaremos a abordar mais 
adiante. Neste momento, a título de informação, dizemos que, para obter o índice 
real de crescimento, devemos “retirar” multiplicativamente o fator da inflação: 
1 1369 1 052
1 081
, ,
,
≈ . O que resulta numa taxa real de crescimento de 5 2, % .
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
7 1E . – A cesta básica de alimentos, na Cidade de São Paulo, sofreu três 
baixas de preços consecutivas de 10% . Se o valor inicial era de 
220 00$ ,R , qual será o seu novo valor?
7 2E . – Um funcionário receberá, sobre o valor do salário atual, cinco aumentos 
de 10% . Qual será o aumento percentual de seu salário?
7 3E . – Um funcionário receberá cinco aumentos consecutivos de 10% . Qual 
será o aumento percentual de seu salário?
7 4E . – Um funcionário teve aumentos salariais durante o ano. O seu salário 
de dezembro ficou 18% maior que o salário de janeiro. Se a inflação 
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
34
do mesmo ano foi de 9% , qual foi o aumento real aproximado do seu 
salário?
7 5E . – Comprei um objeto por 200 00$ ,R e em seguida o vendi por 
100 00$ ,R . Qual foi o percentual do meu prejuízo sobre o preço de 
venda do objeto?
35
8
Operações Comerciais de Compra e Venda
Em toda transação comercial, de compra, venda ou permuta de mercadorias, 
estão envolvidas três variáveis - O preço de venda, o preço de custo e o lucro - 
denotadas por:





vP = Preço de venda;
cP =Preço de custo;
L = Lucro.
Assim podemos considerar a equação geral do comércio:
(8.1) v c v c c vL P P P P L P P L= − ⇔ = + ⇔ = − .
Caso 0L < tem-se uma operação com prejuízo ou também chamado de lucro 
negativo.
Deve-se observar que no comércio em geral, o valor cP não se restringe 
ao valor de aquisição da mercadoria e sim ao custo total do produto, incluindo 
as despesas de armazenamento, despesas financeiras, velocidade do giro, entre 
outros.
Desta equação geral do comércio, derivamos quatro equações que possibilitam 
decidir sobre lucros ou prejuízos. O resultado será sempre uma equação envolvendo 
três variáveis e facilmente resolvível, quando se conhecem duas delas.
As explicitações dos quatro casos são desnecessárias aos que dominam 
resoluções de equações do primeiro grau. Sua utilidade é quando se precisa 
de cálculos rotineiros e montagem de planilhas com grande quantidade de 
valores.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
36
•	 Lucro sobre o valor cP =o preço de custo
Neste caso, o lucro é proporcional ao preço de custo. Tomando c cL i P= × , 
então ci é chamada de taxa de lucro sobre o preço de custo. Substituindo este 
valor de L na equação (8.1) temos:
1v c v c c c c cP P L P P i P i P( )= + ⇒ = + × = + × ⇒
(8.2) 1v c cP i P( )= + × .
•	 Lucro sobre o valor vP = o preço de venda
Neste caso, o lucro é proporcional ao preço de venda, v vL i P= × e vi é 
chamada de taxa de lucro sobre o preço de venda.
Substituindo este valor de L na equação (8.1), temos:
v c v c v v v v cP P L P P i P i P P( )= + ⇒ = + × ⇒ − × = ⇒
(8.3)
1
c
v
v
P
P
i
=
−
.
•	 Prejuízo sobre o valor cP =o preço de custo
Neste caso, o prejuízo é proporcional ao preço de custo. Tomando
( )c cL i P= − × , então ci é chamada de taxa de prejuízo sobre o preço de custo.
Substituindo este valor de L na equação (8.1) temos:
( ) ( )1v c v c c c c cP P L P P i P i P= + ⇒ = − × = − × ⇒
(8.4) ( )1v c cP i P= − × .
•	 Prejuízo sobre o valor vP = o preço de venda
Neste caso, o prejuízo é proporcional ao preço de custo. Tomando
( )v vL i P= − × , então vi é chama de taxa de prejuízo sobre o preço de venda.
Substituindo este valor de na equação (8.1) temos:
37
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
( ) ( )1v c v c v v v v cP P L P P i P i P P= + ⇒ = − × ⇒ + × = ⇒
(8.5)
( )1
=
+
c
v
v
P
P
i
.
Exemplo 8.6
Vejamos agora um exemplo bem simples, como forma de fixar o conceito.
Suponha que se compre uma mercadoria por 50 00$ ,R e em seguida a venda 
por 100 00$ ,R . Portanto, auferimos um lucro de 50 00$ ,L R= . Assim,temos 
os seguintes dados:





100vP = ;
50cP = ;
50 L = .
Podemos então obter as seguintes conclusões:
•
	
50 1 100
50 c cc
L i i
P
%= = = ⇒ = , que é a taxa de lucro sobre o preço de 
custo;
•	
50 0 5 50
100 v vv
L i i
P
, %= = = ⇒ = , que é a taxa de lucro sobre o preço de 
venda.
