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1
Trigonometria: circunferência 
trigonométrica
2E
Matemática
05
Aula 
O estudo das chamadas funções trigonométricas, em seus diversos aspectos, como crescimento, comportamento 
gráfico, domínio, imagem e período, é simplificado quando feito numa circunferência. 
–1
1
2–
1
2
1
0
y
x1
4 π
1
2 π
3
4 π π
5
4 π
3
2 π
7
4 π 2π
sen(x) cos(x)
Mas qual é essa circunferência?
Nesta aula, vamos definir uma circunferência trigonométrica que nos permitirá, ao longo desse estudo, chegar às 
chamadas funções trigonométricas.
Circunferência trigonométrica
Considere uma circunferência de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas e raio unitário, confor-
me representado a seguir.
A(1,0)
+ α
– α
(0,0)
2o. 1o.
3o. 4o.
A circunferência de raio unitário, com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas e orienta-
da, sendo positivo o sentido anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica.
O ponto (1, 0) é a origem dessa circunferência (e de todos os arcos trigonométricos).
2 Extensivo Terceirão
Note que os eixos coordenados, conforme figura da direita que está acima, dividem a circunferência em quatro 
partes. São os quadrantes: 1o. quadrante (arcos entre 0° e 90°), 2o. quadrante (arcos entre 90° e 180°), 3o. quadrante 
(arcos entre 180° e 270°) e 4o. quadrante (arcos entre 270° e 360°). 
Arcos côngruos
Existem infinitos arcos numa circunferência que possuem as mesmas extremidades. O que diferencia esses arcos 
é o número de voltas.
Se a diferença entre as medidas de dois arcos numa circunferência trigonométrica for um múltiplo de 360° 
(2π rad), então esses arcos são denominados arcos côngruos.
Exemplos:
Note que os arcos de medidas 60°, 420° e 780°, marcados na circunferência trigonométrica, são côngruos.
AB = 60° AB = 420° AB = 780°
60° + 0 · 360° 60° + 1 · 360° 60° + 2 · 360°
B
A
B
A
B
A
Em relação ao exemplo anterior, temos:
 x = 60° + 0 · 360° 1a. determinação positiva
 x = 60° + 1 · 360° 2a. determinação positiva
 x = 60° + 2 · 360° 3a. determinação positiva
 .
 .
 .
 x = 60° +(– 1) · 360° 1a. determinação negativa
 x = 60° +(– 2) · 360° 2a. determinação negativa
 x = 60° +(– 3) · 360° 3a. determinação negativa
 .
 .
 .
 x = 60° + k · 360° expressão geral dos arcos côngruos a 60° (k ∈ )
Menor determinação positiva
Em algumas situações, precisamos localizar a extremidade de um arco numa circunferência trigonométrica. Entre-
tanto, nem sempre sua medida está na primeira volta positiva da circunferência. 
A menor determinação positiva de um arco cuja medida é superior a 360° (ou 2π rad) é obtida dividindo essa 
medida por 360° (ou 2π rad): o quociente dessa divisão fornece o número de voltas e o resto, corresponde à menor 
determinação positiva.
Vamos exemplificar!
Exemplo 1:
Obtenha a menor determinação positiva do arco de medida 1 825°.
Menor determinação positiva
Número de voltas
1 825° 360°
 25° 5
Aula 05
3Matemática 2E
Assim, o arco de medida 1825° corresponde, no sentido anti-horário, a 5 voltas completas e mais 25°. Dessa forma, 
sua extremidade encontra-se no 1o. quadrante.
Exemplo 2:
Obtenha a menor determinação positiva do arco de medida 35
3
π rad
1.a maneira de resolver:
35
3
30
3
5
3
π π π
= +
Menor determinação positiva
10π (5 voltas)
2.a maneira de resolver:
35
3
6
3
5
3
5
π π
π
⋅
Número de voltas
Menor determinação positiva
2π (1 volta)
Dessa forma, o arco de 
35
3
π
 rad corresponde, no sentido anti-horário, a 5 voltas completas e mais 5
3
π rad. Sua 
extremidade está no 4o. quadrante.
01. Escreva a expressão geral de todos os arcos que são côngruos, na circunferência trigonométrica, ao arco de medida 45°.
• Sendo x um arco qualquer côngruo ao arco de medida 45°, temos, pela definição de arcos côngruos, que a dife-
rença entre as medidas desses arcos é um múltiplo de 360°, isto é:
 x – 45° = k · 360°
 x = 45° + k · 360° (k ∈ )
02. Em relação ao exemplo anterior, escreva a medida do arco correspondente à 10a. determinação positiva e à 10a. 
determinação negativa.
• Como já conhecemos a expressão geral dos arcos côngruos, basta substituir o valor de k, isto é:
 10a. determinação positiva: k = 9 x = 45° + 9 · 360° x = 3285°
 10a. determinação negativa: k = – 10 x = 45° + (– 10) · 360° x = – 3555°
03. Considere, numa circunferência trigonométrica, os arcos da forma x = k · 60° + 20°, sendo k um número inteiro. 
Obtenha todos os arcos da 1a. volta positiva, isto é, arcos que pertencem ao intervalo [0°, 360]
• Devemos atribuir valores inteiros a k, ou seja:
k x x
k x x
k x
= ⇒ = ⋅ °+ °⇒ = °
= ⇒ = ⋅ °+ °⇒ = °
= ⇒ = ⋅ °+ °⇒
0 0 60 20 20
1 1 60 20 80
2 2 60 20 xx
k x x
k x x
k x
= °
= ⇒ = ⋅ °+ °⇒ = °
= ⇒ = ⋅ °+ °⇒ = °
= ⇒ =
140
3 3 60 20 200
4 4 60 20 260
5 5 ⋅⋅ °+ °⇒ = °60 20 320x
 Portanto, são 6 os arcos na 1a. volta positiva, representados pela expressão dada.
Situações resolvidas
4 Extensivo Terceirão
01. Considere, numa circunferência, o arco α
π
=
95
4
rad. 
Determine o quadrante em que está localizado esse 
arco, bem como a expressão geral de todos os arcos 
que são côngruos a ele.
02. (UTFPR) – Sabendo-se que (3x – 45°) e (2x + 135°) 
exprimem as medidas de dois arcos côngruos, pode-se 
afirmar que “x” é dado por:
a) 120o. · (2k + 1), sendo k ∈ *+ 
b) 160o. · (3k + 1), sendo k ∈ +
c) 120o. · (2k + 1), sendo k ∈ 
d) 180o. · (2k + 2), sendo k ∈ *
e) 180o. · (2k + 1), sendo k ∈ 
Situações para resolver
Testes
Assimilação
05.01. Calculando-se a menor determinação do arco de 
7230°, obtém-se:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°
05.02. Qual é a menor determinação do arco de – 3120°?
a) 60°
b) 90°
c) 120°
d) 150°
e) 180°
05.03. Calcule a primeira determinação positiva do arco 
de medida 43 .
4
a) π
2
 b) 2
