Relações, Funções e Correspondências em Matemática

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Davi Lopes 
assunto: ReLações, Funções e CoRResponDênCias
frente: MateMátiCa ii
004.298 - 130358/18
AULAS 09 a 11
EAD – ITA-IME
Resumo Teórico
Relações, Funções e Correspondências
Relações
Dados dois conjuntos A e B uma relação de A em B é um 
subconjunto do produto cartesiano A × B. Dados a ∈ A, b ∈ B, dizemos 
que aRb quando (a, b) ∈ R.
 Exemplo: Uma relação binária de A = {x, y} em B ={a, b, c} é 
R = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, c)}. Outro exemplo é R = ∅.
Relações Especiais
 Relação Binária: É toda relação de A em A, ou seja, de um 
conjunto nele mesmo.
 Relação Reflexiva: Uma relação R de A em A é dita reflexiva se, 
para todo a ∈ A, temos aRa.
 Relação Simétrica: Uma relação R de A em A é dita simétrica se, 
para todos a, b ∈ A, temos aRb ⇔ bRa.
 Relação Transitiva: Uma relação R de A em A é dita transitiva 
se, para todos a, b, c ∈ A, temos que se aRb e se bRc, então bRa.
 Relação de Equivalência: É toda relação que é reflexiva, transitiva 
e simétrica.
 Exemplo: A congruência ≡ entre triângulos é uma relação de 
equivalência.
Correspondência
Uma correspondência f: A → B, obtida a partir de uma relação 
R de A em B, é uma associação entre os conjuntos A e B, de modo 
que f(a) = b se, e somente se, (a,b) ∈ R.
 Exemplos:
A = {1, 2, 3}; 
B = {a, b, c, d, e};
R = {(1, a), (1, b), (1, d), (1, e), (2, a), (2, b)};
A
a
1
2
3
b
c
d
e
B
Função
Uma função f: A → B é uma correspondência onde cada valor 
de a ∈ A está relacionado com exatamente um valor b ∈ B, b = f(a).
Exemplos:
A = {1, 2, 3}; 
B = {a, b, c, d, e};
f(1) = a, f(2) = a, f(3) = d.
A
a
1
2
3
b
c
d
d
B
Exercícios
01. A função linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a condição 
f(5x + 2) = 5f(x) + 2. Então:
A) a = 2b 
B) a = b + 2
C) a = 2b + 1
D) a = 2(b + 1)
E) n.d.a.
02. Seja y = mx + b a imagem quando a reta x – 3y + 11 = 0 é refletiva 
através do eixo x. O valor de m + b é:
A) –6
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
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Módulo de estudo
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03. Seja f(x) = |x – 2| + |x – 4| – |2x – 6|, para 2 ≤ x ≤ 8. A soma do 
maior e do menor valor de f(x) é:
A) 6 B) 5
C) 4 D) 3
E) 2
04. O gráfico que melhor representa a função f x x( ) ( )= −
1
2
|x| é:
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) n.d.a.
05. Se |x 2|− − =1 a, onde a é uma constante, tem exatamente 
3 raízes distintas, então a é igual a:
A) 4 B) 3
C) 2 D) 1
E) 0
06. Considere a equação x2 + bx + c = 0, sendo b, c ∈ R. Se as raízes 
dessa equação pertencem ao intervalo [–1, 1], então, das 
afirmações a seguir:
I. b2 – 4c > 0;
II. 1 + b + c > 0;
III. 1 – b + c > 0;
IV. c < 0.
 Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
07. Considere as duas funções f(x) = x2 + 2bx + 1 e g(x) = 2a(x + b), 
onde a variável x e as constantes a, b são números reais. Cada tal 
par de constantes a, b pode ser considerado como um ponto (a, b) 
no plano cartesiano ab. Seja S o conjunto de tais pontos (a, b) 
para os quais os gráficos de y = f(x) e y = g(x) não se intersectam 
(no plano xy). A área de S é:
A) 1 B) p
C) 4 D) 4p
E) infinita
08. Dois pontos A e B do plano estão relacionados se OA = OB, sendo 
O um ponto fixo. Essa relação é:
A) uma relação de equivalência
B) reflexiva, mas não simétrica
C) reflexiva, mas não transitiva
D) uma relação de ordem parcial
E) n.d.a.
09. Um inteiro m é dito estar relacionado com outro inteiro n se m é 
múltiplo de n. Então, a relação é:
A) reflexiva e simétrica
B) reflexiva e transitiva
C) simétrica e transitiva
D) uma relação de equivalência
E) n.d.a.
10. Dada a tabela M = (m
ij
) = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) e o conjunto 
A = {a
1
, a
2
, a
3
}, define-se a relação R por a
i
Ra
j
 ⇔ m
ij
