APOSTILA - Sistemas de Amortização

Prévia do material em texto

Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 125 
8. Amortização 
 
 Neste capítulo estudaremos os principais sistemas de amortização utilizados para 
saldar empréstimos ou financiamentos e as formas utilizadas para calcular o saldo devedor, 
os valores amortizados, juros compensatórios e as prestações a serem pagas a cada período 
estabelecido pelas partes contratadas para devolução de um empréstimo ou valores 
financiados. 
 Uma vez estabelecido o valor tomado emprestado ou financiado, e o sistema de 
amortização que será utilizado para resgatar dívida contraída, o plano de pagamento será 
demonstrado através de tabelas que são chamadas de planilhas de amortização. 
 
8. 1 DEFINIÇÕES 
a) Amortização: de um modo geral, amortizar é resgatar uma dívida, depositando ou 
pagando certa quantia em épocas distintas. É a parcela que é deduzida do saldo devedor a 
cada pagamento. 
 
b) Saldo devedor: é igual ao valor principal tomado emprestado subtraído do valor 
amortizado a cada período. 
 
c) Juros Compensatórios: é o valor determinado pelo produto da taxa estabelecida a cada 
período sobre o saldo devedor do período anterior. 
 
d) Prestação: é o resultado do valor amortizado mais a parcela de juros compensatórios 
 
 Considere P o valor do principal (ou capital inicial emprestado), chama-se: 
• 0S = saldo devedor no instante 0 = P e 
• tS = saldo devedor no instante t 
 
 O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante (t – 1), mais os 
juros ( tJ ) produzidos por ele, menos a prestação ( tR ) paga no instante t. Assim: 
 
 tttt RJSS −+= −1 (1) 
 
 Se os juros produzidos no período são pagos no final do mesmo, a AMORTIZAÇÃO 
DO SALDO DEVEDOR NO INSTANTE t ( tA ) , pode ser calculada da seguinte forma: 
 
 ttt JRA −= (2) 
 
onde tJ é determinado fazendo a taxa de financiamento incidir sobre o saldo devedor do 
período anterior ( ))1( −tS , ou seja: 
 1−= tt S iJ (3) 
ou 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 126 
 (4) 
 
 
 Conhecido o valor dos juros podemos calcular parcela a ser amortizada pela seguinte 
expressão, isolando tR na equação (2), assumindo a seguinte forma: 
 
 ttt JAR += (5) 
 
 Substituindo tR na expressão (1) vem que 
 tttt RJSS −+= −1  ( )ttttt JAJSS +−+= −1 , 
Assim: 
 ttt ASS −= −1 (6) 
 
 Desta forma podemos afirmar que para t = 1, 2,...,n, teremos: 
 
 101 ASS −= 
 212 ASS −= 
 323 ASS −= 
  
 nnn ASS −= −1 
 
 Considerando que PS =0 , (saldo devedor na data zero igual ao capital emprestado) e 
somando membro a membro os termos das igualdades de (6), temos: 
 ( )nnnn AAASSSSPSSSSS +++−+++++=+++++ −−  2113211321 
 
 ( )nn AAAPS +++−= 21 (8) 
 
 Como o capital financiado subtraído as amortizações produzem um Sn = 0, vem que: 
 ( )nAAAP +++−= 210 , (9) 
 
 nAAAP +++= 21 (10) 
 
 Conclui-se que, quando os juros são pagos nos instantes t = 1, 2,..,n , a soma das 
amortizações é igual ao principal. 
 Cabe ainda salientar que um empréstimo ou financiamento pode ser amortizado com 
ou sem carência. Se houver carência, serão considerados dois casos: 
 
a) Carência mais juros compensatórios: neste caso não haverá amortizações durante o 
período de carência, porém o tomador deverá pagar prestações iguais aos juros 
compensatórios que incidem sobre o principal a cada período que corresponde a 
carência. 
 
(7) 
ttt ARJ −=
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 127 
b) Carência mais saldo devedor corrigido: quando a forma de amortização contemplar este 
caso, não haverá nenhuma forma de pagamento durante a carência, porém o saldo 
devedor será corrigido a uma taxa de juros compostos igual a taxa de juros 
compensatórios. As prestações serão calculadas com baseadas no conceito de uma série 
uniforme de pagamento postecipada. 
8.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 O Sistema de Amortização Constante (SAC), também chamado de hamburguês, 
passou a ser utilizado no Brasil a partir de 1971, pelo Sistema Financeiro da Habitação. 
Este sistema caracteriza-se por ter TODAS AS PARCELAS DE AMORTIZAÇÃO 
IGUAIS. Assim, considerando pagamento de juros em todos os períodos, teremos que o 
valor a ser amortizado ( nA ) é dado pela expressão: 
 A
n
P
AAA n ===== 21 (11) 
onde: 
• A = amortização 
• P = Principal 
• n = período total da operação 
 
8.2.1 Cálculo do Valor da prestação ( nR ): 
Temos: 
 PiAJAR +=+= 11 
( ) AiPiAiAPAJAR −+=−+=+= 22 
( ) AiPiAiAPAJAR 2 233 −+=−+=+= 
 
( )  ( )AinPiAiAnPAJAR nn 1 1 −−+=−−+=+= 
 
Logo, é dada pela expressão: 
 
 ( ) iAnPiARn 1−−+= (12) 
onde: 
• Rn = Termo, parcela ou prestação 
• A = Valor da amortização 
• P = Principal ou valor atual 
• i = Taxa de juro 
• n = ( 1, 2, 3, . . . , n − 1, n ) de acordo com a parcela que esta sendo paga. 
 