3
π
c) 
π
4
 d) 3
4
π
e) 5
6
π
05.04. Obtenha a menor determinação positiva do arco de 
medida 7 .
3
a) π
3
 b) 2
3
π
c) π d) 4
3
π
e) 
5
3
π
Aula 05
5Matemática 2E
Aperfeiçoamento
05.05. Considere o arco α = 1570° numa circunferência 
trigonométrica. A expressão geral de todos os arcos côngruos 
a esse arco é dada por:
a) 30° + 2kπ (k ∈ )
b) 130° + kπ (k ∈ )
c) 130° + 2kπ (k ∈ )
d) 230° + kπ (k ∈ )
e) 230° + 2kπ (k ∈ )
05.06. Assinale a alternativa que indica corretamente a 
expressão geral de todos os arcos que são côngruos ao arco 
de medida −
40
3
π
rad.
a) π π
3
2+ ∈k k( )
b) π π
6
2+ ∈k k( )
c) π π
4
2+ ∈k k( )
d) 2
3
2
π π+ ∈k k( )
e) π π
5
2+ ∈k k( )
05.07. (UEPG – PR) – Sobre arcos e ângulos, assinale o que 
for correto.
01) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um reló-
gio que está marcando 1 hora e 40 minutos é 170°.
02) Um trem desloca-se na velocidade constante de 
60 km/h num trecho circular de raio igual a 500 m. En-
tão, em um minuto ele percorre um arco de 2 rad.
04) Uma pessoa caminhando em volta de uma praça cir-
cular descreve um arco de 160° ao percorrer 120 m. O 
diâmetro da praça é maior que 100 m.
08) Em 50 minutos, o ponteiro dos minutos de um relógio 
percorre 
5
3
π
rad.
05.08. (UFPR) – Maria e seus colegas trabalham em uma 
empresa localizada em uma praça circular. Essa praça é 
circundada por uma calçada e dividida em partes iguais 
por 12 caminhos retos que vão da borda ao centro da praça, 
conforme o esquema abaixo. A empresa fica no ponto E, 
há um restaurante no ponto R, uma agência de correio no 
ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem para 
almoçar, as pessoas fazem caminhos diferentes: Maria sem-
pre se desloca pela calçada que circunda a praça; Carmen 
sempre passa pelo centro da praça, vai olhar o cardápio do 
restaurante e, se este não estiver do seu agrado, vai almoçar 
na lanchonete, caminhando pela calçada; Sérgio sempre 
passa pelo centro da praça e pelo correio, daí seguindo pela 
calçada para a lanchonete ou para o restaurante. Sabendo 
que as pessoas sempre percorrem o menor arco possível 
quando caminham na calçada que circunda a praça, avalie 
as afirmativas a seguir:
CE
R
L
I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na lanchonete, 
ambos percorrem a mesma distância.
II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na lanchonete, quem 
percorre a menor distância é Maria.
III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante, Carmen 
percorre a menor distância.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
b) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
05.09. (PUC – SP) – Qual dos pares de ângulos é côngruo 
de 120°?
a) –240° e 1920°
b) 300° e 1500°
c) 200° e 600°
d) –100° e 0°
e) –200° e 780°
6 Extensivo Terceirão
05.10. (CFTMG) – Na circunferência abaixo, o ponto M repre-
senta a imagem de um arco de medida, em radianos, igual a
M
0
a) − 56
3
π
b) −
7
4
π
c) 
5
6
π
d) 
21
5
π
Aprofundamento
05.11. Na figura a seguir, o hexágono regular ABCDEF está 
inscrito na circunferência trigonométrica. Os pontos A e D 
pertencem ao eixo das abscissas. Sobre os arcos com extre-
midades nos vértices desse hexágono regular, considere as 
seguintes afirmações:
I. A expressão geral desses arcos é x = k ∙ 60° (k ∈ ).
II. Os arcos de extremidades em A e D podem ser represen-
tados pela expressão x = k ∙ 180° (k ∈ ).
III. Os arcos de extremidades em B e E podem ser represen-
tados pela expressão x = k ∙ 180° + 60° (k ∈ ).
IV. Os arcos de extremidades em C e F podem ser represen-
tados pela expressão x = 180° ∙ k – 60° (k ∈ ).
B
A
C
D
E F
O número total de afirmações corretas é: 
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
05.12. (PUC – SP) – Se α e β são medidas de dois arcos 
trigonométricos, tais que β = 180° – α, então pode-se 
afirmar que:
a) a extremidade do arco de medida α é um ponto do 1°. 
quadrante e a do arco de medida β é um ponto do 2°. 
quadrante.
b) as extremidades dos arcos de medidas α e β são simétri-
cas em relação ao eixo das ordenadas.
c) as extremidades dos arcos de medidas α e β são simétri-
cas em relação ao eixo das abscissas.
d) as extremidades dos arcos de medidas α e β são simétri-
cas em relação à origem do sistema cartesiano.
e) nenhuma das anteriores está correta.
05.13. (EMPO – PR) – Sobre o arco 
33
5
π
rad, é correto 
afirmar que:
I. 108° é um arco côngruo.
II. Sua expressão geral é 3π π
5
2+ k .
III. É a 6ª. determinação positiva.
IV. É a 7ª. determinação positiva.
V. 7
5
 rad é a 1ª. determinação negativa.
VI. −
14
5
π rad é um arco côngruo.
a) I, II e V são verdadeiras.
b) II e III são as únicas falsas.
c) São todas verdadeiras.
d) IV e V são verdadeiras.
e) São todas falsas.
05.14. (UEG – GO) – Na competição de skate a rampa em 
forma de U tem o nome de vert, onde os atletas fazem di-
versas manobras radicais. Cada uma dessas manobras recebe 
um nome distinto de acordo com o total de giros realizados 
pelo skatista e pelo skate, uma delas é a “180 allie frontside”, 
que consiste num giro de meia volta. Sabendo-se que 540° 
e 900° são côngruos a 180°, um atleta que faz as manobras 
540 Mc Tuist e 900 realizou giros completos de 
a) 1,5 e 2,5 voltas respectivamente. 
b) 0,5 e 2,5 voltas respectivamente. 
c) 1,5 e 3,0 voltas respectivamente. 
d) 3,0 e 5,0 voltas respectivamente. 
e) 1,5 e 4,0 voltas respectivamente. 
Aula 05
7Matemática 2E
05.15. Se um arco trigonométrico AM tem, no sentido 
horário, medida equivalente a 13 voltas inteiras mais 
1
8
 de 
volta, qual a expressão geral de todos os arcos côngruos a 
esse arco em radianos?
05.16. Uma unidade de medida de ângulo, o grado, 
é definida da seguinte maneira: um ângulo de medida 
