APOSTILA - Desconto Simples à Equivalência

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Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
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3. Desconto Simples 
 
 DEFINIÇÃO DE DESCONTO: É a quantia a ser abatida no valor nominal 
 (valor indicado no título). 
 
O cálculo do desconto é feito em geral segundo dois critérios: 
 
• DESCONTO RACIONAL, onde a taxa de desconto incide sobre o valor líquido ( ou 
valor Atual) e 
 
• DESCONTO COMERCIAL, onde a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do 
documento que está sendo descontado. 
 
Observação: Na prática a grande maioria das operações é feita segundo o critério do 
desconto comercial simples, uma vez que nesta operação o valor do desconto é maior, 
atendendo assim os interesses de quem empresta. 
 
3.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (DCS) 
 Seja N o valor nominal de um título. O desconto comercial simples, também chamado 
de BANCÁRIO ou POR FORA, é o juro simples aplicado sobre o valor nominal, a uma 
taxa chamada taxa de desconto e durante um prazo igual ao de antecipação do resgate. 
 Partindo da definição, vamos representar o DCS pela seguinte expressão: 
 
niND cc = 
 
onde: 
• cD : Desconto Comercial Simples 
• N : Valor Nominal (valor indicado no título) ou Valor de Resgate 
• ci : Taxa de desconto comercial 
• n : Período ou prazo de antecipação. 
 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 N < enter > 
 ic < % > Dc 
 n <> 
 
 
Observação: O valor da taxa utilizada na HP 12 C deve ser o percentual ou nominal. 
 
 
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 De posse do valor atual, podemos ainda determinar o desconto comercial simples pela 
expressão: 
 
cc AND −= 
 
onde: cA : Valor Atual ou valor descontado (valor líquido pago ou recebido antes do 
vencimento do titulo). 
 
Podemos determinar o valor atual isolando cA na fórmula do desconto 
cc AND −= , ou seja: 
cc DNA −= (substituindo niND cc = ) 
( )niNNA cc −= (colocando N em evidência) 
 
 ( )niNA cc −= 1 
 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 N < enter > 
 ic < % > Ac 
 n <>< - > 
 
 
Observação: 
1) O valor da taxa utilizada na Hp 12 C deve ser o percentual ou nominal. 
2) O Valor Nominal pode ser calculado por: 
 
( )ni
A
N
c
c
−
=
1
 
 
 
Porém, também poderá ser calculado por: 
 
 ( )niNA cc −= 1  niNNA cc −=  
 
 niNAN cc +=  ( ) niDAAN cccc ++=  
 
niDniAAN ccccc ++= 
 
 
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Exercício: Uma duplicata de valor nominal R$ 4.500,00 foi descontada em um banco 5 
meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa de desconto comercial simples de 
3% a.m., calcule o desconto comercial simples e o valor líquido comercial da duplicata. 
 
Temos: N = 4.500,00 
n = 5 meses 
i = 3% ao mês = 0,03 ao mês 
O desconto comercial será: niND cc = , ou seja: 
503.0500.4 =cD =R$ 675,00 
 O valor líquido neste caso é igual ao valor atual comercial: cc DNA −= , ou seja: 
=−= 675500.4cA R$ 3.825,00 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 4.500,00 < enter > 
 3 < % > 
 5 <> Dc = R$ 675,00 
< - > Ac = R$ 3.825,00 
 
 
3.1.1 Taxa de Juro Efetiva 
 
 DEFINIÇÃO: É a taxa de juro ei que no período n torna o capital cA igual ao 
montante N. 
 
Observação: É a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. 
 
 
Exemplo: A empresa X necessita levantar recursos, e para isso desconta um título de R$ 
5.000,00 para ser resgatado em 30 dias, a uma taxa de 3,7% a.m. Vamos determinar o valor 
líquido desse título. 
 O valor líquido neste caso é igual ao valor atual comercial: ( )niNA cc −= 1 
N = 5.000,00 
n = 30 dias 
i = 3,7% ao mês 
 Logo tem-se: cA = 5000, ( 1 – 0,037 . 1), ou seja: cA = 4.815,00 
 
 O valor recebido pela empresa na operação de desconto é de R$ 4.815,00. 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 5.000,00 < enter > 
 3,7 < % > Ac = 4.815,00 
 1 <  >< - > 
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Vamos criar uma nova situação: Suponha que nesse meio tempo enquanto a empresa X 
realizava a operação de desconto junto a uma instituição financeira, houve uma entrada de 
capital, alguns devedores desta pagaram títulos atrasados e assim, os R$ 4.815,00 passaram 
a sobrar no caixa. Para compensar os juros pagos na operação de desconto realizada, esta 
resolve aplicar este excedente por 30 dias conseguindo uma taxa juros igual a taxa de 
desconto, ou seja, a 3,7%a.m. 
 Calculando o montante produzido pela aplicação, temos: 
 
 ( )niCM .1+=  M = 4.815,00 ( 1 + 0,037 . 1 )  M = 4.993,15 
 
 Cálculo na HP 12C: 
 
 4.815,00 < enter > 
 3,7 < % > M = 4.993,15 
 1 <  >< + > 
 
 
Observação: Embora prazo e taxa serem os mesmos da operação de desconto, o montante 
obtido é menor que o compromisso assumido na operação de desconto. 
 A taxa que aplicada sobre o valor atual (R$ 4.815,00) da operação de desconto que o 
tornarão igual ao valor nominal (R$ 5.000,00) é a TAXA EFETIVA da operação, ou seja, 
é o que realmente o banco está cobrando nesta operação financeira. 
 
