MAT- modulo y matemática aplicada à geometria

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Módulo 12 - Matemática aplicada à Geometria
Matemática - 4º Bimestre - 8º Ano - Ensino Fundamental
O estudo da área como conhecemos hoje se deve à evolução da utilização de objetos com formas planas, os
quais são construídos a partir dos elementos básicos da geometria euclidiana: ponto, reta e plano.
Na Antiguidade, o homem já necessitava indicar com precisão a medida de superfícies, a fim de construir
moradias e plantações.
Nos tempos atuais, ainda se seguem os mesmos princípios para a expansão territorial. As medidas de áreas
que se utilizam obedecem aos padrões do Sistema Internacional (S.I.). Veja o quadro ao lado:
Unidade de medida Representação
Quilômetro quadrado km
Hectômetro quadrado hm
Decâmetro quadrado dam
Metro quadrado m
Decímetro quadrado dm
Centímetro quadrado cm
Milímetro quadrado mm
 
12.1. Áreas de polígonos
 Suas experiências
Observe o esquema a seguir e complete os espaços:
A partir do quadrado de lado ________ tem-se um retângulo com dimensões ________ x ________. Ao
calcular as áreas das duas figuras, obtêm-se:

2
2
2
2
2
2
2
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Área = lado
Área = (_________)
Área = _________
Área = base . altura
Área = _________
Área = _________
Quando dois polígonos têm a mesma área, dizemos que são equivalentes.
 Atividade em grupo
Laboratório: relacionando áreas de figuras planas
Considere cada equivalente a 1 cm , ou seja, com lado igual a 1 cm. Para expressar a área de cada
figura, faça composições de quadradinhos e responda às questões.
Área do retângulo e área do paralelogramo
Área =
_________________
Área
= _________________
 
a) Qual a medida da base do retângulo? ________________
b) Qual a medida da altura do retângulo? ________________
c) Qual a medida da base do paralelogramo? ________________
d) Qual a medida da altura do paralelogramo? ________________
e )Podemos dizer que a altura do paralelogramo e a metade da diagonal maior possuem a mesma medida?
Temos Área = base . altura . Logo: Área =
quadrado 2
quadrado 2
quadrado
retângulo
retângulo
retângulo
2
retângulo paralelogramo
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Temos Área = base . altura . Logo: Área =
Área do retângulo e área do triângulo
Área =
_________________
Área = _________________
a) Qual a medida da base do retângulo? ________________
b) Qual a medida da altura do retângulo? ________________
c) Qual a medida da base do triângulo? ________________
d) Qual a medida da altura do triângulo? ________________
e ) Qual a área do retângulo ? E a do triângulo? ________________
Podemos dizer que a área do triângulo é a ________________ da área do retângulo.
Temos Área = base . altura Logo: Área =
Área do retângulo e área do trapézio
Área =
_________________
Área = _________________
 
a) Qual a medida da base do retângulo? ________________ 
b) Qual a medida da altura do retângulo? ________________ 
c) Qual a medida da base menor do trapézio? ________________ 
d) E a medida da base maior do trapézio? ________________ 
e) Que relação as bases do trapézio têm com a base do retângulo? ________________ 
f) Qual é a área do retângulo? E a do trapézio? ________________ 
Podemos dizer que a área do trapézio é a da área do retângulo.
Temos Área = base . altura Logo: Área =
retângulo paralelogramo
retângulo
triângulo
retângulo triângulo
retângulo 
trapézio
retângulo trapézio
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Área do retângulo/paralelogramo e área do losango
 
a) Qual a medida da base do paralelogramo? ________________ 
b) Qual a medida da altura do paralelogramo? ________________ 
c) Qual a medida da diagonal menor do losango? ________________ 
d) E a medida da diagonal maior do losango? ________________ 
e) Podemos dizer que a altura do paralelogramo e a metade da diagonal maior possuem a mesma
medida? ________________ 
f) Podemos dizer que a diagonal menor do losango e a base do paralelogramo possuem a mesma
medida? ________________ 
Temos Área = base . altura Logo: Área =
 Exploração e descoberta
A partir das informações obtidas no laboratório, vamos formalizar as representações e expressar as
conclusões por meio de fórmulas.
Área do paralelogramo
Você já viu que a área de um retângulo de base b e altura h é dada por:
Altura, em inglês,se escreve height, daí
representarmos essa medida pelaletra h.
 