Exemplo 8.7
Suponha agora que compramos uma mercadoria por 100 00$ ,R e em 
seguida a vendemos por 50 00$ ,R . Portanto, auferimos um lucro negativo de 
( )50 00$ ,L R= − ou um prejuízo de 50 00$ ,L R= . Assim, temos os seguintes 
dados:
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
38





50vP = ;
100cP = ;
50L = − .
Também podemos obter as seguintes conclusões:
•	
50 0 5 50
100 c cc
L i i
P
 , %−= = − = ⇒ = − . Que é a taxa de lucro negativo 
sobre o preço de custo, ou 50ci %= a taxa de prejuízo sobre o preço de 
custo;
•	
50 1 100
50 v vv
L i i
P
%
 
−
= = − = ⇒ = − . Que é a taxa lucro negativo sobre o 
preço de venda, ou 100vi %= de prejuízo sobre o preço de venda.
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
8 1E . – Comprei algo por 1 200 00$ . ,R e o vendi com lucro de 25% da terça 
parte do valor de compra. Qual foi o lucro percentual sobre vP ?
8 2E . – Um produto industrializado é fabricado com cinco insumos, todos com 
o mesmo peso na composição do custo. Se apenas um dos insumos sofre 
um aumento de 50% em seu preço, de quanto aumentará o custo do 
produto a ser fabricado?
8 3E . – Um comerciante de veículos vendeu um carro por 18 000 00$ . ,R , com 
um prejuízo de 10% sobre o preço de compra. Qual foi o preço de 
compra?
8 4E . – Um camelô vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço 
de venda. Calcule o seu lucro sobre o preço de compra.
8 5E . – Um colega comprou um carro por 10 000 00$ . ,R e vendeu com um 
prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual foi o preço de venda 
desse carro?
39
9
Descontos e Descontos Sucessivos
Em nosso dia-a-dia, a todo momento nos deparamos com descontos, seja no 
supermercado, na feira livre, no banco e em inúmeras situações.
Sabemos da aritmética que:
(9.1) V p d= − ,
onde p = o valor inicial ou principal, d = o valor do desconto concedido e V =
o valor final ou valor descontado.
É muito útil nos referirmos ao desconto d como uma percentagem do valor 
inicial p . Consideremos di d i p
p
= ⇔ = × na equação (9.1), onde i é chamada 
de taxa de desconto, obtemos:
(9.2) ( )1V p i p V i p= − × ⇔ = − × .
Exemplo 9.2
Se um produto é oferecido por 180 00$ ,R com desconto 12% de desconto, 
então o preço final de pagamento será:
( )1 0 12 180 0 88 180 158 40, , $ ,V R= − × = × = .
Analogamente ao tópico de acréscimos sucessivos, podemos construir o fator 
de descontos sucessivos.
Dado um valor inicial ou principal p , simbolicamente podemos construir os 
descontos sucessivos como segue:
•	 Como primeiro estágio, obtemos o valor final,
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
40
1 11V i p( )= − × ;
•	 No segundo estágio, obtemos o valor final,
2 2 1 2 21 1 1V i V i i p( ) ( ) ( )= − × = − × − × , 
por substituição do valor 1V da equação anterior.
•	 Após n estágios, obtemos o fator chamado de fator de descontos 
sucessivos:
1 21 1 1 ni i i( ) ( ) ( )− × − ×⋅⋅ ⋅× − .
Observação
Se todas as taxas são iguais, isto é: 1 2 ni i i i= = = = , então o fator de 
desconto é dado por:
1 21 1 1 1
n
ni i i i( ) ( ) ( ) ( )− × − ×⋅⋅ ⋅× − = − .
É muito utilizado também o fator médio de desconto, que é obtido pela 
medida geométrica dos n descontos dados:
1 21 1 1 1n ni i i i( ) ( ) ( )− = − × − ×⋅⋅ ⋅× − .
Exemplo 9.3
O famoso jargão de que 10 10% %+ não é 20% !
Se um comerciante está oferecendo um produto de valor p com desconto 
de 10 10% %+ , para pagamento à vista, então temos valor final como segue. 
Tivemos oportunidade de comentar esta questão na definição de porcentagem. 
Pois o primeiro 10% nos dá um primeiro valor final 1 1 0 1 0 9V p p( , ) ,= − × = × . 
O segundo desconto de 10% incide sobre o valor final 1 0 9V p,= × . Logo, 
teremos como valor final depois do segundo desconto:
( ) ( ) ( )211 0 1 0 9 0 9 0 9 0 81V V p p p, , , , ,= − × = × × = × = × ⇒
( )1 0 19V p,= − × .
41
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Portanto, nestas condições temos a aparente contradição que: 
10 10 19% % %+ = .
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até este 
capítulo).
9 1E . – Um aparelho de TV foi comprado com desconto de 12% por 792 00$ ,R . 
Qual era o preço normal dessa TV?
9 1E .9.2 – Um aparelho de TV de R$1000,00 está sendo vendido com desconto de 
20%+20%. Qual é o valor a ser pago?
42
10
Imposto de Renda, Retido na Fonte de Pessoa 
Física
Nesse capítulo vamos estudar a tabela progressiva do Imposto de Renda 
Retido na Fonte de pessoa física – IRRF, seu gráfico e os cálculos envolvidos.
