Análise Dimensional e Similaridade

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Universidade Estadual de Maringá 
Departamento de Engenharia de Produção 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
Análise dimensional e similaridade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1. Resumo. ............................................................................................................................ 3 
2. Introdução. ....................................................................................................................... 3 
3. Objetivos. .......................................................................................................................... 3 
4. Analise Dimensional .......................................................................................................... 3 
4.1. Premissas para a aplicação. ....................................................................................... 3 
4.2. Homogeneidade Dimensional .................................................................................... 3 
4.3. Adimensionalização das Equações ............................................................................. 3 
4.4. Análise Dimensional .................................................................................................. 4 
4.5. O Teorema de Buckingham. ....................................................................................... 4 
4.6. Correlação de Dados Experimentais. .......................................................................... 5 
5. Semelhança ....................................................................................................................... 5 
5.1. Grupos Adimensionais. .............................................................................................. 5 
6. Conclusão.......................................................................................................................... 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Resumo. 
 
Sob o viés dos conceitos de dimensões e unidades, será revisado os princípios 
fundamentais e demonstrar sua aplicação nas equações. Estuda-se também a 
similaridade entre um modelo e um protótipo. Mostra-se também a análise 
dimensional, e um passo a passo para o método das variáveis repetidas e colocando em 
prática esse método. 
2. Introdução. 
 
A Mecânica do Fluidos é uma ciência muito ligada e dependente de experimentos. Os 
ensaios realizados em laboratório devido sua precisão permite sua replicação em 
grandes escalas reais. E isto é só é possível devido as teorias de semelhança, modelagem 
e análise dimensional. 
Entretanto, tudo possui limitações. A amplificação dos resultados pode não ser 
totalmente exata, mas já auxilia na resolução de problemas mais complexos que sem 
essas ampliações seriam de impossível resolução. 
Quando, por exemplo, deseja-se saber como o arrasto aerodinâmico em um corpo é 
influenciado pelas variáveis de viscosidade, velocidade, massa, entre outras. Seriam 
necessários diversos experimentos, tempo, e inúmeras dificuldades para a execução 
destes testes. 
Contudo, há a possibilidade de unir essas variáveis em um só parâmetro, de modo que 
o experimento consumiria muito menos recursos e dificuldade para sua realização. 
 
3. Objetivos. 
 
• Desenvolver um conhecimento acerca das dimensões, unidades e 
homogeneidade dimensional das equações. 
• Entender e executar o método de repetição das variáveis para identificar 
parâmetros adimensionais. 
• Saber a definição da similaridade dinâmica e como executar modelagem 
experimental deste. 
4. Analise Dimensional 
4.1. Premissas para a aplicação. 
4.2. Homogeneidade Dimensional 
4.3. Adimensionalização das Equações 
Com base na lei da homogeneidade dimensional, se dividirmos uma equação por 
variáveis que tenham as mesmas dimensões, ela se torna adimensional. Ainda se os 
termos da equação forem de unidade, ela é chamada de normalizada, sendo esta a 
forma mais restritiva. 
 
“Cada termo de uma equação adimensional não tem dimensão.” 
 
As variáveis dimensionais são que variam nos problemas e possuem dimensão, 
como tempo, comprimento. Enquanto as adimensionais são as que variam, mas não 
possuem dimensão, como angulo de rotação. 
 
Quando existem constante nos problemas, porém possuem dimensão, como a 
gravidade, são chamadas de constantes dimensionais. Já as constantes sem 
dimensão, como 𝝅, são chamadas de constantes puras, as quais são obtidas pela 
integração de equações. 
 
Reunindo as variáveis e constantes de algum problema dado, recebem o nome de 
parâmetros. 
 