 Área = b . h
Agora, observe que a partir de um paralelogramo pode-se chegar a um retângulo:
paralelogramo losango
retângulo
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Por isso, a área de um paralelogramo de base b e altura h é expressa por:
 Área = b . h
Área do triângulo
Tracejando a diagonal “d" do retângulo, obtêm-se dois triângulos:
Logo, a área de cada triângulo será a metade da área do retângulo original, descrita por:
 Área = 
Área do trapézio
A partir de qualquer trapézio é possível, por meio de sua duplicação, unir as figuras de modo a obter um
paralelogramo. Observe:
Trapézio retângulo
Trapézio Isósceles
 
Trapézio escaleno
paralelogramo
triângulo 
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Podemos observar os três casos:
 
 
 
 
A partir das representações obtidas, temos que a área de cada paralelogramo é dada por:
Área = (B + b) . h
Lembrando que, a partir da duplicação da área do trapézio, obtivemos a área de um paralelogramo. Logo, a
área do trapézio é a metade da área do paralelogramo:
Área = 
Área do losango
A partir da divisão de um losango por uma de suas diagonais, também é possível obter um paralelogramo.
Assim, a área do losango é representada por d . . Fazendo o produto das frações, obtemos:
Área = 
Quadro com o resumo das áreas dos polígonos
Polígono Dimensões Área
lado ® 
Área = 
 
paralelogramo
trapézio
losango 
quadrado 2
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base ® b
altura ® h
Área = b . h
base ® b
altura ® h
Área = 
base ® b
altura ® h
Área = b . h
base maior ® B
base menor ® b
altura ® h
Área = 
diagonal maior
® D
diagonal menor
® d
Área = 
 
Exemplos:
 
Calcule as áreas das figuras sabendo que cada quadradinho é equivalente a 1cm :
a)
Para o cálculo da área do triângulo, temos:
b = 8 cm
h = 2 cm
Área = 
Área = 
Área = 8 cm
retângulo
triângulo
paralelogramo
trapézio
losango
2
triângulo
triângulo
triângulo 2
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b)
Para o cálculo da área do trapézio, temos:
B = 2x + z
b = x
h = z
 Ampliação dos saberes
Cálculo da área de polígonos utilizando o Teorema de Pick
Representando um polígono (P) qualquer sobre uma malha quadriculada, em 1899 o matemático tcheco
Georg Alexander Pick publicou um artigo apresentando o cálculo de áreas cujos vértices eram pontos da
malha.
A fórmula apresentada por Pick é:
A = + I – 1
 
Em que:
A é a área do polígono com vértices formados por pontos de uma malha quadriculada;
B é a quantidade de pontos localizados sobre os lados do polígono (nas fronteiras);
I é a quantidade de pontos localizados no interior do polígono (pontos do interior).
Abaixo, representamos duas figuras quadriculadas. Em seguida, vamos verificar a validade da fórmula de
Pick.
Representamos B por pontos vermelhos e I por pontos azuis.
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B = 12 A = + I – 1
I = 3 A = + 3 – 1
 A = 6 + 2
 A = 8
 
 
Contando os quadradinhos, obtemos 8 unidades de área.
B = 8 A = + I – 1
I = 1 A = +1 – 1
 A = 4 + 0
 A = 4
 