Como o próprio nome diz imposto sobre a renda, apesar disto a legislação 
ou a Constituição Federal não define de forma precisa o significado de renda.
Salário é renda?
Esta indagação já foi formulada por muitos, mas pouco se sabe de uma 
resposta simples e satisfatória. Nosso objetivo não permite entrar nessa seara, por 
se afastar dos propósitos destas notas.
De forma mais concreta, a conclusão mais óbvia é que o salário formal é 
atualmente a renda mais vulnerável ao IRRF.
A tabela progressiva do IRRF para o ano de 2005, Medida Provisória nº 232, 
de 30 de dezembro de 2004, define o que deve ser descontado mensalmente no 
contracheque:
Base de Cálculo - CB Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$1.164,00 0% 0 00$ ,R 
De R$1.164,01 até R$2.326,00 15% 174 60$ ,R 
Acima de R$2.326,00 27,5% 465 35$ ,R 
Tabela Progressiva.
43
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
A Base de Cálculo - CB é o salário bruto menos os descontos permitidos 
por lei. Por exemplo, a lei permite descontar no ano de 2005 a quantia de 
117 00$ ,R por cada dependente legal e a Previdência efetivamente paga, 
além de outros itens descritos na lei. O cálculo da previdência será visto no 
próximo tópico.
Exemplo 10.1
Consideremos um empregado de empresa privada, registrado em sua 
carteira profissional com um salário integral bruto de 5 000 00$ . ,R e com 
dois dependentes legais; então seu salário líquido será calculado conforme o 
demonstrativo sintético:
DEMONSTRATIVO SALARIAL EM REAIS –R$
Salário/vantagens 5.000,00
Desconto Previdência − INSS − 11% de 2.668,15. (293,50)
Desconto do Imposto de Renda Retido na Fonte - IRRF (764,59)
Salário Líquido 3.941,91
•	 Explicações sobre o IRRF
O IRRF pode ser calculado, usando a tabela progressiva citada, pela seguinte 
equação:
( )764 59 0 275 5 000 00 293 50 234 00 465 35, , . , , , ,IRRF = = × − − − .
As alíquotas também podem ser calculadas diretamente na decomposição do 
salário pelas respectivas faixas:
0 1 164 00 15 1 162 00 27 5 2 146 50% de . , % de . , , % de . ,IRRF = + + .
Outra explicação necessária é sobre as parcelas a deduzir:
•	 174 60 0 15 1 164 00, , . ,= × ;
•	 465 35 0 275 1 164 00 0 125 1 162 00, , . , , . ,= × + × .
As parcelas a deduzir tornam a tabela progressiva contínua, evitando o 
equívoco de inverter salário líquido.
Vamos esboçar o gráfico do IRRF em função de CB .
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
44
Como se vê, o gráfico do CIRRF B× é uma função cujo gráfico é uma 
reta em cada intervalo. Pela tabela progressiva, podemos dizer, então, que 
a função estendida a todos os números reais positivos é definida pela regra 
geral:
0 0 1 164
0 150 174 60 1 164 2 326
0 275 465 35 2 326
C
C C C
C C
B
IRRF B B B
B B
 se .
( ) , , se . .
, , se .
≤ ≤
= × − < ≤
 × − < < ∞
Como exercício, verifique que esta função é contínua na variável CB . Com 
isso podemos concluir a razão das constantes 174 60, e 465 35, , nas expressões 
anteriores.Também concluímos que o IRRF não provoca diminuição de salário 
líquido, em virtude de o salário bruto mudar de alíquota. É muito comum se ouvir 
a incoerente frase:
Se meu salário aumentar, vai mudar de faixa do imposto 
de renda e daí o salário líquido vai ser menor!
Logicamente quando tratamos com moeda, com apenas duas casas décimas, 
o modelo será um gráfico discreto. Pois, certamente ninguém jamais recebeu, 
por exemplo, um salário de 1 000 2$ .R × , mas sim pode ter recebido o valor 
aproximado de 1 414 21$ . ,R .
Exemplo 10.2
Consideremos agora um servidor público do Paraná, nomeado antes da 
Emenda 41 de dezembro de 2003, com salário de 5 000 00$ . ,R e com dois 
45
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
dependentes legais. Neste caso, seu salário líquido será calculado conforme 
demonstrativo salarial sintético:
DEMONSTRATIVO SALARIAL EM REAIS -R$
Salário/vantagens 5.000,00
Desconto Previdência − PRPREVIDÊNCIA. (*) (652,00)
Desconto do Imposto de Renda Retido na Fonte - IRRF (666,00)
Salário Líquido 3.682,00
(*) Novas mudanças podem ocorrer na lei, este cálculo atualmente é feito pela seguinte fórmula:
( )652 00 0 14 5 000 00 1 200 00 0 10 1 200 00, , . , . , , . ,= × − + × .
Ou seja, o servidor está pagando de Previdência:
10% sobre 1 200 00$ . ,R e 14% sobre ( )5 000 00 1 200 00 . , . ,− .
Comparando os dois exemplos, verifica-se que o salário líquido do indivíduo 
da iniciativa privada é superior ao salário líquido do indivíduo do serviço público 
em:
259 91 3 941 91 3 682 00$ , $ . , $ . ,R R R= − .