3.1.1.1 Fórmula da Taxa Efetiva da Operação 
 
 Partindo da definição de taxa efetiva, utilizando a fórmula do montante da 
capitalização simples, podemos determinar uma expressão que nos permite calcular a taxa 
efetiva da operação. Vamos considerar: 
• M = N (montante = valor nominal), 
• C = cA (capital = valor atual) , 
• n = 1 (prazo = um período) e 
• ei = taxa efetiva. 
 Seja a fórmula do Montante: ( )niCM e += 1 (substituindo os dados anteriores na 
fórmula do montante temos) 
 ( )ec iAN += 1 ( isolando ei temos) 
 
1−=
c
e
A
N
i 
 
Observações: 
1) Neste caso, o valor atual ( cA ) é o valor líquido pago ou recebido na operação de 
desconto. 
2) A taxa efetiva de juros simples na operação de desconto comercial simples é 
também chamada de TAXA DE DESCONTO EFETIVA LINEAR. 
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Cálculo na HP 12C: 
 
 Ac < enter > 
 N < Δ% > ei 
 
Observação: O valor da taxa fornecido pela HP 12C já é percentual. 
 
Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior e a fórmula da taxa efetiva da operação, 
vamos calcular a taxa que a empresa X está pagando na operação de desconto. 
Temos: N = 5.000,00 
 Ac = 4.815,00 
 ie = ? 
1
00,815.4
00.000.5
−=ei  =ei 3,84% no período 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 4.815,00 < enter > 
 5.000,00 < Δ% > =ei 3,84% no período 
 
EXERCÍCIOS 3.1.1 
1. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000,00 é descontada em um banco dois 
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 5% a.m., 
pede-se: 
 (a) o desconto comercial 
 (b) o valor descontado comercial 
 (c) a taxa efetiva de juros simples da operação. 
2. Um título de valor nominal de R$ 8.432,00 é descontado a uma taxa comercial de 2% 
a.m. Se o prazo de antecipação for 2 meses: 
 (a) qual o desconto e o valor atual comercial? 
 (b) qual a taxa efetiva de juros da operação? 
3. Um título de valor nominal R$ 4.800,00 foi descontado três meses antes do vencimento. 
Sendo de 96% a.a. a taxa de desconto simplescorrente, determine o desconto comercial 
simples e o valor atual comercial simples. 
4. Para pagar uma dívida no valor de R$ 10.550,50, um indivíduo juntou um cheque no 
valor de R$ 2.665,00 à importância líquida proveniente do desconto “por fora” de uma 
duplicata de valor nominal de R$ 9.800,00, três meses antes do vencimento. Determine a 
taxa de desconto da duplicata. 
5. Sócrates necessita de R$ 2.500,00 para saldar um compromisso em um banco A. Que 
valor deverá pedir emprestado para o banco B se a taxa de desconto simples desse banco 
for de 2% a.m. e o prazo do empréstimo de 37 dias? 
6. Uma determinada loja efetua suas vendas, dando ao cliente três meses de prazo para 
pagar. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de 20% sobre o 
valor nominal da compra. Que taxa de juros simples efetiva esta sendo cobrada na venda a 
prazo? 
 
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Respostas dos Exercícios 3.1.1 
1. a) R$ 900,00 
 b) R$ 8.100,00 
 c) 11,11% no período 
2. a) Dc = R$ 337,28 ; 
 A = R$ 8.094,72 
 b) 4,17% no período 
3. cD = R$ 1.152,00 ; A = R$ 3.648,00 
4. 6,51% a.m. 
5. R$ 2.563,23 
6. 8,33% a.m. 
 
3.1.2 Valor Atual Líquido 
 É comum em operações financeiras, os bancos cobrarem TAXAS 
ADMINISTRATIVAS para remunerarem seus serviços, bem como, o Banco Central cobra 
IOF ( Imposto sobre Operações Financeiras). 
 Em operações de desconto, as taxas administrativas sempre INCIDEM SOBRE O 
VALOR NOMINAL DO TÍTULO, desta forma o valor líquido (valor atual) será igual a 
diferença entre o valor atual comercial e o valor das despesas administrativas, as quais são 
calculadas através das taxas administrativas que incidem sobre o valor nominal. Esta taxa 
administrativa será denotada por ib. Assim, quando o problema envolver taxas 
administrativas, chamaremos o Valor Líquido de Atual Líquido ( lA ). Assim, o Valor 
Líquido nesse caso será calculado pela seguinte fórmula: 
 
 
 NiAA bcl −= 
 
Exemplo: Uma duplicata com valor nominal de R$ 4.800,00 é descontada em um banco 3 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 3,7% a.m. Sabendo que o 
banco cobra 0,5% a título de despesas administrativas, determine o valor líquido recebido 
pelo portador do título. 
 Sabemos que o valor atual para problemas que envolvem taxas administrativas pode 
ser calculado por: 
 NiAA bcl −= 
 
Mas: cc DNA −= e niND cc = 
Assim: 
 
=cD 4.800,00 . 0,037 . 3  =cD 532,80 
 
 =cA 4.800,00 – 532,80  =cA 4.267,20 
 
Taxa Administrativa: bi = 0,5% 
Despesa Administrativa: Nib  = 0,005. 4800,00 = 24,00 
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Valor líquido: NiAA bcl −= 
lA = 4.267,20 – 24,00 
lA = R$ 4.243,20 
 
Cálculo do Atual líquido, por partes, através da HP 12C: 
1. Cálculo do Ac: 
 
 4.800,00 < enter > 
 3,7 < % > Ac = 4.267,20 
 3 <  >< - > 
 < STO > 7 
 
 
2. Cálculo do Valor líquido: NiAA bcl −= 
 
 4.800,00 < enter > 
 0,5 < % > < enter > lA = R$ 4.243,20 
 < RCL > 7 < - > < CHS > 
 
Observação: Utilizamos a tecla <STO> (do inglês "STORAGE", que significa 
armazenagem) para armazenar um valor intermediário, na memória da HP 12C, e <RCL> 
para resgatarmos o mesmo. 
 
 Existe uma expressão que nos permite calcular o valor líquido de uma operação que 
envolve taxas administrativas de uma forma mais rápida e prática. Já determinamos que o 
Valor Líquido é igual ao Atual Líquido (Al), e que 
 
 NiAA bcl −= (1) 
 
Sabemos ainda que: 
 ( )niNA cc −= 1 (2) 
 
 Substituindo (2) em (1): 
 ( ) NiniNA bcl −−= 1 (3) 
 
 Fatorando N na equação (3) obtemos a expressão que permite calcular o Atual 
Líquido de uma forma mais prática. 
 