 
Contando os quadradinhos, obtemos 4 unidades de área.
Demonstre seus conhecimentos
1. Calcule a área de cada figura a seguir:
a) 
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A =
 
b) 
A = 
c) 
A = 
 
d) 
A = 
 
e) 
A = 
f) 
A = 
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2. Represente a expressão algébrica de cada área a seguir:
a) 
A =
b) 
A =
c) 
A =
d) 
A =
3. Utilizando a fórmula de Pick ou contando os quadradinhos, calcule as áreas das figuras representadas nos
pontilhados: Chame de B apenas os pontos sobre o contorno da figura e I todos os pontos internos.
a) 
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b) 
c) 
4. (IBMEC-RJ-2013) – Uma emissora de TV, em parceria com uma empresa de alimentos, criou um
programa de perguntas e respostas chamado “UM MILHÃO NA MESA". Nele, o apresentador faz perguntas
sobre temas escolhidos pelos participantes.
O prêmio máximo é de R$1 000 000,00 que fica, inicialmente, sobre uma mesa, distribuído em 50 pacotes
com 1 000 cédulas de R$ 20,00 cada um. Cada cédula de R$ 20,00 é um retângulo de 14 cm de base por 6,5
cm de altura. Colocando todas as cédulas uma ao lado da outra, teríamos uma superfície de:
a) 415 m
b) 420 m
c) 425 m
d) 455 m
e) 475 m
5. (PUC-MG-2010) – De uma placa quadrada de 16 cm foi recortada uma peça conforme indicado na
figura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:
a) 4
b) 5
c) 6
2
2
2
2
2
2
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d) 7
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 44 “Áreas de polígonos".
 Pensando no assunto
Podemos calcular áreas de figuras não planas também. Por exemplo, o mapa-múndi é uma representação
da planificação da Terra, mas a planificação não é perfeita, sofre pequenas alterações, como mostra a
figura.
12. 2. Áreas de figuras irregulares
Existem alguns profissionais capacitados para determinar áreas de regiões irregulares, como cidades,
parques, países, entre outros. Esses profissionais são chamados de fotogrametristas.
A palavra fotogrametria deriva de três palavras gregas, foto + grama + metria, que significam luz,
descrição e medida. Trata-se de uma técnica na qual, a partir de fotos de diferentes ângulos de um mesmo
local, é possível chegar a uma imagem mais próxima do real. É bastante utilizada na confecção de mapas
topográficos.
 Suas experiências
Já sabemos que o cálculo das áreas dos polígonos em malha quadriculada pode ser realizado por intermédio
da fórmula de Pick ou contando quantos quadradinhos a figura possui. Utilizando o método que preferir,
encontre a área do trapézio e a do losango.
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Área do trapézio = ____________________
Área do losango = ____________________
Agora, observe o octógono irregular representado a seguir. Usando a mesma lógica utilizada para o cálculo
das áreas anteriores, encontre a área desse octógono.
Para o mesmo octógono, vamos adotar um novo método.
1) Determine a quantidade de quadrados inteiros que há na região interna do octógono:
____________________
2) Determine a quantidade de quadrados utilizados para formar o octógono: ____________________
3) Calcule a média aritmética entre as quantidades de quadradinhos encontradas nos itens anteriores: 
O que você encontrou? ____________________
Logo, a área do octógono vale: ____________________
 Exploração e descoberta
No item anterior, iniciamos a apresentação de um método para descobrir a área aproximada de qualquer
figura quadriculada. Vejamos como funciona:
A seguir, temos representado o mapa do estado de São Paulo em uma malha quadriculada:
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Vamos considerar a área de cada quadradinho da malha com o valor aproximado de 4 550 km .
Para calcular a área do estado de São Paulo, levamos em conta:
1º) O número de quadrados contidos totalmente na região:
Nesse caso, são 36 quadrados inteiros que chamaremos de área 1 (A ).
2º) O número de todos os quadrados que envolvem o mapa:
Nesse caso, são 73 quadrados que chamaremos de área 2 (A ).
2
1
2
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3º) A área aproximada da região será a média aritmética entre as quantidades obtidas na contagem (A e
A ).
Retomando que cada quadrado tem área aproximada de 4 550 km , obtemos que a área do estado de São
Paulo é de 54,5 . 4 550 km2 = 247 975 km .
Sabe-se que a área exata desse estado é de 248 209 km ; logo, a área encontrada é muito próxima da
realidade.
Assim, temos que:
Demonstre seus conhecimentos
1. Calcule as áreas dos itens abaixo:
a) 
1
2
2
2
2
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b) 
c) 
d) 
2. Calcule a área do estado de Minas Gerais, sabendo que cada quadradinho representa 53 000 km .2
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 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 46 “Áreas de figuras irregulares".
12. 3. Áreas de setores circulares e coroas circulares
 Suas experiências
Para construir um círculo ou uma circunferência com o compasso, podemos colocar a ponta-seca num ponto,
que é o centro, e girar o compasso 360°. Dizemos então que um círculo ou circunferência possui um ângulo
central de 360°.
Na construção de um gráfico de setores, cada setor tem um ângulo central correspondente à porcentagem
que ele irá representar, sendo que o círculo todo representa 100%.
O gráfico abaixo mostra o desempenho em Matemática de uma certa turma ao longo de um bimestre.
Cada setor ocupa uma região com ângulo correspondente.
Qual ângulo corresponde a cada setor? Registre seus cálculos abaixo:
Desempenho em Matemática
Ruim 
 
