02+Representacao+Grafica+de+Funcoes

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Prof. Fernando Teubl Ferreira 
fernando.teubl@ufabc.edu.br 
BC-0005		Bases	Computacionais	da	Ciência	
Representação Gráfica de Funções 
Definição, Representação, 
Interpretação e Soluções 
2014	Q2	 BC-0005	Bases	Computacionais	da	Ciência	 2	
3	
Mo5vação	
•  Em diferentes áreas da Ciência busca-se modelar 
fenômenos por médio de funções matemáticas a 
fim de reproduzir os comportamentos observados 
na natureza. 
•  Dado um modelo, muitas vezes, temos a 
necessidade de visualizar o comportamento do 
mesmo. 
•  Gráficos de funções auxiliam o entendimento dos 
fenômenos. 
4	Espectrograma do 'sonho' 
 
 
Mo5vação	
5	http://www.gapminder.org/world/#$majorMode=chart$is;shi=t;ly=2003;lb=f;il=t;fs=11;al=30;stl=t;st=t;nsl=t;se=t$wst;tts=C$ts;sp=6.72129032258065;ti=2011$zpv;v=0$inc_x;mmid=XCOORDS;iid=ti;by=ind$inc_y;mmid=YCOORDS;iid=phAwcNAVuyj1NHPC9MyZ9SQ;by=ind$inc_s;uniValue=4.86;iid=phAwcNAVuyj0XOoBL_n5tAQ;by=universal$inc_c;uniValue=255;gid=CATID0;by=grp
$map_x;scale=log;dataMin=1751;dataMax=2011$map_y;scale=lin;dataMin=0;dataMax=7031277$cd;bd=0$inds=i239_l001800cqaA 
 
Emissão de CO2 na atmosfera 
 
 
Grande Depressão 
Crise de 29 
A Recessão de 1982 
Mo5vação	
6	
Crescimento de população, ciencia, ... 
 
 
 Wikipedia: Projeção do crescimento 
Mo5vação	
7	
O estudo de funções decorre da necessidade de: 
Analisar fenômenos, visualizando o comportamento de um 
sistema. 
Interpretar interdependências, entendendo como uma 
variável comporta-se com relação à outra. 
Encontrar soluções de problemas. 
Descrever regularidades. 
Generalizar. 
Função	
Definição de uma função	
8	
 
Uma função é uma regra segundo a qual, para cada 
elemento x em um conjunto A corresponde um único 
elemento y em um conjunto B. 
 
O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto 
B é o contra-domínio, ou imagem. 
 
y = f(x) 
 
A variação de y é o conjunto de todos os valores 
possíveis de f(x) quando x varia em todo o domínio. 
Definição de uma função	
9	
Considere a variação de espaço em relação ao tempo, 
durante a trajetória de um trem por uma ferrovia 
 
O que se deseja saber é como varia o espaço percorrido 
pelo trem de acordo com o tempo gasto 
 
Foram feitas medidas do espaço 
percorrido pelo trem em intervalos 
de tempo iguais, por exemplo, 
de hora em hora, 
com os seguintes resultados: 
Tempo (h) Espaço (Km) 
0 0 
1 20 
2 40 
3 60 
4 80 
5 100 
Definição de uma função	
10	
Podemos afirmar que entre dois conjuntos há uma 
correspondência quando existe uma “regra” tal que, ao se 
considerar um elemento de um conjunto, podemos associá-lo 
fazendo uso da “regra” a outro elemento do outro conjunto. 
Existe uma regra de 
formação, que relaciona 
estes dois conjuntos 
(tempo e espaço)? 
Definição de uma função	
11	
A correspondência entre os mesmos pode ser 
representada pela seguinte frase: 
“O espaço é numericamente igual a 20 vezes o tempo, ou 
seja, E = 20*T” 
Dados os conjuntos T (tempo) e 
E (espaço). 
 