Esta diferença surge em virtude dos descontos, uma vez que, o empregado da 
iniciativa privada, como paga menos de previdência então paga mais de IRRF .
Mencionamos a Emenda 41 pelo fato de que, a partir de então, o cálculo 
do desconto para a previdência mudou para os novos servidores. Os antigos 
continuam pagando na forma apresentada sem, no entanto, ter garantido o direito 
à aposentadoria integral. São regras de “confisco”, imposta pelo Governo Federal 
aos servidores públicos.
Exercício
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
10 1E . – Repetir os exemplos (10.1) e (10.2), para o caso do empregado e do 
servidor público não ter dependentes.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
46
10 2E . – Verificar a continuidade da função ( )CIRRF B incluído no exemplo 
(10.1).
47
11
Cálculo do INSS na Folha de Pagamento
Neste capítulo pretendemos mostrar as incoerências matemáticas e sociais 
dos índices de cálculo dos descontos em folha para a previdência INSS, Portaria 
nº 822, de 11 de maio de 2005.
Salário-contribuição (R$) Alíquota de recolhimento
Até R$ 800,45 7,65 %
De R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65 %
De R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00 %
De R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11,00 %
Portaria nº 822, de 11 de maio de 2005.
Veja a inconsistência desta tabela, quando estamos com salários nos limítrofes 
percentuais.
Suponha que temos dois salários brutos:
1 1 334 07$ . ,S R= e 2 1 344 07$ . ,S R= .
Note que 1 2S S< , pois 2 1 10 00$ ,S S R− = . Pela tabela anterior, temos os 
descontos para o INSS :
1 9 00 1 334 07 120 07( ) , % de . , $ ,INSS S R= = e
2 11 00 1 344 07 147 85( ) , % de . , $ ,INSS S R= = .
Assim, os salários líquidos 1LS S( ) e 2LS S( ) são:
1 1 334 07 120 07 1 214 00( ) $ . , $ , $ . ,LS S R R R= − = e
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
48
2 1 344 07 147 85 1 196 22( ) $ . , $ , $ . ,LS S R R R= − = .
Portanto:
1 2 1 227 78( ) ( ) $ , ( ) ( )L L L LS S S S R S S S S− = ⇒ > .
O que evidencia uma inconsistência muito grande, para não dizer um contra-
senso, uma vez que 1 2S S< . O correto seria o cálculo em “cascata”, como no 
IRRF.
Exercício
11 1.E – Um executivo tem salário bruto mensal de 80 000 00$ . ,R , com 2 
dependentes. Quais serão os descontos de INSS e de IRRF sobre seu 
salário bruto e o seu salário líquido, de acordo com as tabelas aqui 
apresentadas?
49
12
Cálculo do ICMS nas contas de Luz e 
Telefone
Neste parágrafo pretendemos demonstrar artifícios do fisco, especificamente 
estadual, no cálculo do ICMS nas contas de Água, Luz e Telefone. Os argumentos 
se estendem para outros impostos e tarifas públicas.
Encontramos num informativo de uma empresa de energia elétrica a seguinte 
explicação sobre o ICMS:
Como o ICMS é um imposto cobrado “por dentro”, simplesmente aplicar 
a alíquota de 27% sobre o consumo de energia não funciona, explica a 
empresa. A razão disso começa na Constituição Federal. Assim como as 
leis complementares promulgadas depois, ela determina, no artigo 155, 
que o montante do imposto também faça parte da sua base de cálculo.
A base de cálculo é definida somando o consumo (VC), os acréscimos, no 
caso o encargo de capacidade emergencial para evitar apagões (AC) e o 
próprio valor do ICMS, ainda não definido. A fórmula, então, fica assim:
ICMS = (VC + AC + ICMS) x 30%.
Será que é possível entender esse imbróglio explicativo? 
Inicialmente devemos lembrar que o mencionado art. 155 da Constituição 
Federal não explicita a afirmativa anterior de que o imposto seja parte da base de 
cálculo.
É óbvio que não tem explicação plausível para este engodo sob o ponto de 
vista do direito tributário. Como o próprio nome diz: ICMS – Imposto sobre 
Circulação de Mercadorias e Serviços – a taxa de %x deveria incidir sobre 
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
50
o valor da mercadoria. No entanto, o cálculo anterior em última análise, está 
aplicando a alíquota sobre o próprio imposto ICMS.
Perante a Matemática não existe erro nessa forma de calcular; a questão é 
jurídica e de interpretação do que a lei define como base de cálculo, a qual deve 
incidir a alíquota de %x do ICMS .
Tudo se resume na definição correta da base de incidência!
Para melhor entender, verificando uma NOTA FISCAL de venda de 
mercadoria do ano 2000, constata-se que no Paraná a alíquota de 17 é aplicada 
sobre o valor final pago pelo cliente.
Teoricamente, o comerciante pagará ao fisco estadual o valor correspondente 
a 17% sobre o valor da nota fiscal. Em outras palavras, se uma mercadoria tem 
valor total na nota fiscal de 100 00R$ , para pagamento do consumidor, então:
100 00 83 00 17 00$ , $ , $ ,R R R= + .