 
Regular
Bom
Ótimo
 
Ruim:
Regular:
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Regular:
Bom:
Ótimo:
Resp.: _________________________________________________
 Exploração e descoberta
Área de setores circulares
Já vimos que os arcos representam as partes em que uma circunferência pode ser dividida. Os arcos de uma
região circular estão diretamente relacionados com a medida do ângulo central. Utilizaremos essa
informação para o cálculo da área de um setor circular.
Sabemos que a área do círculo é dada por A = �r .
Essa área é diretamente proporcional ao tamanho do seu raio, e o setor circular é uma parte do círculo
limitada por dois raios e um arco.
Sendo assim, a área do setor circular depende da medida do ângulo central e do raio da circunferência.
Observe que temos duas grandezas envolvidas no cálculo dessa área: ângulo e área.
Partindo do conhecimento de que o círculo é uma figura cujo ângulo central é 360° e que sua área equivale
a �r , temos que a área do setor circular será proporcional ao seu ângulo central.
Dessa maneira, para um setor circular de ângulo central α, podemos fazer:
Para o cálculo da área do setor
circular, podemos sempre utilizar a
regra de três ou, se preferirmos, a
fórmula dada por:
ângulo central área
360° ––––––––––––– �r
 � ––––––––––––– A
círculo 2
2
2
setor
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 360° . A = � . � . r
A = 
Vejamos alguns exemplos:
1. Calcule a área do setor circular abaixo, sabendo que o raio da circunferência é 5 cm. Adote � = 3,14.
 