Qual a regra que associa um 
elemento de T a um elemento de 
E? 
Definição de uma função	
12	
Espaço = 20 * Tempo 
E = 20*t 
y = f(t) = 20*t 
 
Domínio da função = conjunto do tempo 
Imagem da função = conjunto dos valores do espaço percorrido 
 
y = f(0) = 20*0 = 0 
y = f(1) = 20*1 = 20 
y = f(2) = 20*2 = 40 
y = f(3) = 20*3 = 60 
… 
Exercício (5min)	
13	
Determine: 
a) Variáveis envolvidas 
b) Variável dependente 
c) Variável independente 
d) Domínio da função 
e) Conjunto imagem 
f) A variação da dívida entre 
os anos de 1985 e 1987 
g) A dívida permaneceu 
constante em algum 
período? 
A dívida pública dos EUA (em bilhões de dólares) para 
alguns anos encontra-se no gráfico a seguir: 
14	
Considere os dados da tabela que mostram o crescimento 
de uma população (em milhares) de bactérias 
Qual a equação que descreve esse crescimento 
populacional de bactérias? Esboce o gráfico (~3min) 
Representação gráfica (exemplo 2)	
15	
Populações, em geral, crescem 
muito rapidamente, pois a cada 
geração são mais indivíduos 
para se reproduzir 
 
Dividindo a população de cada 
geração pela da geração 
anterior, obtém-se: 
Efetuando os mesmos 
cálculos para os outros 
dados, teremos também o 
valor 1.3 
Representação gráfica (exemplo 2)	
16	
Representação gráfica (exemplo 2)	
17	
 
Esta é uma função exponencial com base 1.3, assim 
chamada porque a variável x está no expoente 
 
A base representa um fator de crescimento pelo qual a 
população muda a cada geração. 
 
Considerando r a taxa 
percentual, diz-se 
neste caso 
que a taxa de 
crescimento 
é r = 30% = 0.3 
 
Representação gráfica (exemplo 2)	
Representação gráfica (exemplo 1)	
18	
 
Suponha que deseja-se prever a taxa de crescimento de 
uma faixa sócio econômica da população em um período 
de anos não abordado na pesquisa. 
 
Seria necessário fazer um modelo matemático em cima 
do gráfico obtido com os dados disponíveis para se 
conseguir a informação desejada através de uma 
extrapolação. 
19	
Representação gráfica (exemplo 1)	
20	
Encontrar Soluções de Problemas 
Função	
Representação de uma função	
21	
 
Uma função pode ser representada das seguintes formas: 
 
n  Verbalmente (descrevendo-a com palavras) 
n  Numericamente (através de tabela de valores) 
n  Visualmente (através de gráficos) 
n  Algebricamente (utilizando-se uma fórmula explícita) 
22	
 
Parte Prática	
Ferramentas de visualização	
23	
 
Existem diversas ferramentas para utilizadas em calculos 
matemáticos avançados. 
 
- Matlab 
- Maple 
- Octave 
- Scilab: www.scilab.org 
- Rlab (r-project) 
- SciPy (python) 
- Fortran 
 
Geralmente contam com bibliotecas de funções matemáticas 
prontas e recursos avançados. 
Scilab	
24	
O Scilab® é um software utilizado para resolução de 
problemas numéricos 
 
É gratuito e distribuído com código fonte 
 
A interação do usuário com o Scilab pode ocorrer de duas 
formas distintas: 
Na primeira forma, os comando são digitados diretamente no 
prompt do Scilab: 
n  Ao ser pressionada a tecla Enter, os comandos digitados são 
interpretados e imediatamente executados 
n  O Scilab funciona como uma sofisticada calculadora 
 
Na segunda forma, um conjunto de comandos é digitado em 
um arquivo texto: 
n  Este arquivo, em seguida, é levado para o ambiente Scilab e 
executado 
n  Neste modo, o Scilab funciona como um ambiente de 
 programação 
Scilab	
26	
Digitando o comando: 
estaremos criando uma variável real chamada x cujo valor é 
igual a 2. 
 