 ( )bcl iniNA −−= 1 
 
 O problema anterior pode ser facilmente resolvido por esta expressão matemática. 
Observe: 
( )bcl iniNA −−= 1 
 lA = 4.800,00 ( 1 – 0,037 . 3 – 0,005)  lA = R$ 4.243,20 
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Cálculo do Atual líquido, diretamente, através da HP 12C: 
1. Cálculo do Al pela fórmula: ( )bcl iniNA −−= 1 : 
 
 4.800,00 < enter > 
 1 < enter > 
0,037 < enter > lA = R$ 4.243,20 
 3 <  >< - > 
 0,005 < - > <> 
 
2. Cálculo do Al pela fórmula: NiAA bcl −= , ou seja, NiniNNA bcl −−= : 
 
 N < enter > 
 ib < % > 
N < enter > Al 
 ic < % > 
 n <  >< - >< - > < CHS > 
 
No exemplo temos: 
 
 4.800,00 < enter > 
 0,5 < % > 
4.800,00 < enter > lA = R$ 4.243,20 
3,7 < % > 
 3 <  >< - >< - > < CHS > 
 
Observações: 
1) Nos problemas de desconto de títulos que envolvem taxas administrativas (taxas de 
serviço) o VALOR LÍQUIDO É O ATUAL LÍQUIDO ( ( )bcl iniNA −−= 1 ). Nos 
problemas de desconto que não envolvem taxas administrativas, o VALOR LÍQUIDO 
É DADO PELO VALOR ATUAL COMERCIAL ( ( )niNA cc −= 1 ). 
2) Sobre as operações de desconto incidem também, IOF (Imposto sobre Operações 
Financeiras) que o Banco Central cobra. O Decreto Lei n.o 4.494, de 3 de novembro de 
2002, Capítulo III que trata da base de cálculo da alíquota, Artigo 7o, Inciso II, apresenta 
o seguinte texto: “ ...na operação de desconto, inclusive na alienação a empresas de 
factoring de direitos creditórios resultantes de vendas a prazo, a BASE DE 
CÁLCULO É O VALOR LÍQUIDO OBTIDO” . Nesse decreto, a alíquota do IOF 
foi determinada em 0,0041% ao dia. 
 
 Se levarmos em conta que nas despesas administrativas está incluída a alíquota do 
IOF, o valor líquido a ser determinado deve ser subtraído de um valor determinado pela 
despesa administrativa gerada pelo IOF. O Cálculo desse valor pode ser obtido da seguinte 
forma: 
 
 
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 dIOFlIOF niAD = , (4) 
onde: 
 
 
 
 
 
 O valor líquido para este caso, o qual denotarmos por Vl , será calculado como segue: 
 
 IOFll DAV −= (5) 
 
 Substituindo em (5) IOFD por dIOFl niA  de (1), temos: 
 
dIOFlll niAAV −= (6) 
 Fatorando Al de (6), obtemos: 
 
 ( )dIOFll niAV −= 1 (7) 
 
 Substituindo em (7) Al por ( )bc iniN −−1 , obtemos expressão (8) que nos permite 
calcular o valor líquido de um título que, além, do desconto da taxa comercial, sofre 
descontos de despesas administrativas e IOF). 
 
 ( )  ( )dIOFbl niiinNV −−−= 11 (8) 
 
Cálculodo Al pela fórmula: IOFll DAV −= , na HP 12 C:: 
 
 N < enter > 
 ib < % > 
N < enter > lV 
 ic < % > 
 n <  >< - >< - > < CHS > 
 IOFi < % > dn <  >< - > 
 
 
Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 10.000,00 é descontado em uma instituição 
financeira 58 dias antes de seu vencimento, à taxa de desconto comercial de 4% a.m. 
Sabendo que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas, e que a alíquota do 
IOF é de 0,0041% ao dia, determine o valor líquido recebido pelo portador do título. 
Temos: 
( )  ( )dIOFbl niiinNV −−−= 11 
)58000041,01()]01,0
30
58
04,01(,000.10[ −−−=lV  961049 R$ ,.Vl = 
 
• DIOF = Despesas com IOF 
• iIOF = Alíquota do IOF dada em dias 
• nd = Número de dias da antecipação do resgate 
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Na HP teríamos: 
 
 10.000,00 < enter > 
 1 < % > 
10.000,00 < enter > 961049 R$ ,.Vl = 
4 < % > 
 58 <  > 30 <> < - >< - > < CHS > 
 0,0041< % > 58 <  >< - > 
 
 
EXERCÍCIOS 3.1.2 
1. Uma duplicata é descontada 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de 
desconto comercial é de 6% a.m., o valor nominal do título R$ 5.000,00 e que a taxa de 
serviço cobrada pelo banco é de 2%, pede-se (considerando o IOF 0,0041% a.d.): 
 (a) o desconto comercial; 
 (b) o valor líquido recebido; 
 (c) a taxa efetiva de juros simples da operação. 
2. Qual o desconto bancário para um título de R$ 4.000,00, cujo prazo de antecipação é de 
45 dias, sendo 84% a.a. à taxa de desconto comercial e de 2% a taxa de despesas 
administrativas? (considerar ano comercial) 
3. Um título descontado “por fora”, à taxa de 3% a.m., pelo prazo de 90 dias, resultou num 
valor liquido de R$ 3.500,00. Calcular o valor nominal desse título, sabendo que o banco 
cobra 2% como taxa de comissão. 
4. Uma duplicata no valor de R$ 15.000,00 foi descontada 67 dias antes do vencimento, à 
taxa de 3,5% a.m. Determine o valor creditado ao cliente, sabendo que o IOF é de 0,0041% 
a.d.. Calcule ainda a taxa efetiva da operação. 
5. Uma empresa desconta num banco uma duplicata de valor igual a R$ 2.000,00. 
Sabendo-se que a taxa de desconto é de 72% a.a., o prazo de antecipação é de 45 dias e a 
taxa de despesas administrativas cobrada pelo banco igual a 2%, pede-se: 
(a) o valor líquido da duplicata. 
(b) a taxa efetiva de juros da operação. 
6. Um banco oferece empréstimos pessoais cobrando 5% a.m. de taxa de desconto 
comercial, mais 2% de despesas administrativas. Se uma pessoa necessita de R$ 7.000,00 
agora, para pagar daqui a três meses, qual deve ser o compromisso assumido. 
 
