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Unidade 4
Seção 3
Elementos da Matemática
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Situação-problemaEste conteúdo é melhor visualizado nos navegadores: Chrome, Firefox e Edge.
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A função volume é . Como a altura da lâmina
de água é dada pela função então temos
Sejam f e g duas funções, com . Denomina-se
função composta de f e g a função (lemos f ´´bola´´
g). Chama-se a função de função composta f com g.
A seguir vemos, em um diagrama de flechas, a representação de composição
da função f com a função g.
V = base × altura × largura
H(t) = 2t
V (t) = base × largura × 2t = 5 × 10 × 2t = 100t
g : A → B e f : Im(g) → C
(f ∘ g) (x) = f (g(x))
h(x) = f (g(x))
Fonte: autor.
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Devemos chamar atenção para o fato que, ao
efetuarmos a composição de duas funções na
forma , o contradomínio da função g deve
estar contido no domínio da função f:
.
f ∘ g
CD(g) ⊂ D(f)
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Injetividade e sobrejetividade
Observe que chega no máximo uma flecha nos elementos da imagem da
função f. Por outro lado, no conjunto imagem da função g existe ao menos
um elemento que é atingido por mais de uma flecha. Por esse motivo,
dizemos que a primeira função é injetora e a segunda não é injetora.
Fonte: autor.
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Seja . Dizemos que f
é injetora se, para todos
, temos que
.
A função é injetora. O
domínio desta função é
 e sua imagem é
. Suponha
. Então, como vale
que , temos
que esta função é injetora.
A função não é injetora.
Seu domínio é e seu
conjunto imagem é
f : A → B
x, y ∈ D(f), x ≠ y
f(x) ≠ f(y)
f(x) = 5x
D(f) = R − {0}
Im(f) = R − {0}
x, y ∈ D(f), x ≠ y
f(x) = ≠ = f(y)5x
5
y
f(x) = x2
D(f) = R
Im(f) = {y ∈ R|y ≥ 0}
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Basta tomarmos um par de valores
distintos do domínio desta função, por
exemplo, e observar
que
. Veja na figura ao lado que temos um
único valor associado a
, que é igual a 4.
x = 2 e y = −2
f(x) = f(2) = 22 = (−2)2 = f(−2)
x = 2 e x = −2
Fonte: autor.
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Seja . Dizemos que f é sobrejetora se
o conjunto imagem de f é igual ao
contradomínio: .
Em outras, palavras: se f é uma função
sobrejetora, "não sobra" nenhum elemento do
contradomínio de f sem flecha.
f : A → B
CD(f) = Im(f)
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Uma função é chamada de bijetora
se for injetora e sobrejetora. Quando temos
uma função bijetora, dizemos que temos uma
correspondência biunívoca entre os conjuntos A
e B.
Bijetividade
f : A → B
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Identificação de funções injetoras, sobrejetoras
e bijetoras graficamente
Também é possível identificar pelo gráfico de uma função se a função é
injetora ou sobrejetora. Considere . Traçamos retas paralelas ao
eixo x. Explore a galeria:
f : A → B
Se as retas traçadas encontram o gráfico de f em
no máximo um ponto, então a função é injetora.
Podem existir retas que não encontram o gráfico
de f, mas isso não "estraga" a injetividade da
função.

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Função inversa
Seja uma função bijetora que, a cada
elemento , associa um elemento .
Chama-se função inversa da função f e denota-se
por a função que, se , então
, para e .
Se é a função inversa de , como os valores da
imagem de f são elementos do domínio de e
os valores do domínio de f são a imagem de ,
então .
f : A → B
x ∈ A y ∈ B
f −1 f(x) = y
f −1(y) = x y ∈ B x ∈ A
f −1 f
f −1
f −1
D(f) = Im(f −1) e D(f−1) = Im(f)
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Bons estudos!
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Vídeo de encerramentoEste conteúdo é melhor visualizado nos navegadores: Chrome, Firefox e Edge.
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