 
O ponto-e-vírgula ao final da instrução não é obrigatório. 
Caso ele não seja colocado, a variável será apresentada na 
tela: 
Scilab	
Em programas computacionais precisamos armazenar 
informações para utilizarmos durante a execução do 
programa 
Armário ↔ 
Memória do 
computador 
3000:B712 
 
2000:12EC 
Variáveis	
As linguagens de programação permitem que os usuário 
atribuam nomes para as posições de memória da máquina 
Armário ↔ 
Memória do 
computador 
nome 
idade 
nacionalidade 
profissao 
Variáveis	
Uma variável é um endereço da 
memória de acesso randômico (RAM), 
representada por um nome (rótulo), 
criado pelo usuário, cujo conteúdo pode 
se alterar no decorrer do programa. 
nome 
 Uma variável é composta por dois elementos: 
•  Identificador: nome dado pelo programador à variável 
•  Conteúdo: valor atual da variável 
Variáveis	
nome 
idade 
nacionalidade 
profissao 
Maria Carla 
nome Identificador 
17 
idade Identificador 
brasileira 
nacionalidade Identificador 
estudante 
profissao Identificador 
Variáveis	
Uma variável assume apenas 
um valor por vez 
31	
Veremos agora como, cada vez que mencionarmos o nome 
de uma variável, estaremos na verdade utilizando o seu 
conteúdo 
Esta operação define y como sendo uma variável 
com valor igual ao valor de x mais cinco, ou seja, 
y terá um valor igual a 7 
Neste caso, z será igual à multiplicação dos 
valores guardados em x e y, ou seja, z será igual 
a 14Aqui, w será igual à divisão dos valores 
guardados em z e x, ou seja, w 
será igual a 7 
Scilab	
32	
Scilab	
33	
Além dos operadores acima, o Scilab® possui várias 
funções matemáticas que podem ser facilmente utilizadas, 
como por exemplo: 
Scilab	
A função exp() representa a 
exponencial natural. 
Ou seja, 
exp(x) = ex e = 2.7182... 
34	
O Scilab® possui várias funções matemáticas que podem 
ser facilmente utilizadas, como por exemplo: 
• sqrt(x) 
• abs(x) 
• log(x): logaritmo natural (ln) 
• cos(x): cosseno 
• exp(x): exponencial 
A função exp() 
representa a 
exponencial natural 
Ou seja, exp(x) = ex 
π/2 
π
2π
3π/2 
Funções básicas	
35	
 
Temperatura = 15 
Temperatura = Temperatura + 2 
 
Temperatura = 2*15 
Temperatura = 2+8+5 
 
15 = Temperatura ← Erro! 
2+1 = Temperatura ← Erro! 
sin(x) = 5 ← Erro! 
 
Conceito = 1.2 ← Certo! 
Conceito = 1,2 ← Erro! 
Operações básicas	
Operações básicas	
37	
O que precisamos para construir um gráfico no Scilab: 
 
 Definir os valores de x, correspondentes ao domínio da função 
 Calcular os valores da imagem da função, f(x 
 Fazer o gráfico f(x)por x 
Construção de gráficos em 2D	
38	
Vamos considerar a função: 
Existem duas formas para se definir estes valores: 
n  Definindo diretamente os pontos x nos quais queremos 
plotar a função. 
n  Definindo um intervalo de valores de x no qual queremos 
plotar a função 
Scilab – Passo 1	
No intervalo x ∈ [0;2π] 
 
Sempre que desejamos produzir um gráfico de uma função, 
precisamos definir em quais pontos gostaríamos de 
visualizar a função, ou seja, para quais valores de x. 
39	
Iremos definir para a função sin(x) um intervalo de valores 
de x no qual queremos plotar a função: [0;2 π]. 
Tal instrução criará um vetor x cujo primeiro valor será igual 
ao primeiro valor do intervalo. 
O segundo valor será dado pelo valor anterior somado ao 
valor do passo. 
Isto irá se repetir até que o valor da soma seja igual ou 
menor do que o último valor do intervalo. 
Scilab – Passo 1	
40	
Por exemplo, considere o seguinte comando: 
Que irá resultar no vetor: 
x=[0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 ... 6.28] 
Tendo criado um vetor x, precisamos agora encontrar os 
valores de f (x) nestes pontos. Para tanto, utilizamos o 
seguinte comando: 
Gera um vetor f cujos elementos 
são dados pelo seno dos 
elementos definidos em x. 
Scilab – Passo 1	
41	
Finalmente, podemos fazer o gráfico utilizando o 
comando: 
O primeiro 
parâmetro se 
refere ao eixo das 
abscissas e o 
segundo ao eixo 
das ordenadas 
Scilab – Passo 2	
42	
Resumindo o que foi visto até aqui, produzimos o gráfico 
utilizando a seguinte sequência de instruções: 
Scilab – Passo 2	
43	
Para colocar nomes nos eixos dos gráficos podemos usar 
os comandos: 
Scilab – Passo 3	
44	
Para colocar as linhas de grade no gráfico, podemos usar 
o comando: 
 --> set(gca(), “grid”, [1 1] ) 
Scilab – Passo 4	
gca = get current axes 
45	
Para alterar a cor da curva no gráfico, podemos adicionar 
um parâmetro ao comando plot, dado pela primeira letra 
da cor desejada em Inglês. Por exemplo: 
Scilab	
Cuidados adicionais	
Multiplicação/divisão entre vetores: 
 