1 grado (1 gr) é um ângulo de vértice O que determina numa 
circunferência de centro O um arco de comprimento igual a 
1
400
dessa circunferência.
Determine, em radianos, a terceira determinação negativa 
do ângulo de 2550 gr.
1 gr
O
A
B
1
400
da circunferência
05.17. Quantos graus mede um arco descrito por uma 
partícula que faz um percurso de 4π m numa circunferência 
de diâmetro 1,6 cm?
05.18. Quantos pontos distintos da circunferência trigono-
métrica servem de extremidades para os arcos cujas medidas 
algébricas são dadas pela expressão x= (– 1)k α + kπ, onde 
0 < α ≤ 2π e k ∈ ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
Desafio
05.19. (UnB – DF) – O radar é um aparelho que usa o prin-
cípio da reflexão de ondas para determinar a posição de um 
objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro 
ou nuvem. A posição do objeto é indicada sob a forma de um 
ponto luminoso que aparece na tela do radar, que apresenta 
ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a 
posição do radar, conforme ilustra a figura abaixo.
120°
30°
20°
10°
0°
330°
A
B N
LO
S
Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detec-
tados pelo radar, o navio A está a 40 km do radar e o navio B, 
a 30 km. Com base nessas informações e desconsiderando 
as dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem. 
( ) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km.
( ) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os na-
vios A e B começarem a se movimentar no mesmo 
instante, em linha reta, com velocidades constantes e 
iguais, o navio A para o leste e o navio B para o norte, 
então eles se chocarão.
( ) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se 
movimente sobre um círculo de raio igual a 30 km, 
no sentido anti-horário, com velocidade constante de 
40 km/h então, em 10 min, o navio B percorrerá um 
arco correspondente a
40
π
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
8 Extensivo Terceirão
Gabarito
05.01. b
05.02. c
05.03. d
05.04. e
05.05. c
05.06. d
05.07. 11 (01 + 02 + 08)
05.08. b
05.09. a
05.10. a
05.11. e
05.12. b
05.20. Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na França uma reforma de pesos e medidas que culminou na adoção 
de uma nova unidade de medida de ângulos, que dividia o ângulo reto em 100 partes iguais, chamadas grado. Um grado 
(1 gr) é então a unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais, e o minuto divide o grado em 100 partes, bem como 
o segundo divide o minuto também em 100 partes. Tudo isso para que a unidade de medição de ângulos ficasse em confor-
midade com o sistema métrico. A ideia não foi muito bem sucedida, mas até hoje encontramos na maioria das calculadoras 
científicas as três unidades: grau, radiano e grado.
Baseado no texto acima, responda:
a) A quantos grados equivale meia-volta? E uma volta inteira?
b) Em qual quadrante termina o arco trigonométrico de 250 gr?
c) A quantos grados equivale 1 rad?
d) A quantos graus equivale 1 gr?
05.13. a
05.14. a
05.15. x k k= + ∈
7
4
2
π π, ( )
05.16. e
05.17. 90000°
05.18. b
05.19. F, F, V
05.20. a) 200 gr; 400 gr
b) 3°. quadrante
c) 63,66 gr (aproximadamente)
d) 0,9° = 54’
9Matemática 2E
Matemática
2EAula 06
Trigonometria: seno, cosseno e tangente 
na circunferência trigonométrica
Nas duas primeiras aulas de trigonometria, abordamos os conceitos de arco, de ângulo, de medida de arco, de 
circunferência trigonométrica e também de arcos côngruos. Agora, temos a base para o estudo das chamadas razões 
trigonométricas na circunferência.
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um arco serão aqui definidas. Inicialmente, observe as 
razões trigonométricas seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo em que a hipotenusa é unitária:
m
1
n
x
 • Cálculo do seno:
 sen(x) = n
1
 sen(x) = n
 • Cálculo do cosseno:
 cos(x) = m
1
 cos(x) = m
Note que o seno e o cosseno, quando a hipotenusa é unitária, são numericamente iguais às medidas dos catetos 
oposto e adjacente, respectivamente. Esses resultados permitem o estudo da trigonometria na circunferência de raio 
unitário.
Seno de um arco
A partir do triângulo retângulo de hipotenusa medindo 1 u.c. (uma unidade de comprimento), podemos associar 
a cada arco na circunferência um valor para o seno.
Numa circunferência trigonométrica, consideremos um arco AP de medida α. Define-se como sen a ordenadado ponto P de tal sistema de coordenadas.
Ordenada do ponto P
Pela definição, temos: sen = yP
y
x
sen α
r = 1
α
P
A
1
10 Extensivo Terceirão
Observações:
1. Nas circunferências a seguir, observe os valores para o seno dos arcos de 0°, 90°, 180° e 270° 
y
x
sen α
α
P
A
α
xA
y
P
A = P
x
y
sen α
α
P
xA
y
 sen 0° = 0 sen 90° = 1 sen 180° = 0 sen 270° = – 1
2. No primeiro quadrante, à medida que aumenta o arco, aumenta o valor do seno:
sen α
P
A
y
x
α
sen α
P
A
y
x
α
sen α
P
A
y
x
α
3. No segundo quadrante, à medida que aumenta o arco, diminui o valor do seno:
α
xA
sen α
P
y
sen α
α
xA
P
y
sen α
α
xA
y
P
4. No terceiro quadrante, à medida que aumenta o arco, diminui o valor do seno:
α
xA
y
P
sen α
sen α
α
P
xA
y
sen α
α
P
xA
y
Aula 06
11Matemática 2E
5. No quarto quadrante, à medida que aumenta o arco, aumenta o valor do seno:
P
y
xA
sen α
αα
sen α
P
xA
y
α
y
xA
sen α
P
6. Para um arco real x qualquer, temos: –1≤ senx ≤1
Cosseno de um arco
A partir do triângulo retângulo de hipotenusa medindo 1 u.c. (uma unidade de comprimento), podemos associar 
a cada arco na circunferência um valor para o cosseno.
Numa circunferência trigonométrica, consideremos um arco AP de medida α. Define-se como cosα a abscissa 
do ponto P de tal sistema de coordenadas.
Abscissa do ponto P
Pela definição, temos: cos = xP
y
xcos α
1
r = 1
α
P
A
Observações:
1. Nas circunferências a seguir, observe os valores para o cosseno dos arcos de 0°, 90°, 180° e 270° 
y
x
A = P
r = 1
α
P
xA
y
α
xA
y
P
y
x
α
P
A
 cos 0° = 1 cos 90° = 0 cos 180° = – 1 cos 270° = 0
12 Extensivo Terceirão
2. No primeiro quadrante, à medida que aumenta o arco, diminui o valor do cosseno:
cos α
P
A x
�
P
A x
�
A x
�
cos α cos α
P
αα
α
y y y
3. No segundo quadrante, à medida que aumenta o arco, diminui o valor do cosseno:
α
xAcos α
P
y
α
xA
P
y
α
xA
y
P
cos α cos α
4. No terceiro quadrante, à medida que aumenta o arco, aumenta o valor do cosseno:
α
xA
y
P
cos α
α
P
xA
y
α
P
xA
y
cos α cos α
5. No quarto quadrante, à medida que aumenta o arco, aumenta o valor do cosseno:
α
y
xA
cos α
P
α
P
xA
y
P
y
xA
αcos α cos α
6. Para um arco real x qualquer, temos: –1≤ cos x ≤1
Aula 06
13Matemática 2E
Algumas consequências
A partir do seno e do cosseno de um arco, podemos definir a tangente do arco. Geometricamente, entretanto, 
a tangente pode ser obtida pelo prolongamento do segmento que une a extremidade do arco ao centro da circun-
ferência. O segmento orientado AT representa a tangente do arco x. 
y
A
tg x
T
cos x
sen x 1
x
P
O
Observações:
1. Pelo teorema de Pitágoras temos, no triângulo retângulo de hipotenusa 1, catetos senx e cosx tais que:
sen2x + cos2 x = 1
2. O triângulo retângulo de hipotenusa 1, catetos senx e cosx, é semelhante ao triângulo retângulo OAT. Então, 
dessas semelhanças, é fácil verificar que: 
tg x = sen xcos x
3. Os sinais das razões trigonométricas seno e cosseno, em cada quadrante, são:
Cosseno
+
+
–
–
Seno
+
–
+
–
4. Os sinais da tangente são obtidos pelo quociente entre o seno e o cosseno, em cada quadrante.
14 Extensivo Terceirão
01. Considerando que sen
m
α =
−2 1
3
, determine todos 
os valores possíveis para m.
• Conforme a variação do seno de um arco numa 
circunferência trigonométrica, podemos obter a 
variação dos valores de m, isto é:
− ≤ ≤
− ≤
−
≤
− ≤ − ≤
− + ≤ ≤ +
− ≤ ≤
− ≤ ≤
⋅
1 1
1
2 1
3
1
3 2 1 3
3 1 2 3 1
2 2 4
1 2
sen
m
m
m
m
m
α
 Assim, temos que m ∈ [– 1; 2]
02. Calcule o valor numérico da expressão 
y
sen
sen
=
° − °
° + °
90 3 180
5 360 2 270
cos
cos
• Precisamos apenas conhecer os valores das ra-
zões seno e cosseno dos arcos que dividem os 
quadrantes. Observando esses valores:
y
sen
sen
y
y
o o
o o=
−
+
=
− ⋅ −
⋅ + ⋅ −
=
90 3 180
5 360 2 270
1 3 1
5 1 2 1
4
3
cos
cos
( )
( )
Situações resolvidas
01. Considerando o arco de 1 radiano numa circunferên-
cia trigonométrica, compare os valores de sen1, cos1 
e tg1.
02. Considere que sen x
m= − 2
3
 e que o arco pertence 
à primeira volta positiva. Quais os possíveis valores 
para m?
Situações para resolver
Aula 06
15Matemática 2E
Testes
Assimilação
06.01. Define-se seno do arco AP de medida α na circun-
ferência trigonométrica como sendo a ordenada da extre-
midade P do arco. Assim sendo, quantas das afirmações a 
seguir são verdadeiras? 
sen α
P
A
y
x
α
r = 1
I. Existe arco trigonométrico cujo seno é igual a 3.
II. Qualquer que seja o arco no ciclo, o seno do arco varia 
de –1 a 1.
III. Existem vários arcos distintos no ciclo, cujo seno vale 0.
IV. O seno de um arco de medida α pertencente ao segundo 
quadrante é positivo.
V. Se um arco de medida α pertence ao quarto quadrante, 
então sen α > 0.
VI. O valor do seno diminui à medida que o arco aumenta 
no intervalo de 90° a 180°.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
06.02. Considerando os estudos no ciclo trigonométrico, 
indique V ou F em cada afirmação a seguir, conforme seja 
verdadeira ou falsa, respectivamente:
( ) Para um arco de medida α, se o seno e o cosseno têm 
sinais contrários, então certamente α pertence ao se-
gundo quadrante.
( ) Considerando que o cosseno de um arco é igual a 1 ou 
–1, então a tangente desse arco vale zero.
( ) Dois arcos suplementares, no ciclo trigonométrico, 
tem senos iguais e cossenos opostos.
( ) Se a α medida de um arco é 10 rad, então: sen α < 0; 
cos α < 0 e tg α > 0.
( ) Os ângulos (em graus) α1 e α2 entre 0° e 360° para os 
quais sen α1 = cos α2 são tais que α1 + α2 = 270°.
06.03. Define-se cosseno de um arco AP de medida α no 
ciclo trigonométrico como sendo a abscissa da extremidade 
P do arco. Assim sendo, quantas das afirmações a seguir são 
verdadeiras?
P
A x
�
cos α
α
y
r = 1
I. O cosseno de arcos com ponto final nos quadrantes 
pares é positivo.
II. Se um arco α pertence aos segundo ou terceiro quadran-
tes, então o cos α < 0.
III. Para algum arco de medida α, cos .α = − 2
IV. Sendo α a medida de um arco trigonométrico, então 
–1 ≤ cos α ≤ 1.
V. Para algum arco de medida α, pertencente ao quarto 
quadrante, tem-se cos α = 0,91.
VI. O valor do cosseno aumenta à medida que o arco au-
menta no intervalo de 
π π
2
rad a rad.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
06.04. (IFAL) – Determine o valor da expressão:
y tg sen= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟cos
π π π
3 4 6
−
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
16 Extensivo Terceirão
Aperfeiçoamento
06.05. (MACK – SP) – Se
2 3
cos x , x 2 ,
3 2
então o 
valor de tg x é igual a 
a) −
5
3
b) − 5
2
c) 5
3
d) 
5
2
e) 2 5
06.06. Seja a um número real pertencente ao intervalo 
] [π π
2
, .
A expressão que representa um número real positivo é: 
a) cos a – sen a
b) sen a ∙ tg a
c) cos a ∙ sen a
d) sen a – tg a
e) cos a + tg a
06.07. (IFAL) – O valor da expressão 
sen tg
sen
30 225
2
2
60
+
cos ( )
π − −
 é 
a) 1. 
b) 1
2
.
c) 3.
d) 3.
e) −
1
2
.
06.08. (PUCRJ) – Assinale a alternativa correta 
a) sen (1 000°) < 0
b) sen (1 000°) > 0
c) sen (1 000°) = cos (1 000°)
d) sen (1 000°) = – sen (1 000°)
e) sen (1 000°) = – cos (1 000°)
06.09. (UEL – PR) – O valor da expressão 
cos
2
3
3
2
5
4
π π π+ +sen tg é 
a) 
2 3
2
−
 