 
2. Sabendo que a área de um setor circular é de aproximadamente 12 cm e que o raio é igual a 4 cm,
determine o ângulo centralque forma esse setor circular. Adote � = 3.
setor 2
setor
2
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 Ampliação dos saberes
Área do segmento circular
Já vimos que todo segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência recebe o nome de
corda.
Exemplos de cordas: e 
A região circular, delimitada por uma corda e um arco, recebe o nome de segmento circular. Vamos
utilizar como exemplo a figura a seguir.
Repare que na construção de uma corda obtemos dois segmentos circulares: um delimitado pela corda e
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pelo arco e outro delimitado pela corda e pelo arco .
Calculamos a área do segmento circular menor da seguinte forma:
Área = Área – Área
E para calcularmos a área do segmento circular maior, utilizamos:
Área = Área + Área
ou
Área = Área – Área
Demonstre seus conhecimentos
1. Calcule as áreas dos setores circulares em função de �:
a) 
b) 
2. A roleta do Jogo da Vida é dividida em 10 setores circulares, como mostra a figura abaixo:
segmento circular menor setor de ângulo central α triângulo POQ
segmento circular maior setor de ângulo central β triângulo POQ
segmento circular maior círculo segmento circular menor
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Sabendo que o raio da roleta mede 7 cm, calcule a área do setor 9. (Adote � = 3,14).
3. A professora Ana Clara organizou uma atividade para a turma do 5.º ano, usando uma roleta com as
personagens e os elementos de uma fábula. Cada dupla deveria girar a roleta e escrever uma frase com a
palavra que saísse no sorteio. Para a confecção da roleta, a professora precisou de uma circunferência de
diâmetro igual a 32 cm. Qual a área de cada setor? (Adote � = 3)
Resp.: ______________________________________________________
4. O Brasília Shopping tem uma fachada que lembra dois setores circulares. Sua altura equivale à de um
prédio de 14 andares. Determine quantos metros quadrados de vidro foram aproximadamente utilizados
para revestir essa fachada, sabendo que cada andar possui em média 3 metros de altura. Suponha que só
uma das faces do prédio seja revestida em vidro. Adote � = 3,14.
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Resp.: ______________________________________________________
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 46 “Área de setores circulares".
Área de coroas circulares
Suponha a construção de duas circunferências concêntricas de raios R e r, conforme figura abaixo. A região
delimitada por essas duas circunferências recebe o nome de coroa circular. Para determinarmos a sua
área, podemos calcular a diferença entre as áreas dos círculos de raio R e r, respectivamente.
Observe:
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Exemplo:
Partindo de um ponto O, obtivemos duas circunferências: uma de raio 5 cm e outra de raio 4 cm. Pintando a
região entre elas, obtemos:
Determine a área da coroa circular formada por esses raios.
A = � . (R + r) . (R – r)
A = � . (5 cm + 4 cm) . (5 cm – 4 cm)
A = � . (9 cm) . (1 cm)
A = 9� cm
Ou, adotando � = 3,14, temos:
A = 9 . 3,14 cm
A = 28,26 cm
Demonstre seus conhecimentos
1. Dadas duas circunferências de centro O e raios 2 cm e 3 cm, calcule a área da coroa circular formada
entre elas. Adote � = 3,14.
coroa
coroa
coroa
coroa 2
coroa 2
coroa 2
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2 . Thaís vai se casar e já escolheu as alianças, que são do modelo chapa reta anatômico. Ela ficou
impressionada com sua espessura. Veja o modelo da aliança e o esquema com a espessura de 2,5 mm.
Qual a área da superfície da aliança representada no esquema?
Resp.: ______________________________________________________
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 46 “Área de coroas circulares".
12.4. Volumes (sólidos e poliedros)
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O volume de um sólido pode ser definido como o espaço ocupado por ele, e todo corpo que ocupa espaço
pode comportar alguma substância (líquida, gasosa, sólida), que é chamada de capacidade. A seguir,
apresentamos as unidades de medida mais comuns para o volume e a capacidade.
 
Volume
Unidade de
medida
Representação
Quilômetro
cúbico
km
Hectômetro
cúbico
hm
Decâmetro
cúbico
dam
Metro cúbico m
Decímetro
cúbico
dm
Centímetro
cúbico
cm
Milímetro
cúbico
mm
 
Capacidade
Unidade de
medida
Representação
Quilolitro K
3
3
3
3
3
3
3
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Hectolitro h
Decalitro da
Litro
Decilitro d
Centilitro c
Mililitro m
 