 No SAC os juros e as prestações formam uma progressão aritmética cuja a razão é -
iA (menos amortização x taxa). Como: ttt JAR += ( Parcela = Amortização + juros), e 
AAt = , temos que o gráfico das prestações em função do tempo seria: 
 
 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 128 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 n tempo 
 
 O valor da prestação vai diminuindo em função do tempo, pois os juros vão 
diminuindo em função do tempo. O saldo devedor vai diminuindo em função do tempo, 
extinguindo-se com o último pagamento. 
 
Exemplos: 
1. Um empréstimo de R$ 8.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações mensais sem 
carência pelo SAC. A taxa de juro é de 6% a.m.. Obtenha a planilha. 
Temos: =
n
C
An 00,600.1
5
8000
==A 
 00,080.206,0,8000,600.11 =+=R 
 
 01 SiJ =  00480 0000080601 ,,.,J == 
 
 −= − 111 ASS n 00,400.6,600.1,000.81 =−=S 
  
Observação: 00,9606,0,1600 =−=− Ai 
 
PLANILHA DO SAC EM REAIS: 
Meses 
Saldo devedor 
nnn ASS −= −1 
Amortização ( )nA 
nCA = 
Juros 
1 −= nn SiJ 
Prestação 
nnn JAR += 
0 8000, - - - 
1 6400, 1600, 480, 2080,2 4800, 1600, 384, 1984, 
3 3200, 1600, 288, 1888, 
4 1600, 1600, 192, 1792, 
5 - 1600, 96, 1696, 
Total 8000, 1440, 9440, 
 
2. Um banco que opera com uma taxa de 4,7% ao mês concede empréstimos de R$ 
15.000,00 para serem pagos em 5 parcelas mensais com três meses de carência (mais juros 
compensatórios), calculado pelo SAC. Construa a planilha de financiamento. 
Temos: 01 SiJ =  J1 = 15.000, x 0,047 = 705,00 
 000003
5
00015
,.
,.
A
n
C
A nn === 
Rn 
1J
 
2J
 
3J
 nJ
 
A A A An 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 129 
J2 
Jn 
 R1 = A1 + J1  R1 = 3000, + 705, = 3.705,00 
 
 00,000.12,000.3,000.151111 =−=−= − SASS n 
 
 −A . i = − 3.000, x 0,047 = − 141,00 
 
Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 15.000, - - - 
1 15.000, - 705, 705, 
2 15.000, - 705, 705, 
3 15.000, - 705, 705, 
4 12.000, 3.000, 705, 3.705, 
5 9.000, 3.000, 564, 3.564, 
6 6.000, 3.000, 423, 3.423, 
7 3.000, 3.000, 282, 3.282, 
8 000, 3.000, 141, 3.141, 
Total 15.000 4.230, 19.230, 
 
8.3 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA) 
 O Sistema Francês de Amortização foi concebido no século XVIII na França pelo 
matemático inglês Richard Price, o que originou o nome de um caso particular do Sistema 
Francês de Amortização, chamado de Sistema Price ou Tabela Price. Estes sistemas têm 
como base o sistema de capitalização composto de juros, o que favorece o financiador, 
fazendo que a partir do século XIX estes fossem difundidos para o mundo todo, sendo até 
os dias de hoje largamente usado na grande maioria dos empréstimos e financiamentos 
concedidos pelas instituições financeiras. 
 Pelo Sistema Francês o devedor compromete-se a amortizar o empréstimo com 
PRESTAÇÕES CONSTANTES ( FIXAS) PERIÓDICAS E IMEDIATAS . 
 Como as prestações são constantes, a medida em que estas vão sendo pagas, a dívida 
diminui e os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de amortização tornam-se 
automaticamente maiores. 
 O gráfico que representa as prestações, a amortização e os juros ao longo do tempo 
têm o seguinte aspecto: 
 nR 
 1A 
 2A 3A 
 nA 
1J 
 3J 
 
 0 1 2 3 n tempo 
An 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 130 
 Do gráfico observamos que: 
• O valor das parcelas é constante ao longo do tempo. 
• O valor dos juros vai diminuindo ao longo do tempo. 
• O valor da amortização vai aumentando ao longo do tempo. 
 
8.3.1 Cálculo do Valor da prestação ( nR ): 
 O Sistema Francês tem como base o regime de capitalização composta e o cálculo do 
valor da prestação é feito a partir da expressão: 
 
 ( ) 1i 
−
= nt aPR , t = 1,2,3, ...n (13) 
ou, pela equação: 
 
( )
1
11
−
−







 +−
=
i
i
PR
n
 (14) 
ou ainda, por: 
 
( )
( ) 11
1
−+
+
=
n
n
i
iPi
R (15) 
 
que podem ser utilizadas para calcular a prestação postecipada de uma seqüência de 
capitais uniformes. 
 
Exemplos: 
1. Um empréstimo de R$ 8.000,00 vai ser amortizado pelo SFA em 5 parcelas mensais sem 
carência. Elabore a planilha de financiamento sabendo que a taxa é de 6% ao mês, 
 Para os cálculos das prestações a serem ressarcidas, dos juros, da amortização e saldo 
devedor, procede-se da seguinte forma: 
Prestação  17,899.1
)06,01(1
06,0
,000.8 555 =





+−
=
−
RR 
Juros  01 SiJ =  00,480,000.806,01 ==J 
Amortização  111 JRA −=  17,409.100,48017,899.11 =−=A 
Saldo devedor  101 ASS −=  83,580.617,409.100,000.81 =−=S ... 
 