b) −
1
2
 
c) 0 
d) 
1
2
 
e) 
3
2
 
06.10. (UEL – PR) – Dos números a seguir, o mais próximo 
de sen 5 é 
a) 1
b) 
1
2
 
c) 0
d) −
1
2
 
e) –1
Aprofundamento
06.11. (UFRGS) – Considere as seguintes afirmações para 
arcos medidos em radianos:
I. sen 1 < sen 3
II. cos 1 < cos 3
III. cos 1 < sen 1
Quais são verdadeiras? 
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) São verdadeiras apenas I e II. 
e)São verdadeiras I, II e III. 
Aula 06
17Matemática 2E
06.12. (UECE) – Se um ângulo é igual ao seu complemento, 
então o seno deste ângulo é igual a: 
a) 
1
2
 
b) 
2
2
 
c) 
3
2
 
d) 1 
06.13. (IFAL) – O valor de x na expressão
x
tg
sen
=
°+ −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
° −
2160
20
3
2640
5
4
cos
cos
π
π é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2 3− . 
d) 3 2− . 
e) 2. 
06.14. (CFTCE) – Sabendo que x é do 4o. quadrante e que 
cos ,x = 1
3
 calcule o valor da expressão y
sen x
x
= +
+
( )
( cos )
.
1
1
06.15. (UFRRJ) – Determine os valores reais de k, de modo 
que a equação 2 – 3cosx = k – 4 admita solução. 
06.16. (UFC) – Sabendo que cos sen ,θ θ= = −
3
2
1
2
e que 
podemos afirmar corretamente que 
cos θ π θ π+ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+ + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥2 2
sen
é igual a: 
a) 0
b) −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
2
1
2
 
c) 
3
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
d) 
3
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
e) −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
2
1
2
 
06.17. (UCS – RS) – Qual é o valor de sen (2α) para α tal 
que sen( ) .α
π α π= ≤ ≤1
4 2
e Dado: para todo número real 
x vale a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 sen(x) cos(x).
a) −
15
4
 