Veja que estranha aritmética, nas duas componentes acima, tem-se:
83 00$ ,R = o valor da mercadoria;
17 00$ , R ICMS= a ser recolhido ao fisco. Mas,
17 00 0 2048 20 48
83 00
, , , %
,
≈ = .
Assim, podemos dizer que o ICMS é de 20 48, % e não 17% como se 
divulga e escreve na nota. Tudo é uma questão de ponto de vista e passível de 
análise jurídica e interpretação da lei.
Simbolicamente, vamos modelar a situação geral da conta de energia, 
considerando o caso de uma FATURA da COPEL do Paraná. Em se tratando 
de conta de energia elétrica, fica mais confusa a questão do cálculo do ICMS . 
Pois, a ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica divulga, por meio de 
Resolução, o valor final do kWh sem impostos, a ser cobrado dos consumidores 
residenciais.
Denotando por:
Preço final 
 Preço da tabela da Aneel sem impostos
Imposto 
f
c
p
P
P
I ICMS .
=

=
 =
51
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
No caso do Paraná o ICMS é de 27% sobre o preço final, ou seja, 
0 27 fICMS P,= × . Logo temos a seguinte equação:
( )0 27 1 0 27f c c f f cP P ICMS P P P P, ,= + = + × ⇒ − × = ⇒
( )1 1 36986 1 0 36986
0 73f c c c
P P P P, ,
,
= × ≈ × = + × .
Portanto, concluímos que efetivamente o ICMS é 36 99, % sobre o 
valor cP . Aritmeticamente não existe incongruência, o que se pode dizer é 
que ocorre uma confusão proposital, da base de cálculo, em prejuízo para o 
consumidor.
Observação
Além dos comentários anteriores sobre a base de cálculo do ICMS , ainda 
onerando a conta do consumidor existe a taxa de iluminação pública e o famoso 
ENCARGO DE CAPACIDADE EMERGENCIAL. Este último, definido pela 
ANEELem 2005 com o valor de: 0 0082191$ ,R por kWh consumido, incluído 
aí o ICMS, vigorou até 2006.
Por exemplo, uma família média que consome 400kwh , pagará mensalmente 
desse ENCARGO a quantia de:
400 0 0082191 3 29$ , $ ,R R× = .
Este aparente “pequeno” valor, pois são milhões de consumidores, também 
faz parte da base de cálculo do ICMS. Poucas pessoas têm conhecimento 
de quem recebe esses valores, chamados de seguro contra um possível 
“apagão”.
A imaginação dos políticos, de qualquer partido de nosso País, é 
fantasticamente fértil para criar encargos financeiros e impostos aos indefesos e 
incautos consumidores brasileiros!
Este é um bom exemplo do princípio pacificamente assimilado pelo imaginário 
popular, por desconhecimento:
É melhor “roubar” pouco de muitos que muito de 
poucos!
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
52
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
12 1E . – Uma conta de telefone, fatura total de 298 65$ ,R , inclui 27% de 
ICMS nesse preço. Qual foi o valor dos serviços consumidos?
53
13
Atualização Monetária e Correção 
Monetária
Mais adiante, vamos estudar com mais detalhes a questão de transporte e 
equivalência de capitais. Neste momento, nosso interesse é fazer atualização 
monetária, utilizando os acréscimos sucessivos vistos anteriormente. A 
atualização monetária é muito utilizada em decisões judiciais e em negócios 
de longo prazo.
Por meio de fatores de atualização é possível corrigir capitais localizados em 
datas anteriores, de forma a possibilitar comparações de valores monetários em 
datas diferentes.
Como o valor de um capital é sua capacidade de compra, corrigir um capital é 
torná-lo com o mesmo poder de compra, que representava na data original. Nesse 
sentido, um capital ou valor monetário é tratado com diversas adjetivações: valor 
nominal, valor corrigido, valor atual, valor presente e valor futuro entre outros.
•	 Primeira providência
A primeira providência a tomar, para corrigir um capital, é escolher um índice 
ou um referencial de atualização.
Uma maneira simples de atualizar seria transformar o capital em moeda ouro 
na data de realização. Isto é, quantos gramas de ouro se compravam naquela 
data e posteriormente se calcula o quanto vale a mesma quantidade de ouro. O 
fator que deve ser multiplicado para comprar a mesma quantidade de outro é 
chamado de fator de atualização. Assim, teremos um índice constituído de apenas 
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
54
um “produto”, que é o ouro. Um exemplo muito utilizado nos dias atuais, para 
operações agrícolas ou da agroindústria, é a denominação popular: equivalência 
produto.
Os valores estudados devem sempre estar no mesmo padrão monetário. Para 
entender a questão do padrão monetário, discorreremos mais diante um quadro 
comparativo de todas as mudanças de padrão monetário ocorridas no Brasil desde 
o Império.
Voltando à questão inicial deste parágrafo, um índice de variação de 
preço é uma medida da variação dos preços num período pré-fixado, para um 
determinado conjunto de produtos. Mais especificamente, um índice de variação 
de preço é a média aritmética ponderada dos aumentos e diminuições dos preços 
de um conjunto de produtos e serviços, considerando os pesos que os mesmos 
representam no conjunto.