PLANILHA DO SFA EM REAIS: 
Meses 
Saldo devedor 
nnn ASS −= −1 
Amortização ( )nA 
nnn JRA −= 
Juros 
1 −= nn SiJ 
Prestação 
RRn = 
0 8.000,00 - - - 
1 6.580,83 1.419,17 480,00 1.899,17 
2 5.076,51 1.504,32 394,85 1.899,17 
3 3.481,93 1.594,58 304,59 1.899,17 
4 1.791,68 1.690,25 208,92 1.899,17 
5 00,00 1.791,68 107,50 1.899,17 
Total - 8.000,00 1.495,86 9.495,86 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 131 
 Os cálculos da planilha podem ser obtidos diretamente na HP 12-C da seguinte 
forma: 
 
 < f > < CLX > 
 8.000,00 < CHS > < PV > 
 5 < n > 
 6 < i > 
 < PMT > Prestação R$ 1.899,17 
 1 < f > < AMORT > ( 1J ) Juro do 1
o período R$ 480,00 
 < yx  > ( 1A ) Amortização do 1
o período R$ 1.419,17 
 < RCL > < PV > ( 1S ) Saldo devedor no 1
o período R$ −6.580,83 
 1 < f > < AMORT > ( 2J ) Juro do segundo período R$ 394,85 
 < yx  > ( 2A ) Amortização do 2
o período R$ 1.504,32 
< RCL > < PV > ( 2S ) Saldo devedor do 2
o período R$ −5.076,51 
1 < f > < AMORT > ( 3J ) Juro do 3
o período R$ 304,59 
 < yx  > ( 3A ) Amortização do 3
o período R$ 1594,58 
 < RCL > < PV > ( 3S ) Saldo devedor do 3
o período R$ −3.481,93 
1 < f > < AMORT > ( 4J ) Juro do 4
o período R$ 208,92 
 < yx  > ( 4A ) Amortização do 4
o período R$ 1.690,26 
 < RCL > < PV > ( 4S ) Saldo devedor do 4
o período R$ −1.791,67 
1 < f > < AMORT > ( 5J ) Juro do 5
o período R$ 107,50 
< yx  > ( 5A ) Amortização do 5
o período R$ 1.791,67 
 < RCL > < PV > ( 5S ) Saldo Residual 5S = -0,000002 
 
Observação: Nesse caso, todos os valores dos saldos devedores fornecidos pela calculadora 
são negativos devido a forma pela qual foram calculados. Como o último saldo devedor 
não é nulo, mas deve ser, entende-se que a dívida ainda não foi totalmente paga e ainda 
falta ser pago R$ -0,000002. Este valor é o saldo residual, valor remanescente no fim do 
prazo contratado, decorrente da evolução do financiamento. Quando ele é positivo o 
devedor deve fazer o pagamento para que a divida seja liquidada. Quando ele é negativo 
significa que a divida foi liquidada 
 
2. Um empréstimo de R$ 8.000,00 deve ser saldado em 5 parcelas mensais iguais, com 2 
meses de carência. Construa uma planilha utilizando o SFA considerado uma taxa de 6% 
ao mês e que os juros produzidos no período de carência irão sendo incorporados ao saldo 
devedor. 
 - Correção do saldo devedor durante o período de carência. 
 8.000, x 1,06 = 8.480,00 e 8.480, x 1,06 = 8.988,80 
ou 
 niCM )1( +=  M= 8.000, (1+0,06)2 = 8.988,80 
No visor da HP aparecerá: 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 132 
-Calculo da prestação: 








+−
=
−506011
060
809888
),(
,
,,.Rt  =tR R$ 2.133,91 
PLANILHA DO SFA EM REAIS: 
Meses Saldo devedor Amortização ( )nA Juros Prestação 
0 8.000,00 - - - 
1 8.480,00 - - - 
2 8.988,80 - - - 
3 7.394,22 1.594,58 539,33 2.133,91 
4 5.703,96 1.690,26 443,65 2.133,91 
5 3.912,29 1.791,67 342,24 2.133,91 
6 2.013,12 1.899,17 234,74 2.133,91 
7 00,00 2.013,12 120,79 2.133,91 
Total - 8.988,80 1.680,75 10.669,55 
 
Os cálculos da planilha podem ser obtidos diretamente na HP 12-C da seguinte forma: 
 
 < f > < CLX > 
 8.000,00 <enter> 6 < % > < + > R$ 8.480,00 
 <enter> 6 < % > < + > R$ 8.988,80 
 < CHS > < PV > 
 5 < n > 
 6 < i > 
 < PMT > Prestação R$ 2.133,91 
 1 < f > < AMORT > ( 3J ) Juro do 3
o período R$ 539,33 
 < yx  > ( 3A ) Amortização do 3
o período R$ 1594,58 
 < RCL > < PV > ( 3S ) Saldo devedor no 3
o período R$ −7.394,22 
 1 < f > < AMORT > ( 4J ) Juro do 4
o período R$ 443,65 
 < yx  > ( 4A ) Amortização do 4
o período R$ 1.690,26 
 < RCL > < PV > ( 4S ) Saldo devedor do 4
o período R$ −5.703,96 
 1 < f > < AMORT > ( 5J ) Juro do 5
o período R$ 342,24 
 < yx  > ( 5A ) Amortização do 5
o período R$ 1.791,67 
 < RCL > < PV > ( 5S ) Saldo devedor do 5
o período R$ −3.912,29 
1 < f > < AMORT > ( 6J ) Juro do 6
o período R$ 234,74 
 < yx

 > ( 6A ) Amortização do 6
o período R$ 1.899,17 
 < RCL > < PV > ( 6S ) Saldo devedor do 6
o período R$ −2.013,12 
1 < f > < AMORT > ( 7J ) Juro do 7
o período R$ 120,79 
< yx

 > ( 7A ) Amortização do 7
o período R$ 2.013,12 
 < RCL > < PV > ( 7S ) Saldo Residual 7S = 0,000000 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 133 
8.4 SISTEMA PRICE DE AMORTIZAÇÃO 
O sistema de amortização PRICE (tabela PRICE), é um CASO PARTICULAR DO 
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO, sendo que este possui as seguintes 
características que o diferem do Sistema Francês: 
• A taxa de juros é dada em termos nominais e geralmente é anual. 
• A taxa de juro é dada num período maior que o vencimento das parcelas. 
• O juro mensal é a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, sendo 
esta calculada a partir da taxa nominal. 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser amortizado pela tabela PRICE em 5 
parcelas mensais, sem prazo de carência. Sabendo que a taxa cobrada pelo banco é de 12% 
a.a., construir a planilha. 
 