Respostas dos Exercícios 3.1.2 
1. a) R$ 900,00 
a) R$ 3.985,24 
b) 25,46% no período 
2) R$ 500,00 
3) R$ 3.932,58 
4) R$ 13.789,52 e 8,78% no período 
5) a) R$1780 b) 12,36% 
6) R$ 8.433,73 
 
3.1.3 Cálculo da Taxa de Juro Efetiva ou da Taxa de Juro Comercial quando é 
fornecida apenas uma das Taxas e o Tempo 
 Partindo da fórmula do montante (Juros Simples), e da definição de taxa efetiva, 
inicialmente temos: 
( )niCM += 1 
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 Como a taxa efetiva é a taxa de juros simples consideramos a taxa do montante 
como eii = ( taxa efetiva que em um período n torna o capital cA igual ao montante N ). 
Neste caso também tem-se: C = cA e M = N . Fazendo-se as substituições na fórmula do 
montante temos: 
 
 ( )niAN ec += 1  ( )ni
N
A
e
c
+
=
1
 
 
 
 O valor atual do Desconto Comercial também pode ser calculado pela expressão: 
 
 
( )niNA cc −= 1 
 
onde: a taxa da fórmula do valor atual corresponde a taxa de desconto comercial. 
 
 Igualando-se as duas expressões anteriores, temos: 
 
( )ni
N
e +1
( )niN c −= 1  N ( )( )niniN ec +−= 11  
 
( )( )nini ec +− 11 = 1 
 
 
3.1.3.1 Cálculo da Taxa de Juros Efetiva quando são fornecidos apenas a Taxa 
Comercial e o Tempo 
Isolando ei temos: ( )( ) 111 =+− nini ec  ( )
1
1
1
−
−
=
ni
ni
c
e 
 
 
( )
( )nin
ni
i
c
c
e
−
−−
=
1
11
  
( )ni
i
i
c
c
e
−
=
1
 
 
 
Exemplo: Se a taxa comercial é de 8% a.m., qual a taxa efetiva de juros simples mensal, 
para o prazo de 5 meses. 
Temos: 
 
ie = 8% ao mês = 8/100 = 0,08 
n = 5 meses 
( )ni
i
i
c
c
e
−
=
1
  
( )508,01
08,0
−
=ei = 0,1333 ou 13,33% a.m. 
 
 
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Cálculo na HP 12C: 
 
 0,08 < enter > 
1 < enter > 
0,08 < enter > ei = 13,33% a.m. 
 5 <  >< - ><  > 
 100 <  > 
 
 
3.1.3.2 Cálculo da Taxa Comercial quando são fornecidos apenas a Taxa de Juros 
Efetiva e o tempo 
 Para determinar uma expressão que permita calcular a taxa comercial nas condições 
determinadas neste item, vamos simplesmente ic na fórmula determinada no item 3.1.3.1 
 
 Isolando ci temos: ( )ni
i
i
e
e
c
+
=
1
 
 
Exemplo: Para o prazo de um ano um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juro 
simples de 15% a.m., em operações de desconto de duplicatas. Determine qual a taxa de 
desconto comercial simples mensal deverá cobrar. 
Temos: 
ie = 15% ao mês 
n = 1 ano = 12 meses 
( )ni
i
i
e
e
c
+
=
1
  
( )1215,01
15,0
+
=ei = 0,0536 ou 5,36% a.m. 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 0,15 < enter > 
1 < enter > 
0,15 < enter > ei = 5,36% a.m. 
 12 <  >< + ><  > 
 100 <  > 
 
Observação: As expressões obtidas em 3.1.3.1 e 3.1.3.2 fornecem taxas compatíveis com a 
unidade de tempo expresso no problema. 
 
3.1.3.3 Cálculo das Taxas Comercial e Efetiva em Problemas que envolvem Taxas 
Administrativas 
 
 Como foi visto, as taxas administrativas sempre incidem sobre o valor nominal do 
título, sendo assim, para problemas que envolvem taxas administrativas, e que são 
fornecidos apenas uma das taxas e o tempo devemos agregar a taxa administrativa ( bi ) ao 
produto da taxa comercial pelo tempo em que envolve a operação, ou seja: 
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 ( ) ( ) 111 =++− niini ebc (9) 
 
Isolando ei em (9), temos: ( ) bc
bc
e
inin
ini
i
+−
+
=
1
 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 





100
ci < enter > n <  > 





100
bi < + > 
 < STO > 7 
n < enter > 1 < enter > ei 
< RCL > 7 < - > <  > <  > 
100 <  > < f > 2 
 
 
Isolando ci em (1), temos: 
 
( )
( )nin
iini
i
e
bbe
c
+
−−
=
1
1
 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 





100
ei < enter > n <  > 
 1 < enter > 





100
bi < - > <  > 





100
bi < - > ei 
 1 < enter > 





100
bi < enter > n <  > < + > 
 n <  > <  > 
100 <  > < f > 2 
 
 
Exemplos: 
1. Um banco utiliza taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. e cobra uma taxa de despesas 
administrativas de 0,5%. Qual a taxa efetiva para operações cujo prazo é de 2 meses? 
Temos: ic = 3,5% ao mês 
( ) bc
bc
e
inin
ini
i
+−
+
=
1
 
ib = 0,5% 
n = 2 meses 
 ei = 0,035 . 2 + 0,005 = 0,075 = 0,0405 ou 4,05% a.m.2[1-(0,035.2+0,005)] 1,85 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 28 
Cálculo na HP 12C: 
 