•	 O INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor
O INPC é um índice calculado pelo IBGE com o objetivo de indicar 
reajustes salariais para diversas categorias. O universo da pesquisa é constituído 
pelo hábito de consumo das pessoas que ganham de 1 a 8 salários mínimos, 
nas cidades de: Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São 
Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba, Distrito Federal e o Município 
de Goiânia.
A composição dos grupos de despesas deste universo, para o cálculo do INPC, 
é definida por:
Descrição Percentagem
Alimentação 33,10%
Artigos de residência 08,85%
Habitação 12,53%
Transporte e comunicação 11,44%
Vestiário 13,16%
Saúde e cuidados pessoais 07,56%
Despesas pessoais 13,36%
Total 100,00%
55
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
O INPC – Índice Nacional de Preço ao Consumidor é um índice calculado 
pelo IBGE desde abril de 1979.
Por questão de espaço, vamos explicitar um quadro contendo o INPC mensal, 
desde julho de 1994, em 3 tabelas. O interesse desta data inicial é por se tratar do 
primeiro mês do padrão monetário real.
Convém dizer que existem dezenas de índices que medem variação de 
preços, cada um com um universo de produtos dado pelo hábito de um segmento 
da sociedade.
Eis alguns deles, com o respectivo fator de variação. Os números apresentados 
significam o produto de 131 fatores, desde julho de 1994.
Fatores acumulados de julho de 1994 a abril de 2005
Índice Fator
IGP-M 3,6748404
IGP-DI 3,6418477
INPC 2,9402052
IPCA 2,8731750
IPC-BRASIL 3,0757210
IPC-SP 2,6056931
Fonte: Sitio do Banco Central do Brasil.
Observe nesta tabela que, por exemplo, o IGP-M ficou 24 99, % superior ao 
INPC no período, pois:
3 674840424 99 1 1 249858479 1 0 2499
2 9402052
≈ − = − ≈
,, % , ,
,
•	 Tabelas do INPC
A seguir, apresentamos três tabelas detalhadas do INPC.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
56
Tabela 1: INPC/IBGE – Percentuais mensais (jul./1994 a abr./2005)
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Janeiro 1,44 1,46 0,81 0,85 0,65 0,61 0,77 1,07 2,47 0,83 0,57
Fevereiro 1,01 0,71 0,45 0,54 1,29 0,05 0,49 0,31 1,46 0,39 0,44
Março 1,62 0,29 0,68 0,49 1,28 0,13 0,48 0,62 1,37 0,57 0,73
Abril 2,49 0,93 0,60 0,45 0,47 0,09 0,84 0,68 1,38 0,41 0,91
Maio 2,10 1,28 0,11 0,72 0,05 -0,05 0,57 0,09 0,99 0,40 
Junho 2,18 1,33 0,35 0,15 0,07 0,30 0,60 0,61 -0,06 0,50 
Julho 7,75 2,46 1,20 0,18 -0,28 0,74 1,39 1,11 1,15 0,04 0,73 
Agosto 1,85 1,02 0,50 -0,03 -0,49 0,55 1,21 0,79 0,86 0,18 0,50 
Setembro 1,40 1,17 0,02 0,10 -0,31 0,39 0,43 0,44 0,83 0,82 0,17 
Outubro 2,82 1,40 0,38 0,29 0,11 0,96 0,16 0,94 1,57 0,39 0,17 
Novembro 2,96 1,51 0,34 0,15 -0,18 0,94 0,29 1,29 3,39 0,37 0,44 
Dezembro 1,70 1,65 0,33 0,57 0,42 0,74 0,55 0,74 2,70 0,54 0,86 
Acumulado 19,81 21,98 9,12 4,34 2,49 8,43 5,27 9,44 14,74 10,38 3,89 
Fonte: Revista Conjuntura Econômica e IBGE
Esta tabela exibe os percentuais mensais do INPC, no período indicado. 
No final de cada ano, apresenta o percentual do ano, com a ressalva de que no 
ano de 1994 o percentual de 19 81, % se refere ao percentual acumulado de 
julho a dezembro. Não foram utilizados os percentuais do INPC de janeiro a 
junho de 1994, constados apenas para informação da situação ocorrida com 
os índices no momento da mudança da moeda.
Convém ressaltar que a fonte indicada na Tabela – 1 mostra os percentuais 
com duas casas decimais, outras fontes podem apresentar mais casas 
decimais.
