Analise Dimensional e similaridade

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Mecânica dos Fluidos
Análise Dimensional - Semelhança
Maysa Arouche Ribeiro
Daniel Sousa Alves
 
Introdução
Na mecânica dos fluidos a quantidade de variáveis 
envolvidas nos problemas os tornam quase 
impossíveis de serem resolvidos de forma analítica. 
A analise dimensional vem descomplicar e facilitar 
a resolução desses problemas através de métodos 
experimentais que tornam modelos matemáticos 
condizentes com a realidade.
 
Grandezas Fundamentais e 
Derivadas
● Na mecânica as grandezas fundamentais são três: FLT (força, 
comprimento e tempo) ou MLT (massa, comprimento e tempo);
● Essas grandezas são escolhidas por convenção e são 
chamadas base completa da Mecânica;
● As grandezas derivadas podem ser relacionadas com as 
fundamentais através das equações da Mecânica;
● Elas são todas as outras grandezas que não fazem parte da 
base completa;
● A equação monômia que relaciona uma grandeza derivada 
com a base completa é chamada de equação dimensional.
 
Exemplo:
 
Números Adimensionais
● Um número é adimensional quando não tem dimensão, ou 
seja, do ponto de vista equacional o FLT se apresentam com 
expoente elevado a zero.
● Um bom exemplo seria Número de Reynolds;
● Utilizamos da letra grega π para representar os números 
adimensionais.
 
Vantagem do uso de números 
Adimensionais
● Novamente utilizamos como exemplo a força 
de arrasto, em que na imagem temos uma 
esfera fixa no meio do escoamento, sendo a 
força que o fluido exerce sobre a esfera F = 
f(D, v, ρ, μ), ou seja, dependente do diâmetro , 
velocidade, massa específica e viscosidade.
 
Vantagem do uso de números 
Adimensionais
● Para reduzir a representação gráfica da força 
de arrasto, utilizamos o teorema dos π, para 
que seja visualizado em apenas um gráfico.
 
Teorema dos π 
● Se uma equação envolvendo n variáveis for 
dimensionalmente homogênea, ela pode ser 
reduzida a uma relação entre n − r produtos 
dimensionais independentes, onde r e o número 
mínimo de dimensões básicas necessárias para 
descrever as variáveis.
● É comum em análise dimensional usar o símbolo 
π(pi grego) para representar um produto de 
variáveis dimensionais cujo resultado seja 
adimensional.
 
Teorema dos π
● Temos: F = f(ρ,V,D,µ)
● Passo 1: F,ρ,V,D,µ n = 5 parâmetros (varáveis) dimensionais.⇒
● Passo 2: Usando o sistema MLT: F → M.L.t-²; ρ → M.L−³; V → 
M.t−¹; D →L; e µ → M.L−¹.t−¹. Portanto bastam 3 dimensões 
básicas para montar as dimensões de todas as vari áveis: r = 
3.
● Passo 3: n −r = 5−3 = 2 grupos π.
● Passo 4: r = 3 3 variáveis de repetição devem ser ⇒
escolhidas. Escolhe-se, por exemplo, ρ, V, D. Sempre que 
possível escolha aquelas cujas dimensões envolvidas sejam as 
mais simples em termos de combinação de unidades básicas.
 
Teorema dos π
● Passo 5: Determinar π1:
● Passo 6: Determinar π2:
 
 
Teorema dos π
● Passo 7: Verificação de Adimensionalidade
● Passo 8: Conclusão
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