 
 0,035 < enter > 2 <  > 0,005 < + > 
 < STO > 7 
2 < enter > 1 < enter > ei = 4,05% a.m. 
< RCL > 7 < - > <  > <  > 
100 <  > < f > 2 
 
 
2. Um banco cobra 4% a.m. de taxa efetiva, mais 1% de taxas administrativas. Que taxa 
comercial mensal este aplica nas operações de desconto comercial? 
 
ie = 4% ao mês 
( )
( )nin
iini
i
e
bbe
c
+
−−
=
1
1
 
ib = 1% 
 ci = 0,04 . 1 ( 1 – 0,01) – 0,01 = 0,02846 ou 2,85% a.m. 
 1.( 1 + 0,04 . 1) 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 
 0,04 < enter > 1 <  > 
 1 < enter > 0,01 < - > <  > 0,01 < - > 
 1 < enter >0,04 < enter > 1 <  > < + > ei = 2,85% a.m. 
 1 <  > <  > 
100 <  > < f > 2 
 
 
Observação: Se forem fornecidos apenas uma das taxas e o tempo e o problema envolver 
taxas administrativas e IOF, para calcular a taxa comercial ou a taxa efetiva, podemos partir 
da seguinte expressão: 
 
( ) ( ) ( ) 1111 =+−+− niniini edIOFbc 
 
Exemplo: Em operações para 60 dias um banco cobra 3,5% de taxa comercial, mais 1% de 
taxa administrativa e, o fisco cobra IOF de 0,0041% ao dia. Que taxa efetiva mensal está 
sendo praticada nessa operação de desconto? 
 
Temos: 
n = 2 meses ( ) ( ) ( ) 1111 =+−+− niniini edIOFbc 
nd = 60 dias 
ic = 3,5% ao mês ( ) ( ) ( ) 1216000004101010203501 =+−+− ei,,, 
iIOF = 0,0041% ao dia 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 29 
ie = ?  ( ) ( ) 121997540920 =+ ei,,  
 
 ( ) 12191773680 =+ ei,  





−= 1
91773680
1
2
1
,
ie  %48,4=ei a.m. 
 
EXERCÍCIOS 3.1.3 
1. Para prazo de 45 dias um banco deseja ganhar 4% a.m. de juros simples, em operação 
de desconto de duplicatas. Qual a taxa mensal de desconto comercial mensal que 
deverá cobrar? 
2. Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% a.m. para operações 
de dois meses. Qual a taxa de desconto comercial mensal que deverá cobrar? 
3. Se um determinado banco cobra 3% como taxa de serviço e 72% a.a. como taxa de 
desconto comercial simples, que taxa efetiva estará ganhando em operações de desconto 
de duplicatas cujos prazos de antecipação de resgate são: 
a) dois meses b) rês meses 
4. Uma financeira deseja obter uma taxa de juros efetiva de 40% a.a. em uma operação de 
três meses. Nessas condições, que taxa anual de desconto comercial simples a empresa 
deve cobrar? 
5. Se uma financeira ganhar 8% a .m., como taxa efetiva, que taxa de desconto 
comercial simples deverá aplicar para operações de desconto de duplicatas, cujos prazos 
de antecipação do resgate é 25 dias. 
 
Respostas dos Exercícios 3.1.3 
1. 3,77% a.m. 
2. 16,22% a.m. 
3. a) 8,82% a.m b) 8,86% a.m. 
4. 36,36% a.a. 
5. 7,5% a.m 
 
3.1.4 Operações com um Conjunto de Títulos 
 
3.1.4.1 Valor Líquido de um Conjunto de Títulos 
 
DEFINIÇÃO: O valor líquido (valor Atual) de um conjunto de títulos (borderô) é soma 
dos valores líquidos de cada título. 
Exemplo: Uma empresa desconta um borderô de títulos em uma instituição financeira à 
taxa de desconto comercial de 2% a.m. Vamos determinar o valor líquido do 
seguinte conjunto de títulos descontados. 
 
Duplicata Valor Prazo de antecipação 
A 1.500,00 25 dias 
B 3.200,00 30 dias 
C 2.500,00 45 dias 
D 980,00 60 dias 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 30 
Para duplicata A temos: Para duplicata B temos: 
cD = 1.500 . 0,02 25/30 cD = 3.200 . 0,02 . 1 
cD = 25,00 cD = 64,00 
cA = 1.475,00 cA = 3.136,00 
 
Para a duplicata C temos: Para a duplicata D temos: 
cD = 2.500 . 0,02 . 45/30 cD = 980 . 0,02 . 2 
cD = 75,00 cD = 39,20 
cA = 2.425,00 cA = 940,80 
 
Valor líquido deste conjunto de títulos será: 
V = 1.475,00 + 3.136,00 + 2.425,00 + 940,80 = 7.976,80 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 <f> <CLX> 
1500 < enter > 2 < % > 25 <  > 30 <  > < - > <+ > 
 3200 < enter > 2 < % > 1 <  > < - > <+ > 
2500 < enter > 2 < % > 45 <  > 30 <  > < - > <+ > 
980 < enter > 2 < % > 2 <  > < - > <+ > 
 < RCL > 2 V = 7.976,80
 
 
3.1.4.2 Prazo Médio de um Conjunto de Títulos 
 
 O prazo médio é a média ponderada dos valores do DCS, utilizando como fator de 
ponderação o produto entre os valores nominais dos títulos e suas respectivas taxas. 
 Sejam N1, N2, . . . , Np , os valores nominais dos títulos e n1, n2, . . ., np , seus prazos e 
as respectivas taxas de descontos comercial i1, i2, . . . ,ip . Assim: 
 
 
pp
cpcc
iNiNiN
DDD
n
+++
+++
=


2211
21

pp
ppp
iNiNiN
niNniNniN
n
+++
+++
=


2211
222111
, 
 
ou seja: 