57
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Tabela 2: INPC/IBGE – Fatores mensais (jul./1994 a abr./2005)
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Janeiro 1,000000 1,014400 1,014600 1,008100 1,008500 1,006500 1,006100 1,007700 1,010700 1,024700 1,008300 1,005700
Fevereiro 1,000000 1,010100 1,007100 1,004500 1,005400 1,012900 1,000500 1,004900 1,003100 1,014600 1,003900 1,004400
Março 1,000000 1,016200 1,002900 1,006800 1,004900 1,012800 1,001300 1,004800 1,006200 1,013700 1,005700 1,007300
Abril 1,000000 1,024900 1,009300 1,006000 1,004500 1,004700 1,000900 1,008400 1,006800 1,013800 1,004100 1,009100
Maio 1,000000 1,021000 1,012800 1,001100 1,007200 1,000500 0,999500 1,005700 1,000900 1,009900 1,004000 
Junho 1,000000 1,021800 1,013300 1,003500 1,001500 1,000700 1,003000 1,006000 1,006100 0,999400 1,005000 
Julho 1,077500 1,024600 1,012000 1,001800 0,997200 1,007400 1,013900 1,011100 1,011500 1,000400 1,007300 
Agosto 1,018500 1,010200 1,005000 0,999700 0,995100 1,005500 1,012100 1,007900 1,008600 1,0018001,005000 
Setembro 1,014000 1,011700 1,000200 1,001000 0,996900 1,003900 1,004300 1,004400 1,008300 1,008200 1,001700 
Outubro 1,028200 1,014000 1,003800 1,002900 1,001100 1,009600 1,001600 1,009400 1,015700 1,003900 1,001700 
Novembro 1,029600 1,015100 1,003400 1,001500 0,998200 1,009400 1,002900 1,012900 1,033900 1,003700 1,004400 
Dezembro 1,017000 1,016500 1,003300 1,005700 1,004200 1,007400 1,005500 1,007400 1,027000 1,005400 1,008600 
F. Acumulado 1,198073 1,219814 1,091171 1,043401 1,024873 1,084303 1,052720 1,094418 1,147400 1,103839 1,061332 1,026758
% - ano 19,81% 21,98% 9,12% 4,34% 2,49% 8,43% 5,27% 9,44% 14,74% 10,38% 6,13% 2,68%
2,9402
Esta tabela é montada a partir da Tabela – 1, considerando o fator como 
sendo: 1 i+ , onde i é a taxa indicada na mesma posição, procurando o endereço 
de cada entrada em uma matriz.
Por exemplo, o fator correspondente ao mês de junho de 2003 é:
0 991 1 0099 1
100
i ,,+ = = + ,
pois o percentual do mesmo mês e ano é 0 99, na Tabela -1. De maneira semelhante 
pode ser visto todos os fatores.
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
58
Tabela 3: INPC/IBGE – Fatores acumulados (jul./1994 – abr./2005).
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Janeiro 1,000000 1,215325 1,482763 1,607582 1,678019 1,716346 1,860299 1,961488 2,153078 2,504662 2,720495 2,879903
Fevereiro 1,000000 1,227600 1,493291 1,614816 1,687080 1,738487 1,861229 1,971100 2,159753 2,541230 2,731105 2,892575
Março 1,000000 1,247487 1,497621 1,625797 1,695347 1,760739 1,863648 1,980561 2,173143 2,576045 2,746672 2,913691
Abril 1,000000 1,278550 1,511549 1,635552 1,702976 1,769015 1,865326 1,997197 2,187920 2,611595 2,757933 2,940205
Maio 1,000000 1,305399 1,530897 1,637351 1,715237 1,769899 1,864393 2,008582 2,189890 2,637449 2,768965 
Junho 1,000000 1,333857 1,551258 1,643082 1,717810 1,771138 1,869986 2,020633 2,203248 2,635867 2,782810 
Julho 1,077500 1,366670 1,569873 1,646039 1,713000 1,784245 1,895979 2,043062 2,228585 2,636921 2,803124 
Agosto 1,097434 1,380610 1,577722 1,645545 1,704607 1,794058 1,918920 2,059202 2,247751 2,641668 2,817140 
Setembro 1,112798 1,396763 1,578038 1,647191 1,699322 1,801055 1,927172 2,068263 2,266407 2,663329 2,821929 
Outubro 1,144179 1,416318 1,584034 1,651968 1,701192 1,818345 1,930255 2,087704 2,301990 2,673716 2,826726 
Novembro 1,178046 1,437704 1,589420 1,654446 1,698130 1,835437 1,935853 2,114636 2,380028 2,683609 2,839164 
Dezembro 1,198073 1,461426 1,594665 1,663876 1,705262 1,849020 1,946500 2,130284 2,444288 2,698101 2,863581 
Esta tabela é construída a partir da Tabela - 2, multiplicando os fatores até o 
mês de referência ou do endereço na matriz.
Para entender a construção, note que o fator acumulado do mês em consulta é 
o fator do mês anterior multiplicado pelo fator do mês em consulta.
Vamos acompanhar o seguinte cálculo:
Fator dezembro de 1994 1 198073 1 178046 1 017000, , ,= ≈ × .
As planilhas dos fatores estão apresentadas com 6 casas decimais; 
frequentemente é necessário trabalhar com mais casas decimais para se ter uma 
melhor aproximação.
•	 Sobre o Salário Mínimo Nacional
Vamos considerar a série histórica do valor do Salário Mínimo, vigente 
nacionalmente, desde julho de 1994, início do padrão monetário Real.