A taxa estipulada para este empréstimo é de 12% a.a., então, a taxa mensal proporcional é: 
12
12,0
=i = 0,01 a.m. ou i = 1% a. m. 
A prestação será: ( ) 11500,000.20
−
= aR = 4.120,80 
 
 Na calculadora financeira pode ser calculada através da HP 12 C, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 R = R$ 4.120,80 
 
 Por ser este um tipo de amortização do Sistema Francês, a parcela e demais itens que 
compõe a planilha são construídos de forma análoga ao que vimos no SFA. 
 Observação: Como foi visto anteriormente, no regime de capitalização composta a taxa 
proporcional de 1% ao mês que utilizamos, não é equivalente a 12% a.a. A taxa equivalente 
anual é maior e neste caso temos: 
( ) ( )ai, +=+ 10101
12
  ( ) 1011 12 −= ,ia  126825,0=ai ou 12,68% a.a. 
ou seja, 12,68% é a taxa efetiva da operação. 
 
PLANILHA PRICE EM REAIS: 
Meses 
Saldo devedor 
nnn ASS −= −1 
Amortização ( )nA 
nnn JRA −= 
Juros 
1 −= nn SiJ 
Prestação 
RRn = 
0 20.000,00 - - - 
1 16.079,20 3.920,80 200,00 4.120,80 
2 12.119,19 3.960,01 160,79 4.120,80 
3 8.119,58 3.999,61 121,19 4.120,80 
4 4.079,98 4.039,60 81,20 4.120,80 
5 0,00 4.079,98 40,80 4.120,78 
Total 20.000,00 603,98 20.603,98 
< f > < CLX > 
20.000,00< CHS >< PV > 
1 < i > 
5 < n > 
< PMT > 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 134 
Observação: Esta planilha também pode ser calculada diretamente na HP 12-C de forma 
análoga a utilizada no SFA. 
 
8.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
Este sistema foi desenvolvido para atender o Sistema Financeiro da Habitação 
(SFH) e foi implementado no ano de 1979. Caracteriza-se por ter prestações uniformemente 
decrescentes, juros decrescentes e amortização crescente, ao longo dos períodos. 
O Sistema de Amortização Misto é a média aritmética do SAC e do Sistema Francês 
de Amortização, em todos os itens que contém a planilha. 
 
Exemplo: Vamos montar um plano de amortização misto baseado nas seguintes 
informações: 
Valor financiado: R$ 8.000,00; Número de parcelas: 5 parcelas, sem prazo de carência; 
Taxa: 6% ao mês e Carência: sem carência. 
 
PLANILHA DO SAC EM REAIS 
Meses Saldo devedor ( )nS Amortização ( )nA Juros ( )nJ Prestação ( )nR 
0 8000 - - - 
1 6400 1600 480 2080 
2 4800 1600 384 1984 
3 3200 1600 288 1888 
4 1600 1600 192 1792 
5 - 1600 96 1696 
Total 8000 1440 9440 
 
PLANILHA DO SFA EM REAIS: 
Meses Saldo devedor ( )nS Amortização ( )nA Juros ( )nJ Prestação ( )nR 
0 8.000,00 - - - 
1 6.580,83 1.419,17 480,00 1.899,17 
2 5.076,51 1.504,32 394,85 1.899,17 
3 3.481,94 1.594,57 304,59 1.899,17 
4 1.791,69 1.690,25 208,92 1.899,17 
5 - 1791,69 107,50 1.899,19 
Total 8.000,00 1.495,86 9.495,87 
 
PLANILHA DO SAM EM REAIS: 
Meses Saldo devedor ( )nS Amortização ( )nA Juros ( )nJ Prestação ( )nR 
0 8.000,00 - - - 
1 6.490,42 1.509,59 480,00 1.989,59 
2 4.938,26 1.552,16 389,43 1.941,59 
3 3.340,97 1.597,29 296,30 1.893,59 
4 1.695,85 1.645,13 200,46 1.845,59 
5 - 1.695,85 101,75 1.797,60 
Total 8.000,00 1.467,93 9.467,94 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 135 
8.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) 
 Normalmente o que se tem neste sistema é um ÚNICO PAGAMENTO DO 
PRINCIPAL NO FINAL DO PRAZO DE CARÊNCIA estipulado pelas partes envolvidas 
no empréstimo. Quanto aos juros, estes podem ser pagos durante a carência ou ainda 
podem ser devolvidos capitalizados no final do empréstimo junto com o principal. 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 10.000,00 deverá ser devolvido em 4 parcelas mensais 
pelo Sistema Americano de Amortização. Construa a planilha, observando uma taxa de 
3,5% a.m. 
 