=

==
p
k
kk
p
k
kkk
iN
niN
n
1
1
).(
)..(
  

=

==
p
k
kk
p
k
k
iN
Dc
n
1
1
).(
 
 
 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 31 
Exemplo: Determine o prazo médio do seguinte conjunto de títulos: 
 
Nominal Taxa Mensal Prazo de antecipação ciN  niND cc = 
5.000,00 2% 30 dias 100,00 100,00 
3.800,00 3% 45 dias 114,00 171,00 
2.300,00 1,5% 28 dias 34,50 32,20 
Somatório  248,50  303,20 
 
50,248
20,303
=n = 1,22 meses ou  37 dias 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 <f> <CLX> 
5000 < enter > 2 < % > 1 <  > <+ > 
3800 < enter > 3 < % > 45 <  > 30 <  > <+ > 
2300 < enter > 1,5 < % > 28 <  > 30 <  > <+ > 
 < RCL > 2 < STO > 7 
 < f > < SST> (apaga somente a memória do somatório) n  37 dias 
5000 < enter > 2 < % > <+ > 
3800 < enter > 3 < % > <+ > 
2300 < enter > 1,5 < % > <+ > 
 < RCL > 7 < RCL > 2 <  > 
 30 <  > < f > 2 
 
 
3.1.4.3 Taxa Média de um Conjunto de Títulos 
 
 A taxa média em DCS é a média ponderada dos valores dos descontos bancários, 
utilizando como fator de ponderação o produto entre os valores nominais dos títulos e seus 
respectivos prazos. 
 Sejam N1, N2, . . . , Np os valores dos títulos, n1, n2, . . ., np os prazos e as respectivas 
taxas i1, i2, . . . ,ip. Assim: 
 
pp
cpcc
nNnNnN
DDD
i
+++
+++
=


2211
21
  
pp
ppp
nNnNnN
niNniNniN
i
+++
+++
=


2211
222111
, 
 
ou seja: 

=

==
p
k
kk
p
k
kkk
nN
niN
i
1
1
).(
)..(
  

=

==
p
k
kk
p
k
k
nN
Dc
i
1
1
).(
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 32 
Exemplo: Calcular a taxa média no DCS do conjunto de títulos apresentados abaixo: 
 
Nominal Prazo de antecipação Taxa Mensal nN  niND cc = 
820,00 30 dias 2,5% 820,00 20,50 
430,00 60 dias 3,7% 860,00 31,82 
550,00 90 dias 2,5% 1.650,00 41,25 
Somatório  3.330,00  93,57 
 
00,3330
57,93
=i =0,02809 ou 2,81% a.m. 
Cálculo na HP 12C: 
 
 <f> <CLX> 
820 < enter > 2,5 < % > 1 <  > <+ > 
430 < enter > 3,7 < % > 2 <  > <+ > 
550 < enter > 2,5 < % > 3 <  > <+ > 
 < RCL > 2 < STO > 7 
 < f > < SST> (apaga somente a memória do somatório) =i 2,81% a.m. 
820 < enter > 1 <  > <+ > 
430 < enter > 2<  > <+ > 
550 < enter > 3 <  > <+ > 
 < RCL > 7 < RCL > 2 <  > 
 100 <  > < f > 2 
 
Observação: a taxa média e prazo médio dos exemplos anteriores são: 
=i 2,36% a.m. e =n 1,8654 meses ou  56 dias 
 
EXERCÍCIOS 3.1.4 
1. Determinar a taxa média e o prazo médio no desconto comercial do seguinte conjunto 
de títulos. Valor nominal (R$) Prazo (n) Taxa mensal (i) 
 12.000,00 60 dias 4,5% 
 8.500,00 45 dias 3,8% 
 10.200,00 54 dias 3,7% 
 9.300,00 90 dias 3,4% 
Respostas dos Exercícios 3.1.4 
i = 3,85% ; n = 2 meses e 2 dias 
 
3.1.5 Equivalência de Capitais Diferidos a Juros Simples 
Em muitos casos não é possível saldar um título na data aprazada, e a partir desta 
situação é comum buscar junto ao credor uma ampliação de prazo de pagamento, ou até 
um parcelamento do valor nominal do título a fim de facilitar o pagamento. Problemas 
iguais a esses ou similares estão afetos, de um modo geral, à equivalência de capitais 
diferidos. 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 33 
 DEFINIÇÃO: capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos tem datas diferentes. 
 
 
DOIS CAPITAIS DIFERIDOS SÃO EQUIVALENTES EM CERTA ÉPOCA 
QUANDO SEUS VALORES ATUAIS, NESSA ÉPOCA SÃO IGUAIS. 
 
 Para solucionarmos este tipo de problema, vamos estabelecer uma data de 
comparação (data focal), e comparar os valores atuais dos títulos nesta data. 
 
Exemplos: 
 
1. Se for solicitada apenas uma ampliação do prazo de pagamento podemos fazer 1cA = 
2cA , onde: 
- 1cA corresponde ao valor atual do título em questão; 
- 2cA corresponde ao valor atual do título prorrogado. 
 
 Considerando que as operações sejam feitas baseadas no DCS, temos 
( )niNA cc −= 1 , logo: 
( )niN c −11 = ( )niN c −12 
 
2. Se for solicitado um parcelamento de um título, digamos em 3 vezes teremos: 
 1cA = 432 ccc AAA ++ , onde 1cA corresponde ao valor atual do título em questão, 2cA , 
3cA e 4cA correspondem respectivamente ao valor atual da primeira, segunda e terceira 
parcela, as quais o título foi fracionado. 
 
 Por se tratar de desconto comercial simples, e este estar relacionado com juros 
simples, a data de comparação como vimos deve ser a DATA ZERO, ou seja, a data em que 
a dívida foi contraída, uma vez, que neste regime não se pode fracionar o prazo de 
aplicação, pois o juro é formado somente no fim do período da aplicação. 
 