Para realizar o processor de adimensionalização é necessário primeiramente listar 
todas as dimensões das variáveis primárias e das constantes dimensionais. Após isso 
é feito a utilização dos parâmetros de escala para adimensionar as variáveis, e 
substitui-los na equação original. Esse agrupamento é o quadrado de um parâmetro 
adimensional, também chamado de número de Froude. 
4.4. Análise Dimensional 
 
Normalmente são realizados testes em modelos numa escala menor do que do 
protótipo real, e para manter a proporção e exatidão, existe a Análise dimensional, 
o princípio da similaridade. 
Há três condições para a similaridade completa: geométrica, cinemática e dinâmica. 
Geométrica: O modelo deve ter a mesma forma que o protótipo. 
Cinemática: A velocidade de escoamento deve ser proporcional 
Dinâmica: É alcançada quando todas as forças de escoamento envolvidas do modelo 
são proporcionais ao protótipo. 
 
4.5. O Teorema de Buckingham. 
 
Se uma equação envolvendo k variáveis for dimensionalmente homogênea, ela 
pode ser reduzida a uma relação entre k −r produtos dimensionais independentes, 
onde r é o número mínimo de dimensões básicas necessárias para descrever as 
variáveis (Munson). 
E comum em análise dimensional usar o símbolo Π (pi grego maiúsculo) para 
representar um produto de variáveis dimensionais cujo resultado seja 
adimensional. 
Método da Repetição de Variáveis (passos): 
1. Listar todas as variáveis envolvidas (k). 
2. Representar cada variável em termos das dimensões básicas. (r) 
3. Determinar a quantidade de termos necessários Π. (k-r) 
4. Escolher as variáveis de repetição, onde o número necessário é igual ao 
número de dimensões básicas. 
5. Formar um termo Π multiplicando uma das variáveis não repetidas pelo 
produto das variáveis de repetição, sendo cada uma delas elevada a um 
expoente que torne a combinação adimensional. 
6. Repetir o passo anterior para cada uma das variáveis não repetidas 
remanescentes. 
7. Verificar todos os termos Π de modo que todos sejam adimensionais. 
8. Represente a forma final como uma relação entre os termos Π e pense 
sobre o que isso significa. Geralmente: 
 
4.6. Correlação de Dados Experimentais. 
 
Visando uma economia de tempo e experimentos a ser realizado para manter a 
precisão. Há um método que reduz a quantidade de experimentos necessários com 
base na analise dimensional. Realizando um número menor de experimentos com 
base no produto de variáveis. 
Após a realização deste numero reduzido de experimentos, é bem possível que eles 
se relacionem linearmente, caso não se relacionem tão visivelmente, o uso da 
análise de regressão consegue-se encontrar o padrão de comportamento. 
5. Semelhança 
 
Restringindo as condições dos experimentos, obtém-se dados de diferentes condições 
geométricas, entretanto levam ao mesmo ponto na curva. Mostrando que experimentos 
diferentes com escalas diferentes, apresentam os mesmos valores para os grupos 
adimensionais, apresentando a semelhança dinâmica. 
A semelhança em geral, indica que dois fenômenos possuem o mesmo comportamento, 
mesmo tendo diferença de escala. 
5.1. Grupos Adimensionais. 
 
Como dito anteriormente, eles são muito importantes na correlação de dados 
experimental, e emrazão das diversas aplicações, diversos grupos foram criados nas 
áreas que ele compõe. 
Exemplos: 
• Número de Reynolds; 
• Número de Froude; 
• Número de Euler; 
• Número de Mach; 
• Número de Weber; 
• Número de Nusselt; 
• Número de Prandtl; 
 
6. Conclusão. 
Como foi apresentado, existe diferença entre dimensões e unidades. Também existe as 
dimensões primárias e secundárias. E essas dimensões compõe as equações 
matemáticas e que devem ser dimensionalmente homogêneas e que por esse princípio 
é possível dimensionaliza-las. E para a realização deste foi apresentado o método das 
variáveis repetidas. 
Dessa forma, após esse procedimento e o modelo e protótipo coincidem, a semelhança 
dinâmica é atingida e pode prever os valores do protótipo. Entretanto nem sempre isso 
acontece, e faz necessário o uso da semelhança incompleta. Ainda dessa forma 
incompleta, é possível diminuir e muito o nível de experimentos necessários para ter 
uma noção do protótipo.