PLANILHA DO SAA EM REAIS: 
Meses Saldo devedor ( )nS Amortização ( )nA Juros ( )nJ Prestação ( )nR 
0 10.000,00 - - - 
1 10.000,00 - 350,00 350,00 
2 10.000,00 - 350,00 350,00 
3 10.000,00 - 350,00 350,00 
4 - 10.000,00 350,00 10.350,00 
Total 10.000,00 1.400,00 11.400,00 
 
 
8.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) 
 O Sistema de Amortização Crescente (SACRE), é mais um plano de pagamento que 
surgiu pela necessidade de oferecer novas formas de amortização para empréstimos 
imobiliários. O SACRE foi estabelecido pela Caixa Econômica Federal para atender as 
linhas de crédito do Sistema Financeiro da Habitação. 
 Este sistema foi desenvolvido por permitir uma amortização maior no valor 
financiado, ocasionando um decréscimo na parcela de juros sobre o saldo devedor.Pelo SACRE, as primeiras 12 prestações iniciais são calculadas da mesma forma com 
que se obtém o valor da primeira parcela pelo SAC, ou seja, as parcelas são determinadas 
tomando como base o saldo devedor existente no início de cada período de 12 meses. 
 Neste sistema os juros compensatórios são calculados aplicando uma taxa 12% ao 
ano, equivalente a 0,948879% ao mês sobre o saldo devedor do período anterior que está 
indexado a TR (Taxa Referencial), projetada ao mês. 
 Vamos fazer uma simulação com o objetivo de tornar mais claro as informações 
prestadas no texto acima. 
 Vamos supor um financiamento de R$ 50.000,00, um prazo de pagamento de 36 
parcelas, TR projetada ao mês de 1% e taxa de 12% ao ano. 
 
Cálculo da parcela para os primeiros 12 meses 
- Valor da amortização 
n
C
An = 
89,388.1
36
000.50
==nA 
 
- Valor dos juros: iSJ nn .1−= 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 136 
44474009488790x00050
9488790x00050
1
1
,,,.J
%,,.J
==
=
 
 
- Valor da parcela para os primeiros 12 meses nnn JAR += 
33,863.144,47489,388.1]12,1[ =+=R 
 
Cálculo dos juros compensatórios da primeira parcela 
)1( 01 TRiSJ C += 
)01,01(.00948879,0 .,000.501 +=CJ 
18,4791 =CJ 
 
Cálculo da amortização do primeiro período 
111 cJRA −= 
15,384.1
18,47933,863.1
1
1
=
−=
A
A
 
 
Cálculo do saldo devedor corrigido pela TR para o primeiro período 
TRSS nTR .1)(1 −= 
01,1.,000.50)(1 =TRS 
00,500.50)(1 =TRS 
 
Cálculo do saldo devedor do primeiro período 
1)(11 ASS TR −= 
86,115.49
14,384,1,500.50
1
1
=
−=
S
S
 
 
Cálculo da parcela para o período compreendido entre 13 e 24 meses 
- Valor da amortização 
n
C
An = 
40,590.1
24
50,169.38
==nA 
 
- Valor dos juros: iSJ nn .1−= 
18,36200948879,0x50,169.38
%948879,0x,50,169.38
==
=
n
n
J
J
 
 
- Valor da parcela para o período compreendido entre 13 e 24 meses nnn JAR += 
58,952.118,36240,590.1]24,13[ =+=R 
  
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 137 
PLANILHA DO SACRE EM REAIS 
Meses Saldo devedor Saldo devedor/TR Amortização Juros Prestação 
0 50000 0,00 0 0 0 
1 49115,86 50500,00 1384,14 479,18 1863,33 
2 48214,40 49607,01 1392,62 470,71 1863,33 
3 47295,28 48696,54 1401,26 462,07 1863,33 
4 46358,17 47768,24 1410,07 453,26 1863,33 
5 45402,71 46821,75 1419,05 444,28 1863,33 
6 44428,53 45856,73 1428,20 435,12 1863,33 
7 43435,27 44872,81 1437,54 425,79 1863,33 
8 42422,57 43869,63 1447,06 416,27 1863,33 
9 41390,03 42846,79 1456,76 406,56 1863,33 
10 40337,27 41803,93 1466,66 396,67 1863,33 
11 39263,89 40740,64 1476,75 386,58 1863,33 
12 38169,50 39656,53 1487,04 376,29 1863,33 
13 36964,42 38551,19 1586,77 365,80 1952,58 
14 35735,74 37334,06 1598,32 354,26 1952,58 
15 34483,00 36093,10 1610,10 342,48 1952,58 
16 33205,72 34827,83 1622,10 330,47 1952,58 
17 31903,44 33537,78 1634,35 318,23 1952,58 
18 30575,65 32222,47 1646,83 305,75 1952,58 
19 29221,85 30881,40 1659,55 293,03 1952,58 
20 27841,54 29514,07 1672,53 280,05 1952,58 
21 26434,21 28119,96 1685,75 266,82 1952,58 
22 24999,31 26698,55 1699,24 253,34 1952,58 
23 23536,31 25249,30 1712,99 239,59 1952,58 
24 22044,66 23771,67 1727,01 225,56 1952,58 
25 20430,14 22265,10 1834,96 211,27 2046,23 
26 18784,01 20634,44 1850,44 195,80 2046,23 
27 17105,63 18971,85 1866,21 180,02 2046,23 
28 15394,39 17276,69 1882,30 163,93 2046,23 
29 13649,64 15548,34 1898,70 147,53 2046,23 
30 11870,72 13786,14 1915,42 130,81 2046,23 
31 10056,96 11989,43 1932,47 113,77 2046,23 
32 8207,68 10157,53 1949,85 96,38 2046,23 
33 6322,18 8289,76 1967,57 78,66 2046,23 
34 4399,76 6385,41 1985,64 60,59 2046,23 
35 2439,70 4443,76 2004,07 42,17 2046,23 
36 441,24 2464,09 2022,85 23,38 2046,23 
 
Observação: Encerrado o prazo de 36 meses, resta um saldo devedor (saldo residual), que 
deverá ser pago juntamente com a última prestação para que a divida seja totalmente 
liquidada. 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 138 
Exemplos Extras 
Considere as seguintes informações para responder as questões de 1 a 12. 
 Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser amortizado em 24 parcelas mensais, sem 
prazo de carência a uma taxa de juros de 60% a.a. 
 