Tanto o volume quanto a capacidade estão diretamente ligados a objetos tridimensionais, ou seja, que
possuem três dimensões: altura, largura e comprimento. Esses objetos são chamados de sólidos
geométricos.
 Suas experiências
A seguir, temos os sólidos que estudamos no 6.º ano. Vamos ver se nos recordamos da identificação e das
características de cada um? Complete os espaços:
Sólido Nome Características
_____________
É um prisma em que todas as
faces têm forma de
_________________ .
Possui ___ vértices, ____
arestas e ___ faces.
_____________
__________ cujas bases são
paralelogramos.
Possui ____ vértices, ____
arestas e 6 ________ .
_____________
Sólido que possui base em
forma de ___________ e face
lateral constituída por
triângulos. Possui ___ vértices,
___ arestas, ___ faces e ___
base (triângulo).
_____________
Sólido que possui base em
forma de _______________ e
face lateral constituída por
triângulos. Possui 5
___________ , 8
_____________ , 5 faces e 1
base (_______________ ).
Sólido que possui base em
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_____________
forma de pentágono e face
lateral constituída por
triângulos. Possui ___ vértices,
10 ______________ , 6 faces e
___ base (_______________).
_____________
Sólido que possui base em
forma de hexágono e face
lateral constituída por
triângulos. Possui ___ vértices,
12 arestas, ___ faces e 1 base
(______________).
_____________
Sólido limitado por uma
superfície curva. Tem base em
formato ____________________
e ___ vértice.
_____________
Sólido limitado por uma
superfície curva. Tem 2 bases
em forma de
________________________.
_____________
Sólido limitado por uma
superfície curva, não possui
bases, nem vértices, nem
arestas.
 Exploração e descoberta
Volume do prisma
Já aprendemos que calcular o cubo de um valor significa efetuar o produto com três fatores iguais. Por
exemplo, o cubo de (4 ) pode ser determinado efetuando 4 . 4 . 4, ou seja, 64. Esse cálculo pode ser
representado por um problema de cálculo de volume de uma figura cúbica de aresta medindo 4 cm.
Observe:
Volume de um cubo de 4 cm de aresta: (4 cm) = 4 cm . 4 cm . 4 cm = 64 cm
Determinar o cubo de 4 significa então calcular o espaço que um cubo de 4 cm de aresta ocupa, ou seja, o
seu volume.
3
3 3
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Logo, temos:
 
V = aresta
V = (4 cm)
V = 64 cm
 
Se quisermos saber qual a capacidade do cubo, podemos converter a medida para m e lembrar que 1m é
equivalente a 1000 litros. Ou seja:
km hm dam m dm cm mm
 0, 000 064 
64 cm = 0,000064 m
Se cada 1 m = 1000 
0,000064 m . 1000 = 0,064 
Ou ainda:
k h da d c m
 0, 0 6 4
Assim:0,064 = 64 m
O volume do cubo de aresta 4 cm é 64 cm .
A capacidade do cubo de aresta 4 cm é 64 m .
Lembre-se de que:
1 m = 1000 
1 dm = 1 
1 cm = 1 m
 
O volume do paralelepípedo pode ser determinado pelo cálculo b . c . h, no qual b e c correspondem às
dimensões da base do sólido e h correspondeà sua altura. Assim, podemos escrever:
V = b . c . h
Logo, para um paralelepípedo de b = 10 cm, c = 6 cm e h = 6 cm, temos:
cubo 3
cubo 3
cubo 3
3 3
3 3 3 3 3 3 3
3 3
3
3
3
3
3
3
paralelepípedo 
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V = 10 cm . 6 cm . 6 cm
V = 360 cm
A capacidade em m é: 360 m .
Esses sólidos que acabamos de ver são chamados de prismas retos.
Prisma reto é um poliedro com duas bases
poligonais paralelas e faces laterais retangulares.
 