Exemplo: Quero substituir três títulos, um de R$ 4.000,00 para 30 dias, um R$ 10.000,00 
para 60 dias e outro de R$ 16.000,00 para 90 dias por dois outros de valores nominais 
iguais vencíveis em 90 e 120 dias respectivamente. Qual o valor nominal dos novos títulos, 
sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. 
 
 
Fluxos de caixa: (Situação Atual) 
 1N 2N 3N 
 
 
 0 30 60 90 
 321 ccc AAA ++ 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 34 
(Nova Situação) 
 4N 5N 
 
 
 0 90 120 
 54 cc AA + 
 
Sabemos que: ( )kckck niNA −= 1 , e queremos : 54 cc AA + = 321 ccc AAA ++ , assim: 
 
 ( )111 1 niNA cc −= = 4.000 (1-0,035) = 3.860,00 
 ( )222 1 niNA cc −= = 10.000 (1-0,035 . 2) = 9.300,00 
 ( )333 1 niNA cc −= = 16.000 (1-0,035 . 3) = 14.320,00 
 ( )444 1 niNA cc −= = N4 ( 1 – 0,035 . 3 ) = 0,895 N4 
 ( )555 1 niNA cc −= = N5 ( 1 – 0,035 . 4 ) = 0,86 N5 
 
Lembrando que N4 = N5 = N, temos que: 
54 cc AA + = 321 ccc AAA ++ 
0,895 N + 0,86 N = 3.860,00 + 9.300,00 + 14.320,00 
1,755 N = 27.480,00 
N = 15.658,12 
 
Portanto, o valor nominal dos novos títulos será de R$ 15.658,12 . 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 <f> <CLX> < f > 8 
4000 < enter > 3,5 < % > 1 <  > < - > <+ > =1cA 3.860,00 
10000 < enter > 3,5 < % > 2 <  > < - > <+ > =2cA 9.300,00 
16000 < enter > 3,5 < % > 3 <  > < - > <+ > =3cA 14.320,00 
 < RCL > 2 < STO > 7 < f > < SST > 321 ccc AAA ++ 
1 < enter > 0,035 < enter > 3 <  > < - > <+ > 0,895 
1 < enter > 0,035 < enter > 4 <  > < - > <+ > 0,86 
 < RCL > 7 < RCL > 2 <  > 
 < f > 2 N = 15.658,12 
 
 
EXERCÍCIOS 3.1.5 
1. Um microempresário tem três títulos, de R$ 2.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 8.000,00, 
descontados em um banco e com vencimento para 90, 150 e 180 dias, respectivamente. 
Desejando substituí-los por outros dois valores nominais iguais a 60 e 120 dias, calcule o 
valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto seja 3,2% a.m. para a transação 
desse tipo. 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 35 
2. Dois títulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados “por fora” a 6% ao 
mês. Sendo de 90.000,00 a soma de seus valores nominais e de 12.840,00 a soma dos 
descontos, determine o valor nominal de cada título. 
3. Dois títulos, um de R$ 37.620,00 e outro de R$ 25.380,00 foram descontados “por fora” 
a 6% a.m.., sofrendo um desconto total de 7.174,80. O vencimento do primeiro ocorre 
20 dias depois do vencido o segundo. Determine os prazos de vencimento. 
4. Um empresário fez um empréstimo bancário no valor de R$ 12.000,00 para ser pago em 
quatro títulos de mesmo valor, vencíveis a um, dois, três e quatro meses após o 
empréstimo. Sendo de 2% a.m. a taxa de desconto comercial simples do banco, 
determine o valor de cada título. 
5. Sendo de 3% ao mês a taxa de desconto, dentro de quantos dias deverá vencer um título 
de R$ 20.000,00 a fim que seja equivalente a um outro de R$ 16.000,00 vencível em 60 
dias. 
 
Respostas dos Exercícios 3.1.5 
1. R$ 9.221,24 
2. R$ 42.000,00 e R$ 48.000,00 
3. 65 dias e 45 dias 
4. R$ 3.157,89 
5. 248 dias 
 
 
3.2 DESCONTO RACIONAL SIMPLES (DRS) 
 Seja N o valor Nominal de um título e rA o valor atual (ou líquido) n períodos antes 
do vencimento. O desconto racional simples ou por dentro é o juro produzido pelo valor 
atual do título à uma taxa fixada, resgatado n períodos antes do vencimento. Partindo da 
definição, vamos representar o DRS pela seguinte expressão: 
 
niAD rr = 
 
onde: 
• rD = desconto racional simples 
• rA = valor Atual, ou valor descontado (valor líquido pago ou recebido antes do 
vencimento do titulo) 
• i = taxa de juros 
• n = período de antecipação 
 
 De posse do valor atual, podemos ainda determinar o desconto racional simples pela 
expressão: 
 
rr AND −= 
 
Podemos determinar o VALOR NOMINAL isolando N na fórmula do desconto: 
rr AND −= , onde: 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 36 
rr DAN += (substituindo niAD rr = ) 
 
niAAN rr += (colocando em evidência Ar ) 
 
 
( )niAN r += 1 
 
 
O VALOR ATUAL, no desconto racional, também pode ser calculado ao se isolar 
Ar na fórmula anterior, ou seja: 
 
( )ni
N
Ar
+
=
1
 
 
 
 O DRS ainda pode ser calculado em função do valor nominal N, da taxa de desconto 
i e do prazo de antecipação n. Como rr AND −= e ( )ni
N
Ar
+
=
1
, podemos escrever 
 
 
( )ni
N
NDr
+
−=
1
  
 
 
Exemplo: Uma pessoa salda uma duplicata de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu 
vencimento. Se a taxa simples dedesconto do título for de 40% a.a., qual será o desconto 
racional simples e qual o valor descontado da duplicata? 
 