1. Se tomador amortizar pelo SAC qual é o saldo devedor após o pagamento da décima 
terceira parcela? 
 Para respondermos essa questão é necessário lembrarmos que no SAC a amortização 
é constante e que os demais termos formam uma P.A. decrescente. 
 
24
0000020 ,.
n
C
A == = 833,33 
Sabe-se que: 
 nnn ASS −= −1 , 
 onde: 
 nS é igual ao n-ésimo termo de uma P.A. decrescente em que a razão é ( )A− 
(menos A), e o primeiro termo é ACS −=1 (principal menos o valor da amortização). 
 Da literatura, temos que o termo geral de uma P.A. é dado por: rnaan ).1(1 −+= . 
 Considerando: Sn = an ; a1 = C – A e r = A− , temos: 
)1( −−−= nAACSn 
)]1(1[ −+−= nACSn 
 
 AnCSn −= (16) 
 
ou seja: 13S = 20.000, – 833,33 . 13  13S =R$ 9.166,71 
 
2. Qual é o valor dos juros pagos no ato da quitação da décima quinta prestação pelo SAC? 
 Os juros são calculados fazendo a taxa incidir sobre o saldo devedor do período 
anterior. Assim, temos: 
 
 1−= nn SiJ  )]1([ −−= nACiJ n (17) 
 
)1433,833,000.20(05,015 −=J  =15J R$ 416,67 
 
3. Qual o total pago de juros ao saldar a décima parcela pelo SAC? 
 Já foi mencionado que os juros no SAC formam uma P.A decrescente de razão ( )Ai− 
e o que estamos procurando é a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. Da 
literatura temos que a soma nos n termos de uma P.A é dado por: n
aa
Sn n
2
)( 1 += 
 Considerando: a1 = i S0, onde: S0 = C 
 an = )]1([ −−= nACiJ n e 
 Sn = JnAC (juros acumulados) , 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 139 
temos: 
( ) 
n.
nACiCi
JnAC
2
1−−+
= 
 
( )
n.
niACiCi
JnAC
2
1−−+
= 
 
 
( )
n.
niACi
JnAC
2
12 −−
= (18) 
 
( )
10
2
11033833050000200502
10 .
,,,.,
J AC
−−
=  =ACJ10 R$ 8.125,01 
 
4. Qual é o valor da 10a prestação pelo SAC? 
 Vamos utilizar a equação (12) e os dados do problema para responder a questão 4. 
 
 ( ) iAnPiARn 1−−+= 
 ( ) 05033833110050000203383310 , , ,,.,R −−+=  =10R R$ 1.458,33 
 
5. Qual o montante pago de prestações periódicas acumuladas pelo SAC até o início do 
vigésimo primeiro período? 
As prestações ao longo do tempo pelo SAC formam , uma P.A. decrescente de razão 
( )Ai− . O total acumulado no vigésimo período é igual a soma dos 20 primeiros termos 
dessa progressão. 
Usando a equação (12) verifica-se que o primeiro termo da progressão é 
PiARa +== 11 
Substituindo esse primeiro termo no termo geral da P.A temos: 
( )( )AinPiAan −−++= 1 
( )AinPiAan 1−−+= 
Já mostramos que a soma dos n termos de uma P.A finita é: n
)aa(
Sn n
2
1 += 
Considerando: 
 Sn = RACt (Valor das prestações acumuladas no t-ésimo período; t = 1, 2,3, . . .,n); 
 a1 = A + Pi e 
 an = A+ Pi – (n –1)Ai , 
vamos reescrever a fórmula para o cálculo de Sn.n
Ai)n(PiAPiA
RSn ACt 




 −−+++
==
2
1
 (19) 
Reagrupando os termos de (19) temos: 
 
 n
)n(Ai
PiARACt 




 −
−+=
2
1
 (20) 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 140 
 
Usando a expressão (20) e os dados da questão para determinar o total pago em 20 
períodos, vem que: 
20
2
12005033833
0500002033833 




 −
−+=
)(,,
,,.,RACt  96,749.28=ACtR 
 
 
6. Qual é o saldo devedor no início do décimo quarto período pela Tabela PRICE? 
 Para respondermos essa questão vamos partir da idéia que as parcelas são 
postecipadas, sendo assim, no início do décimo quarto período o saldo devedor a ser 
considerado é igual ao saldo devedor do décimo terceiro período. 
 O saldo devedor no início do décimo quarto período e igual ao valor atual da 
seqüência uniforme das parcelas que irão vencer. No nosso caso já foram pagas 13 parcelas, 
restando ainda 11 parcelas para pagar. 
 O valor de cada parcela será calculado por: 
( ) 1524
−
= aPR 
( )
1
24
050
05011
0000020
−
−







 +−
=
,
,
,.R = 1.449,42 
 
O valor atual da seqüência uniforme das parcelas a vencer é: 
 
5 11 = aRV 
( )







 +−
=
−
050
05011
424491
11
,
,
,.V = R$ 12.039,47 
 
 Ainda, de um modo geral, supondo uma série de n prestações postecipadas, o número 
de prestações não pagas em um tempo t qualquer é igual a (n – t) parcelas. Assim, o saldo 
devedor em um tempo t qualquer ( )ntS , como podemos comprovar nos cálculos acima é 
igual ao valor presente das prestações que ainda irão vencer. Logo temos que: 
 
 itnnt aRS = − (21) 
ou 
 
( ) ( )
i
i
RS
tn
nt
−−
+−
=
11
 (22) 
 
 
( )
( ) tn
tn
nt
ii
i
RS
−
−
+
−+
=
1
11
 (23) 
 
 Sabe-se que a prestação pode ser calculada pela equação (15) 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 141 
 
( )
( ) 11
1
−+
+
=
n
n
i
iPi
R 
 Substituindo (15) em (23), temos: 
 
( )
( )
( )
( ) tn
tn
n
n
tn
ii
i
i
iPi
S
−
−
+
−+

−+
+
=
1
11
11
1
 (24) 
 Aplicando propriedades da potenciação, simplificando e reagrupando os termos de 
(24) obtemos expressão (25) que nos permitem calcular o saldo devedor em um período t 
qualquer da fase de amortização de um empréstimo. 
 