Para obtermos o volume de um prisma reto, independente do polígono da base, podemos calcular o produto
entre a área da base e a sua altura:
V = A . h
 
Volume da pirâmide
O volume da pirâmide é obtido pela terça parte do volume do prisma. Vamos ilustrar com um prisma de
base triangular:
A partir de um prisma triangular, podemos obter três pirâmides de base triangular equivalentes.
Observe:
O mesmo acontece com um prisma de base quadrada:
Nos exemplos anteriores, vimos que o prisma e a pirâmide possuem seus volumes na razão de 1 para 3,
independente da base da pirâmide.
Para o cálculo do volume do prisma, temos:
V = Área . h
Como o prisma é a somatória de três pirâmides equivalentes, o volume da pirâmide será o volume do
prisma dividido por três.
V = 
Volume do cilindro
Considere os sólidos abaixo, nos quais a área da base quadrangular e a área da base circular são
paralelepípedo
paralelepípedo 3
prisma base
prisma base
pirâmide
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equivalentes. Logo, tem-se que A = A .
Se as alturas dos sólidos representados pelas bases acima são também equivalentes, podemos concluir que
os volumes dos dois sólidos são equivalentes.
O volume do cilindro é análogo ao volume do prisma, ou seja, obtemos o volume do cilindro pelo produto
entre a área da base e sua altura.
 
V = Área . h
Volume do cone
A relação que vimos entre volumes dos prismas e pirâmides (um para três) também acontece entre o cone
e o cilindro. Ou seja, o volume do cone é a terça parte do volume do cilindro.
V =? 
Volume da esfera
Para a demonstração do cálculo do volume da esfera, precisaríamos de estudos mais avançados, como o do
cálculo integral e o da matemática de Arquimedes. Por enquanto, veremos apenas que o seu volume é dado
por:
1 2
cilindro base
cone
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V = 
Resumidamente, temos que:
Sólidos Nome Volume
Prismas e
cilindros
V =
Área
. h
Pirâmides e
cones
Esfera 
 
 Pensando no assunto
FRANCESCO BONAVENTURA CAVALIERI
Matemático e astrônomo italiano. Nascido em Milão, foi professor da Universidade de Bolonha e inventor do
método dos indivisíveis (1635), o qual deu início a uma nova era para a Geometria e abriu caminho para a
introdução do cálculo integral. Segundo Cavalieri, ao determinarmos secções de áreas iguais a partir das
divisões de dois sólidos de mesma altura com bases equivalentes, obtemos sólidos de volumes iguais.
esfera
base
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Exemplo:
Suponha uma casquinha de sorvete no formato de um cone de altura 10 cm e de círculo da base com 5 cm
de diâmetro. Quantos mililitros de sorvete cabem aproximadamente na casquinha?
Adote � = 3,14.
 
 
Como cada 1 cm = 1 m , temos que 65 cm equivale a 65 m . Logo, cabem na casquinha 65 m de
sorvete.
Demonstre seus conhecimentos
1. Calcule o volume de cada sólido:
a) 
b) 
3 3
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c) 
d) 
2 . Maria adora chocolate e resolveu comprar uma caixa desse doce no formato de guarda-chuva. Cada
chocolate tem 9 cm de altura e 3 cm de raio. Sabendo que a caixa possui 50 unidades, qual volume de
chocolate Maria comprou? (Adote � = 3,14)
3. (ENEM-2010) – Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo
ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é
interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de
a) 12 cm
b) 64 cm
c) 96 cm
d) 1 216 cm
e) 1 728 cm
4. (ENEM-2010) – O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais
descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits
com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura
seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico
3
3
3
3
3
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utilizado. Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de
(considere � = 3).
a) R$ 86,40.
b) R$ 21,60.
c) R$ 8,64.
d) R$ 7,20.
e) R$ 1,80.
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 48 “Volumes (sólidos e poliedros)".
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Áreas de
polígonos (I)
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Áreas de
polígonos (II)
 
Professora: Rosana
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Perleto dos Santos
Aula: Áreas de
polígonos (III)
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Áreas de figuras
irregulares (I)
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Áreas de figuras
irregulares (II)
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Áreas de
setores circulares e
coroas circulares (I)
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Áreas de
setores circulares e
coroas circulares (II)
 
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Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Volumes
(sólidos e poliedros)
(I)
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Volumes
(sólidos e poliedros)
(II)
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