b) −
15
8
 
c) 
15
8
 
d) −
3
4
 
e) 
15
4
 
06.18. (CESGRANRIO – RJ) – Se tgx = 5, então sen2x é 
igual a: 
a) 
1
6
.
b) 
1
5
.
c) 
3
4
.
d) 
3
5
.
e) 
5
6
.
18 Extensivo Terceirão
Gabarito
06.01. c
06.02. F, V, V, V, V
06.03. c
06.04. c
06.05. b
06.06. d
06.07. d
06.08. a
06.09. b
06.10. e
06.11. c
Desafio
06.19. (UFCE) – O número 2 3+ é raiz da equação 
x tg g x2 1 0− ( cot ) .β β+ + = Calcule o valor de 
392sen β ∙ cos β.
06.20. Sendo A e B arcos do 1°. quadrante, tais que
sen A
sen B
1
2
 e 
cos
cos
,
A
B
= 2 10
5
 determine tg A e tg B.
06.12. b
06.13. c
06.14. y =
( )3 2 2
4
−
06.15. 3 ≤ k ≤ 9
06.16. c
06.17. b
06.18. e
06.19. 98
06.20. tg A e tg B
2
4
2 5
5
19Matemática 2E
Matemática
2EAula 07
Trigonometria: relações entre as 
razões trigonométricas
Vimos, na aula anterior, a definição de seno e cosseno de um arco numa circunferência trigonométrica: o seno 
representa uma ordenada enquanto que o cosseno representa uma abscissa. Dessa forma, tanto o sinal quanto o valor 
dessas duas razões trigonométricas podem ser obtidos conforme ilustrado a seguir.
x
r = 1
sen x
x
1
cos x
Duas relações trigonométricas foram então estabelecidas conhecendo-se o seno e o cosseno de um arco x:
sen x
x
1
cos x
tg x sen2 2 1x x+ =cos
e
tg
sen
x
x
xcos
Outras relações entre razões trigonométricas serão apresentadas a seguir, ampliando assim o conjunto das chama-
das relações trigonométricas. 
Outras relações trigonométricas
Além das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um arco, também são definidas as razões cossecan-
te, secante e cotangente de um arco numa circunferência trigonométrica. Cada uma dessas razões pode ser obtida 
por semelhança de triângulos.
20 Extensivo Terceirão
Observe, nas circunferências a seguir, as razões trigonométricas cossecante, secante e cotangente.
Fazendo a semelhança do triângulo destacado na 
figura com o triângulo retângulo de hipotenusa 1 e 
catetos sen x e cos x, tem-se: 
cotg
cos
sen
x
x
x
Fazendo a semelhança do triângulo destacado na 
figura com o triângulo retângulo de hipotenusa 1 e 
catetos sen x e cos x, tem-se:
sec
cos
x
x
1
Fazendo a semelhança do triângulo destacado na 
figura com o triângulo retângulo de hipotenusa 1 e 
catetos sen x e cos x, tem-se:
cossec x
x
1
sen
eixo das
cotangentes
x
1
cotg x
x
1
sec x
x
1
cossec x
Observações:
1. A partir da relação fundamental da trigonometria, é possível também obter duas outras relações:
sec 2 21x x= + tg e cossec 2 21x x= + cotg
2. Os sinais nos quadrantes são obtidos a partir dos sinais do seno e do cosseno. Assim, tem-se:
• Seno e cossecante: têm os mesmos sinais nos quadrantes;
• Cosseno e secante: têm os mesmos sinais nos quadrantes;
• Tangente e cotangente: têm os mesmos sinais nos quadrantes.
Aula 07
21Matemática 2E
01. Considerando que sen(x) = 3
4
 e que x é um arco do 2o. quadrante, obtenha o valor de tg(x).
• A tangente de um arco é a razão entre o seno e o 
cosseno desse mesmo arco. Assim, primeiro vamos 
determinar a razão trigonométrica cosseno:
sen2(x) + cos2(x) = 1
3
4
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 + cos2(x) = 1
cos2(x) = 1 – 
9
16
cos2(x) = 
7
16
 ⇒ cos(x) = – 7
4
 (x ∈ 2o. Q)
• Utilizando a razão trigonométrica tangente, temos:
tg(x) = sen x
x
( )
cos( )
tg(x) = 
3
4
7
4
−
 ⇒ tg(x) = – 3
7
 = – 
3 7
7
02. Simplifique a expressão trigonométrica
E
x tg x
sen x x x
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅
cos( ) ( ) sec(x)
( ) cotg( ) cossec( )
• Expressamos todas as razões trigonométricas em função de seno e cosseno, ou seja:
E
x
sen x
x x
sen x
x
sen x sen x
E=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⇒
cos( )
( )
cos( ) cos( )
( )
cos( )
( ) ( )
1
1
== ⇒ = ⋅ ⇒ =
sen x
x
x
sen x
E
sen x
x
sen x
x
E t
( )
cos( )
cos( )
( )
( )
cos( )
( )
cos( )
gg x2( )
Situações resolvidas
01. Demonstre as seguintes relações trigonométricas: 
(I) sec 2 21x tg x= + (II) cossec cotg2 21x x= +
Situações para resolver
22 Extensivo Terceirão
02. Considerando que θ é um arco do 2o. quadrante e que sen θ = 3 5/ , determine os valores das razões trigonométricas 
cos , sec , cossec , cot .g e tg 
03. (UFAM) – A simplificação de 
1 4
4 4
−
−
tg x
x sen xcos
 é:
a) cossec 4 x b) cos 4 x c) sen x4 d) sec 4 x e) cotg 4 x
Testes
Assimilação
07.01. Se tg θ = 1, θ pertence ao segundo quadrante, então 
cos θ é igual a:
a) 0
b) 1
2
c) 2
2
d) 3
2
e) 1
07.02. (UNIFOR – CE) – Se tg eθ
π
π= < <−
4
3 2
0 , então
a) cos θ = −
4
5
b) sen θ = −
4
5
c) cos θ = − 3
5
d) sen θ =
3
5
e) cos θ =
4
5
Aula 07
23Matemática 2E
07.03. (UNIFOR – CE) – Se o número real x é tal que 
π
π
< < =x e x
3
2
5sec ,− então cotg x é igual a 
07.04. (UNIFOR – CE) – Para todo x ≠ kπ, k ∈ , a expressão 
cossec2x – cotg2x – sen2 x é equivalente a
a) sen2x
b) tg2x
c) sec2x
d) cos2x
Aperfeiçoamento
07.05. (UFRR) – Indique qual das afirmações abaixo é ver-
dadeira:
a) cos 200º < tan 200º < sen 200º
b) cos 200º < sen 200º < tan 200º
c) sen 200º < tan 200º < cos 200º
d) sen 200º < cos 200º < tan 200º
e) tan 200º < sen 200º < cos 200º
07.06. (UEFS – BA) – Se tg θ θ= 6
5
cos , então sen θ é igual a
a) 
3
2
b) − 3
4
c) − 2
3
d) 2
3
e) 3
4
07.07. (VUNESP – SP) – Se (cos ) ( )x sen x e⋅ =
2
3
tg x com x= < <2 0
2
, ,
π
 determine o único valor de
a) cos x
b) sen x + sec x
07.08. (UNIFOR – CE) – Para todo x k k≠ ⋅ ∈π
2
, , a ex-
pressão 
cos cos
sec
ec
sen
θ θ
θ θ
+
+
 é equivalente a:
a) cotg θ
b) – cotg θ
c) tg θ
d) – tg θ
e) sec θ ∙ tg θ
07.09. (UFPel – RS) Toda igualdade envolvendo funções 
trigonométricas que se verifica para todos os domínios de 
tais funções é uma Identidade Trigonométrica.
A expressão idêntica a y = sen x ∙ tan x é
a) y = cos x – sec x.
b) y = sec x – cos x.
c) y = sec x.
d) y = 1 – cos x.
e) y = sen x + cos x.
07.10. (UNIFICADO – RJ) – Se sen x x− cos ,= 1
2
 o valor 
de senx.cosx é igual a:
a) − 3
16
b) − 3
8
c) 3
8
d) 3
4
e) 3
2
24 Extensivo Terceirão
Aprofundamento
07.11. (UNESP – SP) – A caçamba de um caminhão bascu-
lante tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto 
mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1 m de altura 
entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal, isto é, 
quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do 
fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no 
máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado 
em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.
Disponível em: <www.autobrutus.com>. Adaptado.
Dado cos α = 0,8 a altura, em metros, atingida pelo ponto P, 
em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é
a) 4,8.
b) 5,0.
c) 3,8.
d) 4,4.
e) 4,0.
07.12. (UFR – RJ) – Os valores de m para que se tenha 
simultaneamente sen θ = 1 + 4 m e cos θ = 1 + 2 m são:
a) 
2
5
1
2
, − ⎫⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
b) − −2
5
1
3
, ⎫⎬
⎭
⎧
⎨⎩
c) −
1
2
1
10
, ⎫⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
d) − 1
10
2
5
, ⎫⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
e) − −
1
10
1
2
, ⎫⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
07.13. (FURG – RS) – As relações sen x
k
e=
+1
2
 