( ) ( )
( ) 







−+
+−+
=
11
11
n
tn
nt
i
ii
PS (25) 
 Usando a expressão (25) e as informações do problema, temos: 
 






−+
−+
=
1)05,01(
)05,1()05,01(
,000.20
24
1324
ntS 
 






−
−
=
1)05,1(
)05,1()05,1(
,000.20
24
1324
ntS 
 
47,039.12=ntS 
 
 Na calculadora HP 12-C podemos obter este resultado utilizando as teclas financeiras 
do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 R = R$ 1.449,42 
 
 V = R$ 12.039,47 
 
 
7. Qual é a amortização da décima quarta prestação pela Tabela PRICE? 
 Sabemos que amortização em período t qualquer de uma série de n prestações 
postecipadas é dada pela equação (2) é: 
 
ttt JRA −= , 
 
sendo: Jt determinado pela equação (3), como segue: 
 
 ( )1−= tt SiJ 
< f > < CLX > 
20.000,00< CHS >< PV > 
5 < i > 
24 < n > 
< PMT > 
11 < n > 
< PV > 
 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 142 
 
 Substituindo Jt da equação (3) na equação (2), temos: 
 
 )1( −−= ttt SiRA (26) 
 Da equação 25 temos que 
 
( ) ( )
( ) 







−+
+−+
=
11
11
n
tn
nt
i
ii
PS , 
 
para Sn(t − 1) a equação (25) assume a seguinte forma: 
 
 
( ) ( )
( ) 







−+
+−+
=
−
−
11
11
1
1 n
tn
)t(n
i
ii
PS (27) 
 
 Assim, fazendo Sn(t − 1) igual a S(t − 1) e reescrevendo (26) vem que: 
 
 ( )1−−= tntt SiRA (28) 
 Substituindo (15) e (27) em (28) obtemos a seguinte expressão: 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) 







−+
+−+
−
−+
+
=
−
11
11
11
1 1
n
tn
n
n
t
i
ii
Pi
i
iPi
A (29) 
 
 Agrupando as parcelas do membro direito da equação (29) e fatorando Pi temos: 
 
 





−+
+++−+
=
−
1)1(
)1()1()1( 1
n
tnn
t
i
iii
PiA (30) 
 Cancelando os termos simétricos de (30) determinamos a equação (31) que nos 
permite calcular a amortização em um período t qualquer. 
 
 
( )
( ) 







−+
+
=
−
11
1
1
n
t
t
i
i
PiA (31) 
 
 Utilizando a equação (31) e os dados do problema para responder a questão 5 temos: 
 






−+
+
=
−
1)05,01(
)05,01(
05,0,000.20
24
114
14A 
 
44,84714 =A 
 
 Na calculadora HP – 12C este resultado do seguinte modo: 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Qual é o juro a ser pago no 14o mês pela Tabela PRICE? 
 
 Os juros em um tempo t qualquer dado pela equação (4) é: 
 
 ttt ARJ −= 
 
 Substituindo (15) e (31) na equação (4), temos: 
 
 





−+
+
−
−+
+
=
−
1)1(
)1(
1)1(
)1( 1
n
t
n
n
t
i
i
Pi
i
iPi
J (32) 
 Agrupando as parcelas do membro direito da equação (32) e fatorando Pi temos: 
 
 





−+
+−+
=
−
1)1(
)1()1( 1
n
tn
t
i
ii
PiJ (33) 
 
 Pode-se observar que a equação (33) é determinada pelo produto da taxa i pelo saldo 
devedor (Snt) de um período t qualquer. 
 Utilizando a equação (33) e os dados do problema para calcular os juros pagos no 
décimo quarto período, temos: 
 






−+
+−+
=
−
1)1(
)05,01()05,01(
05,0,000.20
24
11424
14
i
J  97,60114 =J 
 
 Na calculadora HP – 12C pode-se obter este resultado do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
R$ 1.449,42 (Prestação) 
R$ -12.039,47 (Saldo devedor no início do décimo quarto período) 
R$ -601,97 (Juros do décimo quarto período) 
R$ 847,44 (Amortização do décimo quarto período) 
 - R$ 12.039,47 (Saldo devedor no início do décimo quarto período) 
R$ 601,97 (Juros do décimoquarto período) 
< f > < CLX > 
20.000,00< CHS >< PV > 
5 < i > 
24 < n > 
< PMT > 
11 < n > 
< PV > 
1 < f > < AMORT > 
< yx  > 
 
 
 
< f > < CLX > 
20.000,00< CHS >< PV > 
5 < i > 
24 < n > 
< PMT > 
11 < n > 
< PV > 
1 < f > < AMORT > 
 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 144 
9. Qual o montante de juros pagos no primeiro ano de empréstimo pela Tabela PRICE? 
 Como no SFA as prestações são fixas, o total pago na j-ésima prestação pode ser 
determinado fazendo j vezes o valor da prestação. Assim temos que o valor acumulado das 
prestações em um tempo j pode ser dado por: 
 
 j
i
iPi
R
n
n
AC 
−+
+
=
1)1(
)1(
 (34) 
 
onde: RAC = Valor total das prestações acumuladas até o período j, com j n 
 
 Sabemos que os juros podem ser determinados pela diferença entre o valor da 
prestação e o valor amortizado. Se estivermos interessados em obter os juros acumulados 
(JAC) em um tempo j qualquer, esses devem ser obtidos pela diferença deve entre o valor 
das prestações acumuladas e o valor amortizado acumulado até o tempo j considerado. 
 