--> z = x.*y; 
--> w = x./y; 
--> p = x.^2; 
 
x = -10 : 0.01 : 10; 
 
y1 = x.^2; 
plot(x,y1); 
 
 
y2 = x.* exp(x); 
plot(x,y2); 
 -->help exp 
 
 
47	
 no intervalo x = [0; 40] 
Construção de gráficos em 2D	
48	
x = -2*%pi:0.01:2*%pi; 
y = exp(-x.^2/2); 
plot (x,y); 
 
 
x = -10:0.01:10; 
y = 1./(1+exp(-x)); 
plot (x,y); 
 
 
x = 0:0.01:100; 
y = exp(-x.^2/200).*sin(x); 
plot (x,y); 
 
 
Scilab – Desafios 	
 
x = -5*%pi : 0.01 : 5*%pi ; 
y = sin(x) ; 
plot ( x, y, 'bo-') ; 
 
 
x = -5*%pi : 0.01 : 5*%pi ; 
plot ( x, cos(x), 'r*-') ; 
 
 
x = -5*%pi : 0.01 : 5*%pi ; 
plot(x,cos(x+0.5)) ; 
 
 
clf() ← limpa a tela gráfica, evintando que o próximo gráfico 
sobreponha-se ao anterior 
Construção de gráficos em 2D	
Atividade em aula	
A empresa COLKS é a uma indústria automobilística em um pais, 
onde a moeda oficial é o dubila. O lucro mensal da COLKS é função 
do número de carros produzidos no mês. 
Ela tem um custo fixo de 50 dubilas e um custo variável em função 
do número de carros produzidos no mês (NC) dado por 48(NC)0,9. 
 
Vamos dizer que ela venda cada carro por 50 dubilas. Assim, o seu 
lucro L mensal é dado por 
1.  Determine o lucro L da COLKS ao produzir NC=1, NC=4 e 
NC=10 carros. Interprete os resultados que você obteve. 
2.  Agora faça um gráfico de L em função de NC para 0≤NC≤ 20. A 
partir de quantos carros mensalmente vendidos a COLKS começa 
a ter lucro? 
3.  Analisando o gráfico, quantos carros a COLKS tem que produzir 
no mês para ter um lucro de cerca de 100 dubilas? 
51	
Atividade em aula	
1 
52	
Atividade em aula	
2 
Gráficos tridimensionais	
53	
Comandos usados para a criação de gráficos em 3D: 
 meshgrid: cria matrizes ou vetores 3D 
 plot3d: cria um gráfico 3D 
 
Vamos criar o gráfico 3D da seguinte função: 
z = 9-(x2+y2) 
 
 
54	
Gráficos tridimensionais	
55	
Para o gráfico deste exercício, agora diminua o intervalo de 
variação dos valores da variável d, para 1 
 
z=9-(x2+y2) 
Gráficos tridimensionais	
56	
Gráficos tridimensionais	
57	
 
z=9-(x2+y2) 
 
d = [-3:0.1:3]; 
 
[x,y] = meshgrid (d); 
 
z = sin(x) .* cos(y); 
 
plot3d(d,d,z) 
 
 
 
 
Gráficos tridimensionais	
58	
Para o gráfico deste exercício, agora diminua o intervalo de 
variação dos valores da variável d, para 1 
 
z=9-(x2+y2) 
Gráficos tridimensionais