tg x
k
k
=
+1
1−
 são satisfeitas para valores de k. O produto 
desses valores de k é:
a) – 2 
b) – 1 
c) 0
d) 1
e) 2
07.14. (UFOP – MG) – Determine os valores de x sabendo-se 
que 0 ≤ a ≤ 2π e que: 
tg a
x
a x
= +
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
2
2sec
.
07.15. (UNICAMP – SP) – Sejam k e θ números reais tais 
que senθ e cosθ são soluções da equação quadrática 
2x2 + x + k = 0. Então, k é um número
a) irracional.
b) racional não inteiro.
c) inteiro positivo.
d) inteiro negativo.
07.16. (MACK – SP) – O valor de k, para o qual 
(cos x + sen x)2 + k . sen x . cos x – 1 = 0 é uma identidade, é:
(Obs.: sen x . cos x ≠ 0)
a) –1
b) –2
c) 0
d) 1
e) 2
Aula 07
25Matemática 2E
Gabarito
07.01. c
07.02. c
07.03. 1
2
07.04. d
07.05. b
07.06. d
07.07. a) cos x = =1
3
3
3
b) sen x x+ = +sec ( )3 2 3
307.08. a
07.09. b
07.17. (FUVEST – SP) – O dobro do seno de um ângulo θ, 
0
2
< <θ
π
, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. 
Logo o valor de seu cosseno é:
a) 
2
3
b) 3
2
c) 2
2
d) 1
2
e) 3
3
07.18. (FGV – SP) – Seja f uma função real tal que
f
x
x
x
−
−
1
1⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = , para todo x real não nulo. Sendo
0
2
< <θ
π
, o valor de f(sen2θ)é:
a) sen2 θ
b) cos2 θ
c) tg2 θ
d) sec2 θ
e) cossec2 θ
Desafio
07.19. (PUCCAMP – SP) – Sabendo-se que
sen p sen q sen
p q p q
e+ = ⋅
+
⋅2
2 2
cos
− 
cos cos ,p q sen
p q
sen
p q− − −= ⋅ + ⋅2
2 2
simplificar a 
expressão E
sen x sen x
x x
= +6 2
6 2cos cos
.
−
07.20. (UFOP – MG) – Se 
2
2
n 1 tg x 1
cos x , então
n cotg x 1é igual a:
a) 
2 1
1 2
n
n
−
−( )
b) 2 1
2
n
n
c) 
n
n
−1
1 2( )+
d) 
( )n
n
+1
2 1
2
+
e) 
( )n
n
−1
2 1
2
+
07.10. c
07.11. c
07.12. e
07.13. a
07.14. 3 e –1
07.15. b
07.16. b
07.17. b
07.18. c
07.19. E = – cotg 2x
07.20. a
26 Extensivo Terceirão
Matemática
2EAula 08
Trigonometria: aplicações das 
razões trigonométricas
No quadro a seguir, você encontra um resumo das relações trigonométricas, que são relações entre razões defi-
nidas numa circunferência trigonométrica, para um mesmo arco x. Essas relações foram estudadas na aula anterior. 
sen x x2 2 1+ =cos
tgx
senx
x
=
cos
sec
cos
x
x
= 1
sec x2 = +1 2tg x
cotgx
x
senx
= cos
cossec x = 1
senx
cossec x2 = +1 2cotg x
Observações:
1. Para existir tg x e sec x deve-se ter cos x ≠ 0 
2. Para existir cotg x e cossec x deve-se ter sen x ≠ 0
3. Os sinais dessas razões trigonométricas nos quadrantes são:
Seno e cossecante Cosseno e secante Tangente e cotangente
– –
+ +
– +
– +
+ –
– +
As questões e testes propostos nesta aula foram selecionados com o objetivo de retomar e aprofundar o conheci-
mento sobre as relações trigonométricas definidas numa circunferência trigonométrica.
Testes
Assimilação
08.01. (UPE – PE) – Num triângulo retângulo, temos que tg x = 3. Se x é um dos ângulos agudos desse triângulo, qual o 
valor de cos x?
a) 
1
2
 b) 
5
10
 c) 
2
2
 d) 
1
4
 e) 
10
10
 