 ACACAC ARJ −= (35) 
 O valor amortizado acumulado (AC) dado pelo somatório dos valores amortizados 
desde o primeiro período de amortização até o período j considerado, está representado pela 
equação: 
 
=
−






−+
+
=
j
t
n
t
AC
i
i
PiA
1
1
1)1(
)1(
 (36) 
ou 
 
=
−+
−+
=
j
t
t
nAC
i
i
Pi
A
1
1)1(
1)1(
 (37) 
 
 Assim, substituindo (34) e (37) em (35) temos: 
 
 
=
−+
−+
−
−+
+
=
j
t
t
nn
n
AC i
i
Pi
j
i
iiP
J
1
1)1(
1)1(1)1(
)1(
 (38) 
 
 Da equação (38) temos que: 
 
 120
1
1 )1()1()1()1()1( −
=
− ++++++++=+ j
j
t
t iiiii  , (39) 
 
onde o membro direito dessa igualdade forma uma P.G finita de razão q = (1+ i). Assim, 
podemos reescrever somatório de (39) como segue: 
 
 
i
i
i
i
i
i
jj
t
t
jj
t
t 1)1()1(
1)1(
1)1(
)1(
1
1
1
1 −+=+
−+
−+
=+ 
=
−
=
− (40) 
 
 Substituindo na equação (40) o resultado obtido para o somatório em (38) vem que: 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 145 
 
i
i
i
Pi
j
i
iiP
J
j
nn
n
AC
1)1(
1)1(1)1(
)1( −+

−+
−
−+
+
= (41) 
 
 Simplificando e reagrupando os termos da equação (43), temos: 
 
 
1)1(
]1)1[(
−+
−+
−=
n
j
AC
i
iP
jRJ , (42) 
onde: 
• R = 
1)1(
)1(
−+
+
n
n
i
iiV
= Valor da prestação. 
• j = Período no qual se pretende calcular o valor amortizado acumulado. 
• P = Valor financiado. 
• i = Taxa de financiamento 
 
 Usando a expressão (40) e os dados fornecidos no problema vamos responder a 
questão 7. 
1)1(
]1)1[(
−+
−+
−=
n
j
AC
i
iP
jRJ 
 
1)05,01(
]1)05,01[(,000.20
1242,449.1
24
12
−+
−+
−=ACJ  60,239.10=ACJ 
 
 Na calculadora HP – 12C temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A diferença entre o valor encontrado pela expressão (42) em relação ao 
encontrado usando a HP 12-C deu-se devido a arredondamentos feitos quando foi utilizada 
a expressão. 
 
10. Qual o montante amortizado em um ano e meio de empréstimo pela Tabela PRICE? 
 A amortização acumulada pode ser calculada partindo da expressão (37). 
 

=
−+
−+
=
j
t
t
nAC
i
i
Pi
A
1
1)1(
1)1(
, 
 
R$ 10.239,57 
< f > < CLX > 
20.000,00< CHS >< PV > 
5 < i > 
24 < n > 
< PMT > 
12 < f > < AMORT > 
 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 146 
 Usando o resultado obtido pelo 
=
−+
j
t
ti
1
1)1( na equação (40) em (37) e reagrupando os 
termos desta, determinamos a equação (44) que nos permite calcular o montante gerado 
pelas amortizações periódicas até o final do 18a mês. 
 
 
1)1(
]1)1[(
−+
−+
=
n
j
AC
i
iP
A (44) 
 Usando os dados do problema e a expressão (44) temos: 
 
1)05,01(
]1)05,01[(,000.20
24
18
−+
−+
=ACA  20,643.12=ACA 
 
 Na HP 12-C podemos chegar ao resultado do valor da AAC da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 R$ 13.446,32 (Total de juros acumulado) 
 
 R$ 12.643,20 (Total amortizado) 
 
11. Qual saldo devedor no décimo terceiro período pelo SAM? 
 Sabemos que o SAM é a média aritmética entre o SAC e SFA, então, para 
respondermos esta questão basta que façamos a média aritmética entre a o saldo devedor do 
décimo terceiro período do SAC e o saldo devedor do início do décimo quarto período do 
SFA. 
 Do exercício 1 temos: 13S SAC = 9.166,71 
 Do exercício 6 temos: S13 SFA = 12.039,48 
 Logo: S13 SAM = 
2
48,039.1271,166.9 +
= 10.603,09 
 
12. Qual o montante pago de juros periódicos pelo SAA até o início do décimo sétimo 
período? 
 O empréstimo é de R$ 20.000,00 e pelo sistema americano será amortizado no final 
do período do empréstimo. Os juros serão pagos periodicamente e no início do décimo 
sétimo período o tomador já terá pagado 16 cotas de juros de 5% que incidem sobre o 
principal. 
 
O Valor pago de juros no início do décimo sétimo período é: 
Jn = P i n 
J16 = 20.000,00 .0,05 .16  J16 = 16.000,00 
 
< f > < CLX > 
20.000,00< CHS >< PV > 
5 < i > 
24 < n > 
< PMT > 
18 < f > < AMORT > 
< yx  >