 = 1. Analise 
as afirmações:
I. R é reflexiva;
II. R é simétrica;
III. R é transitiva;
IV. R é uma relação de equivalência.
 Quantas são verdadeiras?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11. Seja R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)} uma relação sobre o 
conjunto A = {1, 2, 3, 4}. A relação R é:
A) uma função
B) transitiva
C) não simétrica
D) reflexiva
E) n.d.a.
12. Seja P o conjunto das palavras do dicionário de Português. Defina 
a relação R por R = {(x, y) ∈ P × P|, x e y têm pelo menos uma vogal 
em comum}. Então, R é:
A) reflexiva, simétrica e não transitiva.
B) reflexiva, simétrica e transitiva.
C) reflexiva, não simétrica e transitiva.
D) não reflexiva, simétrica e transitiva.
E) reflexiva, não simétrica e não transitiva.
13. O diagrama a seguir representa:
A B
1
0 1
2
2
3
3
A) uma relação A → B, cuja inversa é uma função de B em A.
B) um subconjunto de A × B.
C) uma função de domínio A e imagem B.
D) uma função de A em B que associa ao elemento do domínio 
um elemento da imagem maior que esse elemento.
E) n.d.a.
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Módulo de estudo
14. Seja A um conjunto com 10 elementos distintos. Então, o número 
total de funções distintas de A em A é:
A) 101
B) 1010
C) 210
D) 210 – 1
E) n.d.a.
15. Se n(A) = m e n(B) = p, então, o número de relações binárias de 
A em B, que não são vazias, é:
A) mp
B) mp – 1
C) 2mp
D) 2mp – 1
E) 2mp – 1
16. Seja A um conjunto finito com m elementos e I
n
 = {1, 2, …, n}. 
O número de todas as funções de I
n
 em A é:
A) C
m
 n
B) mn
C) nm
D) mn
E) n.d.a.
17. Dada a tabela M = (m
ij
) =(1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1) e o 
conjunto A = {a
1
, a
2
, a
3
, a
4
}, define-se em A uma relação R por 
a
i
Ra
j
 ⇔ m
ij
 = 1. Verifique se R é reflexiva, simétrica e transitiva.
18. Seja N = {1, 2, 3, …} o conjunto dos números naturais. A relação R 
é definida sobre N × N como segue: (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c. 
Prove que R é uma relação de equivalência.
19. Seja N = {1, 2, 3, …} o conjunto dos números naturais. A relação 
R é definida sobre N × N como segue: (a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc. 
Prove que R é uma relação de equivalência.
20. Seja R uma relação sobre Z definida como mRn se, e somente se, 
m ≤ n. Classifique R quanto a ser reflexiva, simétrica, transitiva e 
antissimétrica.
21. Uma relação R sobre o conjunto dos números complexos não nulos 
é definida por z
1
Rz
2
 se, e somente se, 
z z
z z
1 2
1 2
−
+
 é real. Mostre que R 
é uma relação de equivalência.
22. Seja A um conjunto com n elementos e B, um subconjunto de A 
com m ≥ 1 elementos. Encontre o número de funções f:A → A 
tal que f(B) ⊂ B.
23. Determine todos os valores reais do parâmetro a para os quais a 
equação |x2 – 1| = a – x admita exatamente três soluções distintas.
24. Seja m ≥ 0 um número real e sejam f,g funções reais definidas 
por f(x) = x2 – 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
A) Esboce no plano cartesiano os gráficos de f e g quando m =
1
4
 
e m = 1.
B) Determine as raízes de f(x) = g(x) quando m =
1
2
.
C) Determine, em função de m, o número de raízes da equação 
f(x) = g(x).
25. Mostre que não existe função f definida nos inteiros e assumindo 
valores inteiros, tal que f(n + 1) = [f(x)]2 + 1, para todo n inteiro.
Gabarito
01 02 03 04 05
C C E C D
06 07 08 09 10
A B A B E
11 12 13 14 15
C A B B D
16 17 18 19 20
D * – – *
21 22 23 24 25
– * * * –
– Demonstração
17. R é reflexiva, simétrica, mas não transitiva.
20. R é reflexiva, simétrica, mas não transitiva.
22. mm · nn – m
23. a = 1 ou a = 5/4
24. 
A)
 
B) 0
5
2
3
2
, ,−
C) m = 0: 2 raízes
 0 < m < 
1
2
: 4 raízes
 m = 
1
2
: 3 raízes
 m > 
1
2
: 2 raízes
 –4 < m < 0: nenhuma raiz
 m = –4: 1 raiz
 m < –4: 2 raízes.
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: DAVI LOPES
DIG.: RENAN – REV.: LÍCIA