Aula 08
27Matemática 2E
08.02. (UNISINOS – RS) – As funções seno e cosseno 
de qualquer ângulo x satisfazem a seguinte identidade: 
sen2x + cos2 x = 1. Se cos x = 0,5, quais são os possíveis 
valores do seno deste ângulo x?
Lembre que sen2x = (sen x)2.
a) −
5
2
5
2
e 
b) −
3
2
3
2
e
c) −
1
2
1
2
e
d) −
2
2
2
2
e
e) −
3
4
3
4
e
08.03. (UEL – PR) – Se x é tal que π
π< < = −x e x3
2
5sec , 
então o valor de sen x é 
a) 
5
5
 
b) 
2 5
5
 
c) −
5
5
 
d) −
2 5
5
 
e) −
30
5
 
08.04. (IFSC) – Se cos ( ) ,x x e=
− < <12
13
3
2
π π 
x (3º. quadrante), então é CORRETO afirmar que o valor 
de tg (x) é: 
a) − 5
13
.
b) − 5
12
.
c) 5
13
.
d) 5
12
.
e) 0,334. 
Aperfeiçoamento
08.05. (FEI) – Sabendo que tg x( ) = 12
5
 e que π
π< <x 3
2
, 
podemos afirmar que: 
a) cotg (x) = −5
12
 
b) sec (x) =
13
5
 
c) cos (x) =
−5
13
 
d) sen (x) = 12
13
 
e) nenhuma anterior é correta 
08.06. (UFSC) – Sabendo que cossec x =
5
4
 e x é do primeiro 
quadrante, então o valor da expressão 9 2 2⋅ +(sec )x tg x é: 
28 Extensivo Terceirão
08.07. (UEPG – PR) – Sendo x um arco do 1º. quadrante e 
sabendo que sen sec ,x
a
a
e x
a
a
=
+
= +
+1
1
2
 assinale o que 
for correto. 
01) cos sen2x x= 
02) cotg cosx x⋅ =
3
6
 
04) tgx =
3
3
 
08) cossecx =
3
2
 
16) sen2
3
2
x = 
08.08. (IBMEC – RJ) – O valor de m para que exista um 
ângulo x com cos ( )x
m
e tg x m=
−
= −2
1
2 é dado por: 
a) Um número par. 
b) Um número ímpar. 
c) Um número negativo. 
d) Um número natural maior que 10. 
e) Um número irracional. 
08.09. (ACAFE – SC) – Se x e sen x x∈⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢
+ = −3
2
2 5 1
π π, cos , 
então o valor da expressão 
75
11
⋅ + −(sec x cossec x sen x) é: 
a) 
4
5
 
b) −
3
5
 
c) 
5
4
 
d) 
11
60
 
08.10. (UFSJ – MG) – Considerando os valores de θ, para 
os quais a expressão 
senθ
θ
θ
θcsc
cos
sec
+ é definida, é CORRETO 
afirmar que ela está sempre igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) sen θ.
d) cos θ.
Aprofundamento
08.11. (UDESC ) – A expressão 
sec (x)
(x)
cossec (x)
cot (x)
2
2
2
2
1
1
1
1
−
+
+ +
+tg g
 
é igual a: 
a) 1 2 2− cos (x) 
b) 3 2 2+ cos (x) 
c) 3 2 2+ sen (x) 
d) 1
e) 1 2 2+ sen (x) 
08.12. (CFTMG) – Sabendo-se que sen a – cos a = m e 
sen a + cos a = n, o valor de y = sen4a – cos4a, é 
a) mn 
b) m – n 
c) m + n 
d) m2 – n2 
08.13. (UFTM – MG) – Dado um triângulo isósceles de lados 
congruentes medindo 20 cm, e o ângulo α formado por esses 
dois lados, tal que 4sen 3cosα α= , determine:
a) O valor numérico de senα.
b) O perímetro desse triângulo. 
Aula 08
29Matemática 2E
08.14. (UFC – CE) – Considere a igualdade 
tgx = cotgx + [P ∙ (2 – sec2x)/2tgx]. Assinale a opção que 
apresenta o valor de P, para o qual a igualdade acima seja 
válida para todo x ∈ , x ≠ kπ
2
, k inteiro. 
a) 2. 
b) 1. 
c) 0. 
d) –1. 
e) –2. 
08.15. (UNICAMP – SP) – Seja x um número real tal que 
sen x x+ =cos , .0 2 Logo, | cos |sen x x− é igual a 
a) 0,5.
b) 0,8.
c) 1,1.
d) 1,4
08.16. (FGV – SP) – No círculo trigonométrico de raio unitá-
rio indicado na figura, o arco AB mede α. Assim, PM é igual a
 
y
x
P
α
B
0M A
a) − −1 tg α 
b) 1− cos α 
c) 1+ cos α 
d) 1+ sen α 
e) − +1 cotg α 
08.17. (FUVEST – SP) – Na figura a seguir, a reta r passa pelo 
ponto T = (0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semirreta Ot forma 
um ângulo α com o semieixo Ox ( )0 90° < < °α e intercepta 
a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, 
respectivamente.
y
α
A
B
O
T
t
r
x
A área do ΔTAB, como função de α, é dada por: 
a) 
1
2
− ⋅sen α αcos 
b) 
1
2
− ⋅cos α αsen 
c) 
1
2
− ⋅sen tgα α 
d) 
1
2
− ⋅sen α αcotg 
e) 
1
2
− ⋅sen senα α 
08.18. (UFSCAR – SP) – O conjunto das soluções em r e θ 
do sistema de equações
r sen
r cos 1
.
.
θ
θ
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3
para r > 0 e 0 ≤ θ < 2π é:
a) 2
6
,
π⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
b) 1
3
,
π⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
c) {2, 1} 
d) {1, 0} 
e) 2
3
,
π⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
30 Extensivo Terceirão
Desafio
08.19. (FUVEST – SP) – Sabe-se que existem números reais 
A e x0 sendo A > 0, tais que 
sen x + 2 cos x = A cos (x – x0)
para todo x real. O valor de A é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 2 2 
e) 2 3 
Gabarito
08.01. e
08.02. b
08.03. d
08.04. d
08.05. c
08.06. 41
08.07. 21 (01 + 04 + 16)
08.08. b
08.09. c
08.10. a
08.11. e
08.12. a
08.20. (UFLA) – Sabendo que sen
a a
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ±
− cos
 e
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a), calcule o seno 
de 37,5°. 
08.13. a) 3
5
b) 4 10 10( )+ cm
08.14. e
08.15. d
08.16. c
08.17. d
08.18. e
08.19. c
08.20. 8 2 2 2 6
4
+ −