59
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
Data do início da vigência Valor em $R
01/07/1994 64,79
01/05/1995 100,00
01/05/1996 112,00
01/05/1997 120,00
01/05/1998 130,00
01/05/1999 136,00
03/04/2000 151,00
01/04/2001 180,00
01/05/2002 200,00
01/04/2003 240,00
01/05/2004 260,00
01/05/2005 300,00
01/04/2006 350,00
01/04/2007 380,00
01/03/2008 415,00
01/02/2009 465,00
Fatos importantes podem ser inferidos desta tabela da evolução do salário 
mínimo. Um dos relevantes é que houve um crescimento real, bem acima da 
evolução dos preços pelo INPC.
Vejamos algumas contas:
a) O salário evoluiu nominalmente, de 64 79$ ,R em julho de 1994, 
para 300 00$ ,R em maio de 2005. Portanto, houve um reajuste de 
363 03, % , uma vez que, 300 001 4 630344 363 03
64 79
i i, , , %
,
+ = ≈ ⇒ ≈ .
b) Como o fator de crescimento do INPC/IBGE no mesmo período foi de 
2 940205, , então temos que o salário mínimo teve um aumento real 
acima do INPC/IBGE, de 57 48, % no mesmo período, de:
4 6303441 1 574837 57 48
2 940205
, , , %
,
i i+ = = ⇒ ≈ .
Logicamente, em uma análise mais fina, que foge dos objetivos destas notas, 
os preços relativos podem ter sofrido distorções importantes. Por exemplo, um 
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
60
salário mínimo poderia comprar mais litros de gasolina em julho de 1994 que 
compra hoje. Isso em economia se chama preços relativos. As contas anteriores 
demonstram que, na média da cesta de consumo definida pelo INPC, o salário 
mínimo está com poder de compra, em maio de 2005, 57 48, % superior que em 
julho de 1994.
Para atualizações anteriores a 1994, precisamos estudar um pouco sobre 
conversão dos padrões monetários brasileiros.
Exercícios
(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste 
capítulo).
13 1E . – Um indivíduo ganhava em 01/07/1994 um salário bruto de 6 479 00$ . ,R 
e até 01/05/2005 obteve todos os reajustes pelo INPC. Qual foi sua perda 
salarial percentual, em relação ao salário mínimo?
13 2E . – Um especulador comprou uma casa de praia em 01/07/1994 por 
50 000 00$ . ,R e em 01/05/2005, alegre pelo lucro, a vendeu por 
147 010 00$ . ,R . Qual foi o seu lucro real percentual sobre o preço de 
compra, em relação ao INPC?
13 3E . – Calcule, no exercício anterior, qual foi o prejuízo financeiro do 
especulador se for considerado o IGP-M como inflação.
13 4E . – Em julho de 1994 a tarifa básica do telefone no Paraná era de 0 61$ ,R 
(sessenta e um centavos) e em abril de 2005 essa mesma tarifa chegou 
a 44 26$ ,R . Qual foi o aumento real da tarifa básica em relação ao 
INPC?
13 5E . – Pesquise um produto, que se comprava com um salário mínimo 
em julho/1994 e que hoje necessite mais de um salário mínimo para 
comprar.
61
14
Mudanças do Padrão Monetário Brasileiro
A conversão gerada pelas reformas do padrão monetário, desde o Mil Réis, 
foi literalmente retirada da página do Banco Central.
PADRÃO LEGISLAÇÃO
MIL RÉIS
1 000. réis = Cr$ 1
(com centavos).
Antes de 01.11.1942
Converte para o Real R$, multiplicando pelo 
fator:
( )5 18
1 1
2 75 101 000 2 750 ,. .
=
××
O Decreto-lei nº 4.791, de 05.10.1942 (D.O.U. de 
06.10.42), instituiu o CRUZEIRO como unidade 
monetária brasileira, com equivalência a mil réis. Foi 
criado o centavo, correspondente à centésima parte do 
cruzeiro.
Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e 
cinqüenta mil e quatrocentos réis), passou a expressar-
se Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinqüenta 
cruzeiros e quarenta centavos).
CRUZEIRO
Depois de 01.11.1942
Converte para o Real R$, multiplicando pelo 
fator:
15
1
2 75 10, ×
MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações
62
CRUZEIRO
(sem centavos)
Depois de 02.12.1964
Converte para o Real R$,
Multiplicando pelo fator:
15
1
2 75 10, ×
A Lei nº 4.511, de 01.12.1964 (D.O.U. de 02.12.64), 
extinguiu a fração do cruzeiro denominada centavo.
Exemplo: no exemplo anterior passou a ser escrito sem 
centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e cinqüenta 
cruzeiros).
CRUZEIRO NOVO
Cr$ 1.000 = NCr$ 1
(com centavos) 13.02.1967.
Converte para o Real R$, multiplicando pelo 
fator:
12
1
2 75 10, ×
O Decreto-lei nº 1, de 13.11.1965 (D.O.U.de 17.11.65), 
Regulamentado pelo Decreto nº 60.190, de 08.02.1967 
(D.O.U. de 09.02.67), restabelecendo o centavo. 
O Conselho Monetário Nacional em 08.02.1967 
estabeleceu a data de 13.02.67 o início de vigência do 
novo padrão.
Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinqüenta 
cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75 (quatro 
cruzeiros novos e setenta e cinco centavos).
CRUZEIRO
de NCr$ para Cr$ (com centavos)