O DRS pode ser calculado por: rr AND −= 
O valor líquido neste caso é igual ao valor atual racional, onde: 
( )ni
N
Ar
+
=
1
. 
N = 5.500,00 
n = 3 meses 
i = 40% ao ano 
 
Logo teremos: 






+
=
3
12
4,0
1
00,500.5
rA , ou seja: 00,000.5=rA 
 
Assim: Dr = 5.500 – 5.000 = 500 
 
O valor do desconto racional é de R$ 500,00. 
 
( )ni
niN
Dr
+

=
1
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 37 
O valor descontado da duplicata, ou valor recebido pela empresa na operação de desconto, 
é de R$ 5.000,00. 
 
 Cálculo pela HP 12C 
 
 5500 < enter > 
 1 < enter > 
 0.4 <enter> 12 < > 3 <  >< + > < > 00,000.5=rA 
 < - > 00,500=rD 
 
 
 O DRS é uma aplicação particular de juros simples sobre o valor atual de um título. 
Considerando N = M e sendo M o montante em juros simples dado por 
 
)1( niCM += , 
 
podemos provar a equivalência entre o DRS e o regime de juros simples. 
 Se 
( )ni
niN
Dr
+

=
1
  
( )ni
niM
Dr
+

=
1
  
( )ni
niniC
Dr
+
+
=
1
)1(
  
 
  niCDr = , ou seja, Dr = J. 
 
Observação: Como foi salientado, o DRS é o juro simples produzido sobre o valor atual de 
um título. Desta forma, a taxa efetiva nessa operação de desconto é a própria taxa de 
desconto. 
 
EXERCÍCIOS 3.2 
1. Um título de R$ 1.000,00 vai ser resgatado dois meses antes do vencimento. Sabe-se 
que a taxa de juros é de 4% a.m., pede-se: 
 a) O valor descontado racional 
 b) O desconto racional 
2. Um título de valor nominal R$ 2.000,00 foi descontado três meses antes do vencimento. 
Sendo de 96% a.a. a taxa de juros simples corrente, determine o desconto racional 
simples e o valor atual racional simples. 
 
Respostas dos Exercícios 3.2 
1. a) R$ 925,93 b) R$ 74,07 
2. R$ 1.612,90 e R$ 387,10 
 
 
3.3 COMPARAÇÃO ENTRE AS OPERAÇÕES DE DESCONTO COMERCIAL 
SIMPLES E DESCONTO RACIONAL SIMPLES 
 
 Vamos estabelecer uma equação para que possamos entender melhor a relação entre 
o DCS e DRS. 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 38 
 Sabemos que: niND cc = (10) 
e que niAD rr = (11) 
e ainda que 
 
( )ni
N
Ar
+
=
1
 (12) 
 Considerando iic = e substituindo Ar da equação (12) em (11), obtemos: 
 
 
( )
ni
ni
N
Dr 
+
=
1
 (13) 
 Isolando N na equação (13) vem que: 
 
 
ni
niD
N r

+
=
)1(
 (14) 
 Substituindo N da equação (14) em (10) e simplificando adequadamente, obtemos 
uma relação entre o DCS e DRS, como segue: 
 ni
ni
niD
D rc 

+
=
)1(
 
 
 (15) 
 
 Observando a equação (15) e comparando com a fórmula do montante para juros 
simples )1( niCM += , podemos afirmar que o DRS aplicado a taxa de desconto i durante 
um período igual ao período de resgate do título, produz um montante igual ao valor do 
DCS. 
 
Exemplo: Um título no valor de R$ 5.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu 
vencimento a uma taxa de 4,7% a. m. Calcule o valor do DCS e do DRS que este título 
sofreu. 
Temos: N = 5.000,00 
 n = 3 meses 
 i = 4,7% ao mês 
 
- Para o DCS temos: - Para o DRS temos: 
 
niNDc ..= niAD rr ..= e 
)1( in
N
Ar
+
= 
3.047,0.,000.5=cD 
)3.047,01(
,000.5
+
=rA 
00,705=cD 12,382.4=rA 
 3.047,0.12,382.4=rD 
 88,617=rD 
 
)1( niDD rc += 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
 
 39 
 Comparando os valores dos descontos comercial e racional obtidos no exemplo 
anterior, observa-se que o valor do DCS é maior, e conseqüentemente o valor descontado 
será menor para esta operação. 
 Vamos estabelecer uma equação para que possamos entender melhor a relação entre o 
DCS e DRS. 
 Do exemplo temos Dr = 617,88, que valor do desconto produzido por uma taxa de 
4,7% a. m. aplicado sobre o valor atual racional durante 3 meses. Substituindo estas 
informações na equação (6) temos: 
).1( niDD rc += 
)3.047,01(88,617 +=cD 
00,705=cD 
 Já vimos que no DCS, a taxa incide sobre o valor nominal do título, enquanto 
no DRS a taxa incide sobre o valor atual do título. Em operações de desconto o valor atual 
é sempre menor que o valor nominal, do ponto de vista de quem desconta um título o DRS 
é aquele que mais lhe favorece uma vez que o valor do desconto também será sempre 
menor do que se estaria pagando em comparação com uma operação de DCS . Porém, 
como quem detém o capital impõe as “regras do jogo” a grande maioria das operações de 
desconto são realizadas levando em consideração o DCS. Na verdade, o DRS não 
apresenta nenhuma aplicação relevante em operações bancárias ou comerciais. 
 
Exemplo: O DCS de um título é de R$ 1.016,64. Se o mesmo título sofrer um desconto 
racional a uma taxa de 7% ao mês durante n períodos o valor do desconto será igual a R$ 
840,20. Determine o valor nominal deste título e o prazo de aplicação que geram os 
descontos aqui citados. 
Sabemos que: ).1( niDD rc +=  ).07,01(,84064,016.1 n+= 
n.07,01
840
64,016.1
=





− 
 
07,0
0210286,0
=n 
 
n = 3 meses 
Sabemos ainda que: 
niNDc ..= 
 
3.07,0.64,016.1 N= 
 
21,0
64,016.1
=N 
N = R$ 4.841,14